CATOPTRICA1

de EUCLID2

13. O rază vizuală este o linie dreaptă, al cărei mijloc obturează cele două extremele ale sale4.

2. Tot ceea ce este văzut , este văzut prin aceste linii drepte5.3. Dacă se pune o oglindă într-un plan şi se observă o anumită înălţime care

este perpendiculară pe plan, atunci raportul în care se află dreapta dintre oglindă şi cel ce observă şi cea dintre oglindă şi înălţimea perpendiculară, este la fel cu raportul dintre înălţimea celui ce observă şi înălţimea perpendiculară pe plan6.

4. În cazul oglinzilor plane, dacă este ocupat locul în care cade perpendiculara de la ceea ce este văzut, atunci ceea ce este văzut nu se mai vede7.

5. De asemenea şi în cazul oglinzilor convexe, dacă este ocupat locul prin care trece dreapta de la ceea ce este văzut spre centrul sferei, ceea ce este văzut nu se mai vede. Acelaşi lucru are loc şi la oglinzi concave.

6. Dacă se pune un anumit obiect într-un vas şi se ia o distanţă în aşa fel încât obiectul să nu se mai vadă, când este turnată apă în vas, păstrând aceeaşi distanţă, ceea ce a fost pus înăuntru, se va vedea8.

1. Razele vizuale se reflectă pe oglinzile plane şi convexe şi concave sub unghiuri egale.

Fie ochiul B, o oglindă plană AG şi o rază vizuală care pleacă din ochi BK şi se reflectă până în D. Spun că unghiul E este egal cu unghiul Z. Fie duse perpendiculare pe oglindă BG şi DA. Deoarece raportul dintre BG şi GK este egal cu cel dintre DA şi AK – ceea ce s-a presupus în definiţii9 – triunghiul BGK este asemenea cu triunghiul DAK. Deci unghiul E este egal cu unghiul Z – triunghiurile asemenea fiind de fapt echiunghiulare.

Fie acum o oglindă convexă AKG şi o rază vizuală BK reflectată până la D. Spun că unghiul E + T este egal cu unghiul Z + L. Adăugând o oglindă plană NM, avem unghiul E egal cu unghiul Z. Dar şi unghiul T este egal cu unghiul L, MN fiind tangent. Deci unghiul

E + T este egal cu unghiul Z + L.Fie, din nou, acum o oglindă concavă AKG şi o rază vizuală BK reflectată

până la D. Spun că unghiul E este egal cu unghiul Z. Aşezând o oglindă plană,

D

A

B

GK

E Z

A G

N KM

D B

T L

E Z

unghiul T + E este egal cu unghiul Z + L, unde unghiul T este egal cu unghiul L. Deci unghiul E este egal cu unghiul Z.

2. Dacă pe o oglindă cade o rază vizuală care face unghiuri egale cu oglinda, atunci raza vizuală se reflectă prin ea însăşi.

Fie o oglindă plană AG, un ochi B şi o rază vizuală incidentă BK, care face unghiurile egale cu oglinda E + Z şi T. Spun că raza reflectată va trece prin ea însăşi, adică prin B. Să presupunem că trece prin D. Deoarece razele vizuale se reflectă sub unghiuri egale, rezultă că unghiul E este egal cu unghiul T. Dar din ipoteză E + Z = T, de unde unghiul E + Z = E, mai mare egal cu mai mic, ceea

ce este imposibil. Deci BK se va reflecta prin ea însăşi. Aceeaşi demonstraţie se poate aplica şi la oglinzile convexe şi concave.

3. Dacă pe o oglindă cade o rază vizuală care face unghiuri inegale cu oglinda, atunci raza vizuală nu se reflectă nici prin ea însăşi, nici sub un unghi mai mic.

Fie o oglindă plană AKG şi o rază vizuală incidentă BK, care face cu oglinda un unghi Z mai mare decât T + L. Spun că BK nu se reflectă nici prin ea însăşi, nici sub unghiul T + L. Dacă s-ar reflecta prin B, atunci unghiul Z ar fi egal cu T + L, ceea ce este absurd deoarece am presupus că Z este mai mare ca T + L; dacă ar trece prin D, atunci

unghiul Z ar fi egal cu unghiul T; şi nu este aşa pentru că Z este mai mare ca T. Prin urmare BK se va reflecta sub unghiul mai mare Z, ceea ce este posibil pentru că din cel mare se scade un unghi egal cu cel mic. La fel se poate demonstra şi pentru oglinzi convexe şi concave10.

4. Razele vizuale reflectate pe oglinzi plane şi convexe nici nu se întâlnesc între ele, nici nu sunt paralele.

Fie o oglindă plană AG, un ochi B şi razele vizuale reflectate BGD şi BAE. Spun că GD şi AE nu sunt paralele, nici nu se întâlnesc spre D, E. Deoarece unghiul Z este egal cu T şi K egal cu M şi Z mai mare decât K, din cauză că este unghi

A G

N KM

D B

T LE Z

A GK

EZ

T

D B

A GK

Z T

D

B

L

A G

M L K T Z

ED B

exterior pentru triunghiul BAG, T va fi mai mare ca M. Deci, nici în cazul în care GD ar fi paralel cu AE, nu se întâlnesc spre D, E.

Dacă acum avem o oglindă convexă AZG, un ochi B şi razele vizuale reflectate BZD, BHE, spun că ZD şi HE nu sunt paralele şi nici nu se întâlnesc spre E, D. Ducem dreapta HZ şi o prelungim de ambele părţi. Deoarece unghiul K + T este egal cu L, deoarece reflexia are loc sub unghiuri egale, atunci unghiul L + M va fi mai mare decât K. Şi unghiul K este mai mare decât N + S şi N + S mai mare decât O + P. S este deci egal cu O

+ P. astfel, unghiul L + M este mai mare decât unghiul O + P. Unghiul L + M este deci mult mai mare decât O. Deci dreptele ZD şi EH nu sunt nici concurente, nici paralele.

5. În oglinzile concave, dacă ochiul se plasează în centru sau pe circumferinţă, sau în exteriorul acestei circumferinţe, atunci razele reflectate se vor

intersecta între centru şi circumferinţă.

Fie o oglindă concavă AGD, centrul sferei B şi fie aflat un ochi în B şi din B cad pe circumferinţă razele vizuale BA, BG şi BD. Unghiurile în punctele A, D şi G sunt deci egale - fiind de fapt unghiurile subîntinse de un semicerc. Razele vizuale reflectate BA, BG şi BD vor fi deci reflectate prin ele însăşi - ceea ce de fapt am

demonstrat deja (teorema 2) . Deci se vor întâlni în B.Fie din nou o oglindă concavă AGB, un ochi B

aflat pe circumferinţa oglinzii şi din B cad razele vizuale BG şi BA, care se reflectă prin punctele D şi E. Deoarece arcul AGB este mai mare ca arcul BG, atunci unghiul Z este mai mare ca unghiul T şi deci, conform celor arătate (teorema 1) unghiul H este mai mare decât K. Prin urmare, unghiul Z + H este mai mare decât

unghiul T + K. Din acestea rezultă că unghiul M este mai mare decât L. Şi cu atât mai mult, unghiul L este mai mic decât N. Deci GD şi AE sunt concurente în S. La fel se demonstrează dacă ochiul se află în exteriorul circumferinţei, după cum se vede în teorema care urmează.

6. În oglinzile concave, dacă ochiul se află între centru şi circumferinţă, razele visuale reflectate se întâlnesc sau nu se întâlnesc.

