Kreyszig by YHLEE;100607; 10-1 Chapter 10    Vector Integral Calculus  

10.1 Line Integrals   A definite integral     

    ( )b

a

f x dx∫       

→ Integrate the integrand ( )f x from x=a to x=b     

   A line integral (or curve integral)     →  integration along a curve C.      In parametric representation, 

    ( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆr t x t i y t j z t k= + + .    : path of integration 

   In the positive direction of C, the parameter t increases.       C is a smooth curve if  ( )r t′   is continuous.   In a closed curve the initial and the terminal points coincide.   A piecewise smooth curve has finitely many smooth curves.   Definition and Evaluation of Line Integrals   A line integral of a vector function ( )F r over a curve C   

    ( ) ( )( ) ( )

b

ca

dr tF r dr F r t dt

dt• = •∫ ∫  

 

  Since    ˆˆ ˆdr dx i dy j dzk= + +  

    1 2 3 1 2 3( ) ( )b

c ca

dx dy dzF r dr F dx F dy F dz F F F dt

dt dt dt⎛ ⎞• = + + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫  

                                                    Example 1 Line integral in the plane 

  Find the line integral of  ˆ ˆ( )F r y i xy j= − −   over the circular arc. 

   solution: 

    ˆ ˆ( ) cos   sin  r t t i t j= + ,    :  20 t π≤ ≤  

    ˆ ˆ( ) sin   cos  r t t i t j′ = − +     

  →  ˆ ˆ( ) sin   cos sin  F r t i t t j= − −  

  →  ( ) ( )2

0

ˆ ˆ ˆ ˆsin   cos sin   sin   cos  cF dr t i t t j t i t j dt

π

• = − − • − +∫ ∫   ( )2

2 2

0

1  sin cos sin

4 3t t t dt

π

π⇒ − ⇒ −∫  

  Example 2 Line integral in space   Find the line integral of  F   along a helix C. 

    ˆˆ ˆF zi xj yk= + + ,              C :  ˆˆ ˆ( ) cos   sin   3  r t t i t j t k= + + ,    (0 2 )t≤ ≤ π       

  →  ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) 3   cos   sin   sin   cos   3F r t t i t j t k t i t j k⎡ ⎤ ⎡ ⎤′• = + + • − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦  

    ( )2

2

0

3 sin cos 3sin 7cF dr t t t t dt

π

• = − + + ⇒ π∫ ∫  

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-2 Simple general properties of the line integrals 

   C C

kF dr k F dr• = •∫ ∫       : k, constant 

    ( )C C C

F G dr F dr G dr+ • = • + •∫ ∫ ∫  

   1 2C C C

F dr F dr F dr• = • + •∫ ∫ ∫  

  Theorem 1    Direction‐Preserving Parametric Transformation 

Any representations of C having the same positive direction   yield the same value of the line integral. 

  proof: 

   b

C a

F dr F r dt′• = •∫ ∫ ,    a t b≤ ≤  

     Assume  *( )t t= φ , a function of another variable  *t  

  →    * * *( ) ( ( )) ( )r t r t r t⇒ φ ⇒ ,    * * *a t b≤ ≤  

  →   * *

* *

( ) ( )r t dt dr tdt dt dt

=  

 

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *

* *

* *

* * * * * ** *

( ( )) ( ( )) ( )b b b b

C a aa a

dr t dr drdF r dr F r t dt F r t dt F r t d F r dr

d ddt dt

φ φφ• ⇒ φ • ⇒ φ • ⇒ • φ⇒ •

φ φ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  

  Motivation of the Line Integral: Work Done by a Force   The work done by a force  F   in displacing a small body   

  along a line segment  d .   

    W F d= •    • The work done in displacing along a curve C      Work done between  1 and m mt t +  

    [ ] { } [ ]1( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m m m m mW F r t r t r t F r t r t t+ ′Δ = • − ≈ • Δ  

   The total work done   

    [ ]1

0

lim ( ) ( )bn

m mnm a

W F r t r t t F r dt−

→∞=

′ ′= • Δ = •∑ ∫       : line integral 

   Example 4    Work Done Equals the Gain in Kinetic Energy   Let  F be a force.        The work done 

   2

'2 2

t bb b b

t aa a a

v v mW F r dt mv vdt m dt v

=

=

•⎛ ⎞′= • ⇒ • ⇒ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫

'

 

↑                     ↑             ( ) ( )" ',    'F mr mv r t v t= = = .        kinetic energy 

  

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-3 Other Forms of Line Integrals     1 ,

C

F dx∫       2 ,C

F dy∫       3C

F dz∫ . 

      ↑          ↑          ↑           1

ˆF F i=                 2ˆF F i=        3

ˆF F i=   

    ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 3( ) ,    ,   b b

C a a

F r dt F r t dt F r t F r t F r t dt⎡ ⎤⇒ ⇒ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ . 

    ( )( ) ( )b

C a

f r dt f r t dt=∫ ∫ .     

