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ESTUDO DE REPETITIVIDADE E
REPRODUTIBILIDADE PARA DADOS
FUNCIONAIS
Alexandre Homsi Pedott (UFRGS)
Flavio Sanson Fogliatto (UFRGS)
Neste artigo apresenta-se um método para estudos de repetitividade e
reprodutividade (R&R), destinados a analisar a capacidade e o
desempenho de sistemas de medição, quando as variáveis de interesse
são funcionais, isto é, caracterizadas poor uma coleção de dados que
formam um perfil ou uma curva, e não por uma observação individual.
O método proposto envolve a adaptação de testes de hipótese e da
análise de variância de um e dois fatores usados em comparações de
populações, na avaliação de sistemas de medições. A proposta de
adaptação foi baseada na utilização da distância de Hausdorff como
uma medida de proximidade entre as curvas. O método foi aplicado a
um estudo simulado de R&R, estruturado para analisar cenários em
que o sistema de medição foi aprovado e reprovado.
Palavras-chaves: Estudos de R&R; dados funcionais; ANOVA das
distâncias
XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no
Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.
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Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.
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1. INTRODUÇÃO
A avaliação do desempenho e da capacidade de um sistema de medição (SM) envolve a
análise de diferentes tipos de características de qualidade (CQs). Existem CQs em que o
resultado da amostragem da variável de interesse é dado por uma coleção de dados ou vetor
de valores. Essa coleção de dados forma um perfil ou uma curva. O conteúdo informativo de
uma curva é maior que o de um ponto individual. Os valores discretos medidos são pontos de
uma função dependente de outra variável, denominada exploratória. Ramsay e Silverman
(2005) denominam essas variáveis de resposta de dados funcionais. A função que representa o
conjunto de dados pode ser obtida através de um processo de interpolação, utilizando técnicas
de suavização.
O estudo de Repetitividade & Reprodutividade (R&R) é uma ferramenta da EQ usada na
análise de um SM. Nos estudos de R&R, o instrumento de medição é usado para medir,
repetidas vezes, as amostras de um produto. A repetitividade se refere à variabilidade
característica do instrumento de medição, e decorre da sua capacidade de fornecer leituras
repetidas muito próximas, sob as mesmas condições. A reprodutibilidade se refere à
capacidade de um SM apresentar os mesmos resultados a partir da alteração nas condições de
medição, tais como mudanças de avaliadores, diferentes turnos de trabalho, ou alterações de
processo. O objetivo do estudo de R&R é determinar se a variabilidade do SM é relativamente
menor que a variabilidade do processo monitorado (VIM, 2008; BURDICK, BORROR e
MONTGOMERY, 2003; AIAG, 2002).
O método de análise mais usado em estudos de R&R é a Análise de Variância (ANOVA –
Analysis of variance). A ANOVA permite decompor a variabilidade do SM e avaliar a
interação entre os componentes. A estimativa da variabilidade do sistema é determinada pelo
cálculo do erro aleatório, obtido com as replicações. O erro de medição é composto pela
dispersão do instrumento, pelo efeito do avaliador e pelo erro aleatório, devido às replicações.
Os critérios mais usados para avaliar a capacidade de um SM são: (i) Índice de Capacidade de
Medição (ICM1) como um percentual de variabilidade do processo; (ii) Índice de Capacidade
de Medição (ICM2) como um percentual da variabilidade da especificação do processo; e (iii)
a Razão Sinal-Ruido (SNR) ou número de categorias distintas (ndc). O ICM1 indica a
distorção da variação do processo devido ao SM. O ICM2 mostra a habilidade do instrumento
de classificar os produtos frente às especificações. O ndc reflete a capacidade do SM
discriminar categorias, dentro da variação do processo. A indústria automotiva recomenda o
uso do ICM1 e o ndc nas avaliações dos sistemas de medições. (BARRENTINE, 2003;
BURDICK, BORROR e MONTGOMERY, 2005; AIAG, 2002).
As pesquisas recentes que envolvem estudos de R&R não abordam a avaliação de
características de qualidade que se comportam como curvas. A maior parte desses trabalhos
enfoca a análise de SMs de uma variável. Majeske (2008) apresenta um método de análise de
para SMs com múltiplas variáveis de respostas independentes. O método foi aplicado a um
SM formado por um dispositivo que mede diferentes CQs, simultaneamente. O método
envolve a aplicação da ANOVA multivariada (MANOVA) e apresenta critérios de aceitação
para os indicadores ICM1, ICM2 e ndc.
