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Patterns in Shape

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Examples of Tasks from CCSS Edition Course 1, Unit 6

Getting Started The tasks below are selected with the intent of presenting key ideas and skills. Not every answer is complete, so that teachers can still assign these questions and expect students to finish the tasks. If you are working with your student on homework, please use these solutions with the intention of increasing student understanding and independence. A list of questions to use as you work together, prepared in English and Spanish, is available. Encourage students to refer to their class notes and Math Toolkit entries for assistance. Comments in red type are not part of the solution.

As you read these selected homework tasks and solutions, you will notice that some very sophisticated communication skills are expected. Students develop these over time. This is the standard for which to strive. See Research on Communication.

The Geometry and Trigonometry page might help you follow the conceptual development of the ideas you see in these examples.

Main Mathematical Goals for Unit 6 Upon completion of this unit, students should be able to:

• recognize and classify common two- and three-dimensional shapes. (reconocer y clasificar formas de dos y tres dimensiones comunes.)

• visualize and represent two- and three-dimensional shapes. (visualizar y representar formas de dos y tres dimensiones.)

• analyze and apply properties of polygons and polyhedra. (analizar y aplicar las propiedades de los polígonos y poliedros.)

• use rigid transformations to verify SSS, SAS, ASA conditions for congruence of triangles and use these conditions in solving problems. (usar transformaciones rígidas para verificar condiciones de SSS, SAS, ASA para la congruencia de triángulos y usar estas condiciones para resolver ecuaciones.)

• establish properties of shapes by careful reasoning from definitions and given or assumed facts. (establecer las propiedades de las formas por razonamiento cuidadoso de las definiciones y hechos dados o supuestos.)

What Solutions are Available? Lesson 1: Investigation 1—Applications Task 1 (p. 383), Connections Task 14 (p. 389)

Investigation 2—Applications Task 4 (p. 384), Applications Task 6 (p. 385), Review Task 37 (p. 397), Review Task 38 (p. 397) Investigation 3—Applications Task 8 (p. 386), Connections Task 18 (p. 391), Reflections Task 25 (p. 393) Investigation 4—Applications Task 11 (p. 388), Connections Task 20 (p. 392)

Lesson 2: Investigation 1—Applications Task 1 (p. 412), Applications Task 3 (p. 413), Connections Task 11 (p. 417) Investigation 2—Applications Task 6 (p. 414), Extensions Task 24 (p. 420) Investigation 3—Connections Task 16 (p. 419), Review Task 32 (p. 423), Review Task 33 (p. 423)

http://www.wmich.edu/cpmp/parentresource3/questions.html

http://www.wmich.edu/cpmp/parentresource3/questions-s.html

http://www.wmich.edu/cpmp/parentresource3/researchoncommunication.html

http://www.wmich.edu/cpmp/parentresource3/geometrystrand.html

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Lesson 3: Investigation 1—Applications Task 1 (p. 443), Connections Task 11 (p. 446), Review Task 29 (p. 454) Investigation 2—Applications Task 4 (p. 444), Connections Task 12 (p. 447), Extensions Task 23 (p. 452) Investigation 3—Connections Task 14 (p. 449), Review Task 31 (p. 454)

Selected Homework Tasks and Expected Solutions (These solutions are for tasks in the CCSS Edition book.

For homework tasks in books with earlier copyright dates, see Helping with Homework.)

Lesson 1, Investigation 1, Applications Task 1 (p. 383) a. Students have learned about the Triangle Inequality Theorem, so they know that the sum of the

lengths of any two sides of a triangle must be greater than the length of the third side. (Los estudiantes han aprendido sobre el teorema de los triángulos desiguales, entonces ya saben que la suma de las longitudes de cualquier dos lados de un triángulo tiene que ser más larga que la longitud del tercer lado.)

