1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCELΤο πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίομπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι σταοικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας χωρίζεται σε γραμμές και στήλες. Οιστήλες έχουν τα ονόματα ,...,, CBA ,… και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3,…Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

Στην συνέχεια μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το εικονίδιο «οδηγός γραφημάτων»για να κατασκευάσουμε ένα διάγραμμα. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε ναπαραστήσουμε τις δυο σειρές στο ίδιο διάγραμμα. Αρχίζουμε μαρκάροντας και τιςδυο σειρές με το mouse και από τον οδηγό γραφημάτων εμφανίζονται οι ακόλουθεςεπιλογές.

2

Είναι δυνατόν όπως φαίνεται να έχουμε μια σειρά από διαγράμματα, όπως πχγραμμές, ράβδοι, διασπορά κλπ. Επιλέγουμε “Γραμμές” και στην συνέχειαεμφανίζονται οι διαφορετικοί τύποι αυτού του διαγράμματος.

Μπορούμε να επιλέξουμε τον τύπο που φαίνεται παραπάνω ώστε να εμφανίζονται οισειρές και στο κάθε σημείο να υπάρχει ένα τετραγωνάκι. Με την επιλογή “Επόμενο”φαίνεται μια προεπισκόπηση του διαγράμματος.

3

Με τις επιλογές “Επόμενο” και “Τίτλοι” μπορούμε να ορίσουμε τα ονόματα πουθέλουμε να έχουμε στους άξονες, έναν τίτλο για το διάγραμμα κοκ. Δίνουμε λοιπόντα ακόλουθα στοιχεία.

4

Με την επιλογή “Τέλος” το διάγραμμα εμφανίζεται στο φύλλο εργασίας μας.

5

Τα μαύρα τετραγωνάκια που εμφανίζονται γύρω από το διάγραμμα μπορούν ναχρησιμοποιηθούν για να αλλάξουμε τις διαστάσεις τους, να το μετακινήσουμε σεοποιοδήποτε σημείο του φύλλου εργασίας κλπ. Με την επιλογή “Επεξεργασία” και“Αντιγραφή” μπορούμε να αντιγράψουμε το διάγραμμα, στην συνέχεια να πάμε στοWord και να ενσωματώσουμε το διάγραμμα σε ένα υπάρχον κείμενο ή σε ένα νέοαρχείο. Το ίδιο μπορεί να γίνει και σε οποιοδήποτε άλλο πρόγραμμα των Windows.

Ένας άλλος χρήσιμος τύπος διαγράμματος είναι η “Διασπορά” (ΧΥ) η οποία μαςεπιτρέπει να παραστήσουμε διαγραμματικά την μια σειρά σε σχέση με την άλλη.Μπορούμε να κάνουμε ένα κλικ στο διάγραμμα που ήδη υπάρχει στο φύλλο εργασίαςκαι να πατήσουμε το πλήκτρο Del(ete) για να διαγραφεί. Στην συνέχεια μαρκάρουμεκαι πάλι τις σειρές, χρησιμοποιούμε τον «Οδηγό Γραφημάτων» και επιλέγουμε«Διασπορά (ΧΥ)» οπότε εμφανίζεται η ακόλουθη οθόνη επιλογών.

Μαρκάρουμε την επιλογή που φαίνεται και πατώντας «Επόμενο» βλέπουμε τηνακόλουθη προεπισκόπηση.

6

Στην συνέχεια μπορούμε να επιλέξουμε «Τέλος» και να έχουμε την τελική μορφή τουδιαγράμματος στο φύλλο εργασίας μας.

7

Μια άλλη χρήσιμη μορφή διαγράμματος μπορεί να είναι οι πίτες δεδομένων. Αςυποθέσουμε ότι θέλουμε να εμφανίζουμε την πρώτη σειρά σε διάγραμμα πίτας.Μαρκάρουμε την σειρά αυτή και από τον «Οδηγό Γραφημάτων» επιλέγουμε «Πίτα»με τον ακόλουθο τύπο διαγράμματος.

Στην συνέχεια επιλέγουμε «Επόμενο» δυο φορές, «Ετικέτες δεδομένων» και έχουμετην εξής κατάσταση.

Ε

8

Με την επιλογή «Τέλος» έχουμε το τελικό διάγραμμα ως εξής.

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με τους υπόλοιπους τύπους διαγραμμάτων και ναεπιλέξετε εύκολα εκείνους που θα είναι πιο κατάλληλοι για την εφαρμογή σας.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε βασικά στατιστικά μέτρα όπως πχ ο μέσος καιη διακύμανση ή τυπική απόκλιση της πρώτης σειράς, ο συντελεστής συσχέτισης τωνδυο σειρών κλπ.

Καταρχήν πρέπει να επιλέξουμε την θέση στην οποία θα εμφανισθεί ο μέσοςαριθμητικός όπως φαίνεται πχ στην επόμενη οθόνη.

9

Στην συνέχεια μαρκάρουμε την πρώτη σειρά με το mouse και χρησιμοποιούμε τοπλήκτρο «fx» ή «Επικόλληση συνάρτησης» από την γραμμή εργαλείων.