  Example 5 Line Integral in Other Forms   Integrate  ( ) [ ],   ,  F r xy yz z=   along the helix in Example 2 

   The position vector of helix   

    ˆˆ ˆ( ) cos   sin   3  r t t i t j t k= + +              ↑          ↑        ↑         = ( )x t     = ( )y t     = ( )z t    

  The integral is   

    ( ) [ ]22 2

2 2 2

0 0 0

1 3( ) cos sin ,   3 sin ,   3 cos ,   3sin 3 cos ,    0,    6 ,   6

2 2F r t dt t t t t t dt t t t t t

ππ π ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ ⇒ − − ⇒ − π π⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫      

  Path Dependence  Theorem 2    Path Dependence 

The line integral generally depends not only on  F   and end points of the path, but also on the path itself. 

      Example    Dependence of a line integral on path     

    2 ˆˆ ˆ5F zi xyj x zk= + +     Two curves with same end points      : (0,0,0),     : (1,1,1)A B ,   

  1C   : straight line segment              :  1ˆˆ ˆ( ) ,   0 1r t ti tj tk t= + + ≤ ≤  

  2C   : parabolic arc                                     :  22

ˆˆ ˆ( ) ,   0 1r t ti tj t k t= + + ≤ ≤    

   solution: 

    ( ) 2 31

ˆˆ ˆ( ) 5F r t ti t j t k= + + ,    1ˆˆ ˆr i j k′ = + +  

  → 1

12 3

0

1(5 )

4C

F dr t t t dt• = + + =∫ ∫  

   Similarly 

    2 2 42

ˆˆ ˆ( ( )) 5F r t t i t j t k= + + ,    2ˆˆ ˆ 2r i j tk′ = + +  

  → 2

12 2 5

0

2(5 2 )

3C

F dr t t t dt• = + + =∫ ∫  

     In general, a line integral depends on  ,   ,    and F A B C    

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-4 10.2 Path Independent of Line Integrals      A line integral 

    ( ) 1 2 3ˆˆ ˆ( )                 

C C

F r dr F dx F dy F dz dr dx i dy j dz k• = + + = + +∫ ∫  

   We shall find the condition under which the integral is path independent.   Theorem 1    Independence of Path 

A line integral cF dr•∫   is path independent in a domain D 

if and only if  F   is the gradient of a scalar function f in D.                                 ↑  F f=∇      

   Proof :    

  Let  F f=∇   and    C :  ˆˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k= + + ,          a t b≤ ≤    

  →  1 2 3

b b

C C C a a

f f f f x f y f z fF dr F dx F dy F dz dx dz dz dt dt

x y z x t y t z t t∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞

• = + + ⇒ + + ⇒ + + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫  

          [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ),    ( ),    ( ) ( ),    ( ),    ( ) ( ),    ( ),    ( )t b

t af x t y t z t f x b y b z b f x a y a z a f B f A

=

=⇒ ⇒ − ⇒ −  

   The below formula can be just used if the path independence is already known, 

    ( )1 2 3 ( ) ( )B

A

F dx F dy F dz f B f A+ + = −∫ ,    where  F f=∇ , f is potential 

  Example 1    Path Independence 

  Show that  ( )2 2 4C C

F dr xdx ydy zdz• = + +∫ ∫   is path independent and   

  find its value for end points  ( ) ( ): 0,0,0  and  : 2,2,2A B . 

   F is the gradient of  2 2 22f x y z= + + .    : The integral is path independent.    Its value is       ( ) ( ) ( ) ( )2,2,2 0,0,0 4 4 8 16f B f A f f− = − = + + =  

  Example 2    Path Independence 

  Find  2 2(3 2 )C

I x dx yzdy y dz= + +∫   from A :(0, 1, 2) to B :(1, ‐1, 7) by showing  F   has a potential. 

 

  Let  F f=∇   →      21 3

fF x

x∂

= =∂

,      2 2f

F yzy∂

= =∂

,      23

fF y

z∂

= =∂

 

  →      3 ( , )f x g y z= + ,   ∂ ∂

⇒ =∂ ∂

2f g

yzy y

  and  2 ( )g y z h z= + ,    3 2 ( )f x y z h z= + + ,    2 2f hy y

dz z∂ ∂

⇒ + =∂

  and  .h const=  

  →      3 2f x y z C= + +         Then,    (1, 1,7) (0,1,2) 6I f f= − − ⇒  

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-5 Path Independence and Integration Around Closed Curves  Theorem 2    Path Independence 

A line integral of  F   is path independent in D   if and only if every closed line integral of  F   is zero in D 

   Proof :   The line integral is zero for every closed path. 

   1 2

0C C

F dr F dr• + • =∫ ∫ ,   1 3

0C C

F dr F dr• + • =∫ ∫ ,      . . . . 

  Since  •∫1C

F dr   is common 

  → 2 3

....C C

F dr F dr• = • =∫ ∫     : Path independent 

   F   is called conservative, in this case   Path Independence and Exactness of Differential Forms   The exact differential of f       

   

f f fdf dx dy dz

x y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂  

   The line integral 

    1 2 3( )C C

F dr F dx F dy F dz• = + +∫ ∫    

            ↑ 

        The parenthesis is exact if it is the exact differential of a function f, ∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂1 2 3,     ,    f f f

F F Fx y z

 

       =∇or  F f

  Theorem 3    Path Independence 

The line integral C

F dr•∫   is path independent in D   

if and only if  1 2 3,    ,   F F F   are continuous and  F dr•   is exact in D. 