The only triangle that can be built has sides of length 12 cm, 12 cm, and 5 cm. It is an isosceles triangle. A triangle cannot be built using lengths 5 cm, 5 cm, and 12 cm since 5 + 5 = 10, which is less than 12. (El único triángulo que podría ser construido tiene lados de longitud a 12cm, 12cm, y 5cm. Es un triángulo isósceles. Un triángulo no puede ser construido usando las longitudes de 5cm, 5cm, y 12 cm dado que 5 + 5 = 10, que es menos de 12.).

b. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

c. The definition of a kite can be found on page R7 in the glossary to help with this task. (Consulte la página R7 en el glosario para la definición de “kite”.)

To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

d. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 1, Investigation 1, Connections Task 14 (p. 389) a. The definition of a rigid shape can be found on page R13 in the glossary to help with this task.

(Consulte la página R13 en el glosario para la definición de una forma rígida.)


b. Using 2 braces is the fewest number needed to make the linkage rigid. (Usando 2 abrazaderas es el número menos grande que se necesita para hacer la conexión rígida.)

http://www.wmich.edu/cpmp/parentresource3/helpingwithhomework.html

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c. 3 braces; 5 braces. There are many different choices for the placement of the braces; in every case, the linkage is triangulated. (3 abrazaderas; 5 abrazaderas. Hay muchas opciones diferentes para la colocación de las abrazaderas; en cada caso, la conexión es triangulado.)


Lesson 1, Investigation 2, Applications Task 4 (p. 384) In this task, it can be helpful if students draw a sketch of the new triangle rPQR so they can visualize the measurements on the new triangle. Students will need to recall the ways that they can be assured that they have congruent triangles. See student notes for the Summarize the Mathematics Part a (p. 373) or student Math Toolkits. (En esta tarea, se puede ayudar si los estudiantes pueden dibujar un dibujo del nuevo triángulo rPQR para visualizar las medidas en el nuevo triángulo. Los estudiantes deben recordar las meneras de saber si tienen triángulos congruentes.)

a. Sufficient by the SAS congruence condition (Suficiente por la condición de congruencia SAS)

b–e. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 1, Investigation 2, Applications Task 6 (p. 385) Students are learning to reason with congruent triangles, so one of the strategies they should be trying to use is getting a pair of triangles congruent so they can conclude that corresponding angles or sides are congruent. The questions in Applications Task 6 are designed to help students think hard about how they can use congruent triangles. (Los estudiantes están aprendiendo razonar con triángulos congruentes, entonces una de las estrategias que deben usar es de obtener un par de triángulos congruentes para concluir que los ángulos correspondientes o lados son congruentes. Las preguntas en “Applications Task 6” son diseñadas para ayudar a los estudiantes pensar bien en como pueden usar triángulos congruentes.)

a. Since BA = BC, we know that truss (rABC) is an isosceles triangle, thus base angles ∠A and ∠C are congruent. rADJ ! rCGH by the SAS congruence condition. So, DJ and GH must be the same length since they are corresponding parts of congruent triangles. (Dado que BA = BC, sabemos que el “truss” (rABC) es un triángulo isósceles, entonces los ángulos de base ∠A y ∠C son congruentes. rADJ ! rCGH por la condición de congruencia de SAS. Entonces, DJ y GH tienen que ser de la misma longitud dado que son partes correspondientes de los triángulos congruentes.

b–d. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 1, Investigation 2, Review Task 37 (p. 397) a. –25

b. 22

c–e. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

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Lesson 1, Investigation 2, Review Task 38 (p. 397) If students are having difficulty writing these in simplest form, ask them to think of a perfect square that divides evenly into the number under the square root (radical) sign. If they can rewrite the number under the radical sign as the product where one of the factors is a perfect square, then they can take the square root of the perfect square factor. (Si los estudiantes estén teniendo dificultad en escribir esto en la forma más simple, les pida pensar en un cuadro perfecto que divide uniformemente en el número debajo del signo de la raíz cuadrada (radical). Si pueden reescribir el número bajo del signo radical como el producto donde uno de los factores es un cuadro perfecto, entonces pueden tomar la raíz cuadrada del factor cuadrado perfecto.)

a, d–f. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

b. Rewrite as 4 11 . Take the square root of 4 and your answer is 2 11 . (Reescriba como 4 11 . Toma la raíz cuadrada de 4 y la respuesta es 2 11 .)

c. Combine them together first. (Combinelos primero).


