evaluación: fecha: solución: ejercicio nº 2.- · ejercicio nº 1.- calcula: 2 2 a) lim 3 x x lim...
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1
Ejercicio nº 1.- Calcula:
22
3a) xlimx
xlimx
21b)8
xsenlimx
2
c)
Solución:
2553a) 22
2
xlim
x
54116121b)8
xlimx
12
lim)
2
senxsencx
Ejercicio nº 2.- Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y
por la derecha de x 0:
xx
xlimx 2
1220
Solución:
2
12
2
12
020
xx
xlim
xx
xlim
xx
Calculamos los límites laterales:
xx
xlim
xx
xlim
xx 2
12
2
122020
Ejercicio nº 3.- Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
133
5423
2
1
xxx
xxlimx
Solución:
Evaluación: Fecha:
2
213123
2
1 1
5
1
51
133
54
x
xlim
x
xxlim
xxx
xxlim
xxx
1
Ejercicio nº 4.-
funciónsiguienteladecuando ycuando límite el Calcula x x
y representa la información que obtengas:
3
421 2 xxxf
Solución:
3
421
3
421 22 xxlim
xxlim
xx
Ejercicio nº 5.- Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
x
xlimx 35
3a)
x
xlimx 35
3b)
Solución:
13
3
35
3a)
x
xlim
x
1
3
135
3b)
x
xlim
x
1
Ejercicio nº 6.-
:xf función la de gráfica la es Esta
4
6
8
2
6 82 44 28 62
4
6
Y
X
a) ¿Es continua en x = 2?
b) ¿Y en x 0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad. Solución:
a) No es continua en x 2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).
b) Sí es continua en x 0. Ejercicio nº 7.-
Calcula a para que la función fx sea continua en x 1:
si 1
si 12
x + 3 xf x
2x a x
Solución:
11
2
11
3 2
2 2
1 2
xx
xx
lim f x lim x
lim f x lim x a a
f
4
1 1
Para que sea continua en 1, 1 . Por tanto, 2 2 0x x
x lim f x lim f x f a a
Ejercicio nº 8.- Dada la función:
12
12
xx
xf
halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas. Solución:
2 2 1 0 1x x x
Solo tiene una asíntota vertical: x 1 Posición de la curva respecto a la asíntota:
221
1
12
1
xxx
2121 1
1
1
1
xlim
xlim
xx
1
Ejercicio nº 9.-
representa yfunción siguiente la deycuando infinitas, ramas las Halla xx
los resultados obtenidos:
x
xxxf 2
23
23
Solución:
xxx
lim
xxx
lim
x
x
223
223
23
23
5
Ejercicio nº 10.- Dada la función:
3
13
x
xxf
resultados los representa ycuando ycuando infinitas, ramas sus halla ,xx
obtenidos. Solución:
3
13
x
xlim
x
3
13
x
xlim
x
Ejercicio nº 11.-
yfunción siguiente la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x
representa los resultados que obtengas:
1
122
2
x
xxf
Solución:
21
12
21
12
2
2
2
2
x
xlim
x
xlim
x
x
2
6
Con calculadora podemos comprobar que:
Dando valores muy grandes y positivos , la curva va por debajo de lax
asíntota y 2.
Dando valores muy grandes y negativos , la curva va por debajo de lax
asíntota y 2. Ejercicio nº 12.- a) La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua?
2
23 2
x
xxf
b) Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a ella.
Solución: a) Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, la función
tiene una asíntota oblicua.
23 2 103 6 Asíntota oblicua: 3 6
2 2
xx y x
x x
10Cuando , 0 La curva está por encima de la asíntota.
2x
x
10Cuando , 0 La curva está por debajo de la asíntota.
2x
x
• Representación:
2
6
y x=3 6
Ejercicio nº 13.- Estudia la continuidad de la función:
7
2
1 si 1
2
si 1 2
2 si 2
xx
f xx x x
x
Solución:
1El primer tramo de función no está definido en 2, valor que pertenece a la
2y x
x
semirrecta x < 1. Luego f x es discontinua en x 2. En los otros dos tramos, hay una función cuadrática y una función constante, ambas continuas
en todo . Estudiamos la continuidad de los puntos de ruptura:
• x 1:
2
11
2
11
1 1 1 2
1 11
2 1 2
1 1 2
xx
xx
f
lim f x limx
lim f x lim x x
1
No existe , luego la función es discontinua en 1.