  •  Simply connected domain D   Every closed curve in D can be continuously shrunk to any point in D  

                                a cube          a cube with finite      a cube with a smaller                     number of points missing.    cube missing inside  

                 Torus (a doughnut shape)     not simply connected  

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-6 Theorem 3 Criterion for Exactness and Path Independence 

The line integral 

  1 2 3( )C C

F dr F dx F dy F dz• = + +∫ ∫  

with continuous  1 2 3,   ,  F F F   and continuous first partial derivatives. 

 

(a) If  F dr•   is exact, then the integral is path independent and  0F∇× =  

  or  3 32 1 2 1,      ,     F FF F F F

y z z x x y

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂.

 

(b) If  0F∇× = in a simply connected domain D,     

    then  F dr•   is exact and the integral is path independent.  

   Example 3    Exactness and Independence of path   Show that the differential form is exact and     find I from A : (0, 0, 1) to B : (1,  π /4 , 2).   

    ( ) ( )2 2 2 22 cos 2 cosC

I xyz dx x z z yz dy x yz y yz dz⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦∫  

 

    23 22 cos sinF F

x z yz yz yzy z

∂ ∂= + − ⇒

∂ ∂ 

        31 4FF

xyzz x

∂∂= ⇒

∂ ∂ 

    22 12F F

xzx y

∂ ∂= ⇒

∂ ∂ 

   →  I is independent of path     Let's find f 

    22f

xyzx∂

=∂

          →  2 2 ( , )f x yz g y z= +  

    2 2f gx z

y y∂ ∂

= +∂ ∂

          ⇒       2 2 cosx z z yz+       →      sin ( )g yz h z= +       →      2 2 sin ( )f x yz yz h z= + +  

    22 cosf h

x yz y yzz z∂ ∂

= + +∂ ∂

      ⇒       22 cosx yz y yz+       →      .h const=             →      2 2 sinf x yz yz c= + +  

 

  ( )1, ,2 0,0,1 14

I f fπ⎛ ⎞= − ⇒ π+⎜ ⎟

⎝ ⎠ 

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-7 Example 4 Simple Connectedness 

    1 2 32 2 2 2,     ,     0

y xF F F

x y x y= − = =

+ + 

    curl 0F =   in xy plane excluding the origin. 

  The domain D is chosen as  2 21 32 2

x y⟨ + ⟨   in xy plane to exclude the origin.     

  (Not simply connected)  

   A closed curve is chosen as a circle with radius 1 

    ˆ ˆ( ) cos sin ,           0 2r t t i t j t= + ≤ ≤ π          ↑  ↑                 x(t)    y(t)              sin  dx t dt= − ,  cos  dy t dt=       The closed curve integral 

    1 2C C

I F dr F dx F dy= • ⇒ +∫ ∫  

    ( )( ) ( )( )2

2 20

sin sin cos cosC

ydx xdyt t t t dt

x y

π− +⇒ ⇒ − − +⎡ ⎤⎣ ⎦+∫ ∫

2

0

2dtπ

⇒ ⇒ π∫ ,    

   Even if  curl  0F = , the line integral is not path independent     because the domain is not simply connected.   

10.3    Double integrals  

    ( ) ( )0

1

lim , ,n

k k kDk R

f x y A f x y dxdy→

=

Δ ≡∑ ∫∫  

    ↑      ↑        ↑     Max. diagonal of rectangles         A point inside the k‐th rectangle                     Area of the k‐th rectangle           •  Properties of double integrals 

       R R

kf dxdy k f dxdy=∫∫ ∫∫  

    ( )     R R R

f g dxdy f dxdy g dxdy+ = +∫∫ ∫∫ ∫∫  

   1 2

     R R R

f dxdy f dxdy f dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫ ,    where  1 2R R R= +  

  •  Mean value theorem 

    ( )0 0( , )  ,R

f x y dxdy f x y A=∫∫  

              ↑      ↑  Area of R             A point in R     

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-8 Evaluation of double integrals   R is given as    ,     ( ) ( )a x b g x y h x≤ ≤ ≤ ≤  

   The integration of f over of R 

   ( )

( )

( , ) ( , )h xb

R a g x

f x y dxdy f x y dy dx⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫ ∫ ∫  

     Similarly, when R is given by  ,     ( ) ( )c y d p y x q y≤ ≤ ≤ ≤  

   ( )

( )

( , ) ( , )q yd

R c p y

f x y dxdy f x y dx dy⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫ ∫ ∫  

  Application of double integral   Area 

R

A dxdy= ∫∫  

  Volume above R and beneath the surface  ( , )z f x y=    

    ( , )R

V f x y dxdy= ∫∫  

                 Change of Variables in Double Integral   For a definite integral 

    ( )( ) ( )b

a

dxf x dx f x u du

du

β

α

=∫ ∫ ,      

    ( )x u   is continuous and has a continuous derivative    For a double integral 

    ( )( ,   ) ( , ),    ( , )R R

f x y dxdy f x u v y u v J dudv=∫∫ ∫∫  

    The Jacobian 

x xu vJy yu v

∂ ∂∂ ∂=∂ ∂∂ ∂

 

 • Change to polar coordinates,  cos ,     sinx r y r= θ = θ  

   cos sin

sin cos

rJ r

r

θ − θ= ⇒

θ θ    →  ( ) ( )

*

, cos ,   sinR R

f x y dxdy f r r rdrd= θ θ θ∫∫ ∫∫  

  Example 1 Change of Variables in a Double Integral   Evaluate the double integral over the square R shown in the right. 

