ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA EXCELENCIA“VESALIUS” 2012

PROFESOR: Erick Vásquez Llanos ASIGNATURA: GEOMETRÍA FECHA: 14 – 07 – 2012

Nº 02- ANGULOMETRIA – RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE –ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO

01. ÁNGULO: Es la reunión de dos rayos que tienen unpunto extremo común, es decir tienen el mismoorigen.Los dos rayos son los lados del ángulo y el puntoextremo común se llama VÉRTICE del ángulo.

A

BO

1.1. Elementos del ángulo.

1. Lados: OA y OB

2. Vértice: “O”

3. Simbología: AOB, AOB; AOB

4. Notación: AOB = OA OB

5. Medida: m AOB = °

02. ÁNGULOS CONGRUENTES. ()Dos o más ángulos son congruentes si tienen igualmedida.

A

BO

°

P

QO

POQAOB

03. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO. La bisectriz de unángulo es el rayo que partiendo del vértice divide alángulo en dos ángulos congruentes.

A

BO

x°

°

OX : es bisectriz del AOB

mAOX = XOB = °

04. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.

Los ángulos se clasifican según su medida, deacuerdo a su posición y según sus características.

4.1. SEGÚN SU MEDIDA

a) Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya medida esmenor que 90° pero mayor que 0°.

b) Ángulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida esmayor que 90° pero menor que 180°.

c) Ángulo Llano o rectilíneo: Es aquel ángulo cuyoslados son dos rayos opuestos; es decir son colineales ysu medida es 180°.

d) Ángulo Recto: Es aquel ángulo cuya medida esigual a 90°

e) Ángulo Nulo o Perígono: Es aquel ángulo cuyamedida se considera igual a 0°.

A

BO

0AOBm

4.2. SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS

a) Ángulos adyacentes:Se dice que dos ángulos son adyacentes cuando tienenel mismo vértice y un lado común tal que los lados seencuentren a otro y otro lado del lado común.

BO

lado común

A

C

b) Ángulos consecutivos:

Se denominan así dos o más ángulos que sonadyacentes con sus inmediato.

c) Ángulos opuestos por el vértice:

Son dos ángulos determinados al trazar dos rectassecantes.

d) Ángulos adyacentes complementarios:Se dice que dos ángulos son adyacentescomplementarios, cuando tienen el mismo vértice ycuyos lados tienen el mismo vértice y cuyos lados nocomunes forman un ángulo recto.

e) Ángulos adyacentes suplementarios:Se dice que dos ángulos son adyacentessuplementarios, cuando tienen el mismo vértice ycuyos lados tienen el mismo vértice y cuyos lados nocomunes forman un ángulo recto.

f) Ángulos entre Rectas Paralelas

Sean las rectas m y n rectas paralelas cortadas por una

recta secante , luego tenemos:

m

n

1 2

34

65

78

1.1. Ángulos Alternos

ˆ ˆ3 5Ángulos Alternos

ˆ ˆ4 6Interiores

ˆ ˆ1 7Ángulos Alternos

ˆ ˆ2 8Externos

1.2. Ángulos Correspondientes

Ángulos correspondientes

ˆ ˆ1 5ˆ ˆ2 6ˆ ˆ4 8ˆ ˆ3 7

1.3. Ángulos Conjugados o Colaterales

Ángulos Conjugados Interiores:

ˆ ˆm4 m5 180ˆ ˆm3 m5 180

1.4. Ángulos Conjugados Externos:

ˆ ˆm1 m8 180ˆ ˆm2 m7 180

OBSERVACIÓN:

a) C(C(C(C(C… C( ))))) = , si n es par= C() , si n es impar

b) S(S(S(S(S… S( ))))) = , si n es par= S() , si n es impar

Práctica de clase

1. Si a un ángulo se le resta su complemento, resulta

igual a la cuarta parte de sus suplemento. Hallar la

medida del ángulo.

a) 135° b) 70° c) 80°

d) 60° e) 90°

2. La diferencia de dos ángulos es 38° y el suplemento

del mayor es igual al doble del complemento del

menor. Hallar la suma de las medidas de dichos

ángulos.

