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Evolution des acquis des élèves au Collège :

Etude des « régressions », de leurs causes et des remédiations possibles

Rapport FINAL Décembre 2008

Etude conduite par : Le groupe Maths Collège du CEPEC

Coordination : Alfred Bartolucci

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Première partie

Présentation du cadre de la recherche conduite

1. Problématique de la recherche.

1.1. Le contexte

L’évolution du collège au cours des quarante dernières années, dans le cadre de la

politique de massification, a amené progressivement tous les élèves à suivre

obligatoirement l’ensemble de ce cycle d’enseignement. Si l’orientation précoce en fin

de cinquième a été officiellement supprimée, des dispositifs intermédiaires ont continué

d’exister pour les élèves les plus en difficulté, un plus grand nombre d’élèves est

désormais « contraint » de rester au collège jusqu’à la troisième, voire même la

seconde.

Les enseignants observent de plus en plus souvent l’hétérogénéité grandissante de

leurs classes et l’influence de plus en plus grande de la vie sociale sur la relation

qu’entretiennent les élèves avec l’école.

Le socle commun qui devrait être progressivement mis en place à partir de la rentrée

scolaire 2006 insiste sur la stabilité des acquisitions qu'il entend attester. Or un

phénomène est observé dans les collèges et qui pose problème aux enseignants : des

apprentissages maîtrisés à l'entrée au collège ne le sont plus à la sortie de celui-ci.

Cette observation empirique ne trouve actuellement aucun écho dans des travaux de

recherche en cours. L'idée d'une linéarité et d'une continuité dans la progression des

acquisitions est assez largement partagée dans les représentations sociales de

l'apprentissage scolaire, elle s'appuie principalement sur l'observation générale du

développement des enfants.

Entre l’idée commune de la linéarité du développement et l’observation de régressions

multiples, les enseignants expriment un besoin de compréhension des phénomènes

auxquels ils sont confrontés. Les organismes de formation qui répondent aux demandes

des équipes des établissements sont souvent sollicités sur les thèmes de la motivation,

les difficultés des élèves, la pédagogie différenciée, l’organisation en groupes de

besoins, les pédagogies de la réussite. Ainsi on peut lire dans ces demandes et dans

leur traitement avec les équipes l’émergence d’un souci d’autant plus accentué en ce

moment, que l’école passe progressivement d’une logique de moyens à une logique de

résultats, le socle de compétences et de connaissances en étant un premier élément.

- 3 - 1.2. La question de départ

En mettant en place le socle commun de compétences et de connaissances, le

législateur met en avance le fait qu'il est nécessaire que l'école garantisse durablement

certains acquis. La question qui se pose aux enseignants est de savoir s'il est possible

de parvenir à ce socle et dans quelles conditions ? En effet si l'observation de certaines

régressions ou stagnations se confirme en cours de scolarité, quel sens pourrait alors

prendre la notion de socle. Mais plus encore qu'en est-il des élèves eux-mêmes et en

particulier les plus fragiles ?

L’étonnement des enseignants devant certains comportements des élèves face à leur

scolarité est grand. Ils posent souvent d’abord la question en termes de motivation. Or

ce questionnement est un signe d’une observation d’une « baisse » de l’élève. La

lecture des bulletins scolaires de certains élèves témoigne de cela, mais de façon très

laconique : l’élève ne travaille pas, il n’apprend pas à la maison, il ne fait pas ses

devoirs…. Etablir un diagnostic des difficultés réelles n’est pas possible dans le contexte

de l’activité quotidienne des enseignants sans un minimum d’outillage et de support pour

identifier comprendre et remédier à ces difficultés qui, si elles ne sont pas nouvelles,

prennent une place de plus en plus importante dans le quotidien des établissements.

Dès lors, la question qui se pose est de savoir de quelle nature sont ces régressions ?

Comment les identifier au travers de l’activité quotidienne d’enseignement ? A la suite

de cette approche diagnostic qui nécessite la construction d’outils, il s’agit de mettre en

place des dispositifs pour tenter de faire évoluer les élèves concernés. Comment

repenser la différenciation pédagogique, l’accompagnement à la scolarité, la relation

famille école, en prenant en compte les informations qu’un outil d’observation pourrait

permettre de dégager ?

1.3. Les hypothèses

Nous faisons l'hypothèse qu'il est possible, à partir d'une observation fine et spécifique

de certaines compétences, en particulier dans certaines disciplines scolaires, de mettre

en évidence des stagnations et des régressions dans les acquisitions au cours du

collège.

En conséquence nous pensons qu'il est possible d'envisager des dispositifs

d'enseignement et d'accompagnement différenciés et adaptés visant à éviter ce

phénomène en se basant sur l'analyse de ces processus.

- 4 - Enfin nous pensons qu'il est nécessaire, à la lumière de la psychologie, de la didactique

et des sciences de l'éducation, de modéliser ces processus de régression et leur

interaction avec la forme linéaire de la structure des apprentissages scolaires.

2. Positionnement de la recherche.

2.1. Les travaux déjà réalisés sur cette question

Les travaux des psychologues nous ont habitué à envisager un enfant puis un adulte,

qui progresse constamment dans ses capacités mentales. De Sigmund Freud jusqu'à

Jean Piaget et la théorie constructiviste, le modèle linéaire est fortement étayé. Dans un

sens différent les travaux d'Albert Bandura sur l'estime de soi et le sentiment d'efficacité

qui ont fondé la théorie de la résilience ont d'un coté renforcé cette image linéaire mais

dans le même temps fait prendre conscience que les choses n'étaient pas aussi

linéaires tout au moins dans la progressivité des acquisitions. Ainsi à partir de difficultés

scolaires importantes, des jeunes ont pu réaliser ensuite des parcours personnels et

professionnels inattendus, selon le modèle dominant.

Les travaux des sociologues, marqués par le travail de Bourdieu et Passeron, avaient

renforcé la linéarité psychologique d'une linéarité sociale. Autrement dit un déterminisme

psychologique était renforcé par un déterminisme sociale (et aussi l'inverse). Des

travaux récents comme ceux de Bernard Lahire ont montré qu'au delà des données

statistiques, l'étude des individus et de leur trajectoire culturelle permettait de montrer

que ces déterminismes n'étaient pas aussi forts. Ainsi on observe sur le plan social des

régressions, des métissages, des stagnations. La "panne" de l'ascenseur social se

doublerait-elle d'un autre problème plus global d'apprentissage comme semblerait le

montrer des rapports récents sur les différences entre les garçons et les filles face à la

scolarisation. L'absence de travaux spécifiques, en éducation scolaire, sur la régression

des apprentissages doit être mise en regard des travaux menés dans l'enseignement

spécialisé, voire en psychiatrie ou en psychopathologie, qui évoquent parfois cette

question.

2.2. Les apports de ce projet par rapport aux travaux existants

En menant cette recherche, ce projet vise à enrichir les analyses actuellement menées

par une mise en relation des différentes approches existantes. A partir d’une étude

empirique, il s’agit, en convoquant les approches théoriques disponibles en psychologie,

en sociologie et en sciences de l’éducation, de proposer non seulement un cadre

d’analyse, mais aussi des hypothèses de recherche action d’une part, de recherche

- 5 - pluridisciplinaire, plus fondamental sur l’articulation entre les différentes sources de

régression des apprentissages dans un contexte comme le collège.

3. Moyens et échéances.

3.1. Les outils et les méthodes utilisés pour mener cette recherche (questionnaires,

entretiens, grilles d’observation, recherche documentaire, etc.)

Le travail de recherche proposé vise dans un premier temps à identifier ces stagnations

et ces régressions en mathématiques. Après la construction d'épreuves et de situation

d'observation d'élèves au cours d'une année scolaire et en comparant des classes de 6è

et de 3è face à ce dispositif, on exprimera les caractéristiques des évolutions constatés

et des processus à l’œuvre. A partir de ces observations un dispositif de remédiations

sera proposé et testé au cours de la deuxième année de la recherche. Dans le même

temps, en s'appuyant sur les travaux de psychologie actuelle, un cadre général

d'analyse sera élaboré et soumis à des chercheurs du domaine en vue d'émettre de

nouvelles hypothèses permettant de mieux construire les dispositifs de remédiation.

3.2. Les participants à cette recherche � Les membres du Groupe de Recherche dans l'Enseignement des Mathématiques du

CEPEC (GREM cepec )

- 6 -

Deuxième partie

Engagement dans l’étude Définition du cadre de la recherche

1. L’étude vise dans un premier temps à repérer chez des élèves, sur les quatre années

du collège, le degré de stabilité de certains acquis « disciplinaires ». Elle porte sur le

domaine Mathématiques. Les questions de l’épreuve servant de support à l’étude,

mettent en jeu des savoir-faire et des savoirs de base. Cette sélection opérée par le

groupe de recherche Maths Collège du CEPEC a fait l’objet d’une analyse de

pertinence mais également d’une limitation de faisabilité.

2. Pour chaque collège sollicité pour l’étude, la même épreuve est proposée dans une

classe de chaque niveau (ce qui fait 4 classes) par collège. L’objectif est de relever

des informations pour apprécier dans quelle mesure des élèves de classes de

niveaux différents ont ou non des écarts de réussit es aux divers items proposés

et si il y a écart à l’avantage de qui se produit-i l ? Ainsi nous voulons prendre en

défaut l’hypothèse de continuité des apprentissages sur les quatre années du collège et

questionner le présupposé de progression des acquisitions qui est assez largement

partagée par les acteurs de l’école.

Remarque : Il s’agit ici de prendre la mesure de ce en quoi, plus les élèves

avancent dans leur scolarité obligatoire, plus ils consolident ou non, leur acquis dit

de base.

Enrichissement théorique

Nous faisons l'hypothèse que les informations relevées dans les passations et ce dans

chaque domaine feront apparaître des stagnations voire même des régressions dans les

résultats de la 6° à la 3°. C’est de cette éventualité que découle le deuxième le

deuxième objectif de l’étude. A la lumière des lectures didactiques, de celles de la

psychologie ou des sciences de l’éducation, nous pe nsons qu'il est possible de

dépasser le constat pour :

� Décrire certains des processus de régression et leu rs interactions avec la

« forme » des apprentissages scolaire.

� Envisager des propositions en terme de principes de planification des

apprentissages et de dispositifs d'enseignement et d'accompagnement

différenciés et adaptés visant à éviter ce phénomèn e en se basant sur

l'analyse de ces processus.

Validité des épreuves proposées :

- 7 - En mathématiques, il a été convenu le principe de proposer, sur les mêmes

« objectifs » de prise d’informations, deux « épreuves » différentes pour éviter que

les résultats auxquels nous parviendrons ne courent le risque d’être influencés par

le choix fait de certaines activités particulières: Si pour un même objectif

d’évaluation, deux activités différents dans deux épreuves différentes et avec des

élèves différents révèlent le même constat « statistique », on aura une certaine

légitimité pour tenter une conjecture forte sur la fiabilité du constat dans les mêmes

conditions.

Construction du dispositif de recueil de données

1. Un choix que nous avons arrêté : La passation des épreuves de chacun des domaines

de l’étude est proposée dans différents établissements (voir plus loin). Le traitement des

résultats de chaque épreuve se fait par collège : on compare et on étudie les écarts de

performances entre les différents niveaux du collège.

Remarque : Pourquoi ne pas envisager un traitement des performances en

regroupant tous les élèves de sixième de tous les collèges, …. ainsi de suite ? Une

première passation dans le cadre de la mise au point de l’épreuve finale a montré

qu’un traitement en regroupant les performances des élèves pour même niveau de

classe et pour plusieurs établissements en vue de comparaisons inter niveaux est

peu pertinente au regard de « l’étude de la stabilité des savoirs » que nous

engageons :

� Comparer les résultats obtenus par des élèves de deux collèges différents fait

émerger une variable d’une forte complexité : le profil des élèves accueillis

par chaque collège . Cet aspect s’il n’est pas facile à cerner. Il a, de fait, une

forte incidence sur les résultats de chaque collège. Ainsi dans la pré-

expérimentation que nous avons réalisée, les traitements croisés des résultats

obtenus par plusieurs collèges nous ont conduits à des observations très

fluctuantes en fonction de la sélection des établissements.

� Un traitement qui mêlerait des résultats d’élèves d’un même niveau de classe

dans des établissements différents nécessiterait la prise en compte d’une

multitude de variables comme « la variable prof », « la variable culture

d’évaluation », … Et si cela n’était pas fait, l’interprétation des résultats serait

biaisée par un crible de lecture non affiné. Le faire, dépasse le périmètre que

nous voulons et que nous pouvons donner à l’étude que nous engageons.

2. Avec ces limites nous avons choisi de nous intéresser dans chaque classe aux résultats

de deux grands sous groupes d’élèves

- 8 - � Ceux qui ont un ou deux ans d’avance et ceux qui ont un ou deux ans de

retard : le but est de pouvoir analyser en quoi les observations que l’on fait

pour l’ensemble des élèves concernés par l’étude dans un collège se

retrouvent ou non pour les élèves en avance scolaire ou en retard.

� Les filles et les garçons : en quoi les observations que l’on fait pour

l’ensemble des élèves se retrouvent si on introduit la variable genre.

Remarque : C’est pour cette raison qu’il faut prévoir de collecter les

informations suivantes sur la copie de chaque élève.

Année naissance : ______ Classe : _____ Fille (F) / Garçon (G) : _____

3. Sélection des établissements : Nous avons après diverses hésitations choisi de

proposer la passation dans une variété d’établissements en termes de profils des

élèves accueillis. Mais, pour que le traitement ne soit pas un obstacle du fait des

moyens et des délais dont nous disposons nous faisons le choix d’en limiter le nombre.

Nous avons conscience que, de ce fait, le choix arbitraire des établissements et leur

nombre donnent aux résultats de notre étude un caractère forcément limité.

Remarque : Certes, des contraintes nous conduisent à limiter le nombre

d’établissements et à les choisir sur des catégories empiriques. Mais si, pour des

établissements singuliers (mais non à priori particuliers), objectivement différents,

l’hypothèse de défaut de stabilité des savoirs se vérifie de façon manifeste alors on

a un résultat. Sans en avoir une démonstration statistique au sens strict, nous

avons montré, au moins pour les collèges de l’étude, sa vérification !

4. Le dispositif que nous avons construit doit permettre de dire si OUI ou NON certains

observations relatives à la stabilité des acquis ont une constance sur les divers

établissements concernés et ce dans quelle mesure. Le fait que certaines observations

ne concernent que certains établissements permettra d’affiner l’analyse sur certains des

critères retenus pour décrire les établissements.

La passation de l’épreuve dans une classe spécifique d’un établissement donné, traitée

en tant que telle, permettra d’étudier dans quelle mesure les observations mises en

évidences sur les classes ordinaires de l’établissement se retrouvent pour cette classe

spécifique.

Nous excluons de faire intervenir des variables lié es « à l’enseignant ». Une telle

problématique est beaucoup plus complexe et se situe hors du champ de cette étude qui

a pour but de « repérer » s’il existe un effet du système d’enseignement qui ferait que sur

certains savoir-faire de base les maîtrises des élèves seraient stagnantes voire en

régression de la sixième à la troisième.

- 9 -

Elaboration d’un pré-test d’observation

Dans les trois disciplines, chaque groupe didactique doit se pencher sur la question de la

définition des acquis spécifiques à chaque discipline, qui un statut de « savoirs de base » et

qui sont évaluables au travers de la même épreuve de la sixième à la troisième.

Chaque sous groupe de travail a exploré divers propositions possibles pour répondre à la

question avec la contrainte que le résultat doit se prêter à une évaluation de type « écrit » et ce

sur une durée « limitée ».

Prenant appui sur des travaux et des analyses en didactique dans chacune des disciplines

mais également sur certaines des orientations des textes d’accompagnement des programmes

un choix a été arrêté après diverses mises à l’essai.

Définition d’un cadre d’observation

Dans quels établissements et auprès de combien va-t-on conduire l’étude ? Quelles sont

les conditions de validité de l’échantillon des établissements retenus ? Si ces deux

questions nous ont beaucoup préoccupés au début de notre travail nous avons en parti

résolu le problème par une prise de position méthodologique : Dans le cadre et les

conditions qui sont les nôtres, nous ne nous lançons pas dans la construction d’un

échantillon représentatif des collèges français. Nous optons pour un choix circonstancié.

Nous faisons en sorte que les établissements retenus représentent une variété intuitive et

non exhaustive. Si, sur la base de cette variété construite, nos hypothèses sont vérifiées,

nous auront montré que dans les conditions choisies, ces hypothèses ont du sens.

Résultat partiel du pré-test en mathématique

Le pré-test concerne les classes de sixième, cinqui ème, quatrième et troisième d’un

même établissement : globalisation des résultats à l’épreuve proposée dans les deux classes

« ordinaires » par niveau (n’ont pas été pris en compte dans la passation les élèves de 4ième

AES)

Elèves de niveau Questions du pré-test (����) 6ième 5ième 4ième 3ième

1. Quel nombre faut-il ajouter à 2724 pour obtenir 3627 ? 96% 82% 96% 72%

2. Par combien multiplier 16 pour obtenir 12 ? 24% 28% 21% 24%

3. Calcule de tête : 621 : 3 88% 82% 50% 44%

4. Parmi les figures A, B et C quelles sont celles qui ont même PERIMETRE ?

16% 39% 35% 28%

5. Parmi les figures A, B et C quelles sont celles qui ont même AIRE ?

92% 82% 64% 68%

- 10 - 6. D’après ce graphique, pendant quelle période de leur vie les

filles sont-elles, en moyenne, plus grandes que les garçons du même âge ?

65% 61% 63% 72%

7. Calcule de tête 401 – 259 72% 64% 67% 64%

8. Quatre œufs coûtent 0,88 €. Cinq œufs coûtent 1,10 €. Quel est le prix de 7 œufs ? (donner la démarche de calcul).

64% 50% 57% 60%

9. Trois jours après demain nous serons dimanche. Quel jour sommes nous ?

68% 57% 50% 72%

10. Parmi les trois affirmations suivantes laquelle peut-être déduite du tableau ?

34% 32% 53% 42%

Moyenne des réussites aux 10 questions 61,9 57,7 55,6 54,6

(����) Certaines de ces questions ont été modifiée dans le test final. Au delà des améliorations nécessaires dans la formulation des questions que révèles

certaines réponses d’élèves, les scores de réussite obtenus mais également l’analyse

des feuilles de réponse des élèves semble aller dans le sens de nos hypothèses et des

pistes d’investigation pour la suite de notre travail.

Choix des établissements et des classes

Dans l’état actuel de l’avancement de la recherche la passation proprement dite des épreuves

d’évaluation aura lieu avant Toussaint 2008 dans une classe de chaque niveau et ce dans cinq

établissements différents (un ou deux établissements choisis dans chaque type).

- Collège Centre ville avec second cycle.

- Collège Centre de petite ville « profil positif »

- Collège rural taille moyenne sans problème de recrutement.

- Collège rural à petit effectif (profil d’élèves très hétérogène)

- Collège de type ZEP.

Mise en place d’un protocole de recueil de données

Une épreuve a été élaborée sur les « savoirs » qu’il faudrait sinon renforcer au moins

entretenir sur les quatre années du collège. Cette épreuve se présente sous forme d’un

questionnaire :

• Ce questionnaire est à proposer dans une classe par niveau pour chaque collège

participant (une classe de sixième, une classe de cinquième, une classe de quatrième, une

classe de troisième).

• Il est demandé de proposer ce test dans des classes ordinaires (pas de classe

spécifique comme sixième de consolidation, quatrième alternance, classe européenne, …).

• Le temps à laisser pour la passation ne doit pas dé passer 30 minutes.

- 11 - • Avant la passation merci de lire les consignes de passation à la classe en informant les

élèves sur le fait qu’il ne s’agit pas « d’un test » pour eux mais qu’ils contribuent à une

étude pour laquelle ils seront informés des résultats.

• Il est évidemment important que la passation soit individuelle (sans risque de

communication entre les élèves) et dans un climat favorable à la concentration.

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Présentation de l’étude réalisée en mathématiques Sommaire

I. DISPOSITIF D’EVALUATION A) Choix qui ont conduit à l’élaboration du test B) Test C) Documents d’accompagnement de l’étude : consignes de passation D) Consignes de codage

II. RECUEIL DES RESULTATS

A) Bilan de la mise en œuvre B) Résultats C) Premiers constats

III. ANALYSE DES RESULTATS

A) Repères didactiques pour l’analyse. B) Analyse des résultats.

IV. BILAN ET CONCLUSIONS

A) Régression, stabilité, renforcement … ou fragilité. B) Une grande variété de variables. C) Recommandations et Projections

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I – Dispositif d’évaluation

A. Choix qui ont conduit à l’élaboration du test 1. Un référent de départ.

Le test construit est destiné aux élèves de la classe de 6ème à la classe de 3ème. L’étendue des domaines de

compétence de la discipline mathématiques nous a incités à opérer une mise en priorité des prises

d’informations à faire. Dans un précédant travail le groupe maths du CEPEC stabilisé une liste de

compétences prioritaires dans la formation mathématique d’élèves de troisième d’insertion.

a. Reformuler des informations données par un texte court (type narratif, descriptif, informatif,

argumentatif), dans un dessin, un schéma, un tableau, un graphique.

b. Rédiger quelques phrases, un ou plusieurs paragraphes, pour rendre compte d’un traitement, pour

justifier une affirmation ; dessiner, schématiser pour rendre compte de positions, d’une situation,

d’un traitement (chronologie, espace, procédure)

c. Utiliser et exploiter un document (texte aéré et mobilisant un vocabulaire technique mais limité,

photos, schéma explicite, graphique légendé) pour traiter une question.

d. Utiliser des outils informatiques : logiciels (traitement de texte, tableur, géométriseur) et

environnement (gestion de dossiers, utilisation de clé USB, recherche sur Internet, utilisation de

messagerie…).

e. Communiquer oralement : présentation orale d’une démarche suivie, participation construite à un

débat.

f. Traiter des situations où intervient la monnaie.

g. Utiliser un calendrier, un agenda, un plan de travail, un carnet de bord pour s’organiser et

planifier des tâches.

h. Prendre, interpréter des mesures et les utiliser dans des calculs.

i. Mener avec dextérité des calculs pensés, posés et à la calculatrice, donner spontanément des

ordres de grandeurs, estimer dans un contexte donné une estimation de grandeur (longueur, aire,

contenance, masse, effectif).

j. Traiter une situation concrète de prise de décision sur la base de calculs ou d’enchainements

déductifs.

k. Adopter des attitudes propices au traitement d’une situation problématique.

l. Rechercher de renseignements sur une question en envisageant et en explorant diverses sources

(personne ressource, administration, manuels scolaires, dictionnaire, diverses sources ou supports

disponibles au CDI.

- 14 - 2. Des limites à prendre en compte.

Il nous a semblé impossible dans le cadre de ce travail de reprendre ces priorités, non pas que nous

doutons de leur pertinence, mais pour trois raisons essentielles :

- L’étude porte sur la stabilité des savoirs mathématiques, les priorités ci dessus sont des

compétences auxquelles on souhaite former les élèves en maths (même si certaines ont des

dimensions transversales) mais ne sont pas spécifiquement liées à des savoirs mathématiques.

- L’étude à conduire sur la stabilité, le maintien, la progression des seuils de maîtrises sur les

compétences ci-dessus présente un grand intérêt à nos yeux mais dépasse et de loin les

dimensions de cette étude. La forme des épreuves à construire, l’ampleur des traitements à

engager, la méthodologie à mettre en œuvre nécessitent une durée qui ne nous est pas donnée.

- Enfin, une évaluation de type bilan, visant à identifier, en termes de compétences, la stabilité de

ce que savent faire effectivement les élèves, jusqu’où et dans quelles conditions, suppose que les

élèves aient été formés dans cette perspective. Aujourd’hui, si le terme de compétence est fort

usité avec une grande confusion de sens, le concept, lui est peu en œuvre dans l’enseignement

des mathématiques au collège. Les enseignants pilotent leur organisation des apprentissages

davantage sur des acquisitions de techniques en lien avec les savoirs. Dans ces conditions, si

nous avions construit notre test sur la base des compétences ci-dessus, les résultats seraient

moins exploitables en terme de stabilité des acquis que pour identifier en quoi, ces compétences

se développement, malgré le fait qu’elles ne sont pas spécifiquement visées.

Ainsi, nous avons fait le choix de questions qui sont familières aux élèves et aux enseignants, qui

prennent appui sur des fondamentaux des programmes de collège et mis en avant par les textes du socle

commun (pilier 3) mais en gardant un lien avec certaines des compétences ci-dessus.

3. Les choix que nous avons faits

Tableau présentant la mise « objectifs du test » ; « savoirs en jeu dans le test » ; et « compétences

prioritaires » :

Objectifs du test Savoirs en jeu Questions du

test Compétences

Lire un énoncé pour en déduire les calculs à effectuer

Sens des opérations, suite de calculs.

1 a ; i

Exprimer un rapport entre deux nombres

Concept de rapport ab

ab =× et

0=b Proportionnalité. Quand on multiplie ce n’est pas toujours plus grand !

2 i

Organiser des calculs pour les effectuer plus facilement.

Priorité des calculs, regroupements de termes pour faciliter des calculs, décomposition, retour à la dizaine. .

3 i

- 15 - Distinguer aire et périmètre. Lire un dessin : repérer des grandeurs égales, composer des grandeurs.

Aire et périmètre : dissociation de ces notions de la prégnance des formules. Report de longueurs. Pavage du plan.

4 et 5 a et h

Lire, utiliser et interpréter des informations à partir d’une représentation graphique simple (diagramme en bâtons)

Lecture du diagramme en bâtons en tenant compte des informations sur les axes et du contexte de la question posée.

6 a et c

Traiter une situation de proportionnalité « naturelle ».

Proportionnalité Quatrième proportionnelle Propriétés de linéarité (ici proportionnalité de bon sens).

7 a ; b et f

Traiter et organiser des informations relatives à un ordre donné.

Repérage et déplacement sur l’axe chronologique. Ordre hebdomadaire.

8 b ; c ; g et k

Lire un tableau. Décider de la validité de certaines affirmations. Lire, comparer des nombres.

Traitement de données, sélection d’informations pertinentes dans un tableau. Traduction du sens de certaines informations en lien avec un contexte en évitant de fausses interprétations.

9 c ; j et k

Compléter une représentation d’un objet familier de l’espace.

Parallélépipède rectangle. Patron.

10 b ; c

Les dix questions sont proposées en une seule épreuve. Sa durée de passation ne doit pas dépasser 40

minutes. La forme des questions comme le codage adopté pour les réponses fait référence a été choisi de

façon à ce que l’épreuve se présentant sous la forme des évaluations nationales proposées à l’entrée en

6ème.

4. Notre conception de l’enseignement des mathématiques en appui à nos choix pour la

construction du test :

La finalité de notre discipline est de permettre aux élèves de construire un ensemble de notions, chacune

fortement articulée à d’autres, l’ensemble des acquis étant constitué en réseaux en mémoire de l’élève.

Pour chaque élève, c’est la richesse et la qualité de « la carte personnelle de réseaux notionnels » qu’il

s’est construit qui détermine le palier de compétence qu’il a atteint en mathématiques. La qualité de

compétence d’un élève en mathématique se définit plus par l’étendue des situations problèmes qu’il

est en mesure de traiter à partir d’un nombre limité de savoirs que par la quantité des savoirs qu’il est

en mesure d’exhiber en situations figées d’applications standardisées. De ce fait, dans les activités

d’apprentissage ce qui devrait être premier ce n’est pas la technique mais le sens des notions ou

concepts mobilisés en situations variées et sans formalisation à priori. Apprendre à faire des

mathématiques c’est apprendre à résoudre des problèmes, c’est à dire, c’est donner du temps pour

passer de procédures personnelles à des procédures expertes. Tout forçage, toute centration

obsessionnelle sur l’apprentissage de techniques est contreproductive. Un élève qui a développé « de

l’expérience à faire des mathématiques » par ses apprentissages scolaire est un élève qui a développé

- 16 - le goût pour le défi, qui a appris à accepter de chercher et à ne pas savoir faire tout de suite, qui s’est

forgé des attitudes distanciées par rapport à l’application des mécanismes « magiques » mais

davantage marquées par la prise de recul par rapport aux situations données et une analyse globale et

stratégique.

Les réseaux de concepts sont à construire en progressivité de l’Ecole au Collège. L’essentiel des

concepts utiles à la formation de base reçue dans le cadre de la scolarité obligatoire est limité (cf Dossier

CEPEC N°76 - Quels fondamentaux en mathématiques ?). Ce sont ces fondamentaux qui structurent la

culture mathématique et les compétences sociales et scolaires du pilier 3 du socle commun.

Dans le test que nous avons construit, avec les limites de passation que nous nous sommes donnés en termes de

faisabilité, nous avons cherché à éviter les questions « sèchement » techniques. Chaque questions implique

certains des concepts que nous jugeons fondamentaux et permet de « repérer » chez les élèves des

« indicateurs » classiques liés à des obstacles et des déficits d’acquisitions.

B. Tests

���� Pré-test ���� Test de l’épreuve retenue pour l’étude.

- 17 - Année naissance : ________ Classe : ______ Fille (F) / Garçon (G) : _________

Répondre aux questions et selon, écrire réponse impossible ou encore je ne sais pas 1. Le périmètre du triangle ABC est 123cm.

Quelle est la mesure du côté [BC] ? (les mesures sont en centimètres)

2. Par combien multiplier 10 pour obtenir 6 ?

3. Calcule de tête : 47 - 17 + 13 4. Parmi les figures A, B et C quelles sont celles qui ont même AIRE ? 5. Parmi les figures A, B et C quelles sont celles qui ont même PERIMETRE ?

6. La taille moyenne des jeunes

garçons et des jeunes filles dans une ville est représentée par le graphique ci-contre. D’après ce graphique, pendant quelle période de leur vie les filles sont-elles, en moyenne, plus grandes que les garçons du même âge ?

garçons

filles

32 48

A

B C

Réponse question 4 Réponse question 5

Evolution taille

130

140

150

160

170

180

190

11 12 13 14 15 16 17 18 19

âge

taill

e en

cm

Réponse question 2 :

Réponse question 1 :

Réponse question 3 :

Réponse question 6

A B C

- 18 - 7. Quatre œufs coûtent 0,88 €. Cinq œufs coûtent 1,10 €. Quel est le prix de 7 œufs ? (donner la

démarche de calcul) 8. Trois jours avant hier nous étions mardi. Quel

jour sommes nous ? 9. Le tableau suivant indique la Répartition des

victimes des accidents de la route selon l'âge et la catégorie d'usagers pour l'année 2003

Age Piétons Cyclistes Cyclomotoristes Motocyclistes Usagers de voitures de tourisme

Autres usagers*

12 13 14 15 16 17 18

330 263 234 260 269 223 248

147 165 135 139 111 111 115

49 122 1010 1701 2549 2457 1605

22 23 35 57 136 258 214

247 279 292 396 610 925 1940

24 26 37 27 25 39 59

*Usagers de camionnettes, poids lourds, transports en commun... Parmi les trois affirmations suivantes laquelle peut-être déduite du tableau : Pour répondre entoure 1 seule réponse que tu choisis parmi les 3 proposés ou écris « je ne sais pas ».

a. Les piétons sont plus imprudents que les cyclistes.

b. Ce sont les motocyclistes qui transportent des jeunes de 12ans qui prennent des risques.

c. C’est pour les cyclomotoristes que les victimes augmentent le plus de 12 à 18ans.

10. Voici le patron incomplet d’une

boîte à sucre dessiné 2 fois. Sur les dessins il manque une face. Complète chaque dessin en dessinant la face manquante (utilise le quadrillage).

Réponse question 10 : Elle est à faire sur le dessin, si tu ne sais pas faire ou si tu penses que c’est impossible écrit le ici :

Dessin 1

Dessin 2

Réponse question 9

Réponse question 7 :

Réponse question 8 :

- 19 - Année naissance : ________ Classe : ______ Fille (F) / Garçon (G) : _________

Répondre aux questions et selon, écrire réponse impossible ou encore je ne sais pas 0. J’ai payé 123 € pour l’achat d’un coffret de

CD, d’un lecteur de CD et d’une place de spectacle. Le Coffret coûte 32€, le lecteur 48€. Quel est le prix d’une place de spectacle.

1. Par combien multiplier 16 pour obtenir 12

?

3. Calcule de tête : 87 - 27 + 20 4. Parmi les figures A, B et C quelles sont celles qui ont même aire ? 5. Parmi les figures A, B et C quelles sont celles qui ont même périmètre ?

6. Le graphique donne le pourcentage d’élèves qui fument la cigarette selon l’age de 1985 à 2002.

D’après ce graphique, en quelle année et pour quelle tranche d’âge la consommation de cigarette a plus que doublé par rapport à la période précédente ?

1985 1991 1996 2002

Réponse question 4 Réponse question 5

Réponse question 2 :

Réponse question 1 :

Réponse question 3 :

Réponse question 6 :

A B C

12 – 13 Ans

14 – 15 Ans

16 – 17 - 18 Ans

Pourcentage

20

LEG

EN

DE

- 20 - 7. Léa achète 5 croissants et un pain au chocolat, elle paie 4,65 €. Luc achète 9 croissants et un pain au

chocilat, il paie 7,65 €. Quel est le prix de 2 croissants ? (donner la démarche de calcul). 8. Trois jours après demain nous serons dimanche.

Quel jour sommes nous ? 9. Le tableau suivant indique l’évolution la

consommation moyenne en litres ou en kilogrammes de quelques produits alimentaires en France. 1970 1980 1990 1995 2000 2003 Pain (kg) 80,57 70,64 61,69 58,31 57,64 54,11 Lait frais (litre) 95,24 74,03 66,36 67,68 66,03 60,23 Fromage (kg) 13,81 15,25 16,65 17,64 18,69 17,77 Yaourts (kg) 8,56 8,71 15,87 17,80 19,89 21,36 Sucre (kg) 20,41 14,98 9,76 8,68 6,87 6,86 Eaux minérales (l) 39,90 54,68 89,97 116,65 148,76 160,53

INSEE Parmi les trois affirmations suivantes laquelle peut-être déduite du tableau : Pour répondre entoure la réponse que tu choisis.

d. De 1970 à 2003 les Français ont de moins en moins sucré leur café.

e. De 1970 à 2003 le nombre de vaches laitières en France a augmenté.

f. De 1970 à 2003 la consommation moyenne d’eau minérale en France a été multipliée par 4.

10. Voici le dessin en perspective d’un dé. Sur une face est dessiné�. Sur les 2 autres faces visibles sont

dessinés 1 ou 2 traits. Deux patrons sont donnés, la face avec le � est représentée mais n’a pas la même position. Dessine sur chaque patron, le ou les traits en tenant compte de la disposition des faces par rapport à la face avec le�.

Réponse question 9

Réponse question 7 :

Réponse question 8 :

Réponse question 10 : A faire sur le dessin, si tu ne sais pas faire ou si tu penses que c’est impossible écrit le ici :

Patron 1 Patron 2

�

� �

- 21 -

C. Etude « Stabilité des savoirs » : Mathématiques – Collège Consignes pour les enseignants participants.

Merci d’accepter de faire ce questionnaire aux élèves de votre classe. Le questionnaire a été

construit dans le cadre d’une étude sur la stabilité des savoirs des élèves de la sixième à la

troisième. En sixième, dans divers champs de savoirs mathématiques, les élèves ont des niveaux de

maîtrise. Sur tout le collège ils poursuivent leurs apprentissages sur les champs concernés. Cette

étude vise à repérer comment évoluent les réussites des élèves, aux mêmes questions, sur ces

divers champs.

Le questionnaire a été construit pour une passation légère, aussi nous avons sélectionné certains

champs et limité les questions sur ces champs.

• Ce questionnaire est à proposer dans une classe par niveau pour chaque collège participant (une

classe de sixième, une classe de cinquième, une classe de quatrième, une classe de troisième).

• Il est demandé de proposer ce test dans des classes ordinaires (pas de classe spécifique comme

sixième de consolidation, quatrième alternance, classe européenne, …).

• Le temps à laisser pour la passation ne doit pas dépasser 30 minutes.

• Avant la passation merci de lire les consignes de passation à la classe en informant les élèves sur le

fait qu’il ne s’agit pas « d’un test » pour eux mais qu’ils contribuent à une étude pour laquelle ils

seront informés des résultats.

• Il est évidemment important que la passation soit individuelle (sans risque de communication entre

les élèves) et dans un climat favorable à la concentration.

• Au moment de ramasser les copies s’assurer que chaque élève a bien inscrit sur celle-ci son année de

naissance, le niveau de sa classe (6, 5, 4 ou 3), et a indiqué F s’il est une fille, et G s’il est un garçon.

• Regrouper les paquets de copies des diverses classes ayant passé l’épreuve (sauf pour les classes

spécifiques) en indiquant sur un document récapitulatif :

- Le nom de l’établissement ainsi que :

- Le nom de la personne qui a assuré la collecte des paquets de copies et le nom de

la personne qui assure le lien avec le CEPEC.

- Les coordonnées (nom, adresse, téléphone, adresse électronique) du collège.

- Le nombre de classes par niveau.

- Le nombre total d’élèves du collège.

- Le nom des professeurs de mathématiques des classes ayant participé (ceci afin de les tenir

informés et éventuellement, s’ils le souhaitent, être interviewés dans le cadre de la suite de

l’étude.

- 22 - • Si un établissement décide de faire passer l’épreuve à une classe spécifique (4AES, 3ième d’insertion,

classe spécifique IP, …) le paquet des copies devra être disposé dans une chemise à part des autres

classes avec l’indication du niveau et du type de classe.

• Les enseignants qui souhaitent réaliser la correction des épreuves des élèves de leur classe, peuvent

le faire en utilisant la feuille des codes.

Attention, en aucun cas ce questionnaire, ni dans sa conception, ni dans son contenu, ne vise à

faire des comparaisons entre établissements. Les traitements ne feront pas référence au nom des

établissements participants. Ceux seront cités dans la présentation de l’étude (reconnaissance et

remerciement pour leur participation) sans référence aux résultats.

- 23 -

Message de présentation aux élèves

Tu va répondre à un questionnaire de mathématiques.

� Il n’est pas impossible que certaines questions te paraissent faciles et que d’autres te semblent difficiles. Essaye de réponde avec sérieux mais tu n’as pas à avoir de craintes sur tes résultats à ce test.

� Il n’aura aucune conséquence pour toi. Si tes réponses à certaines questions ne sont pas correctes cela ne signifie pas que « tu n’as pas réussi ce test » ou pire que « tu n’es pas bon en math » !

� En répondant avec sérieux à ce questionnaire tu rends service : le but est de réaliser une étude pour apprécier comment évoluent les réponses des élèves de collège de la 6° à la 3° à diverses questions.

� Ton professeur dans quelques semaines communiquera dans ta classe le résultat de cette étude.

� Le traitement de cette étude n’est pas nominatif. Inutile d’écrire ton nom sur ta feuille mais indique bien ton année de naissance, ta classe et inscrit F si tu es une fille, G si tu es un garçon.

� On te demande de réponde avec le plus grand sérieux mais si tu ne connais pas une réponse, ce n’est pas grave. Ecrivez seulement « je ne sais pas » ou bien « c’est impossible ».

Merci d’avoir accepté cette passation.

- 24 -

D. Epreuve de Mathématiques CODAGE des REPONSES

Signification générale des codes :

- Code 1 : Réponse exacte attendue : formulation attendue, réponse exhaustive, procédure induite par la consigne (l’objectif visé est atteint).

- Code 2 : Autre réponse exacte, formulation moins attendue, réponse partielle mais considérée comme suffisante. - Code 3 : Réponse insuffisante sans élément erroné. - Code 4 : Réponse insuffisante avec des éléments erronés. - Code 5 : Réponse traduisant une mauvaise compréhension de la consigne. - Code 6, 7 ou 8 Erreur intéressante pédagogiquement exploitable. - Code 9 : Autre réponse erronée (objectif non maîtrisé). - Code 0 : Absence de réponse.

Question 1 1 2 Procédure juste mais erreur de calcul 4 Calcul partiel nécessaire 9 0

Question 2 1 6 calcul de l’écart 7 Réponse « impossible » 9 0 Question 3 1 9 0 Question 4 &5 1 9 0

1 6 9 0 Question 6 1 2 Réponse discrète (pour les âges) 6 Réponse « impossible » pour la randonnée. 9 0

Question 7 1 2 Réponse juste et esquisse de raisonnement. 3 Traitement exploitant sans erreur la situation de

proportionnalité mais qui n’aboutit pas à la réponse. 5 Calculs utilisant les données mais sans lien de sens avec la situation. 9 0 Question 8 1 9 0

Question 9 1 5 Réponse qui ne tient pas compte des information du tableau (b) 6 Réponse influencée par des données brutes du tableau et une lecture partielle de la question. 9 0

Question 10 1 2 Les 2 dés sont complétés mais avec une erreur (dé : direction relative des traits sur les 2 faces) 3 Seul un des deux patrons est complété sans erreur. 0

- 25 -

II – Recueil des résultats

A) ORGANISATION DES RESULTATS

Les tests ont été proposés à des élèves de la 6ème à la 3ème dans neuf établissements (pré étude :

4 ; étude 5).

Ce panel d’établissements a été constitué selon les critères de taille de l’établissement et de

son implantation urbaine, périurbaine ou rurale. Ils sont implantés dans cinq académies

différentes.

Certaines séries étant incomplètes, nous avons retenu les résultats de 4 collèges tout en

respectant la typologie de diversité que nous sommes fixés. Les résultats partiels des autres

établissements ont été exploités pour des recherches d’infirmations de diverses hypothèses de

résultats que nous avons formulées lors du traitement et de l’exploitation.

Les résultats par établissement et par niveau de classe ont été saisis.

B) LES RESULTATS

1. Dans le Document 1 nous avons choisi de faire apparaître les résultats par établissement et en

pourcentages pour chaque question et pour chacune des classes.

2. Dans les Document 2 et Document 3 nous avons choisi de donner aux valeurs de ces tableaux

deux schématisations : une en diagrammes en barres, l’autre en graphique d’évolution.

���� La première Document 2 permet de mieux visualiser les questions du test pour lesquelles il y a

ou non stabilité et consolidation des acquis de la sixième à la troisième.

���� La deuxième Document 3 , permet de visualiser de façon plus nette sous forme d’allure de

courbe de résultats à l’ensemble des dix questions des régularités ou non dans la comparaison

de ces allures de courbes entre les divers établissements et pour les divers niveaux de classe.

Les codes utilisés dans le document 1 et 2 :

� ECV : établissement de centre ville.

� ZEP : Etablissement de type ZEP.

� TPER : Très petit établissement en milieu rural.

� EVM : Etablissement en ville moyenne (Moins de 10000 habitants)

- 26 -

DOCUMENT 1

Réussites en pourcentages :

ECV 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SIX 35 3 82 67 39 28 7 46 25 32

CINQ 60 14 67 67 50 17 7 60 50 32

QUAT 70 9 70 67 54 41 6 54 51 48

TROIS 77 25 96 87 32 77 41 58 51 54

ZEP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SIX 19 0 73 61 34 15 3 42 26 15

CINQ 63 0 72 45 45 36 9 31 50 31

QUAT 76 3 84 69 38 50 7 46 53 53

TROIS 42 4 80 90 52 28 4 52 47 80

TPER 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SIX 30 0 61 61 38 30 23 46 46 30

CINQ 72 9 90 81 45 45 0 63 36 36

QUAT 71 19 80 61 33 33 14 76 52 33

TROIS 50 0 81 93 31 50 0 43 37 31

EVM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SIX 41 3 79 44 37 31 6 62 48 48

CINQ 75 0 86 79 37 34 10 55 48 31

QUAT 84 24 92 76 44 72 8 80 88 64

TROIS 96 20 93 86 48 68 17 58 55 72

- 27 -

DOCUMENT 2

Diagrammes en barres des réussites en pourcentages par niveau de classe pour chaque

collège :

ECV : scores par classe et par item

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SIX

CINQ

QUAT

TROIS

EZEP : allure des scores par classe et par question

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SIX

CINQ

QUAT

TROIS

TPER : allure des scores par classe et par question

020406080

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SIX

CINQ

QUAT

TROIS

EZEP : Score par classe et par question

TPER : Score par classe et par question

- 28 -

EVM : scores par classe et par question

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SIX

CINQ

QUAT

TROIS

DOCUMENT 3

Allure des courbes des scores à l’ensemble des dix questions par classe et par établissement :

ECV : scores par classe et par item

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SIX

CINQ

QUAT

TROIS

EZEP : Allure des scores par classe et par question

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SIXCINQQUATTROIS

EZEP : Allure des scores par classe et par question

ECV : Allure des score par classe et par question

- 29 -

TPER : Allure des scores par classe et item

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SIXCINQQUATTROIS

EVM : scores par classe et par item

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

SIX

CINQ

QUAT

TROIS

rapportstabilitmathsite__lw49ctx2zgiphu3mqu3mkcamnr080348_in.doc - 30 -

C) Premiers constats

Le tableau suivant document 6 présente par question et par établissement une description des

résultats obtenus de la sixième à la troisième.

document 6

Résultats par profil d’établissement : prise en compte de réalités sociologiques

Objectif N° Collège ville

moyenne Très petit collège

rural Collège ZEP

Collège « centre ville »

Lire un énoncé pour en déduire les calculs à effectuer :

sens des calculs

1 Pas de régression Gain de 55% de réussite sur 4 ans

Irrégularités de réussites de 6° à 3° Perte de 20% de réussite sur 4 ans

Progression de 6° à 4° Perte de 23% de réussite entre 6° et 3°.

Pas de régression Gain de 42% de réussite de 6° à 3°

Exprimer un rapport entre deux

nombres 2

Irrégularités de réussites de 6° à 3° Gain de 17% de 6° à 3°

Très forte irrégularité de réussites de 6° à 3°. Aucune réussite en 6° et en 3°.

Très faible réussite aux 4 niveaux. Gain de 4% de 6° à 3° : non significatif

Globalement progression de 6° à 3° avec un gai de 22%

Utiliser la priorité des calculs, regrouper de termes pour

faciliter des calculs, décomposer

3 Pas de régression mais progression faible : stabilité

Stabilité globale avec un pic de réussite en 5° année d’étude de la règle en jeu.

Stabilité globale léger pic de réussite en 4° mais non significatif.

Irrégularités de réussites de 6° à 3° mais gain de 29% entre 5° et 3°

4

Stabilité globale entre de 5° à 3° Gain de 42% entre 6° et 3°

Irrégularités de réussites de 6° à 3° mais gain de 32% entre 6° et 3°

Progression de 6° à 3° avec un creux en 5°. Gain de réussite de 29% de 6° à 3°

Egalité de réussite de 6° à 4°, 20% de plus de réussite en 3°

Distinguer aire et périmètre, estimer

une grandeur, comparer. 5

Pas de régression mais progression faible : stabilité

Faibles irrégularités de 6° à 3° avec la plus faible réussite en 3°.

Irrégularités de réussites de 6° à 3°. Gain de 18% de 6° à 3°.

Irrégularités de réussites de 6° à 3°. Plus faible réussite en 3°.

Lire, utiliser et interpréter des informations à

partir d’un diagramme en

bâtons

6

Progression globale de 6° à 3° avec un gain de près de 40% entre (6°/5°) et (4°/3°)

Irrégularités de réussites de 6° à 3° : gain de 20% entre 6° et 3°

Fortes irrégularités de 6° à 3° avec pic de réussite en 4°

Progression globale de 6° à 3° avec gain de 49% de 6° à 3°.

Traiter une situation de

proportionnalité naturelle

7

Ecarts peu significatifs Faible réussite de 6° à 3° : moins de 20%

Irrégularités de 6° à 3°, réussite faible : maxi en 5° (23%) et 0% en 6° et 3°.

Ecarts peu significatifs Faible réussite de 6° à 3° : moins de 10%

Faible réussite de 6° à 4° (moins de 10%). 41% en 3°

Traiter et organiser des données

chronologiques 8

Stabilité globale de 6° à 3° avec un pic de réussite en 4° (80%) soit 20% de mieux

Irrégularités de 6° à 3° : plus faible réussite en 3°

Progression de 6° à 3° avec un creux en 5° (-21% par rapport à 3°)

Progression régulière mais très faible de 6° à 3° (+12% sur 4 ans)).

Lire, utiliser et 9 Relative stabilité Légères irrégularités Réussites à peu Réussites à peu

rapportstabilitmathsite__lw49ctx2zgiphu3mqu3mkcamnr080348_in.doc - 31 -

interpréter des données à partir

d’un tableau

des réussites avec un pic en 4° (+ 33% par rapport à 3°)

sur 4 ans : plus faible en 3° qu’en 6° et 4°.

près stables de 5° à 3° : plus faible en 6° (- 27% par rapport à 4°)

près stables de 5° à 3° : plus faible en 6° (- 26% par rapport à 3°)

Compléter une représentation d’un

objet simple de l’espace

10

Globalement progression de 6° à 3° avec un creux en 5° (-41% par rapport à 3°).

Globalement pas d’écart significatif de 6° à 3°.

Forte progression des réussites réparties de 6° à 3° (+ 65%)

Progression des réussites de (6°/5°) à (4°/3°) : +20% entre les 2 groupes de classes

III – Analyse des résultats

A. Repères didactiques pour l’analyse. N° Objectif Repères

1

Lire un énoncé pour en déduire

les calculs à effectuer : sens

des calculs

Ici, il s’agit d’un énoncé arithmétique d’usage très familier mobilisant le schéma additif. On

connaît certains termes et le tout, il est demandé de déterminé la valeur manquante.

Mathématiquement cela mobilise le schéma soustractif ou la démarche équation même si

celle-ci est peu naturelle dans cet exemple particulier. Ce type d’énoncé engage aussi le

contrat didactique :

- traiter l’énoncé par le sens qu’on lui donne plus que ce qu’on pense être attendu par le

prof.

- se donner progressivement une représentation de la situation, schématiser la situation

- établir des liens avec ses « savoirs »

2 Exprimer un

rapport entre deux nombres

On demande ici à traduire une relation entre deux nombres. Dans des cas élémentaires les

élèves devraient avoir construit, ils commencent à le faire à l’école, un registre de deux

possibles : situation d’écart ou situation de rapport. La première renvoie à la mise en œuvre

de relations additives (addition et soustraction), la deuxième de relations multiplicatives

(multiplication et division). Pour traiter de telles questions de façon générale en

mathématiques on dispose de trois types de stratégies :

- Par le calcul, quand on a conscience des valeurs et des opérations en jeu.

- Par la schématisation et plus formellement par la mise en équation quand on a

conscience des relations en jeu entre les grandeurs sans disposer de toutes les

données.

- Par essais erreurs quand on bloque sur les deux premières éventualités. Dans ce cas

par tâtonnements on peut déterminer une solution ou après quelques essais on peut

prendre conscience d’une possibilité de traitement par calcul ou par équation.

Ici, l’énoncé et les données ont été choisis pour que les trois stratégies soient également

possibles. Mais des obstacles didactiques empêchant un traitement raisonné existent :

- Le premier est lié à la croyance persistance chez bon nombre d’élèves de collège sur

le fait que « quand on multiplie le résultat d’arrivé est plus grand », ce qui est en

rapportstabilitmathsite__lw49ctx2zgiphu3mqu3mkcamnr080348_in.doc - 32 - contradiction avec la consigne même donnée.

- Le deuxième est lié à la construction du concept de proportionnalité qui chez les

élèves reste très marqué par des coefficients passage entiers, difficulté à appréhender

la fraction et même le décimal comme nombre.

- Enfin, ici passer de 16 à 12 nécessite chez l’élève d’avoir un rapport « géologique au

nombre comme entité exprimant la quantité ou la grandeur », c’est à dire que chaque

nombre soit signifiant de grandeur et de composition de grandeurs. C’est le problème

qui est évoqué quand on regrette que les élèves ne connaissent pas leurs tables et ne

sachent pas assez calculer. Est-ce que pour les élèves

���� 16 c’est spontanément 10 + 6 ; 15 + 1 ; 2x8 ; 4x4 ; 32 : 2 ; 1,6 : 0,1 ; …

���� 12 c’est spontanément 10 + 2 ; 20 – 8 ; 6x2 ; 4x3 ; 48 :4 ; 0,12 : 100 ; …

Si tel était le cas, hors de tout savoir spécifique l’élève pourrait trouver aisément

comment passer de 4x4 à 3x4 !

3

Utiliser la priorité des calculs, regrouper de termes pour faciliter des

calculs, décomposer

La question propose une suite de calculs différence suivie d’une somme avec des entiers

inférieurs à 100 dont le premier et deuxième terme comme le deuxième et le troisième sont

en relation additive simple (+60) dans un cas et (+7) dans l’autre. La encore la qualité chez

l’élève de son rapport « géologique au nombre comme entité exprimant la quantité ou la

grandeur » (cf. ci-dessus) sera déterminante sur la réussite produite. Le deuxième

paramètre qui intervient est l’intégration par les élèves des règles dites de priorités des

calculs : conventions dont une impose d’effectuer une suite de sommes et différences de

gauche à droite.

4

Distinguer aire et périmètre, estimer

une grandeur, comparer.

Ces deux questions impliquent les concepts de périmètre et d’aire qui contrairement aux

évidences sont porteurs d’obstacles dans les apprentissages mathématiques.

Le périmètre, par essence est très lié à certains schémas additifs, l’aire à certains schémas

multiplicatifs.

���� Des difficultés chez certains élèves à se représenter ces divers schémas opératoires, à

les distinguer, expliquent des blocages que l’on retrouve sur les concepts de périmètre

et d’aire. En particulier, combien d’élèves (combien d’enseignants de mathématiques !)

distinguent avec des illustrations significatives la multiplication qui correspond à

rapportstabilitmathsite__lw49ctx2zgiphu3mqu3mkcamnr080348_in.doc - 33 -

5

l’addition réitérée et la multiplication qui ni correspond pas ? L’écriture seule ne permet

pas de le décider : 3x4 peut très bien ne pas être 4 + 4 + 4. On comprend bien que

2×π ne renvoie pas à l’addition réitérée … on l’admet plus difficilement pour 3x4.

���� Une autre difficulté que rencontrent les élèves sur ces concepts est due à ce qu’ils sont

des attributs d’un même « objet » : périmètre et aire d’un rectangle. Qui plus est, ces

concepts sont associés pour les élèves à des formules et à des calculs qui systématisés

deviennent très vite des « formalisations magiques » déconnectées des objets qui leur

donnent leur sens. Jusqu’à la fin du collège les enseignants cherchent à convaincre les

élèves que le périmètre c’est la longueur de tout le tour et que l’aire c’est l’étendue de la

surface intérieure. Cette insistance a des effets limités sur la fréquence des erreurs

produite quand il est demandé de calculer le périmètre d’un rectangle : longueur par

largeur !

���� Enfin, un autre élément qui illustre à quel point les concepts de périmètre et d’aire

recèlent d’obstacles cachés par leur fausse apparente simplicité : si on demande à des

adultes de tracer à partir d’un rectangle donné (tracé sur une feuille de papier) un

deuxième rectangle dont le périmètre est beaucoup plus grand que celui du rectangle

donné et son aire beaucoup plus petit, une majorité de personnes ne s’engagent même

pas dans l’activité en prétextant que ce n’est pas possible.

6

Lire, utiliser et interpréter des informations à

partir d’un diagramme en

bâtons

La lecture d’un graphique en barres est moins complexe que celle d’un graphique

d’évolution. Pour le graphique en barres les outils de l’interprétation sont d’usage plus

familiers (comparaison de grandeurs et d’écarts, lectures croisées sur deux axes,

exploitation de légendes) alors que pour les graphiques d’évolution s’ajoutent des notions

complexes (allure du nuage de points, sens de variation, taux d’accroissement, intervalles,

…),

Cet exercice a été choisi pour tester les habiletés de base à lire sur 2 axes en tenant

compte d’une légende et des informations croisant 2 familles de catégories une de 4

éléments l’autre de 3.

7

Traiter une situation de

proportionnalité naturelle

La proportionnalité se situe dans le champ conceptuel des structures multiplicatives :

ensemble des situations dont le traitement implique une ou plusieurs multiplications ou

divisions. Dans un problème classique de proportionnalité trois nombres sont donnés (a, b,

c) et un quatrième (d) est à rechercher. Mais cela ne se fait pas sans obstacles :

���� L’identification pour une situation du fait qu’elle est ou qu’elle n’est pas de

proportionnalité. Confusion entre augmentation et proportionnalité : si ça augmente on

induit l’idée de coefficient multiplicateur … alors qu’il n’y a pas forcément

proportionnalité. Si un des problèmes est que des élèves appliquent les outils de la

proportionnalité dans des situations qui n’en sont pas il ne faut pas sous estimer l’autre

facette.

rapportstabilitmathsite__lw49ctx2zgiphu3mqu3mkcamnr080348_in.doc - 34 -

���� Beaucoup d’erreurs de traitement sont dues à la persistance de la tentation à mobiliser

le modèle additif dans le traitement de situations qui sont de proportionnalité. Les

élèves ont plus de mal à exprimer un rapport entre grandeurs qu’à exprimer un écart…

La question d’une bonne maîtrise des divers schémas opératoires est centrale.

���� Centration excessive sur l’acquisition de techniques de calcul performantes localement

au détriment du sens. De plus l’élève ne relie pas ces techniques entre elles : il dispose

de ce fait d’un un outillage fragmenté peu favorable à la mobilisation réfléchie.

���� Enfin, dans les activités scolaires les propriétés de la linéarité sont trop peu investies

alors que celles-ci sont cohérentes avec le traitement naturel et spontané mis en

œuvre par les enfants avant les apprentissages scolaires. Ainsi des techniques, « de

survie », se substituent au bon sens, qui de se fait ne joue plus son rôle et cela

explique des erreurs grossières sur des situations vues comme simples.

8 Traiter et organiser

des données chronologiques

Le traitement de données chronologiques fournies par un message court et mobilisant un

vocabulaire de position familier n’est pas à proprement parler chose facile si les données

sont référées les unes aux autres. Dans le cas de l’activité proposée, cela nécessite de

schématiser la situation en convoquant un « modèle » ici la droite graduée. Mais encore

faut-il placer un « élément fixe » pour positionner les autres éléments. Cette activité

souligne que les apprentissages sur ce champs sont bien incomplets si on les limites à la

lecture de graduations aussi complexes soient-elles et au placement de points.

9

Lire, utiliser et interpréter des

données à partir d’un tableau

Le tableau à double entrée présente sur 6 périodes des données numériques relatives

à six produits. Les données numériques des diverses périodes sont d’ordres de

grandeurs semblables (contrairement au tableau de l’épreuve de pré test). L’affirmation

à choisir par lecture du tableau nécessite de traduire objectivement les données

numériques au regard de ces affirmations [la consommation a été multipliée par 4] sans

« succomber » aux tentations d’interprétations liées au contexte que seul ne tableau ne

permet pas de valider [les français ont de moins en moins sucré leur café]. Cette

question se réfère à un objectif essentiel de l’enseignement des statistiques au

collège : développer de l’autonomie et une distance critique dans l’exploitation de

données.

10

Compléter une représentation

d’un objet simple de l’espace

Quand on étudie un objet de l'espace à partir d’un patron on utilise une représentation

plane de l'objet (la feuille). L’image mentale qu’on se donne de l’objet réel (l’objet

n’étant pas présent) intervient dans les processus mis en œuvre pour se repérer sur sa

représentation plane. L’objectif de cette question vise à tester chez le caractère

opératoire de l’image mentale de l’objet et de la mise en lien « objet » et

« représentation de l’objet ». Dans une telle situation, si des élèves réussissent en

masse on peut inférer avec peu d’erreurs que le caractère opératoire est atteint, même

rapportstabilitmathsite__lw49ctx2zgiphu3mqu3mkcamnr080348_in.doc - 35 -

si pour chacun des élèves, l’inférence est plus hasardeuse. La non réussite par un

élève, ouvre à une multitude d’hypothèses, l’une étant qu’il a pu ne pas désirer « entrer

vraiment » dans la question posée.

rapportstabilitmathsite__lw49ctx2zgiphu3mqu3mkcamnr080348_in.doc - 36 -

B. Analyse des résultats.

Objectif ANALYSE DES RESULTATS POUR CHACUN DES OBJECTIFS HYPOTHESE D’INTERPRETATION

1

Lire un énoncé pour en déduire les

calculs à effectuer : sens des calculs

On demandait aux élèves de traiter une situation familière

impliquant un schéma additif qu’on peut considérer familier pour

des élèves de collège : a – b – c OU a – (b – c) . Dans

trois des quatre établissements retenus les pics de réussite se

produisent en cinquième ou en quatrième alors qu’en sixième le

taux de réussite varie de 20 à 40%. La réussite atteint 96% en

troisième dans un collège même elle est inférieure ou atteint à

peine 50% en fin de collège dans les autres établissements. Ici

on ne peut pas suspecter une difficulté liée à la situation de

départ, ni aux calculs et valeurs en jeu. C’est bien la maîtrise du

schéma additif impliqué dans la situation qui est en cause.

Il nous semble que les résultats à cette question témoignent que la

centration sur les apprentissages numériques de base en sixième et en

cinquième porte ses fruits. La maîtrise des élèves progresse jusqu’en

quatrième. Mais cette maîtrise est fragile, elle ne semble pas solide. Les

programmes de quatrième et de troisième sont centrés sur le calcul

impliquant de nouvelles écritures numériques (puissances, fractions,

radicaux) et algébriques. De fait, il a une centration forte sur les

techniques, les procédures spécifiques à ces nouvelles formes de calculs

et un déficit d’investissement sur les schémas opératoires sous jacent. Il

ne s’agit pas pour les enseignants de fin de collège de faire des

« problèmes de sixième ». Mais il semble utile de ne pas survaloriser

dans le traitement d’activités les algorithmes de calculs portant les

écritures au détriment des schémas opératoires qui traduisent une

situation. Cette recommandation semble en plus en cohérence avec

l’objectif d’apprendre aux élèves à mettre en équation (objectif qui n’a pas

été ici évalué).

2

Exprimer un rapport entre deux nombres

Cette question est réussie par 2 élèves en sixième sur

l’ensemble des quatre classes retenues pour l’étude. Elle l’est

par un petit nombre en cinquième et, même en quatrième et en

troisième, dans les établissements où la réussite est la

meilleure, elle ne dépasse pas 25%. Le savoir en jeu est le

concept de rapport qui outille les élèves sur « comment passer

Comment expliquer de si faibles scores alors que le savoir sous jacent est

sensé être travaillé dès la sixième et sans ruptures jusqu’en fin de

troisième : en trigonométrie dans le triangle rectangle la relation entre 2

côtés relève de ce schéma : côté opposé = tan(a) x côté adjacent ?

Et c’est sans doute l’origine du problème : les élèves travaillent certains

rapportstabilitmathsite__lw49ctx2zgiphu3mqu3mkcamnr080348_in.doc - 37 -

d’un nombre à un autre par la multiplication ? ». La passation

ayant eu lieu au premier trimestre on peut expliquer la faiblesse

des résultats de sixième par le fait que la multiplication d’un

nombre par une fraction est peut-être abordée plus tard dans

l’année. Mais la faiblesse des résultats sur les niveaux suivants

questionne d’autant que nous avions choisi des valeurs qui

permettaient d’aborder la demande par « bon sens » : passer de

16 à 12 par la multiplication, ici, cela revient à passer de 4x4 à

3x4 … ce qui ouvre des possibilités…

schémas relationnels entre grandeurs (ici celui de rapport) en le figeant

dans des formules et des techniques de « traitement calcul » qu’elles

soient numériques ou algébriques. L’appréhension du schéma relationnel

proprement dit est sous investie. Les apprentissages privilégient

l’entraînement sur la production performante de bonnes réponses.

Disposant de clés pour produire de bonnes réponses, des élèves

n’éprouvent pas, évitent de fait, le besoin de se questionner cognitivement

sur les schémas sous jacents aux techniques. La maîtrise du concept de

proportionnalité liée au concept de rapport s’en trouve affectée comme le

montre le résultat à la question 6.

3

Utiliser la priorité des calculs,

regrouper de termes pour faciliter des

calculs, décomposer

Cette question est l’une des mieux réussie et ce de la sixième à

la troisième :

- de 60 à 82% en sixième.

- De 80 à 96% en troisième.

Même si on peut observer que de 4 à 20% produisent une erreur

au calcul 87 – 27 + 20, seulement 4 élèves sur l’ensemble des

élèves testés ne répondent pas à la question.

Les erreurs sont essentiellement du à une mauvaise application des

règles dites de priorité des calculs. A noter que pour certains élèves il ne

semble pas naturel face à un calcul donné d’utiliser leur connaissance sur

les nombres en jeu pour opérer des décompositions et recompositions :

87 – 27 + 20 en 80 + 7 – 20 – 7 + 20 ou en 60 + 27 – 27 + 20. La

technique de décomposition et recomposition est aborder dans des

apprentissages à priori à l’école et en sixième mais n’est pas sollicitée et

réinvestie dans la pratique au quotidien. Prendre du temps, dans le « feu

des calculs » qui sont à conduire en classe sur les quatre années du

collège de faire verbaliser aux élèves ces traitements qui facilitent la

conduite de certains calculs en calculs pensés semble une nécessité pour

consolider leur consolidation chez les élèves.

rapportstabilitmathsite__lw49ctx2zgiphu3mqu3mkcamnr080348_in.doc - 38 -

4 Comparer des aires,

estimer une grandeur.

Avec quelques irrégularités les résultats progressent de la

sixième (44 à 67%) à la troisième 86 à 90%). Le nombre de non

réponse reste comparable dans tous les établissements

indépendamment du nombre de réussites.

5

Comparer des périmètres, estimer

une grandeur.

Cette question comparable à la précédente mais portant sur le

périmètre et non l’aire est moitié moins réussie. Pour tous les

établissements la réussite en fin de troisième est inférieure à

50%, seul le collège de type ZEP atteint 52% de réussites.

On retrouve ici une difficulté majeure énoncé par les enseignants par « ils

confondent périmètre et aire ». L’approche des longueurs et des aires

commencée à l’école se poursuit au collège. Les programmes préconisent

d’abord des travaux de comparaison, puis un passage à la mesure par le

choix d’un étalon, suivi d.une familiarisation avec certaines unités du

système international. Les difficultés constatées semble indiquer que trop

peu de temps et surtout sur une durée trop courte sont conduites dans les

classes de collège ces activités de comparaison d’aires et de longueurs

avec découpage, report, recollement et recomposition. Tout semble se

passer comme si les apprentissages « sérieux » concernent les activités

de calculs et de mobilisation de formules. Pour expliciter les concepts

d’aire et de périmètre, l’affirmation que le périmètre c’est le pourtour et

l’aire c’est la grandeur de la surface intérieure semble devoir être une

évidence pour celui à qui on la donne à entendre. C’est là qu’est tout le

problème. Nous faisons l’hypothèse que ce sont les à priori, et ce malgré

les recommandations des textes d’accompagnements, qui sont en jeu

dans la progression des apprentissages relatifs aux grandeurs de l’école

jusqu’à la fin du collège, qui produisent les confusions que les élèves

entretiennent sur les concepts de périmètre et d’aire.

6 Lire, utiliser et interpréter des

informations à partir d’un diagramme en

bâtons

Si dans l’absolu, la réussite à cette question augmente en

moyenne de 30% de la sixième à la troisième sont à noter de

inégalités de résultats entre établissements et des irrégularités

de la sixième à la troisième dans un même établissement. En

fin de troisième les réussites se situent dans une fourchette de

On a la des éléments qui laissent penser que les acquis sous jacents sont

fragiles. Répondre à la question « en quelle année et pour quelle tranche

d’âges la consommation de cigarettes a plus que doublé par rapport à la

période précédente » nécessite certes de savoir lire un graphique en

« tuyaux d’orgue » mais aussi que l’élève décrypte la question. La lecture

rapportstabilitmathsite__lw49ctx2zgiphu3mqu3mkcamnr080348_in.doc - 39 -

28 à 77%. de graphique est un élément de l’outillage statistique de l’élève citoyen,

sans doute que cet apprentissage devrait être renforcé. Il faudrait moins

faire des exercices où l’élève complète un « tableau résumé » qui

mobilise tout ce qu’il a appris et produit un graphique conventionnel et

davantage traiter des situations « authentiques » qui appellent après le

traitement une lecture critique.

7

Traiter une situation de proportionnalité

naturelle

En sixième dans un des collèges de l’étude le pourcentage de

réussite est de 23%, dans les autres la réussite est inférieure à

10% En troisième, dans un des collèges de l’étude la réussite

atteint 41% (ce n’est pas celui qui a obtenu 23% en sixième)

pour les autres la réussite s’exprime de 0 à 17%. L’énoncé de

proportionnalité donné a été choisi pour que les élèves puissent

mobiliser diverses démarches, le contexte a été voulu familier.

On a sur cette question des résultats surprenants pour les

concepteurs de l’épreuve d’autant qu’à la question

correspondante du pré test « Quatre œufs coûtent 0,88 €. Cinq

œufs coûtent 1,10 €. Quel est le prix de 7 œufs ? (donner la démarche

de calcul) » les scores moyens de réussite se répartissent de la

sixième à la troisième de la façon suivante : 64% 50%

57% 60%. A noter que sur l’ensemble des solutions

proposées par les élèves de 6ième à 3ième dans les quatre

établissements de l’étude plus de 10% des élèves engagent des

calculs avec les données de l’énoncé mais sans cohérence

(apparente) avec la situation donnée. Les élèves qui proposent

Les erreurs que l’on trouve souvent dans le traitement de la

proportionnalité sont liées à la confusion entre augmentation et

proportionnalité, à l’appel préférentiel à des modèles additifs, à la

mobilisation non maîtrisée de procédures apprises, à la non prise en

compte de l’exigence de cohérence des unités. Ici, si le dernier paramètre

n’était pas en jeu les trois premiers interviennent sur beaucoup de

productions et ce, sans distinction notable de niveau pour les deux

premiers, et davantage en fin de collège pour le troisième. Il semble que

les apprentissages progressifs réalisés de la sixième à la troisième

relativement à la proportionnalité agissent comme des reformatages des

savoirs en mémoire. Tous les outils, naturels, de bon sens, non

explicitement référés à la proportionnalité avant qu’on ait étudié la notion,

sont évacués de la boîte à outils spontanés pour laisser la place à des

techniques « formelles » apprises. Cette régression, puisqu’il s’agit bien

de cela est due à une forme de contrat de l’évaluation scolaire : dans un

devoir l’enseignant attend que l’élève mobilise le dernier savoir appris et

n’ont qu’il traite au mieux une situation. Pour peu que ces nouveaux outils

ne soient que partiellement intégrés, leur mise en œuvre s’avère

rapportstabilitmathsite__lw49ctx2zgiphu3mqu3mkcamnr080348_in.doc - 40 -

une bonne solution rendent compte dans l’ensemble de leur

démarche de façon acceptable : les démarches se répartissent

en quatre grandes catégories : retour à l’unité, calcul d’une

quatrième proportionnelle, utilisation de propriétés de linéarité et

démarches moins formalisées mais correctes. Les démarches

mobilisant le retour à l’unité ou le calcul de la quatrième

proportionnelle sont plus utilisées en 4ième et en 3Ième, alors

qu’avant notamment en sixième des raisonnements moins

formalisés liés à l’intelligence de la situation sont plus fréquents.

Enfin quelques élèves isolés une dizaine sur l’ensemble des 385

concernés par l’étude ont de bonnes intuitions liées au

traitement de la proportionnalité mais n’aboutissent pas à la

solution.

hasardeuse, alors que les outils anciens ne sont plus disponibles. Pour la

proportionnalité mais aussi pour d’autres apprentissages, il convient de

s’assurer que les nouveaux acquis prennent place articulés aux anciens

et que pour la résolution de problèmes tous soient valables dans la

mesure où ils contribuent à un traitement satisfaisant. Si l’on veut que les

élèves mobilisent les nouveaux outils de l’apprentissage, il est de la

responsabilité de l’enseignant de proposer des situations où, seuls ces

nouveaux outils sont pertinents.

8

Traiter et organiser des données

chronologiques

Pour cette question de traitement de données engageant un

repérage chronologie les réussites on peut noter un certain

groupement des résultats de la sixième à la troisième pour

l’ensemble des collèges : de 42 à 62% de réussite en 6ième à 43

à 58% de réussite en 3ième. Le nombre de non réponses est nul

ou très faible à tous les niveaux.

Si on ne peut pas parler de régression à noter que cet objectif de

positionnement chronologique relatif faisant appel à la capacité de

schématisation se développe peu sur les quatre années du collège. Avec

un score de réussite qui ne dépasse pas 60% en fin de troisième, on peut

penser que cet objectif est sous estimé ce qui expliquerait sa stagnation

ou sa très faible consolidation.

9

Lire, utiliser et interpréter des

données à partir d’un tableau

La répartition des réussites à cette question sur les quatre

années sont très différentes d’un établissement à l’autre. En fin

de collège elles se répartissent de 37 à 55 %. Ce qui, peut

apparaître faible au regard du fait qu’en apparence, le

formalisme mathématique et les savoirs spécifiques à la

Le tableau à double entrée, ne présente pas en collège d’obstacle

particulier pour les élèves. L’affirmation à choisir par lecture du tableau

nécessite de traduire objectivement les données numériques au regard

des affirmations proposées. En fait le caractère inégal et dispersé des

réussites aux divers niveaux et dans les divers collèges semble signifier

rapportstabilitmathsite__lw49ctx2zgiphu3mqu3mkcamnr080348_in.doc - 41 -

discipline ne semblent pas intervenir. que les résultats sont indépendants du niveau de classe Faut-il interpréter

cet état de fait comme un signe que l’objectif « Lire, utiliser et interpréter

des données à partir d’un tableau » est peu travaillé par les enseignants

des collèges de l’étude. Ce n’est pas un procès d’intention mais une

hypothèse qui semble étayée par le document d’accompagnement des

programmes relatif à la gestion des données où s’il est affirmé en

préambule « Il s’agit d’une part de continuer1 à initier les élèves de

collège à la lecture, à l’utilisation et à la production de tableaux, de

représentations graphiques » dans les nombreux exemples développés

dans les documents aucune illustration n’est donnée pour les tableaux, un

peu comme si cela allait de soi. Les injonctions à contribuer au

développement de l’esprit critique indispensable dans la vie de tout

citoyen ne sont pas relayées dans les faits comme étant des enjeux des

apprentissages mathématiques.

10

Compléter une représentation d’un

objet simple de l’espace

Sur cet objectif, en fin de collège les réussites, pour les divers

établissements de l’étude, varient de 31 à 80% avec le meilleur

score obtenu par le collège de type ZEP dont le score était le

plus faible en sixième. A noter également que pour le petit

collège en milieu rural les scores sur les quatre années restent

dans la fourchette [30% ; 36%].

Les éléments constatés peuvent difficilement être interprétés, trop de

variables peuvent intervenir, et la dimension du panel de l’étude ne

permet pas des inférences fiables. On peut cependant avancer que sur

cet objectif relatifs à l’utilisation de représentations de l’espace, pour les

élèves testés il y a inégalité, de « maîtrise » en fin de collège mais,

probablement, aussi, inégalité de besoins en cours de collège. Ces

besoins renvoient sans doute au développement des diverses fonctions

de latéralisation et des fonctions visio-spatiales des élèves mais

également à leurs conceptions relatives aux représentations

conventionnelles de l’espace.

- 42 -

IV – BILAN ET CONCLUSIONS

A. Régression, stabilité, renforcement … ou fragili té.

1. Une rupture de vigilance en cours de collège sur les fondamentaux : La consolidation des

apprentissages numériques fondamentaux semble s’opérer en début de collège. La maîtrise des

élèves progresse jusqu’en quatrième. Mais celle-ci est fragile. Les nouveaux apprentissages relatifs

aux calculs numériques sur les puissances, les fractions, les radicaux et aux écritures et traitements

algébriques semble se faire au détriment de ces fondamentaux. La centration sur les procédures

spécifiques à ces nouvelles formes de calculs, avec le présupposé de l’acquisition des fondamentaux,

délaisse le nécessaire réinvestissement de ces fondamentaux. De plus, dans ces nouveaux

apprentissages, la part qui est faite aux techniques de calculs, occulte une réflexion sur les schémas

opératoires sous jacents qui sont une permanence avec les fondamentaux. Il nous semble qu’il a un

effet de cloisonnement avec un déficit de réinvestissements croisés « ancien et nouveau ».

2. Un déficit de prise en compte de « état de savoir » notionnel des élèves au profit de la maîtrise

de procédures. Les faibles scores sur les activités relatives à la mise en œuvre du concept de

rapport, au traitement d’une situation ouverte de proportionnalité, à la distinction entre périmètre et

aire semblent indiquer, qu’alors que ces savoirs sont au cœur des programmes dès la sixième à la fin

de troisième, les acquis des élèves restent fragiles en fin de collège. Pour la proportionnalité comme

pour l’appréhension des concepts de périmètre et d’aire, les apprentissages mathématiques semblent

avoir pour effet de s’installer en inhibant les démarches naturelles et de bon sens pré-acquis sans

remettre en cause les préconceptions obstacles. N’y a-t-il pas là le signe, que pour prendre en compte

l’hétérogénéité des groupes d’élèves les enseignants sont tentés de privilégier dans les

apprentissages l’entraînement sur la production performante de bonnes réponses, entraînement

centré sur les techniques, au détriment le la construction en mémoire de réseaux de sens entre

concepts.

3. Une hiérarchie implicite des priorités de ce qui est à enseigner établie par les enseignants dans

préconisations des programmes. Les résultats à la question 6 relative à la lecture de graphique

comme à la question 9 relative à la lecture de tableau alors que l’importance de ces deux objectifs est

soulignée par les commentaires des programmes montrent que ces apprentissages sont très

inégalement assurés. Dans les propos des enseignants interviewés, les priorités qu’ils expriment

spontanément, traduise une sous considération de ces objectifs. La priorité des priorités déclarée est

une bonne maîtrise des calculs numériques et algébrique ainsi qu’une capacité à organiser un

enchaînement déductif simple avec une mobilisation adéquate d’un vocabulaire spécifique de base et

enfin l’acquisition des premières connaissances sur les fonctions. En creux, de cette expression de

priorités se trouve tout ce qui renvoie aux savoirs, démarches et attitudes associées aux domaines des

- 43 - statistiques. Cela semble révéler que pour beaucoup d’enseignants de collège, les apprentissages

statistiques sont « moins mathématiques » que le reste et que les vrais maths à enseigner avec les

« obstacles les plus forts à surmonter sont du côté du calcul algébrique (développement,

factorisation, résolution d’équations), du calcul numérique (écritures fractionnaires, radicaux,

scientifiques, …), calculs trigonométriques et raisonnement géométriques. De ce fait, en statistiques,

on définit quelques notions : fréquences, moyenne, médiane, étendue, … on les fait fonctionner sur

des exemples, on familiarise les élèves à des résumés sous forme de tableaux, mais sans véritables

enjeux centraux de formation à « la prise de recul critique et objective » et à l’éducation civique et

sociale. D’un point de vue didactique, cette position pose d’autres problèmes que nous développons

au point suivant.

4. La survalorisation des apprentissages numériques, algébriques et géométriques indique une

orientation de l’enseignement des mathématiques en collège vers des activités qui privilégient des

procédures techniques et qui de fait se prêtent à des activités « papier crayon ». D’autres formes

d’activités qui appellent de la collecte d’informations, de l’analyse de documents, des choix mises en

formes d’informations et de schématisation, d’analyses critiques et de débats sur des modes de

représentations et de pistes d’interprétations restent en marge de la matrice de ce qu’est « faire des

maths ».

5. En conclusion il nous semble que cette étude ne permet pas de confirmer l’hypothèse de régression

des certains des acquis des élèves de la sixième à la troisième. On peut même affirmer que dans

quelques cas il y a progression des réussites. Mais l’élément saillant de l’étude est une consolidation

limitée des acquis des élèves en fin de troisième : de la sixième à la troisième, au moins six objectifs

sur dix ne sont réussis que par une part faible ou très moyenne des élèves, alors qu’ils peuvent être

réussis par des élèves des classes précédentes dont de sixième. Enfin les résultats de 7 questions au

moins sur 10 montrent des irrégularités de réussites de la sixième à la troisième. Cela semble révéler

une grande fragilité des acquis.

B. Une grande diversité de variables

Nous avons introduit dans notre étude, la variable type d’établissements. L’état des résultats bruts prête à

penser que celle-ci a des incidences manifestes sur les résultats de l’enquête. Mais sur les inférences que

l’on pourrait faire, nous avons choisi la prudence. En effet, il est incontestable que les réalités

sociologiques de la population accueillie dans les divers établissements sont très différentes et dépend de

la zone d’implantation du collège. D’autre part il existe une corrélation entre le rapport à l’école et aux

savoirs des enfants et des jeunes et le lieu d’implantation du collège d’accueil. Ce sont là des

informations de nature sociologique avec leurs irrégularités certes, mais fiables. Mais l’implantation du

collège n’est pas la seule variable qui conditionne le rapport au savoir ; d’autres interviennent nous en

- 44 - citerons deux : sa culture pédagogique et son projet. Des élèves qui ont de forte attentes par rapport à

l’école et des élèves qui n’en attendent rien, cohabitent dans tous les collèges mais sans doute avec des

proportions différentes ; et dans un même collège ils sont répartis dans diverses classes mais là encore

pas avec la même proportion. Ces éléments définissent d’autres variables, qui influent sur la réussite au

test proposé sans que ces écarts de réussite puissent être interprétés avec la problématique de la stabilité

des savoirs. Nous nous autorisons deux remarques dans ce champ.

a. On peut indiquer les bons scores en fin de collège relativement aux autres collèges des élèves du

collège type ZEP aux questions 7 (schématisation et repérage chronologique) et 10 (traitement

de représentations de l’espace). Dans ce même collège les questions liées à la notion de rapport,

à l’interprétation d’un graphique et au traitement de la proportionnalité ont des scores de réussite

très faibles.

b. Les résultats de l’établissement de type très petit collège rural est caractérisé par une irrégularité

des réussites de la sixième à la troisième mais également par leur caractère moyen de celles-ci.

Cela s’explique sans doute par le recrutement très limité de ce type d’établissement mais

également par les attentes de ces jeunes par à une école qui sans doute pour eux a un

fonctionnement trop académique et ce malgré les efforts faits par les équipes en place.

C. Recommandations et Projections

• Questionner régulièrement sur le fond de ce qui est à comprendre pour tenter d’amener

les élèves à une meilleure perception de l’essentiel… : ne pas surestimer la centration sur

les techniques, mais favoriser la schématisation de situations, la verbalisation par les

élèves.

• Privilégier des situations-problèmes qui amènent de nouvelles notions en même temps

qu’elles mobilisent le plus possible à la fois les savoirs antérieurs et les

fondamentaux… S’assurer que l’ancien reste actif, mobilisable avec le bon sens comme

outil de choix !

• Travailler sur les liens entre les savoirs, faire verbaliser ces articulations, les faire

fonctionner dans divers activités.

• Entrer par le complexe sans craindre de déstabiliser, pour amener à réviser les

perceptions, repérer, trier, sélectionner… mais aussi représenter, schématiser qui

sont souvent des « occasions » d’activités mais qui deviennent rarement des intentions et

encore plus rarement des objectifs.