exercices de statistique 2006

7/29/2019 Exercices de Statistique 2006

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Dpartement de Mathmatiques et Informatique

E x er c i c es Cor r i g s

Abdelhamid El MossadeqProfesseur lEHTP

2006-2007


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A. El MossadeqJuin 2006


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TABLE DES MATIERES

Structures Statistiques et Estimation 1

Les Procdures Usuelles des Tests dHypothses : 1. Les Frquences 45

Les Procdures Usuelles des Tests dHypothses :2. Les Tests du Khi-Deux 61

Les Procdures Usuell es des Tests dHypothses :3. Moyennes et Variances 95


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Structure Statistique et

Estimation


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A. El Mossadeq Structures Statistiques et Estimation

Exercice 1Dterminer et tudier les proprits de lestimateur du maximum de vraisemlancedun r -chantillon pour :

1. le paramtre p dune loi de Bernouilli2. le paramtre p dune loi geometrique3. le paramtre p dune loi binomiale dordre n4. le paramtre dune loi de Poisson

5. le paramtre dune loi exponentielle6. les paramtres et 2 dune loi normale7. le paramtre dune loi uniforme sur lintervalle [0, ]

Solution 11. Soit X une variable alatoire de Bernouilli de paramtre p.

Pour tout x

{0, 1}, la probabilit lmentaire p (x) de x est :

p(x) = px (1 p)1 x

de plus :

E [X ] = p

V [X ] = p (1 p)

(a) Recherche du maximum de vraisemlance :Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout p

[0, 1] et tout

(x1,...,x r ){0, 1}r

par :

L ( p; x1,...,x r ) =r

Yi=1 p(xi )= p

r

Pi =1 x i (1 p)r

r

Pi =1 x ido :

ln L ( p; x1,...,x r ) = r

Xi=1 x i!ln p + r r

Xi=1 x i!ln(1 p)

3


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Structures Statistiques et Estimation A. El Mossadeq

Il en rsulte que :

p

ln L ( p; x1,...,x r ) =

r

Pi=1 xi

p r

r

Pi=1 xi

1 pdo :

p

ln L ( p; x1,...,x r ) = 0 = p =1r

r

Xi=1 x iet comme :

2

p2ln L ( p; x1,...,x r ) < 0

donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon dunestructure de Bernouilli est :

p =1r

r

Xi=1 X iCest la frquence empirique du r -chantillon.

(b) Etude des proprits de p :Puisque :

E [ p] = E [X ]

= pet :

V [ p] =V [X ]

r

=p (1 p)

rOn en dduit que p est un estimateur sans biais et convergent du paramtre p dune loi de Bernouilli.

2. Soit X une variable alatoire de gomtrique de paramtre p.Pour tout x

N , la probabilit lmentaire p (x) de x est :

p(x) = p (1 p)x 1

de plus :

E [X ] =1 p

V [X ] =1 p p2

4


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Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout p

[0, 1] et tout (x1,...,x r )

(N )r par :

L ( p; x1,...,x r ) =r

Yi=1 p(xi )= pr (1 p)

r

Pi =1 x i rdo :

ln L ( p; x1,...,x r ) = r ln p + r

Xi=1

x i!r ln(1 p)Il en rsulte que :

p

ln L ( p; x1,...,x r ) =r p

r

Pi=1 xi r1 p=

r pr

Pi=1 xi p(1 p)do :

p ln L ( p; x1,...,x r ) = 0 = p =

rr

Pi=1 x iet comme : 2

p2ln L ( p; x1,...,x r ) < 0

donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon dune struc-ture gomtrique est :

p =r

r

Pi=1

X i

Cest linverse de la moyenne empirique du r -chantillon.

3. Soit X une variable alatoire binomiale dordre n et de paramtre p.pour tout x

{0, 1,...,n }, la probabilit lmentaire p (x) de x est :

p(x) = C (n, x ) px (1 p)n x

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de plus :

E [X ] = np

V [X ] = np (1 p)

(a) Recherche du maximum de vraisemlance :Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout p

[0, 1] et tout

(x1,...,x r ){0, 1,...,n }r par :

L ( p; x1,...,x r ) =

r

Yi=1 p(xi )

= "r

Yi=1 C (n, x i )# pr

Pi =1 x i (1 p)rn

r

Pi =1 x i

do :

ln L ( p; x1,...,x r ) = lnr

Yi=1 C (n, x i ) +r

Xi=1 x i ln p + rn r

Xi=1 x i!ln(1 p)Il en rsulte que :

p

ln L ( p; x1,...,x r ) =

r

Pi=1 xi p rn

r

Pi=1 x i1 p=

r

Pi=1 xi rnp p(1 p)do :

p

ln L ( p; x1,...,x r ) = 0 = p =1

rn

r

Xi=1

xi

et comme : 2

p2ln L ( p; x1,...,x r ) < 0

donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon dunestructure de binomiale est :

p =1

rn

r

Xi=1 X i

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(b) Etude des proprits de p :Puisque :

E [ p] =1n

E [X ]= p

et :

V [ p] =V [X ]rn 2

=p (1 p)

rnon en dduit que p est un estimateur sans biais et convergent de p.

4. Soit X une variable alatoire de Poisson de paramtre .Pour tout x

N , la probabilit lmentaire p (x) de x est :

p(x) = x

x!exp

de plus :

E [X ] =

V [X ] = (a) Recherche du maximum de vraisemlance :

Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout , > 0, et tout(x1,...,x r )

N r par :

L (; x1,...,x r ) =r

Yi=1 p(xi )

=

r

Pi =1 x ix1!...x r ! exp r

do :

ln L (; x1,...,x r ) = ln (x1!...x r !) +r

Xi=1 xi ln rIl en rsulte que :

ln L (; x1,...,x r ) =

r

Pi=1 xi r

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do :

ln L (; x1,...,x r ) = 0 = p =1r

r

Xi =1 x iet comme :

2

2ln L (; x1,...,x r ) < 0

donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon dunestructure de Poisson est :

=1r

r

Xi=1

X i

Cest la moyenne empirique du r -chantillon.

(b) Etude des proprits de :Puisque :

E [ ] = E [X ]=

et :

V [] =V [X ]

r=

r

On en dduit que est un estimateur sans biais et convergent de .

5. Soit X une variable alatoire exponentielle de paramtre .Sa densit de probabilit f est d nie par :

f (x) =

0 si x 0

exp x si x > 0de plus :

E [X ] =1

V [X ] =12

Considrons un r -chantillon de cette structure.

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Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout , > 0, et tout (x1,...,x r )dans R r , tous strictement positifs, par :

L (; x1,...,x r ) =r

Yi=1 f (x i )= r exp

r

Xi=1 xido :

ln L (; x1,...,x r ) = r ln r

Xi=1 x iIl en rsulte que :

ln L (; x1,...,x r ) =r

r

Xi=1 xido :

ln L (; x1,...,x r ) = 0 = =r

r

Pi=1 xiet comme : 2

2 ln L (; x1,...,x r ) < 0donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon dune struc-ture exponentielle est :

=r

r

Pi=1 X iCest linverse de la moyenne empirique du r -chantillon.6. Soit X une variable alatoire normale de paramtres et 2.

Sa densit de probabilit f est d

nie pour tout xR

par :f (x) =

1 2 exp

122

(x )2

de plus :

E [X ] =

V [X ] = 2

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(a) Recherche du maximum de vraisemlance :

Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout

R , tout > 0 et

tout (x1,...,x r )R r par :

L (, ; x1,...,x r ) =r

Yi=1 f (xi )=

1

2r exp

122

r

Xi=1 (xi )2

do :

ln L (, ; x1,...,x r ) = r ln 2 r ln 1

22

r

Xi=1 (x i )2

Il en rsulte que :

L (, ; x1,...,x r ) =12

r

Xi=1 (xi ) L (, ; x1,...,x r ) = r + 13

r

Xi=1 (xi )2

do :

L (, ; x1,...,x r ) = 0

L (, ; x1,...,x r ) = 0

=

=1r

r

Xi=1 x i2 =

1r

r

Xi=1

(xi )2

Donc les estimateurs du maximum de vraisemblance dun r -chantillondune structure normale est :

=1r

r

Xi=1 X i2 =

1r

r

Xi=1 (X i )2

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(b) Etude des proprits de et :On a :

E [] = E [X ]=

et :

E 2

=r 1

rV [X ]

=r 1

r2

On en dduit que est un estimateur sans biais et convergent de , mais est un estimateur biais de .

7. Soit X une variable alatoire uniforme sur lintervalle [0, ].Sa densit de probabilit f est d nie pour tout x

[0, ] par :

f (x) =

1

si x

[0, ]

0 si x /

[0, ]

de plus :

E [X ] = 2

V [X ] =2

12Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout , > 0, et tout (x1,...,x r )[0, ]r :

L (; x1,...,x r ) =r

Yi=1

f (x i )

=1r

La fonction :

L (; x1,...,x r )est strictement dcroissante, donc elle atteint son maximum lorsque est min-imum.Et comme :

i

{1,...,r } : xi

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donc est minimum lorsque :

= max( x1,...,x r )Donc lestimateur du maximumde vraisemblance dun r -chantillon dune struc-ture uniforme est :

= max( X 1,...,X r )

Exercice 2Soit X une variable alatoire dont la densit de probabilit f est d nie par :

f (x) =

1

exp x si x > 00 si x 0

o est un paramtre rel strictement positif.