    2 2( )R

x y dxdy+∫∫  

   Change of variables     ,    x y u x y v+ = − =   →    ( ) ( )1 1

2 2,    x u v y u v= + = −  

  The Jacobian 1 12 2 1

21 12 2

J = = −−

 

  R corresponds to  0 2,    0 2u v≤ ≤ ≤ ≤  

  →  ( )2 2

2 2 2 21 12 2

0 0

8( )

3R

x y dxdy u v dudv+ = + =∫∫ ∫ ∫  

 

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-9 10.4 Green's Theorem in the plane  Theorem 1 Green's theorem in the plane           (Transformation between Double Integrals and Line Integrals)   

R    : closed bounded region in xy‐plane C    : boundary of R      Then   

  ( )2 11 2c

R

F Fdxdy F dx F dy

x y

∂ ∂⎛ ⎞− = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫∫ ∫  

     In vectorial form 

  ( ) ˆ R C

F k dxdy F dr∇× • = •∫∫ ∫                                        

  (Right hand rule between k̂ and C )                    Proof :    The region R is given as           ,      ( ) ( )a x b u x y v x≤ ≤ ≤ ≤    or         ,      ( ) ( )c y d p y x q y≤ ≤ ≤ ≤  

                 The second integral on the left side 

    ( ) ( )( )

1 11 1

( )

, ( ) , ( )v xb b

R a u x a

F Fdxdy dy dx F x v x F x u x dx

y y

⎡ ⎤∂ ∂⇒ ⇒ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫ ∫ ∫ ∫   ( ) ( )1 1, ( ) , ( )b a

a b

F x u x dx F x v x dx⇒ − −∫ ∫  

           * **

1 1( , ) ( , )C C

F x y dx F x y dx⇒− −∫ ∫   1( , )C

F x y dx⇒−∫             ↑ reversed range 

   The first integral 

    ( ) ( )( )

2 22 2

( )

( ), ( ),q yd d c

R c p y c d

F Fdxdy dx dy F q y y dy F p y y dy

x x

⎡ ⎤∂ ∂⇒ ⇒ +⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 ( , )

C

F x y dy⇒ ∫  

                      ↑ reversed range     By combining 

    ( )2 11 2

R C

F Fdxdy F dx F dy

x y

∂ ∂⎛ ⎞− ⇒ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫∫ ∫  

  •  In general R can be subdivided              

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-10 Example 1     2

1 7F y y= − ,  2 2 2F xy x= +     C : a circle  2 2 1x y+ =  

   Then 

    ( ) ( )2 1 2 2 2 7 9 9R R R

F Fdxdy y y dxdy dxdy

x y

∂ ∂⎛ ⎞− ⇒ + − − ⇒ ⇒ π⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ∂⎝ ⎠

∫∫ ∫∫ ∫∫  

   The curve is represented     

         ˆ ˆ( ) cos   sin  r t t i t j= +       0 2t≤ ≤ π  

    ˆ ˆ( ) sin   cos  r t t i t j′ = − +     On C     2

1 sin 7sinF t t= − ,  2 2cos sin 2cosF t t t= +  

    ( )( ) ( )2

2

0

' sin 7sin sin 2cos sin 2cos cosC C

F dr F r dt t t t t t t t dtπ

⎡ ⎤• = • ⇒ − − + +⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ⇒9π 

  Application of Green's Theorem  Example 2    Area of a plane region   Let  1 20,    F F x= =        

  Then      2 1

R R C

F Fdxdy dxdy xdy

x y

∂ ∂⎛ ⎞− ⇒ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫∫ ∫∫ ∫  

                          ↑             Area of R      Similarly let  1 2, 0F y F= − =    

  Then     R C

dxdy ydx= −∫∫ ∫  

   Combine the two 

   1

( )2 C

A xdy ydx= −∫                  :    Area is obtained by line integrals (planimeter) 

  

•  Ellipse   2 2

2 21

x ya b

+ =   →         cos

sin

x a t

y b t

==

  → sin  

cos  

dx a t dt

dy b t dt

= −=

,          0 2t≤ ≤ π  

  →  [ ]2

0

1( cos )( cos ) ( sin )( sin )

2A a t b t b t a t dt ab

π

= − − = π∫  

  Example 3    Area of a plane region in polar coords.       cosx r= θ ,      siny r= θ     0 2t≤ ≤ π        cos sindx dr r d= θ − θ θ ,  sin cosdy dr r d= θ + θ θ       Then 

     1

cos (sin cos ) sin (cos sin )2

A r dr r d r dr r d= θ θ + θ θ − θ θ − θ θ∫  

    →  212

A r d= θ∫    (well known formula)       

  

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-11 Example 4    Transformation of a double integral of the Laplacian into a line integral   

