Universidad Publica de El Alto Carrera de Ingeniera Civil

Primer Semestre 2014 La Paz - Bolivia.

Docente: Dr. Mario os Chavez Gordillo PhD.

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30 puntos

Primer Examen Parcial de Ecuaciones Diferenciales Jueves 22 de Mayo del 2014

C.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Paterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Materno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(4 puntos) Ecuacion Diferencial Homogenea. Resolver la ecuacion(x3 + y2

x2 + y2

)dx xy

x2 + y2dy = 0.

SOLUCION.- Se trata de una ecuacion homogenea, todos los terminos tienen el mismo grado.

Hacemos el cambio de variables y = ux en esta ecuacion. Como y = u x + u, sustituyendotenemos:

y =x3 + y2

x2 + y2

xyx2 + y2

u x+ u =x3 + (ux)2

x2 + (ux)2

x(ux)x2 + (ux)2

=x3 + u2x2

x2 + u2x2

x2ux2 + u2x2

u x =1 + u2

1 + u2

u1 + u2

u = 1 + u21 + u2 u21 + u2u1 + u2

xdu

dx=

1

u1 + u2

Separando de variables y Integrando respecto a x tenemos u1 + u2 du =

1

xdx, por tanto

2

3

(1 +

u2)3/2

= ln x+ C, de aqu la solucion es dada por2

3

(1 +

y2

x2

)3/2= ln x+ C.

(5 puntos) Ecuacion Diferencial Exacta. Determine el valor de b , para el cual la ecuacion difer-encial (xy2 + bx2y)dx + (x + y)x2dy = 0 es exacta y determine la solucion para este valor deb.

SOLUCION.- Aqu tenemos M(x, y) = xy2 + bx2y y N(x, y) = x3 + yx2. La condicion para quela ecuacion diferencial sea exacta es:

M(x, y)

y= 2xy + bx2 = 3x2 + 2xy =

N(x, y)

x

De donde b = 3.

Integremos M(x, y) con respecto a x:

f(x, y) =

M(x, y) dx+ C(y)

=

(xy2 + 3x2y) dx+ C(y)

=x2

2y2 + 3

x3

3y + C(y)

Derivando respecto a yf(x, y)

y= x2y + x3 + C (y)

Igualando a N(x, y)

x2y + x3 + C (y) =f(x, y)

y= N(x, y) = x3 + yx2

Despejando C (y) se obtiene C (y) = 0, integrando este resultado respecto a y se tiene que C(y) =C0. Sustituyendo en f(x, y) obtenemos

f(x, y) =1

2x2y2 + x3y + C0

En consecuencia, una familia uniparametrica de soluciones es f(x, y) = C1, la cual puede escribirse

1

2x2y2 + x3y = C

(4 puntos) Mediante un factor integrante adecuado resuelva las siguiente ecuacion diferencial

(6x2y2 4y4)dx+ (2x3y 4xy3)dy = 0.SOLUCION.- En este caso M = 6x2y2 4y4 y N = 2x3y 4xy3, entonces

N

x M

y= 6x2y 4y3 12x2y + 16y3 = 6x2y + 12y3 = 6y

(x2 2y2

)

Por otro lado N = 2x3y 4xy3 = 2xy(x2 2y2

), entonces

M

y N

x

N=

6y(x2 2y2

)2xy

(x2 2y2

) = 3x=

(x)

(x)

luego

ln((x)) =

(x)

(x)dx =

3

xdx = 3 lnx = ln x3 de aqu (x) = x3.

Multiplicando la ecuacion diferencial por x3 obtenemos la ecuacion diferencial exacta

(6x5y2 4x3y4) dx+ (2x6y 4x4y3) dy = 0.

Usando el metodo descrito tenemos

f

x= 6x5y2 4x3y4,

entonces

f(x, y) =

(6x5y2 4x3y4) dx+ C(y) = x6y2 x4y4 + C(y)

f

y= 2x6y 4x4y3 + C (y) = 2x6y 4x4y3

de aqu C (y) = 0, C(y) = C y la solucion es, por tanto,

f(x, y) = x6y2 x4y4 + C = 0.

