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Exercices résolus de mathématiques.
GSP 15
EXGSP150 – EXGSP159
http://www.matheux.be.tf
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson
Nicole Berckmans – Jan Frans Broeckx
Fabienne Zoetard
Aout 2012
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EXGSP150 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2012
Soient ' et ' deux diamètres d'un cercle de centre et de rayon . Les angles au centre
qui interceptent les cordes et ' ' sont égaux et valent .
1. Illustrer l'énoncé par un dessin clair et p
AA BB O R
AB A B
ropre.
2. Quelle est la nature du quadrilatère , , ', ' ?
3. Exprimer l'aire du quadrilatère ainsi que son périmètre en fonction de et
uniquement.
4. Quelle est la valeur maximale de l'aire du quadrila
A B A B
R
tère? A quelle valeur de
correspond-t-elle?
5. Pour quelle valeur de le quadrilatère est-il un rectangle dont le rapport longueur
par largeur vaut 3 ?
NB. Pour les points 2 à 5, justifier les réponses e
n toutes généralités. Des mesures sur un
dessin ne constituent pas une démonstration.
Solution proposée par Nicole Berckmans et Louis François
2. Le quadrilatère est un rectangle car les 4 angles au sommet sous tendent un demi cercle.
3. Dans le triangle ' : sin . D'où 2 sin . De même 2 cos2 2 2 2
périmètre 4 sin cos ; aire 2 2
cOA M R c R d R
R cd
2 24 sin cos 2 sin2 2
4. Cette aire est maximum lorsque sin 1, c'est-à-dire . Dans ce cas le rectangle 2
est un carré. 2.
cos325. Si 3, alors 3 tan 30 60 .
2 3 2sin
2
Rem : dans le triangle
r R
c d R
d
c
', tan et dès lors 60 2 60d
ABAc
Le 26 novembre 2012.
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EXGSP151 – EPL, UCL, LLN, juillet 2013 série 1.
Soit un cercle de centre et de rayon . A partir d'un point fixe du cercle, on trace une
droite qui coupe le cercle en un point . Soit le point de tel que soit le milieu
du segment ,
1. Ill
O R A
D B M D B
A M
ustrer l'énoncé par un dessin clair et précis.
2. Déterminer le lieu des points décrits par le point .
3. Exprimer l'aire du triangle , , en fonction de et de la longueur
uniquement. On note cet
M
A O M R AB
T te aire.
4. On note l'aire du disque de centre et de rayon . Calculer la valeur maximale
du rapport . Pour quelle valeur de est-elle atteinte?
NB. Pour les points 2 à 4, justifier les réponses e
S O R
T S AB
n toute généralité. Des mesures sur un
dessin ne constituent pas une démonstration.
Solution proposée par Nicole Berckmans
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2. L'homothétie de centre fixe et de rapport 2 envoie sur . Lorsque parcourt un
cercle de centre et de rayon alors parcourt un cercle de centre ' et de rayon 2 .
3. aire du triangle de
A B M B
O R M O R
T AOM
2
2 2 2
2
2 22 2
2 2
2 2
2 2 2
base et de hauteur
1.2 Notons :
2 2 2
4.
42Maximum de 2
0 2 2
2... 0
4 4
1Conclusion : Max de vaut
AM h
AB xT AB R x AB T R x
S R
xR x
T x R x
S R R
x R R
d T S d T SR x
dx dxR R xT S Max
T S
Commentaire de Louis François
2Au point 4, on demande le maximum du rapport . Sachant que est constant,
il suffit de maximiser .
Or le triangle a un base constante ; par conséquent le maximum de l'aire
sera obtenu lor
T S S R
T
AOM OA R
2
2
2
sque la hauteur sera maxmum. Cette hauteur est celle issue de ,
perpendiculaire au côté . Elle sera maximum lorsuqe ' sera perpendiculaire à ' .
Dans ce cas 2 .
1 1. .2 . .2
2 2
1
M
OA MO O A
h R
T OA R R R R
T R
S R
2AB R
Le 16 septembre 2013.
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EXGSP152 – EPL, UCL, LLN, juillet 2013, série 2.
On considère deux points fixes et distants de , et un cercle de centre et de rayon .
A partir du point , on trace une droite qui coupe le cercle en un point .
On trace ensuite la médiatrice d
A B c B R c
A m
u segment , qui coupe le segment , en un point
milieu .
1. Illustrer l'énoncé par un dessin clair et précis.
2. Déterminer le lieu des points décrits par le point .
3. On note la distance entre et
A m B m
M
M
r A . On note l'aire du triangle , , .
Exprimer en fonction de , et uniquement.
4. Calculer la valeur de . Pour quelle valeur de est-elle atteinte? Illustrer la
solution sur le dessin du point 1.
