exercicios de quantica cap1 sakurai
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1) ........................................................................................................................................................................ 1 4) ........................................................................................................................................................................ 1
a) .................................................................................................................................................................... 1 b).................................................................................................................................................................... 2 c. .................................................................................................................................................................... 3 d).................................................................................................................................................................... 4
5) ........................................................................................................................................................................ 5 a) .................................................................................................................................................................... 5 b).................................................................................................................................................................... 5
6) ........................................................................................................................................................................ 5 7) ........................................................................................................................................................................ 6
a) .................................................................................................................................................................... 6 b).................................................................................................................................................................... 7
8) ........................................................................................................................................................................ 8 Para o comutador ........................................................................................................................................... 8 Para o anti – comutador ............................................................................................................................... 11
9) ...................................................................................................................................................................... 13 10) .................................................................................................................................................................... 16 11) .................................................................................................................................................................... 18 12) .................................................................................................................................................................... 21
a) .................................................................................................................................................................. 21 b).................................................................................................................................................................. 22
13) .................................................................................................................................................................... 23 a) .................................................................................................................................................................. 23 b).................................................................................................................................................................. 23 c) .................................................................................................................................................................. 23 Pergunta 1.................................................................................................................................................... 23 Pergunta 2.................................................................................................................................................... 23
14) .................................................................................................................................................................... 24 15) .................................................................................................................................................................... 27 16) .................................................................................................................................................................... 28 18) .................................................................................................................................................................... 28
a) .................................................................................................................................................................. 28 b).................................................................................................................................................................. 28
19) .................................................................................................................................................................... 31 a) .................................................................................................................................................................. 31 b).................................................................................................................................................................. 32
20) .................................................................................................................................................................... 34 a) .................................................................................................................................................................. 34 b).................................................................................................................................................................. 34 c) .................................................................................................................................................................. 35
26) .................................................................................................................................................................... 36 31) .................................................................................................................................................................... 37 33) .................................................................................................................................................................... 38
a) .................................................................................................................................................................. 38 i).............................................................................................................................................................. 38 ii)............................................................................................................................................................. 39
b).................................................................................................................................................................. 40
1
1) PROVE [AB,CD]= -AC{D,B}+A{C,B}D-C{D,A}B+{C,A}DB Desenvolvendo o comutador: [AB,CD]=ABCD-CDAB Agora desenvolvendo cada parcela da soma : -AC{D,B}=-ACDB-ACBD A{C,B}D=ACBD+ABCD -C{D,A}B=-CDAB-CADB {C,A}DB=CADB+ACDB somando temos: -AC{D,B}+A{C,B}D-C{D,A}B+{C,A}DB= ABCD-CDAB=[AB,CD] 4) a) tomando Z=XY e Z’=YX Os elementos que compõem a matriz do operador Z podem ser escritos 4.a.1
'''
'' ' '' ' '' ''' ''' 'a
a Z a a XY a a X a a Y a= = ∑
O traço de Z é dado por:
( )'
' 'a
tr Z a Z a= ∑
De 4.a.1 4.a.2 ( )
' '''
' ''' ''' 'a a
tr Z a X a a Y a= ∑∑
Os elementos que compõem a matriz do operador Z’ podem ser escritos 4.a.3
'''
'' ' ' '' ' '' ''' ''' 'a
a Z a a YX a a Y a a X a= = ∑
2
O traço de Z’ é dado por:
( )'
' ' ' 'a
tr Z a Z a= ∑
De 4.a.3
( )' '''
' ' ''' ''' 'a a
tr Z a Y a a X a= ∑∑
''' 'a X a e ' '''a Y a e pela propriedade comutativa:
( )
' '''
' ''' ' ' '''a a
tr Z a X a a Y a= ∑∑
E pela propriedade associativa podemos trocar a ordem dos somatórios
( )''' '
' ''' ' ' '''a a
tr Z a X a a Y a= ∑∑
Os ' tem o papel apenas de diferenciar os índices do somatório, podendo ser simplesmente trocados. Fazendo: 4.a.4 ( )
' '''
' ' ''' ''' 'a a
tr Z a X a a Y a= ∑∑
Comparando 4.a.2 e 4.a.4 temos:
( ) ( )'tr Z tr Z= b) a correspondência dual: † †cdY X a a X Y ←→
e
†cdYX a a YX ←→ Levam a
† † †YX X Y =
3
c. Um operador hermetiano quando escrito em sua própria base tem a seguinte forma:
'
' ' 'a
A a a a= ∑ .
Uma aplicação 2A fica:
2
' '2 2
'
' ' ' ' ' '
' ' 'a a
a
A a a a a a a
A a a a
= =
∑ ∑∑
Podemos intuir que a aplicação nA tem a seguinte forma:
'
' ' 'n n
a
A a a a= ∑ 4.c.1
Uma função f , mesmo não algébrica pode ser a princípio expandida em uma serie de potências.
