exercice’1’analyse’de’données’de’ …©sumé... · comme on admet que les débits...

Exercice 1 Analyse de données de débits et régime hydraulique

Nguyen Ha-‐Phong

Section génie civil 2012, Prof. Dr A. Schleiss


Nguyen Ha-‐Phong – Génie civil 2012 Page 1

A) Analyse hydrologique

1. Estimation des débits moyens journaliers de la station B pour la série de mesures du 1er au 31 août 1968 à l’aide des données limnimétrique et la courbe de tarage.

Nous avons la courbe de tarage de la station B qui relie le niveau d’eau avec le débit.

Cette courbe peut être approximée par une équation de type puissance, c.à.d. qui est de la forme y = a * xn. Pour cela, traçons le graphe de Q en fonction de h et vice versa. Nous obtenons :

Comme on désire avoir une équation nous donnant le débit Q, on va utiliser y = 0.1522 * x4.6995 óQ = 0.1522 * h4.6995.

A partir de cette relation, on peut facilement calculer le débit moyen journalier. On obtient les valeurs ci-dessous. On représente en même temps la courbe de débit moyen journalier pour le mois d’août 1968 à la station B.

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0 10 20 30

Pegelstand

h [m

]

Q [m3/s]

Courbe de tarrage sta7on B 1968

Q in [m3/s]

y = 0.1522x4.6995

y = 1.4934x0.2126

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00

Q en foncFon de P P en foncFon de Q

Puissance (Q en foncFon de P) Puissance (P en foncFon de Q)



Q 7Uhr

Q 19Uhr

Q moyen journalier

[m3/s]

[m3/s]

[m3/s]

1.345489892.22722974

1.7863598163.95462327

6.189136215.07187974

23.414309936.0053449

29.7098274224.566496

2.7414996213.65399782

2.4102816310.8677672

6.639024418.95649447

6.458035917.707265192

12.849770320.2108699

16.530320116.18913621

7.62701536.908075759

17.362946329.1784687

23.2707075121.5889055

6.5958892714.09239741

11.28583579.49956555

10.392700625.55532146

8.105947816.830634637

7.784113367.78411336

7.784113367.32030988

7.943747617.632028748

9.1347273211.2858357

10.2102815112.6164848

8.6082448310.61236482

8.608244838.78101066

8.6946277463.86255508

7.170644115.516599593

6.595889276.18913621

6.3925127434.04841033

7.320309885.684360106

3.107543381.42689776

2.2672205724.97375316

8.781010666.877381911

1.64745144.04841033

2.8479308667.17064411

4.973753166.072198635

3.772182665.08604328

4.4291129662.00037913

1.122980031.561679576

3.772182662.81184084

3.2920117474.86342389

6.189136215.526280053

6.7360486410.2636224

8.4998355213.51101196

2.410281632.960646792

21.944714.5794891

18.26209458

1.786359816

5.07187974

29.70982742

13.65399782

6.63902441

7.707265192 16

.53032011

6.908075759

23.27070751

14.09239741

10.39270062

6.830634637

7.78411336

7.632028748

10.21028151

10.61236482

8.694627746

5.516599593

6.392512743

5.684360106

2.267220572

6.877381911

2.847930866

6.072198635

4.429112966

1.561679576

3.292011747

5.526280053

8.499835521

2.960646792

18.26209458

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Débit [m3/s]

Jour du mois d'août 1968

Débits moyens journaliers sta7on B, août 1968



2. Détermination de la régression linéaire entre les débits de station B et C

Tout d’abord représentons le débit moyen journalier de la station B en fonction du débit moyen journalier de la station C. On fait ensuite une régression linéaire passant par l’origine et on obtient la corrélation suivante.

On a donc une dépendance entre QB et QC qui est symbolisé par l’équation de la droite linéaire (passant à l’origine), à savoir y = 0.4859 * x ó QB = 0.4859 * QC.

