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E.T.S. Minas: Métodos MatemáticosSoluciones Tema 3: Resolución aproximada de ecuaciones

Francisco PalaciosEscuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa

Universidad Politécnica de CataluñaOctubre 2008, Versión 1.3

Ejercicio 1 Consideramos la ecuación x− e−x = 0.

(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución en el intervalo [0, 1].

(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo[0, 1].

(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], ¿cuán-tas iteraciones nos hacen falta para asegurar 4 decimales exactos?

(d) Calcula las 5 primeras iteraciones.

(a) Expresamos la ecuación en la forma x = ex. Podemos tomar el valorestimado de la solución α ' 0.5

x 21.510.50-0.5-1

2.5

2

1.5

1

0.5

0-0.5

-1

(b) Existencia. Identificamos

f(x) = x− e−x,

f es continua en [0,1], además

f(0) = −1 ª, f(1) = 0. 63212 ⊕,

por lo tanto, según el Teorema de Bolzano, existe una solución α ∈ (0, 1) .

1

Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 2

Unicidad. Calculamos la derivada

f 0(x) = 1 + e−x,

que es positiva para todo x, por lo tanto, f es creciente en el intervalo y laraíz es única.

(c) Exigimos

|en| =b− a2n

=1

2n≤ 0.5× 10−4,

2n ≥ 10.5× 10−4 ,

n ≥ ln(20000)ln 2

= 14. 29,

necesitamos n = 15 iteraciones.

(d) Iteraciones.

Fase 1a1 = 0 f(a1) = −1 ªc1 = 0.5 f(c1) = −0.1065 ª a2 = 0.5b1 = 1 f(b1) = 0.6321 ⊕ b2 = 1

Fase 2a2 = 0.5 f(a2) = −0.1065 ª a3 = 0.5c2 = 0.75 f(c2) = 0.2776 ⊕ b3 = 0.75b2 = 1 f(b2) = 0.6321 ⊕

c3 = 0.625,

c4 = 0.5625,

c5 = 0.59375. ¤

Ejercicio 2 Consideramos la ecuación x− e−x = 0.

(a) Construye una representación gráfica con Maple y estima gráficamenteel valor de la raíz.

(b) Escribe un programa que permita aplicar el método de la bisección.Verifica el buen funcionamiento con el valor de las 5 iteraciones cal-culadas en el ejercicio anterior.

(c) Si partimos de intervalo [0, 1], ¿cuántas iteraciones nos hacen faltapara asegurar 7 decimales exactos?

(d) Usa el programa y el número de iteraciones calculado para aproximarla raíz con 7 decimales.


(e) Calcula el valor de la raíz con Maple, verifica el resultado del apartadoanterior.

(a) Valor estimado α ' 0.57. Puedes obtener el gráfico con la orden.£> plot(x-exp(-x),x=0..1);

(b) Un programa simple para aplicar el método de la bisección es el siguiente⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

> f:=x->x-exp(-x);a:=0; b:=1; n:=3;for i from 1 to n doc:=evalf((a+b)/2);fc:=f(c);if evalf(fc*f(a)) s:=fsolve(x-exp(-x)=0);

el resultado ess := 0.567143904.

Error|e25| = |α− c25| = 0.12× 10−8.

Vemos que, en efecto, el valor calculado c25 aproxima la solución con almenos 7 decimales exactos. ¤


Ejercicio 3 Consideramos la ecuación

lnx =1

x




(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.

(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resulta-do de las primeras iteraciones comparando con los valores calculadosmanualmente.

(f) Resuelve la ecuación con Maple.

(a) α ' 1.7

x 420-2-4

5

4

3

2

1

0

-1

(b) Existencia. Identificamos

f(x) =1

x− lnx,

f es continua en [1, 2], además

f(1) = 1 ⊕, f(2) = −0. 19 ª

por lo tanto, según el Teorema de Bolzano, existe una solución α ∈ (1, 2) .



f 0(x) =−1x2− 1x

que es negativa para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f es decreciente en elintervalo y la raíz es única.

(c) Exigimos

|en| =b− a2n

=1

2n≤ 0.5× 10−5,

n ≥ln¡2× 105

¢ln 2

= 17. 6096,


(d) El valor de las 4 primeras iteraciones es

c1 = 1.5,

c2 = 1.75,

c3 = 1.875,

c4 = 1.8125.

