24/09/2011

Máster en teoría y aplicación práctica del método de los elementos finitos

UNED

Examen Septiembre 2011

Análisis Estático de una Taza de Café

Descripción del problema:

Calcular las tensiones que aparecen en una taza cuando ésta se llena de un

líquido como puede ser café. Chequear los valores obtenidos con un cálculo

grosero hecho a mano aplicando la fórmula “Hoop Stress” para cilindros de

pared delgada.

Datos:

Dimensiones:

Espesor: 1/8 in

Material:

● Módulo de Young: 4.7E+05 psi

● Coeficiente de Poisson: 0.333

● Densidad del Café 0.0362 lbf/in^3

Procedimiento de pre-proceso, solver y post proceso

1. Generación del fichero base de datos:

Con el comando File/New/ se genera una nueva base de datos cuyos model Preferences serán

un análisis estatico en código MD Nastran,como se muestra en la siguiente imagen.

Como trabajaremos en unidades inglesas, verifico que en Preferences/Geometry el geometry

Scale Factor este en pulgadas (inches).

2. Generación del modelo geométrico:

Al trabajar con una superficie de revolución lo primero que debemos crear es un sistema de

coordenadas cilíndrico (coord1) con el siguiente menú y parámetros

Debido a que los datos geométricos que tenemos corresponden a la geometría externa de la

taza y vamos a simular el modelo con superficies aplicando el espesor en las propiedades de

los elementos, debemos modelar la superficie media del espesor de la taza a continuación se

muestra un esquema de la geometría que se va a crear partiendo de los datos del problema.

A través del menú Geometry/Create/Curve/Point y las siguientes coordenadas en coordenadas

cilíndricas pto1=[0,0,0.0625] pto2=[0.6875,0,0.0625] pto3=[1.3125,0,3.5] se crea la geometría

media del espesor de la taza, como se observa en la siguiente imagen

0,0625

0,6875

1,3125

3,5

0,0625

Definida las líneas del contorno de una sección de la taza podemos generar 1/8 de la superficie

media del espesor de la taza con la operación de revolución como se ve en la siguiente imagen,

Ya que la taza de café solo se llenará de café hasta una altura de 3in usamos un plano a esa

altura para cortar la superficie anterior y de esta manera poder aplicar luego la presión

hidrostática hasta esta altura. El modelo finalmente queda como se aprecia en la siguiente

figura.

3. Generación del mallado:

Todas las superficies se han mallado con el mallador Isomesh con elementos 2D Quad4 y un

global length edge = 0.075, ya que las condiciones de contorno se van a crear con respecto al

sistema coordinado cilíndrico “coord1”, los elementos también deberán ser referidos con este

mismo sistema a través del “Node Coordinate frame” y seleccionar coord1 para el Analysis

coordinate Frame y para el Refer. Coordinate Frame. Obteniendo la siguiente malla de 861

elementos y 964 nodos

Como hemos mallado tres superficies, los bordes de estas superficies tendrán nodos

coincidentes y las mismas no estarán conectadas para verificar esto y unirlos elementos de las

mismas, eliminando los nodos coincidentes usamos la herramienta Elements/Equivalence,

como se puede apreciar en la siguiente imagen.

4. Propiedades del material:

Las propiedades del material se crean con el menú Material/Create/Isotropic/Manual Input

donde introducimos el modulo de Young y el modulo de Poisson, para el modelo constitutivo

del material se uso elástico lineal. Los parámetros introducidos se pueden ver en la siguiente

imagen.

5. Aplicación de las propiedades:

Las propiedades del modelo se aplicaron a las superficies geométricas. Se usaron propiedades

2D tipo Shell con opción de espesor de 0.125 in. En la siguiente imagen se puede ver los

parámetros utilizados en las propiedades de los elementos.

6. Condiciones de contorno

Se ha restringido el movimiento de la superficie del fondo de la taza en la dirección Z del

sistema R,T,Z.

Debido a que solo estamos modelando 1/8 de la taza debemos restringir los bordes donde

debería haber material para simularlo.

Las condiciones de contorno para simular la simetría del modelo se aplicaron de la siguiente

forma.