1. Dterminer lestimateur du maximum de vraisemlance de dun r-chantillonde variable parente X .

2. est-il un rsum exhaustif ?3. Calculer lesprance mathmatique et la variance de .

Que peut-on conclure ?4. Calculer la quantit dinformation de Fisher .

En dduire que est efficace.

Solution 2Soit X une variable alatoire exponentielle dont la densit de probabilit f est d niepour tout x, x > 0, par :

f (x) =

1 exp x si x > 00 si x 0

o est un paramtre rel strictement positif.On a :

E [X ] =

V [X ] = 2

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1. Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout , > 0, et tout (x1,...,x r )

R r , tous strictement positifs, par :

L (; x1,...,x r ) =r

Yi=1 f (x i )=

1r

exp

r

Pi=1 xido :

ln L (; x1,...,x r ) = r ln

r

Pi=1

xi

Il en rsulte que :

ln L (; x1,...,x r ) = r

+

r

Pi=1 xi2do :

ln L (; x1,...,x r ) = 0 = =1r

r

Xi=1 x iet comme :

2

2ln L (; x1,...,x r ) < 0

donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon dune struc-ture exponentielle est :

=1r

r

Xi=1 X iCest la moyenne empirique du r -chantillon.

2. Pour tout , > 0, et tout (x1,...,x r )R r , tous strictement positifs, on a :

L (; x1,...,x r ) =1r

exp

r

Pi=1 xi=

1r

exp r (x1,...,x r )

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Daprs le thorme de factorisation, est un rsum exhaustif puisque :

L (; x1,...,x r ) = g; (x1,...,x r )h (x

1,...,x r )o :

g; (x1,...,x r )=1r

exp r (x1,...,x r )

et :

h (x1,...,x r ) = 1

3. Comme :

=1

r

r

Xi=1X i

alors :

E hi = E [X ]= et :

V hi =V [X ]

r

=2

rOn en dduit que est un estimateur sans biais et convergent de .

4. Calculons la quantit dinformation de Fisher , I [X, ], concernant .On a :

I [X, ] = E 2

2ln f (, X )

= E 2

2 ln X = E

1

2+

2X

3 = 12Donc la quantit dinformation de Fisher , I [X 1,...,X r , ], concernant fourniepar le r -chantillon est :

I [X 1,...,X r , ] = rI [X, ]

=r2

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Calculons lefficacit e

h

ide ..

On a :

ehi =1

I [X 1,...,X r , ]V hi= 1donc, est efficace.

Exercice 3

Soit X une variable alatoire dont la densit de probabilit f est d

nie par :

f (x) =

0 si x 0k

xk 1 exp x

si x > 0

o est un paramtre rel strictement positif , k un entier naturel non nul et uneconstante rel.

1. Dterminer la constante .2. Dterminer lestimateur du maximum de vraisemlance de dun r-chantillon

de variable parente X .3. est-il un rsum exhaustif ?4. Calculer lesprance mathmatique et la variance de .

Que peut-on conclure ?5. Calculer la quantit dinformation de Fisher .

En dduire que est efficace.

Solution 3

La densit de probabilit de la variable alatoire X est d

nie par :

f (x) =

0 si x 0k

xk 1 exp x

si x > 0

Rappelons que pour tout k

N :

Z +

0uk exp udu = k!

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1. Ainsi :

Z +

f (x) dx = Z

+

0

k x

k

1 exp x dx

= Z +

0u k 1 exp udu

= (k 1)!do

=1

(k 1)!puisque :

Z +

f (x) dx = 1

De plus :

E [X ] = Z +

xf (x) dx

= Z +

0

1(k 1)!

k xk exp

x

dx

= k

et :E X

2

= Z +

x2f (x) dx

= Z +

0

1(k 1)!

k xk +1 exp

x

dx

= k (k + 1) 2

do :

V [X ] = E

X 2

E [X ]

2

= k2

2. Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout , > 0, et tout (x1,...,x r ) R r ,tous strictement positifs, par :

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L (; x1,...,x r ) =

r

Yi =1 f (xi )=

1[(k 1)!]

r rk(x1...x r )k

1 exp

r

Pi=1 xido :

ln L (; x1,...,x r ) = r ln (k 1)! ln (x1...x r )k 1

rk ln

r

Pi=1 xiIl en rsulte que :

ln L (; x1,...,x r ) = rk

+

r

Pi=1 xi2do :

ln L (; x1,...,x r ) = 0 = =1

rk

r

Xi=1 x iet comme :

2

2 ln L (; x1,...,xr ) < 0

donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon de cettestructure est :

=1

rk

r

Xi=1 X i3. Pour tout , > 0, et tout (x1,...,x r )

R r , tous strictement positifs, on a :

L (; x1,...,x r ) =

1

[(k 1)!]r rk(x

1...x r )k

1 exp

r

Pi=1

x i

=1

[(k 1)!]r rk

(x1...x r )k 1 exp

rk (x1,...,x r )


L (; x1,...,x r ) = g; (x1,...,x r )h (x1,...,x r )

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o :

g; (x1,...,x r )=

1rk exp

rk (x1,...,x r )

et :

h (x1,...,x r ) =1

[(k 1)!]r (x1...x r )

k 1

4. Puisque :

=1

rk

r

Xi=1 X ialors :

E hi= 1k E [X ] = et :V hi=

V [X ]rk 2

=2

rkOn en dduit que est un estimateur sans biais et convergent de .

5. Calculons la quantit dinformation de Fisher , I [X, ], concernant .On a :

I [X, ] =

E

2

2 ln f (, X )

= E 22 ln (k 1)! + (k 1)ln X k ln X = E k2 + 2X 3 =

k2

Donc la quantit dinformation de Fisher , I [X 1,...,X r , ], concernant fourniepar le r -chantillon est :

I [X 1,...,X r , ] = rI [X, ]=

rk2

Calculons lefficacit ehide ..On a :ehi=

1

I [X 1,...,X r , ]V hi= 1

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donc, est efficace.


f (x) =

0 si x /

[0, ]

1

si x

[0, ]

o est un paramtre rel.

1. Dterminer la fonction de rpartition de X.2. Calculer la quantit dinformation de Fisher.3. Dterminer lestimateur du maximum de vraisemlance de dun r-chantillon

de variable parente X .4. Calculer lesprance mathmatique et la variance de .

Que peut-on conclure ?5. Dans le cas o est bias, proposer un estimateur sans biais de .

Solution 41. La fonction de rpartition F de X est d nie pour tout x

R par :

F (x) = Z x

f (t) dt

do :

F (x) =

0 si x 0x

si 0 x 1 si x

de plus :

E [X ] =2

V [X ] =2

122. Puisque le domaine D :

D = {xR |f (x) > 0}

= [0, ]

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dpend de , donc la quantit dinformation de Fisher nexiste pas.

3. Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout , > 0, et tout (x1,...,x r )[0, ]r :

L (; x1,...,x r ) =r

Yi=1 f (x i )=

1r

La fonction :

L (; x1,...,x r )

est strictement dcroissante, donc elle atteint son maximum lorsque est min-imum.Et comme :

i

{1,...,r } : xiIl en rsulte que est minimum lorsque :

= max( x1,...,x r )

Donc lestimateur du maximumde vraisemblance dun r -chantillon dune struc-ture uniforme est :

= max( X 1,...,X r )

4. Pour dterminer la densit de probabilit de , commenons dabord par calculersa fonction de rpartition.

(a) Fonction de rpartition de :

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Pour tout u

R on a :

F (u) = P h < ui= P [max(X 1,...,X r ) < u ]

= P [X 1 < u,...,X r < u ]

=r

Yk =1 P [X k < u ]= [F (u)]r

=

0 si u 0

u

r

si 0

u

1 si u

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(b) Densit de probabilit de :Pour tout u

R

{0, } on a :

f (u) =d

duF (u)

=

0 si u /

]0, [

rur 1

rsi u

]0, [

(c) Esprance mathmatique de :

E hi = Z R uf (u) du= Z

0r

ur

rdu

=r

r + 1

(d) Esprance mathmatique de 2

:

E

h

2

i= Z R u2f (u) du= Z

0r ur +1

rdu

=r

r + 22

(e) Variance de :

V hi = E h2

iE hi2

=r

(r + 1) 2 (r + 2)2

Lestimateur de est biais, mais il est asymptotiquement sans biais.

5. Considrons lestimateur :

T =r + 1

r

Alors :

E [T ] =r + 1

rE hi=

22


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et :

V [T ] = r + 1

r 2

V hi= 1r (r + 2)

2

T est donc un estimateur sans biais et convergent de .


f (x) =

0 si x <

exp( x) si x o est un paramtre rel.

1. Dterminer la fonction de rpartition de X.2. Calculer la quantit dinformation de Fisher.3. Dterminer lestimateur du maximum de vraisemlance de dun r-chantillon

de variable parente X .4. Calculer lesprance mathmatique et la variance de .

Que peut-on conclure ?5. Dans le cas o est bias, proposer un estimateur sans biais de .

Solution 51. La fonction de rpartition F de X est d nie pour tout x

R par :

F (x) = Z x

f (t) dt

do :

F (x) =

0 si x 1 exp( x) si x

de plus :

E [X ] = + 1

V [X ] = 1

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2. Puisque le domaine D :

D = {xR |f (x) > 0}

= [, + [dpend de , donc la quantit dinformation de Fisher nexiste pas.

3. Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout

R , et tout (x1,...,x r )([, + [)

r :

L (; x1,...,x r ) =

r

Yi=1 f (xi )

= expr

Xi=1 ( xi )La fonction :

L (; x1,...,x r )est strictement croissante, donc elle atteint son maximum lorsque est maxi-mum.Et comme :

i

{1,...,r } : xiIl en rsulte que est maximum lorsque :

= min( x1,...,x r )

Donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon de cettestructure est :

= min( X 1,...,X r )


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(a) Fonction de rpartition de :

Pour tout v

R on a :

F (v) = P h < vi= P [min(X 1,...,X r ) < v ]= 1 P [min(X 1,...,X r ) v]= 1 P [X 1 v,...,X r v]= 1

r

Yk =1

P [X k v]

= 1 r

Yk =1 (1 P [X k < v ])= 1 [1F (v)]

r

=

0 si v 1 exp r ( v) si v

(b) Densit de probabilit de :

Pour tout u

R {} on a :f (v) =

ddv

F (v)

=

0 si v <

r exp r ( v) si v >

(c) Esprance mathmatique de :

E hi = Z R vf (v) dv= Z

+

rv exp r ( v) dv

= +1r

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(d) Esprance mathmatique de 2

:

E h2

i = Z R v2f (v) dv

= Z +

rv 2 exp r ( v) dv

= + 1r2

+1r 2

(e) Variance de :

V

h

i= E

h

2

iE

h

i2

=1r 2

Lestimateur de est biais, mais il est asymptotiquement sans biais.

5. Considrons lestimateur :

T = 1r

Alors :

E [T ] = E hi1r

=

et :

V [T ] = V hi=1r 2


Exercice 6Les lments dune population possdent un caractre X qui suit une loi de Poissonde paramtre inconnu .Une suite de r expriences a fourni les valeurs k1,...,k r .

1. Dterminer lestimateur du maximum de vraisemlance de et tudier lesproprits de cet estimateur.2. est-il un rsum exhaustif ?3. On dsire estimer la quantit :

= P [X = 0]

Dterminer lestimateur du maximum de vraisemlance de .Que remarquez-vous ?

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Solution 61. Soit X une variable alatoire de Poisson de paramtre .

pour tout xN , la probabilit lmentaire p (x) de x est :

p(x) = x

x!exp

de plus :

E [X ] =

V [X ] =

(a) Recherche du maximum de vraisemlance :Considrons un r -chantillon de cette structure.

Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout , > 0, et tout(k1,...,k r )N r par :

L (; k1,...,k r ) =r

Yi=1 p(ki )=

r

Pi =1 k ik1!...kr !

exp rdo :

ln L (; k1,...,k r ) = ln (k1!...kr !) +r

Xi=1 ki ln r

Il en rsulte que :

ln L (; k1,...,k r ) =

r

Pi=1 ki rdo :

ln L (; k1,...,k r ) = 0 = p =1r

r

Xi=1

xi

et comme : 2

2ln L (; k1,...,k r ) < 0

donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon dunestructure de Poisson est :

=1r

r


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(b) Etude des proprits de :Puisque :

E [ ] = E [X ]=

et :

V [] =V [X ]

r=

r

On en dduit que est un estimateur sans biais et convergent de .

2. Pour tout , > 0, et tout (k1,...,k r )N r on a :

L (; x1,...,x r ) = r (k 1 ,...,k r )

x1!...x r !exp r


L (; x1,...,x r ) = g (; (x1,...,x r )) h (x1,...,x r )

o :

g (; (x1,...,x r )) = r (k 1 ,...,k r ) exp ret :

h (x1,...,x r ) =1

x1!...x r !3. On a :

= P [X = 0]= exp

Pour tout , > 0, et tout (k1,...,k r )N r par :

L ( ; k1,...,k r ) =r

Yi=1 p(ki )=

(ln )r

Pi =1 k ik1!...k r !

r

do :

ln L ( ; k1,...,k r ) = ln (k1!...kr !) +r

Xi=1 ki ln (ln ) + r ln

28


33/124


Il en rsulte que :

ln L ( ; k1,...,k r ) =

r

Pi=1 ki

ln +

r

do :

ln L ( ; k1,...,k r ) = 0 = = exp 1rr

Xi=1 ki!et comme :

2

2ln L ( ; k1,...,k r ) < 0

donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon de cettestructure est :

= exp 1rr

Xi=1 X i!= exp

Exercice 7

Soit un rel appartenant ]1, + [ et X une variable alatoire telle que :P [X = k] =

1 1 1

k 1

, k

N

1. Calculer lesprance mathmatique et la variance de X .2. Dterminer lestimateur du maximum de vraisemlance de dun r -chantillon

de variable parente X et tudier ses proprits.3. est-il un rsum exhaustif ?

Solution 71. On a :

E [X ] =

Xk =1 kP [X = k]=

Xk =1k 1 1

k 1

=

29


34/124


et :

E [X (X 1)] =

Xk =1 k (k 1) P [X = k]=

Xk =1k (k 1)

1 1k 1

= 221 1do :

E

X 2

= E [X (X 1)] + E [X ]= (2 1)et :

V [X ] = E X 2

E [X ]2

= ( 1)2. Considrons un r -chantillon de cette structure.

Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout

]1, + [ et tout (x1,...,x r )(N )r par :L (; x1,...,x r ) =

r

Yi=1 p(xi )

=1

r 1 1r

Pi =1 x i r

do :

ln L (; x1,...,x r ) = r ln + r

Xi=1 xi r!ln1 1

Il en rsulte que :

ln L (; x1,...,x r ) = r

+

r

Pi=1 xi r ( 1)=

r

Pi=1 x i r ( 1)

30


35/124


do :

ln L (; x1,...,x r ) = 0 = =1r

r

Xi=1 xi

et comme : 2

2ln L ( p; x1,...,x r ) < 0

donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon dune struc-ture gomtrique est :

=1r

r


3. Puisque :

=1r

r

Xi=1 X ialors :

E [ ] = E [X ]=

et :

V [ ] =V [X ]

r

= ( 1)

rOn en dduit que est un estimateur sans biais et convergent du paramtre dune structure gomtrique.

Exercice 8Soit X une variable alatoire qui suit une loi de Pareto dont la densit de probabilitf est d nie par :

f (x) =

a

x +1si x a

0 si x < ao X reprsente le revenu par habitant, a le revenu minimum et , > 2, uncoefficient dpendant du type du pays o lon se place.

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1. Vri er que f est bien une densit de probabilit.2. Calculer lesprance mathmatique et la variance de X .3. Calculer la fonction de rpartition de X.4. Dterminer lestimateur du maximum de vraisemlance a de a dun r -chantillon

issu X .5. Dans le cas o a est bias, proposer un estimateur sans biais de a.

Solution 81. La densit de probabilit de la loi de Pareto est d nie par :

f (x) =

a

x +1si x

a

0 si x < a

f est bien une densit de probabilit.En eff et :

Z R f (x) dx = Z +

a

a

x +1dx

= 1

2. On a :

E [X ] = Z R xf (x) dx= Z

+

a

a

xdx

=

1a

et :

E

X 2

= Z R x2f (x) dx= Z

+

aa

x 1 dx

=

2a2

do :

V [X ] = E X 2

E [X ]2

=

( 2) ( 1)2 a

2

32


37/124


3. La fonction de rpartition F de X est d nie pour tout x

R par :

F (x) = Z x

f (t) dt

=

0 si x a

Z x

a

a

t +1dt si x a

=

0 si x a

1 a

xsi x a

4. Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout a

R et tout (x1,...,x r )(]a, + [)

r , par :

L (a; x1,...,x r ) =r

Yi=1 f (xi )=

r a r

(x1...x r ) +1

La fonction :

a L (a; x1,...,x r )est strictement croissante, donc elle atteint son maximum lorsque a est maxi-mum.Et comme :

i

{1,...,r } : a xiIl en rsulte que est maximum lorsque :

a = min( x1,...,x r )

Donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon de cettestructure est :

a = min( X 1,...,X r )


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(a) Fonction de rpartition de a :

Pour tout xR on a :

F a (x) = P [a < x ]= P [min(X 1,...,X r ) < x ]= 1 P [min(X 1,...,X r ) x]= 1 P [X 1 v,...,X r x]= 1

r

Yk =1 P [X k x]= 1

r

Yk =1(1

P [X k < x ])

= 1 [1F (x)]r

=

0 si x a1 a

x r

si x a(b) Densit de probabilit de :

Pour tout x

R {a} on a :f a (x) =

ddv

F a (x)

=

0 si x < a

ra r

xr +1si x > a

(c) Esprance mathmatique de a :

E [a] = Z R vf a (v) dv= Z

+

a

ra r

vrdv

= rr 1a

(d) Esprance mathmatique de a2 :

E a2

= Z R v2f a (v) dv

= Z +

a

ra r

vr 1dv

=r

r 2a2

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(e) Variance de a :

V [a] = E a2

E [a]2

=r

(r 2) (r 1)2 a

2

Lestimateur a de a est biais, mais il est asymptotiquement sans biais.(f) Considrons lestimateur :

T =r 1

ra

Alors :

E [T ] = a

et :

V [T ] = r 1r 2

V [a] =1

r (r 2)a2

T est donc un estimateur sans biais et convergent de a.


f (x) =

0 si x 1

exp( x)

si x >

o est un paramtre rel et un paramtre rel strictement positif.

