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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS Y ENERGÍA
GRADUADO EN INGENIERÍA DE LOS RECURSOS ENERGÉTICOS, COMBUSTIBLES Y EXPLOSIVOS
PROYECTO DE FIN DE GRADO
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA GEOLÓGICA Y MINERA
EVALUACIÓN DEL TAMAÑO ÓPTIMO DE MALLADO
PARA LA MODELIZACIÓN MEDIANTE ELEMENTOS
FINITOS EN LOSAS DE HORMIGÓN FRENTE A
CARGAS EXPLOSIVAS
Sofía Mª Castanera Pineda
Madrid, Septiembre 2015
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS Y ENERGÍA
GRADUADO EN INGENIERÍA DE LOS RECURSOS ENERGÉTICOS, COMBUSTIBLES Y EXPLOSIVOS
EVALUACIÓN DEL TAMAÑO ÓPTIMO DE MALLADO
PARA LA MODELIZACIÓN MEDIANTE ELEMENTOS
FINITOS EN LOSAS DE HORMIGÓN FRENTE A
CARGAS EXPLOSIVAS
Realizado por
Sofía Mª Castanera Pineda
Dirigido por
Anastasio Pedro Santos Yanguas
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA GEOLÓGICA Y MINERA
I
RESUMEN
Los elementos estructurales empleados en construcción no han sido en general diseñados para
soportar acciones impulsivas, como la detonación de artefactos explosivos. Desde el siglo
pasado el mundo ha sufrido ataques terroristas en los que en muchos casos se han producido
explosiones que causaron víctimas, heridos y la destrucción de las construcciones próximas.
Debido a este hecho, instituciones públicas y privadas comenzaron a mostrar interés por el
comportamiento de los elementos estructurales que componen sus instalaciones.
El hormigón armado es uno de los principales materiales utilizados en las estructuras de obras
debido a sus buenas características, cuyo análisis y modelización en deformaciones dinámicas
supone un campo de desafíos al que se está prestando gran atención en los últimos años.
LS-DYNA® es un programa basado en elementos finitos capaz de simular problemas reales
complejos en el que se han desarrollado distintos modelos de hormigón. Tres de esos modelos
(K&C, RHT y CSCM) son evaluados con losas de distintos tamaños de mallado de elementos
finitos frente a la detonación de 2 kg de TNT situados a 1 m de distancia. Dichos modelos son
simulados y se obtienen los valores de las aceleraciones máximas en unos determinados
puntos de las losas.
Los valores son sometidos a la aplicación del Método GCI (Grid Convergence Index) para una
relación de refinamiento de mallado no constante, cuyos resultados se comparan con aquellos
registrados en los acelerómetros empleados durante la primera fase de ensayos del Proyecto
SEGTRANS.
Mediante el análisis de los resultados obtenidos se determina cual es el modelo de material y
tamaño de mallado más adecuado que pueda emplearse en un futuro para poder modelar
estructuras más complejas y con niveles de explosivo más elevados.
II
ABSTRACT
Structural elements used in construction have generally not been designed to withstand
impulsive actions such as the detonation of explosive charges. Since the last century, the world
has suffered terrorist attacks that in many cases were produced by explosions that caused
casualties, injuries and the destruction of neighboring structures. Due to this fact, public and
private institutions began to show interest in the behavior of the structural elements of their
buildings and facilities.
As a result of its suitable properties, reinforced concrete has become one of the main
materials used in building structures, and for this reason the challenging field of reinforced
concrete dynamic deformation modeling and analysis has received great attention in recent
years.
LS-DYNA® is a finite-element program capable of simulating complex real problems related to
different models of concrete. In this project, three of these models (K&C, RHT and CSCM) are
evaluated with slabs of various sizes of finite element mesh suffering the detonation of 2 kg of
TNT located at a distance of 1 m.
These models are simulated and maximum acceleration values are obtained at specific points
on the surface of the slabs. The values are subject to the application of the Non-uniform Grid
Refinement Ratio of the GCI (Grid Convergence Index) Method, and the results are compared
with those recorded in the accelerometers used during the first test phase of the SEGTRANS
Project. By analyzing the results it is possible to determine which model material and mesh
size are most suitable and can be used in the future to model more complex structures with
higher levels of explosives.
III
ÍNDICE
ÍNDICE GENERAL
RESUMEN ....................................................................................................................................... I
ABSTRACT ...................................................................................................................................... II
ÍNDICE ........................................................................................................................................... III
CONTENIDOS
DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA ..................................................................................................... 1
CAPÍTULO 1: OBJETIVOS Y ALCANCE ......................................................................................... 2
CAPÍTULO 2: ANTECEDENTES .................................................................................................... 3
CAPÍTULO 3:INTRODUCCIÓN A LS-DYNA .................................................................................. 5
CAPÍTULO 4:MODELOS DE HORMIGÓN .................................................................................... 6
4.1 Formulación general........................................................................................................ 7
4.2 Superficie de tensión cortante ........................................................................................ 8
4.3 Perfil octaédrico ............................................................................................................ 10
4.4 Modelos de hormigón ................................................................................................... 11
4.4.1 K&C (Karagozian and Case Model) ......................................................................... 11
4.4.2RHT (Riedel-Hiermaier-ThomaModel) .................................................................... 19
4.4.3 CSCM (Continuous Surface Cap Model) ................................................................. 26
CAPÍTULO 5: COMPORTAMIENTO DEL MODELO DE HORMIGÓN EN FUNCIÓN DEL TAMAÑO
DE MALLA ................................................................................................................................ 33
5.1 Modelos numéricos ....................................................................................................... 33
CAPÍTULO 6:EXPLOSIONES ...................................................................................................... 36
6.1 El fenómeno explosivo .................................................................................................. 36
6.2 Materiales explosivos .................................................................................................... 37
6.3 Equivalente TNT ............................................................................................................ 37
6.4 El fenómeno de la onda explosiva ................................................................................. 39
6.5 Distancia escalada ......................................................................................................... 40
CAPÍTULO 7:ENSAYOS EXPERIMENTALES Y MEDIDAS DE ACELERACIÓN ............................... 41
7.1 Ubicación ....................................................................................................................... 41
7.2 Explosivos ...................................................................................................................... 41
7.3 Instrumentación ............................................................................................................ 42
Captadores de presión .................................................................................................... 43
IV
Acelerómetros ................................................................................................................. 43
Sistema de adquisición de datos ..................................................................................... 44
Cámara de alta velocidad ................................................................................................ 45
Detector de metales ........................................................................................................ 45
Martillo Schmidt .............................................................................................................. 46
7.4 Pruebas previas ............................................................................................................. 46
7.5 Resumen de ensayos ..................................................................................................... 49
7.6Ensayos con losas ........................................................................................................... 51
ENSAYOS L1 ..................................................................................................................... 51
Ensayo L11 ................................................................................................................... 51
Ensayo L12 ................................................................................................................... 52
Ensayo L13 ................................................................................................................... 54
7.7 Evaluación de daños ...................................................................................................... 56
Inspecciones visuales ...................................................................................................... 56
Fragmentos ..................................................................................................................... 57
Martillo Schmidt .............................................................................................................. 57
7.8 Registros de aceleración ............................................................................................... 58
CAPÍTULO 8:PROBLEMÁTICA DEL TAMAÑO DE LOS ELEMENTOS .......................................... 59
8.1 Relación de refinamiento para mallado constante ....................................................... 60
8.2 Relación de refinamiento para mallado no constante .................................................. 61
CAPÍTULO 9: ANÁLISIS DE LA IDONEIDAD DEL TAMAÑO DE MALLA ...................................... 62
9.1 Simulación numérica según criterios de energía de fractura. ...................................... 62
CAPÍTULO 10: MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS Y RESULTADOS. ESTUDIO DE
CONVERGENCIA PARA CADA MATERIAL ................................................................................. 65
10.1. Gráficas obtenidas en LS-DYNA .................................................................................. 66
10.1.1 K&C (Material 72R3) ............................................................................................. 66
10.1.2 RHT (Material 272) ............................................................................................... 71
10.1.3 CSCM (Material 159) ............................................................................................ 76
10.2 Valores de aceleraciones ............................................................................................. 81
10.3 Tiempos de cálculo ...................................................................................................... 82
10.4 Aplicación del Método GCI .......................................................................................... 82
10.5 Cálculo de modelos de hormigón ................................................................................ 84
Cálculos Modelo K&C (Material 72R3) ............................................................................ 84
Análisis de resultados (Modelo K&C) .......................................................................... 85
V
Cálculos Modelo RHT (Material 272) .............................................................................. 86
Análisis de resultados (Modelo RHT) .......................................................................... 87
Cálculos Modelo CSCM (Material 159)............................................................................ 88
Análisis de resultados (Modelo CSCM) ....................................................................... 89
CAPÍTULO 11: CONCLUSIONES ................................................................................................ 90
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................... 92
DOCUMENTO Nº 2: ESTUDIO ECONÓMICO ................................................................................ 94
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1: Edificio Federal en Oklahoma City, 1995. ................................................................... 3
Figura 2.2: Embajada de EE.UU. en Nairobi, 1999. ....................................................................... 4
Figura 2.3: Módulo D de la terminal T4, 2006............................................................................... 4
Figura 3.1: Simulación de choque en LS-DYNA. ............................................................................ 5
Figura 4.1: Esquema de fases: deformación elástica, compactación y solidificación. .................. 7
Figura 4.2: Superficie de plastificación a) sin superficie de cierre y b) con superficie de cierre. 10
Figura 4.3: Superficies de resistencia para los modelos: a)K&C, b) CSCM, c) RHT ..................... 10
Figura 4.4: Perfiles del modelo K&C. ........................................................................................... 12
Figura 4.5: Superficies de fallo en el espacio tensional en 3D. ................................................... 14
Figura 4.6: Datos experimentales para DIF según el código de modelo de diseño [Leppänen,
1997] ........................................................................................................................................... 14
Figura 4.7: Ejemplo de función de daño. .................................................................................... 17
Figura 4.8: Superficies de fallo. ................................................................................................... 20
Figura 4.9: Función de superficie de cierre elíptica .................................................................... 21
Figura 4.10: Perfil octaédrico y superficies del modelo RHT. ..................................................... 22
Figura 4.11: Relación bilineal entre apertura y tensión de fisuración uniaxial. .......................... 23
Figura 5.1: a) Modelo de losa de hormigón, b) Modelo de barras de acero .............................. 34
Figura 5.2: Apoyos en la losa, situación inicial. ........................................................................... 34
Figura 5.3: Apoyos en la losa, situación intermedia. .................................................................. 35
Figura 5.4: Apoyos en la losa, situación final. ............................................................................. 35
Figura 6.1: Gráfica presión-tiempo en una explosión aérea [UFC 3-340-02, 2008] .................... 39
Figura 7.1: Imagen aérea de la “plaza de tiro”, I.T. La Marañosa. .............................................. 41
Figura 7.2: a) Aspecto del explosivo PG2, y b) Bloques de 1kg. .................................................. 42
Figura 7.3: Carga esférica de 1.724 kg de PG2 (2 kg eq. TNT) ..................................................... 42
Figura 7.4: Acelerómetro A2 (PBC350B04, 5000g) ensayo L11. ................................................. 43
VI
Figura 7.5: Cadena de equipos empleada. .................................................................................. 44
Figura 7.6: Sistema de adquisición de datos Nicolet Genesis. .................................................... 44
Figura 7.7: Cámara de alta velocidad Photron (Fastcam SA3-120k). .......................................... 45
Figura 7.8: Detector de metales “micro covermeter”. ............................................................... 45
Figura 7.9: Martillo de Schmidt empleado en los ensayos. ........................................................ 46
Figura 7.10: Prueba con 4kg TNT, bola de fuego. ....................................................................... 47
Figura 7.11: Prueba de 4 kg de TNT. Viga de acero de 2 m de altura soldada. ........................... 47
Figura 7.12: Prueba 4kg de TNT. Detalle dimensiones. .............................................................. 47
Figura 7.13: Ensayos 16 de abril de 2011. Situación de los captadores...................................... 48
Figura 7.14: Esquema general de ensayo con losas (Fuente: EUROESTUDIOS). ......................... 50
Figura 7.15: Disposición delos ensayos L11 y L12. ...................................................................... 51
Figura 7.16: Imágenes del ensayo L11. ....................................................................................... 51
Figura 7.17: a) Ensayo L11 listo para disparar; b) losa L11 tras el ensayo. ................................. 52
Figura 7.18: Secuencia de la cámara de alta velocidad en ensayo L12. ...................................... 52
Figura 7.19: Ensayo L12 listo para disparar. ................................................................................ 53
Figura 7.20: Losa12 antes y después del ensayo ........................................................................ 53
Figura 7.21: Detalle de las grietas marcadas en la cara inferior de la losa L12 tras el ensayo. .. 53
Figura 7.22: Disposición de los ensayos L13 y L13B. ................................................................... 54
Figura 7.23: Secuencia de disparo del ensayo L13. Imágenes consecutivas cada 0,67 ms. ........ 54
Figura 7.24: Secuencia de disparo del ensayo L13B. Imágenes consecutivas cada 0,67 ms. ..... 55
Figura 7.25: Losa L13 tras los ensayos L13 y L13B. ..................................................................... 55
Figura 7.26: Marcado con pintura de fallos previos al ensayo. .................................................. 56
Figura 7.27: Detalle del mapeado de grietas. ............................................................................. 56
Figura 7.28: Fragmentos recogidos tras el ensayo L1-2. ............................................................. 57
Figura 7.29: Losa tipo ensayos L1. Ubicación de puntos de medida con martillo de Schmidt
(MS). ............................................................................................................................................ 57
Figura 9.1: Enfoque de grietas en zona y regularización. Modificada de [Yoeng Sin Khoe, 2012]
..................................................................................................................................................... 63
Figura 9.2: Error debido a la regularización. Modificada de [Yoeng Sin Khoe, 2012] ................. 63
Figura10.1: Modelos LS-DYNA a)Losa de hormigón, y b) Barras de acero. ................................. 65
VII
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla1 - Características principales de los captadores de presión. ............................................ 43
Tabla 2 - Características principales de los acelerómetros. ........................................................ 44
Tabla 3 - Especificaciones técnicas del martillo Schmidt ............................................................ 46
Tabla 4 - Ensayos previos E1 y E2 ................................................................................................ 48
Tabla 5 - Resumen de ensayos realizados. .................................................................................. 49
Tabla 6 - Especificaciones técnicas para losas (Fuente: EUROESTUDIOS) .................................. 49
Tabla 7 – Características de las aceleraciones brutas. ................................................................ 58
Tabla 8 – Valores de aceleraciones de pico obtenidas para el Modelo K&C. ............................. 81
Tabla 9 – Valores de aceleraciones de pico obtenidas para el Modelo RHT. ............................. 81
Tabla 10 – Valores de aceleraciones de pico obtenidas para el Modelo CSCM.......................... 81
Tabla 11 – Tiempos de cálculo requeridos por LS-DYNA para ejecutar los modelos. ................. 82
Tabla 12 – Cálculo de los parámetros iniciales del modelo K&C ................................................ 84
Tabla 13 – Determinación del orden de convergencia para el modelo K&C .............................. 84
Tabla 14 – Soluciones extrapoladas del modelo K&C ................................................................. 84
Tabla 15 – Cálculo de los parámetros iniciales del modelo RHT ................................................. 86
Tabla 16 – Determinación del orden de convergencia para el modelo RHT............................... 86
Tabla 17 – Soluciones extrapoladas del modelo RHT ................................................................. 86
Tabla 18 – Cálculo de los parámetros iniciales del modelo CSCM .............................................. 88
Tabla 19 – Determinación del orden de convergencia para el modelo CSCM ............................ 88
Tabla 20 – Soluciones extrapoladas del modelo CSCM............................................................... 88
Tabla 21 - Comparación de las aceleraciones de los mallados del modelo K&C con los
registrados en el proyecto SEGTRANS. ....................................................................................... 90
1
EVALUACIÓN DEL TAMAÑO ÓPTIMO DE
MALLADO PARA LA MODELIZACION MEDIANTE
ELEMENTOS FINITOS EN LOSAS DE HORMIGÓN
FRENTE A CARGAS EXPLOSIVAS
DOCUMENTO Nº 1: MEMORIA
2
CAPÍTULO 1: OBJETIVOS Y ALCANCE El objetivo del presente proyecto consiste en evaluar el tamaño del mallado de elementos
finitos en losas de hormigón armado, utilizando distintos modelos de material, para buscar el
más adecuado frente a la detonación de cargas explosivas. Así se pretende conocer qué
modelo de hormigón y tamaño de mallado son los más aproximados a los valores medidos
experimentalmente.