As pesquisas recentes em ADF focalizam a representação dos dados, a determinação de
comportamentos padronizados e as variações entre diferentes curvas. Ferraty e Vieu (2003)
empregam o Estimador de Kernel para classificar curvas a categorias existentes. Ramsay e
Silverman (2005) apresentam as adaptações de diferentes técnicas multivariadas para o
contexto funcional, tais como Análise de Componentes Principais e Modelos lineares de
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suavização por Splines. Abramovich e Angelini (2006) apresentam um modelo de Análise de
Variância para dados funcionais (FANOVA – Functional Analysis of variance). O modelo
estabelece um procedimento para teste de significância baseado em coeficientes de wavelet
empíricos, que permite caracterizar diferentes tipos de respostas funcionais suavizadas sob
alternativas não-paramétricas. Mosesova et al. (2006) generalizam algumas técnicas
tradicionais de monitoramento de processos para aplicação em dados que se comportam como
curvas.
O objetivo deste artigo é desenvolver e adaptar a ANOVA para avaliar um SM, onde
variáveis funcionais são mensuradas. O atendimento desse objetivo deve solucionar os
problemas causados pelo uso equivocado de métodos para variáveis simples em estudos de
R&R onde, a variável de resposta é funcional. O desenvolvimento de novas técnicas de
análise de dados funcionais deve contribuir para o avanço do estado da arte sobre a análise de
sistemas de medições de processos industriais com variáveis de resposta funcionais.
2. ABORDAGEM CLÁSSICA DA ANOVA EM UM ESTUDO DE R&R
Um experimento clássico para o estudo de R&R usa a ANOVA de dois fatores. O primeiro
fator é a Peça (P) e o outro o Avaliador (A). O modelo estatístico para a variável de resposta,
considerando fatores de efeitos fixos (MONTGOMERY e RUNGER, 2003):
xijk = + i +j + (iji + ijk, i = 1, ..., I; j = 1, ..., J; k = 1, ..., K; (1)
Na eq. (1), é a grande média, i é o efeito do i-ésimo avaliador, j é o efeito da j-ésima peça,
()ij é o efeito da interação entre o avaliador i e a peça j, e ijk é o resíduo, ou erro aleatório
normalmente distribuído e com média zero. O resíduo é dado pela eq. (2), onde .ijx representa
o valor esperado para a CQ. A ANOVA pressupõe observações normalmente e
independentemente distribuídas, com idêntica variância para os diferentes níveis dos fatores.
Desvios moderados da normalidade não implicam em uma séria violação do pressuposto.
(MONTGOMERY, 2001; MONTGOMERY e RUNGER, 2003).
.ijijkijk xx (2)
O objetivo da ANOVA é testar a hipótese de igualdade das médias ou se os efeitos dos fatores
e da interação são iguais a zero. As variâncias devem ser calculadas a partir das somas
quadradas dos resíduos. A Soma Quadrática Total (SQT) é dada na eq. (3); a Soma Quadrática
dos Avaliadores (SQA) é dada na eq. (4); a Soma Quadrática das Peças (SQP) é dada na eq.
(5); a Soma Quadrática da interação entre os Avaliadores e as Peças (SQAP) é dada na eq. (6);
a Soma Quadrática dos Resíduos (SQR) é dada na eq. (7). A equação de identidade que
associa as SQs acima é dada na eq. (8), com número de graus de liberdade (GDL) dado na eq.
(9), onde o termo do lado esquerdo se refere ao GDL da SQT, e os termos do lado direito se
referem ao GDL de SQA, SQP, SQAP e SQR, respectivamente.
2
1 1 1 ...
I
i
J
j
K
k ijk xxSQT (3)
2
1 .....
I
i i xxJKSQA (4)
2
1 .....
J
j j xxIKSQP (5)
2
1 1 ........
I
i
J
j jiij xxxxKSQAP (6)
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4
2
1 1 1 .