1. Vri er que f est bien une densit de probabilit.2. Calculer lesprance mathmatique et la variance de X .3. Calculer la fonction de rpartition de X.4. On suppose connu et inconnu.

(a) Dterminer lestimateur du maximum de vraisemlance de dun r -chantillon issu X .(b) Etudier les proprits de .(c) Dans le cas o est bias, proposer un estimateur sans biais de .

5. On suppose connu et inconnu.

(a) Dterminer lestimateur du maximum de vraisemlance de dun r-chantillon issu de X .

(b) Etudier les proprits de (c) Dans le cas o est bias, proposer un estimateur sans biais de .

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6. On suppose que et sont tous les deux inconnus.

(a) Dterminer lestimateur du maximum de vraisemlance ,de (, )dun r-chantillon issu de X .(b) Etudier les proprits de , (c) Proposer un estimateur sans biais de (, ) .

Solution 91. f est bien une densit de probabilit.

En eff et :

Z R f (x) dx = Z +

1 exp ( x) dx

= Z +

0exp tdt

= 1

2. On a :

E [X ] = Z R xf (x) dx=

Z +

x

exp

( x)

dx

= Z +

0(t + )exp tdt

= +

et :

E X 2

= Z R x2f (x) dx

=

Z

+

x2

exp

( x)

dx

= Z +

0(t + )2 exp tdt

= 22 + 2 + 2

= ( + )2 + 2

do :

V [X ] = E X 2

E [X ]2

= 2

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3. La fonction de rpartition F de X est d nie pour tout x

R par :

F (x) = Z x

f (t) dt

=

0 si x

Z x

1

exp( t)

dt si x

=

0 si x

1 exp( x)

si x

4. On suppose connu et inconnu.

(a) Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout , > 0,

R et tout

(x1,...,x r )(], + [)r par :

L (; x1,...,x r ) =r

Yi=1 f (x i )=

1

r exp

r

Xi=1(

xi )

do :

ln L (; x1,...,x r ) = r ln +1

r

Xi=1 ( xi )Il en rsulte que :

ln L (; x1,...,x r ) = r

12

r

Xi=1 ( x i )= 1

"r 1r

Xi=1 ( x i )#do :

ln L (; x1,...,x r ) = 0 = =1r

r

Xi=1 (xi )=

= "1rr

Xi=1 xi#

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et comme : 2

2 ln L (; x1,...,x r ) < 0donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon decette structure est :

= "1rr

Xi=1 X i#(b) On a :

E [ ] = E

"1r

r

Xi=1

X i

!

#= et :V [] = V "1r

r

Xi=1 X i!#=

V [X ]r

=2

r

5. On suppose connu et inconnu.(a) Considrons un r -chantillon de cette structure.

Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout , > 0,

R et tout(x1,...,x r )(], + [)

r , tous strictement positifs, par :

L (; x1,...,x r ) =r

Yi=1 f (xi )=

1 r

expr

Xi=1( x i )

La fonction : L (; x1,...,x r )

est strictement croissante, donc elle atteint son maximum lorsque estmaximum.

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Et comme :

i

{1,...,r } :

xiIl en rsulte que est maximum lorsque :

= min( x1,...,x r )

Donc lestimateur du maximum de vraisemblance dun r -chantillon decette structure est :

= min( X 1,...,X r )

(b) Pour dterminer la densit de probabilit de , commenons dabord parcalculer sa fonction de rpartition.

(i) Fonction de rpartition de :Pour tout v

R on a :

F (v) = P h < vi= P [min (X 1,...,X r ) < v ]= 1 P [min (X 1,...,X r ) v]= 1 P [X 1 v,...,X r v]= 1

r

Yk =1

P [X k v]

= 1 r

Yk =1 (1 P [X k < v ])= 1 [1F (v)]

r

=

0 si v

1 exp r v si v (ii) Densit de probabilit de :

Pour tout v

R

{} on a :

f (v) =ddv

F (v)

=

0 si v <

r

exp r v si v >

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(iii) Esprance mathmatique de :

E hi = Z R vf (v) dv= Z

+

r

v exp r v dv= Z

+

0 r

t + exp tdt=

r

+

(iv) Esprance mathmatique de 2

:

E h2

i = Z R v2f (v) dv

= Z +

r

v2 exp r ( v) dv=

r

+ 2

+ r

2

(v) Variance de :

V

h

i= E

h

2

iE

h

i

2

= r 2

Lestimateur de est biais, mais il est asymptotiquement sansbiais.

(c) Considrons lestimateur :

T = r

Alors :

E [T ] = E

h

i

r=

et :

V [T ] = V hi=

r 2


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6. On suppose que et sont tous les deux inconnus.

(a) Considrons un r -chantillon de cette structure.Sa fonction de vraisemblance est d nie pour tout , > 0,

R et tout(x1,...,x r )(], + [)

r , tous strictement positifs, par :

L (, ; x1,...,x r ) =r

Yi=1 f (xi )=

1 r

expr

Xi=1( x i )

Compte tenu des questions prcedentes, la fonction :

(, ) 7L (, ; x1,...,x r )atteint son maximum pour :

= min( x1,...,x r )

= "1rr

Xi=1 xi#do, les estimateurs du maximum de vraisemblance

,

de (, ) sont

donns par :

= min( X 1,...,X r )

= "1rr

Xi=1 X i#(b) On a :

E hi=r

+

et :E [ ] = E [X ]E hi

=r 1

r

Donc les estimateurs et sont biaiss.

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(c) Considrons les estimateurs T et S de et respectivement d nis par :

T =r

r 1S =

1r 1

alors :

E [T ] =

E [S ] =

Donc T et S sont des estimateurs sans biais de et respectivement.

Exercice 10Soient X et Y deux variables alatoires indpendantes, la premire prenant lesvaleurs 1 et 0 avec les probabilits respectives et 1, et la deuxime prenant lesvaleurs 1 et 0 avec les probabilits respectives P et 1 P . On suppose inconnueet P connue, P > 0.5.On d nit la variable alatoire Z par :

Z = 1 si X = Y

Z = 0 si X 6= Y

On considre un n-chantillon ((X 1, Y 1) , ..., (X n , Y n )) de (X, Y ) et on d nit Z i ,1 i n, partir de X i et Y i comme on a d ni Z partir de X et Y .

1. Montrer que (Z 1,...,Z n ) est un n-chantillon de Z .2. Etudier les proprits de lestimateur :

T =1n

(Z 1 + ... + Z n )

3. Proposer alors un estimateur sans biais S de .

4. Etudier la variance de S en fonction de P .5. Indiquer un intervalle de con ance pour lorsque n est grand, en supposantquon dispose dune observation p de la variable :

T =1n

(Z 1 + ... + Z n )

6. Voyez-vous une application de ce qui prcde dans le domaine des sondagesdopinion ?

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Solution 10On a :

P [X = 0] = 1 P [X = 1] =

et :

P [Y = 0] = 1 P P [Y = 1] = P

X et Y deux variables alatoires de Bernouilli de paramtres et P respectivement.Dterminons la loi de probabilit de Z :

P [Z = 0] = P [X 6= Y ]= P [{(X, Y ) = (0 , 1)}

{(X, Y ) = (0 , 1)}]

= P [X = 0] P [Y = 1] + P [X = 1] P [Y = 0]= (1 ) P + (1 P )

et :

P [Z = 1] = P [X = Y ]= P [{(X, Y ) = (0 , 0)}

{(X, Y ) = (1 , 1)}]

= P [X = 0] P [Y = 0] + P [X = 1] P [Y = 1]

= (1 ) (1 P ) + P Z est donc une variable alatoire de Bernouilli de paramtre :

= (1 ) (1 P ) + P de plus :

E [Z ] = V [Z ] = (1 )

1. Puisque (X 1, Y 1) , ..., (X n , Y n ) sont indpentants et suivent la mme loi que(X, Y ), on en dduit que (Z 1,...,Z n ) sont indpendants et suivent la mmeloi que Z , donc cest un n-chantillon de Z .

2. Soit lestimateur :

T =1n

(Z 1 + ... + Z n )

On a :

E [T ] = E [Z ]= (1 ) (1 P ) + P

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et :

V [T ] =1n V [Z ]

=1n

[(1 ) (1 P ) + P ][(1) P + (1 P )]3. T est donc un estimateur biais de sauf lorsque :

=12

ou :

P = 1

(a) Si :

=12

ou P = 1

alors il suffi t de prendre :

S = T

(b) Si :

6=12

et P 6= 1

alors il suffi t de prendre :

S =1

2P 1[T (1 P )]

4. On a :

V [S ] =1

(2P 1)2 V [T ]

=1

n (2P 1)2 [(1 ) (1 P ) + P ][(1) P + (1 P )]

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Tests dHypothses Les Frquences


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A. El Mossadeq Tests : Les Frquences

Exercice 1

A la veille dune consultation lectorale, on a intrrog cent lecteurs constituantun chantillon au hasard. Soixante ont dclar avoir lintention de voter pour lecandidat C .En quelles limites, au moment du sondage, la proportion du corps lectoral favorable C se situe-t-elle ?

Solution 1

Construisons lintervalle de con ance correspondant la frquence f = 0 .6 du corpslectoral favorable C observe sur un chantillon de taille n = 100.Au seuil , cet intervalle est d ni par :

"f t 1 / 2r f (1 f )n , f + t 1 / 2r f (1 f )n #Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96

on obtient alors lintervalle :

[.504, .696]A 95%, le candidat C serait lu.