Para determinar el tamaño de mallado óptimo, se realizaron simulaciones con losas de distinto
modelo de hormigón (K&C, RHT y CSCM) mediante el programa LS-DYNA® y a partir de los
valores obtenidos de aceleraciones, se procedió a aplicar el Método GCI (Grid Convergence
Index) para una relación de refinamiento de mallado no constante.
A partir de los resultados que se obtengan, se sacarán conclusiones y se realizarán
comparaciones con los valores registrados en los acelerómetros utilizados durante la primera
fase de ensayos realizados para el Proyecto SEGTRANS entre el 14 y el 29 de junio de 2011. De
esta forma se determinará el modelo de material y tamaño de mallado más adecuado que
pueda utilizarse en futuras modelizaciones de estructuras más complejas y con niveles de
explosivo más elevados.
3
CAPÍTULO 2: ANTECEDENTES El hormigón armado es uno de los principales materiales empleados en las estructuras de obra
debido a sus buenas características de absorción de energía, a su masividad, y a su
comportamiento dúctil cuando está adecuadamente armado.
Las explosiones causadas por armas de guerra convencionales o por artefactos explosivos
improvisados son su principal amenaza desde el punto de vista de las acciones impulsivas.
Desde el siglo pasado, tanto a nivel nacional como internacional se han sufrido ataques
terroristas en los que los principales daños se deben a la detonación de explosivos. Por ello
numerosas entidades públicas y privadas han empezado a mostrar interés en el
comportamiento de las estructuras que conforman sus instalaciones frente a estos fenómenos.
Uno de los atentados más destacados a nivel internacional fue el que tuvo lugar en abril de
1995 en un edificio federal de Oklahoma City, siendo hasta ese momento el mayor atentado
terrorista producido en territorio americano. Dicho ataque se llevó a cabo mediante la
detonación de una bomba de 2.300 kg compuesta por nitrato amónico mezclado con
combustible, mezcla que comúnmente se conoce como ANFO (Nitrato Amónico - Fuel Oíl).
En la figura 2.1 se puede ver el estado en el que quedó el edificio tras la detonación de la
bomba, que posteriormente tuvo que ser demolido.
Figura 2.1: Edificio Federal en Oklahoma City, 1995.
Otro ataque muy relevante debido al número de víctimas, fue el provocado por una explosión
frente a la embajada de EE.UU. en Nairobi en 1999. Dicho atentado tuvo como consecuencias
213 fallecidos, aproximadamente 5.000 personas heridas, y un número considerable de
edificios gravemente afectados. En la figura 2.2 puede apreciarse el estado en el que quedó el
edificio tras el atentado.
4
Figura 2.2: Embajada de EE.UU. en Nairobi, 1999.
Minutos antes de que se produjera la explosión anterior, otra bomba fue detonada en la
embajada de EE.UU. en Dar es Salam (Tanzania) causando el caos en el barrio diplomático de la
ciudad. La bomba estaba situada en un coche aparcado en las proximidades y dejó 11 víctimas
y daños severos en el edificio principal y adyacentes ocupados por otras embajadas europeas.
En el ámbito nacional, el atentado de diciembre de 2006 en el aparcamiento de la terminal T4
del aeropuerto de Barajas (Madrid) destaca por los graves daños estructurales producidos.
Tras las investigaciones que se llevaron a cabo, se determinó que pudieron emplearse unos
200 kg de explosivos que causaron gran destrucción al estar colocados en el interior del
edificio. En la figura 2.3 se observa el estado del módulo D del aparcamiento de la terminal T4
tras la explosión.
Figura 2.3: Módulo D de la terminal T4, 2006.
Las estructuras generalmente no suelen estar diseñadas para soportar este tipo de fenómenos
impulsivos, por lo que con el fin de incrementar la seguridad de las construcciones se hace
necesario dedicar tiempo al conocimiento de este ámbito. De esta forma se podrán realizar
análisis más ajustados que permitan lograr mejoras para en un futuro y evitar o minimizar los
efectos de las explosiones en los elementos estructurales.
5
CAPÍTULO 3: INTRODUCCIÓN A LS-DYNA LS-DYNA® es un programa basado en elementos finitos capaz de simular problemas reales
complejos que ha sido desarrollado por LSTC (Livermore Software Technology Corporation). Se
emplea en el análisis de grandes deformaciones estáticas y respuestas dinámicas de
estructuras, y es utilizado en múltiples industrias como: construcción, fabricación, automóvil…
Está fundamentado en la no linealidad y el análisis de elementos finitos de fenómenos
dinámicos transitorios mediante la integración temporal explícita.
Se entiende por no linealidad que se produzca al menos alguna de las siguientes situaciones:
cambio en las condiciones de contorno, grandes deformaciones o existencia de materiales no
lineales (sin comportamiento elástico ideal).
Los fenómenos dinámicos transitorios hacen referencia al análisis de altas velocidades, se
producen en sucesos de corta duración en los que las fuerzas de inercia tienen importancia. Se
emplea por ejemplo, en accidentes automovilísticos, explosiones y procesos de fabricación.
Las potenciales aplicaciones de LS-DYNA son numerosas y pueden adaptarse a muchos
campos. Para una determinada simulación, se pueden combinar cualquiera de las múltiples
características del programa para modelar una amplia variedad de situaciones. Por ello LS-
DYNA es uno de los paquetes de software para análisis de elementos finitos disponibles más
flexibles.
Consiste en un único archivo ejecutable y está totalmente controlado por un fichero de
comandos, por lo que lo único que se requiere es un soporte para estos, el ejecutable, un
archivo de entrada y suficiente espacio en el disco para llevar a cabo el cálculo. Todos los
archivos de entrada están en formato ASCII simple y pueden prepararse usando cualquier
editor de texto. También pueden llevarse a cabo con ayuda de un preprocesador gráfico.
Existen muchos productos externos de software disponibles para el pre-procesamiento de
archivos de entrada de LS-DYNA. LSTC también ha desarrollado su propio pre- y post-
procesador avanzado, llamado LS-PrePost, que es distribuido libremente y funciona sin
licencia. Aquellas personas con licencia de LS-DYNA tienen automáticamente acceso a todas las
prestaciones del programa, desde un simple análisis mecánico estático lineal hasta métodos de
resolución de flujo y térmicos avanzados. Además de tener acceso al uso total de LS-OPT, una
optimización del diseño independiente y el paquete de análisis probabilístico con una interfaz
LS-DYNA.
Figura 3.1: Simulación de choque en LS-DYNA.
6
CAPÍTULO 4: MODELOS DE HORMIGÓN
El análisis y modelización de deformaciones dinámicas del hormigón supone un campo de
desafíos al que se le ha prestado una gran atención en las últimas décadas. Los experimentos,
para presiones y relaciones de carga relevantes, revelan que el hormigón presenta un
comportamiento no lineal y complicado, que es difícil de definir en un único modelo
constitutivo. Por ello han sido propuestos varios modelos para describir el hormigón en dicho
contexto.
El desarrollo de modelos constitutivos que sean eficaces y precisos es un reto persistente en la
simulación de daños en estructuras de hormigón. Así los modelos deseados deben producir
una transición suave desde un comportamiento elástico lineal o no lineal hasta un régimen de
endurecimiento no lineal y por último a un estado débil tras superar el valor de pico (máximo).
La resistencia a tracción ( ) del hormigón no confinado puede ser hasta un 92% menor que la
resistencia a compresión ( ). La resistencia máxima del hormigón depende de las presiones y
tensiones de cizalladura. A baja presión, el comportamiento inelástico del hormigón no está
relacionado con el movimiento de las dislocaciones como ocurre en los materiales metálicos.
En carga uniaxial, la deformación es aproximadamente lineal en régimen elástico. Según
aumenta la deformación, el número y tamaño de las grietas aumenta para finalmente
propagarse a través del material y culminar en el fallo máximo.
En tracción, los planos de fisuras activas son ortogonales a la dirección de carga, y en
compresión son paralelos a dicha dirección. En cualquier caso, los planos de fisuración tienden
a formarse de manera ortogonal a la dirección de tensión principal de menos compresión o
mayor tracción. Se alcanza un pico de tensión en un punto donde la microfisuración ha
causado una degradación suficiente de la rigidez, de tal forma que el material se volvería
inestable si se continúa aumentando la carga y con ello la presión ejercida. Si la presión
hidrostática está presente, un material que ha sido dañado completamente en compresión
conserva una resistencia residual similar a la de un medio granular.
Un comportamiento distintivo del hormigón y de otros materiales cuasi-frágiles es el
fenómeno de la dilatación, el incremento de volumen, bajo carga de compresión inelástica.
Aunque inicialmente las cargas de compresión inducen a una reducción de volumen, una
compresión continua da lugar a daño material en forma de fisuración por cortante. La
dilatación posterior es típicamente atribuida a la necesidad de introducir espacio vacío
asociado con las fisuras por torsión. El hormigón estándar exhibe un aumento de volumen bajo
carga de compresión a baja presión de confinamiento, pero no se dilata ante altas presiones
de confinamiento mayores que 100 MPa.
Para ensayos triaxiales llevados a cabo bajo una presión de confinamiento suficientemente
alta, el crecimiento de las fisuras tiende a ser insignificante en comparación con los cambios de
porosidad. Para carga puramente hidrostática, se emplea generalmente una ecuación de
estado poroso para modelar tres fases diferentes: deformación elástica, compactación y
solidificación; como muestra la figura 4.1. Durante la fase de compactación, los poros en el
7
material se colapsan, y en la fase final de solidificación, el material es prácticamente
homogéneo, ya que el espacio poroso ha sido eliminado y otra vez la respuesta volumétrica es
elástica.
Figura 4.1: Esquema de fases: deformación elástica, compactación y solidificación.
Los modelos que se van a tratar se encuentran categorizados dentro de la teoría generalizada
de la plasticidad isotrópica. Todos ellos presumen la existencia de un dominio elástico, cuyo
contorno en el espacio tensorial es conocido como “superficie de plastificación” a pesar de que
los mecanismos de inelasticidad no están necesariamente asociados con dislocaciones. Debido
a que estos modelos son isotrópicos, la superficie de plastificación en el espacio tensorial tiene
un cierto grado de simetría sobre el eje hidrostático. La distancia radial desde el eje
hidrostático es una medida de la resistencia a cizalladura equivalente.
4.1 Formulación general
La aplicación de los modelos de hormigón bajo investigación se puede dividir en: las
actualizaciones elásticas y plásticas, las formulaciones de superficies de resistencia, los efectos
de velocidad de deformación y escala, y la acumulación de daños.
Los modelos difieren en su aproximación a estas áreas. Todos ellos siguen las típicas teorías de
elasticidad y plasticidad, y actualmente presumen que el hormigón es inicialmente isotrópico.
Son compatibles con la elasticidad no lineal, llevado a la práctica de forma que los incrementos
de tensión son lineales e isotrópicos en incrementos de deformación con el módulo tangente y
los módulos cortantes variando con la deformación o el esfuerzo.
8
Dependiendo del tipo de carga, el hormigón finalmente podrá volverse plástico o fallar. El
límite de plastificación se define por medio de la superficie de plastificación. Durante la
compactación, el material presume tentativamente de ser elástico dando así una tensión
elástica de prueba conocida comoSi es encontrada fuera de la superficie de
plastificación, la suposición tentativa es rechazada y el incremento de carga se vuelve a evaluar
usando ecuaciones de actualización plástica. Cuando se produce el daño y empieza a
acumularse, la resistencia del hormigón se reduce debido al colapso de la superficie de
resistencia en el espacio tensorial.
4.2 Superficie de tensión cortante Para incluir los efectos de la resistencia del material y la resistencia a distorsión por cizalladura,
se puede trabajar con el desviador de tensión , que se define como la diferencia entre la
tensión total , y la presión hidrostática uniforme :
(4.1)
o
( )
Donde la presión hidrostática (o tensión media) se puede representar por un tercio del primer invariante , de la tensión total.
( )
El segundo y tercer invariante vienen dados por las siguientes expresiones:
(4.2)
( )
( )
Los modelos que se analizarán en este informe se basan en gran medida en los datos de
tensión de compresión axisimétrica. Los invariantes mecánicos para carga axisimétrica, que
tienen una tensión axial y dos tensiones laterales iguales son:
(4.3)
( )
( )
9
Para la distorsión elástica, tras la carga y descarga, toda la energía de distorsión se recupera y
el material vuelve a su configuración inicial. Sin embargo, cuando la distorsión es lo bastante
grande para que el material alcance el límite elástico, sólo se recupera la energía de distorsión
elástica. El material sufre una deformación plástica permanente y ya no puede volver a su
configuración inicial. Por tanto, se usa una función límite para describir el límite elástico del
material y la posterior transición al flujo plástico.
(4.4)
√ ( )
Donde √ son los invariantes de tensión, y representa una o más variables internas.
El invariante de tensión es proporcional a la presión ( ) y también al eje de
coordenadas del estado de tensión a lo largo del eje hidrostático en el espacio de tensiones
principales.
El invariante de tensión √ es proporcional a la tensión cortante equivalente y también a la
distancia radial del estado de tensión desde el eje hidrostático en el espacio tensional.
El invariante de tensión del ángulo de Lode se utiliza como alternativa al tercer invariante
y cuantifica la coordenada angular del estado de tensión en el espacio de tensiones
principales.
El criterio anterior corresponde a la siguiente función límite de plastificación:
(4.5)
[ ( )]
Las ecuaciones (4.4) y (4.5) son las expresiones básicas que se emplean en los modelos K&C y
RHT. El modelo CSCM incluye términos adicionales que definen la tensión de retorno, pero
puede también reducirse a las mismas expresiones que los dos otros modelos.
Además de la superficie de plastificación, todos los modelos utilizan dos superficies adicionales
para describir el límite de tensión de pico (máxima) del material. La superficie límite delimita el
conjunto de estados de tensión que se alcanzan por los menos una vez. Después de que se
haya alcanzado un estado de tensión en la superficie límite, se produce daño irreversible en el
material causando que los límites de tensión alcanzables disminuyan hasta finalmente llegar a
una superficie residual que corresponde a un estado totalmente dañado. La figura 4.2 muestra
estas tres superficies de resistencia. Las superficies límite y residual son estacionarias, mientras
que la actual superficie de plastificación evoluciona en respuesta a las variables internas que
directa o indirectamente representa la porosidad y las microfisuras.