Lesson 1, Investigation 3, Applications Task 8 (p. 386)

a.

b. Step 1 of the algorithm assures that BX = BY. Step 2 of the algorithm assures that XD = YD. Of course, BD = BD. So by the SSS congruence condition, rBXD ! rBYD. Thus, ∠XBD ! ∠YBD, and so BD

! "!! bisects ∠XBY. Another name for ∠XBY is ∠ABC, so BD

! "!! bisects ∠ABC.

(El primer paso del algoritmo asegura de que BX = BY. El segundo paso asegura de que XD = YD. Por supuesto, BD = BD. Entonces, por la condición de congruencia de SSS, rBXD ! rBYD. Así que, ∠XBD ! ∠YBD, y luego BD

! "!! biseca ∠XBY. Otro nombre para ∠XBY es ∠ABC, entonces BD

! "!! biseca

∠ABC.) The algorithms here and using the carpenter’s square are essentially the same. You position the

carpenter’s square so that BX = BY and XD = YD. Then connect the vertex B to the vertex of the carpenter’s square to find the angle bisector.

(Los algoritmos aquí y usando el cuadro de carpintero son basicamente iguales. Ponga el cuadro de carpintero en la posición de que BX = BY y XD = YD. Luego conectar el vértice B al vértice del cuadro de carpintero para encontrar el ángulo bisectriz.)

c. Yes, there is nothing about the algorithm that limits its use to acute angles. (Sí, no hay nada de los algoritmos que delimita su uso a ángulos agudos.)

d–e. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

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Lesson 1, Investigation 3, Connections Task 18 (p. 391) a, b, d. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

c. In this unit, a parallelogram has been defined as a quadrilateral with opposite sides the same length. In this task, students will show that opposite sides of a parallelogram must also be parallel. This task provides an example of indirect reasoning that is often employed by lawyers. This particular kind of argument involves proof by “elimination.” Here there are only two possibilities: either is parallel to , or it not parallel to . The case that is not parallel to leads to a contradiction and so can be eliminated. The remaining case, is parallel to must be true. (En esta unidad, un paralelogramo se defina como un cuadrilátero con los lados opuestos de la misma longitud. En esta tarea, los estudiantes mostrarán que los lados opuestos de un paralelogramo tienen que ser paralelos también. Esta tarea ofrece un ejemplo de razonamiento indirecto que se usan los abogados. Este tipo de argumento involucra la prueba por “eliminación.” Aquí sólo hay dos posibilidades: es paralela a , o no es paralela a . El caso que no es paralela a lleva a una contradiccíon, por lo que puede ser eliminada. El caso que queda, es paralela a tiene que ser cierto.)


Lesson 1, Investigation 3, Reflections Task 25 (p. 393) Why are opposite angles of a rhombus congruent? (¿Por qué son congruentes los ángulos opuestos de un rombo congruente?


Are both pairs of opposite angles of a kite congruent? (¿Los dos pares de ángulos opuestos en una cometa son congruentes?

The definition of a kite can be found on page R7 in the glossary to help with this task. (Consulte la página R7 en el glosario para la definición de “kite”.)

In a kite, both pairs of opposite angles may not be congruent. Students might observe that many different kites ABCD can be formed using rABD as one part; simply choose C as any point on the perpendicular bisector of DB , below DB . ∠C does not have to be congruent to ∠A.