(e) c18 = 1.763225557.

(f) El valor obtenido con fsolve es α = 1.763222834, resulta el error absoluto

|e18| = |α− e18| = 0.2723× 10−5. 2

Ejercicio 4 Consideramos la ecuación lnx = e−x.




(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.

(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resulta-do de las primeras iteraciones comparando con los valores calculadosmanualmente.

(f) Resuelve la ecuación con Maple.


(a) Valor estimado de la solución α ' 1.3.

x 543210-1

5

4

3

2

1

0-1

-2

(b) Existencia. f(x) = lnx− e−x es continua en [1, 2], además

f(1) = −0.37 ª, f(2) = 0.55 ⊕,

por lo tanto, existe una solución α ∈ (1, 2) .Unicidad.

f 0(x) =1

x+ e−x

positiva para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f % en el intervalo y la raíz esúnica.

(c) El intervalo tiene longitud 1, el resultado es el mismo que en el ejercicioanterior, necesitamos n = 18 iteraciones.

(d) Iteraciones

c1 = 1.5,

c2 = 1.25,

c3 = 1.375,

c4 = 1.3125.

(e) c18 = 1.309803011(f) α = 1.309799586, |e18| = 0.3425× 10−5. 2

Ejercicio 5 Un proyectil de 2 gramos de masa ha sido lanzado vertical-mente al aire y está descendiendo a su velocidad terminal1. La velocidadterminal se puede escribir, después de evaluar todas las constantes, como

(0.002) (9.81) = 1.4× 10−5v1.5 + 1.15× 10−5 v2

donde v es la velocidad terminal en m/s. El primer término del lado derechorepresenta la fuerza de fricción y el segundo término representa la fuerza depresión.

1Shames, I. H., Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, 1982, pag. 417.


(a) Sabemos por una estimación grosera, que la velocidad terminal es v '30m/s. Estudia si los intervalos [20, 30], [30, 40] contienen una raíz.

(b) Verifica el resultado construyendo un gráfico con Maple.

(c) Determina el número de pasos que se necesitan para aproximar la so-lución con 2 decimales usando el método de la bisección.

(d) Calcula la aproximación con un programa, verifica manualmente elvalor de los dos primeros pasos.

(e) Calcula el valor de la velocidad terminal con Maple.

(a) La función

f(v) = 1.962× 10−2 − 1.4× 10−5v1.5 − 1.15× 10−5v2

es continua en todo R. Calculamos

f(20) = 0.01377, f(30) = 0.006 970, f(40) = −0.002 322,

aplicando el Teorema de Bolzano, tenemos una solución en el intervalo[30, 40].

(b) Si construimos un gráfico con Maple podemos estimar el valor α ' 37.7

x 403836343230

006

004

002

0

002

(c) Exigimos40− 302n

≤ 0.5× 10−2,

y resulta

n ≥ln¡20× 102

¢ln 2

= 10. 9658,


(d) c1 = 35, c2 = 37.5, c11 = 37.73926.

(d) Resultado con Maple v = 37.73458, |e11| = 0.00468. ¤


Ejercicio 6 El tamaño crítico de un reactor nuclear se determina resolvien-do una ecuación de criticalidad 2 Un ejemplo simple de este tipo de ecuacio-nes es

tan (0.1x) = 9.2 e−x.

La solución físicamente significativa es la menor raíz positiva. Se sabe, porexperiencia, que la raíz se encuentra en el intervalo [3, 4].

(a) Demuestra que, efectivamente, la ecuación tiene una raíz en [3, 4] yque tal raíz es única.

(b) Aproxima el valor de la raíz con 5 decimales usando el método de labisección.

(c) Verifica el resultado sustituyendo en la ecuación.

(d) Calcula el valor de la raíz con Maple.

(a) Existencia. El primer punto positivo en el que tan(t) es discontinua est1 = π/2. Si x ∈ [3, 4], entonces 0.1x ∈ [0.3, 0, 4], por lo tanto, la función

f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x

es continua en [3, 4]. Además

f(3) = −0. 1487f(4) = 0. 2543

¾T. Bolzano=⇒ Existe un α ∈ (3, 4) tal que f(α) = 0.


f 0(x) =0.1

cos2 (0.1x)+ 9.2e−x.