Se produce un salto en 1.
xlim f x x
x
• x 2:
2
2 22
22
2 2
2 2 2
2 2
x xx
xx
f
lim f x lim x x limf x f
lim f x lim
La función f x es continua en x 2.
Luego fx es continua en todo excepto en x 2 y x 1.
Ejercicio nº 14- Calcula estos límites:
1b)13a) 92
x
elímxxlím
x
xx Solución:
2
9
92 13a) xlímxxlímxx
8
00
11)b
x
elím
x
elím
x
x
x
x Ejercicio nº 15.- Halla los límites:
xx
xxlímxxxlímxx 2
13b)325a)
6
22
Solución:
xxx
xxxxxxlímxxxlím
xx 325
325325325a)
2
22
2
xxx
xxlím
xxx
xxxlím
xx 325
24
325
925
2
2
2
22
02
13
2
13b)
6
2
6
2
xx
xxlím
xx
xxlím
xx
Ejercicio nº 16.- Calcula los siguientes límites:
1
23
22b)
23
12a)
2
x
x
x
x x
xlím
x
xlím
Solución:
03
2
23
12
23
12a)
22
x
x
x
x x
xlím
x
xlím
2
5
23
551·23
23221·1
23
221
23
22b)
eeee
x
xlím x
xlímx
x
xxlímx
x
xlím
x
x
xxx
Ejercicio nº 17.- Halla el valor del siguiente límite:
43
10223
2
2
xx
xxlímx
Solución:
)0(
9
21
52
21
252
43
102
22223
2
2
xx
xlím
xx
xxlím
xx
xxlím
xxx
Hallamos los límites laterales:
21
52;
21
52
22 xx
xlím
xx
xlím
xx Ejercicio nº 18.- Calcula el límite:
9
1
3
21 6
42
x
x
x xx
xlím
Solución:
)1()6(
)3()23(
1
3·
6
642
1
3·1
6
421
3
21
2
2
12
2
121
6
42 xxx
xxxlím
x
x
xx
xxxlím
x
x
xx
xlímx
x
x
xxxeee
xx
xlím
2
1
6
3
6
)2(3
)1()6(
)1()2(3
2121
eeee xx
xxlím
xxx
xxxlím
xx
Ejercicio nº 19.- Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:
103
8232
2
xx
xxxf
Solución:
25
243
103
8232
2
xx
xx
xx
xxxf
Dominio {5, 2}
f (x) es continua en {5, 2}.
Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x 2:
:laterales límites los Hallamos .)0(
11
5
43
55
x
xlímxflímxx
xflímxflímxx 55
;
Discontinuidad de salto infinito en x 5.
7
10
5
43
22
x
xlímxflímxx
Discontinuidad evitable en x 2. Ejercicio nº 20.- Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
2si13
21si2
1si32
xx
xabxx
xax
xf
Solución:
Dominio
10
Si x 1 y x 2 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 1:
abf
ababxxlímxflím
aaxlímxflím
xx
xx
21
22
33
2
11
11
Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser:
3 a 2 b a 2a b 1
En x 2:
72
713
282
22
2
22
f
xlímxflím
ababxxlímxflím
xx
xx
Para que f (x) sea continua en x 2, ha de ser:
8 2b a 7 a 2b 1
Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:
1;1331421212
21
12
12
baaaaaa
ab
ba
ba
Ejercicio nº2 1.- Halla los límites siguientes:
1
3 a)
22
xx
xlimx
xlimx
36b)1
xloglimx 1
c)
Solución:
7
1
124
1
1
322
xx
xlimx
a)
3936361
xlimx
b)
011
logxloglimx
c)
Ejercicio nº 22.- Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y
por la derecha de x 2:
Evaluación: Fecha:
11
22 2
1
x
xlimx
Solución:
222222 2
1
2
1
2
1
x
xlim
x
xlim
x
xlim
xxx
2
Ejercicio nº 23.- Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
42
42
2
x
xlimx
Solución:
22
4
2
2
22
22
42
4
22
2
2
xlim
x
xxlim
x
xlim
xxx
2
2 Ejercicio nº2 4.- Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
24a) xlim
x
24b) xlim
x
Solución:
24a) xlim
x
24b) xlim
x
Ejercicio nº25.-
12
, funciónsiguientelade cuando ycuando límite el Halla x x
y representa los resultados que obtengas:
31
2
x
xxf
Solución:
0
1
20
1
233
x
xlim
x
xlim
xx
Ejercicio nº26.-
A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
4
6
8
2
26 82 44 28 6
4
6
Y
X
Solución: En x = 0, sí es continua. En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical). Ejercicio nº2 7.- Estudia la continuidad de la función:
4si15
4si3
1
2 xx
xx
xf
Solución:
Si x 4, la función es continua.