(En una cometa, los dos pares de ángulos opuestos no tienen que ser congruentes. Los estudiantes podrían observar que muchas diferentes cometas, ABCD, podrían ser formadas usando rABD como una parte; simplemente escoja C como cualquier punto en la bisectriz perpendicular de , debajo de . ∠C no tiene que ser congruente con ∠A.)

Lesson 1, Investigation 4, Applications Task 11 (p. 388) This kind of application of fairly simple mathematics, which gives a surprising result, encourages students to think of mathematics as a useful subject, not confined to classrooms and homework assignments. (Este tipo de aplicación de matemáticas simple, que da una resulta sorprendente, anima a los estudiantes pensar en las matemáticas como una materia útil, no limitado a los salones de clases y la tarea.)

a. The buckling will occur so that the middle of the 220-foot rail is under the highest point of the buckle. (El derrumbe pasará cuando la mitad de la vía de 220 pies está debajo del punto más alto del derrumbe.)

b. It is important for students to make conjectures. It doesn’t matter that the conjecture is incorrect; what matters is that students check their conjectures using mathematics that makes sense to them. There is

DB DB

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much more ownership in the result when students conjecture first. (Es importante que los estudiantes hagan conjeturas. No importa que la conjetura sea correcta; lo que importa es que los estudiantes checan sus conjeturas usando las matemáticas que entienden.)

c. There are two figures that are approximately right-angle triangles in the sketch. We know that one side of the triangle measures 110 feet, or 1,320 inches. The hypotenuse of the triangle measures 1,320.6 inches. Using the Pythagorean Theorem, (1,320.6)2 = 1,3202 + h2, so h = 39.8 inches. (Hay dos figuras que son aproximadamente triángulos del ángulo recto en el dibujo. Sabemos que un lado del triángulo mide 110 pies, o 1,320 pulgadas. La hipotenusa del triángulo mide 1,320.6 pulgadas. Usando la teoría de Pítagoras, (1,320.6)2 = 1,3202 + h2, entonces h = 39.8 pulgadas.)

d. Since the railing is curved, the straight line from end to middle actually would be less than 1,320.6 inches. Our estimate of the height of the buckle is more than the actual value. Even if it were only half our estimate, a gym bag would easily fit under it! (Dado que la barandilla está curvada, la línea recta desde el final al centro sería menos de 1,320.6 pulgadas. Nuestra estimación del derrumbe es más que el valor actual. Aun si el valor fuera la mitad de nuestra estimación, una bolsa del gimnasio cabería bien debajo de eso!)

e. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 1, Investigation 4, Connections Task 20 (p. 392) This task draws on data analysis ideas developed in Units 1, 2, and 3. The data in the table will vary some because students are asked to measure, not calculate, these lengths. (Esta tarea toma ideas del analisís de datos desarrollado en las unidades 1, 2, y 3. Los datos en la tabla pueden variar porque los estudiantes deben medir, no calcular, las longitudes.)

a.

b. The linear model shown at the right should be approximately y = 1.4x. (El modelo lineal a la derecha debe ser y = 1.4x aproximadamente.)

i. The slope (1.4) gives the approximate ratio of diagonal to side length. It also means that for every 1-cm increase in side length, the diagonal length increases by 1.4 cm. (La pendiente de (1,4) da la relación aproximada del diagonal al lado de la longitud. También significa que por cada aumento de 1 cm de la longitud, la longitud diagonal aumenta por alrededor de 1,4 cm.)