10
Figura 4.2: Superficie de plastificación a) sin superficie de cierre y b) con superficie de cierre.
La figura 4.2 b) muestra la forma de la superficie de plastificación cerrada que es característica
de modelos que representan la porosidad. La superficie de cierre no sólo introduce un límite
elástico en compresión hidrostática pura, sino que también permite que la porosidad afecte a
la resistencia a cizalladura. Los modelos RHT y CSCM adoptan esta aproximación. El modelo
K&C permite un límite elástico hidrostático sólo a través de una ecuación de estado, que no
incluye el efecto de la porosidad o de la resistencia a cizalladura. Ver figura 4.3.
Figura 4.3: Superficies de resistencia para los modelos: a)K&C, b) CSCM, c) RHT
4.3 Perfil octaédrico
Las coordenadas cilíndricas de Lode ( ) representan tres invariantes alternativos que se
puede obtener desde los tres invariantes convencionales ( ) de la siguiente manera
[Fossum, 2004]:
(4.6)
√
(
)
√
11
La compresión triaxial corresponde a un ángulo de Lode de 30⁰. La dependencia de dicho
ángulo en las ecuaciones (4.4) y (4.5) se lleva a cabo multiplicando el meridiano de
compresión, ( ) en la figura 4.1, por una función de escala ( )). Esta función de
escala del ángulo de Lode es una relación del radio de la sección transversal octaédrica en un
ángulo θ con el radio del perfil del meridiano de compresión en un ángulo de 30⁰.
Se han hecho varias formulaciones de dicha función de escala, destacando entre las más
conocidas las funciones de Mohr-Coulomb [Senseny, 1983], Gudehus [Gudehus, 1973] y
William-Warnke [William, 1975]. En esta última formulación se apoyan los modelos que se
investigan en este documento.
(4.7)
( ) ( ) ( )
( ) ( )√ ( )
Donde:
es la relación del radio, , en el meridiano de tracción (donde ) con el radio, ,
del meridiano de compresión.
4.4 Modelos de hormigón
4.4.1 K&C (Karagozian and Case Model)
Este modelo de material es conocido como “Karagozian and Case Concrete Model - Release III”
de acuerdo con la referencia [Brannon, 2009], fue desarrollado por L. J. Malvar [Malvar, 1997]
e implementado por L. Schwer para LS-DYNA.
Esta tercera versión del modelo incorporó mejoras notables respecto al inicial de 1994. Su
principal ventaja, en comparación con otros modelos constitutivos de hormigón, es su relativa
simpleza y robustez numérica, además de ser capaz de reproducir comportamientos críticos
del hormigón para análisis de explosiones e impactos, y de calibrar de forma fácil datos de
laboratorio.
Superficies de resistencia
En el modelo K&C se utilizan diferencias de tensión para describir la superficie de
plastificación, la superficie límite y la superficie residual. A partir de la ecuación (4.3) donde la
diferencia de tensiones es ( )se puede escribir este mismo término como √ , lo cual
permite la generalización de la teoría para los estados generales de tensión. Durante la carga
inicial o recarga, las tensiones son elásticas hasta que se alcanza la superficie de plastificación.
Ésta superficie se endurece hasta que alcanza la superficie límite o se suaviza hasta la
superficie residual, dependiendo de la naturaleza de la carga o del estado del material. En el
modelo K&C se utilizan tres superficies fijas que son definidas como,
12
(4.8)
(4.9)
(4.10)
Donde los parámetros son datos de entrada del usuario, y para el hormigón.
Las tres superficies son definidas por diferentes valores de los parámetros . Para facilitar la
comparación del modelo K&C con otros modelos, las ecuaciones (4.8) y (4.9) se pueden
convertir en términos de invariantes estándar de la siguiente manera:
(4.11)
√ ( )
Donde,
( )
√ (
)
Figura 4.4: Perfiles del modelo K&C.
El modelo de hormigón K&C utiliza la función angular de William-Warnke, ( ), de la ecuación
(4.7) para describir la sección transversal octaédrica de las superficies. Si los datos disponibles
son de tracción en lugar de compresión, el meridiano de compresión se puede aproximar
dividiendo el meridiano de tracción por la distancia relativa entre los meridianos de
compresión y tracción a cada presión . Las ecuaciones anteriores se aplican sólo para
13
presiones de compresión, y para presiones de tracción, estas son reemplazadas por las
siguientes:
(4.12)
( )
o
( ) √
( )
La ecuación (4.12) asegura que se cumplen las condiciones dadas en [Chen, 1982] y [Kupfer,
1969], esto es, pasa a través de:
( ) ( )
( ) ( )
Se ilustra a continuación una definición lineal completa a trozos de (p) como la de [Malvar,
1997] para este modelo:
(4.13)
Donde α es un factor escalar que multiplica a para indicar la ubicación donde se produce el
fallo. La función dada en la ecuación (4.13) es lineal entre los puntos especificados; por
ejemplo, [Kupfer, 1969] mostró que para los ensayos de compresión biaxiales el fallo ocurrió
en ( ) (
) con α≈1,15. A pesar de que el modelo K&C permite que sea
dependiente de la presión, existe una discontinuidad en la pendiente debido a la
representación a trozos de
( )
(p)
14
Figura 4.5: Superficies de fallo en el espacio tensional en 3D.
Dependencia de tamaño y velocidad de deformación
Este modelo utiliza los efectos de la velocidad para manejar la acumulación de daño por
cizalladura. Se emplea un factor de mejora de la velocidad de deformación , para escalar la
superficie de resistencia cuando el material se somete a una carga aplicada muy rápida. Este
factor de mejora de la velocidad de deformación se conoce como factor de incremento
dinámico ( ) en el código 90 del modelo CEB-FIP. Ver figura 4.6:
Figura 4.6: Datos experimentales para DIF según el código de modelo de diseño [Leppänen, 1997]
Cuando la presión retorna desde la ecuación de estado, se calcula un presión y una
resistencia a cortante (cuasiestática) ( ) sin los efectos del endurecimiento dinámico.
Multiplicando el factor de mejora de la velocidad de deformación ( ) a ( )), se
obtiene una nueva superficie límite de mejora a la presión actual :
(4.14)
(
) ( ) (
)
15
Para incluir el factor de mejora de velocidad de deformación ( ) se define una
modificación de la deformación plástica efectiva como:
(4.15)
√
Donde,
(4.16)
La ecuación (4.16) permite que la acumulación de daño sea diferente en tracción y
compresión. Los parámetros se ajustan a datos experimentales. El parámetro escalar
de entrada regula el ablandamiento de la tensión de tracción no confinada uniaxial en la
curva tensión-deformación, a medida que el punto de tensión se mueve desde la superficie
límite a la residual, mientras que regula el ablandamiento en compresión.
El daño debido a la tensión de tracción isotrópica se maneja mediante la adición de una
acumulación de daño volumétrica que se calcula incrementando el parámetro de deformación
plástica efectiva , de acuerdo con la siguiente expresión:
(4.17)
( )
Donde es un parámetro de entrada (coeficiente de escalado de daño para tensión triaxial),
es la deformación volumétrica, y es la deformación volumétrica plástica. El factor
limita el efecto de este cambio de acuerdo con la proximidad del estado de tensión al eje
hidrostático.
(4.18)
La determinación de los parámetros de entrada se describe en [Malvar, 1997]. El
parámetro se calcula de forma iterativa utilizando los datos del ensayo de tracción no
confinada uniaxial hasta la zona bajo la curva tensión-deformación que coincide con ,
(
) ( )
(
) ( )
|√ |
|√ |
|√ |
16
donde es la energía de fractura y es la anchura de la fractura frontal (que es igual al
tamaño del elemento). Por tanto, los diferentes valores de deben usarse para diferentes
tamaños de elemento, de lo contrario el cálculo de liberación de energía será incorrecto.
Acumulación de daño
Una vez que se ha alcanzado la superficie de plastificación inicial, el estado de tensión se
desarrolla mediante la interpolación de las ecuaciones (4.8) y la (4.9), de acuerdo con:
(4.19)
( )
o
( ) [ ( ) ( )] ( )
Donde es una función de daño definida por el usuario que indica la ubicación de la superficie
de plastificación actual en relación a la superficie límite, y es función del parámetro de
deformación plástica efectiva,
(4.20)
∫ √
Donde es la velocidad de deformación plástica.
El daño inicialmente es cero en y aumenta hasta la unidad para un valor especificado
por el usuario , que marca el comienzo del ablandamiento. Durante dicho ablandamiento ,
disminuye a medida que aumenta, se utiliza para obtener por interpolación la superficie
actual entre las superficies límite y residual, ecuaciones (4.9) y (4.10) respectivamente, de
acuerdo con:
(4.21)
( )
o
( ) [ ( ) ( )] ( )
17
La función ( ) típicamente utilizada en el modelo K&C mantiene el comportamiento que se
describe en la figura 4.7:
Figura 4.7: Ejemplo de función de daño.
Los datos experimentales presentados en [Chen, 1982] y [Kupfer, 1969] demostraron que la
diferencia de tensión principal debe ser aproximadamente para los ensayos de compresión
biaxial y tracción triaxial. Para poder lograr dicho aspecto, el modelo K&C establece
inicialmente un valor de presión máxima para . Este procedimiento es coherente con el
criterio de tensión principal máxima a tracción: si las tensiones alcanzan el umbral de fallo en
el rango de presión negativa, el parámetro se utiliza para desplazar la presión máxima desde
hasta cero de forma suave. Esto se hace mediante la comprobación de la presión de
retorno por la ecuación de estado (EOS), y cambiando a para las siguientes condiciones:
Actualización plástica
La presión máxima se reduce durante el proceso de ablandamiento y puede provocar una
fuerte pendiente en un segmento del meridiano de la zona de presión negativa. Para evitarlo,
la superficie límite ( ) en la ecuación (4.9) se modifica de acuerdo con:
(4.22)
( ) ( ( )
( ) ( )) ( )
Donde,
( )
( )
( )
18
Por tanto, la actual superficie límite modificada durante el ablandamiento se puede escribir
como:
(4.23)
Donde es la superficie actual de fallo sin modificar. Cuando se emplea el aumento de la
velocidad radial, la superficie se calcula como una función de y después se multiplica por
como se muestra en la ecuación (4.14).
En cualquier paso de tiempo, la resistencia a cortante cambia con la presión y con el daño .
La resistencia se actualiza únicamente de acuerdo a la presión en dicho instante. La totalidad
de la superficie actualizada se determina de forma iterativa de acuerdo con el daño
actualizado. Sea la resistencia correspondiente a la presión actualizada, pero antes de que
el valor de se determine; entonces la resistencia totalmente actualizada se determina como
resultado de un cambio en de acuerdo con:
(4.24)
Donde es la resistencia totalmente actualizada, y teniendo en cuenta la ecuación (4.15):
(4.25)
( )√
Como es típico en los modelos de plasticidad, el incremento de deformación se descompone
en una parte elástica y otra plástica.
Módulos cortante y volumétrico
La ley de Hooke se utiliza en la relación tensión-deformación elástica hasta que se alcanza la
plastificación. El modelo K&C es compatible con la elasticidad no lineal, permitiendo que los
módulos varíen con la presión. El módulo cortante se calcula a partir de un coeficiente de
Poisson especificado por el usuario y el módulo de compresibilidad. Tal y como se indica en
[Malvar, 1997], cuando la diferencia entre los módulos volumétricos de la carga y
( ) ( ) ( )
( )
( )
19
descarga/recarga es grande, puede darse el caso de obtener un coeficiente de Poisson
negativo. Por lo tanto, el módulo volumétrico se introduce como parte del conjunto de datos
de entrada de la ecuación de estado (EOS) y se escala empleando un factor que depende de
la relación entre la presión real y la correspondiente a la curva original.
(4.26)
( )
Donde,
El módulo cortante se calcula a partir del módulo volumétrico escalado , como:
(4.27)
( )
( )
Se escoge como constante 5.55 de forma que aumenta a mitad de camino para
descargar/recargar el valor cuando decae 1/8 del camino de la curva virgen a (
para el hormigón). De acuerdo con la ecuación (4.27), se requiere que el usuario introduzca
un solo coeficiente de Poisson para calcular el módulo cortante del modelo K&C.
4.4.2 RHT (Riedel-Hiermaier-ThomaModel)
El Instituto Ernst Mach (Friburgo, Alemania), es un centro de investigación que estudia
aspectos mecánicos y de la dinámica de fluidos desarrollados en procesos de alta velocidad,
incluyendo análisis numéricos y experimentales de las ondas explosivas en sólidos, líquidos y
gases. En él a principios de 1997 W. Riedel, bajo la supervisión de los profesores Toma y
Hiermaier, comenzó el desarrollo de un nuevo modelo de material.
Este modelo incorpora las características necesarias para la descripción adecuada de
deformaciones dinámicas del hormigón, que influyen en las presiones y velocidades de
deformación relevantes. La resistencia al cizallamiento del modelo se describe por medio de
tres superficies límite: límite inelástica, de fallo y residual (todas ellas dependientes de la
presión).
20
Superficies de resistencia
Al igual que el modelo K&C, se emplean tres superficies de resistencia en este material. El
modelo de hormigón RHT se expresa mediante estas tres superficies en función del meridiano
de compresión ( ), un factor de variación ( ), y la relación de los radios de
compresión y tracción ( ). En este modelo se utiliza la función del ángulo de Lode de William-
Warnke ( ).
La resistencia a lo largo del meridiano de compresión se expresa como una compresión triaxial
normalizada para la resistencia a compresión sin confinar :
(4.28)
[
]
o
( )
√ [ ]
Donde,
( )
Figura 4.8: Superficies de fallo.
(
)
(
)
21
A diferencia del modelo K&C, que aparentemente no tiene en cuenta los efectos de la
porosidad en la resistencia, el modelo RHT proporciona una opción para el cierre de la
superficie de plastificación, a altas presiones, mediante una función elíptica ( ), como
muestra la figura 4.9.
(4.29)
Donde es la presión para la cual el camino de la compresión uniaxial intercepta con la
superficie elástica, y es la presión donde la superficie de plastificación corta con el eje
hidrostático. En el modelo RHT , que se aproxima a la presión de aplastamiento de
los poros.
Figura 4.9: Función de superficie de cierre elíptica
La superficie de plastificación en este material se determina a través de tres parámetros: la
relación desde el módulo cortante inicial hasta el módulo tras superarse el límite elástico, la
relación entre la resistencia elástica a compresión y la resistencia máxima a compresión y, la
relación entre la resistencia elástica a tracción y la resistencia máxima a tracción.
Al igual que en el modelo K&C, la diferencia del tercer invariante que corresponde a un perfil
octaédrico no circular se obtiene utilizando la función William-Warnke como factor de escala,
esto se aprecia en la figura 4.10.
√
( )
22
Figura 4.10: Perfil octaédrico y superficies del modelo RHT.
Por otra parte, a diferencia del modelo de hormigón K&C donde la relación de la resistencia de
tracción a la resistencia de compresión ( ), se representa mediante una función lineal a
trozos; el modelo de hormigón RHT se define ( ) como:
(4.30)
( )
Donde es la relación del meridiano de compresión a tracción, y es un factor de
transición de frágil a dúctil. Por defecto, el modelo asigna un valor de 0.6805 a , y de 0.0105
a .
