Liceul Teoretic Vasile Alecsandri Iai IAI - 2012 Liceul Teoretic Vasile Alecsandri Iai Fundamentarea actului educaional pe baza nevoilor de dezvoltare personal i profesional a elevilor din perspectiva dezvoltrii durabile i a deschiderii sistemului educaional ctre societate, n contextul integrrii europene 3 C U P R I N S Argument ......................................................................................... 4 Programul de desfurare al concursului ...................................... 5 Comisia de concurs .............................................................................. 6 Autori .................................................................................................... 7 Subiecte date la ediiile anterioare ..................................................... 8 EDIIA a XI-a ............................................................................................. 8 EDIIA a X-a ............................................................................................ 20 EDIIA a IX-a ........................................................................................... 32 EDIIA a VIII-a ........................................................................................ 37 EDIIA a VII-a ......................................................................................... 42 EDIIA a VI-a ........................................................................................... 46 EDIIA a V-a ............................................................................................ 55 Probleme i exerciii propuse............................................................ 65 Clasele a III-a i a IV-a .............................................................................. 65 Clasa a V-a ................................................................................................ 79 Clasa a VI-a ............................................................................................... 84 Clasa a VII-a-algebr ............................................................................. 88 Clasa a VII-a-geometrie ......................................................................... 93 Clasa a VIII-a-algebr ......................................................................... 101 Clasa a VIII-a-geometrie ..................................................................... 105 Indicaii i rspunsuri ..................................................................... 112 Clasele a III-a i a IV-a ....................................................................... 112 Clasa a VII-a-algebr ...................................................................... 126 Clasa a VII-a-geometrie .................................................................. 129 Clasa a VIII-a-algebr ..................................................................... 133 Clasa a VIII-a geometrie .................................................................. 135 Bibliografie .................................................................................. 136 4 Argument ConcursuldematematicEUCLIDaluatfiinnanul2001,lainiiativa profesorilor de matematic de la Liceul Teoretic Vasile Alecsandri din Iai. Denumirea acestuia provine de la numele celebrului matematician grec care apusbazelegeometrieiplaneispaialeialearitmeticii.nsemnatasaoper, Elemente,alctuitdin13capitoleaconstituit,timpdedoumilenii,carteade cptidupcares-apredatmatematica.Afosttradusnaproximativ300de limbi, fiind cea mai citit carte din lume. Euclidaadusmultecontribuiioriginale:aenunatteoremenoi:teorema catetei, a nlimii (unui triunghi dreptunghic), a concurenei mediatoarelor unui triunghi,areciproceiteoremeiluiPythagoras,ateoremeimpririicurest (pentrunumerenaturale),adescompuneriinfactori primiaunuinumrntreg (pozitiv);isedatoreaznoiuniledesemidreapt,tangent(laocurb),cerc mare(aluneisfere),putereaunuipunctfadeuncercsauosfer,cai