Se restringe la traslación en T y las rotaciones en el eje R y Z, como se aprecia en la siguiente

figura

Como ya se señalo anteriormente estas condiciones de contorno se aplicaron a los bordes de

las superficies donde debería continuar el material de la taza, en nuestro caso las líneas en

naranja de la figura anterior.

Finalmente nuestro modelo queda restringido como se ve en la siguiente figura.

7. Cargas:

La carga a la que está sometida la taza, es la presión hidrostática producida por la columna de

líquido con una altura de 3 in. Esta presión obedece a una ley lineal dependiente de la altura Z,

por lo que para simularla será necesario crear un campo de carga.

Esto se crea a través del menú Field, donde crearemos una función escalar de la ecuación

P=ƿ.g.h

Pero como la densidad ya viene dada por lbf/in^3 nos queda P= ƿ.h=0.0362*Z.

Ya que vamos a utilizar como sistema de ejes coordenados el coord1 ubicado en el [0,0,0], la

función que vamos a definir será: 0.0362*(3-Z)

Una vez creado el Field ya podemos aplicar la carga a las dos superficies afectadas por la

presión con el menú Load

A continuación podemos ver un plot de la presión sobre las paredes de la taza

8. Resolución del problema:

Antes de lanzar el solver verificamos que todas las condiciones de contorno estén aplicadas en

el caso de carga que vamos a resolver.

Ahora ya podemos lanzar la simulación en el menú Analysis, donde elegimos como Solution

type Linear Static, le damos un Nombre al job name , elegimos Entire model Full run y apply.

Después de que Nastran haya terminado de calcular, acedemos a los resultados con Access

Results/ Attach XDB / Result Entities y seleccionamos en Select Results file, el archivo .xdb que

acaba de generar el programa.

9. Resultados tensiones y deformaciones:

Para observar los resultados tanto de tensiones como deformaciones usamos el menú Results.

Tensiones:

Para visualizar las tensiones utilizaremos la herramienta Fringe. Como hemos hecho los

cálculos con un sistema cilíndrico(coord1) debemos transformar los resultados a ese sistema

para observar las tensiones circunferenciales (Hoop Stress) según T’, para ellos usamos el

menú plot options donde seleccionaremos el coord1 como se observa en la siguiente figura:

A continuación volvemos a “Select Result” y seleccionamos “Stress Tensor” para el fringr result

y “Y Component” para visualizar las tensiones circunferenciales (Hoop Stress)

Obteniendo los siguientes resultados para el Hoop stress

En la figura anterior se puede observar que la mayor tensión circunferencial tiene un valor de

0,547 psi, a una altura aproximada de 0,661 in del fondo de la taza.

Deformaciones:

Para observar las deformaciones utilizaremos el “Quick Plot” con la siguiente configuración:

Donde se puede observar que la mayor deformación es de 1,46e-6 in y ocurre en la zona

media de la taza a una altura de 1,47in del fondo.

10. Cálculo a mano aplicando la fórmula de Hoop Stress para cilindros de pared delgada que

permite convalidar los resultados obtenidos por el programa

La ecuación que define las tensiones circunferenciales en un tubo de pared delgada (Hoop

Stress) es la siguiente

Donde:

P: Presión interna=0,0362x3=0,1086 psi

t: espesor de la pared=1/8=0,125 in

r: radio interior= ¾-1/8=0,625 in

: Hoop Stress

Con lo que se puede comprobar que el resultado de nuestro modelo es correcto.

Conclusiones:

Como se pudo comprobar en el apartado anterior, mediante la ecuación del Hoop Stress

nuestro modelo de elementos finitos da resultados acorde con lo esperado por lo que esta

convalidado.

Como conclusión se puede extraer la importancia del uso de la simetría en los modelos de

elementos finitos, gracias a ella se puedo construir un modelo que con 1/8 de los elementos

de un modelo completo se consigue la solución. La principal ventaja es el ahorro en tiempo de

computación así como una mayor simplicidad en la creación del modelo, con el único precio de

que se debe tener mucho cuidado en los BC de las fronteras que sustituyen al modelo

completo.