  Let w(x,y) be defined in R in xy plane and  ( )F wk≡∇× −   

    ˆ( )R C

F kdxdy F dr∇× • = •∫∫ ∫    

  →  2 ˆ ˆ ˆ( ) ( )R C

drwk kdxdy wk ds

ds∇ • = ∇× − •∫∫ ∫  

      ↑                                ↑               2

0

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )F wk wk wk⇒

∇× =∇×∇× − ⇒∇∇• − −∇ − ,   

                  From  ( )u v v u u v∇• × = •∇× − •∇×  

                  ⇒ ˆ ˆ( ) ( )dr dr

wk wkds ds

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ • − × + ∇× • −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦     

                  ⇒ ˆ ˆdr drw k w k

ds ds⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ • − × + ∇• − ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+0

ˆ ˆ( ) ( )dr dr

w k kds ds

⇒

⎡ ⎤⎛ ⎞∇• × − +∇× − •⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

 

                  ⇒ ˆ drw k

ds⎡ ⎤∇ • − ×⎢ ⎥⎣ ⎦

 

                          ↑                           = n̂    Therefore       

    2 ˆ   R C

w dxdy w n ds∇ = ∇ •∫∫ ∫                  

    n̂ , outer unit normal to C    

10.5 Surfaces for Surface Integrals  Representations of surfaces     In xyz‐space     ( , )    or    ( , , ) 0z f x y g x y z= =  

 •  Parametric representation 

    ˆˆ ˆ( , ) ( , ) ( , ) ( , )r u v x u v i y u v j z u v k= + + ,      :  ( , )  in u v R  

 

         

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-12 Example 1 Parametric Representation of a Cylinder     2 2 2 ,    1 1x y a z+ = − ≤ ≤      

   Parametric representation 

    ˆˆ ˆ( , ) cos   sin  r u v a u i a u j vk= + +              where  0 2u≤ ≤ π ,    1 1v− ≤ ≤    Example 2 Parametric Representation of a Sphere     2 2 2 2x y z a+ + =     Parametric representation (different from spherical coordinates.) 

    ˆˆ ˆ( , ) cos cos   cos sin   sin  r u v a v u i a v u j a v k= + +  

    where  0 2u≤ ≤ π   for meridian,     2 2

vπ π

− ≤ ≤   for parallel 

  Example 3 Parametric Representation of a Cone 

  2 2 ,     0z x y z H= + ≤ ≤  

 

  ˆˆ ˆ( , ) cos   sin    r u v u v i u v j u k= + + ,           where    0 ,  0 2u H v≤ ≤ ≤ ≤ π  

  Tangent Plane and Surface Normal    Tangent plane of S at P    : Plane containing tangent vectors of S at P   Normal vector of S at P    : A vector perpendicular to the tangent plane     •  Parametric representation of S :  ( , )r u v  

  A curve C on S      :  ( ) 1( ),   ( ) ( )r u t v t r t≡  

  A tangent vector of C      :  11 ( )

dr r rr t u v

dt u v∂ ∂′ ′ ′= ⇒ +∂ ∂

 

                    ↑        ↑                 Tangent vectors of S at P                

  A normal vector of S at P      :  u v

r rN r r

u v∂ ∂

= × ≡ ×∂ ∂

     

  The unit normal vector      :  ˆ Nn

N=  

 •  When S is given by  ( , , ) 0g x y z =  

  The surface normal vector      :  N g=∇      

     

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-13 Example 4    Unit Normal Vector of a Sphere   2 2 2 2( , , ) 0g x y z x y z a= + + − =  

  →  ˆˆ ˆgrad 2 2 2g xi yj zk= + +  

  →  ˆˆ ˆˆ x y zn i j k

a a a= + +  

 Example 5    Unit Normal Vector of a Cone 

  ( ) 2 2, ,g x y z z x y= − + +  

  →   2 2 2 2

ˆˆ ˆx yg i j k

x y x y∇ = + −

+ + 

  →   2 2 2 2

1 ˆˆ ˆˆ2

x yn i j k

x y x y

⎛ ⎞⎜ ⎟= + −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

 

  

10.6 Surface Integrals   A surface S in parametric representation  :  ˆˆ ˆ( , ) ( , ) ( , ) ( , )r u v x u v i y u v j z u v k= + +  

  The surface normal vector      :  u v

r rN r r

u v∂ ∂

= × ≡ ×∂ ∂

,       1

n̂ NN

=    

  The element of area of S      :  ˆ ˆ ˆu v u vNdudv n r r dudv n r du r dv ndA⇒ × ⇒ × ⇒  

   A surface integral of  ( )F r   over S   

    ˆS S R

F dA F ndA F N dudv• ≡ • = •∫∫ ∫∫ ∫∫      

   If   (Volume density of fluid   Velocity)F v= ρ ×     →    The integral gives the flux across S 

      ↑                 (Mass crossing S per unit time)       Flux density(Mass per unit time per unit area)     • The surface integral in component form   Using  [ ]1 2 3, ,F F F F= ,  [ ]1 2 3, ,N N N N=   and  [ ]ˆ cos , cos , cosn = α β γ  

 

   

( )

( )

( )

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

cos cos cos

               

               

S S

S

R

F dA F F F dA

F dydz F dzdx F dxdy

F N F N F N dudv

• = α + β+ γ

= + +

= + +

∫∫ ∫∫

∫∫

∫∫

   

     Note       cos ,    cos ,    cosdA dydz dA dzdx dA dxdyα = β = γ =  

  

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-14 Example 1 Flux through a Surface   Find the flux of water through  2  :   ,    0 2,     0 3S y x x z= ≤ ≤ ≤ ≤  