a) 118° b) 112° c) 122°

d) 114° e) 128

3. Si los / del suplemento del complemento de los /

de la diferencia entre el suplemento del suplemento

de y complemento del complemento de es igual a

los / del suplemento del complemento de los /

de la diferencia entre el complemento del

complemento de y el suplemento del suplemento

de . Calcular el complemento de la diferencia entre

y

a) 45° b) 60° c) 75°

d) 80° e) 90º

4. Si: C : Complemento; S: suplemento

Reducir:

R = SCSCSC .... SCx

“n” veces

a) 90°n + x b) 90° (n+x) c) n° + 90x

d) 90° e) 180º

5. La mitad del complemento de la tercera parte del

suplemento de un ángulo es a la tercera parte del

suplemento de la mitad del complemento del mismo

ángulo como 11 es a 26. El complemento del ángulo

es:

[Cepunt – 11 – I]

a) 314° b) 315° c) 316°

d) 317° e) 318°

6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y

COD, tal que mAOB – mCOD = 24. La medida

del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos

AOD y BOC es

[CEPUNT – 09 – I]

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

7. Considerando que el AOB mide 150°, se trazan los

rayos OX y OY , de manera que el ángulo XOY mide

80°. Entonces la medida del ángulo formado por la

bisectrices de los ángulos AOY y XOB es:

[UNT – 10 – II]

a) 32° b) 33° c) 35°

d) 36° e) 40°

8. Se tienen los ángulos consecutivos, AOB, BOC y

COD de modo que:

mAOB + mBOC = 180

mBOC + mCOD = 90

Calcular la medida del ángulo que forman las

bisectrices de los ángulos AOB y COD

a) 90 b) 105 c) 120

d) 100 e) 135

n veces

n veces

9. Las medidas de dos ángulos adyacentes se

diferencian en aº. Calcule la medida del ángulo que

forman el lado común a dichos ángulos con la

bisectriz del ángulo que forman las bisectrices de estos

ángulos.

a) 0,4 aº b) 0,25 aº c) 0,33 aº

d) aº e) 0,5 aº

10. Los ángulos consecutivos EOD, DOC, COB y BOA, si

mEOA = 90º y las medidas de los ángulos AOB,

BOC, COD y DOE están en progresión geométrica de

razón 2.

Calcule el complemento del ángulo determinado por

las bisectrices de los ángulos BOC y DOE.

a) 24º b) 56º c) 37º

d) 26º e) 36º

11. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD

de modo que:

(mAOB)(mBOD) + (mAOC)

(mCOD) = (mAOD)(mBOC) y

(mAOB)(mCOD) = k

Calcule la mBOC

a) k2 b) k2 c) k3

d) k3 e) k

12. Del gráfico, hallar el mayor valor entero par de “y”

a) 80º b) 82º c) 84º

d) 85º e) 88º

13. Si el ángulo AOB = a°, ha sido dividido en partes

iguales por “n” rayos interiores. Halle la medida de x.

0

X

B

A

a)1

)1(

n

na b) a(n-1) c)1n

a

d) n + 1 e) a(n – 2)

14. En el gráfico L1 // L2. Calcular

a) 160º b) 162º c) 163º

d) 164º e) 165º

15. Según el grafico, a + b = 225º. Calcule x + y

a) 120º b) 135º c) 140º

d) 160º e) 180º

16. Según la figura, calcule x:

a) 65º b) 70º c) 75º

d) 80º e) 85º

17. En la figura mostrada, si: L2//L1 ; BN = BM y AN

= AQ. Calcule el suplemento del complemento de la

medida del ángulo que forman las bisectrices de los

ángulos NMS y NQS

a) 108º b) 110,5º c) 112,5º

d) 115º e) 120º

18. En la siguiente figura las rectas no paralelas: L1 y

L2 forman un ángulo que mide 3. Hallar el mayor

valor de “”

a) 15 b) 22º 30 c) 18º15

d) 26º15 e) 45

19. Calcular 921 ...... xxx

a

a) 430 b) 340 c) 450

d) 520 e) 360

20. En la figura: 300 .

Calcular 1021 ................ xxx

a) 660 b) 570 c) 480

d) 750 e) 840

TAREA DOMICILIARIA

1. Se trazan las bisectrices

OX y

OY de los ángulos AOB

y BOC que forman un par lineal. Calcule la medida

del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos

XOB y BOY

a) 15º b) 30º c) 45º

d) 60º e) 10º

2. Se tienen los ángulos contiguos AOB y BOC. Se traza

OD bisectriz del ángulo AOB. Si

m AOC m BOC 160º . Calcule la m COD

a) 60º b) 40º c) 80º

d) 100º e) 120º

3. Dados los ángulos consecutivos < AOB y < BOC,si < AOB = 50°, la medida del ángulo formado porlas bisectrices de los ángulos < AOC y < BOC, es:

[UNT – 02]a) 5° b) 10° c) 25°d) 20° e) 15°

4. [UNT 08 – II] En la figura adjunta

se tiene PQ es perpendicular a MS . El valor de x es:

a) 60º b) 50º c) 30ºd) 37º e) 20º

5. Si a la medida de un ángulo se le resta su

complemento es igual a la cuarta parte de su

suplemento. Calcule dicha medida

a) 80º b) 45º c) 60º

d) 15º e) 75

6. Un ángulo mide 280º , se quiere dividir en cuatro

partes, de tal manera que a la primera medida le

corresponde 40º más que a la segunda , a ésta 2/3

de lo que le corresponde a la tercera y esta 50º

menos que a la cuarta. ¿Cuánto mide la parte mayor?

a) 103º b) 105º c) 107º

d) 109º e) 113º

7. La suma del suplemento y el complemento de la

medida de un mismo ángulo, es igual a “n” veces el

suplemento de la medida de dio ángulo. Calcular su

medida.

a)

90º n 1n 1

b)

45º 2n 1n 3

c)

90º 2n 3n 2

d)

60º n 2n 1

e)

90ºnn 1

8. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD

tal que m AOD 90º y m AOC m BOD 125º . Hallar

la m BOC

a) 20º b) 25º c) 35º

d) 30º e) 40º

9. La suma de las medidas de dos ángulos es

80º y el complemento del primero es el doble del

segundo. Calcule la diferencia de las medidas de

dichos ángulos.

a) 70º b) 10º c) 60º

d) 50º e) 40º

10. Sean los ángulos consecutivos AOB, y BOC ,

tal que m BOC m AOB 36º . Se trazan las

bisectrices

OX,OY y OZ de los ángulos AOB, BOC y

XOY, respectivamente. Calcular m BOZ

a) 7º b) 11º c) 9º

d) 13º e) 18º

11. Dado los rayos consecutivos AO

, OB

, OC

,

OD

,

OE

y OF

Calcular la m BOC sabiendo que la

m AOD , m BOE y m COF son iguales y que la

m AOF = 118º. Además la mitad de la medida del

ángulo formado por OE y la bisectriz del m COD es

18º

a) 18º b) 20º c) 23º

d) 24º e) 25º

12. Según la figura 2 38º , L1 // L2, . Calcule el

mínimo valor entero de x

a) 112º b)119º c) 129º

d) 132º e) 138º

13. Si los puntos A, O y B están en una recta

OQ es bisectriz del ángulo AOM y

m QON / m QOB 5 / 7 . Hallar la medida del ángulo

NOB

a) 18º b) 25º c) 45º

d) 48º e) 60º

14. En la figura. Calcular la medida del ángulo

formado por la bisectriz del ángulo AOB y COD

a) 85º b) 90º c) 95º

d) 100º e) 105º

15. Si m // n. Calcular x + y. Siendo 135º

a) 100º b) 108º c) 97º

d) 98º e) 114º

16. Si m // n y el ángulo EQP es agudo. Calcular el

menor valor entero de xº

a) 50º b) 48º c) 46º

d) 44º e) 43º

17. De la figura, calcular “x”. Si 200º y

1 2 3L / / L / /L

a) 10º b) 18º c) 20º

d) 40º e) 50º

18. De la figura

m/ / n . Calcular el valor de xº

a) 30º b) 40º c) 45º

d) 36º e) 18º

19. Si

1 2L / /L . Calcular el máximo valor de “x”

a) 42º b) 43º c) 44º

d) 46º e) 47º

20. Sabiendo que: º.51 Hallar “xº”

a) 60 b) 50 c) 30

d) 37 e) 45

ÁNGULOS EN EL TRIÁNGULO

1.1.Ángulo formado por dos bisectrices interiores

1.2. Ángulo formado por una bisectriz interior yuna bisectriz exterior.