Dependencia de tamaño y velocidad de deformación
En este modelo se implementa una ley de velocidad de deformación que utiliza un factor de
incremento dinámico para tracción a diferentes velocidades de deformación. El factor
se representa como una relación entre las resistencias a tracción dinámica y estática, y se
puede expresar como:
(4.31)
(4.32)
(
)
(
)
23
Donde son las resistencias a tracción para velocidades de deformación ,
respectivamente. La velocidad de deformación puede adoptar cualquier valor entre 10-6 y 160
s-1. El parámetro se ajusta de forma que la ecuación (4.31) se aproxima la curva de que
cumple con los parámetros experimentales facilitados en el código Modelo CEB-FIB.
En el caso de proyectiles e impactos de fragmentos, grietas, desconchados y proyecciones,
están influenciados principalmente por la resistencia a tracción, la energía de fractura y la
velocidad de deformación a tracción. Por otra parte, la penetración se ve influenciada por la
presión y la velocidad de deformación en compresión. Cuando se produce un incremento
brusco en la resistencia a bajas velocidades de deformación, [Unosson, 2000] señaló que la
formación de proyecciones en la simulación se puede reducir por el uso de un valor en
tracción. Por tanto, para predecir el correcto comportamiento de la penetración,
desprendimiento y formación de proyecciones, se requieren datos para tracción y
compresión.
El modelo RHT maneja el efecto de escala de forma similar al modelo K&C, es decir, mediante
el ajuste de la energía de fractura. La ley de ablandamiento lineal [Hillerborg, 1980] o bilineal
[Gylltoft, 1983] y [Hillerborg, 1985], que se basa en la apertura de fisuras, puede incluirse en el
modelo RHT de respuesta post-fallo bajo tracción [Lepännen, 1997] cuando la tensión tiende a
cero y se forma la fisura real. La energía de fractura y la resistencia a tracción se emplean
para calcular el ancho de la grieta , tal y como se muestra en la figura 4.11:
Figura 4.11: Relación bilineal entre apertura y tensión de fisuración uniaxial.
En la implementación del modelo RHT, la deformación máxima de fisuración está relacionada
con la máxima apertura mediante una aproximación de fisuras en zona, como:
(4.33)
24
Donde es la longitud característica, que es igual a la raíz cúbica del volumen del elemento.
Las pendientes del esquema bilineal de la figura 4.9 se definen como:
(4.34)
(4.35)
Donde es la deformación de fisuración, y es la deformación de fisuración máxima.
Esta aproximación se emplea cuando se selecciona la opción de erosión. La implementación de
la ley de ablandamiento bilineal al modelo RHT se presenta en [Leppänen, 1997], y su
pendiente se define como:
(4.36)
Acumulación de daño
Una vez que el material comienza a endurecerse o ablandarse, el factor de daño se usa para
determinar el valor de la nueva superficie de resistencia. El factor de daño se define como:
(4.37)
∑
Donde es la deformación plástica acumulada, y es la deformación de fallo dada por:
(4.38)
(
)
y los parámetros son constantes del material que debe introducir el usuario. El daño
causa una reducción en la resistencia y por tanto, la superficie de resistencia se modifica
desplazándose desde una superficie inicial a la nueva dañada. Igual que para el modelo K&C, la
25
superficie actual dañada durante el ablandamiento es la interpolación entre las superficies de
límite elástico y la relativa a la resistencia residual,
(4.39)
o
Esta ecuación (4.39) representa la interpolación entre el material sin dañar ( ) y el
material dañado ( ) en la superficie límite.
La superficie residual es definida como,
(4.40)
(4.41)
Donde,
Actualización plástica
De igual modo que para el modelo K&C, el RHT adopta una regla de flujo asociada. Los
esquemas numéricos proporcionados por los creadores del modelo RHT se encuentran en
[Riedel, 2000].
Módulos cortante y volumétrico
Al igual que el modelo K&C, los módulos cortante y volumétrico son utilizados y especificados
a través de EOS, y son proporcionados por el código huésped (LS-DYNA). LS-DYNA proporciona
varias opciones como, lineal, polinomial, p-α EOS, etc. Los módulos cortante y volumétrico se
controlan a través de EOS, igual que para el modelo K&C, y sin embrago, los detalles sobre
cualquier tipo de modificación a través de factores de escala no se proporcionan en la
documentación de RHT de LS-DYNA.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
( )
√ ( )
26
4.4.3 CSCM (Continuous Surface Cap Model)
Este modelo fue desarrollado para simular el comportamiento del hormigón dentro del
National Cooperative Research Program (NCHRP) en pruebas de hardware de seguridad de
carreteras mediante un código de elementos finitos que proporcionase un amplio patrón,
principalmente en la simulación de la deformación durante ablandamiento en tracción para
regímenes de presión de confinamiento baja o nula.
El resultado final es la versión mejorada del modelo, que fue empleada por su creador desde
1990 para el análisis de cargas dinámicas en estructuras de hormigón armado. De acuerdo a lo
expuesto en [FHWA, 2007], en este modelo se utiliza una superficie cerrada con intersección
suave entre la superficie de fallo y la superficie de endurecimiento.
Superficies de resistencia
Este modelo utiliza superficies de resistencia similares a las de los dos modelos analizados
previamente. La superficie de fallo se define por medio de los tres invariantes junto con el
parámetro de endurecimiento de la superficie de cierre. La formulación analítica de la
superficie de plastificación se plantea en función de los tres invariantes de tensión, ya que el
material se considera isótropo y por tanto, dichos invariantes son independientes. Esta función
de plastificación se expresa como:
(4.42)
( ) ( )
Donde es la superficie de fallo a cortante, representa el endurecimiento de la superficie
de cierre y ( ) es la función de escala de Rubin.
La función de la superficie de cierre es la misma que en el modelo RHT, y se utiliza la curva
spline afín exponencial para describir la superficie límite,
(4.43)
( )
La tensión de plastificación inicial se determina desde la superficie límite usando:
(4.44)
( ) ( )
Donde es un factor comprendido entre . Este factor gobierna la ubicación de
la superficie de plastificación inicial. Por tanto, el modelo CSCM se utiliza igual que el RHT con
un multiplicador para especificar la separación entre la superficie de plastificación inicial.
27
El CSCM se apoya en el endurecimiento cinemático. La traslación de la superficie de
plastificación se realiza a través de la tensión de retorno α; la tensión total se actualiza
sumando la tensión inicial y la tensión de retorno.
La regla de endurecimiento que se utiliza para este material se basa en la tensión para
asegurar que la superficie de cizalladura coincide con la superficie límite. La tasa de
endurecimiento cinemático se controla mediante un dato que introduce el usuario , y la
tensión incremental de retorno que se expresa como:
(4.45)
( )( )
La cantidad ( ) se utiliza para limitar el incremento, de forma que la superficie de
plastificación no pueda moverse más allá de la superficie límite.
Dependencia de tamaño y velocidad de deformación
La resistencia del modelo se incrementa con el aumento de la velocidad de deformación. El
CSCM aplica los efectos de la velocidad a la superficie límite, la superficie residual y la energía
de fractura. Se utiliza una formulación modificada de Duvaut-Lions en la superficie de
plastificación, de tal forma que la tensión a alta velocidad es una interpolación entre la tensión
a baja velocidad cuasi-estática y la tensión elástica:
(4.46)
La tensión viscoplástica está acotada entre la tensión actual independiente de la velocidad y la
tensión de prueba elástica para cada paso de tiempo. Las velocidades de deformación elevadas
se manejan modificando el siguiente factor:
(4.47)
La ecuación (4.47) permite al usuario mediante los parámetros de entrada, el ajuste de
datos de los efectos de velocidad para altas y bajas velocidades de deformación. Estos
parámetros se utilizan para representar las especificaciones de dadas por CEB [Telford,
1993], al igual que para los modelos K&C y RHT. El parámetro de entrada se puede
determinar utilizando las siguientes relaciones que se dan en CEB-FIP [Telford, 1993].
( )
28
Tracción:
(4.48)
Donde:
Compresión:
(4.49)
Donde:
A pesar de tener una formulación de base lineal para manejar los efectos de la velocidad, el
modelo CSCM tiene la característica incorporada que permite al usuario incluir datos para
29
el efecto de la velocidad. Además, el usuario tiene la opción de aplicar el a la energía de
fractura estática, que hace que la energía sea dependiente de la velocidad de deformación.
De forma similar a los modelos K&C y RHT, el CSCM maneja efectos de escala incorporando
una longitud de elemento característica (raíz cúbica del tamaño del elemento). El modelo
calcula los parámetros de daño como una función del tamaño del elemento.
Independientemente de dicho tamaño, la energía de fractura permanece constante; esta
última se regula de forma separada para el ablandamiento frágil y dúctil, y se calcula mediante
la integración de la curva tensión-desplazamiento.
(4.50)
Donde:
(√ √ )√
Utilizando las ecuaciones (4.50) y (4.51), los parámetros de ablandamiento se calculan de
acuerdo a la longitud característica del elemento , mientras que permanecen como
parámetros de entrada del usuario. El valor se aproxima por el modelo desde tres datos de
entrada de la energía de fractura: (1) tensión de tracción , (2) tensión de cizalladura , y
(3) tensión de compresión . Cuando se consideran los efectos de la velocidad de
deformación, la energía de fractura se escala usando:
(4.51)
(
)
El creador recomienda un rango de Cuando ,
es proporcional al incremento en la tensión con los efectos de la velocidad.
(
) ( )
(
) ( ) (
)∫
30
Acumulación de daños
El ablandamiento por deformación y la reducción del módulo se contabilizan en la formulación
del daño basada en [Simo, 1987]. La tensión de daño , se calcula por:
(4.52)
( )
Donde es un parámetro de daño comprendido entre 0 y 1, y es un tensor de tensiones
sin daño, que es actualizado a partir del algoritmo viscoplástico. La estructura de este
algoritmo aplica el daño después de la evaluación de la actualización de la tensión sin daño.
El modelo CSCM maneja el daño utilizando una aproximación de energía basada en la
deformación. Cuando dicha energía sobrepasa el umbral de daño de un material, el daño se
inicia y acumula a través del parámetro . El umbral de daño se determina mediante dos
formulaciones diferentes para daño frágil y dúctil. En este modelo, el daño frágil se acumula
sólo cuando la tensión es de tracción, y el umbral de daño depende de la deformación
principal máxima:
(4.53)
√
El daño frágil comienza cuando , donde es el umbral inicial de daño frágil.
Por otra parte, el daño dúctil se acumula cuando la presión es de compresión, el umbral de
daño depende de los componentes totales de deformación y se expresa como:
(4.54)
√
Se produce cuando se supera el umbral inicial de daño dúctil .
El efecto de la velocidad se expresa mediante el cambio en el umbral de daño utilizando:
(4.55)
(
√ )
Donde es el umbral desplazado con la viscoplasticidad, es el umbral de daño antes de
aplicar la viscoplasticidad, y son los efectos de la velocidad. El umbral de daño modificado
permite el retraso de la iniciación del daño mientras la plasticidad se acumula.
31
La acumulación de daño durante el ablandamiento se calcula como una función del umbral de
daño utilizando:
(4.56)
Los parámetros se determinan por ajuste de curva de la ecuación (4.56) a la porción
de ablandamiento del gráfico tensión-deformación. El parámetro representa un daño
máximo alcanzable y se define como:
(4.57)
Cuando se consideran los efectos de la velocidad, la ecuación anterior se escala usando:
(4.58)
[ ( )
]
En el actual lanzamiento del modelo de material CSCM, el exponente 1.5 se establece
internamente por el creador del mismo basándose en el análisis de las simulaciones del
elemento solo. El incremento máximo de daño en un único paso de tiempo es 0.1 y se
establece también de forma interna por el modelo.
Actualización plástica
Se adopta una regla de flujo asociada de manera similar a los modelos de hormigón anteriores.
De acuerdo con los creadores, la eficiencia del modelo mejora utilizando la subincrementación
en lugar de iteraciones para volver al estado tensional de la superficie de plastificación. Se
emplea sólo cuando el incremento actual de deformación supera un límite de deformación
máximo especificado por el usuario o el fallo del modelo.
(
( ))
(
( ))
( )
(√ )
√
32
Módulos cortante y volumétrico
El modelo CSCM calcula el valor por defecto de los módulos cortante y volumétrico mediante:
(4.59)
Donde es el módulo de Young y es el coeficiente de Poisson. El módulo de Young se
determina desde la ecuación en CEB-FIP:
(4.60)
( )
Donde es el módulo de Young de un hormigón de 10 MPa y no se emplea en la zona de
endurecimiento previa a alcanzar el pico de las simulaciones.
( )
( )
33
CAPÍTULO 5: COMPORTAMIENTO DEL MODELO DE HORMIGÓN EN
FUNCIÓN DEL TAMAÑO DE MALLA
El comportamiento del hormigón es dependiente del tamaño de malla cuando se emplean las
ecuaciones que rigen el daño dúctil y frágil. Dicho comportamiento se traduce en que
diferentes tamaños de malla producirán distintos resultados en los cálculos; en general los
elementos con un tamaño menor tendrán una acumulación de daño superior.
El comportamiento anterior no es deseable y se produce porque los elementos de menor
tamaño poseen una menor energía de fractura. Lo ideal es que la solución computacional
converja a medida que la malla se refina.
La energía de fractura es una propiedad del material y se debe tener sumo cuidado cuando se
emplea. Existen varios enfoques para la regulación de la sensibilidad del tamaño de la malla:
Uno de ellos consiste en ajustar de forma manual los parámetros de daño como una función
del tamaño del elemento para así mantener constante la energía de fractura, aunque dicho
enfoque no resulta práctico. Otro enfoque más automatizado, es incluir una escala de la
longitud de los elementos en el modelo, lo cual se realiza implementando en el modelo de
material una función que calcula los parámetros de daño en base al tamaño del elemento.
5.1 Modelos numéricos
En la realización de la simulación numérica con LS-DYNA se establece el mallado de la losa de
hormigón y de las barras de acero de manera independiente y sin que sea necesaria la
coincidencia de los nodos de ambos materiales, ya que existe un comando denominado
*CONSTRAINED_LAGRANGE_IN_SOLID (C_L_S) que hace que trabajen conjuntamente,
empleándose el hormigón como material “maestro” y el acero como “esclavo”.
Para analizar la sensibilidad de la malla, se realizan varios modelos empleando diferentes
tamaños de mallado para el material hormigón, formándose paralelepípedos rectos de lado L;
mientras que para el acero de las armaduras se emplean elementos barra de 50 mm de
longitud en todos los modelos.
Por otra parte, teniendo en cuenta los planos de simetría existentes en la estructura y con el
objetivo de reducir en la medida de lo posible los tiempos de cálculo, se opta por considerar el
plano longitudinal en los modelos realizados, desechándose el uso del plano de simetría
transversal por coincidir con la sección más afectada de la losa.
34
Figura 5.1: a) Modelo de losa de hormigón, b) Modelo de barras de acero
Respecto a las condiciones de sustentación de las losas consideradas, se proyectan biapoyadas
mediante tres apoyos fijos puntuales en una alineación, y un apoyo móvil continuo en la
alineación opuesta. En los modelos iniciales se establecieron estas condiciones, tal y como
muestra la figura 5.2.