0
( )n
ii
i
f x c x=
= ∑
De onde podemos tirar o resultado ( )f A da seguinte forma:
0
0 '
( )
( ) ' ' '
ni
iin
ii
i a
f A c A
f A c a a a
=
=
=
=
∑
∑ ∑
A aplicação ( )f A sobre um auto ket de A tem como resultado:
0 '
', ''0 '
0
( ) '' ' ' ' ''
( ) '' ' ' '
( ) '' '' ''
( ) '' ( '') '' 4. .2
ni
ii an
ii a a
i an
ii
i
f A a c a a a a
f A a c a a a
f A a c a a
f A a f a a c
δ
=
=
=
=
=
=
=
∑ ∑
∑ ∑
∑
Por ultimo a aplicação exp( ( ))if A quando aplicada em um auto ket de A :
exp( ( )) ' ?if A a =
4
Utilizando 4.c.1 e 4.c.2
( )exp( ( )) ' '
!
( ')exp( ( )) ' '
!exp( ( )) ' exp( ( ')) '
j
jj
j
if Aif A a a
j
if aif A a a
jif A a if a a
∞
∞
=
=
=
∑
∑
O que significa que o operador exp( ( ))if A tem autovalores do tipo exp( ( '))if a onde 'a é o autovalor
associado ao auto ket 'a . d)
( ) ( )*' '
' ' '
' ' ' 'a aa a a
a a a aψ ψ⋅ = ⋅ = ⋅ =∑ ∑ ∑x' x'' x' x'' x'' x' x'' x'
5
5) a) Chamamos de A operador α β . Para obter os elementos de A fazemos:
,
,
i ji j
i ji j
A a A a
A a aα β
=
=
Como os produtos a α e a β são conhecidos podemos montar a matriz
* * *
* *
*
' ' ' '' ' '''
'' ' '' ''
''' '
a a a a a a
a a a aA
a a
α β α β α β
α β α β
α β
=
…
b)
Tomando ;zsα = + e ;xsβ = + com ;zs + = + e ( )1;
2xs + = + + −
( ) ( )
( ) ( )
* *
* *
* * * *
1 1
2 2
1 1
2 2
αα β α βα β
α β α βα α
+ + + + + − + − + + − + + + − = = − + − − − + + + − − − + + −
1 1 1 112 2 0 020 0
α β = =
6) Se ' ''a a+ também é autoket de A então
( ) ( )' '' ' ''A a a c a a+ = + Mas é de se esperar que
( )' '' ' ' '' ''A a a a a a a+ = + De onde tiramos ( )' '' ' ' '' ''c a a a a a a+ = +
Como 'a e ''a são linearmente independentes temos que essa igualdade só é possível se:
' ''c a a= = Ou seja ' ''a a= , 'a e ''a são autovalores degenerados.
6
7) a)
( ) ( )( ) ( ) ( )'
' . ... '' 'n
a
A a A a A a A aα α − = − ⋅ − ⋅ − ⋅
⋅∏
Mas α pode ser reescrito em termos da base de A.
'
' 'a
a aα α= ⋅∑
Ficamos com
( )( ) ( ) ( )''
... '' ' '' ''n
a
A a A a A a a a α− ⋅ − ⋅ − ⋅⋅ ∑
A aplicação ( )k l l
l
A a a a α− ⋅∑ tem como resultado
( )l l l k l l l k l l
l l l
a a a a a a a a a aα α α− = −∑ ∑ ∑
De modo que as aplicações sucessivas levam:
( )kl
l k l l
aa
a a a a α−∑∏
Daí temos então :
( ) ( )' '''
' . '' ' '' ''a aa
A a a a a aα α − = −
∑∏ ∏
Como em algum momento ''a e 'a se igualarão, o produtório inteiro será nulo e, por conseguinte o somatório também. Fica provado então que se trata de um operador nulo.
7
b)
( ) ( )( )( )
( ) ( )' ''
' ''' '. ...
'' ' '' ''' '' '''
n
na a
A aA a A a A a
a a a a a aa aα α
≠
− − − − = ⋅ ⋅ ⋅ − − −− ⋅∏
Mas α pode ser reescrito em termos da base de A.
'
' 'a
a aα α= ⋅∑
Ficamos com
( )( )( )
( ) ( )''
''' '... '' ''
'' ''' '' '''
n
na
A a A a A aa a
a a a aa aα
− − −⋅ ⋅ ⋅
− −−⋅ ∑
A aplicação ( )
l
kl l
m ka
A aa a
a aα
−⋅
−∑ tem como resultado
( )l l l
l kl kl l l l l l
m k m k m ka a a
a aa aa a a a a a
a a a a a aα α α
−− =
− − −∑ ∑ ∑
De modo que as aplicações sucessivas levam:
( )kl
l kl l
m kaa
a aa a
a aα
−
−∑∏
Daí temos então :
( ) ( )' '' ''''
' ''' '. ''' '''
'' ' '' 'a a aa
A a a aa a
a a a aα α
≠
− − = − − ∑∏ ∏
para ''' ''a a≠ o produtório sempre apresentara um termo nulo, logo o produtório será nulo, restando somente o produtório em ''' ''a a= .