Fie o oglindă concavă AG, centrul ei fiind D şi fie aflat un ochi B între centru şi circumferinţă şi fie razele vizuale BA, BG reflectate până la H şi Z şi prelungim razele vizuale până la oglindă, AT şi GK. Astfel, AT este faţă de GK, mai mare, egal sau

A G

P

O

HN

S

E

D B

LM

Z TK

A

G

D

B

A

G

B

HL

Z

ED

S

N

KM T

mai mic. Dacă raza vizuală AT este egală cu raza vizuală GK atunci şi arcele de cerc AGT şi GTK sunt egale. Astfel, unghiul M este egal cu unghiul S – unghiurile care subîntind arce egale sunt egale între ele. De asemenea, unghiul M + L este egal cu N + S, datorită reflexiei (teorema 1). Prin urmare unghiul O, rămas, este egal cu unghiul P . R însă este mai mare ca O (deoarece unghiul R este mai mare ca P, fiindcă este unghi exterior şi unghiul P este egal cu unghiul O, atunci unghiul P este mai mare ca unghiul O). Dacă se adună

acum unghiul ORZ comun11, tragem concluzia că GZ şi AH se vor întâlni la capătul părţilor H, Z. Acelaşi lucru are loc dacă raza vizuală AT ar fi mai mare decât GK. Atunci unghiul L + M este mai mare decât unghiul N + S şi unghiul P mai mare ca unghiul O şi unghiul R mai mare ca unghiul O. Iar

dacă raza vizuală AT este mai mică decât GK , din aceleaşi motive unghiul O este mai mare ca unghiul P, deci unghiul R este mai mare ca unghiul P. Deci nimic nu împiedică să avem unghiul R egal cu O, sau mai mic decât O şi astfel AH să nu întâlnească GZ. Este, de asemenea, evident că dacă arcul AT ar fi mai mare decât GK, sau egal cu GK, întâlnirea razelor reflectate nu are loc nici pe circumferinţa cercului, nici în exterior, ci numai în interior12.

7. În oglinzile plane, înălţimile apar inverse faţă de adâncimi.13

Fie o înălţime AE, o oglindă plană AL, un ochi B şi razele vizuale BG şi BD, reflectate spre E şi K. Şi dacă

prelungim razele vizuale în linie dreaptă, E de deasupra apare în T care este dedesubt, în timp ce K e văzut în Z şi este deasupra. Astfel, acestea sunt inverse ca reprezentare.

Fie acum o adâncime EA, o oglindă plană AG, un ochi D şi razele vizuale DG, DB reflectate spre E şi Z. La fel, razele vizuale reflectate sunt îndreptate spre T şi K şi E care este văzut în T apare deasupra, iar Z care este văzut în K apare dedesubt.

8. Înălţimile şi adâncimile apar inverse în oglinzile convexe.

Fie o înălţime AE, o oglindă convexă ADG şi razele vizuale BD, BG reflectate spre E şi T. Am demonstrat (teorema 4) că ele nu se întâlnesc, ceea ce rămâne la fel ca şi la oglinzile plane.

Fie din nou, o adâncime AE, o oglindă convexă AG, un ochi B şi razele vizuale BGE şi BDT reflectate spre E şi T. Toate rămân la fel ca şi în oglinzile plane.

A

GL OM

N

P S

R

HZ

DB

K T

E

K

A

Z

T

D G L

B

E

AG

D

B

Z

T

K

L

E

T

A

A

T

E

B

B

D G

D G

9. În oglinzile plane, lungimile oblice apar la fel cum sunt în realitate.

Fie un ochi B, o lungime oblică DE, o oglindă AG. Ca urmare a reflexiei, raza vizuală din D apare în A, din E în G, şi ca reprezentare este la fel ca în

realitate, ceea ce e mai aproape e mai aproape şi ceea ce e mai departe, e mai departe.

10. În oglinzile convexe, lungimile oblice apar la fel cum sunt în realitate.

Fie o lungime ED, un ochi B, o oglindă convexă AG şi razele vizuale reflectate spre E şi D. Toate celelalte sunt la fel.

11. În oglinzile concave, înălţimile şi adâncimile care sunt în interiorul intersecţiei razelor vizuale apar inverse, la fel ca şi în oglinzile plane şi convexe, iar cele care sunt dincolo, apar la fel.

Fie o oglindă concavă AG, un ochi B, razele vizuale reflectate BA, BG care se întâlnesc în Z, şi fie înălţimile DE şi KN şi KN în interiorul intersecţiei Z, iar DE în exterior. Dacă prelungim razele vizuale la fel ca în oglinzile plane şi convexe, K apare deasupra lui M, iar N deasupra lui L, deci

apar invers. Din nou, pentru înălţimea din exteriorul intersecţiei, D apare în H, iar E în T şi

aşa cum este aşa apare. Din nou, o adâncime DE şi KT, o oglindă concavă

AG, un ochi B, razele vizuale reflectate care se întâlnesc în Z. Dacă prelungim razele vizuale, la

fel, K şi T vor apare invers, K în G şi T în A, la fel ca în oglinzile plane şi convexe, iar D, E la fel cum sunt, E sub A şi D deasupra lui G.

12. În oglinzile concave, lungimile oblice plasate între oglindă şi locul de întâlnire al razelor vizuale apar aşa cum sunt, iar dacă sunt în exterior, invers.

Fie lungimile oblice ED şi TK, o oglindă concavă AG, un ochi B şi razele vizuale reflectate concurente în H, BAD şi BGE şi lungimea oblică TK fie în interior faţă de punctul de întâlnire H, iar DE în exterior. Astfel, T şi K apar aşa cum sunt în

D

E

A

G

B

D

E

A

G

B

E

D

T

H

Z N

K

AM

L

G

B

G

A

D

E

A GZ K

T

B

E

D HT

K

B

A

G

realitate,la fel ca în oglinzile plane şi convexe, iar D şi E inversate – D apare în A, iar E în G.

13. Este posibil să se poată vedea un obiect după reflexii pe mai multe oglinzi plane14.

Fie ceea ce trebuie văzut A,un ochi B şi trei oglinzi GD, DE şi EZ. Ducem din B dreapta BG perpendiculară pe oglinda GD şi fie BG egal cu GS, apoi din A o dreaptă perpendiculară AZ pe EZ şi AZ fie egal cu ZT, şi din T ducem o dreaptă TK, perpendicular pe oglinda DE şi fie TK egal cu KL şi unim L cu S prin AMXS, apoi M cu T prin MRT şi de asemenea mai unim AR şi BX. Deoarece BG este egal cu GS şi

unghiurile în G sunt drepte, prin urmare două drepte BG, GF vor fi deci egale cu, respectiv, celelalte două SG, GF şi unghiul BGF care este drept este egal cu unghiul SGF care şi el este drept, deci unghiurile rămase sunt egale , deoarece subîntind laturi egale, adică unghiul B este egal cu unghiul S, unghiul X este egal cu unghiul T. Dar unghiul T este egal cu unghiul N – sunt opuse la vârf – deci unghiul N este egal şi cu unghiul X. Deci raza vizuală BX este reflectată până la M. Din nou, deoarece

TK este gal cu KL şi unghiurile în K sunt drepte, unghiul O este egal cu unghiul P. Aceeaşi rază vizuală BXM este deci reflectată până la R. Exact din aceleaşi motive raza se reflectă până la A, pentru că unghiul ZRA este egal cu ERM, la fel ca în celelalte demonstraţii. Raza vizuală de la ochiul B, vede deci pe A prin intermediul a trei oglinzi plane, GD, DE şi EZ.

14. Acelaşi lucru se poate vedea, de asemenea, prin intermediul a unui număr oarecare de oglinzi plane; şi dacă trebuie construcţia, în funcţie de numărul de oglinzi, va rezulta un poligon echilateral, cu unghiuri egale, care are numărul de laturi mai mare cu doi decât numărul de oglinzi.

Fie A ceea ce trebuie văzut, un ochi B şi fie unite AB şi pe AB fie descris un poligon echilateral cu unghiuri egale care are cu două laturi în plus faţă de numărul

de oglinzi, fie poligonul ABD şi fie T centrul cercului trasat în jurul poligonului, iar T fie unit prin TG, TE, TD, TB, TA până la vârfuri şi fie plasate oglinzi plane sub unghiuri drepte faţă de acestea. Deoarece unghiul Z + L este egal cu unghiul N + K (ele de fapt sunt unghiuri drepte) şi unghiul N este egal cu L, rămâne că unghiul Z este egal cu unghiul K, astfel că reflexia razei vizuale BG va fi până la D – reflexia se face sub unghiuri egale. La fel se va demonstra şi pentru unghiurile din punctele D şi E că sunt egale pe oglinzile

L

KE M D

O P

R

T Z A

NF

X T

B G S

E

D

T

GK

N

L Z

A B

respective. Raza vizuală de la ochiul B se reflectă la fiecare incidenţă pe oglinzi şi va trece deci prin A.