Figura 5.2: Apoyos en la losa, situación inicial.
Aunque la solución anterior se desechó debido a que no se comportó de la forma esperada y
se produjeron despegues en las armaduras que sirven de apoyo, así como roturas por desgarro
en el hormigón.
Para evitar dichos problemas, se optó por simular los apoyos mediante una fila de nudos con
las condiciones de sustentación correspondientes a cada alineación, tal y como se muestra en
la figura 5.3.
35
Figura 5.3: Apoyos en la losa, situación intermedia.
En este caso los problemas surgían por la eliminación de los elementos en los que se
simulaban los apoyos, al producirse concentraciones relevantes de tensiones en ellos entra en
juego la erosión del material, prescindiéndose de dichos elementos, y por tanto de las
condiciones de contorno de la losa.
Por último, se decidió disponer de dos cilindros que simularan las condiciones de sustentación
de cada alineación de apoyos, impidiéndose el descenso de la losa mediante el contacto losa-
cilindro, y el ascenso mediante la disposición de barras de armadura entre dichos elementos.
Figura 5.4: Apoyos en la losa, situación final.
Esta solución dio lugar a resultados satisfactorios respecto al comportamiento del elemento
estructural, ya que se evitan erosiones no reales de la losa en los apoyos, desgarros en el
hormigón producidos por las armaduras, rebote de la losa sobre los apoyos, etc. Por lo que fue
la solución adoptada y sólo tiene el inconveniente de haber aumentado de forma significativa
los tiempos de cálculo, tanto por la inclusión de los contactos, como porque el modelo final
tiene mayor número de elementos.
36
CAPÍTULO 6: EXPLOSIONES
Antes de 1960 el estudio de los parámetros asociados a las explosiones y sus efectos se
realizaba en base a las catástrofes sucedidas. Por lo que los métodos empleados no incluían
una base cuantitativa detallada para obtener el grado de presiones correspondiente. A finales
de esta década, el Departamento de Defensa de EE.UU. publicó la primera edición del manual
Structures to Resist the Effects of Accidental Explosions donde aparecían los primeros
procedimientos cuantitativos basados en programas de investigación y desarrollo que
permitieron un enfoque más fiable.
Actualmente se utilizan explosivos químicos, combustibles y propulsantes que precisan un
espacio menor del que se necesitaba anteriormente, lo cual hace aumentar la posibilidad de
que se produzcan explosiones accidentales y se requieran técnicas más precisas para estudiar
los efectos de las explosiones.
6.1 El fenómeno explosivo
Una explosión está caracterizada por un cambio físico y químico del material donde, de forma
repentina, toda la energía potencial almacenada se transforma en trabajo mecánico,
creándose una onda explosiva y un potente sonido. El material explosivo puede reaccionar
como deflagración o como detonación: la deflagración tiene lugar cuando el cambio químico
en el material se produce a una velocidad inferior a la del sonido, mientras que la detonación
se produce con cambios químicos del material a una velocidad superior a la del sonido. En el
caso de las armas de guerra, y en la generalidad de los explosivos más utilizados, es más
habitual la detonación.
El rango de las velocidades de detonación está comprendido entre 6.500 y 8.500 m/s para la
mayoría de explosivos de alta energía. En la detonación el explosivo sólido o líquido se
convierte en un gas a muy alta presión, muy denso y caliente. El volumen de dicho gas es el
origen de las fuertes ondas de choque que se propagan en el aire.
Las presiones inmediatamente posteriores a la detonación se encuentran en el rango de 18 a
34 GPa. Durante el proceso de detonación, se libera aproximadamente un tercio de la energía
total de la mayoría de los materiales explosivos de alta energía, los dos tercios restantes se
liberan más lentamente como mezcla de productos de detonación con el aire. Este proceso de
post-combustión tiene un ligero efecto sobre las propiedades de la onda explosiva, puesto que
es mucho más lento que la detonación.
El principal efecto de la explosión es una onda de choque formada por un frente de onda de
alta intensidad que se expande hacia el exterior de la superficie del explosivo en el aire
circundante. Según se va expandiendo la onda, disminuye su fuerza y su velocidad, y se alarga
su duración. Este fenómeno tiene su origen en la divergencia esférica, así como en el hecho de
que la reacción química se ha completado, a excepción de algunas post-combustiones
37
asociadas a los productos de la explosión en caliente que se queman en la atmósfera
circundante.
La onda se expande en el aire de forma que el frente incide en las estructuras situadas en su
camino, por lo que posteriormente toda esa estructura quedará envuelta por las presiones de
choque. La magnitud y distribución de las cargas de la explosión en la estructura, que originan
estas presiones, depende de los factores siguientes:
Propiedades del explosivo (tipo de material y peso)
Ubicación de la carga en relación a la estructura afectada
Magnitud y refuerzo de la presión por su interacción con el terreno, o la propia
estructura
6.2 Materiales explosivos
Se puede hacer una clasificación de los materiales explosivos atendiendo a su estado físico:
sólidos, líquidos o gaseosos. Los explosivos sólidos en general son explosivos de alta energía,
aunque también existen otros productos químicos inflamables y propelentes que pueden
clasificarse como materiales potencialmente explosivos. Los explosivos líquidos y gaseosos
comprenden una gran variedad de sustancias utilizadas en la fabricación de productos
químicos, combustibles y propelentes. El entorno de presión que surge por una explosión varía
no sólo entre los diferentes materiales, sino que también puede variar para un material dado,
ya que factores como los métodos o procedimientos de fabricación, el almacenamiento y
manipulación, además de las características específicas físicas y químicas, pueden modificar los
efectos de un material explosivo.
Los efectos más conocidos son los de los materiales sólidos, principalmente en el caso de los
explosivos de alta energía. Algunos efectos tales como las presiones de explosión, los impulsos
y la duración, se han estudiado de forma amplia.
Además existen otros materiales sólidos, líquidos o gaseosos, diferentes de los explosivos de
alta energía, que pueden sufrir variaciones en la producción de presión por su explosión,
estando en muchos casos originada por una porción de la masa total del mismo,
consumiéndose el resto de la masa en la deflagración. De esta forma se libera una gran
cantidad de energía térmica que puede llegar a provocar incendios o daños por radiación
térmica.
6.3 Equivalente TNT
Debido a que los ensayos origen de la colección de datos experimentales publicada por Kingery
y Bulmash fueron realizados utilizando como material explosivo el TNT, y sería inviable
actualmente repetir tal cantidad de ensayos con los distintos tipos de materiales explosivos
existentes, con el fin de hacer comparables los efectos de los distintos materiales explosivos y
poder utilizar el conocimiento proporcionado por dicha experimentación. Por ello los
materiales explosivos son caracterizados en términos de peso equivalente de TNT, aunque
existen varios factores por los que puede verse afectado, como la forma del material, el
38
número de elementos explosivos, el confinamiento de la carga, etc. Esta equivalencia es muy
adecuada para el uso en modelos ingenieriles de explosiones, no obstante se debe prestar
gran atención al método empleado para su obtención debido a que existen equivalencias
basadas en la presión máxima, el impulso máximo, relación de energías específicas, o bien en
función de otros parámetros de la onda explosiva, y las diferencias obtenidas en base al
procedimiento empleado pueden ser significativas.
Para la determinación de los parámetros de la explosión, la energía explosiva de un material
genérico al TNT pueden ser expresados como una función del calor de la detonación de los
distintos materiales, mediante la expresión:
(6.1)
Donde:
Otro método empleado para la determinación del equivalente TNT consiste en escalar el peso
mediante la velocidad de detonación del punto de Chapman-Jouguet, más conocido como
punto CJ [Cooper, 1996]:
(6.2)
(
)
Donde:
La prueba más utilizada para la determinación de la potencia de un explosivo consiste en hacer
explotar la carga dentro de un bloque de plomo de dimensiones estandarizadas (bloque de
Trauzl), y posteriormente medir el volumen de la cavidad creada en su interior. Se puede
establecer una correlación entre la potencia del explosivo y la de otro explosivo patrón al que
se asocia convenientemente una potencia igual a 100; en general, tanto en el ámbito militar
como en el civil, es común definir la carga explosiva en peso equivalente respecto al TNT.
39
6.4 El fenómeno de la onda explosiva
En una detonación el material explosivo se convierte en un gas a muy alta presión y
temperatura mediante una violenta liberación de energía. Un frente de presión asociado al gas
a alta presión se propaga en la atmósfera de forma radial como una fuerte onda de choque,
impulsada y apoyada por los gases calientes. Este frente se conoce como onda explosiva y se
caracteriza por un aumento instantáneo de la presión atmosférica a una presión incidente
máxima, o sobrepresión estática, Pso. Ver figura 6.1.
Figura 6.1: Gráfica presión-tiempo en una explosión aérea [UFC 3-340-02, 2008]
El frente de choque alcanza una determinada ubicación en un tiempo tA y, tras alcanzarse el
valor máximo o de pico Pso, la presión incidente decae hasta el valor ambiental en el tiempo
que delimita la duración de la fase positiva to.
Seguidamente se inicia la fase negativa con una duración to-, que por lo general tiene una
duración mayor que la fase positiva y se caracteriza por tener una presión inferior a la
atmosférica, de valor máximo Pso-, así como una reversión de la corriente de partículas.
La fase negativa suele ser menos importante que la positiva, y su amplitud Ps- debe ser menor
que la presión atmosférica Po en todos los casos. La densidad del impulso incidente asociada a
la onda explosiva es el área bajo la curva presión-tiempo y se representa por is para la fase
positiva e is- para la negativa.
40
6.5 Distancia escalada
La primera referencia encontrada sobre la escala de la raíz cúbica se encuentra en [Baker,
1983], donde es definida de la siguiente manera:
“Se producen ondas explosivas similares a idénticas distancias escaladas cuando dos cargas
explosivas con geometría similar y del mismo explosivo pero de diferentes pesos detonan en la
misma atmósfera”.
De manera matemática, esta afirmación se expresa como:
(6.3)
( )
Donde son las distancias escaladas de las cargas de peso , siendo el tiempo e el
impulso. Mediante una serie de transformaciones en la expresión anterior, se obtiene la
denominada distancia escalada:
(6.4)
41
CAPÍTULO 7: ENSAYOS EXPERIMENTALES Y MEDIDAS DE ACELERACIÓN
Los ensayos experimentales fueron realizados para el proyecto “Investigación, desarrollo y
demostración de innovadores sistemas de mejora de la seguridad integral en terminales de
transporte - SEGTRANS”, cuya primera fase tuvo lugar entre el 14 y el 29 de junio de 2011.
El objetivo de dichos ensayos fue obtener medidas de las aceleraciones y presiones de las
ondas explosivas, así como determinar el daño en los elementos estructurales empleados para
diferentes distancias escaladas.
7.1 Ubicación
La realización de los ensayos fue en las instalaciones de balística de efectos en el Instituto
Tecnológico La Marañosa (ITM) que posee una zona dotada de las infraestructuras necesarias
para las prácticas con explosivos, como se puede observar en la figura 7.1:
Tres búnker situados a diferentes distancias para la protección de equipos y personal
Nichos enterrados con protección para equipos y acondicionadores de señal
Espacios laterales para acopios y construcción de elementos
Cableado bajo tierra que es accesible a toda la plaza de ensayos
Circunferencias para marcar equidistancias desde el punto central de disparo
Figura 7.1: Imagen aérea de la “plaza de tiro”, I.T. La Marañosa.
7.2 Explosivos
Se utilizó un explosivo de uso militar, conocido como PG2, que se compone principalmente de
hexógeno (RDX) empapado en aditivos plásticos. Posee muy buenas propiedades de auto-
adherencia, se puede moldear fácilmente y adoptar cualquier geometría, como muestra la
figura 7.2. Además cuenta con una excelente resistencia al agua y muy baja sensibilidad ante
efectos externos, como son el choque y la fricción. Se puede iniciar mediante detonador o
cordón detonante.
42
Figura 7.2: a) Aspecto del explosivo PG2, y b) Bloques de 1kg.
Características físicas del PG2 dadas por el fabricante:
Densidad> 1,45 g/cm3
Composición: Mezcla de polímeros plásticos (15%) con hexógeno (85%)
Velocidad de detonación: ≈7000 m/s para 1,5 g/cm3
Plasticidad: Fácilmente moldeable tras 3h a un rango de temperatura de -30⁰C a 50⁰C.
Adherencia: Se adhiere fácilmente cualquier superficie con un índice de adherencia >
32 g/cm2.
El equivalente TNT del PG2 fue evaluado experimentalmente en base a impulso obteniéndose
un valor de 0.86, es decir que 860g de PG2 equivalen a 1000g de TNT. Ver figura 7.3.
Figura 7.3: Carga esférica de 1.724 kg de PG2 (2 kg eq. TNT)
7.3 Instrumentación
A continuación se describen los tipos de dispositivos utilizados para determinar distintos
parámetros de los ensayos realizados durante la primera fase del Proyecto SEGTRANS.
43
Captadores de presión
Se emplearon captadores piezoeléctricos con una frecuencia de muestreo de 500kHz, una
muestra cada 2μs. En la Tabla 1 aparecen las características principales de los captadores
utilizados.
Tabla1 - Características principales de los captadores de presión.
# Serie Modelo Rango de medida Sensibilidad Protección
32416
PBC-CA-102B
5000PSI
1 mV/PSI
ablative 32417
32418
32419
32379 PBC-CA-102B06 500PSI 10mV/PSI ablative
32379 PBC-CA- 50PSI 100mV/PSI --
Cada sensor se conectó a un alimentador de tipo ICP y a uno de los canales del sistema de
adquisición de datos modelo Genesis de Nicolet. Los otros canales del equipo de registro
estaban ocupados por los acelerómetros, así las presiones y aceleraciones tuvieron el mismo
origen de tiempos.
El registro de datos fue iniciado y finalizado de forma manual.
Los captadores dispuestos en las posiciones más cercanas, a 1 m y 2 m de la carga, disponían
de un sistema de protección “ablativo” que permite un registro adecuado y protege el
dispositivo cuando es sometido a la bola de fuego procedente de la explosión.
Acelerómetros
Se utilizaron acelerómetros uniaxiales piezoeléctricos, cuyas características principales
aparecen recogidas en la Tabla 2.
Los sensores fueron enroscados a una pieza metálica sujeta con mortero de poliéster en un
agujero previamente perforado en la estructura a ensayar (ver figura 7.4), y la frecuencia de
resonancia para este acoplamiento se muestra en la Tabla2.
Estas piezas se colocaron sobre el eje mayor de simetría de la cara inferior del elemento a
ensayar en las posiciones: P1 (0,0), P2 (1,0) y P3 (-1,0), dándose estas coordenadas en metros
respecto al centro de la losa.
Figura 7.4: Acelerómetro A2 (PBC350B04, 5000g) ensayo L11.
44
Tabla 2 - Características principales de los acelerómetros.
Modelo PCB305A03 PCB350B04 Nº identificación A1 A2 yA3 Nº de sensores 1 2 Rango de medida, g ±10000 ±5000 Resolución, g 0.2 0.02 Rango de frecuencia lineal, Hz 0.25‒8000 0.4 a10000 Frecuencia de resonancia acelerómetro, kHz >60 >100 Frecuencia de resonancia del acoplamiento, kHz - 60
Cada sensor fue conectado a un alimentador tipo ICP y a uno de los canales del sistema de
adquisición de datos modelo Genesis de Nicolet. Los otros canales del equipo de registro
estaban ocupados por los captadores de presión, de manera que las presiones y aceleraciones
tuvieron el mismo origen de tiempos. Esta disposición se muestra en la figura 7.5.