Le coefficient de corrélation multiple R2 permet de mesurer la précision de l’ajustement de la droite de régression. Mathématiquement, il s’agit du rapport entre la variation de la variable dépendante (QB dans notre cas) mesuré par le modèle de régression et sa variation totale. Cette définition est un peu délicate à comprendre, pour cela prenons un exemple. Dans notre cas on obtient un R square égale à 72%, cela signifie que 72% des variations de la variable dépendante QB sont expliqués par le modèle de régression et que les 38% restant sont inexpliqués. Donc on peut dire que plus R2 est proche de 1, plus notre modèle se rapproche de la perfection. Il serait intéressant de considérer QC comme la variable dépendante, on remarque que R2 est quasi-identique que pour le cas précédent.

y = 0.4859x R² = 0.72253

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40 50 60 70

Débit B

[m3/s]

Débit C [m3/s]

Débit B vs Débit C : août 1968

y = 1.8635x R² = 0.76859

0 10 20 30 40 50 60 70

0 5 10 15 20 25 30 35

Débit C

[m3/s]

Débit B [m3/s]

Débit C vs Débit B : août 1968



3. Extrapolation des débits à la station A du projet

a. Moyennes mensuelles, annuelles

De la question 2, on a pu établir une relation linéaire entre QB et QC ó QB = 0.4859 * QC. Comme on s’intéresse maintenant au débit en A, il faut trouver une relation liant QA avec QB. Comme on admet que les débits moyens sont proportionnels à la surface du bassin versant, le débit en A peut être estimé par un simple rapport de surface : QA = EA/EB * QB. En faisant cette hypothèse simplificatrice, on suppose que les bassins versants A et B ont les mêmes caractéristiques :

• Topographiques : relief, pente • Réseau hydrographiques : ensemble des chenaux qui drainent les eaux de surface vers

l'exutoire du bassin versant. • Terrain • Sol : perméabilité, infiltration, absorption, etc. • Couverture végétale

On peut donc s’attendre à des imprécisions puisqu’en réalité certaines de ses caractéristiques ne sont pas identiques en A et B.

On a donc : QA = EA/EB * QB óQA = 0.669 * QB. Pour la période 1928-2010 on obtient les valeurs suivantes.

Moyennes mensuelles (1968-‐2010) [m3/s]

QC QB QA Janvier 6.32 3.070888 2.05513274 Février 7.17 3.483903 2.33153508 Mars 9.8 4.76182 3.18675646 Avril 12.5 6.07375 4.06474038 Mai 12.2 5.92798 3.96718662 Juin 10.6 5.15054 3.44689985 Juillet 8.74 4.246766 2.84206648 Août 7.69 3.736571 2.50062828

Septembre 7.05 3.425595 2.29251358 Octobre 6.53 3.172927 2.12342038 Novembre 7.45 3.619955 2.42258527 Décembre 6.89 3.347851 2.2404849

Le graphe ci-dessous montre la moyenne mensuelle des débits de la station A pour la période 1928-2010.



La moyenne annuelle des débits est : 2.78949583 m3/s.

b. Courbes des débits classés

Il s’agit d’un outil qui est souvent utilisé pour le dimensionnement des constructions hydrauliques. On construit la courbe en classant les débits mesurés selon leur valeur. Dans notre cas, on va représenter la courbe des débits classés pour une seule année, à savoir 2010.

On a les données de QC pour tous les jours de l’année 2010. On utilise la relation en 2. Pour trouver QB ó QB = 0.4859 * QC. Ensuite on utilise la relation QA = 0.669 * QB pour trouver les débits journalier à la station A.

2.055132738

2.331535085

3.186756462

4.064740385

3.967186615

3.446899846

2.842066477

2.500628285

2.292513577

2.123420377

2.422585269

2.2404849

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5 Dé

bit [m3/s]

Moyennes mensuelles sta7on A

25.13635454 Pointe annuelle

0.666617423 Minimum annuel

2.473553773

0

5

10

15

20

25

30

0 30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

390

Débit [m3/s]

T [jours]

Courbe des débits classés 2010 sta7on A

Courbe des débits classés

Moyenne annuelle



Il serait intéressant de calculer aussi la courbe des débits classés pour 1968, toujours pour la station A.

A l’aide de ces courbes, on peut facilement déterminer pendant combien de jours de l’année un certain débit Qd est garanti.

Souvent, on s’intéresse à une série de plusieurs années, c.à.d. une courbe représentative du cours d’eau et valable à long terme. Comme on ne dispose que des donnés pour 1968 et 2010, effectuons simplement la courbe des débits classés pour 1968 et 2010.