( ) ( )''
' '' '
' '' '. '' '' '' ''
'' ' '' ' aa a a
A a a aa a a a
a a a aα α α α
≠
− − = = = Λ − − ∏ ∏ . Onde concluímos que esse é o
operador projeção
8
8) Para o comutador Caso 1 , 0x x x x x xs s s s s s = − =
Está de acordo com 0xxz zi sε = . Para dois operadores iguais o resultado é nulo. Caso 2
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
,
2 2
2 2
2 2
2 2
x y x y y xs s s s s s
i
i
i
i
+ + − −
= −
= + − + − + ⋅ − + − + − +
− − + − + − + ⋅ + − + − +
= ⋅ − + − ⋅ + − + + − ⋅ − + − − + ⋅ + − + + − ⋅ − +
− ⋅ − + − ⋅ + −
( )0
2z
i
i s
+ + − −
− + − ⋅ − + + − + ⋅ + − + + − ⋅ − +
= ⋅ + + − − −
= ⋅
Estando mais uma vez de acordo com xyz z zi s i sε = Caso 3 É fácil ver que , ,y x x ys s s s = − logo: ,y x zs s i s = − ⋅
Estando mais uma vez de acordo com yxz z zi s i sε = − .
9
Caso 4
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
,
2 2
2 2
2 2
2 2
x z x z z xs s s s s s
+ − − +
+ −
= −
= + − + − + ⋅ + + − − −
− + + − − − ⋅ + − + − +
= ⋅ + − ⋅ + + − + − ⋅ − − + − + ⋅ + + − − + ⋅ − −
− ⋅ + + ⋅ + − + + + ⋅ − +
( )0
2yi s
− +
− − − ⋅ + − − − − ⋅ − +
= ⋅ − + − + − +
= − ⋅
Estando mais uma vez de acordo com xzy y yi s i sε = − . caso 5 a relação é provada em analogia ao caso 3 ,z x ys s i s = ⋅
Estando mais uma vez de acordo com zxy y yi s i sε = .
10
Caso 6
( ) ( )
( ) ( )
0 0
,
2 2
2 2
2 2
2 2
y z y z z ys s s s s s
i
i
i
i
+ − − +
+ −
= −
= − + − + − + ⋅ + + − − −
− + + − − − ⋅ − + − + − +
= ⋅ − + − ⋅ + + + + − ⋅ − − + − + ⋅ + + − − + ⋅ − −
− ⋅ − + + ⋅ + −
( )0 0
2x
i
i s
− +
+ + + ⋅ − + + − − ⋅ + − − − − ⋅ − +
= ⋅ + − + − +
= ⋅
Estando mais uma vez de acordo com yzx x xi s i sε = . caso 7 a relação também é provada em analogia ao caso 3 ,z y xs s i s = − ⋅
Estando mais uma vez de acordo com zyx x xi s i sε = − . Esgotamos assim todos os casos. Fica provado que ,i j ijk ks s i sε =
11
Para o anti – comutador Primeiro estabelecemos a relação: { }, , 2i j i j i js s s s s s + = Os valores de i js s podem ser retirados dos casos anteriores faltando apenas os i is s
2x y z y xi
s s s s s= = − , 2x z y z xi
s s s s s= = − , 2y z x z yi
s s s s s= = −
( ) ( )
2
02
2 2
4
14
x xs s
+ + − −
=
= + − + − + ⋅ + − + − +
= + − ⋅ + − + + − ⋅ − + + − + ⋅ + − + − + ⋅ − +
= ⋅
( ) ( )
2
0 02
2 2
4
14
y ys s
i i
+ + − −
=
= − + − + − + ⋅ − + − + − +
= − + − ⋅ + − − + − ⋅ − + − − + ⋅ + − + − + ⋅ − +
= ⋅
( ) ( )
2
02
2 2
4
14
z zs s
+ + − − − −
=
= + + − − − ⋅ + + − − −
= + + ⋅ + + − + + ⋅ − − − − − ⋅ + + + − − ⋅ − −
= ⋅
Logo / 2i j ijk ks s i sε= para i j≠ e 2
14
⋅ para i j=
Caso 1, para i j=
{ }
{ }
{ }
2
2
, , 2
, 0 2 14
,2
i i i i i i
i i
i i
s s s s s s
s s
s s
+ =
+ = ⋅
=
Está de acordo com 2
2 iiδ .
12
Caso 2 para i j≠ { }{ }{ }
, , 2
, 2 / 2
, 0
i i i i i i
i i ijk k ijk k
i i
s s s s s s
s s i s i s
s s
ε ε
+ = + ==
Está de acordo com 2
2 ijδ com . fica assim provado.