Πολλές συναρτήσεις είναι διαθέσιμες στο πακέτο, πράγμα που το κάνει πολύ χρήσιμοσε στατιστικές και άλλες αναλύσεις. Μετά την επιλογή έχουμε την ακόλουθη οθόνη.

10

αφού επιλέξουμε τις «Στατιστικές» συναρτήσεις και την συνάρτηση «AVERAGE»για την οποία εμφανίζεται και βοήθεια στο κάτω μέρος της οθόνης. Επιλέγοντας ΟΚέχουμε την επόμενη οθόνη.

11

Στην οθόνη αυτή μας ζητείται να προσδιορίσουμε την σειρά για την οποία θέλουμενα υπολογίσουμε τον μέσο. Καταρχήν απομακρύνουμε τον πίνακα από την μέσηκάνοντας ένα κλικ στο εσωτερικό του και τραβώντας το mouse προς την θέση στηνοποία θέλουμε να μεταφερθεί ο πίνακας.

12

Στην συνέχεια μαρκάρουμε την σειρά που θέλουμε και αφήνουμε το mouse ότανέχουμε επιλέξει τα κελιά που μας ενδιαφέρουν οπότε εμφανίζονται στον πίνακα τακελιά που επιλέξαμε.

13

Αυτά είναι τα κελιά Α1 έως Α5 όπως πρέπει. Το αποτέλεσμα είναι 18,6 όπωςφαίνεται στην προεπισκόπηση και αν επιλέξουμε ΟΚ θα δούμε ότι μεταφέρεται στηνθέση που θέλουμε με αποτέλεσμα να έχουμε την ακόλουθη οθόνη.

14

Ας υποθέσουμε ότι ακριβώς από κάτω θέλουμε να εμφανίσουμε την τιμή της τυπικήςαπόκλισης. Η συνάρτηση που θέλουμε είναι η STDEV (standard deviation) όπωςστην παρακάτω οθόνη.

15

Αν ακολουθήσουμε την ίδια διαδικασία όπως και στην περίπτωση του μέσου έχουμετο εξής αποτέλεσμα.

16

Για να υπολογίσουμε τον συντελεστή συσχέτισης ακριβώς από κάτω πρέπει ναχτησιμοποιήσουμε την συνάρτηση CORREL όπως στην επόμενη οθόνη.

17

Αν επιλέξουμε ΟΚ εμφανίζεται ένας πίνακας στον οποίο πρέπει να ορίσουμε ποιεςδυο σειρές πρέπει να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό.

Στην θέση «Array1» μαρκάρουμε την πρώτη σειρά και στην θέση «Array2»μαρκάρουμε την δεύτερη σειρά οπότε έχουμε την εξής κατάσταση.

18

Με την επιλογή ΟΚ το αποτέλεσμα είναι όπως φαίνεται παρακάτω.

19

ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ

Από την στατιστική είναι γνωστό ότι το διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου είναι

NSZX 2/1 α−±

όπου X είναι ο μέσος αριθμητικός του δείγματος, S είναι η τυπική απόκλιση, Nείναι το μέγεθος του δείγματος και 2/1 α−Z η κριτική τιμή της τυπικής κανονικήςκατανομής σε επίπεδο σημαντικότητας α . Για μικρά δείγματα χρησιμοποιείται ηκριτική τιμή της κατανομής Student-t με 1−N βαθμούς ελευθερίας. Το πακέτο

υπολογίζει την τιμή NSZ 2/1 α− για οποιοδήποτε επίπεδο σημαντικότητας α . Η

συνάρτηση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η CONFIDENCE της οποίας οπίνακας εμφανίζεται στην επόμενη οθόνη.

Στην επιλογή Alpha ορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας να είναι 0,07. Στην επιλογήStandard_dev ορίζουμε την τυπική απόκλιση. Αυτό μπορεί να γίνει αν απλά κάνουμεένα κλικ στο κελί Α8 στο οποίο την έχουμε ήδη υπολογίσει. Στην επιλογή Sizeορίζουμε το μέγεθος του δείγματος, δηλαδή 5 και έχουμε τα ακόλουθα.

20

Το αποτέλεσμα όπως φαίνεται είναι 7,657 πράγμα που σημαίνει ότι το διάστημαεμπιστοσύνης είναι 657,76,18 ± .

ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ

Ο έλεγχος της υπόθεσης ότι ο μέσος του πληθυσμού ισούται με μια ορισμένη τιμή, πχ8:0 =µH μπορεί να γίνει με την συνάρτηση ZTEST όπως στην επόμενη οθόνη.

21

Οι επιλογές για την συνάρτηση αυτή είναι όπως στην επόμενη οθόνη.

22

Στην θέση Array έχουμε μαρκάρει τα κελιά που αποτελούν το δείγμα μας. Στην θέσηΧ πρέπει να δώσουμε την τιμή που ελέγχουμε (πχ 8). Την επόμενη θέση αφήνουμεκενή για να δηλώσουμε ότι η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού είναι άγνωστη καιεπομένως πρέπει να εκτιμηθεί με την τυπική απόκλιση του δείγματος S .