Como f 0(x) > 0 en (3, 4), tenemos f % y la raíz es única.(b) El intervalo es de longitud 1, hemos visto en el Ejercicio 3, que paraobtener 5 decimales exactos con el método de la bisección con un intervaloinicial de longitud 1 necesitamos 18 intervalos. El resultado de la iteración18 es c18 = 3.292926791, por lo tanto la solución es

α = 3.29293.

(c) Sustituyendo en la ecuación obtenemos

f(c18) = f(3.29293) = 0.2 442× 10−5.

Sin embargo, esto no nos asegura nada acerca de la proximidad de c18 a laraíz (¿por qué?)

(d) Resultado obtenido en Maple con fsolve α = 3.292924615, |e18| =0.2176× 10−5 ¤

2Lamarsh, J. R., Introduction to Nuclear Reactor Theory, Addison-Wesley, 1966.


Ejercicio 7 Consideramos la ecuación x = e−x.

(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución α próxima a x0 = 0.5.

(b) Aproxima el valor de la solución con 8 decimales mediante el método deNewton-Raphson, usando como criterio de parada el error estimado.

(c) Demuestra que la solución obtenida es correcta.

(a) A partir del gráfico obtenemos la estimación inicial α ' 0.5.

x 3210-1

4

3

2

1

0

-1

(b) Método de Newton-Raphson.

f(x) = x− e−x,

f 0(x) = 1 + e−x,

Método

⎧⎨⎩ x0 = 0.5,xj+1 = xj − xj − e−xj1 + e−xj

.

Detenemos las iteraciones cuando los 8 primeros decimales quedan fijos

x0 = 0. 5,x1 = 0. 56631 1003,x2 = 0. 56714 3165,x3 = 0. 56714 3290,x4 = 0. 56714 3290.

En principio, el resultado es

ᾱ = 0. 56714 329,


aunque no tenemos garantizado que el resultado sea correcto, puesto quehemos detenido las iteraciones usando el error estimado.(c) Error máximo admisible ² = 0.5× 10−8,

a = ᾱ− ² = 0.567143285, b = ᾱ+ ² = 0.567143295,

f(a) = −8. 478× 10−9, f(b) = 7. 194× 10−9.Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar

|α− ᾱ| < 0.5× 10−8

y por lo tanto, la aproximación calculada ᾱ tiene (al menos) 8 decimalesexactos. ¤

Ejercicio 8 Resuelve la ecuación de criticalidad

tan (0.1x) = 9.2 e−x

usando el método de Newton-Raphson y el valor inicial x0 = 3.5. Calcula lasolución con 5 decimales exactos.

Escribimos la ecuación en forma norma f(x) = 0 e identificamos f(x).

f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x,

f 0(x) =0.1

cos2 (0.1x)+ 9.2e−x,

Método

⎧⎪⎨⎪⎩x0 = 3.5,

xj+1 = xj −tan (0.1xj)− 9.2 e−xj

0.1cos2(0.1xj)

+ 9.2e−xj.

Detenemos las iteraciones cuando los 5 primeros decimales quedan fijos

x0 = 3. 5,x1 = 3. 27703 008,x2 = 3. 29283 161,x3 = 3. 29292 461,x4 = 3. 29292 461.

Solución aproximada.ᾱ = 3.29292

Verificamos el resultado; error máximo admisible ² = 0.5× 10−5,

a = ᾱ− ² = 3.292915, b = ᾱ+ ² = 3.292925

f(a) = −4. 35953 4× 10−6, f(b) = 1. 74609× 10−7.Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar

|α− ᾱ| < 0.5× 10−5. ¤


Ejercicio 9 Resuelve la ecuación

(0.002) (9.81) = 1.4× 10−5v1.5 + 1.15× 10−5 v2

usando el método de Newton-Raphson a partir del valor inicial v0 = 30m/s.Calcula la solución con 3 decimales exactos.

Valores de las iteraciones

v0 = 30,v1 = 38.657611,v2 = 37.744895,v3 = 37.734579,v4 = 37.734578.

Valor de la velocidadv̄ = 37.735.

Error máximo ² = 0.5× 10−3

a = v̄ − ² = 37.7545, f(a) = 0.77× 10−7,b = v̄ + ² = 37.7355, f(b) = −0.919× 10−6,

¾cambio de signo.

Podemos asegurar que

|v − v̄| ≤ 0.5× 10−3. ¤

Ejercicio 10 Aproxima el valor de√41 con 6 decimales exactos usando el

método de Newton-Raphson.