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ii. The y-intercept is (0, 0). Side length of a square must be a positive number. (El intercepto del eje y es (0, 0). La longitud del lado de un cuadro tiene que ser un número positivo.)

c. Yes, the plot appears to be linear. Students can draw in the line that best fits the points, or use the linear regression line from their calculators. (Sí, el gráfico parece ser lineal. Los estudiantes pueden dibujar la línea que va mejor con los puntos, o utilizar la línea de regresión lineal de sus calculadoras.)

d–e. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 2, Investigation 1, Applications Task 1 (p. 412) a. In the first investigation of Lesson 2, students learned the definition of a regular polygon: a polygon

in which all sides are congruent and all angles are congruent. Use this information to get rAED rABC, then you can say that by corresponding parts of congruent triangles are congruent. (En la primera investigación de la lección 2, los estudiatnes aprendieron la definición de un polígono regular: un polígono en donde todos los lados son congruentes y todos los ángulos son congruentes. Use la información para obtener rAED rABC, luego se puede decir que por las partes correspondientes de tríangulos congruentes son congruentes).



Hint: Use a similar argument as in Part a to get rBCD ! rAED. (Pista: Utilice un argumento similar como en la parte a para obtener rBCD ! rAED.)

c. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

d. Yes; reasoning to be completed by the student. (Sí, el razonamiento debe ser completado por el estudiante.)

Lesson 2, Investigation 1, Applications Task 3 (p. 413) a. Listed here is the answer to Diatom C. Find the reflection and rotational symmetries for Diatoms A,

B, and D. A sketch may be helpful. (Aquí está la respuesta a diatomea C. Busque las simetrías de reflexión y rotación para diatomeas A, B y D. Un dibujo puede ser útil.)

Diatom C: reflection symmetry (4 lines) rotational symmetry (90˚, 180˚, 270˚)


c. i. The snowflakes all have 6 symmetry lines and have rotational symmetry of (60˚, 120˚, 180˚, 240˚, 300˚). (Todos los copos de nieve tienen 6 líneas de simetría y tienen simetría de rotación de (60˚, 120˚, 180˚, 240˚, 300˚).)

ii. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

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Lesson 2, Investigation 1, Connections Task 11 (p. 417) Some students need a reminder that equations for vertical lines start with “x =,” instead of “y =.” Vertical lines have no horizontal change in “x,” so “x” always has the same value. (Algunos de los estudiantes necesitan una notificación de que las ecuaciones de líneas verticales empiezan con “x =,” en vez de “y =.” Líneas verticales no tienen ningún cambio horizontal en “x,” así que “x” siempre tiene el mismo valor.)

a, c. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

b. Graph II: x = –2 Graphs I, III, and IV: To be completed by the student. (Los gráficos I, III and IV: Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 2, Investigation 2, Applications Task 6 (p. 414) Each interior angle of the octagon measures 135˚, so the smaller angles in the right triangle in the diagram are 45˚. The width of the roof is d + 2x = 116". (This is the same as the perimeter of the right triangle.) Since x2 + x2 = d2, 2x2 = d2, and 2 x = d. (You may wish to refer students to Connections Task 20 on page 392 to remind them of this relationship.) 2 x + 2x = 116". The remainder of the solution is left for the student to complete. (Cada ángulo interior del octágano mide 135˚, así que los ángulos más pequeños del triángulo rectángulo en el diagrama son de 45˚. La anchura del techo es d + 2x = 116". (Esto es igual al perímetro del triángulo rectángulo.) Dado que x2 + x2 = d2, 2x2 = d2, y 2 x = d. (Los estudiantes podrían ver “Connections Task 20” en la página 392 para recordarles de esta relación.) 2 x + 2x = 116".

Lesson 2, Investigation 2, Extensions Task 24 (p. 420) a. Students need to recall the definition of a central angle (glossary p. R2) of a polygon. Students are

looking for a relationship between the central angle and the interior angle of a regular polygon. Draw a square and a regular hexagon. Note that the interior angle of a square is 90˚ and so is the central angle. For the hexagon, the interior angle is 120˚ and the central angle is 60˚. Next try a pentagon and see if you see a relationship between them. You can see they are not always equal like the square, but what about the sum of them? (Los estudiantes tienen que recordar la definición de un ángulo central (glosario, p. R2) de un polígano. Los estudiantes están buscando una relación entre el ángulo central y el ángulo interior de un polígono regular. Dibuje un cuadro y un hexágono regular. Tómese en cuenta que el ángulo interior de un cuadro es 90˚, igual para un ángulo central. Para el hexágano, el ángulo interior es 120˚ y el ángulo central es 60˚. Luego, intente hacer un pentágano y ver si se encuentra una relación entre los dos. Se puede ver que no son siempre iguales como el cuadro, pero qué pasa con la suma de ellos?)