Το αποτέλεσμα του ελέγχου είναι σε όρους της πιθανότητας ή τιμής p του ελέγχουπου είναι 00671.0=p . Η τιμή αυτή είναι το ελάχιστο επίπεδο σημαντικότητας στοοποίο μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση. Επομένως σε 05,0=αμπορούμε να απορρίψουμε και να πούμε ότι ο μέσος δεν είναι 8 . Αν ελέγχαμε τηντιμή 15=µ θα είχαμε

Επομένως μπορούμε να απορρίψουμε την 15:0 =µH μόνο σε επίπεδασημαντικότητας μεγαλύτερα του 0,197. Πχ σε επίπεδο 0,05 ή 0,10 δεν μπορούμε νααπορρίψουμε την μηδενική υπόθεση.

ΕΛΕΓΧΟΣ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΔΥΟ ΜΕΣΩΝ

Ένας άλλος έλεγχος που μπορεί να μας ενδιαφέρει είναι αν δυο δείγματα προέρχονταιαπό πληθυσμούς με τον ίδιο μέσο. Η μηδενική υπόθεση που θέλουμε να ελέγξουμεείναι 210 : µµ =H με δικατάληκτη εναλλακτική. Η πιο γενική και ρεαλιστικήυπόθεση που μπορούμε να κάνουμε είναι ότι οι διακυμάνσεις των δυο πληθυσμώνείναι άγνωστες και δεν είναι υποχρεωτικά ίσες. Η συνάρτηση που θαχρησιμοποιήσουμε λέγεται TTEST και έχει ως εξής.

23

Με την επιλογή ΟΚ έχουμε την ακόλουθη οθόνη.

24

Στις θέσεις Array1 και Array2 μαρκάρουμε τα δυο δείγματα, στην θέση Tails δίνουμε2 όταν έχουμε δικατάληκτη εναλλακτική και στην θέση Type δίνουμε 3 για ναδηλώσουμε ότι έχουμε πληθυσμούς με πιθανώς άνισες διακυμάνσεις τις οποίες δενγνωρίζουμε και επομένως θα πρέπει να εκτιμηθούν. Το αποτέλεσμα του ελέγχου είναισε όρους της τιμής p όπως και στον έλεγχο του μέσου και το αποτέλεσμα είναι

0664,9 −E που σημαίνει 61064,9 −× . Κατά συνέπεια πρέπει να απορρίψουμε τηνμηδενική υπόθεση της ισότητας των δυο μέσων αν έχουμε κάποιο λογικό επίπεδοσημαντικότητας, πχ 0,01 ή 0,05 κλπ.

ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΥΟ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ

Ο έλεγχος ότι οι διακυμάνσεις δυο πληθυσμών είναι ίδιες, δηλαδή 22

210 : σσ =H

γίνεται με την στατιστική F και η συνάρτηση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναιη FTEST. Στην συνάρτηση αυτή πρέπει να δώσουμε τα δυο δείγματα και τααποτελέσματά της φαίνονται στον επόμενο πίνακα.

Από την τιμή p η οποία είναι 0,8811 είναι σαφές ότι δεν μπορούμε να απορρίψουμετην υπόθεση ισότητας των διακυμάνσεων σε λογικά επίπεδα εμπιστοσύνης, πχ 0,01 ή0,05 κλπ.

ΚΡΙΤΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

Μια χρήσιμη ιδιότητα του πακέτου είναι ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τονυπολογισμό των κριτικών τιμών οποιασδήποτε κατανομής και επομένως με αυτό τοντρόπο δεν είναι ανάγκη να καταφεύγουμε σε πίνακες.

25

Ας υποθέσουμε ότι Z έχει την τυπική κανονική κατανομή )1,0(N , δηλαδή έχει μέσο0=µ και διακύμανση 12 =σ και θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα

)96,1( <Zp . Θα χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση NORMDIST και έχουμε τηνακόλουθη οθόνη.

Το αποτέλεσμα είναι 0,975. Αυτό είναι λογικό γιατί ξέρουμε ήδη από τον έλεγχο τουμέσου ότι η κριτική τιμή είναι 1,96 σε επίπεδο εμπιστοσύνης 0,05. Μοιράζοντας αυτότο 0,05 στις δυο ουρές της κατανομής προκύπτει ότι μέχρι την κριτική τιμή 1,96πρέπει να υπάρχει μάζα 0,975 ή 97,5%.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι ο υπολογισμός της πιθανότητας )17( <XP όταν η Xέχει μια κανονική κατανομή με μέσο 20=µ και τυπική απόκλιση 4=σ . Τοαποτέλεσμα και οι απαιτούμενες εισροές στην συνάρτηση φαίνονται στην επόμενηοθόνη.

26

Πρέπει να είναι σαφές ότι η συνάρτηση NORMDIST είναι περισσότερο χρήσιμη απότους πίνακες. Οι πίνακες αναφέρονται σε μια τυπική κανονική κατανομή ενώ ησυνάρτηση μπορεί να υπολογίσει πιθανότητες για οποιαδήποτε κανονική κατανομήμε αυθαίρετες τιμές των µ και σ .