Si x 4:
13
4 4
2
44 4
1lim lim 1
3
lim lim 15 1 También es continua en x 4 porque lim 4 .
4 1
x x
xx x
xf x
f x x f x f
f
Ejercicio nº2 8.- Averigua las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:
2
32
xx
xxf
Solución:
2
11 1 8
2 02
2
x
x x x
x
Las asíntotas verticales son x 1 y x 2. • Posición de la curva respecto a las asíntotas:
21
3
2
32
xx
x
xx
x
2
3
2
32121 xx
xlim
xx
xlim
xx
2
3
2
32222 xx
xlim
xx
xlim
xx
21
Ejercicio nº 29.-
:función la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x
x
3
2
xf x
Representa gráficamente los resultados obtenidos. Solución:
3
lim2x
x x
3
lim2x
x x
14
Ejercicio nº 30.-
yfunción siguiente la de cuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,x x
representa los resultados que obtengas:
1
22
4
x
xxxf
Solución:
1
22
4
x
xxlim
x
1
22
4
x
xxlim
x
Ejercicio nº 31.-
Estudia y representa el comportamiento de la siguiente función cuando x y
cuando x :
x
xxf
2
31
Solución:
32
31
31
3
2
31
x
xlim
x
xlim
x
x
3
Ejercicio nº 32.-
Estudia y representa el comportamiento de la siguiente función cuando x y
cuando x . Si tiene alguna asíntota, representa la posición de la curva respecto a
15
ella:
12
3
x
xxf
Solución:
3
2 2 Asíntota oblicua:
1 1
x xx y x
x x
2Cuando , 0 La curva está por debajo de la asíntota.
1
xx
x
2Cuando , 0 La curva está por encima de la asíntota.
1
xx
x
• Representación:
1
1
y x=
Ejercicio nº 33.- Halla la asíntota horizontal de dada una de las funciones siguientes:
a y 1 3x b y 3
x 1 c y 0,7
x 2 d y 0,5
x 1
Solución:
a) 1 3 ; no tiene asíntota horizontal hacia .x
x
lim
1 3 1; 1 es asíntota horizontal hacia .x
x
lim y
1b) 3 ; no tiene asíntota horizontal hacia .x
x
lim
1 3 0; 0 es asíntota horizontal hacia .x
x
lim y
c) 0,7 2 2; 2 es asíntota horizontal hacia .x
x
lim y
0,7 2 ; no tiene asíntota horizontal hacia .x
x
lim
1d) 0,5 0; 0 es asíntota horizontal hacia .x
x
lim y
1 0,5 ; no tiene asíntota horizontal hacia .x
x
lim
16
Ejercicio nº 34.- Calcula los siguientes límites:
1
3b)a)
2x
3
x
xlímx logxlím
x
Solución:
x logxlímx
3a)
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
00
1
3
1
3b)
22
xlím
xlím
x
x
x
x
Ejercicio nº 35.- Calcula los límites:
2
12b)213a)
4
3 52
x
xlímxxlímxx
Solución:
xx
xxlím
xx
xxxxlímxxlím
xxx 213
413
213
213213213a)
2
22
2
22
2
xx
xlímx 213
1
2
2
02
12
2
12b)
4
3 5
4
3 5
x
xlím
x
xlím
xx
Ejercicio nº 36.- Halla:
13
2 2
53
24b)
54
25a)
x
x
x
x x
xlím
x
xlím
Solución:
5
4
15
12
1512
12
3
2·
54
5425
3
2·1
54
253
2
54
25a)
eeeee
x
xlím x
xlím
x
x
xxlím
x
x
xlím
x
x
xxx
3
4
53
24
53
24b)
11 22 x
x
x
x x
xlím
x
xlím
Ejercicio nº 37.- Calcula el límite:
17
1
2323
2
1
xxx
xxlímx
Solución:
)0(
5
11
23
11
231
1
23
12123
2
1
xx
xlím
xx
xxlím
xxx
xxlím
xxx
Hallamos los límites laterales:
11
23;
11
23
11 xx
xlím
xx
xlím
xx Ejercicio nº 38.- Halla el límite:
x
x x
xxlím
32
0 15
13
Solución:
15
833·
15
83
·15
15133·1
15
1332
0
0
2
0
2
0
2
0
15
13 xx
xxlím
xx
xxlímxx
xxxlím
xx
xxlímx
x
xxxx
eeeex
xxlím
2415
83
0
ee x
xlímx
Ejercicio nº39.- Estudia la continuidad de la función:
1si 4
10si13
0si2
xxln
xx
xe
xf
x
Solución:
Dominio
Si x 0 y x 1 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 0:
.0 en continua es
10
113
1
2
00
00
xxf
f
xlímxflím
elímxflím
xx
x
xx
En x 1:
18
.1 en continua es
41
1 4
413
11
2
11
xxf
f
xlnlímxflím
xlímxflím
xx
xx
Por tanto, f (x) es continua en . Ejercicio nº 40.- Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:
1si53
1si22 xax
xaxf
x
Solución:
Si x 1 la función es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 1:
af
aaxlímxflím
aalímxflím
xx
x
xx
21
3653
22
2
11
11
Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser:
2 a 6 3a 4a 4 a 1 Ejercicio nº 41.-
3. en y 1 en 23
función la de límite el Calcula4
xxxx
xf
Solución:
6
1
2
1
3
1
23
4
1
xxlimx
2
51
2
327
23
4
3
xxlimx
Ejercicio nº 42.- Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la
derecha de x 3:
9
123 x
limx
Solución:
Fecha:
19
33
1
9
1
323
xxlim
xlim
xx
Calculamos los límites laterales:
9
1
9
12323 x
limx
limxx
3
Ejercicio nº 43.- Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
6
181222
2
3
xx
xxlimx
Solución:
02
32
23
32
6
18122
3
2
32
2
3
x
xlim
xx
xlim
xx
xxlim
xxx
3
Ejercicio nº 44.-
tegráficamen representa yfunciones siguientes las decuando límite el Halla x
la información que obtengas:
122
a)3
xx
xf
5
23b)
32 xxxf
Solución:
1
22a)
3xxlim
x
20
5
23b)
32 xxlim
x
Ejercicio nº 45.- Halla los siguientes límites y representa los resultados obtenidos:
31
1a)
xlimx
2
33b)
x
xlimx
Solución:
0
1
1a)
3
xlim
x
2
33b)
x
xlim
x
Ejercicio nº 46.-
:xf función la a ecorrespond gráfica siguiente La
21
4
6
8
Y
X
2
6 824 28 62
4
6
4
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad. Solución:
En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que
1 1
lim lim .x x
f x f x
En x 2 sí es continua. Ejercicio nº4 7.- Estudia la continuidad de la función:
0si2
20si12 2
xx
xxxf
Solución:
Si x 0, la función es continua.
.0 porque0 en continua Es
10
12
2
112
000
2
00
fxflimx
f
xlimxflim
xlimxflim
xxx
xx
Ejercicio nº 48.- Halla las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:
1
122
x
xxf
Solución:
2 1 0 1 ; 1.x x x
Las asíntotas verticales son x 1 y x 1.
22
• Posición de la curva respecto a ellas:
1
12
11
12211 x
xlim
xx
xlim
xx
1
12
1
122121 x
xlim
x
xlim
xx
11
Ejercicio nº49.-
la representa yfunciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x
información que obtengas:
42a) xxf
2b) xxxf
Solución:
42a) xlim
x
2) xxlimbx
Ejercicio nº 50.-
:función la decuando ycuando infinitas, ramas las Halla ,xx
x
xxxf
1
2 3
Representa la información obtenida. Solución:
23
x
xxlim
x
xxlim
x
x
1
2
1
2
3
3
Ejercicio nº 51.-
ycuando ycuando función, siguiente la de entocomportami el Estudia ,xx
representa las ramas que obtengas:
22
12
x
xxf
Solución:
022
1
022
1
2
2
x
xlim
x
xlim
x
x
Asíntota horizontal y=0
Ejercicio nº 52.- La siguiente función tiene una asíntota oblicua. Hállala y sitúa la curva respecto a ella:
1
22
x
xxxf
Solución:
2 2 11 Asíntota oblicua: 1
1 1
x xx y x
x x
1Cuando , 0 La curva está por debajo de la asíntota.