El registro de datos fue activado de forma manual y los sensores se dispusieron de forma que
registraran valores positivos cuando la losa se movía hacia abajo. El registro de datos fue
iniciado y finalizado de forma manual, y se empleó una frecuencia de muestreo para registrar
las aceleraciones de 50kHz por canal.
Figura 7.5: Cadena de equipos empleada.
Sistema de adquisición de datos
Para los ensayos se utilizó un sistema de adquisición de datos de gran velocidad de muestreo,
que cuenta con 16 canales. El modelo fue el Genesis de Nicolet, que se muestra en la figura 7.6
y dispone de:
8 canales muy rápidos, que muestrean cada 100 ns
8 canales rápidos, con una frecuencia de muestreo de 250 kHz
Figura 7.6: Sistema de adquisición de datos Nicolet Genesis.
45
Cámara de alta velocidad
Se empleó una cámara de alta velocidad de Photron (Fastcam SA3-120k) adaptada para este
tipo de ensayos, como la que aparece en la figura 7.7. Sus principales características técnicas
son:
Velocidad superior a 5.000 imágenes por segundos para una resolución 512x512
Velocidad máxima 120.000 fps a 128x16
Robusta para uso en condiciones de polvo y lluvia
Posibilidad de insertar hasta 10 marcadores de eventos digitales dentro de la
secuencia de imágenes en tiempo real
Batería de alta duración y cargador
Sistema remoto de encendido con disparador de radiofrecuencia
Figura 7.7: Cámara de alta velocidad Photron (Fastcam SA3-120k).
Detector de metales
El detector de metales, se utilizó para localizar la posición de los redondos en el armado. Este
dispositivo permite conocer tanto la localización como la profundidad a la que se encuentran.
Ver figura 7.8.
Figura 7.8: Detector de metales “micro covermeter”.
46
Martillo Schmidt
En la Tabla 3 se muestran las principales especificaciones técnicas del martillo Schmidt
empleado, y en la figura 7.9 el dispositivo utilizado.
Tabla 3 - Especificaciones técnicas del martillo Schmidt
Marca Proceq
Modelo Silver Schmidt PC TypeN
Resistencia a la compresión de hormigón(N/mm2) 10-100
Energía de impacto (Nm) 2.207
Masa del martillo (g) 115
Recorrido del muelle (mm) 75
Figura 7.9: Martillo de Schmidt empleado en los ensayos.
7.4 Pruebas previas
Con el fin de determinar la mejor manera de fijar los captadores se dispararon algunas cargas
de TNT y PG2 antes de realizar los ensayos. También se estudió la posible afección de la bola
de fuego sobre los sensores y se midió a 2 m del foco explosivo para comprobar si una
protección de silicona afectaba a los resultados.
Realizadas estas pruebas, se consideró necesaria la adquisición de captadores especialmente
diseñados para resistir un flash de temperatura (modelos ablativos).
El 15 de abril de 2011 se llevaron a cabo dos ensayos para ajustar la instrumentación y definir
completamente los sistemas de sujeción de protección pasiva.
En el primer disparo, se detonaron 500 g de TNT y en el segundo 4 kg de TNT a 3,25 m de una
viga metálica soldada a una zapata.
Algunas imágenes captadas durante las pruebas previas a los ensayos se muestran a
continuación en las figuras 7.10, 7.11 y 7.12.
47
Figura 7.10: Prueba con 4kg TNT, bola de fuego.
Figura 7.11: Prueba de 4 kg de TNT. Viga de acero de 2 m de altura soldada.
Figura 7.12: Prueba 4kg de TNT. Detalle dimensiones.
48
Se situaron dos acelerómetros en la parte posterior de la zapata y dos captadores de presión a
9 m de la carga; estos últimos estaban colocados de forma que midieran la presión incidente.
La disposición de dichos dispositivos se muestra en la figura 7.13.
Figura 7.13: Ensayos 16 de abril de 2011. Situación de los captadores.
En la filmación de los ensayos se observó una bola de fuego que superó y envolvió a la viga
situada a 3,25 m. La zapata sólo sufrió un desplazamiento de 5 mm en su base tras el ensayo
de 4 kg de TNT. El maniquí de madera situado a 17m de la carga no volcó ni sufrió ningún
daño.
Los resultados de presión obtenidos en los ensayos, junto con las presiones estimadas
mediante el manual TM-5-1300 se muestra en la Tabla 4.
Tabla 4 - Ensayos previos E1 y E2
Ensayo QTNT (kg) Distancia (m) D.escalada
(ft/lb^1/3)
P.incid.(PSI)
(experimental)
P.incid.
(PSI) TM5
P.refl.
(PSI)TM5
E1-suelo 4 9 14.3 5.32 5.05 11.46
E1-aereo 4 9 14.3 5.34 5.05 11.46
E2-suelo 0.5 9 28.6 1.78 1.81 3.82
E2-aéreo 0.5 9 28.6 1.9 1.81 3.82
49
7.5 Resumen de ensayos
Durante esta primera fase se realizaron en total 15 ensayos que aparecen recogidos en la
Tabla 5.
Tabla 5 - Resumen de ensayos realizados.
Ensayo Día Elemento Instrumentación Dist(m) Carga kgTNT
L11 14/06/2011 Losa P+a+MS 1 Esférica 2
L12 15/06/2011 Losa P+a+CAV+MS 1 Esférica 2
L13 16/06/2011 Losa P+a+CAV+MS 1 Esférica 2
L13B 16/06/2011 Losa P+a+CAV+MS 1 Esférica 2
V11 16/06/2011 Viga P+a+CAV+MS 1 Esférica 2
V12 17/06/2011 Viga P+a+CAV+MS 1 Esférica 2
V12B 17/06/2011 Viga P+a+CAV+MS 1 Esférica 2
V13 17/06/2011 Viga P+a+CAV+MS 1 Esférica 4
L21 21/06/2011 Losa CAV+(MS) 0.5 Cúbica 15
L22 27/06/2011 Losa CAV+(MS) 1 Cúbica 15
V21 21/06/2011 Viga CAV+(MS) 0.5 Cúbica 15
V22 22/06/2011 Viga CAV+(MS) 1 Cúbica 15
PL 20/06/2011 Paredes ladrillo P+CAV 2.5 Esférica 5
PP-1 29/06/2011 Perfiles metálicos P+a+CAV 3.5 / 6m Cilíndrica+metralla 5
PP-2 29/06/2011 Perfiles metálicos P+a+CAV 3.5 / 6m Esférica 5
Ensayos L1: Losas biapoyadas, carga esférica de 2 kg TNT a 1 m
Ensayos V1: Vigas empotradas, carga esférica de 2 kg TNT a 1 m (excepto V13 con 4 kg a 1m)
Ensayos L2: Losas biapoyadas, carga cúbica de 15 kg (L21 a 0.5 m y L22 a 1 m)
Ensayos V2: Vigas empotradas, carga cúbica de 15 kg (V21 a 0.5 m y V22 a 1 m)
Ensayo PL: 3 paredes de bloques, carga esférica de 5 kg a 2.5 m de las paredes
Ensayos PP: 5 perfiles metálicos a 3.5 m y 5 a 6 m,
- PP1: 5 kg TNT carga cilíndrica + metralla
- PP2: 5 kg TNT carga esférica.
Tabla 6 - Especificaciones técnicas para losas (Fuente: EUROESTUDIOS)
Ejecución
Tipo
Localización
Máxima relación
a/c
Mínimo contenido cemento
Cemento
Nivel control
Hormigón HA-25/B/20/lla En losas 0.6 275 CEMI-A Estadístico c=1.5
HM-20/B/20/l Solera 0.65 200 -- Estadístico c=1.5
Armado
AP-500S,ME-
500S
En barras
--
--
--
Normal
s=1.15
Acero
S-275JR Piezas metálicas
--
--
--
Normal
m=1.1
Ejecución
--
Toda la obra
--
--
--
Normal
q=1.35-1.5
50
Para el presente proyecto sólo se han considerado los ensayos llevados a cabo con losas
biapoyadas para cargas de 2 kg equivalentes de TNT, correspondientes a los “Ensayos L1”.
La disposición de las losas fue la que se muestra en la figura 7.14.
Figura 7.14: Esquema general de ensayo con losas (Fuente: EUROESTUDIOS).
51
7.6 Ensayos con losas
ENSAYOS L1
Se ensayaron un total de 3 losas con una carga de 2 kg de equivalente TNT (1,724 kg PG2 esférico) situados a 1 m del centro de la losa, como se muestra en las figuras 7.15 y 7.16.
Ensayo L11
Figura 7.15: Disposición delos ensayos L11 y L12.
Figura 7.16: Imágenes del ensayo L11.
52
Figura 7.17: a) Ensayo L11 listo para disparar; b) losa L11 tras el ensayo.
Ensayo L12 La disposición de este ensayo es idéntica a la del anterior. Se utilizó una cámara de alta
velocidad para filmarlo, siendo la secuencia de la explosión la que se muestra en la figura 7.18.
Figura 7.18: Secuencia de la cámara de alta velocidad en ensayo L12.
53
Figura 7.19: Ensayo L12 listo para disparar.
Figura 7.20: Losa12 antes y después del ensayo
Figura 7.21: Detalle de las grietas marcadas en la cara inferior de la losa L12 tras el ensayo.
54
Ensayo L13 La losa L13 se ensayó dos veces consecutivas con idéntica configuración como muestra la
figura 7.22. Los ensayos se denominaron L13 y L13B y fueron filmados siguiendo las secuencias
que aparece en las figuras 7.23 y 7.24.
Figura 7.22: Disposición de los ensayos L13 y L13B.
Figura 7.23: Secuencia de disparo del ensayo L13. Imágenes consecutivas cada 0,67 ms.
55
Figura 7.24: Secuencia de disparo del ensayo L13B. Imágenes consecutivas cada 0,67 ms.
Figura 7.25: Losa L13 tras los ensayos L13 y L13B.
56
7.7 Evaluación de daños
El daño producido por las explosiones fue evaluado mediante:
Inspección visual: marcado de daños previo al mapeado de grietas
Mapeado de grietas
Recogida de fragmentos
Variación de la resistencia: Martillo de Schmidt
Inspecciones visuales
Se llevó a cabo una inspección inicial en la que se marcaron los desperfectos de los elementos
estructurales a ensayar con el fin de no asignar a la explosión los daños previos (ver figura
7.26). Los desperfectos consistían principalmente en algunos “desconchones” en los laterales
de los elementos debidos a la manipulación y transporte. En general, las superficies
presentaban un buen acabado sin grietas previas, y se tomaron fotografías de cada elemento
tanto antes como después de los ensayos.
Figura 7.26: Marcado con pintura de fallos previos al ensayo.
Después de realizar los ensayos se procedió a mapear las grietas, marcando todas aquellas que
eran visibles en las superficies de los elementos con rotulador, como se muestra en la figura
7.27. Las imágenes tomadas después del marcado de grietas sirvieron para la posterior
comparación de los desperfectos producidos en los ensayos.
Figura 7.27: Detalle del mapeado de grietas.
57
Fragmentos
Antes de cada ensayo se limpiaba la zona para así poder identificar y recoger los fragmentos
del elemento desprendidos durante la explosión. Dichos fragmentos obtenidos fueron
embolsados y pesados en los ensayos tipo L1, losa con poca carga, no resultando viable esta
operación en aquellos ensayos de más carga (15 kg de TNT).
Figura 7.28: Fragmentos recogidos tras el ensayo L1-2.
Martillo Schmidt
Se utilizó un martillo Schmidt como ensayo no destructivo sobre cada elemento estructural
antes y después de los ensayos. Dicho martillo mide el número de rebotes sobre un punto de
la superficie a ensayar tras ceder una fuerza determinada: 2,207 Nm. Es un método
ampliamente utilizado en hormigón y en roca in situ, y existen trabajos que correlacionan el
resultado de la dureza de Schmidt con propiedades elásticas.
La resistencia a compresión puede evaluarse mediante el método de rebote esclerómetro que
se describe en la norma UNE 83-307-86: Ensayos de hormigón: determinación del índice de
rebote. En base a algunos aspectos recogidos en la norma UNE, se diseñó un método de
medida para evaluar la resistencia del hormigón en una serie de puntos antes y después de la
explosión para poder elaborar un mapa de daño que permita comparar los resultados de las
simulaciones.
Figura 7.29: Losa tipo ensayos L1. Ubicación de puntos de medida con martillo de Schmidt (MS).
58
7.8 Registros de aceleración
La Tabla 7 resume las 13 medidas brutas de aceleración obtenidas. Se mantiene la notación
original empleada para designar los ensayos, es decir tipo de estructura (losa apoyada se
designa como L1 y viga empotrada como V1), número correlativo del espécimen ensayado
seguido de la letra B (especifica que la estructura se ha ensayo dos veces). En tres de los seis
registros obtenidos en el centro de las estructuras, se ha superado el rango de medida del
acelerómetro (el sensor y los valores de pico correspondientes se han marcado en cursiva en la
Tabla 7) por lo que se descartan para el análisis posterior.
Tabla 7 – Características de las aceleraciones brutas.
a
Las coordenadas se consideran desde el centro de la estructura, los dispositivos de medida se sitúan en los
puntos P1,P2, y P3 que son (0,0),(1,0) y (-1,0), respectivamente. b
La distancia del explosivo al sensor se determina considerando el espesor de la estructura a ensayar (0.15 m en
las losas y 0.2 m en las vigas) b
Tiempo que tarda la aceleración en ser inferior a 25 g.
59
CAPÍTULO 8: PROBLEMÁTICA DEL TAMAÑO DE LOS ELEMENTOS
La mayoría de los análisis de error comienzan asumiendo que la relación entre la solución
exacta , y la solución numérica aproximada ( ) viene dada por la siguiente expresión:
(8.1)
( )
Donde es la medida de discretización del mallado, es una constante, es el orden de
convergencia y son los términos de orden superior que incluyen potencias de .
Si el mallado que se considera está lo suficientemente ajustado, el término puede
despreciarse. Entonces el error de discretización puede aproximarse de la siguiente manera:
(8.2)
( ) ( )
El orden de convergencia se puede encontrar mediante la representación gráfica del error de
discretización ( ), como una función del parámetro de discretización del mallado . Esto
resulta más fácil aplicando logaritmos, y la expresión correspondiente proporciona como la
pendiente de la línea resultante en el espacio logarítmico.
(8.3)
( ( )) ( ) ( )
Considerando de nuevo la ecuación (8.2) donde existen tres incógnitas: la solución exacta
, la constante y el orden de convergencia observado , es posible conocer estos tres
valores realizando tres ajustes de mallado, es decir, a partir de tres valores diferentes de . La
determinación de estas tres incógnitas es la base del Método GCI (Grid Convergence Index).
Los métodos tradicionales de estimación del error de discretización se apoyan en el doble
mallado, es decir, las dimensiones de los mallados cambian según un factor dos. Un desarrollo
reciente del Método GCI proporciona una estimación de dicho error aún cuando los ajustes de
mallado sucesivos no sean múltiplos enteros.
