exercices sur la réduction des endomorphismes

5/19/2018 Exercices sur la rduction des endomorphismes

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CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

TD 03 Rduction des endomorphismes

K = R ou C

Exercice 1: SoitEun K-espace vectoriel non nul etu L(E)qui admet un polynme annulateur non nul.1: SoitP K[X]non constant. Montrer que siP|ualorsker P(u)={0}. Autrement dit,P(u)nest pas injectif.

2: Montrer que si K = C alorsEadmet une droite vectorielleu-stable.3: Montrer que si K = R alorsEadmet une droite vectorielle ou un plan vectorielu-stable.

Exercice 2: SoientEun K-espace vectoriel,P, Q K[X]etf L(E). On poseD = P QetM =P Q.1: Montrer queker D(f) = ker P(f) ker Q(f)etIm D(f) = Im P(f) + Im Q(f).2: Montrer queker M(f) = ker P(f) + ker Q(f)etIm M(f) = Im P(f) Im Q(f).

Exercice 3: SoientEun K-espace vectoriel etf L(E)tel que P K[X], P(f) = 0etP(0)= 0.Montrer que :E= Imf ker f.

Exercice 4: SoientEun K-espace vectoriel,u L(E)etP, Q K[X]tels queE= ker P(u) + ker Q(u).Montrer que(P Q)(u) = 0.

Exercice 5: Soient Eun K-espace vectoriel et u L(E). Montrer que u admet un polynme annulateur non nul si et seulementsi K[u]est de dimension finie et que, dans ce cas,dimK[u] = deg u.

Exercice 6: SoientEun K-espace vectoriel de dimension finien 2 etu L(E).

1: Soitx E\ {0}. Montrer quil existe un polynme unitaire de degr minimale x K

[X]tel quex(u)(x) = 0. Vrifierquex|u.2: On poseu = P

11 P

rr la dcomposition en facteurs irrdudtibles deu.

Montrer que i {1, . . . , r}, xi E\ {0}, Pi

i =xi .3: Soientx, y E\ {0} tels quex y = 1. Vrifier quex + y= 0et quex+y =xy .4: En dduire que e E\ {0}, u = e.

Exercice 7: SoitM =

A B0 C

une matrice par blocs avecA Mp(K), B Mp,np(K), C Mnp(K)etp N

.

Montrer queA C| M etM|AC. Que peut-on dire si A C= 1 ?Exercice 8: Soitn N. Montrer que lapplication : Mn(R) R[X]dfinie par(A) =Anest pas continue.Exercice 9: Localisation des valeurs propres, disques de Gershgorin :

SoitA Mn(C)et une valeur propre de A.

Montrer que i {1, . . . , n} tel que |aii | j=i

|aij| et ||

nj=1

|aij |.

Exercice 10: Valeurs propres dune matrice stochastique :

SoitA Mn(C)stochastique, cest--dire vrifiant i, j {1, . . . , n}, aij R+ et i {1, . . . , n},n

j=1

aij = 1.

1: Montrer que 1 est valeur propre deA.2: Montrer que toute valeur propre C deAvrifie || 1.3: On suppose lesaij sont tous strictement positifs. Montrer que 1 est la seule valeur propre de Ade module 1.

Exercice 11: Soient1, . . . , p K deux a deux distincts. Montrer que la famille des fonctions (fi: x eix)1ipest libre.

Faire de mme avec la famille des suites(uni =ni)1ip.

Exercice 12: On suppose queEest de dimension finie non nulle. Soitf L(E)et K.1: Montrer que Sp(f+ idE) = + Sp(f).

2: Montrer que K, E(f+ idE) =E(f).Exercice 13: En utilisant la densit deGLn(K)dans Mn(K), montrer que A, B Mn(K), AB =BA.Exercice 14: On suppose queEest de dimension finien 1. On dit queu L(E)est irrductible si ses seules sous-espacesstables sont {0} etE. Montrer queu est irrductible ssiuest irrductible.