Στην συνέχεια ας υπολογίσουμε ότι θέλουμε την κριτική τιμή της κατανομής Student-t με 4 βαθμούς ελευθερίας. Η συνάρτηση που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι ηTDIST και οι εισροές μαζί με το αποτέλεσμα φαίνονται στην επόμενη οθόνη.

27

Στην πραγματικότητα η συνάρτηση επιστρέφει την τιμή )(1 tTP <− ν όπου νT είναιτυχαία μεταβλητή με την κατανομή Student-t και ν βαθμούς ελευθερίας. Τοαποτέλεσμα είναι 0,12155 και επομένως 87845,012155,01)( =−=< tTP ν .

Στην συνέχεια έστω ότι )(~ 2 νχY . Η πιθανότητα )10( <YP όταν 7=ν μπορεί ναυπολογισθεί με την συνάρτηση CHIDIST όπως στην ακόλουθη οθόνη.

28

Η πιθανότητα που θέλουμε είναι 1-0,18857=0,811427.

Παρόμοια μπορούμε να υπολογίσουμε κριτικές τιμές της F κατανομής με τηνεντολή FDIST . Η κατανομή έχει δυο παραμέτρους βαθμών ελευθερίας, 1ν και 2ν .Αν οι βαθμοί ελευθερίας είναι 6 και 11 αντίστοιχα, Q έχει την κατανομή 11,6F καιθέλουμε την πιθανότητα )4( <QP οι εισροές και το αποτέλεσμα της συνάρτησηςφαίνονται στην επόμενη οθόνη.

29

Η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1-0,02265=0,977. Εναλλακτικά, το πακέτο μας δίνειαπευθείας την πιθανότητα )4( >QP . Αυτό ισχύει για τις κατανομές t , 2χ και F .

Είναι επίσης δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε τις αντίστροφες αυτών τωνσυναρτήσεων. Πχ αντί να θέλουμε την πιθανότητα )( zZP < μπορεί να θέλουμε ναπροσδιορίσουμε σε ποια τιμή του z έχουμε pzZP =< )( , όπου p είναι μια δοσμένητιμή. Πχ στον έλεγχο του μέσου μας ενδιέφερε να προσδιορίσουμε σε ποια τιμή zέχουμε 2/1)( α−=< zZP όπου α ήταν ένα δεδομένο επίπεδο σημαντικότητας. Ανορίσουμε )()( zZPz <=Φ , δηλαδή την αθροιστική συνάρτηση κατανομής, είναισαφές ότι η τιμή z για την οποία pzZP =< )( , ικανοποιεί )(1 π−Φ=z όπου 1−Φείναι η αντίστροφη αθροιστική συνάρτηση κατανομής. Εφόσον

∫∞−

− −=Φz

dttz )2/exp()2()( 22/1π η αντίστροφη δεν μπορεί να προσδιορισθεί

αναλυτικά αφού το ολοκλήρωμα δεν είναι γνωστό σε κλειστή μορφή. Για τον λόγοαυτό χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι για τον υπολογισμοί της συνάρτησηςΦκαι της αντίστροφής της.

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε την τιμή z για την οποία 815,0)( =< zZP . Ησυνάρτηση που θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι η NORMINV της οποίας οιεισροές και τα αποτελέσματα φαίνονται στην επόμενη οθόνη.

30

Είναι σαφές ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυθαίρετο μέσο και τυπικήαπόκλιση. Αν πχ έχουμε ),(~ 2σµNX με 15=µ και 5=σ , η τιμή x για την οποίαέχουμε 76,0)( =< xXP δίνεται με την ακόλουθη εξειδίκευση.

31

Η τιμή αυτή θα είναι 53,18=z . Παρόμοια μπορούμε να υπολογίσουμε τιςαντίστροφες συναρτήσεις κατανομής άλλων κατανομών με τις εντολές

CHIINVTINV , και FINV .

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΕ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ

Το μεγάλο πλεονέκτημα των υπολογισμών σε spreadsheets είναι ότι από την στιγμήπου ορίσουμε κάποιους υπολογισμούς, αν αλλάξουμε κάποια τιμή τότε ολόκληρο τοφύλλο εργασίας τροποποιείται λαμβάνοντας υπόψη αυτή την αλλαγή. Για ναορίσουμε ότι σε ένα κελί θα χρησιμοποιηθούν συναρτήσεις υπολογισμούχρησιμοποιούμε το σύμβολο της ισότητας (=).

Σαν παράδειγμα ας αρχίσουμε από τις δυο μεταβλητές που έχουμε και αςυπολογίσουμε μια τρίτη, που θα είναι BAC += . Πηγαίνουμε στο κελί 1C καιδίνουμε το σύμβολο =. Στην συνέχεια κάνουμε κλικ στο κελί 1A και βλέπουμε ναεμφανίζεται το σύμβολό του. Μετά δίνουμε + και μετά κάνουμε κλικ στο κελί 1Bώστε τελικά να έχουμε την εξής εικόνα.

32

Πατώντας enter εμφανίζεται στο κελί το αποτέλεσμα του υπολογισμού που είναι 89.Για να επαναλάβουμε αυτή την διαδικασία και για τα υπόλοιπα κελιά ακολουθούμετην εξής απλή διαδικασία.