Exercice 2

On sait que le taux de mortalit dune certaine maladie est de 30%.Sur 200 malades tests, combien peut-on envisager de dcs ?

Solution 2

Construisons dobord lintervalle de pari, pour un chantillon de taille n = 200,correspondant la probabilit de dcs p = 0 .3.Au seuil , cet intervalle est d ni par :

" p t 1 / 2r p (1 p)n , p + t 1 / 2r p (1 p)n #Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96

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Tests : Les Frquences A. El Mossadeq


[.24, .36]

Il en rsulte que sur les 200 malades, le nombre de dcs envisager serait compris, 95%, entre 48 et 72 dcs.

Exercice 3

Dans une pr-enqute, on selectionne, par tirage au sort cent dossiers.Quinze dentre eux sont incomplets.Combien de dossiers incomplets trouvera-t-on sur dix milles dossiers ?

Solution 3

Construisons lintervalle de con ance correspondant la frquence f = 0 .15 dedossiers incomplets observe sur un chantillon de taille n = 100.Au seuil , cet intervalle est d ni par :

"f t 1 / 2r f (1 f )n , f + t 1 / 2r f (1 f )n #Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96


[.08, .22]

Il en rsulte que sur les 10000 dossiers, le nombre de dossiers incomplets seraitcompris, 95%, entre 800 et 2200 dossiers.

Exercice 4

Dans une maternit, on fait le point de la proportion de lles toutes les cent nais-sances.Comment peut varier cette proportion dune fois lautre si lon admet quil naiten moyenne 51% de lles ?

Solution 4

Construisons lintervalle de pari, pour un chantillon de taille n = 100, correspon-dant la probabilit dobtenir une lle p = 0 .51.

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Au seuil , cet intervalle est d ni par :

" p t 1 / 2r p (1 p)n

, p + t 1 / 2r p (1 p)n #

Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96


[.41, .61]

Il en rsulte, qu 95%, la proportion de lles varie dune fois lautre, entre 41%et 61%.

Exercice 5

Une machine former des pilules fonctionne de faon satisfaisante si la proportionde pilules non russies est de 1 pour 1000.Sur un chantillon de 10000 pilules, on a trouv 15 pilules dfectueuses.Que faut-il conclure ?

Solution 5

Ici on :

n = 10 4

f = 15 10 4

p = 10 3

Testons, au seuil , lhypothse nulle :

H 0 : la machine est bien rgle

Sous cette hypothse, la quantit :

t =f p

r p (1 p)npeut tre considre comme une ralisation dune variable alatoire normale centrerduite.Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96

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et comme :

t =f p

r p (1 p)n= 1 .58

on accepte donc lhypothse nulle H 0 au seuil = 5%, cest dire, quau seuil = 5%, la machine fonctionne de faon satisfaisante.

Exercice 6

Sur un chantillon de 600 sujets atteints du cancer des poumons, on a trouv 550fumeurs.Que peut-on dire du pourcentage de fumeurs parmi les cancreux ?

Solution 6

Construisons lintervalle de con ance correspondant la frquence f =1112

descancreux parmi les fumeurs observe sur un chantillon de taille n = 600.Au seuil , cet intervalle est d ni par :

"f t 1 / 2r

f (1

f )n , f + t

1 / 2r f

(1 f

)n #Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96


[.9, .94]

Il en rsulte que parmi, les fumeurs, la proportion des atteints par le cancer despoumons est comprise, 95%, entre 90% et 94%.

Exercice 7

Avant de procder au lancement dun produit, une entreprise a fait procder uneenqute portant sur deux rgions gographiques A et B .Sur 1800 rponses provenant de la rgion A, 630 se dclarent intresses par leproduit.En provenance de B , 150 rponses sur 600 se dclarent favorables.Tester, au seuil de 5%, lhypothse de lidentit des opinions des rgions A et Bquant au produit considr.

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Solution 7

Ici on :

n A = 1800 et f A =720

n B = 600 et f B =14


H 0 : les opinions des rgions A et B sont identiques


t =f A f B

r f A (1 f A)n A + f B (1 f B )n Bpeut tre considre comme une ralisation dune variable alatoire normale centrerduite.Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96

et comme :

t =f A f B

r f A (1 f A)n A + f B (1 f B )n B= 4 .77

on rejette donc lhypothse nulle H 0 95% (et mme 99.98%), cest dire, les deux rgions A et B ont des opinions di ff rentes.

Exercice 8

Dans un groupe de 200 malades atteints du cancer du col de lutrus, un traitementpar application locale du radium a donn 50 gurisons.Un autre groupe de 150 sujets atteints de la mme maladie a t trait par chirurgie,on a trouv 50 gurisons.Que peut-on conclure ?

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Solution 8

Ici on :

n 1 = 200 , f 1 =14

n 2 = 150 , f 2 =13


H 0 : les deux traitements sont quivalents


t =f 1 f 2

r f 1 (1 f 1 )n 1 + f 2 (1 f 2 )n 2peut tre considre comme une ralisation dune variable alatoire normale centrerduite.Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96

et comme :

t =f 1 f 2

r f 1 (1 f 1 )n 1 + f 2 (1 f 2 )n 2= 1.69

on accepte donc lhypothse nulle H 0 au seuil 5%, cest dire, les deux mthodes sont quivalentes .

Exercice 9

Aux guichets dune gare parisienne, sur les 350 billets vendus vendredi aprs-midi,95 taient des billets de 1ere classe. Sur les 250 billets vendus la matine du lundisuivant, 55 taient de 1ere classe.Peut-on considrer quil y a une di ff rence entre les proportions de vente de parcoursen 1ere classe pour les ns et dbuts de semaines ?

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Solution 9

Ici on :

n 1 = 350 , f 1 =1970

n 2 = 250 , f 2 =1150


H 0 : les taux de billets de 1ere classe vendus en n et dbut de semaines sont identiques


t =f 1 f 2

r f 1 (1 f 1 )n 1 + f 2 (1 f 2 )n 2peut tre considre comme une ralisation dune variable normale centre rduite.Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96

et comme :

t =f 1 f 2

r f 1 (1 f 1 )n 1 + f 2 (1 f 2 )n 2= 1 .45

on accepte donc lhypothse nulle H 0 au seuil 5%, cest dire, les taux de billets de parcours en 1ere classe vendus en ns et dbuts de semaines sont identiques etquon peut estimer par :

f =n 1 f 1 + n 2 f 2

n 1 + n 2= 0 .25

Exercice 10

On a lanc cent fois une pice de monnaie et lon a obtenu soixante fois pile etquarante fois face.Tester au seuil de 5%, puis 1%, lhypothse de la loyaut de la pice.

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Solution 10

Ici on :

n = 100f = 0 .6o f est la frquence de pile.Testons, au seuil , lhypothse nulle :

H 0 : la pice est loyale

Sous cette hypothse, on a :

p = 0 .5

et la quantit :

t =f p

r p (1 p)npeut tre considre comme une ralisation dune variable alatoire normale centrerduite.on a :

t =f p

r p (1 p)n= 2

(1) Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96

on rejette donc lhypothse nulle H 0 95%, cest dire, qu 95%, la pice est truque .

(2) Pour = 1%, on a :

2.57 < t .995 < 2.58

on accepte donc lhypothse nulle H 0 au seuil = 1%, cest dire, quauseuil = 1%, la pice est normale .

Exercice 11

Un chantillon de taille n a donn lieu au calcul dune frquence observe f corre-spondant lintervalle de con ance [.22 .34] au seuil = 5%.

1. Calculer n .2. Par rapport la proportion p = 0 .3, lcart est-il signi catif au seuil = 5% ?3. Dterminer lintervalle de con ance de |f p| au seuil = 5%.

54


59/124


Solution 11

1. Au seuil , lintervalle de con ance correspondant une frquence f observe

sur un chantillon de taille n est d ni par :

"f t 1 / 2r f (1 f )n , f + t 1 / 2r f (1 f )n #On en dduit :

f =0.22 + 0.34

2

n = t 21 / 2f (1 f )

(f 0.22)2

Pour = 5%, on a :t 0 .975 = 1 .96

on obtient alors :

f = .28n = 2152. Testons, au seuil , lhypothse nulle :

H 0 : lcart nest pas singi catif


t =f p

r p (1 p)npeut tre considre comme une ralisation dune variable alatoire normalecentre rduite.On a :

t =f p

r p (1 p)

n= 0.64

Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96

on accepte donc lhypothse nulle H 0 au seuil = 5%.3. Au seuil :

f p

r p (1 p)n t 1 / 2 , t 1 / 2

55


60/124


donc, au seuil :

|f p| "0, t 1 / 2r p (1 p)n #

Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96

do :

|f p| [0, 0.06]

Exercice 12

Ltude du taux de dfectuosits a ff rentes aux caractristiques de traitements ther-miques dune mme pice, traite par deux fours di ff rents, a donn lieu aux rsultatssuivants :* Pour le premier four, 20 pices dfectueuses sur un chantillon de 200 picestraites.* Pour le second four, 120 pices dfectueuses sur un chantillon de 800 picestraites.Que peut-on conclure ?

Solution 12

Ici on :

n 1 = 200 , f 1 = 0 .10

n 2 = 800 , f 2 = 0 .15


H 0 : les deux traitements thermiques sont quivalents


t =f 1 f 2


t .975 = 1 .96

56


61/124


et comme :

t =f 1 f 2

r f 1 (1 f 1 )n 1 + f 2 (1 f 2 )n 2= 2.03

on rejette donc lhypothse nulle H 0 95%, cest dire, les deux traitements ne sont pas quivalents.