El error de discretización será estimado mediante el Método GCI empleado en la Dinámica de
Fluidos Computacionales (CFD). Este método establece como un porcentaje de error y
proporciona un límite de confianza sobre el margen de error estimado, en el cual estará la
solución de convergencia numérica. La estimación del error GCI puede ser utilizada con un
mínimo de dos soluciones de mallado, pero proporciona una estimación más adecuada cuando
se utiliza con tres soluciones de mallado.
60
8.1 Relación de refinamiento para mallado constante
Se aplica en aquellos casos en los que los tres mallados son construidos con una relación de
refinamiento de mallado constante , es decir:
, donde
La ecuación (8.3) es escrita tres veces y resuelta de forma cerrada para la relación de
convergencia observada:
(8.4)
(
)
( )
Una vez que se conoce el orden de convergencia, puede estimarse la proporción de error entre
la solución de mallado buena y la solución exacta desconocida. Esto se consigue aplicando dos
veces la ecuación (8.2) para cada uno de los mallados y eliminando la desconocida
constante , y resolviendo para :
(8.5)
(8.6)
Donde el error relativo entre los dos mallados más finos viene dado por:
(8.7)
|
|
La ecuación (8.6) proporciona una estimación del error relativo exacto con respecto a la
solución de mallado fino. Esta estimación está basada en las dos soluciones de mallado más
fino, y , la relación de refinamiento del mallado , y el orden de convergencia observado
.
61
8.2 Relación de refinamiento para mallado no constante
La necesidad de una relación de refinamiento de mallado constante, sobre tres valores, puede
llegar a suponer una carga computacional especialmente para problemas tridimensionales. Por
medio de la experiencia práctica se sabe que las relaciones de refinamiento de mallado sólo
precisan ser superiores a 1.3, es decir, para obtener unos resultados
adecuados empleando el Método GCI.
Al simplificar el requisito de que la relación de mallado sea constante, la ecuación (8.3) se
puede escribir tres veces y la resolución de este sistema de ecuaciones resulta en una ecuación
trascendental, que es la siguiente:
(8.8)
| | | ( )|
( )
( ) (
)
( )
Donde: y
La primera de las ecuaciones de (8.8) tiene que ser resuelta de forma iterativa, suponiendo un
valor inicial de ( ) ; esta primera ecuación con ( ) es idéntica a la relación de
ajuste de mallado constante observada para la relación de convergencia, ecuación (8.4).
El GCI proporciona una estimación de la cantidad de error de discretización en la solución de
mallado más fino relativa a la solución numérica que converge. El GCI viene dado por:
(8.9)
Donde es un factor de seguridad que multiplica al término del error relativo, definido
previamente por la ecuación (8.7). Este factor, =1.25, está basado en la experiencia de haber
aplicado el GCI en numerosas situaciones [Roache, 1994], y podría pensarse como la
representación de un 95% de los límites de seguridad sobre el error relativo estimado:
[ ( ) ( )]
Finalmente, basándose en las dos soluciones de mallado más fino y la estimación de la relación
de convergencia observada, es posible una extrapolación de la solución numérica:
(8.10)
La expresión anterior proporciona una estimación útil de la solución numérica que converge.
62
CAPÍTULO 9: ANÁLISIS DE LA IDONEIDAD DEL TAMAÑO DE MALLA
Los diferentes modelos de hormigón que se han implementado en el programa LS-DYNA
presentan gran complejidad, de forma que pueden hacerse distinciones según sea el
comportamiento a compresión o tracción, contemplar la velocidad de deformación, considerar
el fallo material, e incluso la erosión. En dichos modelos tan complejos, un factor que juega un
papel muy importante es la energía de fractura ( ) ya que su valor, que es cuantificado por el
volumen del material, varía según el tamaño del elemento. Por lo tanto, se ve bastante
distorsionado el comportamiento real de una sección o estructura en función del mallado
utilizado, de manera que si la discretización es “gruesa” puede no alcanzarse el fallo y si es
“fina” puede alcanzarse de forma prematura o excesiva.
9.1 Simulación numérica según criterios de energía de fractura.
Los estudios efectuados sobre la idoneidad del tamaño de malla atendiendo a criterios de
energía de fractura se han llevado a cabo utilizando el modelo de material CSCM (Material
159) debido a las características que presenta, entre ellas:
Diferenciación en los parámetros para daño frágil y dúctil
No se reduce la resistencia última con el daño, pero si se ven reducidos el volumen y la
rigidez a cortante del material
Soporta el fallo independientemente del fallo por deformación tras alcanzar el máximo
daño posible, sin recurrir a artificios de erosión provocada
El modelo de material CSCM utiliza el enfoque de grietas en zona [FHWA, 2007]. Debido a la
naturaleza heterogénea del hormigón se modeliza como un material homogéneo, en el que las
fisuras se simulan mediante una pérdida de resistencia, es decir, se produce un debilitamiento
del material.
Este comportamiento de debilitamiento se relaciona con la energía interna que generalmente
se asocia a la energía de fractura ( ). Ésta última se cuantifica por volumen de material, sin
embargo en el método de los elementos finitos la discretización se realiza mediante
elementos, por lo que aquellos que sean más grandes, tienen mayor volumen y poseen una
energía de fractura superior. La energía de fractura ( ) debería permanecer constante
independientemente del tamaño del elemento, por lo que con el fin de evitar este problema
se introduce la regularización de la energía de fractura. De esta manera, dicha energía se
escala en relación al tamaño del elemento con el fin de obtener resultados objetivos de malla.
La regularización de la energía de fractura ( ) debe permitir un tratamiento de los elementos
independientemente de su tamaño, siempre y cuando los elementos sean lo suficientemente
grandes; cuando estos se hacen demasiado pequeños pueden introducirse errores.
63
La figura 9.1 muestra una representación esquemática de una fisura que sufre el hormigón. La
sección de hormigón muestra la matriz con los áridos en la que se puede apreciar una fisura
principal junto con otras microfisuras secundarias en las proximidades. La anchura de la zona
que contiene la fisura principal y las microfisuras se denomina zona de proceso de fisura (ZPF).
Figura 9.1: Enfoque de grietas en zona y regularización. Modificada de [Yoeng Sin Khoe, 2012]
En el supuesto de que la regularización de la energía de fractura comprenda de forma
completa un elemento de la zona de proceso de fisura (ZPF), si la dimensión del elemento es
mayor que la anchura de la ZPF, la regularización asegura que la energía de fractura puede
disiparse. Ver figura9.2.
Figura 9.2: Error debido a la regularización. Modificada de [Yoeng Sin Khoe, 2012]
El esquema de regularización se rompe si los elementos son más pequeños que el ancho de la
ZPF. La regularización obliga a que cada elemento sea capaz de disipar la energía de fractura
total; como consecuencia de ello, la zona de proceso de fisura del elemento más pequeño está
64
comprendida por múltiples elementos que son capaces de disipar cada uno la energía de
fractura.
La aplicación errónea de la regularización hace que el sistema sea capaz de absorber más
energía, dando lugar a una sobreestimación de la resistencia del sistema. Dicho error fue
descrito en [Bazant, 1983].
Del mismo modo, una regularización errónea puede provocar un fallo prematuro del sistema
cuando los elementos se hacen excesivamente pequeños, ya que una menor energía de
fractura ( ) puede dar lugar a un colapso prematuro del elemento al producirse un fallo en
cadena de los elementos adyacentes.
Sin embargo si los elementos se hacen grandes en exceso, la energía de fractura es muy
elevada, pudiendo ocurrir que el fallo no llegue a producirse, o que lo haga para un estadio
posterior de la carga real.
65
CAPÍTULO 10: MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS Y RESULTADOS.
ESTUDIO DE CONVERGENCIA PARA CADA MATERIAL
Para el presente proyecto se partió del modelo ya desarrollado en LS-DYNA de una losa
biapoyada de hormigón armado (ver figuras 10.1 y 10.2) con la detonación de una carga de 2
kg de TNT situados a 1 m del centro de la misma. Se modificaron las características del material
para ajustarlo a los siguientes modelos:
K&C (Material 72R3)
RHT (Material 272)
CSCM (Material 159)
Dentro de cada uno de ellos se ejecutaron simulaciones para los siguientes valores de mallado:
30, 25, 20, 18 y 12 (mm); pero posteriormente algunos valores se descartaron para poder
aplicar la relación de refinamiento para mallado no constante del método GCI.
Figura10.1: Modelos LS-DYNA a)Losa de hormigón, y b) Barras de acero.
Una vez ejecutado cada modelo con LS-DYNA, se buscaron los puntos correspondientes a las
posiciones de los acelerómetros en los ensayos llevados a cabo para el proyecto SEGTRANS,
que fueron P1 (0,0) y P2 (1,0), convertidos en A1 (0,0,-0.15) y A2 (1,0,-0.15) para ser evaluados
en el programa.
Identificados estos puntos se procedió a anotar los valores de pico de las aceleraciones
obtenidos en las gráficas, e igualmente se obtuvieron las gráficas de velocidad.
A continuación se muestran todas las gráficas obtenidas de aceleración y velocidad para los
puntos coincidentes con la posición de los dos acelerómetros empleados en los ensayos
situados en la losa en los distintos mallados de los tres modelos de material analizados (K&C,
RHT y CSCM)
66
10.1. Gráficas obtenidas en LS-DYNA
10.1.1 K&C (Material 72R3)
12 mm Posición A1:
Posición A2:
67
18 mm Posición A1:
Posición A2:
68
20 mm Posición A1:
Posición A2:
69
25 mm Posición A1:
Posición A2:
70
30 mm Posición A1:
Posición A2:
71
10.1.2 RHT (Material 272)
12 mm Posición A1:
Posición A2:
72
18 mm Posición A1:
Posición A2:
73
20 mm Posición A1:
Posición A2:
74
25 mm Posición A1:
Posición A2:
75
30 mm
Posición A1:
Posición A2:
76
10.1.3 CSCM (Material 159)
12 mm Posición A1:
Posición A2:
77
18 mm Posición A1:
Posición A2:
78
20 mm Posición A1:
Posición A2:
79
25 mm Posición A1:
Posición A2:
80
30 mm Posición A1:
Posición A2:
81
10.2 Valores de aceleraciones
A partir de las gráficas anteriores se obtuvieron los valores de pico de las aceleraciones que muestran las Tablas 8, 9 y 10, teniendo en cuenta que los valores positivos son los de la parte inferior de la gráfica y viceversa.
Tabla 8 – Valores de aceleraciones de pico obtenidas para el Modelo K&C.
Datos LSDYNA A1 (0,0,-0.15) A2 (1,0,-0.15)
(mm) Aceleración z (+) Aceleración z (-) Aceleración z (+) Aceleración z (-)
12 1,87E+05 -8,31E+04 2,20E+04 -1,15E+04
18 1,32E+05 -7,48E+04 1,70E+04 -8,93E+03
20 1,31E+05 -7,56E+04 1,49E+04 -7,76E+03
25 1,15E+05 -5,43E+04 1,08E+04 -5,38E+03
30 8,99E+04 -4,56E+04 7,59E+03 -3,80E+03
Tabla 9 – Valores de aceleraciones de pico obtenidas para el Modelo RHT.
Datos LSDYNA A1 (0,0,-0.15) A2 (1,0,-0.15)
(mm) Aceleración z (+) Aceleración z (-) Aceleración z (+) Aceleración z (-)
12 1,54E+05 -9,06E+04 1,96E+04 -1,09E+04
18 1,32E+05 -7,31E+04 1,55E+04 -1,07E+04
20 1,31E+05 -7,45E+04 1,75E+04 -8,17E+03
25 1,11E+05 -7,62E+04 1,53E+04 -9,70E+03
30 8,91E+04 -5,78E+04 1,39E+04 -4,56E+03
Tabla 10 – Valores de aceleraciones de pico obtenidas para el Modelo CSCM.
Datos LSDYNA A1 (0,0,-0.15) A2 (1,0,-0.15)
(mm) Aceleración z (+) Aceleración z (-) Aceleración z (+) Aceleración z (-)
12 1,88E+05 -8,73E+04 1,76E+04 -1,24E+04
18 1,32E+05 -6,74E+04 1,43E+04 -7,47E+03
20 1,31E+05 -6,88E+04 1,18E+04 -6,93E+03
25 1,16E+05 -7,44E+04 9,46E+03 -3,95E+03
30 9,08E+04 -6,15E+04 7,21E+03 -2,90E+03
82
10.3 Tiempos de cálculo La Tabla 11 muestra los tiempos de cálculo requeridos por LS-DYNA para la ejecución completa
de los distintos modelos de materiales de hormigón:
Tabla 11 – Tiempos de cálculo requeridos por LS-DYNA para ejecutar los modelos.
Total CPU time (s)
Mallado (mm) K&C RHT CSCM
12 2510 6892 1277
18 760 3771 378
20 637 3336 543
25 315 2357 216
30 231 1526 237
10.4 Aplicación del Método GCI
Una vez conocidos los valores de los picos de las aceleraciones se procedió a su aplicación en la
relación de refinamiento para mallado no constante del método GCI, ya que para los valores
simulados no se obtenían relaciones constantes. La relación de los mismos debe ser superior a
1.3 por lo que finalmente se seleccionaron como valores de mallado 12, 18 y 25 mm.
Así, para cada modelo de hormigón se tomaron como valores de mallado :
Obteniéndose como relaciones de refinamiento de mallado los siguientes valores:
Por otra parte, a partir los valores obtenidos de las gráficas , se determinó el orden de
convergencia , mediante un cálculo iterativo hasta que los valores convergieron suponiendo
un valor inicial de ( )
y
| | | ( )|
( )
( ) (
)
( )
83
Conocidos los datos anteriores, se aplicó la siguiente expresión que muestra una estimación
del error de discretización existente.
|
| |
|
La solución numérica que converge estará comprendida dentro del siguiente intervalo:
[ ( ) ( )]
Por último, es posible determinar la siguiente extrapolación, consiguiendo una estimación útil
de la solución numérica que converge:
Se consideró un factor de seguridad, = 1.25 [Roache, 1994]
84
10.5 Cálculo de modelos de hormigón
Cálculos Modelo K&C (Material 72R3)
La Tabla 12 muestra el cálculo de los parámetros iniciales a partir de los valores obtenidos en
las gráficas de aceleración del modelo K&C en LS-DYNA.
Tabla 12 – Cálculo de los parámetros iniciales del modelo K&C
A1 A2
Aceleración z (+) (-) (+) (-)
f32 -1,70E+04 2,05E+04 -6,20E+03 3,55E+03
f21 -5,50E+04 8,30E+03 -5,00E+03 2,57E+03
ln(f32/f21) -1,17411984 0,90416937 0,21511138 0,3230417
s 1,00E+00 1,00E+00 1,00E+00 1,00E+00
r32 1,38888889 1,38888889 1,38888889 1,38888889
r21 1,5 1,5 1,5 1,5
La determinación del orden de convergencia , para el modelo K&C mediante cálculo iterativo,
suponiendo un valor inicial de ( ) , aparece en la Tabla 13.