• Στο κελί 1C επιλέγουμε «Αντιγραφή» από την γραμμή εργαλείων.• Μαρκάρουμε τα κελιά 2C έως 5C με το mouse.• Επιλέγουμε «Επικόλληση» από την γραμμή εργαλείων.

Στο τέλος αυτής της διαδικασίας έχουμε την επόμενη οθόνη στην οποία φαίνονται τααποτελέσματα των υπολογισμών.

33

Στην συνέχεια ας δούμε πως μπορούμε να αξιοποιήσουμε τις δυνατότητες τουπακέτου για να επιλύσουμε ένα μακροοικονομικό υπόδειγμα που έχει τις ακόλουθεςεξισώσεις.

tt YC 25,010 +=

ttt RYI 85,02,02 1 −+= −

140,01 −+= tt YG

tttt GICY ++=για 20,...,4,3,2=t με 401 =Y .

Στο υπόδειγμα αυτό tC είναι η κατανάλωση του έτους t , tY είναι το εισόδημα, tRείναι το επιτόκιο, tG είναι οι δημόσιες δαπάνες. Θα υποθέσουμε ότι 7=tR . Αναντικαταστήσουμε στον ορισμό του εισοδήματος όλες τις προηγούμενες εξισώσειςέχουμε

ttt RYY 133,18,033,17 1 −+= −

Αρχίζουμε με ένα νέο φύλλο εργασίας του Excel και δίνουμε στην στήλη Α ταστοιχεία για το επιτόκιο, δηλαδή μια σειρά που αποτελείται από τον αριθμό 7 για τακελιά Α1 έως Α20. Μπορούμε απλά να δώσουμε το 7 στο κελί Α1 και μετά ναεπιλέξουμε την διαδικασία.

34

Δίνουμε enter και εμφανίζεται το αποτέλεσμα 41,399. Για να δημιουργήσουμε τοεισόδημα των επόμενων περιόδων κάνουμε «Αντιγραφή» στο κελί Β2 , επικόλλησηστα επόμενα κελιά και έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα.

35

Αν παραστήσουμε γραφικά την σειρά tY θα έχουμε τα εξής αποτελέσματα.

36

Βλέπουμε πχ ότι αρχίζοντας από την αρχική τιμή 40 το εισόδημα αυξάνει προς τηνκατάσταση μακροχρόνιας ισορροπίας του.

Στην συνέχεια θα κάνουμε μια συγκριτική δυναμική ανάλυση. Το ερώτημα που θαμας απασχολήσει είναι η σύγκριση τριών διαφορετικών πολιτικών επιτοκίου.

Πολιτική 1. Το επιτόκιο αυξάνει σε 12% από την περίοδο 11 και μετά, δηλαδήέχουμε μια μόνιμη μεταβολή στα επιτόκια.

Πολιτική 2. Το επιτόκιο αυξάνει σε 12% από την περίοδο 11 έως και την περίοδο 15και μετά μειώνεται σε 10%.

Πολιτική 3. Το επιτόκιο αυξάνει σε 12% μόνο για την περίοδο 11 και επανέρχεταιστο 7% εφεξής, οπότε έχουμε μια παροδική μεταβολή στα επιτόκια.

Για να δούμε τα αποτελέσματα της πολιτικής 1, αλλάζουμε τα επιτόκια στα κελιάΑ11 ως Α15 σε 12 και βλέπουμε πως τροποποιείται η δεύτερη στήλη.

Η γραφική παράσταση του εισοδήματος έχει ως εξής.

37

Βλέπουμε ότι το εισόδημα μειώνεται σαν αποτέλεσμα της αύξησης των επιτοκίων καιόταν αυτά αρχίζουν να μειώνονται μετά την περίοδο 16 αρχίζει να αυξάνει και νασυγκλίνει πάλι προς το επίπεδο μακροχρόνιας ισορροπίας.

Για να δούμε τα αποτελέσματα της πολιτικής 2, αλλάζουμε τα κελιά ώστε να έχουμετην ακόλουθη εικόνα.

38

Τα αποτελέσματα φαίνονται στην ακόλουθη οθόνη.

39

Στην πρερίπτωση αυτή, το εισόδημα μειώνεται συνεχώς σαν αποτέλεσμα της μόνιμηςαύξησης των επιτοκίων. Η πολιτική 3 μπορεί να εξετασθεί αν αλλάξουμε μόνον τοκελί Α11 οπότε θα έχουμε τα εξής αποτελέσματα.

Η παροδική μεταβολή προκαλεί μια μεγάλη μείωση στο εισόδημα το οποίο από τηνεπόμενη περίοδο αρχίζει να αυξάνει και πάλι και να συγκλίνει στα επίπεδα τηςμακροχρόνιας ισορροπίας.

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Είναι δυνατόν με την βοήθεια του υπολογιστή να κατασκευάσουμε τυχαίουςαριθμούς, δηλαδή τυχαία δείγματα από έναν ορισμένο πληθυσμό. Πχ για νακατασκευάσουμε τυχαία δείγματα από την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα )1,0(με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

∈

=άδιαφορετικ ,0

)1,0( αν ,1)(

xxf

μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση ()RAND .