{ }2
,2i i ijs s δ=
13
9)
Tomando ˆˆ ˆˆ x y zn n i n j n k= + + com ( ) ( )sin cosxn β α= , ( ) ( )sin sinyn β α= e ( )coszn β= (vetor
unitário) também ˆˆ ˆx y zs s i s j s k= + + de modo que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ sin cos sin sin cosx x y y z z x y zs n n s n s n s s s sβ α β α β⋅ = + + = + + (produto escalar)
O vetor de estado ;̂s n⋅ + que corresponde ao estado orientado no sentido positivo do spin na direção n
pode ser escrito em termos das bases ± . Fazendo:
;̂s n a b⋅ + = + + − onde pela condição de normalidade 2 21a b+ =
Alem disso o estado ;̂s n⋅ + é auto estado do operador ˆs n⋅ que corresponde ao observável spin na direção n e leva a equação de autovalor: ˆ ˆ ˆ; / 2 ;s n s n s n⋅ ⋅ + = ⋅ +
O produto escalar ˆs n⋅ leva a uma representação desse operador em termos de uma combinação dos operadores xS , yS e zS . Nas bases ± eles têm a seguinte representação:
( )/ 2xS = + − + − + , ( )/ 2yS i= − + − + − + , ( )/ 2zS = + + − − − . Desenvolvendo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆsin cos sin sin cos ; / 2 ;x y zs s s s n s nβ α β α β+ + ⋅ + = ⋅ +
14
Mas ;̂s n a b⋅ + = + + − , então temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin cos sin sin cos / 2x y zs s s a b a bβ α β α β+ + + + − = + + − Agora usando a representação dos operadores S na base ± :
( )( ( )( )( ) ( )( )
( )( ) )( ) ( )
sin cos2sin sin
cos / 2
i
a b a b
β α
β α
β
+ − + − + +
+ − + − + − + +
+ + − − − + + − = + + −
Desenvolvendo:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
sin cos sin sin cos2
sin cos sin sin cos / 22
a i
b i a b
β α β α β
β α β α β
− + − + + +
+ + − + + − − = + + −
Simplificando:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
sin cos sin cos2
sin cos sin cos / 22
i
i
e
e
a i
b i a b
α
α
β α α β
β α α β−
/ + − + + + / / / / − + − − = + + − /
Continuando a simplificar:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )sin cos sin cosi ib e a a e b a bα αβ β β β− + + + − − = + + −
De onde tiramos:
( ) ( )( ) ( )
sin cos
sin cos
i
i
b e a a
a e b b
α
α
β β
β β
− + = − =
Reescrevendo:
( ) ( )( )
( ) ( )( )2
2
2 sin ( /2)
2cos ( /2)
sin cos 1 0
sin cos 1 0
i
i
b e a
a e b
α
βα
β
β β
β β
−
−
+ − = − + =
Continuando
( )( )
2
2
sin 2 sin ( / 2) 0
sin 2 cos ( / 2) 0
i
i
b e a
a e b
α
α
β β
β β
− − = − =
15
O que leva:
( )( )
( )
2
2
2
sin 2 sin ( / 2) 0
sin 2 cos ( / 2) 0
sin
2 sin ( / 2)
i
i
i
b e a
a e b
b ea
α
α
α
β β
β β
β
β
−
−
− = − =
=
Pela condição de normalização * * 1aa bb+ = então
( ) ( )*
*2 2
sin sin1
2 sin ( / 2) 2 sin ( / 2)
i ib e b ebb
α αβ β
β β
− − + =
( ) ( )**
2 2
sin sin1
2 sin ( / 2) 2 sin ( / 2)
i ib e b ebb
α αβ β
β β
− + =
( )* 2*
4
sin1
4 sin ( / 2)
bbbb
β
β+ =
( ) ( )* 2 2*
4
4 sin / 2 cos / 21
4 sin ( / 2)
bbbb
β β
β+ =
( )* 2*
2
cos / 21
sin ( / 2)
bbbb
β
β+ =
( ) ( ) ( )* 2 * 2 2cos / 2 sin / 2 sin / 2bb bbβ β β+ =
( )* 2sin / 2bb β=
Escrevendo b em sua forma polar ire θ
( )2sin / 2i ire reθ θ β− =
( )2 2sin / 2r β=
( )sin / 2r β= b fica
( )sin / 2 ib e θβ= Já a
( ) ( )2
sin / 2 sin
2 sin ( / 2)
i ie ea
θ αβ β
β
−
=
( )sin
2 sin( / 2)
i ie ea
θ αβ
β
−
=
( ) ( )2 sin / 2 cos / 2
2 sin( / 2)
i ie ea
θ αβ β
β
−
=
16
( )cos / 2i ia e eθ αβ −= θ é um fator de fase arbitrário. Escolhendo θ α=
( ) ( );̂ cos / 2 sin / 2 is n e αβ β⋅ + = + + − 10)
( )1 1 1 2 2 1 2 2H a= + + − A representação de H nas bases 1 e 2 pode ser obtida fazendo :