1x
x
1Cuando , 0 La curva está por encima de la asíntota.
1x
x
• Representación:
24
1
1
y x+= 1
Ejercicio nº 53.- Calcula los siguientes límites.
2 3
2
2 1 2a) b)
5 5
x
x
x x
x xlim lim
x x
29 1 2 1c) d)
2 2 3x x
x xlim lim
x x
Solución:
22 33
a) 2 1 2 1 2 0
5 5 5
x
xx
xlim
x
x x
x xlim lim
x x
2
b) 2 2 2
5x x
x xlim lim
xx
2 2 3c) 9 1 9 3
2 2 2 2x x x
xx xlim lim lim
x x x
d) 2 1 21 1 1
2 3 2x x x
x xlim lim lim
x x
Ejercicio nº 54.- Calcula:
2
42 3
b)1a)x log
xxlímxelímx
x
x
Solución:
1a) 2xelím x
x
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
2
4
2
4 33b)
x log
xxlím
x log
xxlím
xx
Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.
25
Ejercicio nº 55.- Calcula los siguientes límites:
xxxlím
xx
xlím
xx23b)
135
23a) 2
2
Solución:
5
53
5
3
135
23a)
2
xx
xlím
x
xxx
xxxxxxlímxxxlímxxxlím
xxx 23
23232323b)
2
22
22
xxx
xxlím
xxx
xxxlím
xx 23
33
23
43
2
2
2
22
Ejercicio nº 56.- Calcula:
2
1
2
232
32
3b)
12a)
x
x
x
x x
xlím
xlím
Solución:
021
21
2a)
3232
x
x
x
x xlím
xlím
132
3b) 064
222
1·
32
323
2
1·1
32
32
1
2
222
22
2
2
eeeex
xlím x
xlím
x
x
xxlím
x
x
xlím
x
x
xxx
Ejercicio nº57.- Halla el límite:
3
1
9
223 x
x
x
xlímx
Solución:
33
342
33
312
3
1
9
2 2
3323 xx
xxxlím
xx
xxxlím
x
x
x
xlím
xxx
)0(
18
33
322
3
xx
xxlímx
Hallamos los límites laterales:
33
32;
33
32 2
3
2
3 xx
xxlím
xx
xxlím
xx Ejercicio nº 58.-
26
Calcula:
3
22
3 44
12
x
x
x x
xxlím
Solución:
3
2·
44
3523
2·
44
4412
3
2·1
44
123
22
3
2
3
2
3
2
3
44
12 x
x
x
xxlímx
x
x
xxxlím
x
x
x
xxlímx
x
x
xxx
eeex
xxlím
8
21
16
42
44
212
344
2312
33 eeee x
xxlím
xx
xxxlím
xx
Ejercicio nº 59.-
de tipo el Indica d.continuida su estudia ,103
5153 función la Dada
2
23
xx
xxxxf
discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua. Solución:
25
135
103
5153 2
2
23
xx
xx
xx
xxxxf
Dominio {5, 2}
f (x) es continua en {5, 2}.
Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x 2:
7
76
7
76
2
13 2
55
x
xlímxflímxx
Discontinuidad evitable en x 5.
:laterales límites los Hallamos .)0(
13
2
13 2
22
x
xlímxflímxx
xflímxflímxx 22
;
Discontinuidad de salto infinito en x 2. Ejercicio nº60.- Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
2si3
21si4
1si22
2
xbx
xbaxx
xxax
xf
Solución:
27
Si x 1 y x 2 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 1:
baf
babaxxlímxflím
axaxlímxflím
xx
xx
41
44
22
2
11
2
11
Para que f (x) sea continua x 1, ha de ser:
a 2 4 a b b 6
En x 2:
02
063
21064
22
2
22
f
xlímxflím
aaxxlímxflím
xx
xx
Para que f (x) sea continua en x 2, ha de ser:
10 2a 0 2a 10 a 5
Por tanto, f (x) será continua si a 5 y b 6.