I
i
J
j
K
k ijijk xxSQR (7)
SQT = SQA + SQP + SQAP + SQR (8)
(IJ K – 1) = (I – 1) + (J – 1) + (I – 1)(J – 1) + IJ(K – 1) (9)
As médias quadráticas de cada fator são dadas pela razão entre as somas quadradas e os GDL
dos respectivos fatores. Se o efeito de um fator for significativo, o valor esperado da média
quadrática do fator deve ser diferente do valor esperado da média quadrática dos resíduos. O
teste F determina se os efeitos do avaliador, da peça e da interação são significativos. Em
geral, a interação não deve ser significativa. Neste caso, é recomendável unificar as somas
quadradas, somando SQAP à SQR e os graus de liberdade correspondentes. A adição das
somas quadradas e o novo número de graus de liberdade geram novos valores para as médias
quadráticas e correspondentes valores calculados de F (MONTGOMERYe RUNGER, 2003).
AIAG (2002) apresenta o cálculo da decomposição da variabilidade de um SM. A
repetitividade ou variação do equipamento é denominada VE. A reprodutibilidade ou variação
dos avaliadores é denominada VA. A variação do SM é avaliada pelo cálculo do R&R. A
variação total do estudo é denominada de VT. VP é a variação da peça ou processo. A
variabilidade de cada fator é comparada com a variabilidade total do SM. A Tabela 1
apresenta o cálculo da percentagem que cada fator consome da variação total do sistema. Os
componentes da variação do SM são representados pelo desvio padrão 5,15 sigma, usado por
ser de mais fácil interpretação do que a variância. No caso de ocorrer um valor negativo sob a
raiz quadrada, a variação do fator correspondente deve ser considerada nula.
Fonte de Variação Desvio Padrão 5,15 sigma Percentual da Variação
Total
Repetitividade MQRVE 15,5 100 x VE/VT
Reprodutibilidade IK
MQAPMQAVA
15,5 100 x VA/VT
Interação P x A K
MQRMQAPVAP
15,5 100 x VAP/VT
Peça JK
MQAPMQPVP
15,5 100 x VP/VT
R&R 222
& VAPVAVERR
100 x R&R/VT
Total 22& VPRRVT
Tabela 1 – Componentes da variabilidade de um SM
Os indicadores de capacidade dos sistemas de medição são calculados da seguinte forma:
RRICM &%1 (10)
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LIELSE
RRICM
&2 (11)
RR
VPndc
&2 (12)
Os critérios de decisão recomendados para avaliação de um SM (BARRENTINE, 2003;
BURDICK, BORROR e MONTGOMERY, 2005; AIAG, 2002) são os seguintes: (i) se ICM1
≤ 0,1 e/ou ndc ≥ 5, o SM é aprovado; (ii) se 0,1 <ICM1 ≤ 0,3 e/ou 2 < ndc < 5, o SM pode ser
aprovado, dependendo da capacidade do processo e dos custos de seleção do produto; e (iii)
se ICM1 > 0,3 e/ou ndc ≤ 2, o SM é reprovado.
3. MÉTODO PROPOSTO
Considere um estudo clássico de R&R desenvolvido na seção 2. O problema aqui abordado
consiste em avaliar o desempenho de um SM cuja CQ é uma variável funcional. Na
abordagem clássica a variável de resposta é medida por um valor único, dado pela eq. (1). Na
Análise de Dados Funcionais (ADF), a variável de resposta é medida por uma coleção de
pontos, representados por um vetor.
Sejam i avaliadores e j peças diferentes. Cada avaliador efetua k repetições da medição de
uma CQ cuja variável de resposta é funcional.A variável de resposta é formada por curvas
compostas por n pontos. As observações da k-ésima repetição do i-ésimo avaliador sobre a j-
ésima peça estão organizadas no vetor xijk, no espaço RR2.
xijk = [(xijk1, t1), ..., (xijkN, tN)] (13)
onde i = 1,..., I, j = 1,..., J, k = 1,..., K e n= 1,..., N são inteiros e positivos, e t é um número
real não negativo. Considerando que a variável de resposta é uma curva, os resíduos usados
nos cálculos da variância da ANOVA devem ser determinados através de uma medida de
proximidade entre curvas. Uma medida de proximidade entre duas curvas é dada pela
distância entre elas. Fogliatto (2008) usou a Distância de Hausdorff (DH) para converter
respostas funcionais em respostas simples em um contexto de otimização de experimentos
com múltiplas respostas. A DH fornece uma medida da distância entre duas curvas ou
conjuntos de pontos diferentes. Quanto menor a distância, maior a semelhança entre os dois
conjuntos. A DH é definida como o limite superior (valor máximo) do conjunto das distâncias
mínimas entre os pontos de dois vetores. O valor de máximo pode ser substituído pela
mediana, ou pela soma das distâncias mínimas. Souza (2008) usou diferentes medidas de
distâncias para testar se a curva média de um grupo de curvas é igual a uma curva
previamente conhecida.
O método proposto (ANOVA das distâncias) se baseia no cálculo da DH entre curvas
observadas e as curvas médias esperadas. Uma curva média é definida pelo conjunto das
médias dos pontos das curvas observadas. Sejam ..ix os vetores das médias dos i avaliadores
dados por:
N
J
j
K
k ijkN
J
j
K
k ijk
i tJK
xt
JK
x,,...,,
1 1
1
1 1 1
..x (14)
Sejam .. jx os vetores das médias das j peças dados por:
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N
I
i
K
k ijkN
I
i
K
k ijk
j tIK
xt
IK
x,,...,, 1 1
11 1 1
..x (15)
Sejam .ijx os vetores das médias dos i avaliadores e das j peças, dados por:
N
K
k ijkN
K
k ijk
ij tK
xt
K
x,,...,, 1
11 1
.x (16)
Seja ...x o vetor da grande média, correspondente a todas as observações, dado por:
N
I
i
J
j
K
k ijkN
I
i
J
j
K
k ijkt
IJK
xt
IJK
x,,...,,
1 1 1
1
1 1 1 1
...x (17)
As distâncias entre as curvas observadas, dadas na eq. (13), e as curvas médias das equações
(14) a (17) estão associadas às variabilidades características do SM. A ANOVA das distâncias
será apresentada em duas abordagens. As abordagens se diferenciam pelo cálculo da distância
entre as curvas: a primeira abordagem calcula a DH através da mediana; a segunda, através da
média.
A abordagem das medianas é assim implementada. A partir da eq. (3), obtém-se a Soma
Quadrática Total (SQT) dada por:
21 1 1 ...
I
i
J
j
K
k ijkdSQT xx (18)
...xx ijkd é a DH entre cada curva observada xijk em um determinado grupo e a curva da
grande média ...x , dada pela eq. (19). Essa distância é equivalente ao resíduo entre o valor
observado e o esperado da observação .ijijk xx .
ijkxddijk
xx xx ,mediana ...nx... ......n (19)
onde,
ijkxijk xxdxdijk
,min, ...n...n ijk xx (20)
sendo a distância ijkxxd ,...n correspondente à distância Euclidiana entre um ponto do vetor
...x e um ponto do vetor xijk; considerando-se os pontos nx... e x111, essa distância seria dada
por:
22
1111...111...1 1111..., xx ttxxxxd (21)
A eq. (21) mostra que a DH é uma distância euclidiana. Essa operação perde a informação da
posição da curva observada em relação à curva média. Isto é, duas curvas diferentes podem
ter a mesma DH, porém estarem em posições simétricas em relação à curva média. A
alternativa para não perder essa informação é atribuir um sinal a cada DH calculada. O sinal
será positivo se o valor da resposta do ponto que coincide com a DH for maior que valor da
curva média, no mesmo instante t, e negativo se menor. A informação do sinal deve ser usada
para a verificação dos pressupostos de normalidade dos resíduos.
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A Soma Quadrática dos Avaliadores (SQA) é obtida a partir da Eq. (4), sendo dada por:
I
i idJKSQA
1
2
.....xx (22)
.....xx i
d é a distância entre a curva média ..ix de cada avaliador e a curva da grande média
...x , dada por:
........ ,mediana......n.. inx xdd
ixx xx (23)
onde,
.......... ,min,..i.. inxin xxdxd
ixx (24)
sendo a distância ..... , in xxd definida pela Eq. (21).
Da Eq. (5) se obtém a Soma Quadrática das Peças (SQP) dada por:
J
j jdIKSQP
1
2
.....xx (25)
.....xx j
d é a distância entre a curva média .. jx de cada peça e a curva da grande média ...x ,
dada por:
........ ,mediana......n.. jnx xdd
jxx xx (26)
onde,
.......... ,min,...j. jnxjn xxdxd
jxx (27)
sendo a distância ..... , jn xxd definida pela Eq. (21).
A Soma Quadrática para a interação entre os avaliadores e as peças (SQAP) corresponde à
diferença das distâncias dadas pelas Equações (26) e (29), sendo dada por:
21 1 ..... ...
I
i
J
j i jijddKSQAP xx xx (28)
... iijd xx é a distância entre a curva média .ijx das k repetições e a curva média do respectivo
avaliador i ..ix , dada por:
..... ,mediana....n. ijnixi xdd
iiijxx xx (29)
onde,
...... ,min,.ij. ijnixijni xxdxd
ijxx (30)
sendo a distância ... , ijni xxd definida pela eq. (21).
Por fim, a Soma Quadrática dos Resíduos (SQR) é obtida a partir da eq. (7), sendo dada por:
21 1 1 .
I
i
J
j
K
k ijijkdSQR xx (31)
.ijijkd xx é a distância entre cada curva observada xijk e a curva média do respectivo avaliador
i e peça j .ijx , dada por:
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ijknijxij xddijijijk
xx xx ,mediana .. ..n (32)
onde,
ijknijxijknij xxdxdijk
,min, .. ijk xx (33)
sendo a distância ijknij xxd ,. definida pela eq. (21).
Existem duas alternativas para o cálculo de SQR. A primeira alternativa é usar diretamente a
eq.(31). A segunda é usar a identidade da eq. (8) e as eq. (18), (22), (25) e (28). As duas
alternativas podem levar a resultados diferentes. A diferença ocorre porque o valor esperado
usado na eq.(31) pode variar de curva para curva. Essa diferença depende da variação ao
longo de t. A escolha da primeira alternativa pode levar a pequenos desvios na identidade da
eq. (8). A escolha da segunda alternativa pode levar a uma distorção no valor de SQR. A
escolha da fórmula de cálculo do método deve levar em conta o impacto nos erros tipo I e II.
O número de GDL deve ser calculado de acordo com a eq. (9). As Médias Quadráticas são
dadas pela eq. (34) a (37).
1
1
2
.....
I
dJKMQA
I
i ixx
(34)
1
1
2
.....
J
dIKMQP
J
j jxx
(35)
11
2
1 1 ..... ...
JI
ddKMQAP
I
i
J
j i jijxx xx
(36)
1
2
1 1 1 .
KIJ
dMQR
I
i
J
j
K
k ijijkxx
(37)
Se o efeito de um fator for significativo, o valor esperado da média quadrática do fator deve
ser diferente do valor esperado da média quadrática dos resíduos. A tabela ANOVA para o
modelo da eq. (1) é apresentada na Tabela 2. O teste F determina se os efeitos do avaliador,
da peça e da interação são significativos. Se o valor calculado da estatística F (FCAL) for maior
que o valor tabelado de F, deve-se rejeitar a hipótese nula. Caso o efeito da interação não seja
significativo, a tabela da ANOVA deve ser reformulada para unificar a variância da interação
à variância dos resíduos.
A Tabela 2 fornece as informações suficientes para avaliar o desempenho do SM. A avaliação
é baseada no cálculo das percentagens que cada componente contribui para a variação total do
SM. Tais percentagens são calculadas conforme apresentado na Tabela 1. A capacidade do
SM deve ser avaliada pelos indicadores ICM1, ICM1 e o ndc, descritos nas eq. (10) e (11). Os
critérios de aprovação devem ser os mesmos apresentados anteriormente.
A segunda abordagem para o cálculo das distâncias, baseada nas médias, pode ser interessante
em casos onde se deseje maior sensibilidade da ANOVA a valores extremos em pontos
específicos das curvas. Para tanto, deve-se substituir o operador de mediana usado nas eq.
(19), (23), (26), (29) e (32) pelo operador de média. Para diferenciar as distâncias calculadas
nas duas abordagens, a distância calculada através da média é designada por ...xx
a
ijkd . O
cálculo das somas quadráticas segue o mesmo procedimento da abordagem da mediana, e a
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tabela ANOVA para essa abordagem é similar àquela apresentada na Tabela 2. Os critérios de
aprovação do SM são como apresentados anteriormente.
Fonte de
Variação
Soma dos Quadrados GDL Média Quadrática FCAL FTAB
Avaliador
I
i idJK
1
2
.....xx
(I –1) 1
1
2
.....