22.33981315 Pointe annuelle

0.796689115 Minimum annuelle

3.285829511

0

5

10

15

20

25

0 30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

390

Débit [m3/s]

T [jours]

Courbe des débits classés 1968 sta7on A

Courbe des débits classés

Moyenne annuelle

25.13635454 maximum

0.666617423 Minimum

2.880247234

0

5

10

15

20

25

30

0 30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

390

420

450

480

510

540

570

600

630

660

690

720

750

780

Débit [m3/s]

T [jours]

Courbe débit classés 1968 et 2010 sta7on A

Courbe débit classés

Moyenne



c. Débits maximaux annuels de la période d’observation

La procédure est la même que la précédente. On dispose des débits maximaux pour la période 1928 à 2011 pour la station C. Pour trouver QB ó QB = 0.4859 * QC. Comme ici on suppose que les débits de crues sont proportionnels à la surface du bassin versant à la puissance 2/3, on a : QA = (EA/EB) 2/3 * QB



4. Evaluation des débits de crues

a. Plus grande valeur observées

Les débits maximaux annuels pour la période 1928-2011 sont regroupés dans le tableau ci-dessous. On remarque qu’elle on tout eu lieu en 1990. Ceci est logique car nous avons déduit QB et QC à l’aide des formules présenté auparavant.

QC max [m3/s] QB max [m3/s] QA max [m3/s] 495 240.5205 184.021838

b. Analyse statistique de Gumbel

L’objectif est d’estimer les débits de crues (débits maximaux) correspondants à un certain temps de retour, c’est-à-dire à une certaine probabilité d’apparition donnée. Pour notre cas, on utilisera les périodes de retour T = 10, 50, 100 ans.

Voici la démarche suivie pour résoudre le problème.

Etape 1 : Préparation de la série de données des débits de pointe. o Trier les valeurs dans l’ordre croissant. o Attribuer un rang r à chaque valeur.

Etape 2 : Calcul de la fréquence empirique pour chaque rang à l’aide de la formule de

Hazen : 𝐹 = !!!.!!

où r est le rang dans la série de données classée par valeurs croissantes, n est la taille de l’échantillon.

Etape 3 : Calcul de la variable réduite « u » du Gumbel à l’aide de 𝑢 = −ln (− ln 𝐹 𝑥 ).

Etape 4 : Représentation graphique des couples (ui, xi) de la série à ajuster. Les xi correspondent dans notre cas aux débits.



Etape 5 : Ajustement d’une relation linaire de type aux couples (ui, xi) et en déduire les deux paramètres a et b de la loi de Gumbel. Concrètement on va ajuster une droite qui passe le mieux par ces points. Avec un ajustement de type graphique (à l’œil), on a alors une estimation des paramètres a et b : a = 48.281et b = 19.611.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

-‐2 -‐1 0 1 2 3 4 5 6

Débit [m3/s]

u

Débits de pointe observées

y = 19.611x + 48.281

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

-‐2 -‐1 0 1 2 3 4 5 6

Débit [m3/s]

u

Débits de pointe observées



Etape 6 : Utilisation du modèle statistique pour estimer des débits de pointe de différents temps de retour T.

o Calcul de la fréquence de non-dépassement d’après la relation 𝑇 = !!!!(!!)

ó𝐹 𝑥! = 1− !!

o Calcul de la variable réduite de Gumbel correspondante d’après la relation 𝑢 = −ln (− ln 𝐹 𝑥 ).

o Calcul du quantile correspondant d’après la relation linéaire (avec a et b fournis par l’étape 5 précédente) : QP = a + b * u.