15. Este posibil, de asemenea, să se vadă acelaşi lucru şi cu ajutorul oglinzilor convexe şi cu ajutorul oglinzilor concave.

Fie A ceea ce trebuie văzut, un ochi B şi, la fel, fie descris un poligon echilater şi echiunghiular ABGDE şi în punctele G, D şi E fie oglinzi plane prin care se vede A, aşa cum s-a demonstrat, şi fie adăugate la acestea oglinzi convexe sau concave în punctele de contact cu razele. Deoarece unghiul Z este egal cu T şi unghiul K este

egal cu L, rezultă că unghiul K + Z = T + A. Raza vizuală va fi deci reflectată pe oglinda convexă G până la D şi de la D până la E, iar de la E până la A. Deci este evident că este posibil să se vadă acelaşi lucru şi prin intermediul oglinzilor convexe, concave sau de ambele feluri.

16. În oglinzile plane, fiecare dintre obiectele văzute este văzut pe perpendiculara dusă din ceea

ce este văzut15.

Fie o oglindă plană GD, un ochi B, A ceea ce este văzut şi fie perpendiculara AG dusă din ceea ce este văzut pe oglindă. Şi deoarece în fenomene am presupus că dacă locul G este ocupat, atunci A nu se mai vede, rezultă că A se va vedea pe

linia dreaptă AG. Mai exact, pe linia dreaptă care reprezintă raza vizuală BD: adică în E – de fapt am presupus că raza este ceea ce la care toate punctele intermediare obturează extremele sale – astfel că AE este o rază, la fel şi BE.

17. În oglinzile convexe, fiecare dintre obiectele văzute este văzut pe dreapta dusă din ceea ce este văzut spre centrul sferei.

Fie o oglindă convexă GD , un ochi B,o rază vizuală BD reflectată până la A şi fie văzut A şi fie centrul sferei Z, unim A cu Z şi prelungim raza vizuală BD până la E. Şi deoarece în ipotezele iniţiale [fenomene] am presupus că dacă locul G este ocupat, atunci A nu se mai vede, rezultă că se va vedea pe linia dreaptă AG, acolo

unde se întâlneşte raza vizuală BD cu AG, adică în E,la fel ca în oglinzile plane.

18. În oglinzile concave, fiecare dintre obiectele văzute este văzut pe dreapta dusă din ceea ce este văzut spre centrul sferei.

E

D

G

A B

TL

KZ

E

A

GD

B

A

B

G

D

E

Z

Fie o oglindă concavă GD, o rază vizuală reflectată BG până la A – ceea ce este văzut, fie E centrul sferei, şi fie unite A şi E şi prelungit până la sferă. Şi deoarece în ipotezele iniţiale [fenomene] am presupus că dacă locul D este ocupat, atunci A nu se mai vede, rezultă că ceea ce apare pe aceeaşi dreaptă cu AE va fi văzut la întâlnirea dintre dreapta AD şi raza vizuală BG, în Z.

19. Într-o oglindă plană,ceea ce este în dreapta apare în stânga şi stânga în dreapta, imaginea este egală cu ceea

ce se vede şi distanţa faţă de oglindă este egală16.

Fie o oglindă plană AG, un ochi B, razele vizuale BA, BG reflectate până la D şi E şi fie ceea ce este văzut ED şi din E şi D fie duse perpendicularele EZ şi DT pe oglindă şi fie prelungite razele vizuale BG şi BA care întâlnesc perpendicularele duse

pe oglindă în punctele K şi L şi fie unite K şi L. Fiindcă E apare în K şi D în L – cee ce am demonstrat mai sus, rezultă că stânga apare în dreapta, iar dreapta în stânga. Şi deoarece unghiul KGZ este egal cu ZGE, iar unghiurile din Z sunt drepte, atunci şi ZK

va fi egal cu ZE. Pentru aceleaşi motive şi DT va fi egal cu TL. Distanţa la care se află ED faţă de oglindă este deci egală cu distanţa la care imaginea KL este faţă de oglindă. Şi ceea ce este văzut, ED, este egal cu imaginea KL, deoarece EZ este egal cu ZK, DT este egal cu TL şi TZ comun şi aflat sub unghi drept.

20. În oglinzile convexe, stânga apare în dreapta, iar dreapta în stânga şi imaginea este mai aproape de oglindă17.

Fie o oglindă convexă AG, centrul sferei T,un ochi B, razele vizuale BA şi BG reflectate până la D şi E, ceea ce este văzut DE, şi din centrul T fie duse până la D şi E dreptele TD şi TE şi fie prelungite razele vizuale până la Z şi H şi fie obţinută prin

unire imaginea ZH. Deci D apare în H, iar E în Z. Dreapta apare deci în stânga şi stânga în dreapta. Spun că EL este mai mare ca LZ. Fie dusă prin A o tangentă RAK la circumferinţă. Deoarece BA şi AE fac unghiuri egale cu circumferinţa, prin reflexie şi KAR este tangentă, rezultă că unghiul EAZ este divizat în două părţi egale. Iar unghiul K este obtuz: EK este deci mai mare decât KZ, cu atât mai mult şi EL este mai mare decât LZ. Imaginea ZH este deci mai

aproape faţă de oglindă; deci ceea ce este văzut, ED este mai departe.

G

D

Z

E

A B

L K

T

D

A Z

E

G

B

T

Z

H

L

K

E

A R

G

B

D

21. În oglinzile convexe imaginile apar mai mici decât ceea ce se vede.

Fie o oglindă convexă AOG, un ochi B şi razele vizuale reflectate BA şi BG până la D şi E. Deci ED este observat prin oglinda convexă sub unghiul ABG. Fie acum fixată o oglindă plană AG care atinge razele vizuale în A şi G. Deci raza

vizuală pentru vederea lui E în oglinda plană nu este BAE – nu face unghiuri egale cu oglinda plană. Să zicem că ea se va reflecta undeva între A şi G. Dacă reflexia este posibilă, fie atunci raza vizuală BZE. Unghiul H este atunci, din cauza reflexiei, egal cu T. Şi unghiul T este mai mare decât unghiul N + I,iar unghiul M este mai mare decât H: astfel unghiul M este mai mare ca

unghiul N + I, ceea ce nu poate fi. Deci unghiul I este mai mare ca M: şi de fapt este egal cu unghiul total pe circumferinţă. Fie atunci reflexia în exteriorul lui A şi fie raza vizuală reflectată BKE. Şi la fel şi BLD dacă raza vizuală are incidenţa în exterior. ED este atunci observat în oglinda plană sub un unghi mai mare, KBA, decât în oglinda convexă. S-a demonstrat că imaginea în oglinda plană este egală cu ceea ce se vede (teorema 19). De aici rezultă că în oglinda convexă, imaginea apare mai mică decât ceea ce se vede.

22. În oglinzile convexe, imaginile formate de oglinzile mai mici apar mai mici.

Fie o sferă mare AG şi una mai mică EL în interiorul celei mai mari, având acelaşi centru T, un ochi B şi unim BAT şi fie reflectată de sferă raza vizuală BGD. Spun că raza vizuală care va fi reflectată pe sfera mai mică până la D nu va fi

incidentă prin G, ci prin exteriorul lui G. Să presupunem că e posibil să fie incidentă mai întâi prin G şi apoi reflectată pe sfera mică până la D şi fie aceasta BED şi fie unite T şi G printr-o dreaptă şi prelungită până la K. Atunci TGK împarte unghiul BGD în două părţi egale, datorită faptului că raza face unghiuri egale cu circumferinţa, prin reflexie. Şi din aceleaşi motive şi dreapta care uneşte T cu E şi prelungită împarte în două părţi egale unghiul BED. Fie această bisectoare TEZ. Deoarece unghiul

BGD este mai mare decât unghiul BED, rezultă că şi jumătăţile acestor unghiuri respectă aceeaşi inegalitate, adică unghiul BGK este mai mare ca unghiul BEZ. Dar în acelaşi timp, unghiul BGK este mai mic decât BEZ, ceea ce este imposibil. Deci cazul presupus în care raza vizuală reflectată pe sfera mică ar trece prin G este imposibil.