(5 puntos) Resuelva la ecuacion diferencial lineal

x = x ln 2 + 2sen t(cos t 1) ln 2

SOLUCION. Recordemos que la ecuacion lineal

y + a(x) y = b(x) (1)

tiene por solucion a:

y = exp

(a(x) dx

) (b(x) exp

(a(x) dx

)dx + C

). (2)

Nuestra ecuacion es una lienal, en efecto esta puede escribirse como

x (ln 2)x = 2sen t(cos t 1) ln 2aqu a(t) = ln 2 y b(t) = 2sen t(cos t 1) ln 2. Aplicando (2) para resolverla obtenemos:

x = exp

(ln 2 dt

) (2sen t(cos t 1) ln 2 exp

(

ln 2 dt

)dt + C

)

= e t ln 2(

2sen t(cos t 1) ln 2 et ln 2 dt + C)

= 2 t(

2sen t(cos t 1)(ln 2) 2t dt + C)

= 2 t(ln 2

2sen tt(cos t 1)dt + C

)u = sen t tdu = (cos t 1)dt

= 2 t(ln 2

2udu + C

)= 2 t

(ln 2

2u

ln 2+ C

)= 2 t (2u + C)

= 2 t (2sen tt + C) = 2sen t + 2 tC.

(4 puntos) Consideremos la ecuacion de Riccati y + P (x)y + Q(x)y2 = f(x) y yp(x) es unade sus soluciones particulares. Demuestre que si y = y(x) es cualesquiera de las soluciones de laecuacion de Riccati, entonces z = y yp es una solucion de la Ecuacion de Bernoulli z +

[P (x) +

2yQ(x)]z Q(x)z2 = 0.

SOLUCION.-

z +[P (x) + 2yQ(x)

]z Q(x)z2 =

= (y yp) +[P (x) + 2yQ(x)

](y yp)Q(x)(y yp)2

= y yp + P (x)y + 2y2Q(x) P (x)yp 2yQ(x)yp Q(x)y2 + 2yypQ(x)Q(x)y2p= y + P (x)y + y2Q(x) yp P (x)yp Q(x)y2p = f(x) f(x) = 0

(8 puntos) Use ecuaciones diferenciales para resolver este problema. Cuando unapoblacion llega a ser demasiado numerosa, aparecen restricciones del medio en forma de limita-ciones de espacio, de recursos, etc. , que haran disminuir la tasa de crecimiento o, incluso, que laharan negativa provocando que la poblacion disminuya. Es mas realista suponer que el medio solopuede sostener de manera estable un maximo K de poblacion (la capacidad de soporte del medio),de modo que si x(t) es el tamano de una poblacion en el momento t entonces es razonable suponerque la razon de crecimiento x(t) sea proporcional conjuntamente tanto a la poblacion misma x(t)como a la cantidad faltante para llegar a la maxima poblacion sustentable K x(t). (a) Escribey resuelve la ecuacion diferencial correspondiente cuando la poblacion inicial es x(0) = x0. (b)Encuentre e interprete lm

tx(t). (c) Obtenga conclusiones a partir de los siguientes supuestos: (i)

x0 = K, (ii) 0 < x0 < K, (iii) x0 > K.

SOLUCION. Obteniendo de este modo la ecuacion diferencial con valor inicial{x = rx(K x)x(0) = x0

(3)

Factorizando el segundo miembro de la ecuacion por K la ecuacion logstica se escribe

x = r0x(1 x

K

)(4)

con r0 = rK. La constante r0 se llama tasa intrnseca de crecimiento de la poblacion.

La ecuacion diferencial logstica (4) es con variables separadas y su solucion a partir de la condicioninicial x(0) = x0 > 0, es la funcion

x(t) =K

1 +

(K

x0 1

)er0t

(5)

conocida en la literatura como curva logstica

Conclusiones del modelo. Estudiamos algunas de las caractersticas de la curva (5).

Empecemos haciendo un analisis respecto de la ubicacion de las condiciones iniciales.

Si x0 = K, entonces es x(t) = K para t 0, es decir el tamano de la poblacion permanececonstante. En este caso se dice que K es el tamano de equilibrio de la poblacion

Si 0 < x0 < K, de la ecuacion logstica y de la continuidad de x(t) (x(t) es positivo en algunavecindad de 0), resulta que x(t) > 0 para t > 0, y consecuentemente x(t) es creciente parat > 0, por lo tanto el tamano de la poblacion aumentara con el tiempo.

Si x0 > K, es te caso no tiene sentido en nuestro estudio.

Observemos ahora que el punto de equilibrio K es uno que atrae a las demas soluciones (equilibrioatractor) que pasan a traves de x0 para cada x0 > 0, puesto que en este caso lm

tx(t) = K.

Consecuentemente, independientemente de cual sea el tamano inicial de la poblacion su tamanose aproximara al valor de equilibrio K.

Por favor, coloque el inicial del apellido paterno en el cuadro. Que tengas exito.