Exercice 15: Soit N Mn(K)nilpotente et(Np)une suite convergente de matrices semblables N. Montrer que si Np MalorsMest nilpotente.

Exercice 16: Diagonaliser : 3 1 12 0 1

2 2 3

0 2 13 2 0

2 2 1

1 0 12 2 2

2 0 0

3 1 12 2 2

1 1 3

3 1 11 3 1

1 1 3

1 1 11 1 1

1 1 1

Exercice 17: Soita, b, c R avec(a,b,c)= (0, 0, 0). Diagonaliser la matriceA =

1 + a2 ab ac

ab 1 + b2 bcac bc 1 + c2

.

Exercice 18: On supposeEde dimension finie n 2. Soitfun endomorphisme sur Equi admet n valeurs propres rellesdeux deux distinctes.

1: Montrer que g L(E), f g= gf ssiEadmet une base forme de vecteurs propres def etg.

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2: Montrer que g L(E) \ {0}, f g= gfssifpossde deux valeurs propres opposes.Exercice 19: Rduction simultane : Soient u, v L(E) diagonalisables tels que uv = vu. Montrer que u et v sontcodiagonalisables.

Exercice 20: SoientA Mn(K)et L(Mn(K))dfinie par(M) =AM.1: Montrer que est diagonalisable si et seulement si Aest diagonalisable.2: Montrer que Sp() =Sp(A)et Sp(A), dim E() =n dim E(A).

Exercice 21: SoitEun C-espace vectoriel de dimension finie et f L(E). Montrer quefest diagonalisable si et seulementsi C, rg(f IdE) = rg(f IdE)2.

Exercice 22: Rduction des endomorphismes de rang un :

SoitEun K-espace vectoriel de dimension finien N etf L(E)avecrgf= 1.1: Montrer quef =X(X trf). Dterminer Sp(f)etf.2: Montrer que sitrf= 0alorsfest nilpotent.3: Montrer quefest diagonalisable ssitrf= 0.4: SoientA, B Mn(K) non nulles. On dfinie sur Mn(K) lendomorphisme (M) = tr(AM)B. Montrer que estdiagonalisable ssitr(AB)= 0.

Exercice 23: Montrer que lensemble des matrices diagonalisables de Mn(K)est connexe par arcs.Exercice 24: Soit A Mn(K) diagonalisable et (Ap) une suite convergente de matrices semblables A. Montrer que siAp B alorsAetB sont semblables.

Exercice 25: On suppose E de dimension finie n N et soit u L(E) diagonalisable. Montrer que ker u2 = ker u et

Imu2 = Imu.Exercice 26: Etudier si les endomorphismes suivants sont diagonalisables :

1)E= Kn[X]; u(P) = (X2 1)P 2)E= K2n[X]; u(P) =X(X+ 1)P

2nXP3)E= Kn[X]; a K; u(P) = (X a)P 4)E= K5[X]; u(P) =Le reste de la division deP parX

3 + X+ 15)E= Kn[X]; u(P) = (X2 1)P

+ (2X+ 1)P 6)E= Kn[X]; a K; u(P) = (X a)P + P P(a)

Exercice 27: Etudier si les endomorphismes de Mn(K)suivants sont diagonalisables :1)n= 2; u

a bc d

=

d bc a

2)u(M) = 12(M+

tM) 3)A Mn(K); u(M) = tr(A)M+ tr(M)AExercice 28: On suppose Ede dimension finie n N et soit u L(E). Montrer que u est diagonalisable ssi tout sous-espacevectoriel deEadmet un supplmentaireu-stable.

Exercice 29: Endomorphisme cyclique : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n N, u L(E) cyclique(cest--dire x0 Etel queE= Vect{f

k(x0)/k N}) et x0 Etel queE= Vect{fk(x0)/k N}.

1: Montrer que lensemble des endomorphismes cycliques deEest un ouvert deE.

2: Montrer que x E, P K

[X]tel quex = P(f)(x0).3: Montrer que(x0, f(x0), . . . , f r1(x0))est une famille gnratrice de Eo r = deg f.