Etape 5 bis : Ajustement d’une relation linaire de type aux couples (ui, xi) et en déduire les deux paramètres a et b de la loi de Gumbel. On utilise cette fois ci la méthode des moments qui consiste à égaler les moments des échantillons avec les moments théoriques de la loi. Par la méthode des moments les paramètres a et b sont calculés d’après les formules :

σ : écart-type des valeurs composant l’échantillon

µ : moyenne de l’échantillon

γ : constante d’Euler (0.5772)

Il est possible d’estimer les débits dont la représentation graphique est une droite d’équation : 𝑄 = 𝑎 + 𝑏×𝑢

Période de retour T Probabilité de non dépassement F(xi) Variable réduite de Gumbel u QP pour période de retour T [m3/s]10 0.9 2.25036733 92.412953750 0.98 3.90193866 124.801919100 0.99 4.60014923 138.494526

Coefficients a, b méthode graphiquea 48.281b 19.611

Coefficients a, b méthode momentsa 48.1180338b 19.7757948

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=

.ˆˆˆ

ˆ6ˆ

γµ

σπba

b



Etape 6 bis : idem qu’avant. On obtient :

On peut dire que les deux méthodes donnent des résultats très proches l’une de l’autre. La méthode des moments est nettement plus rapide à appliquer, elle présente cependant un désavantage par rapport à la méthode graphique. L’ajustement graphique permet en effet de repérer d’éventuels points qui ne sont pas bien alignés et de ne pas en tenir compte. On pourrait également voir si la série comportait une « rupture » c’est-à-dire un changement de pente et donc un changement des paramètres de la loi statistique. De manière générale, l’ajustement manuel donne souvent beaucoup d’informations sur la série étudiée.

c. Méthode empirique

Formule Bassin versant Valeurs pour C HHQ

[m3/s] Plat Moyen Raide

HHQ=C*A1/2 Hofbauer

Montagnes 30 42 Montagnes moyennes 21 30 195.87

Pays plat 15 21 HHQ=C*A2/3

Kürsteiner 9 12 176.7

HHQ=C*A1/2 Melli

Au-dessus de la limite des forêts

17 26 34

167.9 Près de la limite des forêts

9-13

17-22 26-30

Région plus basse 2-4 7-13 13-22

y = 19.776x + 48.118

0 20 40 60 80 100 120 140 160

-‐2 -‐1 0 1 2 3 4 5 6

Débit [m3/s]

u

Débit de pointe es7mées

Période de retour T Probabilité de non dépassement F(xi) Variable réduite de Gumbel u QP pour période de retour T [m3/s]10 0.9 2.25036733 92.620836350 0.98 3.90193866 125.281972100 0.99 4.60014923 139.089641



B) Conséquence pour le projet

1. Débit maximal utilisable de la prise d’eau en tenant compte :

a. du débit résiduel de 1m3/s (choix) pour des raisons écologiques

Le débit maximal utilisable est 20.65 m3/s – 1 m3/s = 19.65 m3/s.

b. de l’arrêt pour des débits de crues à fort transport solide

Le 07.08.1968, des prélèvements à Thörishaus (station C) ont montré que la qualité de l’eau était acceptable. Ce jour-là, le débit moyen journalier s’élevait à 35.2 m3/s. A l’aide des formules précédent, on peut calculer le débit moyen journalier à la station A le 07.08.1968.

QA = 11.44630892 m3/s

Le débit maximal acceptable vaut donc 11.44630892 m3/s –1m3/s = 10.446 m3/s

2. Choix du débit d’équipement

Afin de fonctionner pendant 250 jours par année à plein régime et le reste du temps à débit réduit voire à installation à l’arrêt, le débit d’équipement doit être égale à 1.24 m3/s.

20.64888115 Pointe

0.30566848

4.330709897

10.446

9 259

1.24 0

5

10

15

20

25

0 100 200 300 400

Débit [m3/s]

T [jours]

Courbe débit classé 1928-‐2010, sta7on A

Courbes débit classé 1928-‐2010, staFon A

Moyenne



3. Choix du débit de dimensionnement

On choisira un débit de dimensionnement supérieur pour la protection des vannes que pour la protection des berges. En effet, un ouvrage hydraulique ne doit pas constituer un obstacle plus important. On choisira par exemple pour une période de 100 ans pour le débit le dimensionnement des berges (= 152 m3/s) et une période de retour de 200 ans pour le débit de dimensionnement des vannes (=167 m3/s).



Annexe

20.64888115 Pointe

0.30566848

4.330709897

0

5

10

15

20

25

0 100 200 300 400

Débit [m3/s]

T [jours]

Courbe débit classé 1928-‐2010, sta7on A

Courbes débit classé 1928-‐2010, staFon A

Moyenne

exercice’1’analyse’de’données’de’ …©sumé... · comme on admet que les débits...

Documents