ijH i H j=
11 1 1H H a= = , 12 1 2H H a= =
21 2 1H H a= = , 22 1 2H H a= = − De onde sai
1 1
1 1H a
= −
Estamos interessados nos autokets e autovalores. Montando a equação de autovalor: H h h h=
1 1
1 1
m ma h
n n
= −
1 10
1 1
ma h
n
− ⋅ = − 1
0( )
a h a m
a a h n
− = − +
Esse problema só admite solução não trivial se:
det 0( )
a h a
a a h
− = − +
Fazendo
( ) 2det ( ) 0( )
a h aa h a h a
a a h
− = − − + − = − +
( )2 2 2 0a h a− − − =
2h a= ±
17
Resolvendo o sistema
0( )
a h a m
a a h n
− = − +
( )0
( )
a h m a n
a m a h n
− + ⋅ = ⋅ − +
( ) 0
( ) 0
a h m a n
a m a h n
− + ⋅ = ⋅ − + =
Colocando n em termos de m:
( )
a mn
a h
⋅=
+
Temos que os autokets tem a seguinte forma:
1
( ) ( )
mh ma m a
a h a h
= =⋅ + +
onde m é arbitrário
Como 2h a= ± temos os dois autokets
11
'2 1
( 2 )
h m ma
a a
= = − +
e
11
''2 1
( 2 )
h m ma
a a
= = − − −
Pela condição de normalização, 1h h = . Para 'h
( ) ( ) ( )
( )
2 2 21
' ' 1 2 1 1 2 2 2 1 4 2 2 12 1
1
4 2 2
h h m m m
m
= − = + − + = − = −
=−
( )11
'2 14 2 2
h = − −
18
Para o ket ''h
( ) ( ) ( )
( )
2 2 21
'' '' 1 2 1 1 2 2 2 1 4 2 2 12 1
1
4 2 2
h h m m m
m
= − − = + + + = + = − −
=+
( )11
''2 14 2 2
h = − − +
Os kets 1 e 2 em sua própria base são representados por
11
0
= ,
02
1
=
Escrevendo 'h em termos de 1 e 2
( )( )( )1
' 1 2 1 24 2 2
h = + −−
Escrevendo ''h em termos de 1 e 2
( )( )( )1
'' 1 2 1 24 2 2
h = − ++
11)
11 12 12 221 1 1 2 2 1 2 2H H H H H= + + + A representação matricial:
11 12
12 22
H HH
H H
=
Montando a equação de autovalor:
11 12
12 22
H H m mh
H H n n
=
11 12
12 22
0H h H m
H H h n
− = −
19
Esse sistema só tem solução não trivial se :
11 12
12 22
det 0H h H
H H h
− = −
Fazendo
( )2 211 22 12 11 2
11 12
12 22
2
det 0
0h H H h H H H
H h H
H H h
− = − + − − + =−
Que tem como resposta
2 2 211 11 22 12 2211 22
2 2 211 11 22 12 2211 22
2 4'
2 2 22 4
''2 2 2
H H H H HH Hh
H H H H HH Hh
− + += + −
− + += + +
Os auto vetores ficam
11 12
12 22
0H h H m
H H h n
− = −
( )( )
11 12
12 22
0
0
H h m H n
H m H h n
− + = + − =
Colocando n em termos de m : ( )
( )11 12
11
12
0H h m H n
H hn m
H
− + =−
= −
E os autovetores tem a seguinte forma:
( )11
12
1
'' H hh m
H
−= −
e ( )11
12
1
'''' H hh m
H
−= −
Eles devem ser normalizados. Para 'h
( ) ( )11211
1212
1'
'' ' 1 1H h
H hh h mH
H
− −= − = −
( ) 2112
12
'1 1
H hm
H
− − =
20
( ) 211
12
1
'1
mH h
H
= − −
ficamos
( )( )112
11 12
12
11
'''
1
H hhH h HH
−= − − −
Para ''h
( )( )11211
1212
1''
'''' '' 1 1H h
H hh h mH
H
− −= − = −
( ) 2112
12
''1 1
H hm
H
− − =
( ) 211
12
1
''1
mH h
H
= − −
ficamos
( )( )112
11 12
12
11
''''''
1
H hhH h HH
−= − − −
Para 12 0H = os autovalores ficam:
2 211 11 22 2211 22
11 22 11 2222
2 211 11 22 2211 22
11 22 11 2211
2 0'
2 2 2
'2 2 2
2''
2 2 2
''2 2
0
2
H H H HH Hh
H H H Hh H
H H H HH Hh
H H H Hh H
− + += + −
= + − =
− + += +
+
−
−
+
= + =
O que significa que a base genérica também é base do operador Hamiltoniano. Os autovetores viriam:
11
22
00
0
H h m
H h n
− = −
21
( )( )11
22
0
0
H h m
H h n
− = − =
Para 11h H= , m pode ser qualquer numero e 0n = . O auto vetores associados ao autovalor:
1'
0h m
= que normalizado:
1'
0h
=
Para 22h H= , n pode ser qualquer numero e 0m = . O auto vetor associado ao autovalor:
0''
1h n
= que normalizado:
0''
1h
=
12)
O vetor n está no plano xz formando um ângulo γ com z. Isso corresponde na expressão utilizada na questão 9 a um valor de 0α = e β γ= .