denumiriledeparalelogram,poliedru,prism,tetraedru,aformulatdefiniii cele pentru cerc i sfer rmnnd n uz. ConcursulEUCLIDseadreseazelevilordinclaseleIII-VIIIlacolile Generale din judeul Iai, iar anul acesta se afl la cea de a XI-a ediie. Organizatoriii-aupropusca,prinacesteveniment,sstimulezespiritul COMPETITIV al elevilor i s le dezvolte nevoia de cunoatere i nelegere. Concursulse bucurdeaprecierea participanilor pentru probelelacareau posibilitatea s ntre n competiie: -probaindividualoferposibilitateafiecruiparticipantdea-i demonstra competenele dobndite n domeniul matematicii. -probapeechipajedezvoltabilitateadealucranechipid posibilitatea fiecrei echipe de a promova imaginea colii. Elevii din clasa a IV-a cu rezultate foarte bune la concurs au posibilitatea s se nscrie la Liceul Teoretic Vasile Alecsandri fr a mai susine examenul de admitere n clasa a V-a. Festivitateadepremiereareloc,nfiecarean,laUniversitateaAl.I. Cuza Iai. ParteneriatuldintreLiceulTeoreticVasileAlecsandriiUniversitatea Al.I.CuzaIaidemonstreazncodatapreciereadecarese bucurLiceul Teoretic Vasile Alecsandri n comunitatea educaional. Autorii 5 Programul de desfurare al concursului 15 27.03.2012 nscrierea participanilor 31.03.2012 Susinerea probelor de concurs NOT: Programuldedesfurarealconcursurilor,repartizareape sli,vorfiafiatelaavizierulliceuluipnpe30.03.2012.De asemenea,informaiisepotaflaconsultndsite-ulliceului: www.lvais.ro. 6 Concurs de matematic EUCLID EDIIA a XII-a Comisia de concurs Preedinte de onoare:prof. univ. dr. Mihai Anastasiei Preedinte: prof. Nelu Tudorache director Vicepreedinte: prof. Ecaterina Ursu Membri: prof. Bodron Dochia prof. Grigora Julieta prof. Leontie Rodica prof. Nistor Alina prof. Nistor Gheorghi prof. Ungureanu Snziana prof. Mihu Elena Secretari: prof. Cojocariu Beatris inf. Cojocaru Gabriela Ctlina ing. Ionenscu Mihaela 7 Autori Coordonator:prof. Nelu Tudorache Propuntori probleme: Prof. Berea Gabriela (1 10) nv. Teodora Pantazie (11-20) Problemele 21 150 sunt reeditate din ediia 2011. Clasa a V-a: prof. Mihu Elena Clasa a VI-aprof. Ursu Ecaterina Clasa a VII-a:prof. Ungureanu Snziana prof. Nistor Alina Clasa a VIII-aprof. Bodron Dochia prof. Nistor Gheorghi Tehnoredactare:Ing. Mihaela Ionescu 8 Subiecte date la ediiile anterioare EDIIA a XI-a 31 ianuarie 2011 Clasa a IIIa SUBIECTUL I Aflai numrul necunoscut: [(1+23+45+67+8+9) 108]x = 30 SUBIECTUL II Fratelemeuicumineavemmpreunctjumtatedinvrsta tatlui meu. Ci ani am, dac fratele meu este cu 4 ani mai mare dect mine, iar tata are 48 de ani ? SUBIECTUL III.apte copii au n fa dou couri cu mere. Pe rnd, fiecare copil ia dou mere din primul co i le pstreaz pentru el, apoi ia un mr din al doileacoilpunenprimulco.Cndlajungerndulpealaptelea copil, acesta ia cele dou mere din primul co, ns nu mai are ce lua din al doilea co, pentru c acesta este gol. Sseaflectemereeraulanceputntotalnceledoucouri, tiind c la sfrit au rmas cinci mere n primul co. Barem de corectare clasaa III-a SUBIECTUL I a) Efectueaz cele patru nmuliri ..10p b) Efectueaz adunrile ......5pc) Scrie relaia (86 - 80)x = 30.........5p d) 6x = 30 ................... 5p e) Finalizare ................ 5p (30 puncte) 9 SUBIECTUL II.a)Scrie relaia e + f = t : 2 ........................................... 5p b)Afl suma vrstelor copiilor, e + f = 48 : 2 = 24.... 5pc)Reprezint grafic ................................. 10p d)Afl vrsta lui e = 10.................. 10p (30 puncte) SUBIECTUL III.a) Din primul co s-au luat 2+2+2+2+2+2+2 = 14 mere ...... 5p b) Din al doilea co s-au luat 6 mere ............ 5pc) n primul co erau (14 - 6)+5 = 8+5 = 13 mere ............ 10p d) n al doilea co erau 6 mere .............. 5p e) Finalizare 13+6 = 19 mere ........ 