40

Χρησιμοποιώντας Copy και Paste στα επόμενα 100 κελιά έχουμε:

41

Αν κατασκευάσουμε ένα ιστόγραμμα αυτής της σειράς (για να το κάνετε πρέπει ναέχετε εγκατεστημένα το εργαλείο «Ανάλυση Δεδομένων» στο μενού «Εργαλεία») θαέχουμε την εξής εικόνα.

Για να κατασκευάσουμε μια σειρά τυχαίων αριθμών από την κανονική κατανομή μεμέσο µ και διακύμανση 2σ ο γενικός τύπος είναι

)(1 ux −Φ+= σµ

όπου u έχει την τυπική ομοιόμορφη κατανομή, Φ είναι η αθροιστική συνάρτησηκατανομής της τυπικής κανονικής κατανομής και 1−Φ είναι η αντίστροφησυνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή είναι διαθέσιμη στην συνάρτηση NORMINV καιέχουμε την ακόλουθη οθόνη.

42

Το ιστόγραμμα της σειράς φαίνεται στην ακόλουθη οθόνη.

43

Αυτό το ιστόγραμμα δεν απέχει πολύ από την κανονική καμπύλη και είναι με αυτήνακριβώς την έννοια που οι τυχαίοι αριθμοί είναι «τυχαίοι»: Παρότι παράγονται μεαιτιοκρατικούς τύπους εντούτοις τα ιστογράμματά τους προσεγγίζουν τιςσυναρτήσεις πυκνότητας των αντίστοιχων τυχαίων μεταβλητών. Επίσης θαπεριμέναμε ο μέσος της σειράς στην στήλη Β να είναι κοντά στο μηδέν και ηδιακύμανση κοντά στην μονάδα.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

Για να κάνουμε γραμμική παλινδρόμηση χρησιμοποιούμε την επιλογή «ΑνάλυσηΔεδομένων» από το μενού «Εργαλεία». Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τα ακόλουθαστοιχεία.

44

Η επιλογή «Ανάλυση Δεδομένων» από το μενού «Εργαλεία» μας δίνει την ακόλουθηοθόνη στην οποία θα πρέπει να ορίσουμε τις μεταβλητές Y και X . Θα υποθέσουμεότι θέλουμε να κάνουμε την παλινδρόμηση με τις πρώτες 5 παρατηρήσεις.

45

Επιλέγουμε επίσης τα αποτελέσματα να πάνε σε ένα νέο βιβλίο εργασίας και δίνονταςΟΚ έχουμε την ακόλουθη οθόνη την οποία παίρνουμε επιλέγοντας «Μορφή»,«Αυτόματη μορφοποίηση» και «Έγχρωμη 2» για να εμφανίζονται καλύτερα τααποτελέσματα.

46

Το πακέτο μας δίνει τις εκτιμήσεις των παραμέτρων, τα τυπικά τους σφάλματα και τιςστατιστικές t που χρησιμεύουν στον έλεγχο υποθέσεων, το 2R κλπ. Αν θέλουμεμπορούμε να αποθηκεύσουμε τα αποτελέσματα αυτά ή να ακυρώσουμε το βιβλίοεργασίας και να εμφανισθεί η ακόλουθη οθόνη στην οποία επιλέγουμε «Όχι».

47

ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ορισμένες εξισώσεις όπως πχ η γραμμική 0=+ bax ή η τετραγωνική02 =++ cbxax επιδέχονται αναλυτική λύση ως προς x . Υπάρχουν ωστόσο αρκετές

εξισώσεις που δεν είναι δυνατόν να επιλυθούν αναλυτικά. Ας θεωρήσουμε μια τέτοιαεξίσωση στην γενική μορφή

0)( =xf

Σκοπός μας είναι να προσδιορίσουμε μια ρίζα *x τέτοια ώστε 0)( * =xf . Τέτοιεςεξισώσεις είναι δυνατόν να λυθούν αριθμητικά με την λεγόμενη επανάληψη Newton.Η διαδικασία αυτή ξεκινά με μια αρχική τιμή 0x που αποτελεί την εκτίμησή μας γιατην ρίζα. Η εκτίμηση αυτή αναθεωρείται σε 1x και αυτή με την σειρά της σε 2x κλπσύμφωνα με το σχήμα

)()(

1i

iii xf

xfxx

′−=+ , ,...3,2,1,0=i

Τερματίζουμε αυτή την διαδικασία όταν η μεταβολή || 1 ii xx −+ είναι μικρή, πχμικρότερη από 0,0001. Όταν αυτό συμβαίνει είναι σαφές ότι θα έχουμε 0)( ≈ixf καιεπομένως ix θα αποτελεί μια καλή αριθμητική εκτίμηση της ρίζας *x (με τηνυπόθεση ότι η πρώτη παράγωγος δεν μηδενίζεται).