K A Z G LM N

IH T

O

E

B

D

T

L E

G

KB

A

ZD

Fie acum din nou, presupuse aceleaşi lucruri şi raza vizuală reflectată pe sfera mai mică, BED, să fie incidentă în exteriorul lui G şi BE intersectează sfera mare în Z. Raza vizuală BZK reflectată în Z, nu va întâlni aşadar GD – asta am

demonstrat mai sus (teorema 4), ci o va întâlni pe ED în K. Raza vizuală BZK reflectată pe oglinda mai mare vede K şi aceeaşi rază vizuală BEK reflectată pe oglinda mai mică vede pe acelaşi K. Şi aceasta a fost demonstrat mai sus că este imposibil. Prin urmare, raza vizuală reflectată pe oglinda mai mică până la D cade undeva între G şi A. La fel, se poate demonstra că raza vizuală care cade de cealaltă parte face acelaşi lucru. Deci ceea ce este văzut din B este văzut prin intermediul oglinzii mai mici sub un unghi mai mic decât prin oglinda mai mare. Imaginea văzută prin oglinda mai mică va fi deci mai mică.

23. În oglinzi convexe imaginile apar convexe.

Fie o oglindă convexă AG, un ochi E şi razele vizuale EA, EG reflectate până la D şi B, iar ZE reflectată prin ea însăşi până la E. Şi deoarece dintre toate razele sunt maxime în lungime cele care sunt mai departe şi minime cele dela mijloc aşa

cum este EZ, în oglindă, E va apare mai aproape, iar B şi D [posibil] mai departe. Deci pe ansamblu, [imaginea] va apare convexă.

24. În oglinzile concave, dacă ochiul se află în centru atunci ochiul nu vede decât pe el însuşi18.

Fie o oglindă concavă AGD cu centrul B şi razele vizuale BA, BG, BD. Deoarece unghiul E este egal cu unghiul Z, raza vizuală BG reflectată va trece tot prin B (teorema 2). La fel şi celelalte. Deci se vede ceea ce este însuşi în B.

25. În oglinzile concave, dacă ochiul se plasează pe circumferinţă, sau în afara circumferinţei, ochiul nu va mai apare.

T

L

A

B

G Z

E

K

D

A Z G

D E B

A

G

D

B

E Z

Fie o oglindă concavă AGB şi fie ochiul B plasat pe circumferinţa sa şi razele vizuale incidente BA, BG şi cele reflectate corespunzătoare. Deoarece

unghiul M + T este mai mare decât unghiul K şi unghiul E + L este mai mare decât unghiul Z, din acest motiv razele vizuale BA, BG nu vor fi reflectate până la ochiul B. Dacă s-ar reflecta până la ochi, atunci unghiurile în A şi G ar rezulta că sunt egale (teorema 2). Şi acelaşi lucru se va demonstra că rezultă şi în cazul în care ochiul se află în afara circumferinţei, adică ochiul nu se vede datorită faptului că razele vizuale nu se reflectă prin el.

26. În oglinzile concave, dacă se prelungeşte un diametru al sferei şi din centrul ei se duce o perpendiculară pe acest diametru şi dacă se plasează ochiul de o parte sau de cealaltă parte a acestei perpendiculare, nu se va vedea nimic din

ceea ce este de aceeaşi parte a perpendicularei cu ochiul, adică nici din ceea ce este pe diametru, nici în exteriorul acestui diametru.

Fie AGD o oglindă concavă, diametrul sferei fie AD şi perpendicular pe AD fie dusă din centrul Z, dreapta ZG şi fie un ochi B şi o rază vizuală BE. Astfel, reflexia razei vizuale BE nu va trece nici prin B, nici

prin Z – de fapt ea se reflectă sub unghiuri egale. Va trece cum ar fi ET. Şi la fel, chiar dacă ochiul se află în interior, cum ar fi în T, sau chiar pe diametru, cum ar fi în M, razele reflectate TK şi MN vor merge ca şi KL şi NX. Nu se vede deci nimic din ceea ce este pe aceeaşi parte pe care este ochiul, nici din ceea ce este pe diametru, nici în exteriorul lui.

27. În oglinzile concave, dacă ochii sunt plasaţi pe un diametru, la distanţe egale faţă de centru, nu se va vedea nici unul, nici celălalt ochi.

Fie o oglindă concavă AGD, un diametru AD, centrul Z, ZG perpendicular pe diametru, ochii B şi E

la distanţe egale faţă de centru şi raza vizuală BG. Raza reflectată va trece deci prin E – reflexia având loc sub unghiuri egale. Şi nicio altă rază vizuală din B nu se va reflecta prin E. Dacă ar merge după BT, unind TE şi TZ, unghiul BTE ar fi împărţit în două părţi egale de ZT şi ar trebui să avem BT:TE = BZ:ZE, ceea ce nu se poate deoarece BT este mai mare ca TE, iar BZ = ZE. Nicio rază vizuală care pleacă din B nu va trece în urma reflexiei prin E. O singură rază vizuală va fi deci reflectată de la un ochi spre altul, între B şi E şi E nu se va vedea. BG prelungit spre partea G,D nu va întâlni de fapt BD şi fiecare dintre lucrurile văzute apar numai în funcţie de

A

G

T MK

ZE L

B

A

G

T MK

E L

Z

B

A

L

G KE

N

D

T

X

Z

B

M

A

G

DZ

T

B E

concurenţa lor (teorema 18). Nici EG nu poate fi pentru că nu întâlneşte EA pe partea G, A – în oglinzile concave fiecare lucru care este văzut este de fapt văzut pe dreapta dusă din ceea ce este văzut spre centrul sferei.

28. În oglinzile concave, ducând pe raza sferei o perpendiculară care împarte raza în două părţi egale, şi pe o altă perpendiculară pe această rază plasând doi ochi aflaţi la distanţe egale faţă de rază şi faţă de diametrul pe care este perpendiculară raza şi perpendiculara pe care se află ochii este ori la mijloc între diametru şi perpendiculara care împarte raza în două părţi egale, ori chiar pe

această perpendiculară însăşi, atunci nu se va vedea nici un ochi, nici altul.

Fie o oglindă concavă AGD, diametrul AD, centrul K şi raza KG şi prin P care împarte raza în două părţi egale, perpendicular pe rază fie EPZ, şi ochii B şi T, care se află la distanţe egale faţă de KG,

plasaţi între diametrul AD şi EZ şi BT paralel cu EZ; fie o rază vizuală BG reflectată până la T, care de fapt face unghiuri egale cu circumferinţa, datorită faptului că ZE este paralel cu BT şi BN este egal cu NT. Unim KB şi KT şi le prelungim, de asemenea prelungim şi GB până la F. Deoarece BG este mai mare ca BK, unghiul R este mai mare ca unghiul I. De asemenea, deoarece unghiul GBT este mai mare ca TBK, rezultă că este mai mare şi decât unghiul BTK. Deci BG nu întâlneşte în acest

caz pe KT. Nu se vede în acest caz nici T; s-ar vedea de fapt în locul unde BG şi KT se întâlnesc (teorema 18).

Fie acum din nou aceleaşi lucruri ca mai sus şi fie ochii B şi T pe dreapta perpendiculară care taie în două părţi egale raza, de exemplu pe AD. Deoarece BG este egal cu BZ, GT este egal cu ZT, atunci BG

trebuie să fie paralel cu ZT. Aşadar nu suntem în cazul în care raza vizuală BG întâlneşte pe partea T,G, raza din centru până la ceea ce este văzut, adică ZT. Deci ochiul T nu se va vedea; el ar fi văzut în locul în care BG şi ZT se întâlnesc.