  The water velocity  2 ˆˆ ˆ3 6 6F z i j xzk= + +   [m/sec] 

   Let    2, ,x u z v y u= = =  

  The surface S   

    2 ˆˆ ˆr ui u j vk= + +     →  ˆ ˆ2ur i uj= + ,      ˆvr k=  

                ˆ ˆ2u vN r r ui j= × ⇒ −  

  On S 

    2 ˆˆ ˆ  3 6 6F v i j uvk= + +     →  26 6F N uv• = −     The surface integral 

    ( ) ( )3 2 3 3

32 2 2 2 3

00 0 0 0

(6 6) 3 6 12 12 72[ / ]u

R

F Ndudv uv dudv u v u dv v dv m s=

• ⇒ − ⇒ − ⇒ − ⇒∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫  

 • Check 

ˆ ˆ ˆ ˆ2 2N ui j x i j= − ⇒ −     →  cos 0, cos 0 cos ,  not presentα > β < γ  

    ( )3 4 2 3

21 2 3

0 0 0 0

3 6 72S

F dydz F dzdx F dxdy z dydz dzdx+ + ⇒ − ⇒∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫  

                          ↑                     Minus sign because  cos 0β <  

  Example 2    Surface Integral 

  Find the surface integral of  2 2 ˆˆ 3F x i y k= +   over S: x+y+z=1    in the first octant.        Solution :     Let  ,    ,   then  1x u y v z u v= = = − −  

       The surface S   

    ˆˆ ˆ( , ) (1 )r u v ui vj u v k= + + − −   →  ˆˆ ˆu vN r r i j k= × ⇒ + +  

   On S 

    2 2 ˆˆ 3F u i v k= +       →  2 23F N u v• = +     Then 

    ( ) ( )1 1 1

32 2 2 2 2

0 0 0

1 1( 3 ) ( 3 ) 1 3 1

3 3

v

R R

F N dudv u v dudv u v dudv v v v dv− ⎡ ⎤• ⇒ + ⇒ + ⇒ − + − ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫  

  

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-15 Orientation of Surfaces  Theorem 1 Change of Orientation in a Surface Integral 

If  n̂   is replaced by  n̂− , the surface integral is multiplied by ‐1    N   is reversed if u and v are interchanged.     v u u vr r r r N× = − × ⇒ −  

    Orientation of Smooth Surfaces    A surface S is orientable if its normal direction can be defined uniquely and continuously over S.   Then, the normal direction is associated with the direction of the boundary C.   (Right hand rule)    The piecewise smooth surface is orientable     if the direction of  *C   for  1S   is opposite to that for  2S . 

 

   Nonorientable surface 

       Surface Integrals Without Regard to Orientation    

    ( ) ( )( ) ( )  , ,S R

G r dA G r u v N u v dudv⇒∫∫ ∫∫  

            ↑         u vdA N dudv r r dudv= = ×   in   

R

F N dudv•∫∫  

 •  Area of S 

    u vS R

A dA r r dudv= = ×∫∫ ∫∫  

  

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-16 •  When a surface S is given by z=f(x,y)    We let x=u, y=v. 

  →  ˆˆ ˆ( , ) ( , )r u v ui v j f u v k= + +  

  →  ˆˆ ˆu v u vN r r f i f j k= × ⇒ − − + ,  2 21 u vN f f= + +  

 

    ( )*

22

( ) , , ( , ) 1S R

f fG r dA G x y f x y dxdy

x y∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫∫ ∫∫    

    where  *R : projection of S on xy plane    Area of S in this case 

   *

22

1R

f fA dxdy

x y∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫∫  

   Example 4    Area of a Sphere   A sphere with radius a 

    ˆˆ ˆ( , ) cos cos   cos sin   sin  r u v a v u i a v u j a v k= + +          where  0 2 ,    / 2 / 2u v≤ ≤ π − π ≤ ≤ π      

   Find   

    2 2 2 2 2cos cos , cos sin , cos cosu vr r a v u a v u a v u⎡ ⎤× = ⎣ ⎦  

    r r a vu v× = 2 cos  

   Then     

   /2 2

2 2

/2 0

cos   4A a v dudv aπ π

−π

= = π∫ ∫  

   

10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss    A triple integral of f over region T 

    ( )0

1

lim , , ( , , )n

k k k kDk T

f x y z V f x y z dxdydz→

=

Δ ≡∑ ∫∫∫       or    ( , , )T

f x y z dV∫∫∫          

    ↑    ↑    ↑     Max. diagonal of cubes         A point in the k‐th cube             Volume of the k‐th cube    Divergence Theorem of Gauss   Triple integral  ↔   Closed surface integral  

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-17 Theorem 1 Divergence Theorem of Gauss                   (Transformation between Triple and Surface Integrals)       

T is a bounded region whose boundary is a piecewise smooth orientable surface S.     ( , , )F x y z   is continuous and has continuous first part derivative in T. 