Exercice 13

Un questionnaire auquel on ne peut rpondre que par oui ou par non, a trempli par un chantillon de taille n.Lintervalle de con ance de la frquence observe f des rponses oui est (0.35 0.43)au seuil = 5%.

1. Quelle est la taille n de lchantillon.2. Par rapport la proportion p = 0 .4, lcart est-il signi catif au seuil = 5% ?3. Dterminer lintervalle de con ance de |f p| au seuil = 5%.

Solution 13

1. Au seuil , lintervalle de con ance correspondant une frquence f observesur un chantillon de taille n est d ni par :

"f t 1 / 2r f (1 f )n , f + t 1 / 2r f (1 f )n #On en dduit :

f =0.35 + 0.43

2

n = t 21 / 2 f (1 f )

(f 0.35)2

Pour = 5%, on a :

t 0 .975 = 1 .96

on obtient alors :

f = 0 .39

n = 571

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62/124


2. Testons, au seuil , lhypothse nulle :

H 0 : lcart nest pas singi catifSous cette hypothse, la quantit :

t =f p

r p (1 p)npeut tre considre comme une ralisation dune variable alatoire normalecentre rduite.On a :

t =

f p

r p (1 p)n= 0.49

Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96

On accepte donc lhypothse nulle H 0 au seuil = 5%.3. Au seuil :

f p

r p (1

p)n

t 1 / 2 , t 1 / 2

donc, au seuil :|f p| "0, t 1 / 2r p (1 p)n #

Pour = 5%, on a :

t .975 = 1 .96

do :

|f p| [0, 0.04]

Exercice 14

Parmi 470 sujets exposs une infection, 370 nayant pas t immuniss.Parmi ces derniers, 140 contractent la malidie ainsi que 25 sujets immuniss.Le traitement donne-t-il une protection signi cative ?

58


63/124


Solution 14

Soient f 1 la frquence de contracter la maladie pour un sujet non immunis et f 2 la

frquence de contracter la maladie pour un sujet immunis.Ici on :

n 1 = 370 et f 1 =1437

n 2 = 100 et f 2 =14


H 0 : le traitements nest pas e ffi cace


t =f 1 f 2


t .975 = 1 .96

et comme :

t = f 1 f 2

r f 1 (1 f 1 )n 1 + f 2 (1 f 2 )n 2= 2 .56

On rejette donc lhypothse nulle H 0 95%, cest dire, le traitement donne une protection signi cative.

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Les Tests du Khi-deux


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A. El Mossadeq Les Tests du Khi-Deux

Exercice 1

Avant de procder au lancement dun produit, une entreprise a fait procder une

enqute portant sur deux rgions gographiques A et B .Sur 1800 rponses provenant de la rgion A, 630 se dclarent intresses par leproduit.En provenance de B , 150 rponses sur 600 se dclarent favorables.Tester, au seuil de 5%, lhypothse de lidentit des opinions des rgions A et Bquant au produit considr.

Solution 1

La rpartition observe est :

T ableau des eff ectifs observ ees

R egion Opinion favorable non favorable T otal

R egion A 630 1170 1800

R egion B 150 450 600

Total 780 1620 2400


H 0 : les rgions A et B ont la mme opinion

Calculons, sous cette hypothse, la rpartition thorique :

Tableau des effectifs th eoriques

R egion Opinion favorable non favorable T otal

R egion A 585 1215 1800

R egion B 195 405 600

Total 780 1620 2400

Sous lhypothse nulle H 0 , la quantit :

2 =2

Xi=12

X j =1(oij t ij )2

t ij

63


68/124

Les Tests du Khi-Deux A. El Mossadeq

est une ralisation dune variable du Khi-deux :

(2 1)(2 1) = 1degr de libert.Pour = 5%, on a :

21; .95 = 3 .84

Et comme :

2 =2

Xi=12

X j =1(oij t ij )2

t ij

= 20 .51On rejette alors H 0 95% (et mme 99.5%), cest dire, les deux rgions ont des opinions di ff rentes quant au produit considr.

Exercice 2

Dans un groupe de 200 malades atteints du cancer du col de lutrus, un traitementpar application locale du radium a donn 50 gurisons.Un autre groupe de 150 sujets atteints de la mme maladie a t trait par chirurgie,on a trouv 54 gurisons.Que peut-on conclure ?

Solution 2



Traitement R esultat gu eri non gu eri Total

radium 50 150 200

chirurgie 54 96 150

Total 104 246 350


H 0 : les deux traitements sont quivalents

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Traitement R esultat gu eri non gu eri Total

radium 59.4 140.6 200

chirurgie 44.6 105.4 150

Total 104 246 350


2 =2

Xi=12

X j =1(oij t ij )2

t ij


(2 1)(2 1) = 1

degr de libert.Pour = 5%, on a :

21; .95 = 3 .84

Et comme :

2 =2

Xi=12

X j =1(oij t ij )2

t ij

= 4 .94

On rejette alors H 0 95% , cest dire, les deux traitements ne sont pas quivalents .

Exercice 3

Aux guichets dune gare parisienne, sur les 350 billets vendus vendredi aprs-midi,95 taient des billets de 1ere classe. Sur les 250 billets vendus la matine du lundisuivant, 55 taient de 1ere classe.Peut-on considrer quil y une di ff rence entre les proportions de vente de parcoursen 1ere classe pour les ns et dbuts de semaines ?

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70/124


Solution 3



jour Classe 1ere classe 2ere classe T otal

V endredi A.M 95 255 350

Lundi matin 55 195 250

Total 150 450 600

Testons, au seuil , lhypothse nulle :H 0 : les taux de billets de parcours en 1ere classe vendus en n

et dbut de semaines sont identiques



Jour Classe 1ere classe 2ere classe T otal

V endredi A.M 87.5 262.5 350

Lundi matin 62.5 187.5 250

Total 150 450 600


2 =2

Xi=12

X j =1(oij t ij )2

t ij


(2 1)(2 1) = 1


21; .95 = 3 .84

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71/124


Et comme :

2 =2

Xi=12

X j =1 (oij t ij )2

t ij

= 2 .06

On accepte alors H 0 au seuil = 5% , cest dire, les taux de billets de parcours en 1 ere classe vendus en ns et dbuts de semaines sont identiques.

Exercice 4

On a lanc cent fois une pice de monnaie et lon a obtenu soixante fois pile et

quarante fois face.Tester au seuil de 5% puis 1%, lhypothse de la loyaut de la pice.

Solution 4


H 0 : la pice est loyale

Sous cette hypothse, on a :

p = 0 .5

do les rpartitions :

C ot e R epartition Observ ee R epartition T h eorique

pile 60 50

face 40 50

Total 100 100


2 =2

Xi=1(oi t i )2

t i

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72/124



2 1 = 1degr de libert.On a :

2 =2

Xi=1(oi t i )2

t i= 4

(1) Pour = 5%, on a :

21; .95 = 3 .84

On rejette donc lhypothse nulle H 0 95%, cest dire, qu 95%, la pice est truque.

(2) Pour = 1%, on a :

21; .99 = 6 .63

On accepte donc lhypothse nulle H 0 au seuil = 1%, cest dire, quau

seuil = 1%, la pice est normale.

Exercice 5

On veut savoir si la russite (R ) dun traitement est indpendantes du niveaux dela tension artrielle du malade (T ).On dispose pour cela de 250 observations rparties comme suit :

T R echec succ es

basse 21 104

elev ee 29 96

Que peut-on conclure ?

68


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Solution 5



T R Echec Succ es Total

Basse 21 104 125

Elev ee 29 96 125

Total 50 200 250


H 0 : la russite du traitement est indpendante du niveau de la tension artrielle

Calculons, sous cette hypothse, la rpartition thorique, le tableau de cette rpar-tition est donn ci-aprs.


T R Echec Succ es Total

Basse 25 100 125

Elev ee 25 100 125

Total 50 200 250


2 =2

Xi=12

X j =1(oij t ij )2

t ij


(2 1)(2 1) = 1


21; .95 = 3 .84

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74/124


Et comme :

2 =2

Xi=12

X j =1 (oij t ij )2

t ij

= 1 .6

On accepte alors H 0 au seuil = 5% , cest dire, la russite du traitement est indpendante du niveau de la tension artrielle.

Exercice 6

On veut savoir sil y a une liason entre la localisation (L) du cancer du poumon

(priphrique , non priphrique) et le ct (C ) de la lsion (poumon gauche ,poumon droit).Ltude a port sur 1054 malades :

L C gauche droit

periph erique 26 62

non p eriph erique 416 550


Solution 6



L C gauche droit Total

periph erique 26 62 88

non p eriph erique 416 550 966

Total 442 612 1054


H 0 : la localisation du cancer est indpendante du ct de la lsion

Calculons, sous cette hypothse, la rpartition thorique.Le tableau de cette rpartition est donne ci-aprs.

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75/124



L C gauche droit Total

periph erique 36.9 51.1 88

nonp eriph erique 405.1 560.9 966

Total 442 612 1054


2 =2

Xi=12

X j =1(oij t ij )2

t ij


(2 1)(2 1) = 1


2

1; .95 = 3 .84Et comme :

2 =2

Xi=12

X j =1(oij t ij )2

t ij

= 6 .05

On rejette alors H 0 95% (mme 97.5%), cest dire, la localisation du cancer dpend du ct de la lsion.