The explanation of why it is always the case is left for the student to do. (La explicación de por qué es así es para ser completado por el estudiante.)


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Lesson 2, Investigation 3, Connections Task 16 (p. 419) Remind your student that they are looking for overall symmetry patterns, even though there are slight imperfections in the figures. (Les recuerde a los estudiantes que están buscando patrones de simetría generales, aunque hay imperfecciones pequeñas en las figuras).

a. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

The student should have more than yes here for their answer. Their answer should also contain the fact that the pattern is the same size and that it repeats by sliding over the same distance and direction each time. (El estudiante debe tener más que “sí” para su respuesta. Su respuesta debe contener también el hecho de que el patrón es el mismo tamaño y que se repite cada vez por el descenso en la misma distancia y la dirección.)

b. Hint: Patterns C, F, and G can be grouped together. (Pista: Se puede agrupar los patrones C, F, y G). Patterns E and G can be grouped together. (Se puede agrupar los patrones E y G.) Patterns D, F, and G can be grouped together. (Se puede agrupar los patrones D, F, y G.)


Lesson 2, Investigation 3, Review Task 32 (p. 423) Working with the laws of exponents is something that students continue to review. Refer them back to their toolkit for examples and procedures. Remind them that exponents are repeated multiplication and have them expand them out if they are having difficulty. (Trabajando con las normas de exponentes es algo que los estudiantes siguen revisando. Les consulte volver a su “toolkit” de ejemplos y procedimientos. Les recuerde que los exponentes son de multiplicación repetida y que tienen que ampliarlos si tienen dificultades.)

a. (4x3)2 = (4x3)(4x3) = (4 • x • x • x)(4 • x • x • x) = (4 • x • x • x • 4 • x • x • x) = (4 • 4 • x • x • x • x • x • x) = 16x6

The shorter way is to remember that if a power is on a product (answer to a multiplication problem) then the power goes on both factors. (4x3)2 = 42x3 • 2 = 42x6 = 16x6

(La manera más corta es recordar que si la potencia está encima de un producto (la respuesta a una ecuación de multiplicación) la potencia tiene que estar con los dos factores. (4x3)2 = 42x3 • 2 = 42x6 = 16x6)


c. Refer to the student’s toolkit, or Task 3 in Unit 5 (p. 332). (Haga una referencia al “toolkit” del estudiante o a “Task 3” en la unidad 5 (p.332).)



e. 359xy

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Lesson 2, Investigation 3, Review Task 33 (p. 423) a. –7x + 43

b. 25x – 14

c, d. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 3, Investigation 1, Applications Task 1 (p. 443) Developing the ability to visualize is a skill that requires lots of opportunities to practice. Students used hands-on models in class and are asked to make sketches. (Desarrollando la habilidad de visualizar requiere muchas oportunidades para practicar. Los estudiantes usan modelos de trabajos prácticos y les pide hacer dibujos.)

a. The base of the tower is a square prism. It has a square base and rectangular sides. The next level is a square pyramid with the top cut off. Above that is another square prism. The top is another square pyramid. (La base de la torre es un prisma cuadrado. Tiene una base cuadrada y los lados rectangulares. El siguiente nivel es una pirámide cuadrada con la parte superior cortada. Por encima hay otro prisma cuadrado. La parte superior es otra pirámide cuadrada.)

b. A regular tetrahedron would be formed by segments joining the 4 atoms. (Un tetraedro regular estaría formada por segmentos que se unen a los 4 átomos.)

