examen enero_2012

Logica y Computabilidad (2o de Ing. Tecnica de Sistemas) (24-Enero-2012)

Nombre y Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

UTILIZA SOLO ESTE FOLIO PARA LA RESPUESTA

Ejercicio 1.– [1,5 puntos] Usa tableros para decidir si es cierta la siguiente afirmacion:

{(p→ q) ∨ (q → p)→ r → s} |= ¬s ∧ p ∧ q → ¬r

El examen continua en el dorso ↪→

Ejercicio 2.– [1,5 puntos] Aplicando resolucion lineal, demuestra que la siguiente formula esuna tautologıa.

(p ∧ q → r ∨ s)→ ¬(r ↔ s) ∨ (r ∧ s) ∨ ¬(¬r → p ∧ q)




Ejercicio 3.– [1,5 puntos] Disponemos de cuatro vasos dispuestos en fila y dos bolas que seintroducen en dos de los vasos. El juego consiste en acertar en cual de los vasos contiene unabola. Utilizando el lenguaje {V1, V2, V3, V4}, donde Vi denota el hecho de que el i-esimo vasode la fila contiene una bola, se pide:

1. Formaliza las siguientes afirmaciones:

F1 : Solo hay dos bolas contenidas en los vasos.

F2 : No existen dos vasos adyacentes que contengan bolas.

F3 : Si el primer vaso tiene bola, el tercero no.

F4 : Si el segundo o el tercer vaso no contienen bolas entonces el primero contiene una.

2. Usando un metodo de razonamiento formal sobre las formulas {F1, F2, F3, F4}decidir si es posible determinar a partir de la informacion expresada por {F1, F2, F3, F4}en que vasos se encuentran las bolas.

Razonese formalmente la respuesta.


Ejercicio 4.– [1.5 ptos.] Responder razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. Encontrar un numero n que, como numero de Godel, tenga longitud 2 y verifique

U1(0, n− 1) 6= U1(1, n− 1).

2. Sea P un programa que calcula la funcion sucesor, S(x) = x+ 1.

¿Se cumple que ¬STEP(x,#(P ), x)?

3. Sea f(x, y) = (µz)[y · z = x].

(a) Escribe un programa GOTO que calcule f (pueden usarse macros).

(b) Calcula f(36, 5) y determina el dominio de f .




Ejercicio 5.– [2.5 ptos.] Respondase a las siguientes cuestiones:

1. Disenar un programa GOTO, con un maximo de 12 lıneas (solo se permiten macros parala asignacion, GOTO L, el producto y los predicados = y <), que calcule el predicado

θ(x1, x2, x3) ≡ “x3 divide a algun elemento del intervalo [x1, x2]”

2. Probar que el siguiente predicado es GOTO-computable:

θ(x, y) ≡ “en el intervalo [x, x2] no hay ningun divisor primo de y”


Ejercicio 6.– [1.5 ptos] De los dos siguientes conjuntos, uno es GOTO–computable y el otrono:

A = {](P ) : existen dos instrucciones etiquetadas consecutivas},

B = {](P ) : [[P ]] es total y ∀x ([[P ]](x) ≥ x}.

1. Para el conjunto que sea GOTO–computable, demuestra que lo es.

2. Para el conjunto que no sea GOTO–computable, demuestra que no lo es.

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