Exercice 7

De nombreuses observations cliniques ont montr que jusque l :

30% des malades atteints de M ont une survie infrieure un an 50% ont une survie entre un an et deux ans 10% ont une survie entre deux ans et cinq ans 10% ont une survie suprieure cinq ans.

On applique un nouveau traitement 80 malades atteint de la maladie M et onconstate :

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12 ont une survie infrieure un an 56 ont une survie entre un an et deux ans 8 ont une survie entre deux ans et cinq ans 4 ont une survie suprieure cinq ans.


Solution 7


H 0 : le nouveau traitement nest pas actif contre la maladie M

Sous cette hypothse, on a les rpartitions :

Survie R epartition Observ ee R epartition T h eorique

survie 1 an 12 24

1 an < survie 2 ans 56 40

2 an < survie 5 ans 8 8

survie > 5 ans 4 8

Total 80 80


2 =4

Xi=1(oi t i )2

t i

est une ralisation dune variable du Khi-deux :4 1 = 3

degrs de libert.

Pour = 5%, on a :

23; .95 = 7 .81

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77/124


Et comme :

2 =2

Xi=1 (oi t i )2

t i= 14 .4

on rejette donc lhypothse nulle H 0 95% (mme 99.5%), cest dire, qu 99.5%,le nouveau traitement est actif contre la maladie M .

Exercice 8

On suppose pouvoir classer les malades atteints dune maladie M en trois catgories

cliniques : A , B , C.On se demande si ces trois catgories di ff rent par leurs survies un an.Les eff ectifs observs sont les suivants :

Survie Cat egorie A B C

survie a un an 5 20 45

deces avant un an 15 50 145


Solution 8



Survie Cat egorie A B C Total

Survie a un an 5 20 45 70

D eces avant un an 15 50 145 210

Total 20 70 190 280


H 0 : la survie un an est indpendante de la catgorie clinique

Calculons, sous cette hypothse, la rpartition thorique.

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78/124



Survie Cat egorie A B C T otal

Survie a un an 5 17.5 47.5 70

D eces avant un an 15 52.5 142.5 210

Total 20 70 190 280


2 =2

Xi=13

X j =1(oij t ij )2

t ij


(2 1)(3 1) = 2

degrs de libert.

Pour = 5%, on a :

22; .95 = 5 .99

Et comme :

2 =2

Xi=13

X j =1(oij t ij )2

t ij

= .65

On accepte alors H 0 au seuil = 5% , cest dire, la survie un an est indpendante de la catgorie clinique.

Exercice 9

75 enfants sont vus en consultation pour un asthme. On relve chez eux les deuxsymptmes suivants :* Intensit de la maladie asmathique : lgre , moyenne , forte* Existence ou absence dun eczma au moment de lobservation ou dans le pass.

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79/124


On peut classer les enfants selon la rpartition suivante :

E A fort moyen l eger

pr esent 8 2 2

pass e 11 11 3

jamais 6 18 14

Au vu de ces rsultats, existe-t-il une association entre lintensit de lasthme etlexistence dun eczma ?

Solution 9

Le tableau de la rpartition observe est donne ci-aprs:


Ecz ema Asthme fort moyen l eger Total

pr esent 8 2 2 12

pass e 11 11 3 25

jamais 6 18 14 38

Total 25 31 19 75


H 0 : lintensit de lasthme est indpendante de lexistence dun eczma

Calculons, sous cette hypothse, la rpartition thorique.Le tableau de cette rpartition est donne ci-aprs.

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pr esent 4 4.96 3.04 12

pass e 8.33 10.33 6.34 25

jamais 12.67 15.71 9.62 38

Total 25 31 19 75

Les eff ectifs thoriques sur la premire ligne sont strictement infrieurs cinq, ce quiempche lapplication dun test du Khi-deux.On peut remdier cet tat en oprantle groupement logique des classes pr esent et pass e.Les nouveaux tableaux des e ff ectifs observs et thoriques, obtenus aprs regroupe-ment de ces deux classes sont donns ci-aprs.



pr esent ou pass e 19 13 5 37

jamais 6 18 14 38

Total 25 31 19 75


Ecz ema Asthme fort moyen l eger T otal

pr esent ou pass e 12.33 15.29 9.38 37

jamais 12.67 15.71 9.62 38

Total 25 31 19 75


2 =2

Xi=13

X j =1(oij t ij )2

t ij

76


81/124



(2 1)(3 1) = 2degrs de libert.Pour = 5%, on a :

22; .95 = 5 .99

Et comme :

2 =2

Xi=13

X j =1(oij t ij )2

t ij

= 11 .84

On rejette alors H 0 95% (mme 99.5%), cest dire, lintensit de lasthme dpend de lexistence dun eczma.

Exercice 10

Une tude statistique relative aux rsultats dadmission du concours dune grandecole fait ressortir la rpartition des admis selon la profession des parents lorsquecelle-ci est connue.

1. La profession des parents a-t-elle une in uence sur laccs cette cole ?

2. Cette conclusion persiste-t-elle lorsquon tient compte pour complter la statis-tique prcdente de 961 candidats dont lorigine socio-professionnelle est incon-nue et qui ont obtenus 43 succs ?

P rofession des P arents Candidats Admis

F ontionnaires et Assimil es 2224 180

Commerce et I ndustrie 998 89

Professions Lib erales 575 48

Propri etaires Rentiers 423 37

Propri etaires Agricoles 287 13

Artisans 210 18

Banques et Assurances 209 17

77


82/124


Solution 10

1. La rpartition observe est :

P rofession des P arents Candidats Admis Non admis

F ontionnaires et Assimil es 2224 180 2044

Commerce et Industrie 998 89 899

Professions Lib erales 575 48 527

Propri etaires Rentiers 423 37 386

Propri etaires Agricoles 287 13 274

Artisans 210 18 192

Banques et Assurances 209 17 192

Total 4916 402 4514


H 0 : laccs lEcole est indpendant de la profession des parents



F ontionnaires et Assimil es 2224 181.9 2042.1

Commerce et Industrie 998 80.8 907.2


Propri etaires Rentiers 423 34.6 388.4

Propri etaires Agricoles 287 23.5 263.5

Artisans 210 17.2 192.8

Banques et Assurances 209 17.1 191.9

Total 4916 402 4514

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2 =7

Xi=12

X j =1 (oij t ij )2

t ij


(7 1)(2 1) = 6

degrs de libert.Pour = 5%, on a :

26; .95 = 12 .6

Et comme :

2 =2

Xi=13

X j =1(oij t ij )2

t ij= 6 .28

On accepte alors H 0 au seuil = 5% , cest dire, laccs lEcole est indpen-dant de la profession des parents.

2. Si lon tient compte des 961 candidats dont lorigine socio-professionnelle estinconnue et qui ont obtenus 43 succs, la rpartition observe et la rpartitionthorique, sous la mme hypothse nulle, deviennent comme consogns ci-aprs.



F ontionnaires et Assimil es 2224 180 2044

Commerce et Industrie 998 89 899



Propri etaires Agricoles 287 13 274

Artisans 210 18 192

Banques et Assurances 209 17 192

Autres 961 43 918

Total 5877 445 5432

79


84/124




F ontionnaires et Assimil es 2224 168.4 2055.6

Commerce et Industrie 998 74.8 913.2

Professions Lib erales 575 43.5 531.5


Propri etaires Agricoles 287 21.7 265.3

Artisans 210 15.9 194.1

Banques et Assurances 209 15.8 193.2

Autres 961 72.8 888.2

Total 5877 445 5432


2 =8

Xi=12

X j =1(oij t ij )2

t ij


(8 1)(2 1) = 7


27; .95 = 14 .1Et comme :

2 =2

Xi=13

X j =1(oij t ij )2

t ij= 22 .5

On rejette alors H 0 95% (mme 99.5%) , cest dire, laccs lEcole est indpendant de la profession des parents.

80


85/124


Exercice 11

Sur un chantillon de 84 prmaturs, on cherche sil existe une liaison entre la

survenue dune hypoglycmie et la survenue dun ictre : sur 43 enfants nayant pas dictre, 23 sont hypoglycmiques sur 20 enfants ayant un ictre modr, 6 sont hypoglycmiques sur 21 enfants ayant un ictre intense, 4 sont hypoglycmiques


Solution 11

La rpartition observe est donne dans le tableau :


Ict ere Hypoglyc emie hypoglyc emique non hypoglyc emique T otal

pas d 0ict ere 23 20 43

ict ere mod er e 6 14 20

ict ere intense 4 17 21Total 33 51 84


H 0 : la survenue dune hypoglycmie est indpendante de la survenue dun ictre



Ict ere Hypoglyc emie hypoglyc emique non hypoglyc emique T otal

pas d 0ict ere 16.89 26.11 43

ict ere mod er e 7.86 12.14 20

ict ere intense 8.25 12.75 21

Total 33 51 84

81


86/124



2 =2

Xi=12

X j =1 (oij t ij )2

t ij


(3 1)(2 1) = 2


22; .95 = 5 .99

Et comme :

2 =3

Xi=12

X j =1(oij t ij )2

t ij

= 7 .97

On rejette alors H 0 95% (mme 97.5%), cest dire, la survenue dune hypogly-cmie dpend de la survenue dun ictre.