Lesson 3, Investigation 1, Connections Task 11 (p. 446) a. A cube has 6 faces, 12 edges, and 8 vertices. (Un cubo tiene 6 caras, 12 bordes y 8 vértices.)

b. Hint: Notice that every time a corner is removed, it creates a new triangular face, and three new vertices, but removes a vertex. (Pista: Observe que cada vez que se quita una esquina, crea una nueva cara triangular, y tres nuevos vértices, pero elimina un vértice.)

The new polyhedron has 7 faces, 15 edges, and 10 vertices. (El nuevo poliedro tiene 7 caras, 15 bordes y 10 vértices.)

c. The table is partially completed the rest is left for the student. These results assume nonoverlapping slices, as indicated in the student text. (La tabla está parcialmente completada y el resto es para ser completado por el estudiante. Estos resultados asumen rebanadas que no se superponen, como indicado en el texto del estudiante.)

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d. See the student text (pages 29–31) for the development of NOW-NEXT rules. (Véase el texto del estudiante (páginas 29-31) para el desarrollo de las reglas de NOW-NEXT.)

For faces, NEXT = NOW + 1. (Para las caras, NEXT = NOW + 1.) For edges, NEXT = NOW + 3. (Para los bordes, NEXT = NOW + 3.) For vertices, NEXT = NOW + 2. (Para los vértices, NEXT = NOW + 2.)

e. Euler’s Formula should be in the math toolkit after Unit 6, Lesson 1, Investigation 1. (La fórmula de Euler debe estar en el “math toolkit” después de Unit 6, Lesson 1, Investigation 1.)


f. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

Lesson 3, Investigation 1, Review Task 29 (p. 454) Hint: m∠ABD + m∠DAB = 90˚ since ∠ABD and ∠DAB are the two acute angles of a right triangle and the sum of the measures of angles of a triangle is 180˚. (Pista: m∠ABD + m∠DAB = 90˚ porque ∠ABD y ∠DAB son ángulos agudos de un triángulo rectángulo y la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es de 180˚.)


Lesson 3, Investigation 2, Applications Task 4 (p. 444) a. Seven cubes b.


Lesson 3, Investigation 2, Connections Task 12 (p. 447) a, b, d, eii–iv. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

c. The equilateral triangular base has sides of length 4 ft, so its height is 2 3 ft. The area of the base is 12 (4)( 2 3 ) = 4 3 ft2. The volume of the prism is the area of the base times the height, which is

( 4 3 )(4) = 16 3 ≈ 27.7 ft3. (La base del tríangulo equilátero tiene lados de longitud de 4 pies, entonces su altura es 2 3 pies. La área de la base es 12 (4)( 2 3 ) = 4 3 ft2. El volumen del prisma es el área de la base veces la altura, que es ( 4 3 )(4) = 16 3 ≈ 27.7 ft3.)

e. i. The volume of the square box is s2h. (El volumen de la caja cuadrada es s2h.)

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Lesson 3, Investigation 2, Extensions Task 23 (p. 452) a. This is a hexagonal prism, the bases being the sides of the pool, and the height being the 18-foot

width of the pool. Students should make a labeled sketch (like that which is started below). They will have to use the Pythagorean Theorem to find the length of the sloping edge. (Este es un prisma hexagonal, las bases siendo los lados de la alberca, y la altura siendo los 18 pies de la anchura de la alberca. Los estudiantes deben hacer un dibijo con etiqueta, (igual a que lo está iniciado abajo). Tendrán que utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pendiente del borde).

b. The base of the prism, or the front of the pool as shown here, is comprised of a 3 × 28 rectangle, a right triangle with legs 16 and 6, and a 6 × 6 square. The area of the base is 168 ft2. (La base del prisma, o el frente de la alberca está mostrado aquí, está formada por un rectángulo de 3 × 28, un tríangulo rectángular con lados de 16 y 6, y un cuadro de 6 × 6. La área de la base es 168 ft2.)