( ) ( );̂ cos / 2 sin / 2s n γ γ⋅ + = + + − a)
a probabilidade de medir / 2 é dada por 2ˆ; ;xs s n+ ⋅ + :
( ) ( )ˆ; ; cos / 2 ; sin / 2 ;x x xs s n s sγ γ+ ⋅ + = + + + + −
( ) ( ) ( ) ( )1 1ˆ; ; cos / 2 sin / 2
2 2xs s n γ γ
+ ⋅ + = + + − + + + + − −
( ) ( )( )1ˆ; ; cos / 2 sin / 2
2xs s n γ γ+ ⋅ + = +
Conseqüentemente
( ) ( )( )2 21ˆ; ; cos / 2 sin / 2
2xs s n γ γ+ ⋅ + = +
22
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 1 sin1ˆ; ; cos / 2 2 cos / 2 sin / 2 sin / 2
2 2xs s nγ
γ γ γ γ+
+ ⋅ + = + + =
b) o valor esperado de xs é:
ˆ ˆ; ;x xs s n s s n= ⋅ + ⋅ +
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )cos / 2 sin / 2 / 2 cos / 2 sin / 2xs γ γ γ γ= + + − + − + − + + + −
( ) ( )( ) ( ) ( )( )/ 2 cos / 2 sin / 2 cos / 2 sin / 2xs γ γ γ γ= + + − − + +
( ) ( ) ( ) ( )( )/ 2 cos / 2 sin / 2 sin / 2 cos / 2xs γ γ γ γ= +
( )sin / 2xs γ= o valor esperado de 2
xs é:
2 2ˆ ˆ; ;x xs s n s s n= ⋅ + ⋅ +
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2cos / 2 sin / 2 / 4 cos / 2 sin / 2xs γ γ γ γ= + + − + − + − + + − + − + + + −
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )2 2 / 4 cos / 2 sin / 2 cos / 2 sin / 2xs γ γ γ γ= + + − + − + − + − + +
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 / 4 cos / 2 sin / 2 cos / 2 sin / 2xs γ γ γ γ= + + − + + −
( ) ( )( )2 22 2 / 4 cos / 2 sin / 2xs γ γ= +
2 2 / 4xs =
A dispersão 2
xs∆ `
22 2
x x xs s s∆ = −
( )( )22 2 / 4 sin / 2xs γ∆ = −
( )( ) ( )2 22 2 2/ 4 1 sin cos / 4xs γ γ∆ = − =
23
13) a) O operador correspondente a detecção do átomo de spin / 2 orientado na direção z . O operador que tem
dois autovalores, 1 e 0 , correspondentes a detectar ou não detectar. Escrito na base zs ,sua própria base, temos:
1 0M+ = + + + − − b) O operador correspondente a detecção do átomo de spin / 2 orientado na direção n. O operador que tem
dois autovalores 1 e 0 , correspondentes a detectar ou não detectar. Escrito na base ;̂n ± , sua própria base, temos:
ˆ ˆ ˆ ˆ1 ; ; 0 ; ;nM n n n n+ = + + + − −
( ) ( )( ) ( ) ( )( )cos / 2 sin / 2 cos / 2 sin / 2nM γ β β β+ = + + − + + − c) O operador correspondente a detecção do átomo de spin / 2− . O operador que tem dois autovalores 0 e
1 . Escrito na base zs , sua própria base, temos:
0 1M− = + + + − − Pergunta 1 O que significa o feixe final (sz= / 2− ) quando o feixe (sz= / 2 ) que sobrevive à primeira medida é 1? O operador M+ aceita átomos com estado de spin + e rejeita átomos no estado de spin − (estados
puros). Átomos que estejam em estados intermediários (combinação de e + e − ) tem probabilidade entre
0 e 1 de serem aceitos. Ao final, temos átomos preparados no estado de spin + .se a probabilidade de todo
átomo passar por M+ é 1, então isso significa que no inicio tínhamos um feixe polarizado de átomos no
estado de spin + . A explicação para a detecção de átomos com estado de spin − ao final do experimento
vem do fato de nM + preparar átomos num estado de spin intermediário i.e num estado que é uma
combinação de + e − . Pergunta 2 A probabilidade de um fóton vindo de M+ passar por nM + é dada por
