Etude des canaux de Rayleigh et des canaux slectifs Diversit de Transmission Master en Science de lingnieur Electronique et Systmes de Communication ESCO Vallet RobertDpartement COMELECENST 46 rue Barrault 75634 Paris Cedex 13 Email : vallet@com.enst.frTl. 33 1 45 81 76 33 Fax 33 1 45 89 00 20 R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs119/10/04 R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs219/10/04 Table des Matires LES CANAUX DE TRANSMISSION SLECTIFS ....................................................... 1 Introduction.............................................................................................................. 1 Les diffrents canaux de transmission.....................................................................1 Les canaux stationnaires ...................................................................... 2 Les canaux non stationnaires ............................................................... 2 Performances sur un canal bruit additif blanc gaussien .................................................3 Performances des modulations binaires...................................................................3 Transmission dans un canal de Rayleigh ..........................................................................6 Equivalent en bande de base.................................................................................... 6 Le canal de transmission radiolectrique lmentaire ou rayon..............................6 Dfinition d'un canal de Rayleigh............................................................................ 6 La probabilit derreur sur un canal de Rayleigh ....................................................8 Loi du module du gain instantan......................................................... 8 Loi du rapport signal sur bruit instantan............................................ 9 Performance dune modulation MDP2 dans un canal de Rayleigh ... 10 Conclusions......................................................................................... 11 Techniques de Diversit.................................................................................................. 12 Notions de diversit ............................................................................................... 12 Diversit de transmission.......................................................................................12 Le dtecteur optimalcohrent ........................................................... 12 Probabilit derreur............................................................................ 13 Probabilit de non-fonctionnement (Poutage en anglais US) ............ 14 Codage sur les canaux vanouissements............................................................. 15 Dcodage entre pondre .............................................................. 15 ProbabilitderreurdansuncanaldeRayleighgains indpendants............................................................................................ 16 Diversit de rception ............................................................................................17 Elments de propagation radio-mobiles.......................................................................... 19 Introduction............................................................................................................ 19 Affaiblissement en fonction de la distance.......................................... 19 Effets de Masque : Loi Lognormale 4 1dBdB dB 2 < < ...................... 20 Les canaux de transmission dispersifs non stationnaires. ............................................... 22 Prsentation simplifie...........................................................................................22 Le canal de Rummler .......................................................................... 22 Spectre Doppler .................................................................................. 23 Prsentation gnrale des canaux de transmission linaires non stationnaires......24 R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs119/10/04 Rponse impulsionnelle instantane................................................... 