5p (30 puncte) Oficiu 10 puncte Clasa a IV-a SUBIECTUL I(40 puncte) a)ntr-o cutie sunt 61 de fundie roii, verzi i albe. Dup ce s-a folosit acelainumrdefundiedefiecareculoare,ncutieaurmas12 fundie roii, 15 fundie verzi i 7 fundie albe. Cte fundie de fiecare culoare erau la nceput n cutie? b)De cte ori semnul + este utilizat n adunarea: 7+7+7...+7=693 ? SUBIECTUL II(30 puncte) Sempartdounumerenaturalenenule.Dacmpritorul,ctuli restulsuntnumerenaturaleconsecutive,cusuma30,sseafle dempritul. SUBIECTUL III(20 puncte) n beciul bunicului stau aliniate 6 couri cu mere. Numrul merelor din dou couri alturate difer cu 1. n courile cu numr impar de mere se afl 71 de mere, n total. Care este numrul minim de mere ce se poate afla n celelalte couri ? (Justificai) Din oficiu - 10 puncte 10 Barem corectare clasa a IV-a SUBIECTUL I(40 puncte) a)- Afl numrul de fundie rmase n cutie: 12+15+7=34 .........9p - Afl numrul de fundie folosite de fiecare culoare: (61 34):3 = 9 .............................................................9p - Calculeaz numrul de fundie de fiecare culoare: 12+9 = 21; 15+9 = 24;7+9 = 16 .................................7p b)- Determin de cte ori apare 7 n expresia dat: 693:7=99 .... 10p - Finalizare: 98 de semne de + ..................................................5p SUBIECTUL II(30 puncte) - Afl numerele consecutive: 9, 10, 11 ...........15p - Scrie relaia: D = C + R, RAC.Considerm(AD bisectoareaunghiuluiBAC,D(BC)iCEAD,E(AB).tiindc [CE][BE] se cere: a)Demonstrai c [DC][DE]. b)Determinai msurile unghiurilor ABC. 20 puncte SUBIECT CLASA a VIII-a1.Considerm ( )2 2 2 2 2 211 11 ...4131131211++ + + + + + + + + =n nan cu nN* i n 2. a) Artai c ( )11 1111 112 2+ + =++ +n nnn; b) Artai c anQ\N oricare ar fi nN* i n 2; c) Artai c exist nN* astfel nct an = 2010 + 20121005 2.RombulABCDitriunghiulechilateralADEsuntsituatenplane diferite. Fie M i N mijloacele laturilor AE respectiv DE i O centrul rombului. a) Demonstrai c (MNO)||(BEC). b) Calculai raportul ariilor triunghiurilor MNO i BEC. 20 puncte 18 Barem de corectare ECHIPAJE CLASA a V-a1.a) 3, 6, 9, ..., 2010 670 multipli .......2p b) M5 = {5, 10, 15, , 2010} 502 multipli .2p M3M5 = M15 = {15, 30, 45, ..., 2010} 134 multipli ....3p B = 670 + 502 134 = 1038........3p 2.( )2abcabc =( )221001 abc..............................................2p ( )2abcabc =( )2 2 2213 11 7 abc...2p 135 = 533 2p abc = , cu p numr prim.......2p p{17, 19, 23, 29, 31} ..... 2p Deci sunt 5 numere .................. 2p (20 puncte) CLASA a VI-a 1.z + 4 este divizor al lui 18 ... 3p z este 2, 5 sau 15 ................... 1p z = 2 nu convine .................... 1p z = 5 i y + 5 divide 7 implic y este 2 ...... 1p x + 3 divide 5 implic x = 2 .... 1p z = 15 i y + 5 divide 17 implic y = 12 .... 1p x + 3 divide 14 iplic x este 4 sau 11 ..... 2p 2.Desen .......... 2p Msura unghiului XOB este a, a unghiului BOY este 3a ... 2p 4a = 900 implic a este 22030 ................................................ 2p Msura unghiului AOB este 450 ............................................. 2p Msura unghiului BOC este 1350 ........................................... 2p (20 puncte) CLASA a VII-a1.n2 + n + 2000 = n(n+1) + 2000 = numr par ......2p x = 1000 ..................................3p Obine b a b a 2121+=+ ..................................2p a = b = 1 ..................................3p 2.a) Observ c ACE dreptunghic i isoscel [AC][AE] .......2p 19 CADEAD [CD][DE] ................................................3p b) m( ) B E C = 1350 m( ) C B E +m( ) B C E= 450 ......................2p CEB isoscel m( ) C B E = 22030 .......................................2p m( ) B C A = 67030....................................................................1p (20 puncte) CLASA a VIII-a1.a) ( )=++ +++ + =||

\|+ +) 1 (212 211 1111 112 22n n n nn n n n = ( )2 2 2 2) 1 (1 21) 1 (2 2 2 211 11++ + =+ ++++ +n n n nn nn n ( )11 1111 112 2+ + =++ +n nnn ..................4p b)= + + + + + + + + =11 111111 ...4131131211n n n nan ) 1 ( 2311211++ =+ + =nnnnnN Q annn\ 1) 1 ( 23