21 ;̂p n= + +
( ) ( )( ) 21 cos / 2 sin / 2p β β= + + + −
24
( )21 cos / 2p β=
A probabilidade de um feixe saído de nM + passar por M− é dada por
22 ;̂p n= + −
( ) ( )( ) 22 cos / 2 sin / 2p β β= + + − −
( )22 sin / 2p β=
A probabilidade total:
( ) ( )2 2cos / 2 sin / 2Tp β β=
( ) ( )( )22 cos / 2 sin / 2 / 4Tp β β=
( )( )2sin / 4Tp β= . Então vemos que a probabilidade será máxima quando β for / 2π sendo a probabilidade ¼. Ela também está associada a razão entre a intensidade do feixe que entra e o que sai, de onde tiramos que o feixe que sai de M− tem intensidade máxima dada pro ¼ da intensidade que entra em M+ 14) O Operador é representado pela matriz
0 1 011 0 1
2 0 1 0
A
=
Procuramos os aukets e autovetores. Montando a equação de autovalor:
0 1 011 0 1
2 0 1 0
a a
b b
c c
λ
=
0 1 0 1 0 011 0 1 0 1 0 0
2 0 1 0 0 0 1
a
b
c
λ
− =
0 1 0 1 0 011 0 1 0 1 0 0
2 0 1 0 0 0 1
a
b
c
λ
− =
0 1 / 2 0 0 0
1 / 2 0 1 / 2 0 0 0
0 00 1 / 2 0
a
b
c
λλ
λ
− =
25
1 / 2 0
1 / 2 1 / 2 0
0 1 / 2
a
b
c
λ
λ
λ
− − = −
Esse problema só tem solução não trivial se :
1 / 2 0
det 1 / 2 1 / 2 0
0 1 / 2
λ
λ
λ
− − = −
3 0λ λ− + = De onde tiramos:
1 0λ = , 2 1λ = e 3 1λ = − . Os autovetores. Para 1λ :
0 1 / 2 0
1 / 2 0 1 / 2 0
0 1 / 2 0
a
b
c
=
( )/ 2
1 / 2 0
/ 2
b
a c
b
+ =
Temos para isso que 0b = e Podemos colocar c em função de a c a= − O autovetor fica:
1
' 0 0
1
a a
a b a
c a
= = = − −
'a deve ser normalizado, o que leva a 1
2a = . Temos:
1
1' 0
2 1
a
= −
26
Os autovetores. Para 2λ :
1 1 / 2 0
1 / 2 1 1 / 2 0
0 1 / 2 1
a
b
c
− − = −
/ 2
/ 2 / 2 0
/ 2
a b
a b c
b c
− + − + = −
Podemos colocar b em função de a
2b a= Também podemos colocar c em função de a / 2 / 2 0a b c− + =
/ 2 2 / 2 0a a c
c a
− + =
=
O autovetor fica:
1
'' 2 2
1
aa
a b a a
c a
= = =
O vetor deve ser normalizado
( ) ( )2 2
1
'' '' 1 2 1 2 1 2 1 1
1
a a a a
= = + + =
1
2a =
''a fica:
1
1'' 2
21
a
=
27
Os autovetores. Para 3λ :
1 1 / 2 0
1 / 2 1 1 / 2 0
0 1 / 2 1
a
b
c
=
/ 2
/ 2 / 2 0
/ 2
a b
a b c
b c
+ + + = +
Podemos colocar b em função de a
2b a= − Também podemos colocar c em função de a / 2 / 2 0a b c+ + =
/ 2 2 / 2 0a a c
c a
− + =
=
O autovetor fica:
1
''' 2 2
1
aa
a b a a
c a
= = − = −
O vetor deve ser normalizado
( ) ( )2 2
1
''' ''' 1 2 1 2 1 2 1 1
1
a a a a
= − − = + + =
1
2a =
'''a fica:
1
1''' 2
21
a
= −
15) Se os kets { }', 'a b são autokets simultâneos de A e B temos que
', ' ' ', ' ' ' ', 'AB a b Ab a b a b a b= =
', ' ' ', ' ' ' ', 'BA a b Ba a b a b a b= =
28
Temos que ( ) ', ' 0AB BA a b− =
, ', ' 0A B a b = Então , 0A B = 16) Supondo que exista um ket ', 'a b que e simultaneamente auto ket de A e B .Aplicando o anti comutador { }, ', ' 0A B a b =
( ) ', ' 0AB BA a b+ =
( ) ', ' 0ab ba a b+ = O ket nulo não é aceito como auto ket então temos que pelo menos um dos autovalores deve ser então zero. 18) a) ( )( )* 0α λ β α λ β+ + ≥
* * 0α α λ α β λ β α λ λ β β+ + + ≥ Agora tomando λ β β β α= − tem como conseqüência que *λ β β α β= − . Multiplicando a