Tabla 13 – Determinación del orden de convergencia para el modelo K&C
A1 A2
(+) (-) (+) (-)
q(p) p q(p) p q(p) p q(p) p
0 2,89573583 0 2,22995605 0 0,53052994 0 0,79671887
3,41E-01 2,05402254 3,08E-01 2,98925545 2,32E-01 1,10163385 2,43E-01 1,39513191
2,99E-01 2,15741913 3,46E-01 3,08361908 2,56E-01 1,16122679 2,69E-01 1,45949349
3,04E-01 2,14512845 3,51E-01 3,09576794 2,58E-01 1,16766069 2,72E-01 1,46665844
3,04E-01 2,14659555 3,52E-01 3,09733867 2,59E-01 1,16835775 2,72E-01 1,46745896
3,04E-01 2,14642051 3,52E-01 3,09754186 2,59E-01 1,16843329 2,72E-01 1,46754843
3,04E-01 2,1464414 3,52E-01 3,09756815 2,59E-01 1,16844148 2,72E-01 1,46755843
La Tabla 14 muestra la determinación de las soluciones extrapoladas, obteniendo una
estimación útil de las aceleraciones del modelo K&C.
Tabla 14 – Soluciones extrapoladas del modelo K&C
A1 A2
Aceleración z (+) (-) (+) (-)
e32 0,12878788 0,27406417 0,36470588 0,39753639
e21 0,29411765 0,09987966 0,22727273 0,22347826
Fs 1,25 1,25 1,25 1,25
GCI,32 0,15719965 0,19393747 0,97430059 0,80217044
GCI,21 0,26494336 0,04971724 0,46877745 0,34355467
f*32 148600,284 -86405,2182 30250,488 -14660,7056
f*21 226635,527 -86405,2022 30250,4832 -14660,703
85
Análisis de resultados (Modelo K&C)
En primer lugar los resultados correspondientes a las aceleraciones positivas de la posición A1
superan los 100.000 m/s2 y se descartan por sobrepasar el rango de medida del acelerómetro
1 (±10.000 g ≈ ±100.000 m/s2), ya que la comparación entre valores medidos y calculados es de
dudosa efectividad.
Teniendo en cuenta las soluciones extrapoladas obtenidas de aceleraciones positivas o
negativas en un mismo acelerómetro, se aprecia que en el modelo K&C las soluciones
extrapoladas son idénticas para todos los casos:
A1 (-): f*32 = -86405,2 y f*21 = -86405,2
A2 (+): f*32 = 30250,5 y f*21 = 30250,5
A2 (-): f*32 = -14660,7 y f*21 = -14660,7
Considerando los valores registrados en los acelerómetros utilizados en las losas ensayadas
para el Proyecto SEGTRANS, que son los siguientes:
Se analizan los resultados de las soluciones extrapoladas de las aceleraciones obtenidas para el
modelo K&C viendo que se aproxima bastante en el valor A1 (-), que en los datos anotados de
LS-DYNA es -86405,2 m/s2 y el registrado en el ensayo L1-2 fue -87155 m/s2. Por otra parte, el
valor -14660,7 m/s2 obtenido en A2 (-) es cercano al registrado en el acelerómetro del ensayo
L1-2, -16645 m/s2.
86
Cálculos Modelo RHT (Material 272)
La Tabla 15 muestra el cálculo de los parámetros iniciales a partir de los valores obtenidos en
las gráficas de aceleración del modelo RHT en LS-DYNA.
Tabla 15 – Cálculo de los parámetros iniciales del modelo RHT
A1 A2
Aceleración z (+) (-) (+) (-)
f32 -2,10E+04 -3,10E+03 -2,00E+02 1,00E+03
f21 -2,20E+04 1,75E+04 -4,10E+03 2,00E+02
ln(f32/f21) -0,04652002 -1,73079877 -3,02042489 1,60943791
s 1,00E+00 -1,00E+00 1,00E+00 1,00E+00
r32 1,38888889 1,38888889 1,38888889 1,38888889
r21 1,5 1,5 1,5 1,5
La determinación del orden de convergencia , para el modelo RHT mediante cálculo iterativo,
suponiendo un valor inicial de ( ) , aparece en la Tabla 16.
Tabla 16 – Determinación del orden de convergencia para el modelo RHT
A1 A2
(+) (-) (+) (-)
q(p) p q(p) p q(p) p q(p) p
0 0,11473248 0 4,268675 0 7,44928435 0 3,9693623
2,15E-01 0,41535395 2,72E-01 3,59871725 6,14E-01 5,93543613 3,99E-01 4,95354387
2,27E-01 0,44480896 2,19E-01 3,72974202 5,16E-01 6,17702676 4,56E-01 5,09369094
2,28E-01 0,44775132 2,29E-01 3,70455343 5,31E-01 6,13950436 4,64E-01 5,11433306
2,28E-01 0,44804579 2,27E-01 3,70941399 5,29E-01 6,14535962 4,65E-01 5,11738718
2,28E-01 0,44807527 2,27E-01 3,70847672 5,29E-01 6,14444658 4,66E-01 5,11783935
2,28E-01 0,44807822 2,27E-01 3,70865748 5,29E-01 6,14458897 4,66E-01 5,11790631
La Tabla 17 muestra la determinación de las soluciones extrapoladas, obteniendo una
estimación útil de las aceleraciones del modelo RHT.
Tabla 17 – Soluciones extrapoladas del modelo RHT
A1 A2
Aceleración z (+) (-) (+) (-)
e32 0,15909091 0,04240766 0,01290323 0,09345794
e21 0,14285714 0,19315673 0,20918367 0,01834862
Fs 1,25 1,25 1,25 1,25
GCI,32 1,25402354 0,02225923 0,00247105 0,02671886
GCI,21 0,89630577 0,06901526 0,02360271 0,00329272
f*32 264424,886 -71798,2803 15530,641 -10928,7134
f*21 264424,87 -95602,2261 19970,0905 -10928,7125
87
Análisis de resultados (Modelo RHT)
En primer lugar los resultados correspondientes a las aceleraciones positivas de la posición A1
superan los 100.000 m/s2 y se descartan por sobrepasar el rango de medida del acelerómetro
1 (±10.000 g ≈ ±100.000 m/s2), ya que la comparación entre valores medidos y calculados es de
dudosa efectividad.
Teniendo en cuenta las soluciones extrapoladas obtenidas de aceleraciones positivas o
negativas en un mismo acelerómetro, se aprecia que en el modelo RHT sólo los valores de las
soluciones extrapoladas para la aceleración negativa en A2 son similares, el resto presenta
diferencias:
A1 (-): f*32 = -71798,3 y f*21 = -95602,2
A2 (+): f*32 = 15530,6 y f*21 = 19970,1
A2 (-): f*32 = -10928,7 y f*21 = -10928,7
Considerando los valores registrados en los acelerómetros utilizados en las losas ensayadas
para el Proyecto SEGTRANS, que son los siguientes:
Se analizan los resultados de las soluciones extrapoladas de las aceleraciones obtenidas para el
modelo RHT viendo que uno de los valores obtenidos en A1 (-) es -71798,3 m/s2 se acerca al
registrado en el ensayo L1-3B, -74672 m/s2; y para el caso de A2 (+) se tiene como dato
19970,1 m/s2 que es próximo al registrado en el ensayo L1-2, 22461 m/s2.
88
Cálculos Modelo CSCM (Material 159)
La Tabla 18 muestra el cálculo de los parámetros iniciales a partir de los valores obtenidos en
las gráficas de aceleración del modelo CSCM en LS-DYNA.
Tabla 18 – Cálculo de los parámetros iniciales del modelo CSCM
A1 A2
Aceleración z (+) (-) (+) (-)
f32 -1,60E+04 -7,00E+03 -4,84E+03 3,52E+03
f21 -5,60E+04 1,99E+04 -3,30E+03 4,93E+03
ln(f32/f21) -1,25276297 -1,04480958 0,38299225 -0,336878
s 1,00E+00 -1,00E+00 1,00E+00 1,00E+00
r32 1,38888889 1,388888889 1,38888889 1,38888889
r21 1,5 1,5 1,5 1,5
La determinación del orden de convergencia , para el modelo CSCM mediante cálculo
iterativo, suponiendo un valor inicial de ( ) , aparece en la Tabla 19.
Tabla 19 – Determinación del orden de convergencia para el modelo CSCM
A1 A2
(+) (-) (+) (-)
q(p) p q(p) p q(p) p q(p) p
0 3,08969365 0 2,57681749 0 0,94457512 0 0,83084337
3,51E-01 2,22309657 1,43E-01 2,22461641 2,49E-01 1,55850973 2,44E-01 0,22887034
3,08E-01 2,33121867 1,19E-01 2,28403953 2,76E-01 1,62562868 2,19E-01 0,28969711
3,13E-01 2,31816461 1,23E-01 2,27422086 2,79E-01 1,63322505 2,22E-01 0,28374133
3,12E-01 2,3197474 1,22E-01 2,27584922 2,80E-01 1,63408797 2,22E-01 0,28432638
3,12E-01 2,31955558 1,22E-01 2,27557933 2,80E-01 1,63418603 2,22E-01 0,28426893
3,12E-01 2,31957883 1,22E-01 2,27562406 2,80E-01 1,63419718 2,22E-01 0,28427457
La Tabla 20 muestra la determinación de las soluciones extrapoladas, obteniendo una
estimación útil de las aceleraciones del modelo CSCM.
Tabla 20 – Soluciones extrapoladas del modelo CSCM
A1 A2
Aceleración z (+) (-) (+) (-)
e32 0,12121212 0,103857567 0,33846154 0,47121821
e21 0,29787234 0,227949599 0,1875 0,39758065
Fs 1,25 1,25 1,25 1,25
GCI,32 0,1326128 0,116764906 0,59538525 6,01751453
GCI,21 0,23848363 0,187948231 0,24937527 4,06793714
f*32 146003,911 -61104,0363 21111,2073 -43430,6668
f*21 223867,938 -100426,304 21111,2038 -52753,9364
89
Análisis de resultados (Modelo CSCM)
En primer lugar los resultados correspondientes a las aceleraciones positivas de la posición A1
y a la solución extrapolada f*21 de la aceleración negativa de la posición A1 superan los
100.000 m/s2 y se descartan por sobrepasar el rango de medida del acelerómetro 1 (±10.000 g
≈ ±100.000 m/s2), ya que la comparación entre valores medidos y calculados es de dudosa
efectividad.
Teniendo en cuenta las soluciones extrapoladas obtenidas de aceleraciones positivas o
negativas en un mismo acelerómetro, se aprecia que en el modelo CSCM sólo los valores de las
soluciones extrapoladas para la aceleración positiva en A2 son similares, el resto difieren, e
incluso uno de los valores se sale del rango de medida:
A1 (-): f*32 = -61104,0 y f*21 =-100426,3
A2 (+): f*32 = 21111,2 y f*21 = 21111,2
A2 (-): f*32 = -43430,7 y f*21 = -52753,9
Considerando los valores registrados en los acelerómetros utilizados en las losas ensayadas
para el Proyecto SEGTRANS, que son los siguientes:
Se analizan los resultados de las soluciones extrapoladas de las aceleraciones obtenidas para el
modelo CSCM viendo que únicamente se aproxima bastante en el valor A2 (+), 21111,2 m/s2,
que en el ensayo L1-2 es 22461 m/s2.
90
CAPÍTULO 11: CONCLUSIONES El análisis de los resultados obtenidos pretende determinar el modelo de material y tamaño de
mallado adecuado que no penalice en exceso el cálculo, para en un futuro poder modelar
estructuras más complejas y con niveles de explosivo más elevados. Debido a que con cargas
mayores es difícil llevar a cabo la instrumentación y medida, ya que existe la posibilidad de que
los dispositivos sean destruidos; por ello se pretende llegar a unos resultados que sean
extrapolables para su aplicación en las simulaciones de los casos más complejos.
Por otro lado, la obtención de unos resultados adecuados simplifica en gran medida la parte
más tediosa de los trabajos realizados mediante elementos finitos como es la realización de
modelos, en la que se deben determinar las condiciones de contorno, aplicación de cargas,
tamaños de mallado, etc.
Después de haber analizado los resultados obtenidos para cada modelo se puede afirmar que:
Los tiempos de cálculo requeridos para la ejecución completa de los modelos en LS-
DYNA se reducen según va aumentando el tamaño de malla.
Por otra parte, se ha apreciado que los tiempos empleados para la ejecución de los
modelos K&C y CSCM son bastante similares, algo que no ocurre en el modelo RHT que
precisa de un tiempo superior.
Los valores medidos de las aceleraciones de pico identificadas en las gráficas de LS-
DYNA van aumentando a medida que se reduce el tamaño de mallado en cada
modelo. Este hecho se cumple para todas las aceleraciones registradas en el modelo
K&C, y en general para casi todas las de los modelos RHT y CSCM.
Teniendo en cuenta las consideraciones y análisis anteriores, se llega a la conclusión de que el
modelo de hormigón más adecuado es el K&C (Material 72R3).
Entre los distintos tamaños de mallado del modelo K&C se considera que el más adecuado es
el de 12 mm, ya que comparando los valores de las aceleraciones de pico obtenidas en LS-
DYNA con los registrados en los acelerómetros se observa que los valores se aproximan
bastante, como muestra la Tabla 21.
Tabla 21 - Comparación de las aceleraciones de los mallados del modelo K&C con los
registrados en el proyecto SEGTRANS.
A1 A2
Mallado (+) (-) (+) (-)
mm LS-DYNA SEGTRANS LS-DYNA SEGTRANS LS-DYNA SEGTRANS LS-DYNA SEGTRANS
12 187000
Fuera de rango
-83100 -87155 22000 22461
-11500 -16645
18 132000 -74800 -74672 17000 -8930
25 115000 -54300
10800
-5380
91
Por lo tanto, el modelo de material de hormigón K&C (Karagozian and Case Model) y tamaño
de mallado de 12 mm es el más adecuado entre los analizados, sin embargo para no penalizar
los tiempos de cálculo el de 18 mm resulta también aceptable.
Esta aproximación puede simplificar la parte más fastidiosa que se realiza al trabajar con
elementos finitos y permite que en un futuro se puedan modelar estructuras de mayor
complejidad con niveles de explosivo más elevados.
92
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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94
EVALUACIÓN DEL TAMAÑO ÓPTIMO DE
MALLADO PARA LA MODELIZACIÓN MEDIANTE
ELEMENTOS FINITOS EN LOSAS DE HORMIGÓN
FRENTE A CARGAS EXPLOSIVAS
DOCUMENTO Nº 2: ESTUDIO ECONÓMICO
95
El presente documento pretende determinar el coste total asociado al desarrollo del proyecto
“Evaluación del tamaño óptimo de mallado para la modelización mediante elementos finitos en
losas de hormigón frente a cargas explosivas”.
En primer lugar, se debe tener en cuenta que los datos de partida utilizados para realizar las
comparaciones con los resultados obtenidos tras las simulaciones han sido tomados de
ensayos ya realizados por el Área de Explosivos del Grupo de Investigación de Ingeniería de
Georrecursos y Modelización de la Universidad Politécnica de Madrid, por lo que no
repercuten en el coste del proyecto.
Para la realización de los modelos, los cálculos y análisis posteriores ha sido necesario el
alquiler comercial del programa LS-DYNA® durante un periodo de 2 meses, cuyo coste supone
600 €/mes.
Por otra parte se tienen que considerar las horas de trabajo del ingeniero junior que ha
realizado el proyecto, teniendo en cuenta que éste ha tenido una duración de casi 3 meses con
un tiempo de trabajo de 6h/ día y el coste es de 60 €/h. Se estima que se ha trabajado durante
dicho periodo un total 300 h, por lo que el coste es:
Por lo tanto, el gasto total asociado al presente proyecto es: