1. ExAME NAcioNAl do ENsiNo sEcuNdrio Decreto-Lei n. 74/2004, de 26 de MaroProva Escrita de Matemtica A12. Ano de EscolaridadeProva 635/1. Fase15 PginasDurao da Prova: 150 minutos. Tolerncia: 30 minutos.2011VERSO 2 Prova 635.V2 Pgina 1/ 15

2. Pgina em branco -Prova 635.V2 Pgina 2/ 15 3. Na folha de respostas, indique de forma legvel a verso da prova. A ausncia dessa indicao implica aclassificao com zero pontos das respostas aos itens do Grupo I.Utilize apenas caneta ou esferogrfica de tinta indelvel, azul ou preta, excepto nas respostas que impliquema elaborao de construes, de desenhos ou de outras representaes, que podem ser, primeiramente,elaborados a lpis, sendo, a seguir, passados a tinta.Utilize a rgua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora grfica sempre que for necessrio.No permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar de forma inequvoca aquilo que pretendeque no seja classificado.Escreva de forma legvel a numerao dos grupos e dos itens, bem como as respectivas respostas. Asrespostas ilegveis ou que no possam ser identificadas so classificadas com zero pontos.Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item,apenas classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.Para responder aos itens de escolha mltipla, escreva, na folha de respostas: o nmero do item; a letra que identifica a nica opo escolhida.No apresente clculos, nem justificaes.A prova inclui, na pgina 4, um Formulrio.As cotaes dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.Prova 635.V2 Pgina 3/ 15 4. FormulrioComprimento de um arco de circunferncia Probabilidadesa r (a amplitude, em radianos, do ngulo ao = p1 x1 + f + p n x n centro; r raio ) =p 1 _x1 i2 + f + p n _x n i2 Se X N _, i, ento:reas de figuras planasP_ 1 X 1 + i . 0,6827 Diagonal maior # Diagonal menor P_ 2 1 X 1 + 2 i . 0,9545losango:2P_ 3 1 X 1 + 3 i . 0,9973Trapzio: Base maior + Base menor # Altura 2 Regras de derivaoPolgono regular: Semipermetro Aptema _u + v il = u l + v l2sector circular: ar2_u $ v il = u l $ v + u $ v l(a amplitude, em radianos, do ngulo ao u l ul $ v u $ vl av k = v2 centro; r raio) _un il = n $ un 1 $ u l _n ! R ireas de superfcies _sen u il = u l $ cos urea lateral de um cone: p r g _cos u il = u l $ sen uul(r raio da base; g geratriz )_ tg u il = cos2 urea de uma superfcie esfrica: 4 p r 2 _eu il = u l $ eu(r raio ) _au il = u l $ au $ ln a _a ! R + #1 -i ul _ln u il = uVolumes ulPirmide: 1 # rea da base # Altura_loga u il = u ln a _a ! R + #1 -i3$cone: 1 # rea da base # Altura3 Limites notveisEsfera: 4 pr 3 _r - raio i3 n lim c1 + 1 m = enTrigonometrialim sen x = 1 x"0xsen (a + b) = sena . cosb + senb . cosa lim e 1 = 1xcos (a + b) = cosa . cosb - sena . senbx"0xtg a + tg btg (a + b) =ln _x + 1i 1 tg a $ tg b lim =1 x"0xComplexoslim ln x = 0 x "+3 x n_ cis i = n cis _n i xlim e p = + 3 _ p ! R i x "+3xn cis = n cis c + 2k m, k ! #0, f, n 1 - nProva 635.V2 Pgina 4/ 15 5. GRUPO INa resposta a cada um dos itens deste grupo, seleccione a nica opo correcta.Escreva, na folha de respostas: o nmero do item; a letra que identifica a nica opo escolhida.No apresente clculos, nem justificaes.1. Seja W o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria. Sejam A e B dois acontecimentos (A W e B W ) independentes, com P(A) 0 Qual das afirmaes seguintes necessariamente verdadeira? ( ) (A) P A + P B = 1 ( ) ( ) (B) P B | A = P B ( ) ( ) ( ) (C) P A P B (D) P (A B ) = P (A) + P (B )2. O cdigo de um auto-rdio constitudo por uma sequncia de quatro algarismos. Por exemplo, 0137 Quantos desses cdigos tm dois e s dois algarismos iguais a 7 ? (A) 810 (B) 600 (C) 486 (D) 432 Prova 635.V2 Pgina 5/ 15 6. 3. Na Figura 1, est representada, num referencial o. n. xOy , parte do grfico de uma funo g , de domnio A 3, + 37yg OxFigura 1 A recta de equao y = 2x - 4 assimptota do grfico de g Qual das afirmaes seguintes verdadeira? (A) lim _g (x ) 2 x + 4i = 0 x "+3 (B) limx =2 x "+3g _x i (C) lim _g (x ) 2 x 4i = 0 x "+3 (D) lim _g (x ) 2 x i = 0 x "+34. Seja f uma funo de domnio 70, + 37 , definida porZx]2 9se 0 # x 1 5] f ^x h = [] 1 ex]se x $ 5 x Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a existncia de, pelo menos, um zero da funo f ? (A) A0, 17 (B) A6, 77 (C) A4, 67 (D) A1, 47Prova 635.V2 Pgina 6/ 15 7. 1 x 5. Qual o valor de lim sen2 ? 2 x 0 x 2 (A) 4 (B) 0 (C) 1 4 (D) 1 26. Na Figura 2, est representada, num referencial o. n. xOy , parte do grfico de uma funo polinomial f de grau 3, de domnio yf-2 O 25 x Figura 2 Sabe-se que: -2, 2 e 5 so zeros de f f representa a funo derivada de f Qual das afirmaes seguintes verdadeira? (A) f (0) f (6) < 0 (B) f (3) f (6) < 0 (C) f (3) f (0) > 0 (D) f (0) f (6) = 0Prova 635.V2 Pgina 7/ 15 8. 7. Na Figura 3, esto representadas, no plano complexo, as imagens geomtricas de quatro nmeros complexos z 1 , z 2 , z 3 e z 4 Im(z )z2z3Oz1Re(z )z4Figura 3 Qual o nmero complexo que, com n , pode ser igual a i4n + i 4n + 1 + i 4n + 2 ? (A) z 4 (B) z 3 (C) z 2 (D) z 1Prova 635.V2 Pgina 8/ 15 9. 8. Na Figura 4, est representado, no plano complexo, a sombreado, um sector circular. Sabe-se que: o ponto A est situado no 1. quadrante; o ponto B est situado no 4. quadrante; [AB ] um dos lados de um polgono regular cujos vrtices so as imagens geomtricas das razes dep ndice 5 do complexo 32 cis 2 o arco AB est contido na circunferncia de centro na origem do referencial e raio igual a OA Im(z ) A O Re(z ) BFigura 4 Qual dos nmeros seguintes o valor da rea do sector circular AOB ? 8p (A)5 2p (B)5 p (C) 5 4p (D)5Prova 635.V2 Pgina 9/ 15 10. GRUPO IINa resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os clculos que tiver de efectuar e todas asjustificaes necessrias.Ateno: quando, para um resultado, no pedida a aproximao, apresente sempre o valor exacto.1. Em , conjunto dos nmeros complexos, considere n p z1 = 1 , z 2 = 5 ie z 3 = cis , n 40 Resolva os dois itens seguintes sem recorrer calculadora. 1.1. O complexo z 1 raiz do polinmio z 3 z 2 + 16z 16Determine, em , as restantes razes do polinmio.Apresente as razes obtidas na forma trigonomtrica. 1.2. Determine o menor valor de n natural para o qual a imagem geomtrica de z 2 z 3 , no planocomplexo, est no terceiro quadrante e pertence bissectriz dos quadrantes mpares.2. Uma companhia area vende bilhetes a baixo custo exclusivamente para viagens cujos destinos sejam Berlim ou Paris. 2.1. Nove jovens decidem ir a Berlim e escolhem essa companhia area. Cada jovem paga o bilhete comcarto multibanco, ou no, independentemente da forma de pagamento utilizada pelos outros jovens.Considere que a probabilidade de um jovem utilizar carto multibanco, para pagar o seu bilhete, igual a 0,6.Determine a probabilidade de exactamente 6 desses jovens utilizarem carto multibanco parapagarem o seu bilhete.Apresente o resultado com arredondamento s centsimas. 2.2. A companhia area constatou que, quando o destino Berlim, 5% dos seus passageiros perdem ovoo e que, quando o destino Paris, 92% dos passageiros seguem viagem. Sabe-se que 30% dosbilhetes a baixo custo que a companhia area vende tm por destino Berlim.Determine a probabilidade de um passageiro, que comprou um bilhete a baixo custo nessa companhiaarea, perder o voo.Apresente o resultado na forma de dzima.Prova 635.V2 Pgina 10/ 15 11. 3. Seja W o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria, e sejam A e B dois acontecimentos (A e B ) , com P (A) 01 P (B ) Mostre que P (B | A) 1 P (A)4. Num museu, a temperatura ambiente em graus centgrados, t horas aps as zero horas do dia 1 de Abril de 2010, dada, aproximadamente, por T _ t i = 15 + 0,1 t 2e 0,15t, com t ! 70, 20 A Determine o instante em que a temperatura atingiu o valor mximo recorrendo a mtodos exclusivamente analticos. Apresente o resultado em horas e minutos, apresentando os minutos arredondados s unidades. Se utilizar a calculadora em eventuais clculos numricos, sempre que proceder a arredondamentos, use trs casas decimais. 3se x < 1x 15. Considere a funo f , de domnio , definida por f (x ) = 2 + ln x se x 1 x 5.1. O grfico de f admite uma assimptota horizontal.Seja P o ponto de interseco dessa assimptota com a recta tangente ao grfico de f no ponto deabcissa e.Determine as coordenadas do ponto P recorrendo a mtodos exclusivamente analticos. 5.2. Existem dois pontos no grfico de f cujas ordenadas so o cubo das abcissas.Determine as coordenadas desses pontos recorrendo calculadora grfica.Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o grfico da funo ou os grficos das funes que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; assinalar esses pontos; indicar as coordenadas desses pontos com arredondamento s centsimas.Prova 635.V2 Pgina 11/ 15 12. 6. Na Figura 5, est representada, num referencial o. n. xOy, parte do grfico da funo f , de domnio , definida por f (x ) = 4 cos(2x ) Sabe-se que: os vrtices A e D do trapzio [ABCD ] pertencem ao eixo Ox o vrtice B do trapzio [ABCD ] pertence ao eixo Oy o vrtice D do trapzio [ABCD ] tem abcissa - p 6 os pontos A e C pertencem ao grfico de f a recta CD paralela ao eixo Oyyf CB D OA x Figura 5 Resolva os dois itens seguintes recorrendo a mtodos exclusivamente analticos. 6.1. Determine o valor exacto da rea do trapzio [ABCD] 6.2. Seja f a primeira derivada da funo f , e seja f ll a segunda derivada da funo fMostre que f _x i + f l_x i + f ll_x i = 4 a3 cos _2x i + 2 sen _2x ik , para qualquer nmero real xProva 635.V2 Pgina 12/ 15 13. 7. Na Figura 6, est representada, num referencial o. n. xOy , parte do grfico da funo g yg Ox Figura 6 Sabe-se que: g uma funo contnua em g no tem zeros a segunda derivada, f ll, de uma certa funo f tem domnio e definida por f ll_x i = g _x i # _x 2 5x + 4i f (1) # f (4) 2 0 Apenas uma das opes seguintes pode representar a funo fI IIy yO 14 xO1 4 xIIIIV yyO 14x O1 4x Elabore uma composio na qual: indique a opo que pode representar f apresente as razes que o levam a rejeitar as restantes opesApresente trs razes, uma por cada grfico rejeitado.FIMProva 635.V2 Pgina 13/ 15 14. Pgina em branco -Prova 635.V2 Pgina 14/ 15 15. COTAESGRUPO I................................................................(8 5 pontos) ........................40 pontos40 pontos GRUPO II1. 1.1. .................................................................................................. 15 pontos 1.2. .................................................................................................. 15 pontos2. 2.1. .................................................................................................. 10 pontos 2.2. .................................................................................................. 15 pontos3. ........................................................................................................... 15 pontos4. ........................................................................................................... 15 pontos5. 5.1. .................................................................................................. 20 pontos 5.2. .................................................................................................. 15 pontos6. 6.1. .................................................................................................. 15 pontos 6.2. .................................................................................................. 10 pontos7. ........................................................................................................... 15 pontos 160 pontos TOTAL ......................................... 200 pontos Prova 635.V2 Pgina 15/ 15