24 Mesure de la rponse impulsionnelle instantane.............................. 24 Fonction de transfert instantane d'un filtre non-stationnaire........... 25 Fonction de corrlation en temps et en frquence.............................. 25 Variations frquentielles, dure d'talement, bande de cohrence .... 26 Variations temporelles, Etalement ou frquenceDoppler, dure de stationnarit............................................................................................. 28 Fonction d'talement du canal, (Scattering Function) ....................... 28 Exemple : Le canal de Transmission GSM.....................................................................31 Modles de canaux COST 207 .............................................................................. 31 Conclusion .............................................................................................................33 Annexes...........................................................................................................................34 Annexe 1................................................................................................................34 Loi du rapport S/B avec une diversit d'ordre L. ............................... 34 Annexe 2 : ..............................................................................................................34 Calcul des performances d'une transmission avec diversit .............. 34 Annexe3.................................................................................................................35 Calcul direct du spectre Doppler........................................................ 35 Rfrences..............................................................................................................36 R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs219/10/04 LES CANAUX DE TRANSMISSION SLECTIFS Introduction Nousassistonsundveloppementtrsrapidedescommunicationsmobiles.Le dveloppementdelatechnologieetloptimisationdesalgorithmesdetraitementde l'information permettent de raliser des mobiles de taille rduite. (Poids < 100 g). Un mobile doitpouvoirresterdanslapochedunvtementsansladformer.Lutilisateurestprt payerpourunservicesimpleutiliser,fiableentoutescirconstancesetentoutlieu:A lintrieurd'unimmeuble,d'unbureau,dansunappartement,dansunevoitureoudansune maison de campagne.Lecanaldetransmissionaunrleombilical.Desesperformancesrsulterontlaqualitde service, la couverture et aussi le nombre dutilisateurs simultans, donc les revenus pour les oprateurs.La puissance du signal reu par un mobile dpend de la puissance mise par la station de base correspondante,delaffaiblissementdladistancedepropagation,delaffaiblissement provoqupardesmasquesprsentssurletrajetradiolectriqueetdelarecombinaisondes diffrentes ondes radiolectriques qui se propagent de lmetteur vers le rcepteur. Tous ces paramtresvontvoluertrsrapidementaucoursdutempscausedudplacementdu mobile.Lalargeurdelabandedefrquenceallouepourraliserlensembledescommunications mobilesestsommetoutetrsfaible.Lensembledes2oprateursdusystmeGSM900 dispose de 25 MHz dans chaque sens de transmission pour plus de 15 millions dutilisateurs.Dansunepremirepartie,onprsentelescaractristiquesduncanaldetransmissionde Rayleigh et les performances obtenues lorsque lon utilise une modulation numrique binaire antipodale (MDP2, MDP4).Dansunedeuximepartie,onmontrequelesdiffrentesmthodesdediversitde transmission,derceptionetdecodagesontdesmoyenstrsefficacespourtransmettresur un canal de Rayleigh gains indpendants. Dans la troisime partie, on sintresse aux canaux slectifs stationnaires et non stationnaires. On montre pour quellesmodulations numriques ces canaux peuvent tre considrs comme des canaux deRayleigh gains indpendants.Dansunequatrimepartie,onprsentelescaractristiquesducanalradiomobileetdes paramtres de la liaison radio du systme de communications mobiles GSM. Les diffrents canaux de transmission Les canaux de transmissions peuvent tres classs en deux groupes Les canaux stationnaires dont les paramtres sont fixes au cours du temps : fibres optiques, cbles