M T A B M
T r R c
T r
NB. Pour les points 2 à 4, justifier les réponses en toute généralité. Des mesures sur un
dessin ne constituent pas une démonstration.
Solution proposée par Nicole Berckmans
2) Le triangle étant isocèle, on a :
Le lieu de est donc une ellipse de foyers et .
Note : c'est précisément une méthode de construction des ellipses.
AmM AM MB R
M A B
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22 2 2
3) Une formule de géométrie donne en fonction de , , , les côtés du triangle
2
Ici cela donne : 2 2 2 2
1... 2
4
4) Les triangle
T a b c
p a b c
S p p a p b p c
R c R c R c R cT r R r c
T R c c R r
*
* * * * 2 2
s ont une base , constante donc l'aire sera maximale lorsque
la hauteur sera maximum, càd lorsque est un sommet de l'ellipse càd lorsque
24
Max
ABM AB c
M M
cR r r r R T R c
Le 16 septembre 2013.
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EXGSP153 – EPL, UCL, Louvain, septembre 2013.
Deux disques de même rayon sont contenus dans un même plan et leurs centres respectifs
et ' sont distants de 2. On note la surface obtenue par l'union des deux disques.
1. Illustrer l'énoncé par
R
O O R S
un dessin clair et précis.
2. Exprimer l'airee de en fonction de uniquement.
3. On note la distance entre deux points extrêmes de situés sur la droite ' .
Exprimer en fonction de uniquement.
S R
L S OO
L R
*
*
4. On considère deux solides. Le premier est un cylindre de base S et de hauteur ,
Le second est un parallèlépipède de dimensions , et . Les deux solides ont
même volume. Exprimer en fonction de
H
L R H
H uniquement.
NB. Justifier les réponses 2 à 4 en toute généralité. Des mesures sur un dessin ne constituent
pas une démonstration.
H
Louis François
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2 2
2
2) Comme ' 2, le triangle ' est rectangle en et isocèle : ' 4.
Comme est un axe de symétrie : ' est un carré 2 2
1 1 2Aire hachurée = cercle aire . 2. 2
4 4 2 2 4
2
OO R OAO A AOO
AB AOBO OM MA R
R R ROAB R
S R
2 2
2* *
*
*
2. 2 3 24 2
23) 2 2 2 2
2
.4) .2 . . 2 2 .2 . 3 2 .
2.2 .
3 2 13 2 2 2
84 2 2
cyl
pp
R RS
RL CD CO OM R L R
V S H RL R H S H R R H H
V L R H
H H H
Le 16 septembre 2013.
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EXGSP154 – FACS, ULB, Bruxelles, juillet 2012.
Un triangle peut se déformer en tournant autour de son sommet fixe .
Dans l'gypothèse où se triangle reste semblable à lui-même, déterminez le lieu
géométrique de si décrit une droite fixe. Con
ABC A
C B struisez ce lieu.
Résolution utilisant les symétries
1
1 1
1
Soit le triangle avec sur la droite . Soit . Déplaçons en et construisons
le triangle semblable au triangle .
Soit . Faisons la rotation de centre et d'angle du trian
ABC B d BAC B B
AB C ABC
BAB A
, 1 , 1
gle . on obtient le
triangle ' ' avec Rot ' et Rot ' 1 .
Les triangles et ' ' sont isométriques puisque les rotations conservent les longueurs
des segments et l'amplitude des
A A
ABC
AB C B B AB C C AC
ABC AB C
1
, 1
1
'angles. On a donc 2
'
Faisons la rotation de centre et d'angle de : Rot '' 3
' '' ''. 2 devient . ' est donc l'image de ''
' ''
selon l'homothétie de c
A
AC ACr
AB AB
A B B B AC
AC AC ACAB AB AB r C B
AB AB AB
11 ,
1 1
1 12 1
entre et de rapport : '' ' 4
D'autre part comme les triangles et sont semblables et que les triangles
et ' ' sont égaux : . est donc l'image de ' selon l'homo' '
A rA r B C
ABC AB C ABC
AB ACAB C r C C
AB AC
2
1 2 1 2
2 , 1
, . 1 , . , 1
1
thétie de
centre et de rapport : ' 5 .
De 4 et 5 , on tire '' . Et avec 3 : Rot .
est donc l'image de selon une rotation suivie d'une homothétie. Lorsque décrit
A r
A r r A r r A
A r C C
B C B C
C B B
la
droite , décrit alorsune droite puisque les rotations et les homthéties d'une droite
sont une droite.
d C
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1
1
Déterminons l'angle entre la droite et la droite du lieu de .
Envoyons à l'infini. Dans ce cas, sera une droite parallèle à .
est aussi à l'infini dans la direction ' formant un angle av
d C
B AB d
C AC ec .