Fie din nou aceleaşi lucruri şi fie plasaţi ochii B şi G la distanţe egale faţă de raza ZA, puţin mai sus decât punctul care împarte raza în două părţi egale. Spun că B şi G se vor vedea şi partea din dreapta va apare în stânga, iar stânga în dreapta, imaginea este mai mare şi se află la o distanţă mai mare faţă de oglindă. Fie raza BA reflectată şi fie unite ZB şi ZG de la centrul Z până la B şi G şi fie prelungit BA. Deoarece punctul N este punctul median, BZ este mai

mare ca BA şi unghiul K este mai mare ca unghiul E. Şi unghiul K este egal cu unghiul D, deci unghiul D este mai mare ca unghiul E. Deci ZB va întâlni

A

E

U

G

Y

Z

D

I

R

PN

F

B T

K

A

G

DB N T

Z

P M T

A

B L GK D

N

E

Z

perelungirea lui GA. Fie acest punct de întâlnire P. Din aceleaşi motive şi BA se va întâlni cu ZG în punctul T. G va fi deci văzut în T, iar B în P şi partea dreaptă apare în stânga, iar stânga în dreapta. Dar este adevărat şi că TP este mai mare ca BG, ele fiind de fapt paralele. Deci imaginea apare mai mare şi la o distanţă mai mare faţă de centru, adică MA este mai mare ca AL.

Dacă ochii sunt în exteriorul diametrului, dreapta apare în dreapta, iar stânga în stânga, imaginea este mai mică şi situată între ochi şi oglindă.

Fie ochii B şi G, centrul oglinzii Z şi fie perpendicular pe diametru dreapta AZD şi perpendicular pe aceasta, BG. Şi fie BA egal cu AG şi o rază vizuală BD reflectată până la G şi BZK şi GZE duse prin centru şi fie unite K şi E. Deci B apare în K şi G în E. Dreapta apare atunci

în dreapta, stânga în stânga şi imaginea EK este mai mică decât BG – EK este de fapt paralelă cu BG – şi imaginea apare între faţă şi oglindă.

Şi în raport cu faţa19, imaginea va apare mai mică. Fie de fapt faţa MN, la fel ca BG, dar mai departe ca BG şi plasată la fel. Deoarece raza dusă din M până la centrul Z şi prelungită cade mai sus decât K, cum ar fi în L şi cea din N dusă spre Z, mai sus de E, cum ar fi T, MN apare atunci ca fiind TL. Şi TL este mai mic decât EK şi mai aproape de oglindă.

29. Se poate construi o asemenea oglindă încât în ea să apară mai multe feţe, unele mai mici, altele mai mari, unele mai aproape, altele mai departe, la unele

partea dreaptă în dreapta şi stânga în stânga, la altele partea stângă în dreapta şi dreapta în stânga20.

Fie un plan AM. În acest plan pot fi construite oglinzi convexe cum ar fi AOG, TRK, concave cum ar fi GDE, ZHT şi plane cum ar fi EZ şi KM. Aşezăm faţa în N şi în oglinzile plane imaginile vor apare egale şi distanţate în mod egal (teorema 19), în cele convexe mai mici şi la distanţe mai mici (teoremele 20 – 21), iar în cele concave aşa cum am demonstrat (teoremele 24 – 28).

30. Cu oglinzile concave îndreptate spre soare se aprinde focul21.

Fie o oglindă concavă ABG, soarele EZ, centrul oglinzii T şi de la un punct oarecare D ducem spre centrul T, dreapta DT prelungind-o până la B şi vom lua o rază care cade pe oglindă DG şi care se reflectă până în K. Considerăm că se reflectă deasupra centrului T – unghiul P cu circumferinţa este mai mic decât celălalt unghi rămas BGD. Fie arcul AB egal cu BG şi din D cade pe oglindă o altă rază DA.

D

T LE K

Z

BA

G

M N

A

O

G

D

E Z

H

T

R

K M

N

Este evident că raza AD reflectată va trece prin K datorită faptului că arcul AB este egal cu BG. La fel se demonstrează că toate razele care cad din D pe oglindă şi care taie arce egale, vor întâlni BT în acelaşi punct, puţin mai sus de T.

Fie din nou o oglindă concavă ABG, soarele DEZ, şi dintr-un punct oarecare E, prin centrul T, fie ETB şi din alte puncte D, Z fie DTG, ZTA. Deoarece am demonstrat mai înainte că razele din E se întâlnesc cu ele însăşi, pentru că unghiurile P şi R sunt egale (teorema 3) – fiind de fapt diametre şi cele din Z pentru că unghiurile K şi L sunt egale, cele din D până la DG, pentru că unghiurile N şi X sunt egale. Şi este clar că toate acestea se reflectă prin ele însăşi, fiind duse prin centru taie de fapt semicercuri şi unghiurile la semicercuri sunt egale – reflexia se face sub unghiuri egale, deci se reflectă prin ele însăşi. Toate razele din toate punctele de pe dreptele prin centru se vor întâlni deci în centru. Aceste raze deci vor încălzi în centru şi se vor concentra într-un foc. Astfel că ceea ce este plasat acolo se va aprinde.

NOTE

R

A

B

G

H

P

KT

D

E Z

AB

GKL

R PN X

T

D

E

Z

1 Conform Dicţionarului de Neologisme din 1986, cuvîntul “catoptrica” provine din cuvîntul grecesc “katoptron” (κάτοπτρον) care înseamnă oglindă şi este “capitol al opticii care studiază fenomenele de reflexie a luminii”. În antichitate, dar şi în Evul Mediu, termenul semnifica acea parte a opticii care studiază reflexia luminii pe diferite tipuri de oglinzi.Traducerea de faţă s-a făcut după textul din [2] care se bazează pe Vat. gr.204 unde Catoptrica apare, dar nu imediat după Optica, însă există şi alte manuscrise cum ar fi Vat. gr.191, Marciani graeci 301 şi 303 şi altele. Nu s-a găsit până acum o traducere în limba arabă. În occidentul medieval a circulat o traducere directă în limba latină sub numele De Speculis.În operele antice, referinţe la subiectul Catoptrica se întâlnesc în mai multe locuri. Astfel avem: a) Euclid în Optica A, teorema 19 (…după cum am spus în Catoptrica), dar şi în Optica B; probabil una din aceste citări este o intervenţie editorială ulterioară; b) Theon în comentariul la Almagest de Ptolemeu se referă la cartea lui Arhimede Despre Catoptrice; c) Proclus menţionează Catoptrica în lista de opere ale lui Euclid în In primum Euclidis; d) Heron în De speculis prezintă legături cu Catoptrica; e) Damian în Ipoteze optice 12 redă în mod identic fenomenul 6 (vezi nota 3); f) Comentarii la Meteorologica de Aristotel ale lui Filppon şi Olimpiodor.