4: En dduire quedeg f =n et(x0, f(x0), . . . , f n1(x0))est une base deE.

5: Soit C(f)le commutant def,g C(f)etP K[X]tels queg(x0) =P(f)(x0). Montrer queg = P(f).6: En dduire que C(f) = K[f].

Exercice 30: Rduction de lapplicationX AX+ XB :Soit n N, A, B Mn(R) de polynmes caractristiques scinds et A,B lendomorphisme de Mn(R) dfini par A,B(X) =AX+ XB .1: Soient Sp(A)et Sp(B) =Sp(tB). Montrer que siXest un vecteur propre de Aassoci etYun vecteur proprede tB associ alorsXt Yest une matrice propre de

A,Bassocie + .

2: Rciproquement, Soit Sp(A,B

)etMune matrice propre deA,B

associe .2 - a: Montrer que k N, AkM=M(In B)k. En dduire que P R[X], P(A)M=M P(In B).2 - b: Dduire queA(In B)nest pas inversible.

2 - c: Montrer que Sp(A)tel queB ( )Inne soit pas inversible.2 - d: Dduire que Sp(

A,B) =Sp(A) + Sp(B).

3: On suppose que A, Bsont diagonalisables et soient (U1, . . . , U n)et (V1, . . . , V n)deux bases de Mn1(R)formes de vecteurspropres de A et Brespectivement. Montrer que(Ui

tVj )1i,jnest une base de Mn(R)et dduire queA,B est diagonalisable.

Exercice 31: A quelle condition la matrice

1 a b c0 1 d e0 0 1 f0 0 0 1

est-elle diagonalisable ?

Exercice 32: Etudier la diagonalisabilit des matrices de Mn(R)suivantes :

A=

0 0 1... . .

.. .

.0

0 . ..

. .. ...

1 0 0

B =

0 0 a1...

... a20 0 an1

a1 an1 an

C=

1 1... 0 0

......

.

.....

.

..... 0 0

...

1 1

.



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Exercice 33: Soientn N etA GLn(C).1: On suppose queA2 est diagonalisable, montrer queAest diagonlisable.2: Donner un contre-exemple lorsqueAGLn(C).3: Donner un contre-exemple lorsquon remplace C par R.

Exercice 34: Soientn N etA Mn(K).

Trouver une condition ncessaire et suffisante sur Apour que la matriceB = A A0 A soit diagonalisable.

Exercice 35: Soientn N etA, B Mn(K)tels queAB = BA.

Trouver une condition ncessaire et suffisante sur Apour que la matriceM=

A B0 A

soit diagonalisable.

Exercice 36: SoientA Mn(K)diagonalisable,B =

A AA A

etP =

In InIn In

.

1: En calculantP1BPmontrer queB est diagonalisable.2: CalculerB en fonction deA.

Exercice 37:

1: Rduire la matriceA =

1 12 4

.

2: SoitN Mn(K). Montrer queM=

N N

2N 4N

est diagonalisable ssiNest diagonalisable.

Exercice 38: SoientA Mn(C)etM=

A 4AA A

.

1: Calculerdet M.2: DterminerMet les valeurs propres de M.3: Montrer queMest diagonalisable si et seulement siAest diagonalisable.

Exercice 39: SoientA Mn(K)diagonalisable etB =

0 AA 2A

.

CalculerB en fonction deAet en dduire Sp(B)en fonction de Sp(A).

Exercice 40: SoitA Mn(K)etB =

0 InA 0

.

1: Dterminer Sp(B)en fonction de Sp(A).2: On suppose queAest diagonalisable. Montrer queB est diagonalisable.

Exercice 41: SoitA GLn(C). Montrer queB =

0 AIn 0

est diagonalisable ssiAest diagonalisable.

Exercice 42: Trigonaliser : 2 1 21 2 2

1 1 1

8 3 110 3 2

5 3 4

2 0 04 4 2

3 2 0

3 3 12 2 1

0 1 2

3 2 43 2 8

1 1 4

5 7 112 4 7

1 1 1

.