La droite lieu de forme donc un angle avec .
d
C d
Résolution selon DALLE édition 1961 pages 479-481
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Lieu du sommet lorsque le point parcourt la droite '
Par le point , traçons la droite ' qui forme avec ' un angle ' . Je dis que
la droite ' est le lieu demandé.
Supposons que :
C B XX
C YY XX CDX BAC
YY
AB m
AC
. Traçons ' quelconque; puis faisons l'angle ' et
tirons ' '/ Pour montrer que ' est le lieu du point , lorsque le triangle tourne
' 'autour du sommet , il suffit d'établir que : .
'
O
AB B AC BACn
B C YY C
A B mA
nAC
r le quadrilatère est inscriptible puisque les angles opposés sont supplémentaires;
partant les angles et ' sonr égaux. De plus, puisque les angles et ' '
sont égaux par construction,
ABDC
ABD ACC BAC B AC
en leur retranchant la partie commune ' , on a l'angle
' '. En conséquence, les triangles BAB' et ' sont semblables; d'où
'= =
'
Le lieu du point est donc la droite menée par un po
B AC
BAB CAC CAC
AB AB m
nAC AC
C
int quelconque du lieu et formant
avec ' un angle '= XX CDX BAC
Le 23 septembre 2013
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EXGSP155 – FA FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2012.
Un triangle peut se déformer en tournant autour de son sommet fixe .
Dans l'gypothèse où se triangle reste semblable à lui-même, déterminez le lieu
géométrique de si décrit un cercle fixe. Cons
ABC A
C B truisez ce lieu.
Résolution utilisant les symétries
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1
1 1
1
Soit le triangle avec sur le cercle . Soit . Déplaçons en et construisons
le triangle semblable au triangle .
Soit . Faisons la rotation de centre et d'angle du trian
ABC B BAC B B
AB C ABC
BAB A
, 1 , 1
gle . on obtient le
triangle ' ' avec Rot ' et Rot ' 1 .
Les triangles et ' ' sont isométriques puisque les rotations conservent les longueurs
des segments et l'amplitude des
A A
ABC
AB C B B AB C C AC
ABC AB C
1
, 1
1
'angles. On a donc 2
'
Faisons la rotation de centre et d'angle de : Rot '' 3
' '' ''. 2 devient . ' est donc l'image de ''
' ''
selon l'homothétie de c
A
AC ACr
AB AB
A B B B AC
AC AC ACAB AB AB r C B
AB AB AB
11 ,
1 1
1 12 1
entre et de rapport : '' ' 4
D'autre part comme les triangles et sont semblables et que les triangles
et ' ' sont égaux : . est donc l'image de ' selon l'homo' '
A rA r B C
ABC AB C ABC
AB ACAB C r C C
AB AC
2
1 2 1 2
2 , 1
, . 1 , . , 1
1
thétie de
centre et de rapport : ' 5 .
De 4 et 5 , on tire '' . Et avec 3 : Rot .
est donc l'image de selon une rotation suivie d'une homothétie. Lorsque décrit
A r
A r r A r r A
A r C C
B C B C
C B B
,
le
cercle , décrit alors un cercle puisque les rotations et les homothéties d'un cercle
sont un cercle.
Le centre de ' est telle que Rot '. Le triangle ' est semblable au triangleA
C
O O AOO
ABC
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Résolution selon DALLE édition 1961 pages 479-481
Lieu du sommet lorsque le point parcourt la circonférence de centre .
Tirons , et faisons l'angle , l'angle donné. Déterminons ensuite sur
un point ' tel que et traçons'
C B O
AO OB OAX BAC AX
AB AO mO
nAC AO
' .
Tout d'abord, puisque a une direction fixe, ' aura aussi une direction fixe et le point
' est invaribale, comme le point .
D'autre part, les triangles et ' sont semblables, parce qu'i
O C
AO AO
O O
OAB O AC ls ont un angle égal
compris antre côtés proportionnels; d'où
ou ' .'
Partant ' a une longueur constante. Le lieu du point est donc la circonférence
décrite avec ' pou centre et
AB BO m nCO OB
n mAC CO
CO C
O
. pour rayonn
OBm
Le 23 septembre 2013
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EXGSP156 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2012.
2 2
On considère un triangle isocèle en (c'est-à-dire que l'on a , où
désigne la longueur d'un segment ). Soit un point situé sur le côté de ce
triangle. Démontrer que l'on a :
ABC A AB AC XY
XY P AB
APC PB
2
.P
BCAB
2 22 2 2 2
2
Transformons le premier membre de l'égalité :
PC PB PC PB PA AC PA AB
PA
2
2 .PA AC AC 22 2
2
AC AB AB
PA
2
2 .PA AB AB
2 2 22
2 2 .