1.3. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores

14. Propiedad del cuadrilátero Cóncavo.

En todo cuadrilátero cóncavo se cumple losiguiente:

1.5. Ángulo entre la bisectriz y alturaTenemos BH: altura y BD bisectriz interior, luego:

1.6. Si AD y CD son bisectrices de los <s A yC entonces:

1. 7. TeoremaEn todo la bisectriz exterior de un < y laprolongación del lado opuesto forman un ángulocuya medida es:

1. 8. TeoremaSi: BC y DC son bisectrices, entonces:

PRACTICA DE CLASE

01. Se tiene el triángulo ABC, luego se traza la altura

BH. En el triángulo BHC se traza la bisectriz

interior BR . Calcular “HR”, si AB = 10 y AH = 7.

a) 2 b) 2,5 c) 3

d) 3,5 e) 4

02. En un triángulo ABC se sabe que: m B = 60° y

m C= 12°. Hallar la medida del ángulo que forman

entre sí las alturas trazadas de los vértices B y C.

a) 40° b) 80° c) 72°

d) 56° e) 62°

03. En un triángulo ABC se sabe que m A - m C =

36°. Calcule el ángulo formado por la bisectriz interior

del ángulo ABC y la mediatriz del lado AC

a) 9° b) 12º c) 18º

d) 24° e) 36°

04. En un triángulo ABC: m B = 80°, la mediatriz de laaltura BH corta a BC en F. Encontrar m BAC, sim BFH = 80°.a) 40° b) 50° c) 60°d) 70° e) 80°

05. En la figura, calcule “x” si AD es bisectriz y DE = EC

a) 20° b) 25° c) 30°

d) 35° e) 40°

06. Calcular “x” si AD es bisectriz del ángulo BAC,

además DC = CE

a) 30° b) 36° c) 40°

d) 45° e) 50°

07. En la figura, BF es bisectriz exterior del

triángulo ABC, si: AE = EC, calcular “x”.

a) 64° b) 48° c) 32°

d) 70° e) 60°

08. En la figura. Hallar yx :

69°

x

y

a) 249° b) 250° c) 251°d) 252° e) 234º

09. En la figura, hallar “x”.

a) 40° b) 30° c) 45°

d) 60° e) 75°

10. En la figura, calcular θ

a) 10° b) 12° c) 15°d) 16° e) 18°

11. En la figura, hallar “x”.

a) 15° b) 16° c) 18°d) 20° e) 24°

12. En la figura se pide “x” si m B = 40°

a) 120° b) 125° c) 130°

d) 135° e) 140°

13. En la figura, halar “x”

a) 120° b) 124° c) 136°

d) 144° e) 148°

14. En la figura siguiente, halle “x”

a) 40° b) 45° c) 50°d) 60° e) 70°

15.En la figura. Calcular “x” en función de “”

a) 90° + b) 135° +/2 c) 90°+/3

d) 150°– e) 135°– /4

TAREA DOMICILIARIA

01. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BP

tal que: AB = BP = PC. Calcular m A.

a) 40° b) 36° c) 72°

d) 44° e) 48°

02. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BP ,de modo que AB = BP = PC. Calcular el ánguloformado por las bisectrices interior de B y exteriorde A.a) 16° b) 18° c) 20°d) 24° e) 26°

03. En un triángulo ABC: m C = 2m A, se traza labisectriz interior BD . Hallar AB, si BC=6 y CD=4.a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

04. En el triángulo ABC isósceles el ángulo desigual “B”

mide 46°. Se traza la altura AH . Hallar la m HAC.a) 20° b) 23° c) 24°d) 30° e) 36°

05. Del gráfico; calcular “x”

50°A

B

C

Dx

20°

a) 90° b) 110° c) 120°d) 100° e) 80°

06. Calcular “x” si 100CBA

a) 30º b) 40º c) 45ºd) 50º e) 60º

07. En la figura, halar “x”

a) 120° b) 144° c) 136°

d) 164° e) 148°

08. En la figura, calcular “x”

a) 50° b) 80° c) 80°d) 199° e) 108°

09. En la figura, hallar “x”

a) 85° b) 105° c) 108°d) 112° e) 115°

10. En la figura, hallar “x”

a) 140° b) 155° c) 150°d) 175° e) 160°