Exercice 43: On suppose queEest de dimension finie non nulle et soit f L(E)nilpotent. Montrer que K, IdE+ fest inversible.

Exercice 44: SoitA Mn(K)tel queA4 = 3A3 2A2.1: Montrer quetr(A) N ettr(A) 2n.2: On suppose que n= 3et que A admet au moins deux valeurs propres distinctes non nulles. Montrer que A est diagonalisable.

Exercice 45: SoientEun K-espace vectoriel de dimension finie etu, v L(E)tels queuv = vuavecv nilpotent.1: Montrer queu + v est inversible ssiu est inversible.

2: Montrer quedet(u + v) = det(u). En dduire queu + vet u ont mme polynme caractristique.Exercice 46: On suppose queEest de dimension finien 1. Soitu L(E)tel quetru= tru2 = = trun = 0.Montrer que 0 est valeur propre deu. Puis queuest nilpotent.

Exercice 47: Montrer queGLn(C)est connexe par arcs. Que dire deGLn(R) ?Exercice 48: Montrer que lensemble des matrices diagonalisables de Mn(C)est dense dans Mn(C).En dduire une dmonstration du thorme de Cayley-Hamilton.

Exercice 49: Pour tout f L(E), on appelle commutant de fla sous-aglbre de L(E)dfinie par et C(f) ={g L(E)/gf =f g}.

1: Montrer que sif L(E)est diagonalisable alorsdimC(f) =

Sp(f)

(m())2 n.

2: Montrer que f L(E), dimC(f) n.Exercice 50: Classification des matrices dordre 2 : SoitA M2(R). Montrer queA est semblable lune des matrices

suivante

a 00 b

aveca, b R distincts,

a 00 a

aveca R,

a 10 a

aveca R et

0 det A1 trA

.

Exercice 51: Une caractrisation de la similitude dans M2(R)et M2(R):



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1: Montrer que deux matrices de M2(R)sont semblables ssi ils ont mme polynme minimal.2: Montrer que deux matrices deM3(R) sont semblables ssi ils ont mme polynme minimal et mme polynme caractris-tique.

Exercice 52: SoitA=

0 1 11 0 1

1 1 0

.

1: DterminerA.Aest-elle diagonalisable ? DterminerA.2: Montrer queAest inversible puis calculerA1.3: Dterminer, pour toutn N,An en fonction deI3 et A. Puis vrifier que cette formule est valable sur Z.

Exercice 53: SoitA=

3 1 12 0 1

2 1 0

.

1: DterminerA. Montrer queAest inversible et nest pas diagonalisable.2: DterminerA,A

1 etAn pour toutn N.

Exercice 54: SoitA =

2 1 11 4 2

1 2 0

.

1: DterminerA. La matriceA est-elle diagonalisable ?2: DterminerAet calculerA

n toutn N.

Exercice 55: Dterminer les termes gnrales des suites :

1)

xn+1 = yn + znyn+1 = xn + znzn+1 = xn + yn

2)

xn+1 = 5xn 4yn 2znyn+1 = 2xn + 4yn + znzn+1 = 10xn 12yn 4zn

3) xn+3= 6xn+211xn+1+6xn.

Exercice 56: Rsoudre les quations diffrentielles :

1)

x = x + 3yy = 3x y

2)

x = x + 3yy = 2y + zz = x + y + z

3)x 2x x + 2x= 0.

Exercice 57: SoitD = diag(1, . . . , n) Mn(R) valeurs diagonaux deux deux distincts.1: Montrer queM Mn(R)commute avecD ssiMest diagonale.2: Montrer que pour toute matrice diagonale M Mn(R), P Rn1[X]tel queP(D) =M.3: SoitA Mn(R)nvaleurs propre deux deux distinctes. Montrer que le commutant deAest Rn1[A].

Exercice 58:

1: SoitA Mn(R). Montrer que siA2 admetn valeurs propres deux deux distincts alors Aest diagonalisable.

2: Rsoudre dans Mn(R)lquation :X2 =

5 5 44 4 4

3 3 4

.


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