Formulamos el problema como sigue

x =√41⇐⇒ x2 − 41 = 0.

Tomamos la función

f(x) = x2 − 41,f 0(x) = 2x.

Método de Newton-Raphson. Tomamos 6.5 como valor inicial⎧⎨⎩x0 = 6.5,

xj+1 = xj −x2j − 412xj

.


Iteracionesx0 = 6.5,x1 = 6.4038462,x2 = 6.4031243,x3 = 6.4031242.

Valor aproximado con 6 decimales

ᾱ = 6.403124.

Verificamos la solución. Error máximo ² = 0.5× 10−6

a = ᾱ− ² = 6.4031235, f(a) = −0.49× 10−5,a = ᾱ− ² = 6.4031245, f(b) = 0.34× 10−5,

¾cambio de signo.

Podemos asegurar que

|α− ᾱ| ≤ 0.5× 10−6. ¤

Ejercicio 11 Aproxima el valor de 5√23 con 6 decimales exactos usando el

método de Newton-Raphson.

Formulamosx =

5√23⇐⇒ x5 − 23 = 0,

Tomamos la función

f(x) = x5 − 23,f 0(x) = 5x4.

Valor inicial25 = 3215 = 1

¾⇒ x0 = 1.5.

Método ⎧⎨⎩x0 = 1.5,

xj+1 = xj −x51 − 234x4j

.

Iteracionesx0 = 1.5,x1 = 2.10864198,x2 = 1.91958682,x3 = 1.87445650,x4 = 1.87217680,x5 = 1.87217123,x6 = 1.87217123.

Valor aproximado con 6 decimales

ᾱ = 1.872171. ¤


Ejercicio 12 Dado un número c, podemos calcular su inverso x = 1/c re-solviendo la ecuación

1

x− c = 0.

(a) Comprueba que si aplicamos el método de Newton-Raphson, podemoscalcular inversos sin hacer divisiones.

(b) Calcula el valor de 1/9, 1/45, 1/678. Observa que los valores inicialesdeben estar próximos a la solución para que el método converja.

(a) Formulamos

x =1

c⇐⇒ 1

x− c = 0.

Tomamosf(x) =

1

x− c,

f 0(x) =−1x2.

Método ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x0 = aproximación inicial,

xj+1 = xj −

1

xi− cÃ− 1x2j

! = 2xj −Cx2j .½x0 = aproximación inicial,xj+1 = 2xj − Cx2j .

(b) Para α =1

9, tomaos el valor inicial x0 = 0.1

Iteracionesx0 = 0.1,x1 = 0.11,x2 = 0.1111,x3 = 0.11111111,x4 = 0.1111111.

1

9= 0.111111.

Para α =1

45, tomamos el valor inicial x0 = 0.01, resulta

x4 = x5 = 0.02222222.


1

45= 0.022222.

Para α =1

678, tomamos el valor inicial x0 = 0.001, resulta

x5 = x6 = 0.00147493.

ᾱ = 0.001475. ¤

Ejercicio 13 Consideramos la ecuación x = cos(x).

(a) Demuestra que la formulación

x =x+ cos(x)

2

es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijopara todo valor inicial x0 en el intervalo [0, 1].

(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimalesexactos.

(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.

(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica elresultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenidoen el apartado anterior.

(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.

En primer lugar, observamos que

x = cos(x)⇐⇒ x = x+ cos(x)2

pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a amboslados y despejando x.(a) Identificamos

g(x) =x+ cos(x)

2,

veamos que g(x) cumple las condiciones del teorema de punto fijo.

• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, porlo tanto, es de clase C1[0, 1].


• (Condición 2) Sean

m = minx∈[0,1]

g(x), M = maxx∈[0,1]

g(x),

si x ∈ [0, 1], entonces g(x) ∈ [m,M ]. Debemos resolver un problema deextremos absolutos de una función continua sobre un intervalo cerrado.Calculamos la derivada

g0(x) =1− sin(x)

2,

se cumple g0(x) > 0, en todo [0, 1], por lo tanto g % en [0, 1] y

m = minx∈[0,1]

g(x) = g(0) = 0. 5, M = maxx∈[0,1]

g(x) = g(1) = 0. 77015 1,

por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en

[0.5, 0. 77015 1] ⊂ [0, 1].