mtalliques...R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs1/4019/10/04 Lescanauxnonstationnairesdontlesparamtresvoluentaucoursdutemps:les communications avec les mobiles, communications sans fils wireless. Les canaux stationnairesParmi les canaux stationnaires, le plus utilis, celui sur lequel l'valuation des performances dessystmesdecommunicationsestaussilaplussimpleestlecanalAGB(bruitAdditif Gaussien Blanc ) ou AWGN (Average White Gaussian Noise). Ce canal de transmission est rencontrdanslestransmissionsparfaisceauxhertziensfaibledbitoudanslesliaisons entredessatellitesoudessondesspatialesetdesstationsterriennes,cestlensembledes transmissionsradiolectriquesenespacelibre.L'EllipsodedeFresnelestdgagdetout obstacle.L'ellipsodedeFresnelestdfinipar l'ensemble des points tel que la diffrence de longueurentreletrajetdirectetletrajetrflchisurlepointconsidrestd'unedemi-longueurd'onde.Lesdeuxsignauxcorrespondantatteignentl'antennederceptionen opposition de phase, s'ils ont la mme amplitude, le signal compos de leur somme (fonction normaled'uneantenne)estnul.Soitdladistancemetteurrcepteur,legrandaxede l'ellipsode, le petit axe a pour demi-longueur h d = . Il est bien vident que cet ellipsode n'estpasdgagdansledomainedescommunicationsradiomobiles.Dansles communicationsparfaisceauxHertziensetsatellitesterre,cecincessitelaconstruction d'infrastructures un peu trop voyantes et contraignantes pour l'utilisateur.LescanauxslectifscomportentunfiltrelinaireetunbruitAWGN.Cecireprsente beaucoup de systmes de transmission sur cbles mtalliques ou sur fibres optiques. Les canaux non stationnairesLescanauxdeRayleigholegaincomplexeducanalestunprocessusalatoiregaussien complexe, par exemple les communications radio mobiles faible dbit. Les canaux slectifs nonstationnaires,quicomportentunensemblediscretoucontinudecanauxdeRayleigh associsdestempsdepropagationdiffrents.Ilspeuventtrereprsentsparunfiltre linaire non stationnaire, par exemple les communications radio mobiles haut dbit. Classification de canaux de transmission Canaux de transmission Non slectifsSlectifs Stationnaires SignalBruit blanc gaussienN02Signal+bruitD.S.P.Filtre linaireSignalBruit blanc gaussienN02Signal filtr +bruitD.S.P.Hf ( ) Non stationnairesSignalBruit blanc gaussienN02Signal+bruitD.S.P.Processus gaussiencomplexe Filtre linaire non stationnaireSignalBruit blanc gaussienN02Signal filtr +bruitD.S.P.Hf ;t ( )R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs2/4019/10/04 Performances sur un canal bruit additif blanc gaussien CepetitrappelsurlesmodulationslinairestransmisessuruncanalAGBestrservaux nophytes ou ceux qui ont encore quelques doutes. Performances des modulations binaires LesmodulationsdAmplitudeenQuadratures(MAQ)sontdesmodulationslinaires reprsentes par la relation. (I.1)() ( )kks t dg t kT+== Olessymbolesd appartiennentuneconstellation,ouensembledeMpointsdaffixes complexes,engnralunsous-ensembledurseauZ2.Lafonctiondemiseenforme spectraleestunefonctionenracinedeNyquistcestdirequesatransformede FourrierG fsatisfait la condition.k() g t( ) 2constantennG fT+=| | = |\ .(I.2) Leschmadeprinciped'unemodulationMAQestreprsentsurlafigureI-1,celuidu rcepteurassociunemodulationMAQtransmisesuruncanalAGBsurlafigureI-2.Le schma de principe correspondant l'ensemble modulation et dmodulation, en quivalent en bande de base, est reprsent sur la figure I-3.Danscedocument,nousnenousintresseronsquauxcanauxdetransmissionslinaires, donc nous utiliserons toujours la reprsentation en quivalent en bande de base des signaux et des filtres linaires. Cette reprsentation est sans doute acquise et parfaitement matrise.Nous utiliserons la reprsentation suivante du signal rel bande troite() () ()02 cos2 2 sin2r p qs t s t f t s t f t = 0(I.3) et de son quivalent en bande de base () () ()p qs t s t js t = +(I.4) Qui possde l'intrt de conserver la norme des signaux, donc la puissance et l'nergie. La modulation de phase deux tats MDP2 est un cas particulier d'une modulation linaire gnrale MAQ, o les valeurs des symboles sont relles et antipodales { },n bd E bE . Le dtecteurcohrentestcomposd'undmodulateurcohrent,d'unfiltreadaptderponse impulsionnelle() ( )rg t g t = ,d'unchantillonneuretd'uncomparateurseuils.Siles filtresd'missionetderceptionsontnorms,lesignall'entredel'chantillonneurest dfini par n ny d bn= +(I.5) O le bruit { } est complexe blanc gaussien de variance et est l'nergie par lment binaire du signal rel passe bande transmis. La distance Euclidienne dentre les signaux rels est dfinie par nb0NbER. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs3/4019/10/04