Exercice 12

Un mdicament essay sur 42 patients est contrl quant aux e ff ets secondaires quilpeut avoir sur le poids des malades.On peut considrer que :

quinze dentre eux ont maigri dix sept nont pas chang de poids dix ont grossi

En supposant que la maladie est sans e ff et sur les variations de poids, le mdicamenta-t-il un e ff et signi catif sur le poids ?

Solution 12


H 0 : le traitement est sans e ff et sur les variations du poids

Si le traitement est sans e ff et sur les variations du poids, alors ces variations sontdes seulement au hasard.La loi de probabilit est donc la loi uniforme, cest dire la probabilit de chaqueclasse est la mme et est gale

13

.

82


87/124


Do les rpartitions :

V ariations R epartition Observ ee R epartition Th eorique

ont maigri 15 14

n 0ont pas chang e 17 14

ont grossi 10 14

Total 42 42


2 =3

Xi=1(oi t i )2

t i


3 1 = 2

degrs de libert.

Pour

= 5%, on a : 22; .95 = 5 .99

Et comme :

2 =2

Xi=1(oi t i )2

t i= 1 .86

on accepte donc lhypothse nulle H 0 au seuil = 5%, cest dire, le traitement est sans e ff et sur les variations du poids.

Exercice 13

Pour tudier la densit de poussires dans un gaz, on a procd une srie dobservationsde petits chantillons de gaz au moyen dun microscope.On a ainsi eff ectu 143 observations et les rsultats sont les suivants :

83


88/124


Nombre de particules en suspension Nombre d0

echantillons de gaz

0 34

1 46

2 38

3 19

4 4

5 2

> 5 0

Peut-on admettre, au seuil = 5%, que le nombre de particules en suspension estune variable de Poisson ?

Solution 13Testons, au seuil , lhypothse nulle :

H 0 : le nombre de particules en suspension est une variable de Poisson

Calculons une estimation ponctuelle du paramtre de cette loi :

P [X = k] = k

k!exp

o X est la variable alatoire reprsentant le nombre de particules en suspension.On sait que :

= 1n

n

Xi=1 X iest un estimateur sans biais et convergent de .Une estimation ponctuelle de est donne par :

=1

143

5

Xi=0 in i= 1 .4336


84


89/124


P articules en suspension R epartition observ ee R epartition th eorique

0 34 34.1

1 46 48.9

2 38 35.0

3 19 16.7

4 4 06.0

5 2 01.7

> 5 0 00.6

Total 143 143

Leff ectif thorique t k , k 0, reprsentant le nombre particules en suspension k estdonn par :

tk = nP [X = k]

On constate que le tableau contient des e ff ectifs thoriques strictement infrieurs 5, ce qui empche lutilisation dun test du khi-deux.On peut remdier cet tat en oprant le groupement logique des classes 4 et plus .Les tableaux des e ff ectifs observs et thoriques deviennent comme consigns ci-aprs.

P articules en suspension R epartition observ ee R epartition th eorique

0 34 34.1

1 46 48.9

2 38 35.0

3 19 16.7

4 4 08.3

Total 143 143

85


90/124



2 =4

Xi=0(oi t i )2

t i


5 1 1 = 3

degrs de libert.puisque pour calculer les e ff ectifs thoriques, nous avons utilislestimation, et non la valeur rel, du paramtre de la loi de Poisson.

Pour = 5%, on a :

23; .95 = 7 .81Et comme :

2 = 2 .97

On accepte alors H 0 au seuil = 5%, cest dire, le nombre de particules en suspension peut tre ajust par une loi de Poisson dont le paramtre est estimpar :

= 1 .4336

Exercice 14

Le tableau ci-aprs concerne le nombre annuel de cyclones tropicaux ayant atteintla cte orientale des Etats-Unis entre 1887 et 1956 :

Nombre annuel de cyclones Nombre d 0ann ees0 11 62 10

3 164 195 56 87 38 19 1

> 9 0

Peut-on admettre, au seuil = 5%, que ce nombre annuel de cyclones est unevariable de Poisson ?

86


91/124


Solution 14


H 0 : le nombre annuel de cyclones est une variable de Poisson

Calculons une estimation ponctuelle du paramtre de cette loi :

P [X = k] = k

k!exp

o X est la variable alatoire reprsentant le nombre annuel de cyclones.On sait que :

=1n

n

Xi=1 X iest un estimateur sans biais et convergent de .Une estimation ponctuelle de est donne par :

=170

9

Xi=0 in i = 3 .7286Leff ectif thorique t k , k 0, reprsentant le nombre dannes k cyclones est donnpar :

tk = nP [X = k]


Nombre annuel de cyclones Ef fectifs observ es Eff ectifs th eoriques0 1 1.681 6 6.272 10 11.693 16 14.534 19 13.545 5 10.16 8 6.287 3 3.348 1 1.569 1 0.65

> 9 0 0.36Total 70 70

On constate que le tableau contient des e ff ectifs thoriques strictement infrieurs 5, ce qui empche lutilisation dun test du khi-deux.On peut remdier cet tat en oprant le groupement logique :* des classes 0 et 1 dune part,* et des classes 7 et plus dautre part.

87


92/124


Les tableaux des e ff ectifs observs et thoriques deviennent :

Nombre annuel de cyclones Ef fectifs observ es Eff ectifs th eoriques

0 ou 1 7 7.95

2 10 11.69

3 16 14.53

4 19 13.54

5 5 10.10

6 8 6.28

7 5 5.91

Total 70 70


2 =7

Xi=1(oi t i )2

t i


7 1 1 = 5

degrs de libert.puisque pour calculer les e ff ectifs thoriques, nous avons utilislestimation, et non la valeur rel, du paramtre de la loi de Poisson.Pour = 5%, on a :

25; .95 = 5 .8948

Et comme :

2 = 5 .81

On accepte alors H 0 au seuil = 5%, cest dire, le nombre annuel de cyclones peut tre ajust par une loi de Poisson dont le paramtre est estim par :

= 3 .7286

88


93/124


Exercice 15

Le tableau suivant indique le rsultat de lexamen de 124 sujets, classs daprs la

couleur de leurs yeux (Y ) et la couleur de leus cheveux (C ) :

Y C Blonds Bruns N oirs Roux

Bleus 25 9 3 7

Gris ou V erts 13 17 10 7

Marrons 7 13 8 5

Existe-t-il une liason entre ces deux caractres ?

Solution 15


Y C Blonds Bruns N oirs Roux Total

Bleus 25 9 3 7 44

Gris ou V erts 13 17 10 7 47Marrons 7 13 8 5 33

Total 45 39 21 19 124


H 0 : les couleurs des yeux et des cheveux sont indpendantes


Y C Blonds Bruns N oirs Roux Total

Bleus 16 13.8 7.4 6.8 44

Gris ou V erts 17 14.8 8 7.2 47

Marrons 12 10.4 5.6 5 33

Total 45 39 21 19 124

89


94/124



2 =3

Xi=14

X j =1 (oij t ij )2

t ij


(3 1)(4 1) = 6

degrs de libert.

Pour = 5%, on a :

26; .95 = 12 .6

Et comme :

2 =2

Xi=13

X j =1(oij t ij )2

t ij

= 15

On rejette alors H 0 95% (mme 97.5%), cest dire, les couleurs des yeux et des cheveux ne sont pas indpendantes.

Exercice 16

On considre les familles de quatre enfants.Sur un chantillon de cent familles quatre enfants, la rpartition suivante a t ob-serve :

Nombre de filles Nombre de familles

0 7

1 20

2 41

3 22

4 10

Peut-on considrer que la probabilit quun enfant soit une lle est12

?

90


95/124


Solution 16


H 0 : la probabilit davoir une lle est 12

Sous lhypothse nulle H 0 , la variable alatoire X gale au nombre de lles parmi

les quatre enfants suit une loi binomiale dordre 4 et de paramtre12

: B 4, 12.Ainsi, pour tout k, 0 k 4, la probabilit pk davoir k lles parmi les quatreenfants est :

pk = C (4, k )124

Leff ectif thorique t k , 0 k 4, reprsentant le nombre de familles ayant k llesparmi les quatre enfants est donn par :

tk = np k


Nombre de filles R epartition observ ee R epartition th eorique

0 7 6.25

1 20 25

2 41 37.5

3 22 25

4 10 6.25

Total 100 100


2 =4

Xi=0(oi t i )2

t i


5 1 = 4


24; .95 = 9 .49

91


96/124


Et comme :

2 = 4 .03

On accepte alors H 0 au seuil = 5% : la probabilit davoir une lle est 12

.

Exercice 17

On distribue un jeu de quarante cartes quatre joueurs : A , B , C , D ; chacunreevant dix cartesUn statisticien a labor un programme de distribution de donnes par ordinateur.Pour un ensemble de deux cents donnes, obtenues partir de ce programme, il

observe le nombre de donnes o le joueur A reoit k as, 0

k

4. Les rsultatssont les suivants :

Nombre d 0as Nombre de donnes

0 64

1 74

2 52

3 8

4 2

Le programme du statisticien est-il able ?

Solution 17


H 0 : le programme du statisticien est able

Sous lhypothse nulle H 0 , la variable alatoire X gale au nombre das du joueurA suit une loi hypergomtrique.Ainsi, pour tout k, 0 k 4, la probabilit pk pour que le joueur A ait k as est :

exercices de statistique 2006

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