evalutions de performances
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25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 1
Évaluations de Performances Systèmes
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP de DAKAR
Dept. Math-info
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 2
L’amélioration et la profusion de systèmes rend aujourd’hui l’environnement informatique complexe.
Outils de plus en plus complexes pour leur planification et leur gestion.
Adéquation des formalismes disponibles.
Les systèmes informatiques sont composés d’unités ayant des comportements souvent identiques avec des activités de synchronisation et d’échange de messages.
Complexité:
-Analyse fine des comportements,
-Prédiction des comportements,
-Variables d’état discrètes ou continues
-………………….
D’où
Méthodes et moyens de modélisation et de prédiction de performances sont
mises en œuvre pour raccourcir les délais de prototypages, de tests et d’anticipations des
problèmes de performances Terme générique: évaluations de performances
– la modélisation - le développement d’une description formelle du système;
– la résolution - l’obtention des prédictions de performances du système.
Introduction
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I/ La modélisation (1/4)
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I/ La modélisation (2/4)
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I/ La modélisation (3/4)
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I/ La modélisation (4/4)
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II /l’obtention des prédictions de performances du système (1/9)
On entend par indice de performance le calcul de l’état stationnaire du modèle, c’est à
dire, la proportion de temps que la chaîne de Markov reste dans chacun des états.
La solution est un vecteur de probabilité associant une probabilité à chaque état de la
chaîne.
Nous pourrons calculer plusieurs informations sur le système modélisé,
Le nombre moyen de tâches traitées et/ou en attente, les délais moyens de
traitements et/ou d’attente des tâches, le taux d’utilisations etc.
Cela équivaut à obtenir le vecteur π solution du système, en résolvant l’équation :
πP = π πQ = 0.
P : matrice stochastique, Q=matrice génératrice
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En résumé:
Approches Exemples Solutions
II /l’obtention des prédictions de performances du système (2/9)
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II / L’obtention des prédictions de performances du système (3/9)
II.1 / Motivation du choix du formalisme
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II /l’obtention des prédictions de performances du système (4/9)
II.1 / Motivation du choix du formalisme
Formalismes Réseaux de files
d’attente
Réseaux de Pétri Algèbre de processus
stochastiques
Réseaux d’automates
stochastiques
Propriétés
Caractéristiques
approche orientée
“ressources
consommées par
des clients”
analyse fine des
synchronisations
Composition
concurrente,
exécution parallèle.
Exécution parallèle et
intégration des
synchronisations au
modèle états-
transitions.
Synchronisations
NON OUI OUI OUI
Vision modulaire
des systèmes
NON NON OUI OUI
Amélioration du
stockage du
générateur
infinitésimal
NON Pas toujours
possible NON OUI
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II /l’obtention des prédictions de performances du système (5/9) II.2/ Analyse du modèle
L’analyse du système peut intervenir en phase de conception ou pendant l’exploitation. Quelque soit
la situation nous aurons les étapes suivantes:
objectifs
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II /l’obtention des prédictions de performances du système (6/9) II.2/ Analyse du modèle
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II /l’obtention des prédictions de performances du système (7/9) II.3/ Méthodologies
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II /l’obtention des prédictions de performances du système (8/9) II.3/ Méthodologies
Comprendre l’environnement:
Configurations hard/soft, connectivités et protocoles réseaux, puissances des serveurs
etc.
Caractérisation de la charge:
Intensité des paramètres de la charge (Nbre msg/heures, Nbre transactions/s…)
Demande de services (taille moyenne des msg, Nbre moyen d’ E/S / transaction).
Validation /calibrage du modèle de charge:
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II /l’obtention des prédictions de performances du système (9/9) II.3/ Méthodologies
Prévision de la charge:
Choix des applications et des unités de traitements, recueil de statistiques sur les
demandes de traitements…..
Prévision des performances:
Choix du formalisme adéquat en se basant sur les propriétés observées (prise en compte
des synchronisations, des coopérations,des concurrences, des échanges du système avec
l’extérieur ou non …….)
De nos jours le plus souvent ce sont les méthodes basées sur les chaînes de Markov qui sont
applicable.
Exemple: File d’attente, Rdp, RAS, etc.
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III/ Rappel Mathématiques
Propriétés élémentaires:
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III/ Rappel Mathématiques
Probabilité élémentaire:
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III/ Rappel Mathématiques
Probabilité élémentaire:
Démonstration ? Indication
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III/ Rappel Mathématiques
Soit E={1,2,3}
Ensemble des possibilités de E
P(E)={Ø};{1};{2};{3};{1,2};{1,3};{2,3};{1,2,3}
Si A C P(E)
On dit que A est algèbre de boole définit sur P(E) ssi { - Si c є A; cc є A;
{- Si c є A; B є A; c union B є A
Exemple :
A = {Ø, E, {1}, {2,3}}
On dit que A est σ-algébre définit sur P(E) ssi { - Si c є A; cc є A;
{- pour tout i / Ai є A alors union des Ai =A
Exemples :
A = {Ø, E}
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III/ Rappel Mathématiques
Une variable aléatoire X est une entité dont la valeur dépend de l’issue d’une expérience
aléatoire.
A chaque événement élémentaire w de Ω, on associe un nombre X(w).
Soit E l’espace d’état, défini comme l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable
aléatoire X (E peut être fini ou infini).
On distingue deux type de variable aléatoire
Discrète
Continue
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes): a)loi de Bernoulli:
Il convient, de commencer par considérer que l’événement dont on connaît la probabilité (notée en général p) est un succès. En conséquence de quoi l’événement contraire constitue un échec. Le succès sera noté [Xi=1] et l’échec sera noté [Xi=0]
On a ainsi défini une variable aléatoire Xi de Bernoulli qui peut prendre 2 valeurs : 0 et 1. On note alors Xi(Ω) = {0;1}; P[Xi=1] = p et P[Xi=0]=1-p=q
Propriétés de la loi de Bernoulli.
On peut s’assurer que Xi définit bien une variable discrète en vérifiant que
En effet : = P[Xi=0]+P[Xi=1]=p+1-p = 1
E(Xi) = = 0.P[Xi=0]+1.P[Xi=1]=0p+1.p=p
E(Xi2)= =02.P[Xi=0]+12.P[Xi=1]=0p+12.p=p
V(Xi)= E(Xi2)-[ E(Xi)]
2 = p-p2 = p(1-p).
La loi de Bernoulli peut donc se définir à l’aide d’un seul paramètre, p, qui est son espérance mathématique. La variance s’obtient directement à partir de p.
X B(p)
1][)(
Xk
kXiP
pqXV
pXE
pqXP
pXP
X
)(
)(
1]0[
]1[
1;0)(
)(
][Xk
kXiP
)(
][Xk
kXikP
)(
2 ][Xk
kXiPk
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes):
b) Loi binômiale (loi du nombre de succès dans une succession de n épreuves identiques et indépendantes)
On considère la succession de n essais identiques et indépendants les uns des autres d’une même
épreuve ayant deux issues possibles : le succès avec la probabilité p et l’échec avec la probabilité
q=1-p.
On définit une variable X égale au nombre de succès obtenus à l’issue de ces n épreuves.
X correspond à la succession de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
On dit alors que X suit une loi Binômiale définie par 2 paramètres : n = nombre d’épreuves (de
Bernoulli identiques et indépendantes) et p = probabilité du succès pour chaque épreuve. On écrit :
N= nombre de fois que l’expérience à été recommencée
X B(n, p)
npqXV
npXE
qpCkXP
NnX
knkk
n
)(
)(
][
x;0)(
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes):
b) Loi binômiale (loi du nombre de succès dans une succession de n épreuves identiques et indépendantes)
Exemple
On considère une entreprise de service après-vente qui intervient avec retard avec une probabilité égale
à 0,25. Un client a appelé à 8 dates différentes.
1°) Préciser la loi de X, son espérance et sa variance
2°) Calculer la probabilité que ce client soit victime d’au moins un retard
3°) Calculer la probabilité que ce client soit victime d’au moins 4 retards sachant qu’il en a subi au
moins un.
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes):
b) Loi binômiale (loi du nombre de succès dans une succession de n épreuves identiques et indépendantes)
Correction
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes):
c) Loi hypergéométrique (la loi des sondages ):
On effectue n tirages SANS REMISE dans une population (ou dans une urne) de taille N.
On recherche alors la loi du nombre de réalisations d’un événement dont la probabilité de
réalisation, avant que ne commencent les tirages, est égale à p.
La composition de la population (ou de l’ urne) change à l’issue de chaque tirage puisque l’individu
(ou la boule) qui vient d’être tiré(e) n’est pas remis(e) dans la population (ou dans l’urne).
Soit X le nombre de succès, ou de réalisation de l’événement dont on connaît la probabilité avant
que ne commencent les tirages.
X définit une loi hypergéométrique de paramètres N, n (échantillon) et p :
X H(N, n, p)
1)(
)(
][
xΝ;min();;0max()(
N
nNnpqXV
npXE
C
CCkXP
NpnNqnX
n
N
kn
Nq
k
Np
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes): :
c) Loi hypergéométrique (la loi des sondages ):
Suite de l’exemple précédent
On considère 8 clients différents. On en contacte 4.
On admet qu’un client est mécontent s’il a fait l’objet d’une intervention avec retard.
On note M le nombre de mécontents .
Donner la loi de M, son espérance et sa variance.
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes):
c) Loi hypergéométrique (la loi des sondages ):
Correction
M correspond, dans le cadre d’un sondage, au tirage de 4 clients dans une population de 8 clients sans
remise : on peut en effet penser que la personne chargée de l’étude de satisfaction n’interroge chaque
client qu’une seule fois.
En outre, avant de commencer les tirages des individus, on sait que la probabilité d’intervention avec
retard, donc de mécontentement est de 0,25, doù :
X H(8, 4, 0,25)
18
4854x0,25x0,7V(X)
4x0,25E(X)
C
CCk]P[X
xN25min(4;8x0,8x0,75);max(0;4)X(Ω
4
8
k4
8x0,75
k
8x0,25
7
475,0)(
1)(
][
x2;0)(
4
8
4
62
XV
XE
C
CCkXP
NX
kk
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes):
d) Loi géométrique (Loi du premier succès; du nombre de paquets transmis avec succès; etc.)
On effectue n épreuves (de Bernoulli) identiques et indépendantes dont la probabilité de succès est p
pour chacune d’elles. La probabilité de l’échec pour chacune d’elles est notée q=1-p.
On appelle X le rang du 1er succès, donc:
P[X=k] signifie « probabilité que le 1er succès soit obtenu à l’issue de la k-ième épreuve.
En d’autres termes, les k-1 premières épreuves se sont soldées par des échecs et la k-ième par un
succès.
Cette distribution est la seule discrète avec la propriété sans mémoire
Géométrique de base Géométrique modifiée (cas truquée)
X
)( pG
2
1
/)(
/1)(
][
;1)(
pqXV
pXE
pqkXP
X
k
2/)(
/)(
][
;1)(
qpXV
qpXE
qpkXP
X
k
Aussi appelé la loi de Pascal qui est la généralisation de la
loi géométrique de base lorsque l’on s’intéresse à
l’obtention pour la k ieme fois de l’événement de probabilité p
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes):
d) Loi géométrique (Loi du premier succès)
Suite de l’exemple précédent
Soit Y la loi du rang du 1er retard. Préciser la loi de Y , son espérance et sa variance
Les appels qui définissent une loi de Bernoulli étant identiques et indépendants, le temps d’attente du
1er retard définit une loi géométrique de même paramètre que la loi de Bernoulli précédemment
évoquée :
Y
)25,0(G
2
1
25,0/75,0)(
425,0/1)(
25,0x75,0][
;1)(
XV
XE
kXP
X
k
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes):
e) Loi de poisson (Loi des arrivées dans un intervalle de temps)
La loi de Poisson résulte de la convergence de la loi binômiale. En d’autres termes, lorsque n est très
grand (n ≥30) et sous réserve que 2 autres conditions soient également satisfaites (p≤0,1 et np<15),
on peut remplacer la loi binômiale B(n ; p) par une loi de poisson de paramètre λ avec λ=np. On a
alors :
X
Exemple:
Nbre de requêtes au serveur dans un intervalle de temps t
Nbre de panne par unité de temps
Etc.
)(P
)()(
!.][
)(
XVXE
kekXP
NX
k
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes):
e) Loi de poisson (Loi des arrivées dans un intervalle de temps)
Exemple
X suit une loi de Poisson de paramètre 4.
1°) Calculer P[X=5]
2°) Préciser E(X) et V(X)
3°) On démontre que si X et Y sont deux variables indépendantes avec X et Y alors
X+Y . En déduire la variance de X+Y
Utiliser la formule du binôme de Newton ci-dessous pour démontrer X+Y
)(P )(P
)( P
)( P
nn
i
ikii
k babaC )(0
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes):
e) Loi de poisson (Loi des arrivées dans un intervalle de temps)
Correction:
1°) P[X=5] = e-4.
2°) E(X)=V(X)=4 (la moyenne et la variance sont égales au paramètre de la loi de Poisson)
3°) Pour la raison qui vient d’être évoquée : V(X+Y)= paramètre de la loi de X+Y soit
!5
45
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (continues):
f) Loi exponentielle (Loi des temps des services, temps entre 2 arrivées, etc.)
Cette distribution est la seule continue avec la propriété sans mémoire
Durée entre deux arrivées successifs de client dans un réseau
Temps de services d’un serveur dans un réseau
Durée de vie d’une composante ou pour réparer un composant défectueux
Etc.
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (continues):
g) Loi hypo-exponentielle (Loi des temps des services séquentiels et des phases séquentiels)
Si le processus consiste à des phases séquentiels
Les temps passés dans chaque phase sont indépendants et de distribution exponentielle
Alors le temps total passé dans toutes les phases est de distributions hypo-exponentielle de
paramètres r, un pour chaque phase.
Exemple:
Traitement séquentiel de requête de base de données,
Traitement séquentiel de tâches
Caractéristique
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (continues):
h) Loi hyper-exponentielle (Loi des temps des services parallèles et des phases parallèles)
Si le processus consiste à des phases parallèles.
Les temps passés dans chaque phase sont indépendants et de distribution exponentielle
Alors le temps total passé dans toutes les phases est de distributions hyper-exponentielle de
paramètres r, un pour chaque phase.
Exemple:
Traitement parallèle de requête de base de données,
Traitement parallèle de tâches
Caractéristique
Les FDP et fdp d’une variable aléatoire à k phases est données par:
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III/ Rappel Mathématiques
Rappel des Lois de distributions usuelles (continues):
i) Loi de Weibull (Mesures de fiabilité et de temps de bon fonctionnement)
Très utilisée dans plusieurs domaines (électronique, mécanique, ...).
Elle permet de modéliser en particulier de nombreuses situations d’usure de matériel.
Elle caractérise le comportement du système dans les trois phases de vie : période de jeunesse,
période de vie utile et période d’usure ou vieillissement.
Dans sa forme la plus générale, la distribution de Weibull dépend des trois paramètres suivants :
La densité de probabilité d’une loi de Weibull a pour expression
La fonction de fiabilité s’écrit:
Le taux de défaillance est donnée par:
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IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (1/18)
Fondé par Andrei Andreevich Markov (1856-1922) un mathématicien russe. Ses travaux
sur la théorie des probabilités l'ont amené à mettre au point les chaînes de Markov. Ceux-ci
peuvent représenter les prémices de la théorie du calcul stochastique.
1- Les processus stochastiques :
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IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (2/18)
Une chaîne de Markov à temps discret est un processus stochastique {Xn, n =0,1,….} à
temps discret, défini sur un espace d'états S fini ou dénombrable et vérifiant la propriété
de Markov
pour tout i appartenant à S et quelque soit n≥1.
En mots, l'état courant résume, à lui seul, tout l'historique du système susceptible
d'influencer son évolution future.
Propriété:
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 39
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (3/18) 2- Probabilité de transition et matrice de transition
3-La matrice de transition et une matrice stochastique
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 40
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (4/18)
4-Equation de Chapmann-Kolmogorov
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 41
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (5/18)
5-chaînes de Markov homogène
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 42
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (6/18)
6-Classification des états de la chaîne
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 43
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (7/18)
6-Classification des états de la chaîne
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 44
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (8/18)
6-Classification des états de la chaîne:
NB:
•Si une chaine est irréductible alors si un état est périodique alors la
chaine l’est aussi
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 45
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (9/18)
7-Périodicité:
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 46
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (10/18)
8- Distribution initiale et comportement transitoire:
Distribution initiale
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 47
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (11/18)
8- Distribution initiale et comportement transitoire:
comportement transitoire:
Distribution invariante
Une distribution π est invariante ou stationnaire si π = πP; donc
Remarque:
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 48
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (12/18)
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 49
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (13/18)
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 50
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (14/18)
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 51
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (15/18)
9-Les chaînes ergodiques
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 52
V/ Rappel sur les chaînes de Markov (16/18)
10- Algorithme pour obtenir le vecteur invariant de la chaîne de Markov
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 53
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (17/18)
Exercices:
On considère le graphe suivant:
On définit une chaîne à état E={1, 2, 3, 4}. Notons ki le nombre de flèches partant de i. Définissons sur
E la matrice de transition P par: P(i, j)=1/ki, si une flèche vas de i à j, 0 sinon.
1. Ecrire la matrice de transition P?
2. Est-elle une chaine de Markov et est-elle irréductible, apériodique?
3. Calculer Q=P2?
4. La chaîne défini par la matrice de transition Q est-elle irréductible?
5. Trouver l’ensemble des probabilités invariantes pour cette chaîne de Markov?
2
1
3
4
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 54
IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (18/18)
Exercices:
On étudie le fonctionnement d’une imprimante qui peut être dans 3 états distinct.
Etats 1: attente d’un caractère à imprimer
Etats 2: impression d’un caractère
Etats 3: interruption après avoir reçu un caractère de contrôle.
- Lorsque l’imprimante est en attente elle reçoit un caractère à imprimer avec la probabilité 0,80.
-Lorsqu’elle est en impression elle reçoit
Un caractère normale avec la probabilité 0,95
Un caractère de fin de fichier avec la probabilité 0,04 (l’imprimante retourne dans l’état d’attente)
Un caractère d’interruption avec la probabilité 0,01 (l’imprimante passe alors dans l’état 3).
-Lorsque l’imprimante est dans l’état 3, elle retourne à l’état d’attente avec la probabilité 0,3 sinon elle reste dans l’état 3.
Questions:
1. Montrez que ce système se modélise par une chaine de Markov à 3état ?
2. Donnez son graphe et sa matrice de transition ?
3. Périodicité? Irréductibilité? De cette chaîne de Markov
4. Calculer les probabilités stationnaire associées?
5. En régime stationnaire donnez le taux d’utilisation de cette imprimante sachant quelle est ergodique?
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V/ Rappel Mathématiques
Exercice 1:
Démonstration du formule de Bayes.
Exercice 2:
Soit l’expérience lancé d’un dé
1) Donner l’espace fondamentale?
2) Donner un exemple de σ-algèbre?
3) Calculer la probabilité que la face obtenu soit 1 ou 3?
Exercice 3:
Soit le lancé de 2 dé simultané
1) Donner l’espace fondamental?
2) La probabilité que la somme des deux faces donnes 7?
3) Donner un exemple d’algèbre de boole?
4) Donner la probabilité que la somme soit 7 ou 5?
Exercice 4:
On lance un dé et on s’intéresse au nombre de fois nécessaire pour obtenir la face 6?
25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 56
V/ Rappel Mathématiques
Exercice 5:
Un routeur a 4 interfaces d’entrée (A,B,C,D)
La probabilité qu’un paquet vient de A est Pa=0,2 ; de B est Pb=0,1 ; de C est Pc=0,4 ; de D
est Pd=0,3.
La probabilité qu’un paquet venant de la ligne A soit de taille 1500 Mbits est de 0,01 ; elle
est de 0,2 sur la ligne B, 0,3 sur la ligne C et 0,1 sur la ligne D
Quel est la probabilité qu’un paquet choisi au hasard au niveau du routeur soit de taille égale
à 1500Mbits.
Quel est la probabilité qu’un paquet choisi au hasard au niveau du routeur soit de taille
différente de 1500Mbits
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