L'expression a vérifier devient alors :
2 . 2 . .
2 . . 2
PA AC BA PA BC
AP AP PA BCPC PB BC PA BC BC BC BC
AB AB AP AB
PA BA AC PABC BC
AP AB AP
car
. . .
Or et sont des vecteurs unitaires orientés selon et est un vecteur
unitaire orienté selon .
Dès lors
.
AB AC
BA ACBC BC BC
AB AC
PA BA ACBA
AP AB AC
AC
PABC
AP
est la projection orthogonale de sur
. est également la projection orthogonale de sur
. est la projection orthogonale de sur
Comme le triangle
BC BA
BABC BC BA
AB
ACBC BC CA
AC
est isocèle, les projections orthogonales de
sur et sont égales; ce qui démontre l'égalité
ABC BC
BA CA
Le 13 octobre 2013.
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EXGSP157 – FACSA, ULG, Liège, septembre 2012.
On considère un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, dont les diagonales
et sont perpendiculaires. On note le point d'intersection de ces diagonales et
, , et les projections or
ABCD
AC BD O
P Q R S thogonales respectives du point sur les droites , ,
et .
a) Démontrer que la droite est bissectrice de l'angle
b) Démontrer que le quadrilatère est inscriptible dans un cercle.
O AC BC
CD DA
OQ PQR
PQRS
1 1a) Les angles inscrits et interceptent le même arc. Ils sont donc égaux. Dès lors, les
triangles rectangles et sont égaux et ; . Par conséquent, les
triangles rectangles et
B A
DOA OCB OC OD OB CA
DOC OBA
2
1
sont isocèles et donc 45 .
D'autre part, et . Donc le quadrilatère est inscriptible dans un
cercle. On en déduit que l'angle 45 puisqu'il intercepte le même arc que .
On démon
C B
OR DC OQ CB OQCR
Q C
2tre de même que 45 . est donc le bissectrice de l'angle et de
plus le triangle est rectangle en .
b) De même on démontre que le triangle est rectangle en .
Le quadrila
Q OQ RQP
RQP Q
mutatis mutandis RSP S
tère est donc inscriptible dans un cercle.PQRS
Le 11 octobre 2013
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EXGSP158 – POLYTECH, Umons, Mons, juillet 2013.
1
2
3
Soit le carré . Soit le milieu de . Tracer le cercle de centre et de rayon .
Tracer l'arc de cercle de centre et de rayon qui coupe la demi-droite en .
Tracer le cercle de
ABCD M AB c B AB
c M MD MA E
c 1 3
4
5
centre et de rayon . et ont une intersection située dans le
carré . Par symétrie, on pourrait trouver le point , intersection des cercles (de
centre et de rayon ) et (de cent
A AE c c F
ABCD G c
A AB c
3 5
re et de rayon ), située dans le carré .
et ont une intersection à l'extérieur du carré .
Construire la figure géométrique. Démontrer analytiquement que est un pentagone
régulie
B AE ABCD
c c H ABCD
AFGBH
r.
Pour la construction du pentagone : voir EXGSP088
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2 2
2
Considérons pour simplifier que le côté du carré vaut 1.
1 51) rect : 1
4 2
5 5 1 5 1
2 2 2 2
5 12
522) Calculons l'angle à partir du triangle isocèle : cos 12 4
3
ADM DM AD AM
EM AE AF FH
ABF ABF ABF
ABF
1
2
2
6 . est donc le côté d'un dodécagone convexe inscrit dans le cercle
180 36On en déduit que 72 .
2
5 12 1
1 523) Calculons l'angle dans le triangle isocèle : cos45 1
22
AF c
FAB
AHB AHB AHB
72 et 108
4) Par conséquent : 108 , et par symétrie 108
5) Considérons le pentagone . Par symétrie les angles et sont égaux et
on a 2 2 180 5 2 3 108
AHB BAH ABH
FAH FAB BAH GBH
AHBGF AFG FGB
AFG FGB
216 car la somme des angles d'un polygone
convexe à côtés est égale à 180° 2 .
Conclusion : les 5 angles du pentagone sont égaux, c'est donc un pentagone régulier.
n n
15 novembre 2013
www.matheux.c.la - GSP 15 - 19 -
EXGSP159 – FACS, ULB, Bruxelles, Juillet 2013.
On considère un pentagone régulier de côté .
a) Calculer l'aire du pentagone.
b) Considérons maintenant l'étoile à 5 branches formée en reliant les sommets dans
l'ordre . Calculer l'aire de
ABCDE c
ACEBDA la surface délimitée par cette étoile.E
Solution proposée par Dominique Druez
Le 16 aout 2009.