Hint: Students might choose to do the volume computation by computing the volume of the pool totally filled and then subtracting the unfilled volume. (Pista: Los estudiantes podrían calcular el volumen por la calculación del volumen de la alberca completamente llena y luego restando el volumen que no está llenado.)

c. In addition to the two side walls represented by the base, there are five more different rectangles to paint. When the total area is found, students should determine that they will need to purchase three 5-gallon cans of paint. (En adición a las dos paredes al lado representados por la base, hay 5 más rectángulos para pintar. Cuando se encuentre el área total, los estudiantes deben determinar que necesitan comprar tres latas de pintura de 5 galones.)

d. 704 square feet (704 pies cuadrados)

e. 522 six-inch square tiles (522 azulejos cuadrados de seis pulgadas)

Lesson 3, Investigation 3, Connections Task 14 (p. 449) a. For each of the prisms shown, a right prism with the same base and height could be sketched next to

the oblique prism. Then every plane parallel to the base that intersects the oblique prism will intersect the right prism also. The area of the cross sections formed by every plane and the two prisms would be equal. Thus, the prisms have the same volume. So, to find the volume for each oblique prism below, find the area of the base and multiply that by the height as we would for a right prism. (Para cada prisma en la foto, un prisma rectángular con la misma base y altura podriá ser dibujado al lado del prisma oblicuo. Entonces cada plano paralelo a la base que se entrecruza con el prisma oblicuo se entrecruza con el prisma rectángular también. La área de las secciones que entrecruzan formadas por cada plano y los dos prismias serían iguales. Así que, los prismas tienen el mismo volumen. Entonces, para encontrar el volume de cada prisma oblicuo, hay que encontrar la área de la base y multiplicar eso por la altura como haríamos para cada prisma oblicuo.)

Patterns in Shape


i. V = 8 × 5 × 11 = 440 cubic units (V = 8 × 5 × 11 = 440 unidades cúbicas.)

ii. V = 5 × area of the triangular base = 45 3 ≈ 78 cubic units (V = 5 × la área de la base triángular = 45 3 ≈ 78 unidades cúbicas.)

iii. By the converse of the Pythagorean Theorem, the bases are right triangles. V = × 6 × 8 × 15 = 360 cubic units (Por el opuesto de la teoría de Pítagoras, las bases son triángulos rectángulos. V = × 6 × 8 × 15 = 360 unidades cúbicas.)

b. Step 1. The radius of the circular cross section of the sphere is r2 – d2 since it is the length of the leg of the right triangle shown by the auxiliary lines that has one leg of length d and the hypotenuse of length r. Thus, the area of any cross section of the sphere can be represented by A = π(r2 – d2). (El radio del corte transversal circular de la esfera es r2 – d2 dado que la longitud del lado del triángulo rectángular mostrada por la líneas auxiliares que tienen un lado con longitud d y la hipotenusa de longitud r. Así que, la área de cualquier corte transversal de la esfera puede ser representada con A = π(r2 – d2).)

The remainder of the solution is to be completed by the student. (El resto de la solución debe estar completado por el estudiante.)

Lesson 3, Investigation 3, Review Task 31 (p. 454) Examples of solving these equations should be in the student’s toolkit for Unit 3, Linear Functions. (Los ejemplos de las calculaciones de estas ecuaciones deben estar en el “toolkit” del estudiante para “Unit 3, Linear Functions”.)

a, c, d. To be completed by the student. (Para ser completado por el estudiante.)

b. 150 > 20 – 6x 150 – 20 > 20 – 20 – 6x 130 > –6x 130–6 < –6x–6 (When you divide or multiply by a negative number, the inequality changes directions.)

(A dividir o multiplicar por un número negativo, la desigualdad cambia de dirección.) –21.67 < x

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