48

Ας θεωρήσουμε σαν εφαρμογή την εξίσωση

)exp()( xxxf −−=

με παράγωγο )exp(1)( xxf −+=′ . Η επανάληψη Newton θα είναι

)exp(1)exp(

1i

iiii x

xxxx

−+−−

−=+

με δεδομένη την τιμή 0x . Αν υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στο διάστημααπό –3 ως 3 (με 18 ενδιάμεσες τιμές) και κάνουμε ένα διάγραμμα της συνάρτησης θαέχουμε την εξής εικόνα.

Το σημείο στο οποίο φαίνεται να υπάρχει ρίζα είναι στο 0,789 (το σημείο αυτόφαίνεται αν με το mouse στοχεύσουμε εκεί που η συνάρτηση προσεγγιστικά τέμνειτον οριζόντιο άξονα). Αυτή θα μπορούσε να είναι μια αρχική τιμή που μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε. Θα χρησιμοποιήσουμε παρόλα αυτά την τιμή

40 =x

Αρχίζουμε με ένα νέο φύλλο εργασίας και εισάγουμε την τιμή 4 στην θέση Α1. Στηνθέση Α2 πληκτρολογούμε την επανάληψη Newton και έχουμε την εξής εικόνα.

49

Πατώντας enter έχουμε την εμφάνιση της τιμής 0,089931. Κάνοντας copy(Αντιγραφή) στην τιμή αυτή, μαρκάροντας τα επόμενα 10 κελιά και χρησιμοποιώνταςpaste (Επικόλληση) έχουμε

50

Είναι φανερό ότι από την επανάληψη 5 και μετά οι τιμές δεν μεταβάλλονται πράγμαπου σημαίνει ότι έχουμε βρεί την ρίζα και αυτή είναι

567143,0* ≈x

Για να βεβαιωθούμε ότι έχουμε βρει την ρίζα πρέπει να υπολογίσουμε την )( *xf καιαυτή να είναι κοντά στο μηδέν, πράγμα που κάνουμε στην επόμενη οθόνη.

Το αποτέλεσμα είναι πραγματικά μηδέν:

51

Σαν άσκηση μπορείτε να ξεκινήσετε την διαδικασία Newton από μια διαφορετικήαρχική τιμή και να δείτε αν συγκλίνει στην ρίζα και πόσο γρήγορα συγκλίνει στηνρίζα. Μια άλλη άσκηση είναι να εξετάσετε την συνάρτηση 23)( 2 +−= xxxf μεαρχικές τιμές 00 =x και 40 =x . Η διαδικασία Newton θα συγκλίνει την πρώτη φοράστην τιμή 1 και την δεύτερη φορά στην τιμή 2 που αποτελούν τις ρίζες τηςσυνάρτησης.

ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Το πρόβλημα )(:max xf χαρακτηρίζεται από τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες

0)( * =′ xf και 0)( * <′′ xf

Η εξίσωση 0)( * =′ xf είναι δυνατόν να μην λύνεται αναλυτικά οπότε θα πρέπει νακαταφύγουμε στην χρήση αριθμητικών μεθόδων. Για να βρούμε αριθμητικά τομέγιστο μπορούμε να εφαρμόσουμε την επανάληψη Newton για την λύση τηςεξίσωσης 0)( * =′ xf , η οποία θα είναι

)()(

1i

iii xf

xfxx

′′′

−=+ , ,...2,1,0=i με δεδομένο 0x

Σαν παράδειγμα ας θεωρήσουμε την συνάρτηση )exp()( xxxf −= με παραγώγους)exp(1)( xxf −=′ και )exp()( xxf −=′′ . Η αναλυτική λύση είναι 0* =x . Η

επανάληψη Newton στην περίπτωση αυτή θα είναι

52

)exp(1)exp()exp(1

)()(

1 iii

ii

i

iii xx

xx

xxfxf

xx −+−=−−

−=′′′

−=+

Το διάγραμμα της συνάρτησης φαίνεται στην επόμενη οθόνη.

Για να προγραμματίσουμε την επανάληψη Newton χρησιμοποιούμε την εντολή

53

Με αντιγραφή και επικόλληση οι επόμενες επαναλήψεις της μεθόδου είναι όπως στηνακόλουθη οθόνη.

54

Από την 11η επανάληψη η διαδικασία συγκλίνει στην τιμή 0 που αποτελεί και τηναναλυτική τιμή στην οποία η συνάρτηση μεγιστοποιείται. Σαν άσκηση μπορείτε ναεπιβεβαιώσετε ότι αν αρχίσετε από την τιμή 1000 =x θα χρειασθείτε 106επαναλήψεις για να συγκλίνετε στην τιμή 0. Μια άλλη ιδιότητα της επανάληψηςNewton είναι ότι συγκλίνει σε μια επανάληψη αν η συνάρτηση )(xf είναιτετραγωνική.

Αν έχουμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης της συνάρτησης )(xf μπορούμε ναμεγιστοποιήσουμε την )()( xfxg −= και να έχουμε την ίδια επανάληψη Newton.Απλώς θα πρέπει να βεβαιωθούμε ότι ισχύουν οι συνθήκες δεύτερης τάξης ή νακάνουμε ένα διάγραμμα της συνάρτησης για να βεβαιωθούμε ότι έχουμε βρει τομοναδικό ελάχιστο ή μέγιστο.

ΑΠΛΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

Αν και είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε το Excel για την διεξαγωγή απλής ήπολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης υπάρχουν πιο εξειδικευμένα προγράμματα γιατέτοιες εργασίες όπως το SPSS ή το Eviews. Στην συνέχεια θα δούμε πως μπορούμενα χρησιμοποιήσουμε απλές συναρτήσεις του Excel για να εφαρμόσουμε την μέθοδοελαχίστων τετραγώνων όταν το εργαλείο «Ανάλυση Δεδομένων» δεν είναιεγκατεστημένο. Όπως είναι γνωστό από την στατιστική αν έχουμε το γραμμικόυπόδειγμα

iii uXY ++= βα , ni ,..,1=

οι εκτιμήσεις ελαχίστων τετραγώνων των παραμέτρων δίνονται από τις σχέσεις

∑

∑

=

== n

ii

n

iii

x

yx

1

2

1β̂ , XY βα ˆˆ −=

όπου XXx ii −= και YYy ii −=

Θα εφαρμόσουμε απευθείας αυτούς τους τύπους. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ταστοιχεία στην ακόλουθη οθόνη.

55

Στην συνέχεια κατασκευάζουμε τους μέσους των μεταβλητών χρησιμοποιώντας“Insert”, “Function”, “Average”.

56

Έχουμε επομένως την ακόλουθη οθόνη.

Στην συνέχεια κατασκευάζουμε τις μεταβλητές 2ix και ii yx με την διαδικασία που

φαίνεται στις επόμενες οθόνες. Για να κατασκευάσουμε την απόκλιση ix πρέπει ναχρησιμοποιήσουμε την εντολή 7$2 AA − . Το σύμβολο $ σημαίνει ότι το κελί πουακολουθεί πρέπει να αφαιρεθεί στην μορφή αυτή και να μην αυξηθεί ο δείκτης όπωςσυμβαίνει συνήθως με τον συμβολισμό 2A όταν αυτός επικολλάται σε πεδίο κελιών.Εφαρμόζοντας την διαδικασία “Copy”, “Paste” στα επόμενα κελιά και κάνοντας τοίδιο για την μεταβλητή y έχουμε την ακόλουθη οθόνη.

57

Έχουμε επίσης υπολογίσει τα αθροίσματα των x και y με την χρήση του πλήκτρουΣ από την Γραμμή Εργαλείων για να βεβαιωθούμε ότι οι αποκλίσεις από τουςμέσους είναι μηδέν όπως θα έπρεπε. Στην συνέχεια υπολογίζουμε τις μεταβλητές

xxxx *= και yxxy *= στις επόμενες δυο στήλες.

58

Έχουμε την ακόλουθη οθόνη για τον υπολογισμό του β̂

Για τον υπολογισμό του α̂ έχουμε την επόμενη οθόνη.

59

Το αποτέλεσμα είναι η εκτίμηση 4,1 για την σταθερά και 5,5 για την κλίση. Στηνσυνέχεια δημιουργούμε τα κατάλοιπα iXYU βα ˆˆ −−= , τα τετράγωνά τους

2^UUU = και το άθροισμα των τετραγώνων.

60

61

Το άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων είναι 34,7. Το άθροισμα των καταλοίπωνείναι 15101,7 −×− , δηλαδή πρακτικά μηδέν όπως ισχύει πάντοτε όταν εφαρμόζουμετην μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων.

Για να εκτιμήσουμε την διακύμανση των καταλοίπων έχουμε την οθόνη μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση VAR:

62

Το αποτέλεσμα είναι 8,675. Για να παραστήσουμε γραφικά τα στοιχεία μαζί με τηνευθεία παλινδρόμησης πρέπει πρώτα να κατασκευάσουμε μια σειρά που αποδίδει τηνευθεία αυτή σε κάθε παρατήρηση iX με την εντολή στην ακόλουθη οθόνη.

63

Για να κατασκευάσουμε το διάγραμμα τώρα χρησιμοποιούμε τον ΟδηγόΓραφημάτων ή Chart Wizard και ακολουθούμε τα βήματα στις επόμενες οθόνες.

64

Στον επόμενο οδηγό επιλέγουμε «Σειρά» και έχουμε

65

Καταργούμε τις επόμενες σειρές και έχουμε το εξής διάγραμμα με την επιλογή«Τέλος» ή “Finish”.

66

Στο διάγραμμα αυτό φαίνονται τα αρχικά στοιχεία μας μαζί με την γραμμή τηςπαλινδρόμησης και είναι εύκολο να δούμε κατά πόσον η προσαρμογή τουυποδείγματος στα στοιχεία είναι καλή. Για να δούμε πιο καλά την προσαρμογήμπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των Y και Yfitτο τετράγωνο του οποίου είναι ο συντελεστής προσδιορισμού 2R .

Θα έχουμε 94715,0=r και 897,02 =r .

67

Αξίζει να σημειώσουμε ότι το φύλλο εργασίας είναι πια διαμορφωμένο όπως θαδιαμορφώνατε έναν πίνακα τιμών για να εκτιμήσετε τις παραμέτρους όπως σε μιατυπική άσκηση παλινδρόμησης.