2 Asupra autenticităţii acestei opere, dacă ea aparţine într-adevăr lui Euclid sau nu, s-au exprimat pe parcursul timpului mai multe păreri. Astfel, primele consideraţii în acest sens apar în 1882 - Heiberg J.L. - Litterargeschichtliche Studien uber Euklid de Heiberg J.L. (1882), care le extinde apoi în vol. VII al celebrei Euclidis Opera Omnia (1895) [1], [2]. Părerea lui Heiberg este că această operă este o compilaţie târzie, pentru care nu se cunoaşte nici data aproximativă când a fost făcută, nici textele pe care se bazează. Argumente în acest sens pot fi găsite în cele două lucrări citate mai sus. Ne vom opri aici doar la un fragment din Prolegomena din [2], pag.L, cel mai des citat în acest sens: „pe baza celor considerate apare suspiciunea cum că Catoptrica, aşa cum o avem acum, a fost de fapt compilată de Theon ca să fie inclusă împreună cu Optica în τὸ�ν μικρὸ�ν ὰ�στρονομούμενον [Micul tratat despre astre]; În schimb, este credibil că Optica pe care Theon o avea în faţa ochilor este într-adevăr cea scrisă de Euclid în limba veche, pe care nu a tradus-o şi a terminat de fapt în Catoptrica ceea ce a început să modifice în Optica. Dacă ceea ce am bănuit este adevărat, în cod. Vat. 204, τὸ�ν μικρὸ�ν ὰ�στρονομούμενον aşa cum îl avem, pe care l-a compilat Theon, Catoptrica nu a fost cuprinsă la început (Studien p.152). Motivul îndoielii era dacă Euclid a scris într-adevăr Catoptrica, căci nici acest lucru nu putea fi dedus de la pagina 30,3 (deoarece astfel pot fi citate şi alte lucrări), deoarece şi Proclus, în Elem. p.69,2, a avut în mâini tratatul lui Theon şi la care numele lui Euclid este alăturat uşor din cauza asemănării sale cu Optica. În structura operei sale Theon ar fi putut folosi şi Catoptrica lui Arhimede pe care a avut-o (în Ptolem synt. p.10; cfr.schol. nr.7) şi a lui Heron, şi de fapt citează la p.286,17-19, din Arhimede prin Olimpiodor în Comentarii la Meteorol. II p.94 ed.Ideler şi prop.4 este citată ca prop.7 la Heron (Rose, Anecdota II p.322; cfr. ibid. prop.9 = Catoptr. 24, prop. 10 = 5).”Albert Lejeune, în lucrările [3] şi [4] are o părere diferită. Pe scurt, el afirmă că această lucrare are un nucleu scris înaintea lui Arhimede, cu adăugiri succesive, una de dinaintea lui Ptolemeu, alta datorită redactorului final, Theon, care a revizuit în profunzime textul (spre deosebire de cel al opticii), deoarece între timp s-au înregistrat mai multe progrese în domeniu; probabil, Theon dorea un manual de nivel intermediar comparativ cu tratatul lui Ptolemeu.Părerile de mai sus nu sunt susţinute de K. Takahashi şi W.Knorr. În lucrarea [5] la pag.33, Takahashi spune: „Aş vrea să propun o nouă ipoteză de lucru, în locul celei curente şi anume că Catoptrica este în întregime aşa cum o avem astăzi o operă euclidiană…”, iar în [6], W.Knorr folosind alte argumente stilistice şi filologice decât Heiberg şi negând existenţa vreunei Catoptrici arhimedeene, ajunge la aceeaşi concluzie cum că opera despre care vorbim este scrisă într-adevăr de Euclid. Ca mărturie decisivă, Knorr ia în considerare fragmentul 16 din „Apologia – Sive pro se de magia liber” scris de Apuleius (cca 123 – 180 d.Hr.). Iată acest fragment:„Nu vi se pare că filosofii trebuie să cerceteze şi să studieze toate astea, că numai ei trebuie să acorde atenţia cuvenită tuturor oglinzilor, fără excepţie, indiferent dacă sunt lichide sau solide? Dar în afară de asta, lucru de care deja am vorbit, filosofii trebuie să se mai gândească de ce reflexiile în oglinzi plane apar practic egale cu obiectele, iar în cele convexe şi sferice, totdeauna apar mai mici, pe când în cele concave – din contra, mărite;unde şi de ce stânga devine dreapta; când imaginea în aceeaşi oglindă ba se îndepărtează în adâncime, ba se apropie [evident, se are în vedere cazul în care omul ba se apropie de oglindă şi imaginea i se mişcă în întâmpinare, ba se îndepărtează şi imagine se duce în adâncime]; de ce oglinda concavă dacă este în faţa soarelui aprinde iasca aflată în faţa ei; cum se explică culorile curcubeului, sau cum se face că uneori apar pe cer două imagini identice ale soarelui, în fine, cum se produc o mulţime de alte fenomene asemănătoare, despre care scrie în opera sa monumentală Arhimede din Siracuza [este vorba de „” (Despre oglinzi) care nu a ajuns la noi], care i-a uimit pe toţi cu iscusinţa sa în orice domeniu al matematicii, dar care merită o apreciere deosebită şi pentru faptul că deseori s-a uitat cu atenţie în oglindă”.Nu intrăm aici în analiza argumentelor, dar vom sublinia doar faptul că Knorr împacă cumva contradicţia dintre menţionarea operei lui Arhimede cu conţinutul Catoptricii pe care o atribuie, iată, lui Euclid, prin presupunerea că opera lui Arhimede este pierdută. Argumentaţiile amănunţite ale lui Takahashi şi Knorr pot fi citite în lucrările menţionate, iar o sinteză a lor poate fi găsită în lucrarea [7].

3 În ediţia canonică a Catoptricii [2], cele şase afirmaţii de la început nu sunt denumite în niciun fel. Deşi în alte ediţii ele au fost numite definiţii sau postulate sau altfel, noi le vom spune fenomene pentru că în textul care urmează se face apel la acestea sub numele de fenomene (de exemplu, teorema 16). Un alt motiv este că aceste afirmaţii se pare că sunt rezultatul unor observaţii experimentale (un fel de principii ale catoptricii) care stau la baza demonstraţiilor ulterioare. Cu titlu informativ, spre exemplu, în [8] şi [9] numai afirmaţiile 4 şi 5 sunt numite fenomene, în schimb în [10] primele trei afirmaţii sunt numite „suppositione”, iar celelalte „apparenze”. În [11], se afirmă doar că lucrarea începe cu 7 axiome intitulate „Phaenomenon”, fără a le enunţa, după care se trece le enunţul teoremelor fără demonstraţii.

4 Acest enunţ este o preluare cuvânt cu cuvânt din dialogul Parmenide de Platon (137e,3-4) şi este discutată şi de Aristotel în Topica Z11, 148b,23-32. Iată traducerea în limba română aşa cum apare în Platon Opere vol VI, Ed. Şt. Şi Enc. , Bucureşti, 1989: „...în linie dreaptă este lucrul al cărui mijloc s-ar interpune între extremităţile sale, două la număr”. Având în vedere că aici se exprimă de fapt ce este raza vizuală, am preferat să înlocuim traducerea cuvântului grecesc din „interpune” în „obturează” (nu permite să se vadă).

5 Acest enunţ considerat împreună cu primul, pare că prezintă o contradicţie şi chiar o tautologie. Pe de o parte, primul enunţ spune că raza vizuală este o dreaptă al cărei mijloc nu permite să se vadă extremităţile sale, iar pe de altă parte, al doilea, afirmă că lucrurile se văd tocmai prin aceste linii drepte. Faptul că Euclid nu se foloseşte aici de definiţia sa a dreptei din Elemente, sugerează ori că avem de-a face cu o compilaţie de texte preeuclidiene, făcută de însuşi Euclid [5], ori, după cum sugerează Maurice Caveing în [7], avem de-a face cu folosirea cu bună ştiinţă a textului platonician tocmai pentru a conferi un caracter experimental acestui enunţ. Definiţia dreptei din Elemente este pur abstractă, pe când cea aleasă are o bază experimentală: orice obstacol, chiar şi punctiform, obturează, ocultează tot ce este în spatele său. Această abordare empirică, departe de a fi contradictorie sau tautologică reprezintă de fapt ceea ce cunoaştem astăzi sub numele de “principiul propagării rectilinii a luminii” din optica geometrică.

6 Sub această exprimare antică, suficient de neclară, se ascunde de fapt un lucru simplu. Dacă, de exemplu, AB este oglinda plană, AD este obiectul perpendicular pe oglindă, ochiul se află în C şi vizăm punctul D, atunci lumina cade pe oglindă în punctul de incidenţă I şi parcurge drumul DIC.

A BI

D

C

Enunţul lui Euclid afirmă că , unde CI este „dreapta dintre oglindă şi cel ce observă”, DI este distanţa „dintre oglindă şi înălţimea perpendiculară”, CB este „înălţimea celui ce observă” şi DA este

„înălţimea perpendiculară pe plan”. Proporţia de mai sus este echivalentă cu . De aici rezultă imediat, din asemănarea triunghiurilor ADI şi BCI, că unghiurile făcute de raza incidentă şi raza reflectată cu planul oglinzii sunt egale, şi mai departe, egalitatea dintre unghiul de reflexie şi unghiul de incidenţă, aşa cum sunt ele definite astăzi în optica geometrică. Cu alte cuvinte, legea reflexiei luminii, lege fundamentală pentru oglinzi.Se pune o întrebare firească: de ce s-a preferat o exprimare destul de încurcată în locul concluziei simple referitoare la egalitatea celor două unghiuri, care de fapt este concluzia firească a primei teoreme. Răspunsul se află în logica construcţiei Catoptricii. Aşa cum am afirmat deja, cele şase afirmaţii iniţiale sunt fapte experimentale. Foarte probabil, pentru Euclid era mai uşor să probeze experimental proporţia de mai sus, decât să măsoare unghiurile şi să arate că ele sunt egale. Conform [7], această afirmaţie determină de fapt poziţia punctului de incidenţă al luminii pe oglindă şi descrie utilizarea unei oglinzi plane foarte mici, asimilabile cu o aproximaţie destul de grosieră cu un punct, care se deplasează pe un plan orizontal la fiecare variaţie a înălţimii unui corp mic mobil pe verticală până ce imaginea acestuia devine din nou vizibilă. Pentru fiecare caz se măsoară distanţele respective şi se stabileşte proporţia enunţată. Este un studiu experimental propriu-zis cu ajutorul căruia de fapt, se determină în mod indirect, legea reflexiei luminii. (Dacă oglinda este foarte mică, situată undeva în vecinătatea punctului I, atunci distanţa dintre oglindă şi înălţimea perpendiculară este AI, iar BI va fi distanţa dintre oglindă şi perpendiculara dusă din ochi pe planul în care se află oglinda; astfel se obţine direct a doua proporţie de mai sus şi aşa a fost înţeles enunţul acesta de mai mulţi traducători [4], [12], [13]).