s t ( )Signal rel passe bandest ( ) = sp t ( ) + jsqt ( )Equivalent en bande de basesp t ( )sqt ( )+-ep t ( ) = dpkk=t kT ( )eqt ( ) = dqkk= t kT ( )gt ( )gt ( )2 cos2f0t2 sin 2f0t Figure I-1 Schma de principe d'un modulateur sur frquence porteuse Passebasst ()= sp t ( ) + jsq t ( )Equivalent en bande de bases t ( )Signal rel passe bandes t ( )Passebassp t ( )sq t ( )Re grt () { }Re gr t ( ) { }Im gr t () { }Im gr t () { }++-+t0 + nTt0 +nT d qn d pnFiltre derception2 cos2f0t 2 sin 2f0t Figure I-2 Schma de principe d'un dmodulateur sur frquence porteuse t0 + nT d qns t () = sp t ( ) + jsq t ( )Equivalent en bande de baseBruit quivalenten bande de basee t ( ) = dkk = t kT ( )gr t () g t ()Filtred'missionFiltre derception Figure I-3Schma de principe, en quivalent en bande de base d'une transmission sur frquence porteuse() ()( ) ( )()( )2 22 2_4b b b bd Eg t Eg t g t dt E E= = +bE = (I.6) Soit 2bd = E(I.7) AprstransmissiondansuncanalAGB,lesperformancesdunemodulationbinairesont dfinies partir de la distance entre les signaux discriminer par : 202edP QN| |=

\ .||(I.8) OQxest la fonction de Marcum( )( )2212uxQx due=(I.9) Ou partir de la fonction erfc(.)( )12 2xQx erfc|=

\ .||(I.10) Pourunemodulationbinairevaleursantipodales,onutiliselesrelations(2)et(3)pour obtenir la relation de rfrencede la probabilit d'erreur par bit.R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs4/4019/10/04 02beEP QN= (I.11) Elle ne dpend que de l'nergie par bit et de la densit spectrale du bruit additif.0/ 2 NPerformances des modulations binaires antipodales. Lesperformancesdecettemodulationreprsententlarfrenceencommunications numriques.Deuxchiffres,dontonpeutsesouvenir:7,8%derreursOdBet10-59,6 dB. Un majorant usuel, souvent utilis pour obtenir un majorant de la probabilit derreur des codes correcteurs derreurs 0 5 10 1510-1010-810-610-410-2100Modulations Binaire antipodale TEB dans un canal bruit additif blanc gaussienEb/N0 en dBTEBModulation binaire antipodale( )2212xQxe (I.12) Notons que( )( )( )2012n bnVar y ENE y= (I.13)

R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs5/4019/10/04 Transmission dans un canal de Rayleigh Equivalent en bande de baseLes signaux transmis sur un canal radiolectrique sont toujours bande troite, de largeur de bandecB , petite devant la valeur de la frquence porteuse 0f , donc 0 cf B >> .Soit() s tle signal rel mis() () () ()020Re 2 2 cos 2j f ts ss t t t f t te (= =s +( (I.14) O() ()()sj ts st te =est l'enveloppe complexe ou l'quivalent en bande de base associ au signalbandetroitepourlafrquenceporteuse() s t0f .()st et()st sont respectivement l'enveloppe et la phase instantane du signal() s t .On peut aussi utiliser la reprsentation en phase et en quadrature () () () ( ) () ( )020 0Re 2 2 cos 2 2 sin 2j f ts p qs t t s t f t s t f te (= = (I.15) avec() () ()qt s t js t = +s pLe canal de transmission radiolectrique lmentaire ou rayon Uncanaldetransmissionlmentaireestcaractrisparungain,unephaseassocieaux coefficientsderflexion,untempsdepropagationrelilalongueurdurayonconsidr lc = et la vitesse de propagation proche de celle de la lumire. Soit lexpression du signal rel bande troite reu() ( ) ( ) ( )02 cos 2sr t t f t ts = + +( (I.16) et de son quivalent en bande de base() ( ) ( )0exp 2s sr t t j f t = + +( Soit() ( )02.j fsr t te = (I.17) La rotation de phase est produite par les coefficients de rflexions mais surtout par le produit 02 f tempsdepropagation*frquenceporteuse.Unallongementdelalongueurdurayon d'unedemi-longueurd'onde,produituntempsdepropagationsupplmentaire 2C = , donc une rotation de phase de 0 02 22f f rCds = = = .Exemple GSM : f0 =900 MHz -> =30 cm. Dfinition d'un canal de Rayleigh