 Then   

   T S

F dV F dA∇• = •∫∫∫ ∫∫      

  ˆdA ndA= ,  n̂ is the outer unit surface normal vector  

→  31 21 2 3( cos cos cos )

T S

FF Fdxdydz F F F dA

x y z

∂∂ ∂⎛ ⎞+ + = α + β+ γ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫∫∫ ∫∫  

                                      = 1 2 3R

F dydz F dzdx F dxdy+ +∫∫  

  where  1 2 3ˆˆ ˆF F i F j F k= + + ,     

                  ˆˆ ˆˆ cos   cos   cos  n i j k= α + β + γ  

     Prove term by term . 

  First,    consider  33 cos

T S

Fdxdydz F dA

dz

∂= γ∫∫∫ ∫∫ . 

   1S   : Upper surface,    z = h(x,y). 

  2S   : Lower surface,    z= g(x,y). 

  3S   : Side surface.       

     Then, the left term 

    [ ]( , )

3 33 3

( , )

( , , ( , )) ( , , ( , ))h x y

T R g x y R

F Fdxdydz dz dxdy F x y h x y F x y g x y dxdy

z z

⎡ ⎤∂ ∂⇒ ⇒ −⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫  

   The right term 

   1 2

3 3 3 3cos ( , , ( , )) ( , , ( , ))S S S R R

F dA F dxdy F x y h x y dxdy F x y g x y dxdy+

γ ⇒ ⇒ −∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫  

                  ↑              ↑  Minus sign because  cos 0γ <  

            dxdy is the projection of dA onto xy‐plane       Similarly, one can prove the other terms.         Example 2    Verification of the Divergence Theorem   Evaluate the integral over the sphere  2 2 2:   4S x y z+ + =  

    ( )ˆˆ7S

x i z k dA− •∫∫  

 (a) Using Divergence theorem 

( )34 2ˆˆ ˆ7 6

3S T

x i z k n dA F dVπ

− • = ∇• ⇒ ⋅∫∫ ∫∫∫  

        ↑         7 1 6F∇• = − =  

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-18  

(b) Direct calculation 

          Using  2cos sin ,     2sinx v u z u= = , the vector function is 

              The surface integral 

      ( )/2 2

3 2 2

/2 0

56cos cos 8cos sinv u

v u v v dudvπ π

=−π =

−∫ ∫  

    Coordinate Invariance of the Divergence    Mean value theorem for triple integrals 

    ( ) ( ) ( ), , , ,o o o oT

f x y z dV f x y z V T=∫∫∫  

            ↑        ↑    Volume of T.                       A point in T.    Apply this to the Divergence theorem 

    div  T S

F dV F dA= •∫∫∫ ∫∫       →    ( ) ( ) ( )

1div , ,o o o

S T

F x y z F dAV T

= •∫∫  

      ↑       ( ) ( )div , ,o o oF x y z V T  

   Let T shrink down to P. 

    ( ) ( )0

1div lim

TS

F P F dAV T→

= •∫∫  

  Theorem 2    Invariance of the Divergence 

Divergnece of  F   with continuous first partial derivatives is independent of the particular choice of Cartesian coordinates.   

   

10.8 Further Applications of the Divergence Theorem  Potential Theory.    Harmonic Functions  

  Solving the Laplace equation   2 2 2

22 2 2

0f f f

fx y z∂ ∂ ∂

∇ = + + =∂ ∂ ∂

    : Potential theory 

  Its solution with continuous second‐order partial derivatives  :Harmonic function 

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-19   Example 1    A Basic Property of Solution of Laplace’s equation   From divergence theorem 

    ˆ T S

F dV F ndA∇• = •∫∫∫ ∫∫  

   Let  gradF f=  

  →  2( )F f f∇• ⇒∇• ∇ ⇒∇  

    ˆ ˆF n f n• ⇒∇ •  

     

  →  2  T S

ff dV dA

n∂

∇ =∂∫∫∫ ∫∫  

   Example 5 Green's Theorem   Let  F f g= ∇  

  →  2( )F f g f g f g∇• ⇒∇• ∇ ⇒ ∇ +∇ •∇  

    ˆ ˆ ˆ( ) ( )g

F n f g n f n g fn∂

• ⇒ ∇ • ⇒ •∇ ⇒∂

 

 

  From  ˆ   T S

F dV F n dA∇• = •∫∫∫ ∫∫  

  →  2( )T S

gf g f g dV f dA

n∂

∇ +∇ •∇ =∂∫∫∫ ∫∫         : Green's first formula 

    Let  F g f= ∇ , and obtain the similar equation.   From the difference of the two 

    2 2( ) ( )T S

g ff g g f dV f g dA

n n∂ ∂

∇ − ∇ = −∂ ∂∫∫∫ ∫∫          : Green's second formula 

  Theorem 2    Harmonic Functions 

Let  ( ), ,f x y z   be harmonic and zero at every point on a closed surface S, 

Then f is identically zero in the region enclosed by S.   Theorem 3    Uniqueness Theorem for Laplace’s Equation 

A harmonic function f(x,y,z) is uniquely determined   in the inside of T by its values on the enclosing surface S. 

   Proof:       Let  1 2 and f f   be harmonic functions with the same boundary condition on S. 

   Let  1 2g f f= −  

  →    0g =   on S      Then, from theorem 2,     →    1 2 0g f f= − =  

 

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-20   

10.9    Stokes's Theorem  Theorem 1    Stokes’s Theorem (Transformation between Surface and Line Integrals) 

Let S be a piecewise smooth oriented surface whose boundary is a piecewise smooth simple closed curve C. Let  ( , , )F x y z be a continuous vector function with continuous first partial derivatives.  