• (Condición 3) Hemos de calcular

M1 = maxx∈[0,1]

¯̄g0(x)

¯̄.

La función objetivo es

h(x) =

¯̄̄̄1− sin(x)

2

¯̄̄̄=1− sin(x)

2, cuando x ∈ (0, 1).

Calculamos

h0(x) = −cos(x)2

,

como h0(x) < 0 en [0, 1], resulta h(x)&, por lo tanto

M1 = maxx∈[0,1]

¯̄g0(x)

¯̄= h(0) = 0.5.

Se cumple M1 < 1. En consecuencia, podemos asegurar que existe unúnico punto fijo en el intervalo [0, 1] y que la iteración de punto fijoconverge a él para todo valor inicial x0 ∈ (0, 1) .

(b) El error cumple

|ej | = |α− xj | ≤ (0. 5)j (1− 0) = (0. 5)j ,

exigimos(0. 5)j ≤ 0.5× 10−5


y resolvemos en j, resulta

j ≥ln¡0.5× 10−5

¢ln (0. 5)

= 17. 6096,

necesitamos j = 18 iteraciones.(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es

j xj0 0.5,1 0. 68879128,2 0. 73040306,3 0. 73765431,4 0. 73885125,5 0. 73904696.

(d) El siguiente programa Maple permite calcular las iteraciones⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

> g:=x->(x+cos(x))/2;x0:=0.5;n:=17;for i from 0 to n dox.(i+1):=evalf(g(x.i));od;

Obtenemosx18 = 0.73908513.

(e) Valor obtenido con fsolve

α = 0.73908513. ¤

Ejercicio 14 Consideramos la ecuación x = e−x.

(a) Demuestra que la formulación

x =x+ e−x

2

es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijopara todo valor inicial x0 en el intervalo [0.5, 1].

(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimalesexactos.

(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.


(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica elresultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenidoen el apartado anterior.

(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.

En primer lugar, observamos que

x = e−x ⇐⇒ x = x+ e−x

2

pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a amboslados y despejando x.(a) Veamos que la función

g(x) =x+ e−x

2

cumple las condiciones del teorema de punto fijo.

• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, porlo tanto, es de clase C1[0, 0.5].

• (Condición 2) Sean

m = minx∈[0,1]

g(x), M = maxx∈[0,1]

g(x),

calculamos

g0(x) =1− e−x2

estudiamos si g0(x) se anula

g0(x) = 0⇐⇒ 1− e−x = 0⇐⇒ e−x = 1⇐⇒ x = 0.

Vemos que la derivada tiene un único cero que está fuera del intervalo[0.5, 1], por lo tanto, g0 es de signo constante en el intervalo. Como

g0(1) =1− e−12

= 0. 31606,

se cumple g0(x) > 0 en todo [0.5, 1], en consecuencia g es creciente en[0.5, 1] y

m = minx∈[0,1]

g(x) = g(0.5) = 0. 55326 5, M = maxx∈[0,1]

g(x) = g(1) = 0. 68394,

por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en

[0. 55326 5, 0. 68394] ⊂ [0.5, 1].


• (Condición 3) Hemos de calcular

M1 = maxx∈[0,1]

¯̄g0(x)

¯̄,

la función objetivo es

h(x) =

¯̄̄̄1− e−x2

¯̄̄̄g0(x) positiva en [0.5,1]

=⇒ h(x) = 1− e−x

2.

Calculamos

h0(x) =e−x

2,

como h0(x) > 0 en [0.5, 1], resulta que h es creciente en el intervalo ypor lo tanto

M1 = maxx∈[0,1]

¯̄g0(x)

¯̄= h(1) = 0. 31606.

En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en elintervalo [0.5, 1] y que la iteración de punto fijo xj+1 = g(xj) converge a élpara todo valor inicial x0 ∈ (0.5, 1) .(b) El error cumple

|ej | = |α− xj | ≤ (0. 31606)j (0.5− 0) = (0. 31606)j (0.5) ,

exigimos(0. 31606)j (0.5) ≤ 0.5× 10−5

y resolvemos en j, resulta

j ≥ln¡10−5

¢ln (0. 31606)

= 9. 99539,

necesitamos j = 10 iteraciones.(c) Tomamos como valor inicial x0 = 0.75, el valor de las primeras 5 itera-ciones es

j xj0 0.75,1 0. 61118328,2 0. 57694580,3 0. 56927841,4 0. 56760603,5 0. 56724347.


(d) Programa Maple. Es análogo al del problema anterior, ajustando ladefinición de la función g(x), el valor inicial y el número de iteraciones⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

> g:=x->(x+exp(-x))/2;x0:=0.75;n:=9;for i from 0 to n dox.(i+1):=evalf(g(x.i));od;

Obtenemosx10 = 0.56714334.

La solución esᾱ = 0.56714.

(e) Valor obtenido con fsolve

α = 0.5671432904. ¤


tan (0.1x) = 9.2 e−x

con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo

x = x− λf(x),

toma como intervalo inicial [3, 4].

Escribimos la ecuación en forma normal f(x) = 0 e identificamos

f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x.

Calculamosf(3) = −0. 14870 5, f(4) = 0. 25428 9,

por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (3, 4). Esti-mamos el valor de f 0(α)

f 0(α) ' f(4)− f(3)2− 1 = 0. 40299 4

y calculamos λ

λ =1

f 0(α)' 10. 40299 4

= 2. 48143.

La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,


½x0 = 3.5,xj+1 = xj − 2. 48143 (tan(0.1xj)− 9.2e−xj ) .

A partir del valor inicial x0 = 3.3, obtenemos

j xj0 3. 5,1 3. 28358 81,2 3. 29412 90,3 3. 29277 45,4 3. 29294 34,5 3. 29292 23,6 3. 29292 49,7 3. 29292 46,8 3. 29292 46.

Podemos tomarα = 3.292925. ¤


x = cos(x)

con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo

x = x− λf(x),

toma como intervalo inicial [0, 1].

Escribimos la ecuación en la forma f(x) = 0 con

f(x) = x− cos(x).

Calculamosf(0) = −1, f(1) = 0. 45970,

por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (0, 1). Esti-mamos el valor de f 0(α)

f 0(α) ' f(1)− f(0)1− 0 = 1. 45970

y calculamos λ

λ =1

f 0(α)' 11. 45970

= 0. 6851.


La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,½x0 = 0.5,xj+1 = xj − 0.6851 (xj − cos (xj)) .

Obtenemosj xj0 0.5,1 0. 75868181,2 0. 73611578,3 0. 73951818,4 0. 73902160,5 0. 73909444,6 0. 73908377,7 0. 73908 533,8 0. 73908 510, |ē7| = 0.23× 10−6.

Podemos tomarα = 0.739085. ¤

Ejercicio 17 Calcula√55 con 6 decimales exactos usando una formulación

de punto fijo del tipox = x− λf(x),

determina un intervalo inicial adecuado.

Formulamosx =√55⇐⇒ x2 = 55.

Escribimos la ecuación en la forma f(x) = 0 con

f(x) = x2 − 55.

Calculamos

f(7) = −6f(8) = 9

¾T. Bolzano=⇒ solución α ∈ (7, 8) .

Estimamos

f 0(α) ' f(8)− f(7)8− 7 = 15

y calculamos λ

λ =1

f 0(α)' 115= 0.066667.

La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,(x0 = 7.5,

xj+1 = xj − 0.066667³x2j − 55

´.


Obtenemosj xj0 7.5,1 7. 41666 6250,2 7. 41620 3697,3 7. 41619 8545,4 7. 41619 8488, |ē4| = 0.57× 10−7.

Podemos tomarα = 7.416198 ¤

Ejercicio 18 El coeficiente de fricción f para el flujo turbulento en un tuboestá dado por3

1√f= 1.14− 2.0 log10

µe

D+

9.35

Re√f

¶donde Re es el número de Reynolds, e es la rugosidad de la superficie deltubo y D es el diámetro del tubo. Determina el valor de f para los datos

(a) D = 0.1m, e = 0.0025, Re = 3× 104.(b) D = 0.1m, e = 0.0001, Re = 3× 106.

Indicación: El orden de magnitud de f es 10−2; además es mejor reescribirla ecuación en la forma

f =

∙1.14− 2.0 log10

µe

D+

9.35

Re√f

¶¸−2

Ver resolución con Maple.(a) f = 0.054114.(b) f = 0.019721.

3Correlación de Colebrook

e.t.s. minas: métodos matemáticos soluciones tema 3...

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