I
dJKMQA
I
i ixx
MQA/
MQR F,(I-1),IJ(K-1)
Peça
J
j jdIK
1
2
.....xx
(J – 1) 1
1
2
.....
J
dIKJ
j jxx
MQP/
MQR F,(J-1),IJ(K-1)
Interação
AP
2
1 1 ..... ...
I
i
J
j i jijddK xx xx
(I –1)
(J – 1)
11
2
1 1 ..... ...
JI
ddKI
i
J
j i jijxx xx
MQAP
/MQR F,(I-1) (J-1),IJ(K-1)
Erro 21 1 1 .
I
i
J
j
K
k ijijkdSQR xx
IJ(K –1) 1
2
1 1 1 .
KIJ
dI
i
J
j
K
k ijijkxx
Total 21 1 1 ...
I
i
J
j
K
k ijkd xx
Tabela 2–Tabela ANOVA das Distâncias de dois fatores
4. EXEMPLO NUMÉRICO
Esta seção apresenta o resultado da aplicação dos métodos propostos na seção anterior a um
estudo de R&R simulado. O estudo foi baseado no caso de um fabricante de pneus, que avalia
a qualidade dos produtos através da viscosidade da borracha. A medição é feita em um
reômetro, que mede as propriedades visco-elásticas da borracha. O instrumento fornece a
curva reométrica de vulcanização da borracha, a partir da qual são obtidos os valores usuais
para caracterização da borracha. Uma característica viscosa é dada pelo torque suportado por
uma amostra de borracha em diferentes instantes do tempo de vulcanização.
A curva de vulcanização da borracha segue o modelo da distribuição de Weibull, isto é, 3
2
10
teX , onde X representa o torque, 0, 1, 2 e 3 são os coeficientes
experimentais do modelo e t o tempo em minutos. A partir desse modelo, é possível
determinar o valor do torque em qualquer tempo no intervalo modelado, o que permite que a
curva de vulcanização seja comparável em intervalos fixos de tempo.
O objetivo da simulação foi gerar curvas correspondentes às k medições dos i avaliadores
efetuadas sobre as j peças de referência. Foram geradas curvas para a obtenção de três
cenários no contexto da avaliação de um SM, dois dos quais são apresentados aqui. No
primeiro cenário foram geradas as curvas de forma que o estudo de R&R resultasse na
aprovação do SM. No segundo cenário foram simuladas curvas que resultaram na reprovação
do SM. Neste caso, o SM foi reprovado devido ao efeito do avaliador. O terceiro cenário, de
reprovação do SM devido ao efeito do equipamento de medição, é omitido. As duas
abordagens propostas na seção 3 foram usadas na análise de cada cenário simulado.
O estudo simulado de R&R envolve a avaliação de um SM com 2 avaliadores e 5 peças. Cada
avaliador efetua 5 repetições da medida, cuja variável de resposta é funcional. A variável de
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resposta é formada por curvas compostas de 11 pontos. A primeira fase do processo de
simulação foi a obtenção de cinco curvas de referência correspondentes as cinco peças de
referência. As curvas de referência foram obtidas a partir do modelo de Weibull, com
diferentes parâmetros de ajuste 0, 1, 2 e 3.
A segunda fase do processo de simulação foi a geração das curvas observadas para cada
cenário. Para simular os valores medidos, foram adicionados dois termos de erro aleatório ao
modelo de Weibull. Foram usados erros aleatórios com distribuição N(,2). O primeiro
termo de erro corresponde à influência do avaliador sobre o SM. O segundo termo de erro
corresponde ao erro característico do equipamento de medição. O erro do equipamento de
medição foi dividido em dois fatores devido à diferença de escala da variável de resposta. Em
todos os cenários, o teste K-S de normalidade mostrou que não há evidência significativa para
que a hipótese de normalidade dos dados seja rejeitada, a um nível de confiança de = 0,05.
Também, em todos os cenários, o efeito da interação não foi significativo e os termos de
SQAP unificados aos do SQR.
4.1 SM APROVADO
A Tabela 3apresenta a ANOVA das medianas e a Tabela 4 traz a ANOVA das médias. O teste
F mostra que há efeito significativo para a variação das peças nos dois casos. O efeito dos
avaliadores não foi significativo. Foi usada a eq. (31) para o cálculo da SQR.
Fonte de Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB
Avaliador 0,0001 1 0,0001 1,5953 4,062
Peça 0,2547 4 0,0637 1578,2 2,584
Resíduos 0,0018 44 0,0000
Total 0,2565 49
Tabela 3–ANOVA de dois fatores das medianas (sem interação)
A Tabela 5 apresenta os indicadores de capacidade e desempenho do SM no cenário
aprovado, para as duas abordagens. O resultado da Tabela 5 é compatível com o cenário
simulado. O SM foi aprovado nas duas abordagens. O desvio na identidade da eq. (8) passou
de 0,0001 na abordagem da mediana para 0,0016 nas abordagens da média e da diagonal.
Considerando os critérios de aprovação da Tabela 6, o SM foi aprovado.
Fonte de Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB
Avaliador 0,0001 1 0,0001 1,54 4,062
Peça 0,2530 4 0,0632 1165,8 2,584
Resíduos 0,0024 44 0,0001
Total 0,2538 49
Tabela 4 – ANOVA de dois fatores das médias (sem interação)
Fonte de Variação MEDIANA MÉDIA
%VE 7,9 9,2
%VA 1,2 1,4
%VP 99,7 99,6
XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no
Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.
11
%R&R 8,0 9,3
ndc 17 15
Tabela 5 – Comparação das percentagens de variação do SM por cenário simulado
4.2 SM REPROVADO DEVIDO A VA
A Tabela 6 apresenta a ANOVA das medianas e a Tabela 7, a ANOVA das médias. O teste F
mostra que há efeito significativo para a variação das peças e dos avaliadores nos dois casos.
Fonte de Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB
Avaliador 0,0212 1 0,0212 60,20 4,062
Peça 0,1998 4 0,0500 141,7 2,584
Resíduos 0,0155 44 0,0004
Total 0,23150 49
Tabela 6–ANOVA de dois fatores das medianas (sem interação)
Fonte de Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB
Avaliador 0,0204 1 0,0204 50,7 4,062
Peça 0,1981 4 0,0495 123,2 2,584
Resíduos 0,0177 44 0,0004
Total 0,22815 49
Tabela 7– ANOVA de dois fatores das médias (sem interação)
A Tabela 8 apresenta os indicadores de capacidade e desempenho do SM no cenário
aprovado, para as duas abordagens.
Fonte de Variação MEDIANA MÉDIA
%VE 24,0 25,6
%VA 36,9 36,2
%VP 89,8 89,6
%R&R 44,0 44,3
ndc 2 2
Tabela 8– Comparação das percentagens de variação do SM por cenário simulado
O resultado da Tabela 8 é compatível com o cenário simulado. O SM foi reprovado nas duas
abordagens. A fonte de variação que mais contribuiu para a reprovação foi a VA. O desvio na
identidade da eq. (8) passou de 0,005 na abordagem da mediana para 0,008 na abordagem da
média. Em vista dos valores da Tabela 8, o SM foi reprovado.
5. CONCLUSÃO
A avaliação do desempenho de produtos e processos industriais que envolvem a análise de
dados funcionais aparece como necessidade crescente na Engenharia da Qualidade. Dado
funcional é a variável de resposta formada por coleção de dados que formam um perfil ou
XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no
Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.
12
uma curva. Produto e processos com CQs medidas por variáveis funcionais devem ser
analisados por métodos apropriados, considerando todos os pontos observados da curva.
O método proposto nesse trabalho é uma adaptação do estudo de R&R para o tratamento
e análise de dados funcionais. O método apresenta apenas um resultado para análise e tomada
de decisão, no qual estão considerados todos os pontos da curva. O principal elemento da
proposta foi a utilização das DH entre as curvas. A DH é uma medida de proximidade entre
curvas. Em uma análise de variância, a medida de proximidade das curvas está para o nível de
variação do SM, como a medida de dispersão de uma variável simples. Um procedimento
detalhado por equações e tabelas foi desenvolvido para avaliar os componentes da variação de
um SM em que os dados são curvas.
A ANOVA das Distâncias soluciona os problemas causados pelo uso equivocado de métodos
para variáveis simples em estudos de R&R onde a variável de resposta é funcional. O método
proposto é uma alternativa para a análise na otimização de experimentos de respostas
funcionais, tratados por métodos multivariados. A ANOVA das Distâncias pode ser usada
com facilidade em planilhas eletrônicas comuns, sem a necessidade de programas
computacionais complexos.
REFERÊNCIAS
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