Având în vedere însă şi enunţurile următoare şi modul în care Heron din Alexandria (sec. I, î.Hr.) a stabilit experimental legea reflexiei, lucrurile s-ar fi putut desfăşura şi altfel, aşa cum vom vedea când ne vom opri la teorema 16, care fixează poziţia imaginilor în oglinzi. Oricum, nu există o unanimitate a vederilor la cercetătorii operei lui Euclid.

7 Fenomenele 4 şi 5 prezintă şi mai multe dificultăţi de traducere şi înţelegere corectă. Aceste dificultăţi se datorează în special modului în care a fost tradus cuvântul grecesc care poate însemna a lua, a confisca, a ocupa. Majoritatea traducătorilor moderni au folosit cuvântul “ocupat”. În primul rând se pune întrebarea: ocupat de către cine este locul în care cade perpendiculara dusă de la ceea ce este văzut pe oglindă ? În primul rând este exclus ca acel loc să fie ocupat de ochi sau de obiectul pe care îl vizăm. Aşa ceva n-are sens. În al doilea rând nu putem fi de-acord nici cu afirmaţia lui Lejeune [4] conform căreia “oricare ar fi poziţiile relative ale ochiului, obiectului şi oglinzii, obiectul nu se mai poate vedea dacă de exemplu, o pastilă opacă acoperă piciorul perpendicularei duse de la obiect pe oglindă”, care este evident falsă şi inacceptabilă. Considerăm că, iarăşi, răspunsul cel mai apropiat de adevăr se află în lucrarea [7] unde se afirmă: “Dacă privim spre o oglindă plană AB, orizontală, de sus în jos, ca în figură, modificând poziţia ochiului V şi păstrând aceeaşi poziţia obiectului O şi a oglinzii, singurul moment în care se pierde din vedere imaginea obiectului în oglindă este cel în care ochiul ajunge deasupra obiectului, pe verticala dusă spre oglindă.

A

O

V

H B

Pentru observator, pe oglinda văzută de sus, piciorul perpendicularei coborâte de la obiect este mascat de obiectul însuşi, sau altfel, locul respectiv de pe oglindă este „luat”, sau „ocupat” în timp ce toate celelalte puncte ale oglinzii sunt „libere”. Regăsim aceeaşi idee a razei vizuale întrerupte ca urmare a ocultării sau obturării ei, la fel ca în primul fenomen.”În aceste condiţii, putem spune că fenomenul 4 afirmă că într-o oglindă plană nu se vede obiectul dacă locul în care cade perpendiculara dusă de la obiect pe oglindă este mascat de obiect, iar fenomenul 5, faptul că într-o oglindă convexă, obiectul nu se vede dacă locul unde dreapta care uneşte centrul sferei cu obiectul şi intersectează sfera este mascat de obiect. La fel şi pentru oglinzi concave. Un loc este mascat pentru un ochi dacă între el şi ochi se află un obiect opac ce întrerupe raza vizuală.În felul acesta, primele 5 fenomene se află într-o succesiune logică. Primul afirmă că raza vizuală este o linie dreaptă, al doilea că vedem numai lucrurile care se află pe direcţia unei raze vizuale, al treilea spune pe unde ajunge o rază vizuală la un obiect în cazul în care în calea ei se pune o oglindă, iar al patrulea şi al cincilea fenomen vorbesc despre cazul particular când raza vizuală întâlneşte mai întâi obiectul şi nu mai ajunge la oglindă.

8 Ultimul fenomen descrie refracţia luminii. Ceea ce se afirmă în enunţ este ilustrat pe figura de mai josO

M

A

BM1

Fie ochiul O, corpul vizat M şi un vas cu pereţii opaci. Dacă în vas nu se află apă, corpul M nu se vede, pentru că raza vizuală ajunge în M1. Dacă se toarnă apă în vas şi ochiul rămâne fix, la un moment dat, corpul M se vede, pentru că raza vizuală se frânge (se refractă) pe suprafaţa apei şi ajunge la obiectul observat. Evident că acest lucru putea fi cunoscut numai din experienţă. Nu există o lege a fenomenului, dar ceea ce este interesant este că mai departe, pe tot parcursul Catoptricii nu se face deloc apel la acest fenomen. Într-adevăr, refracţia luminii nu este obiectul de studiu al Catoptricii, dar de ce a fost inclus acest fenomen printre celelalte? Unii autori presupun că ceea ce avem la dispoziţie este doar o parte a Catoptricii iniţiale, restul, unde poate se face apel şi la acest fenomen, fiind pierdută.

9 Aici este singurul loc în care Euclid se referă la „fenomene” şi le spune definiţii.

10 Teoremele 1 -3 se referă la reflexia unei singure raze de lumină pe oglinzi. Teorema 1 demonstrează pe baza fenomenului 3 legea reflexiei luminii pe oglinda plană, apoi adăugând şi consideraţii geometrice şi pe oglinzile concave şi convexe. Subliniem că peste tot oglinzile concave şi convexe se consideră în mod tacit sferice. Teoremele 2 şi 3 folosesc metoda reducerii la absurd şi se referă la cazul incidenţei normale pe o oglindă, respectiv la faptul că raza incidentă oblic pe o oglindă nu se reflectă niciodată prin ea însăşi şi nici pe aceeaşi parte. O urmărire amănunţită a legii reflexiei luminii începând din antichitate până aproape de 1500 poate fi consultată în lucrarea [5].

11 Aici demonstraţia conţine o notaţie ambiguă, unghiurile fiind notate de Euclid (în această demonstraţie) cu o singură literă. În plus, cele spuse până aici erau suficiente pentru a trage concluzia corectă că razele AH şi GZ se vor întâlni.

12 Grupul de teoreme 4-6 se referă la intersecţia razelor vizuale reflectate şi provenite de la acelaşi ochi: în cazul reflexiei pe oglinda plană şi convexă acestea nu se intersectează şi nici nu sunt paralele (teorema 4), în cazul reflexiei pe oglinda concavă acestea se intersectează dacă ochiul se află în centru sau pe circumferinţa oglinzii (teorema 5) şi se pot intersecta sau nu dacă ochiul se află între centru şi circumferinţă (teorema 6). Tradus în limbajul opticii geometrice actuale, aceste teoreme afirmă că oglinzile plane şi convexe nu produc imagini reale, iar cel concave pot da şi imagini reale, în funcţie de poziţia obiectului. Pentru Euclid, dar nu numai, noţiunea de imagine aşa cum o înţelegem astăzi, nu exista. Nu trebuie confundat „ceea ce vede ochiul” cu imaginea unui obiect în sensul în care o înţelegem astăzi.