  ( )S C

F dA F dr∇× • = •∫∫ ∫    

  ( )ˆ ,     'dA n dA dr r s ds= =  

 Using  n̂dA Ndudv=  

  3 32 1 2 11 2 3

R

F FF F F FN N N dudv

y z z x x y

⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫∫  

  ( )1 2 3C

F dx F dy F dz= + +∫  

     Proof:       Prove the theorem term by term 

      1 12 3 1

R C

F FN N dudv F dx

z y

∂ ∂⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫∫ ∫ ,  2 21 3 2

R C

F FN N dudv F dy

z x

∂ ∂⎛ ⎞− + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫∫ ∫ ,  3 31 2 3

R C

F FN N dudv F dz

y x

∂ ∂⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫∫ ∫  

     Consider the first term 

      1 12 3 1

R C

F FN N dudv F dx

z y

∂ ∂⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫∫ ∫  

     The surface S can be given by  ( ),z f x y= ,  ( ),y g x z= ,    or  ( ),x h y z=  

     Let u=x, v=y for a parametric representation of S 

    →  ( ) ˆˆ ˆ( , ) ,r x y x i y j f x y k= + +  

     

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ1 0 /

0 1 /x y x y

i j k

N r r f x f i f j k

f y

= × ⇒ ∂ ∂ ⇒ − − +∂ ∂

,       

       Projection of S onto xy plane       →  * * with boundary S C       Then, the left term 

     *

1 1( )yS

F Ff dxdy

z y

∂ ∂⎡ ⎤− −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∫∫  

     The right term 

     * *

11

C S

FF dx dxdy

y

∂⇒ −

∂∫ ∫∫*

1 1( , , ) ( , , )

S

F x y f F x y f fdxdy

y f y

∂ ∂ ∂⎡ ⎤⇒ − −⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦∫∫ ,    where  ( , )z f x y=  

            ↑  

        From the Green's theorem,  ( )2 11 2c

R

F Fdxdy F dx F dy

x y

∂ ∂⎛ ⎞− = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫∫ ∫    

              

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-21       Example 1    Verification of Stokes’s Theorem 

  Let  [ ],   ,  F y z x=   and S is the paraboloid,  ( ) ( )2 2, 1z f x y x y= = − +   for  0z ≥ . 

   The curve       ( ) [ ]cos ,  sin ,  0r s s s=  

  →    ( ) [ ]' sin ,  cos ,  0r s s s= −  

     On the curve       [ ] [ ],   ,   sin ,  0,  cosF y z x s s= =  

   Hence 

    ( )( ) ( ) ( )( )2 2

0 0

' sin sin 0 0C

F dr F r s r s ds s s dsπ π

• ⇒ • ⇒ − + + = −π⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫  

 • The surface integral 

   

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

i j k

F x i j kx y zy z x

∂ ∂ ∂∇× = ⇒ − − −

∂ ∂ ∂ 

 

    ( ) ˆˆ ˆ( , ) ,r x y x i y j f x y k= + +  

   

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ1 0 /

0 1 /x y x y

i j k

N r r f x f i f j k

f y

= × ⇒ ∂ ∂ ⇒ − − +∂ ∂

 ⇒ + + ˆˆ ˆ2 2x i y j k  

 

    ( ) ( ) ( ) ( )2 1

0 0

2 2 1 2 cos sin 1S R R r

F dA F N dxdy x y dxdy r rdrdπ

θ= =

∇× • = ∇× • ⇒ − − − ⇒ − θ+ θ − θ = −π⎡ ⎤⎣ ⎦∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫  

                            ↑                         In cylindrical coordinates   Example 4    Physical Meaning of the Curl in Fluid Motion.    Circulation      Let 

orS   be a circular disk of radius  or   centered at P with boundary 

orC  

  Let  ( , , )F x y z   be a vector function     Then 

    ( ) *at ˆ ˆ( )

o

r ro o

rPC S

F dr F ndA F n A• = ∇× • ⇒ ∇× •∫ ∫∫  

        ↑                    ↑      ↑  ↑  Area of or

S  

        Stokes's theorem    A point in or

S  

                          Mean value theorem,   

  →  ( ) *at 

1ˆo ro

Pr C

F n F drA

∇× • = •∫      

                      ↑ 

Kreyszig by YHLEE;100607; 10-22                   Circulation of  F   around 

orC  

 

  →  ( )at  0

1ˆ limr

P rr C

F n F drA→

∇× • = •∫  

    Therefore 

   Circulation of   in the plane perpendicular to 

curl  in   direction = Area enclosed by the curve

FF

ξξ  

  Stokes's theorem Applied to Path Independence    

  If the line integral C

F dr•∫   is independent of path, then  curl 0F =   (proved in the previous section) 

  If  curl 0F = , then C

F dr•∫   is independent of path. 

   It can be proved using Stokes's theorem.  

  →  ( ) 0C S

F dr F dA• = ∇× • ⇒∫ ∫∫ ,       

                                    ↑                                 Because  0F∇× =     Since the closed line integral of  F   is always zero regardless of C, 

  the line integral C

F dr•∫   is independent of path.