euler - matemáticas i tema: 11 1 funciones. gráficas de funciones final concepto de función r...
TRANSCRIPT
Euler - Matemáticas I Tema:
11 1Funciones. Gráficas de funciones
Final
Concepto de función
R
Dominio y recorrido
• El dominio, Dom(f), de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. Para que la función quede determinada se ha de definir su dominio.
• El recorrido, Rec(f), de una función es el conjunto de todas las imágenes.
Una función es una ley que asigna a cada elemento x, de un conjunto un único elemento, f(x) llamado imagen, de otro o del mismo conjunto
R
• 4• 5,29• 25
RecorridoDominio
• 2• 2,3• 5
f(x) = x2
f(2) = 4
f(2,3) = 5,29
f(5) = 25
Euler - Matemáticas I Tema:
11 2Funciones. Gráficas de funciones
Final
Dominio y recorrido
- 2 - 1 1 2- 0.5
0.5
1
1.5
2
X
Y
Dom(f) = [-2, 2]
Rec(f) =
[0, 2 ]
f(1) = 3
(1, 3 )
Variableindependiente
Ley deasociación
Variable dependiente
x f f(x)Dom(f) = [-2, 2] f(x) = 4 - x2 Rec(f) = f([-2 2]) = [0, 2]
3
y = f(x) = 4 - x2
Euler - Matemáticas I Tema:
11 3Funciones. Gráficas de funciones
Final
Gráfica de una función
Ver cómo dibuja el ordenador una
función: pasa el ratón por encima
La gráfica de una función y = f(x) es el conjunto de todos los pares (x, y), donde x pertenece a dominio de la función e y = f(x) es el valor que toma
la función f en el elemento x
• El ordenador puede dibujar funciones punto a punto. En el ejemplo la primera vez dibuja con puntos separados. La segunda vez con puntos muy cercanos.
• Si los puntos no están adecuadamente elegidos incluso el ordenador puede fracasar, y no ser capaz de darnos el aspecto de la función.
Gráfica de la función y = x
1 + x2
Euler - Matemáticas I Tema:
11 4Funciones. Gráficas de funciones
Final
Gráfica de una función
Ver cómo dibuja el ordenador una
función: pasa el ratón por encima
La gráfica de una función y = f(x) es el conjunto de todos los pares (x, y), donde x pertenece a dominio de la función e y = f(x) es el valor que toma
la función f en el elemento x
• El ordenador puede dibujar funciones punto a punto. En el ejemplo la primera vez dibuja con puntos separados. La segunda vez con puntos muy cercanos.
• Si los puntos no están adecuadamente elegidos incluso el ordenador puede fracasar, y no ser capaz de darnos el aspecto de la función.
Gráfica de la función y = x
1 + x2
Euler - Matemáticas I Tema:
11 5Funciones. Gráficas de funciones
Final
Gráficas de algunas funciones (II)
• Es una parábola• Dom (f) = R• Rec(f) = [0, +)
• Es una cúbica• Dom (f) = R• Rec(f) = R
Función f(x)=x
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
Y
2 Función f(x)=x -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
Y
3
Euler - Matemáticas I Tema:
11 6Funciones. Gráficas de funciones
Final
Gráficas de algunas funciones (III)
• Es una hipérbola• Dom (f) = R - {0}• Rec(f) = R - {0}
• Dom (f) = [0, +)• Rec(f) = [0, +)
Función f(x)=1/x -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
Y
Función f(x) = raíz de x -1
0
1
2
3
4
5
-1 0 1 2 3 4 5
X
Y
Euler - Matemáticas I Tema:
11 7Funciones. Gráficas de funciones
Final
Gráficas de algunas funciones (IV)
• Dom (f) = R• Rec(f) = R
Función f(x) = raíz cúbica de x -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
Y
Euler - Matemáticas I Tema:
11 8Funciones. Gráficas de funciones
Final
Funciones definidas a trozos
f (x) = x + 1 si x 0x - 1 si x > 0
x + 1 si x 0 x - 1 si x >0
X
Y
• Dom (f) = R• Rec (f) = R
1
-1
-1
1
Euler - Matemáticas I Tema:
11 9Funciones. Gráficas de funciones
Final
Función y = |x|
| x | = -x si x 0x si x > 0
- x si x 0 x si x >0
X
Y
• Dom (f) = R• Rec (f) = [0, +)
Euler - Matemáticas I Tema:
11 10Funciones. Gráficas de funciones
1 32-1-2
Final
Función y = [ x ]
f(x) = [ x ] =
.......-3 si -3 x<-2-2 si -2 x<-1-1 si -1 x<00 si 0 x<11 si 1 x<2.......