13 Teoremele 7 – 12 trebuie privite cu rezerve. În ansamblu, ele se referă la relaţiile spaţiale dintre obiect şi ceea ce se vede în diferite tipuri de oglinzi. Astfel, teoremele 7 şi 8 se referă la inversiunea sus – jos în oglinzile plane (teorema 7), respectiv convexe (teorema 8), teoremele 8 şi 10 se referă la păstrarea relaţiilor de mai aproape şi mai departe de ochi la obiectul care se vede în oglinda plană (teorema 9) şi cea convexă (teorema 10), iar în cazul oglinzilor concave la faptul că relaţia sus – jos (teorema 11), respectiv mai aproape – mai departe (teorema 12) se păstrează numai dacă obiectul văzut se află dicolo prima intersecţie a razelor vizuale, respectiv între oglindă şi acea intersecţie.Teorema 7 afirmă un lucru real, demonstraţia este corectă în limitele opticii euclidiene, însă ceea ce pare anormal este că determinarea poziţiei imaginii (adică a locului unde vede ochiul obiectul în oglindă conform terminologiei lui Euclid) se face cu ajutorul regulii care este demonstrată abia în teorema 16. Teoremele 8 – 12 sunt enunţate ambiguu, iar desenele ataşate nu spun nimic. Aşa zisele demonstraţii sunt absolut inconsistente. Este foarte probabil că avem de-a face cu texte corupte sau cu intervenţii masive în text. De altfel, deja în traducerile medievale [8], [10] figurile ataşate acestor toreme arată altfel, aşa cum se vede de ex. pe figura de mai jos, care este ataşată teoremei 8.

Se observă că se foloseşte şi aici modul de construcţie a imaginilor în oglinzi sferice care va fi enunţat abia în teorema 17 şi ceea ce afirmă teoremele pare mai veridic. Şi celelalte teoreme (9 – 12) au altfel de figuri ataşate.

14 Teoremele 13, 14 şi 15 se referă la sisteme de oglinzi în care se poate vedea un obiect. Teorema 13 se referă la un număr oarecare de oglinzi plane, iar celelalte două la un număr fixat dinainte de oglinzi plane (teorema 14), respectiv oglinzi concave sau convexe (teorema 15).

15 Următoarele trei teoreme sunt de importanţă mai mare, pentru că ele se referă de fapt la modul de obţinere a imaginii (în sensul de ceea ce vede ochiul), în oglinzi plane (teorema 16), convexe (teorema 17) şi concave (teorema 18). Ne vom opri puţin mai mult asupra acestor teoreme.În limbaj modern, teorema 16 afirmă că imaginea unui obiect punctiform A într-o oglindă plană se formează la intersecţia dintre perpendiculara dusă din A pe oglindă şi prelungirea razei dintre ochi şi oglindă. În teoremele 17 şi 18, valabile pentru oglinzi sferice, perpendiculara este înlocuită cu linia care uneşte obiectul punctiform cu centrul sferei. Acesta a fost modul standard de construcţie a imaginilor în oglinzi folosit în antichitate şi în evul mediu. Regăsim această metodică în operele lui Heron, Ptolemeu, Ibn al Haytham, Grosseteste, Witelo, Kepler şi chiar la începutul secolului al XVIII-lea (în Optica lui Robert Smith din 1738).De fapt, enunţul nu menţionează punctul de intersecţie, ci doar că „obiectul este văzut pe perpendiculara dusă [pe oglindă] din ceea ce este văzut”. Raţiunea unui asemenea enunţ este, aşa după cum se afirmă în demonstraţie, ceea ce afirmă Fenomenul 4 (iar pentru celelalte oglinzi, fenomenul 5), adică dacă piciorul perpendicularei pe oglindă este ocupat, atunci obiectul nu se mai vede, de unde evident şi contrariul, dacă este liber, obiectul se vede şi se vede de-a lungul razei vizuale care este perpendiculară pe oglindă. Dar şi raza vizuală care pleacă de la ochi şi prin reflexie ajunge la obiect permite vederea obiectului, deci ceea ce se vede, se vede şi pe direcţia acestei raze. Prin urmare obiectul se vede la intersecţia celor două raze vizuale.Interesant este că deşi principiul de construcţie al imaginilor a fost înţeles, Fenomenele pe care se bazează acesta au suscitat însă numeroase controverse, pe care le-am amintit în notele referitoare la aceste Fenomene. Mai multe despre interpretarea acestor teoreme pe parcursul timpului, se poate afla din [14].

16 Sunt demonstrate proprietăţile binecunoscute ale oglinzilor plane: egalitatea dintre mărimea imaginii şi cea a obiectului, simetria dispunerii imaginii şi obiectului faţă de oglindă şi inversiunea stânga – dreapta. Construcţia geometrică se bazează pe teorema 16.

17 Teoremele următoare, 20 – 23, se referă la proprietăţile oglinzilor convexe: inversiunea stânga – dreapta şi faptul că distanţa la care se formează imaginea faţă de oglindă este mai mică decât cea de la obiect la oglindă (teorema 20), imaginea este de fiecare dată mai mică decât obiectul (teorema 21), în oglinzi convexe mai mici, imaginile sunt mai mici (teorema 22) şi imaginile date de aceste oglinzi sunt convexe (teorema 23). Din punct de vedere al opticii geometrice actuale, teorema 20 nu este totdeauna adevărată, demonstraţia teoremei 22 este aproximativă şi transpusă în limbaj actual afirmă că dacă raza oglinzii creşte, atunci mărirea liniară transversală creşte dacă obiectul dat este fix în raport cu oglinda, iar teorema 23 afirmă că de fapt imaginea unui obiect liniar este distorsionată, dar enunţul este destul de vag (ca şi demonstraţia) şi nu se precizează ce se înţelege prin imagine convexă.

18 Următorul grup de teoreme, 24 – 28, analizează proprietăţile oglinzilor concave: un ochi aflat în centru vede doar pe el însuşi (teorema 24), dacă un ochi plasat pe oglindă sau în exteriorul ei se vede pe el însuşi (teorema 25), ce părţi ale oglinzii nu se pot vedea de către un ochi plasat în interiorul oglinzii (teorema 26), formarea imaginilor văzute de ambii ochi (vedere binoculară) (teoremele 27 şi 28). Teorema 26 afirmă ceea ce în limbaj contemporan spune că imaginile reale într-o oglindă concavă sunt totdeauna răsturnate faţă de axul optic principal. Teorema 27 este greşită. Un obiect plasat în centrul unei oglinzi concave dă o imagine reală, egală cu obiectul şi răsturnată aflată tot în centrul oglinzii. Deci un ochi îl vede pe celălalt. Euclid ia în considerare în demonstraţia sa raza vizuală BED care însă este obturată de prezenţa celuilalt ochi şi prin urmare nu există două raze vizuale care să se intersecteze şi să formeze imaginea. În realitate, ochiul nu este punctiform, deci există mai multe raze care pleacă de la un ochi şi ajung la celălalt, deci ochii se văd unul pe celălalt, dar experimental, afirmaţia strictă a teoremei nu se poate verifica pentru că nu se pot plasa ochii separat, iar capul obturează lumina. De aici probabil a provenit şi greşeala lui Euclid. Prima parte a teoremei 28 afirmă că privind spre oglinda concavă cu faţa (deci şi ochii) plasată între centrul oglinzii şi focar, pentru ca un ochi să-l vadă pe celălalt, ar trebui ca celălalt ochi să fie mai în spate, dincolo de centrul oglinzii, ceea ce evident este imposibil, deci ochii nu se văd. Dacă ochii sunt în planul focal, imaginile lor sunt la infinit; nici în acest caz ochii nu se văd. Dacă însă ochii sunt între focar şi oglindă, un ochi nu-l vede pe celălalt, ci fiecare cel mult pe el însuşi, imaginile fiind virtuale. Ultima parte afirmă chestiuni adevărate. În tot ceea ce s-a afirmat aici, s-a presupus un ochi ca receptor aproximativ punctiform de lumină şi nu ca un sistem optic (care conţine o lentilă şi care formează o nouă imagine a celei obţinute în urma reflexiilor pe oglinzi).

19 E vorba de faţa omului care priveşte spre oglindă.

20 Teorema analizează posibilitatea construirii unor oglinzi compozite capabile să deformeze într-un anumit mod imaginea feţei. Demonstaţia este însă precară.

21 Ultima teoremă se referă la posibilitatea construirii unor oglinzi cu care se poate aprinde focul prin concentrarea razelor solare într-o zonă foarte mică din spaţiu. Despre utilizarea acestor oglinzi, inclusiv în scopuri militare, vom trata mai mult în capitolul dedicat lui Arhimede.