Si le signal mis est une modulation numrique MDP2, le signal reu par un trajet physique m , de gain, lentement variable, et de temps de propagation()mt mfixe, pour simplifier, a R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs6/4019/10/04 pour expression r t () () ( )02mj fm m k mkt dg t kTe +== (I.18) UncanaldeRayleighpeuttrereprsentparuncanalcomposdungrandnombrede canauxindpendants,detempsdepropagationquasimentidentiquesetdeladditiondun bruit additif blanc gaussien. Le signal reu a pour expression() () () ( ) | | ()01 1exp 2M Mm m k m mm m kr t r t t dg t kT j f bt += = == = + () ++)mOn permute les signes sommes () () | | ( )01exp 2Mk m m mk mr t d t j f g t kT bt += == soit () ( ) () ;kkr t d ht t kT bt+== Dans le cas gnral, la fonction( ) () | | (01; exp 2Mm mmht u t j f g u == mne satisfait plus le critre de Nyquist, le rcepteur doit contenir un galiseur adaptatif. Mais, si on considre que les diffrents temps de propagationsont quasiment identiques par rapport la dure dunsymboledinformation m , mT > , on a alors la double ingalit 001mT Tf = Pout =30% et pour L=4 => Pout =10-3. Codage sur les canaux vanouissements On value les performances des codes en bloc pour un dcodeur entre pondre et pour un dcodeurentrenonpondre.Lesperformancesobtenuessonttrsdiffrentes,elles justifient l'emploi de dcodeurs entre pondre malgr leur plus grande complexit.Dcodage entre pondre On considre des codes en bloc ( , : min, ) n kdTaux de codage =ckRn= (II.8) et est la distance minimale du code, cest dire le nombre de symboles cods diffrents minimum entre deux mots quelconques du code. mindLes symboles sont transmis laide dune modulation binaire antipodale.On suppose que les symboles dun mot de code sont transmis sur un canal de Rayleigh avec desgainsindpendants.Onpeutseramenerauproblmeprcdentdelatransmissionen diversit.Oncherchedterminerlaprobabilitderreurentredeuxmotsducodela distance minimale.On peut considrer le schma de transmission parallle prcdent avec n branches, lentre de chaque branche est le symbole associ de lun des k mots du code en bloc utilis. Recherche du rcepteur optimalAvec les mmes notations vectorielles, cette fois ci en dimension ndes gains, du bruit et des observations, on introduit le vecteur de donnes { }1 2, ,......,Tnd d = d d . Lercepteuroptimal,selonlemaximumdeVraisemblance,recherchelemotdecode { } 1 2 , ,......,Tnd d d = d telquelanorme 22cE z d c o seraminimale,parrapport lensemble des mots du code, o est le vecteur produit composante par composante. La modulation est binaire et antipodale, donc la dtection peut se mettre sous la forme d c o ( ){ }ReT MaxCode z c ddo .(II.9) R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs15/4019/10/04 Prenonsunexempletrssimple,lecode(7,3,4)dfini,defaonexhaustive,parlalistedes mots du code et des bits dinformation correspondants et la troisime colonne reprsente les symboles transmis sur les n branches du canal de transmission avec3 / 7c bE E =. Bits dinformationMots de codeSignal mis0000000000 cE (-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1) 0010011101 cE (-1,-1,1,1,1,-1,1) 0100100111 cE (-1,1,-1,-1,1,1,1) 0110111010 cE (-1,1,1,1,-1,1,-1) 1001001110 cE (1,-1,-1,1,1,1,-1) 1011010011 cE (1,-1,1,-1,-1,1,1) 1101101001 cE (1,1,-1,1,-1,-1,1) 1111110100 cE (1,1,1,-1,1,-1,-1) On note que tous les mots sont la mme distance de Hamming les uns des autres, donc les signauxassocissontlammedistanceEuclidienne.Laissonsaulecteurlesoinde dterminer la figure gomtrique correspondante, ce qui est en dehors de notre propos. Probabilit derreur dans un canal de Rayleigh gains indpendantsDcodeur entre pondre Lesmodulesdesgainsdesncanauxsontdesv.a.IIDdeRayleigh.Supposonsquelon cherche dcider entre les mots de code 0000000 et0111010 soit entre les signaux transmiscE (-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)et cE (-1,-1,1,1,1,-1,1).Le critre de dtection ML a pour expression ( ) ( ) { } ( ) { }Re 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 . ' Re ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1). z c z c>< + + + + o oSeules les composantes 3, 4, 5 et 7 sont diffrentes. Ce critre se rduit Bruit blanc gaussien complexeProcessus gaussiencomplexeSommateurc1c1c2c2b1b2var iance 2N0Filtre adaptDtecteur seuilCanalEmetteurRcepteurz1z2ydd1Ecd2EcdnEccnbn cnMot de codezn Rcepteur associ un code en blocs k/n.R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs16/4019/10/04 ( )3 3 4 4 5 5 7 7Re 0 z c z c z c z c> . On obtient une diversit d'ordre 4.Ledegrdediversitquivalentduncodecorrecteurderreursestdfiniparsadistance minimale. L'influence du codage est beaucoup plus importante sur un canal de Rayleigh que sur un canal AGB. Diversit de rception Onutiliseplusieursantennesderceptionsuffisammentespaces,deplusieurslongueurs d'onde, de telle sorte que les signaux provenant des diffrentes antennes aient t transmis sur des canaux statistiquement indpendants. Le rapport signal sur bruit par antenne de rception resteinchangdoncL'=1et c = .Sil'onraliseunrcepteurcombinaisondessignaux optimale,lecoefficientdediversitestgalaunombred'antennes.Lesperformancessont obtenues en utilisant la relation( )1101 1Pr2 2L kLkL kkC += +| | |=| \ . \||. Cette relation est reprsente sur le graphique suivant. 0 5 10 15 2010-510-410-310-210-1100TEB dans un canal de Rayleigh avec une diversitde r ceptionEb/N0 en dBTEBL=1L=2L=3L=5L=10gaussien Performances avec diversit de rception d'ordre 1 10 R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs17/4019/10/04 Dans une transmission radio lectrique, la plus grande partie de la puissance mise est perdue puisquelesignalmisn'atteintpasl'antennederception.Utiliserplusieursantennesde rceptionaugmentelapuissancereuesansavoirmodifierlapuissancemise.Maisceci ncessitederaliserplusieurschanesderceptionavecdescaractristiquesquasiment identiques, et de traiter au niveau du rcepteur des signaux vectoriels.Pour mmoire, les performances asymptotiques des modulations MDP2 et FSK avec et sans diversit sont reprsentes sur le tableau I-1. ModulationDmodulation GaussienRayleighRayleigh asymptotique Rayleigh1b >>Diversit L MDP2CohrenteQ ( )2b 112 1bb| | |+\ . 14b ( )2 114LLcL| | |\ .MDP2Diffrentielle 12eb 1 12 1b| | |+\ . 12b ( )2 112LLcL| | |\ .FSK orthogonale CohrenteQ ( ) b 12b ( )2 112LLcL| | |\ .FSK orthogonale Non Cohrente 12e2b 12b + 1b ( )2 11LLcL| | |\ . 112 2bb| | |+\ .Tableau:PerformancesdesmodulationsMDP2etFSKdansuncanalgaussienetdansun canal de Rayleigh sans diversit et avec une diversit L. R. ValletCanaux de Rayleigh et canaux slectifs18/4019/10/04 Elments de propagation radio-mobiles Introduction LecanaldeRayleighestuncasidal,enuncertainsens,duncanaldetransmission radiolectrique. Pour dfinir les paramtres dune modulation, il faut connatre les paramtres statistiques du canal de transmission qui sera utilis. Pour une transmission avec un mobile, le canal de transmission radiolectrique est compos dun ensemble, presque infini, de trajets radiolectriques. Les paramtres dun trajet sont : - Laffaiblissement produit par la distance metteur rcepteur et les coefficients dattnuation dus aux diffrentes rflexions. - Les fluctuations des valeurs de ces affaiblissements dfinissent leffet de masque.- Les fluctuations dues laddition des signaux qui dfinissent le canal de Rayleigh. -Silemobileoulesobstaclessontenmouvement,cesparamtresdpendentvidement du temps.La puissance reue exprime en dB est de la forme( ) 10 logrdB edB antennesdB dB dBP P G d masque Rayleigh = + + + (III.1) Affaiblissement en fonction de la distanceLe mobile se situe au niveau du sol, en gnral, la puissance reue dcrot en fonction de ladistance par un terme enreue miseKP Pd= (III.2) OKestuntermequidpenddugaindesantennesetdestladistancemobilebase.estun coefficient compris entre 3 et 4.A l'aide d'une approximation continue, si les metteurs, qui utilisent la mme frquence sont qui-rpartis. Si =2 alors la puissance moyenne reue est infinie 22 dreue miseRKP P d dd= =) Example : Transmission sur un sol rflchissant avec =2 Soientetleshauteursdesantennesd'missionetderceptionet leurdistance. Soient et les carrs des longueurs du rayon direct et durayonrflchi.Ladiffrencedelongueurestaupremierordre Th1Rh= +d( )22 2T Rl d h h (22 22 T Rl d h h = + +2 1T Rh hl ld 2soitune diffrence de phase 2 2. 1T Rh hd