X
Y
• Dom (f) = R• Rec (f) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ....}
Euler - Matemáticas I Tema:
11 11Funciones. Gráficas de funciones
Final
Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable dependiente
Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces la función y =f(x)+a pasa por el punto (xo, yo+a). La gráfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a unidades hacia la arriba (abajo) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)
X
Y
Gráfica de y = f(x)
Gráfica de y = f(x)+2
X
Y
Trasladamos la gráfica de y = f(x), 2
unidades hacia arriba
Euler - Matemáticas I Tema:
11 12Funciones. Gráficas de funciones
Final
Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable independiente
Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo, yo) entonces la función y =f(x+a) pasa por el punto (xo - a, yo). La gráfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la izquierda (derecha) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)
X
Y
Gráfica de y = f(x)
Gráfica de y = f(x+2)
Trasladamos la gráfica de y = f(x) 2 unidades
a la izquierda
X
Y
Euler - Matemáticas I Tema:
11 13Funciones. Gráficas de funciones
Final
Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable dependiente
Gráfica de y = f(x)
Gráfica de y = 2f(x)
Se dilata la gráfica verticalmente al
doble
Si y = f(x) pasa por (xo,yo) entonces y = af(x) pasa por (xo, ayo). Por ello para a>1 esta transformación dilata verticalmente la gráfica, y para 0 < a < 1 la contrae verticalmente
X
Y
X
Y
Euler - Matemáticas I Tema:
11 14Funciones. Gráficas de funciones
Final
Gráficas de f(x) y de - f(x) (I)
Conocida la gráfica de y = f(x), la gráfica de g(x) = - f(x) es simétrica respecto al eje de abcisas, ya que los puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x)) son simétricos respecto a este eje
X
Y
X
Y
Gráfica de y = f(x)
Gráfica de y = - f(x)
Se simetriza la gráfica respecto al eje OX
Euler - Matemáticas I Tema:
11 15Funciones. Gráficas de funciones
Final
Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable independiente
Si la función y = f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces y = f(ax) pasa por el punto (xo/a, yo). Si a > 1 la gráfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1 la gráfica se dilata horizontalmente
X
Y
Gráfica de y = f(x)
Gráfica de y = f(2x)
Se contrae la gráfica horizontalmente a la
mitadX
Y
Euler - Matemáticas I Tema:
11 16Funciones. Gráficas de funciones
Final
Gráficas de f(x) y de f(-x) (II)
Las gráficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son simétricas respecto al eje de ordenadas ya que los puntos (x, f(x)) y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simétricos respecto a este eje
X
Y
Gráfica de y = f(x)
Gráfica de y = f(-x)
X
Y
Se simetriza la gráfica respecto al eje OY
Euler - Matemáticas I Tema:
11 17Funciones. Gráficas de funciones
Final
Funciones pares
X
Y
f(x) = x4 - 2x2 presenta simetría respecto a la recta x = 0 (Eje Y) ya que f(-x) = f(x) x D. Se dice que es una función par
x-xx = 0
P(x, f(x))• P(-x, f(-x)) •
Euler - Matemáticas I Tema:
11 18Funciones. Gráficas de funciones
Final
Funciones impares
X
Y
f(x) = x3/(x2-1) presenta simetría respecto al origen de coordenadas ya que f(-x) = - f(x) x D. Se dice que es una función impar
x
• P(x, f(x))
-x
P(-x, f(-x)) •
f(x)
f(-x)