desigualdade por β β
* * 0β β α α λ β β α β λ β β β α λ λ β β β β+ + + ≥
0β β α α β α α β α β β α β α α β− − + ≥
β β α α β α α β≥ 2
β α β β α α≤ b) temos as relações: A Bα λ α∆ = ∆ e conseqüentemente *A Bα α λ∆ = ∆ 18.b.1
O valor esperado para o comutador ,A B ∆ ∆
,A B A B B Aα α α α α α ∆ ∆ = ∆ ∆ − ∆ ∆
29
Usando 18.b.1
, *A B B B B Bα α α λ α α λ α ∆ ∆ = ∆ ∆ − ∆ ∆
, *A B B B B Bα α λ α α λ α α ∆ ∆ = ∆ ∆ − ∆ ∆ Como λ é puramente imaginário:
,A B B B B Bα α λ α α λ α α ∆ ∆ = − ∆ ∆ − ∆ ∆ 2, 2A B Bα α λ α α ∆ ∆ = − ∆ 18.b.2
O valor esperado para o anticomutador { },A B∆ ∆
{ },A B A B B Aα α α α α α∆ ∆ = ∆ ∆ + ∆ ∆ Usando 18.b.1
{ }, *A B B B B Bα α α λ α α λ α∆ ∆ = ∆ ∆ + ∆ ∆
{ }, *A B B B B Bα α λ α α λ α α∆ ∆ = ∆ ∆ + ∆ ∆ Como λ é puramente imaginário:
{ },A B B B B Bα α λ α α λ α α∆ ∆ = − ∆ ∆ + ∆ ∆
{ }, 0A Bα α∆ ∆ = 18.b.3 Temos a identidade
{ }1 1, ,
2 2A B A B A B ∆ ∆ = ∆ ∆ + ∆ ∆
1,
2A B A B ∆ ∆ = ∆ ∆
2 21,
4A B A B ∆ ∆ = ∆ ∆ 18.b.4
Ainda de 18.b.1 A Bα λ α∆ = ∆
*A Bα λ α∆ = ∆
*A A B Bα α λ α λ α∆ ∆ = ∆ ∆
*A A B Bα α λ λ α α∆ ∆ = ∆ ∆ 22 2A Bα α λ α α∆ = ∆
Multiplicando por 2Bα α∆ os dois membros
30
2 22 2 2A B Bα α α α λ α α∆ ∆ = ∆ Finalmente de 18.b.2
2
2 2,
4
A BA B
α αα α α α
∆ ∆ ∆ ∆ =
E de 18.b.4
22 2A B A Bα α α α α α∆ ∆ = ∆ ∆ Que corresponde à expectativa do aparecimento da igualdade entre os dois membros, sendo este um caso particular do principio da incerteza.
31
19) a) fazemos primeiro
( )/ 2xS = + − + − +
( ) ( )2 / 2 / 2xS = + − + − + + − + − +
( ) ( )22 / 2xS = + + + − − O valor esperado
( ) ( )22 / 2xS+ + = + + + + − − +
( )22 / 2xS+ + = O valor esperado de xS
( )/ 2xS+ + = + + − + − + +
0xS+ + =
Para ( )2xS+ ∆ +
( ) ( ) ( )2 2 2/ 2 0 / 2xS+ ∆ + = − = 19.a.1
Agora fazemos
( )/ 2yS i= − + − + − +
( ) ( )2 / 2 / 2xS i i= − + − + − + − + − + − +
( ) ( )22 / 2yS = + + + − − O valor esperado
( ) ( )22 / 2yS+ + = + + + + − − +
( )22 / 2yS+ + = O valor esperado de yS
( )/ 2yS+ + = + + − + − + +
0yS+ + =
Para ( )2yS+ ∆ +
32
( ) ( ) ( )2 2 2/ 2 0 / 2yS+ ∆ + = − = 19.a.2
Do princípio da incerteza e de 19.a.1 e 19.a.2
( ) ( )2 22 1,
4x y x yS S S S + ∆ + + ∆ + ≥ + +
( ) ( )2 2 21/ 2 / 2
4 zi S≥ + +
( ) ( )2
2 2 1/ 2 / 2
4 2i≥
2 2
16 16≥
b) Fazemos primeiro
( )/ 2 ; ; ; ;x x x x xS S S S S= + + − − −
( ) ( )2 / 2 ; ; ; ; / 2 ; ; ; ;x x x x x x x x xS S S S S S S S S= + + − − − + + − − −
( )22 / 2 1xS = O valor esperado
( )22; ; / 2 ; 1 ;x x x x xS S S S S+ + = + +
( )22; ; / 2x x xS S S+ + = O valor esperado de xS
( ); ; ; / 2 ; ; ; ; ;x x x x x x x x xS S S S S S S S S+ + = + + + − − − +
; ; / 2x x xS S S+ + =
Para ( )2; ;x x xS S S+ ∆ +
( ) ( ) ( )2 2 2; ; / 2 / 2 0x x xS S S+ ∆ + = − = 19.b.1
33
Do princípio da incerteza e de 19.b.1 e 19.a.2
( ) ( )22 1; ; ; ; ; , ;
4x x x x y x x x y xS S S S S S S S S S + ∆ + + ∆ + ≥ + +
( )2 10 ; ; ; ;
4x y x x z xS S S S i S S+ ∆ + ≥ + +
( )( )10 ; / 2 ;4 x xi S S≥ + + + − − − +
0 0≥
34
20) a) fazendo ( )det 0B Iλ− =
( )0 0
det 0 0
0
b
B I ib
ib
λλ λ
λ
− − = − − = −
( ) ( )2 2 0b b bλ λ λ− − − =
1 2 3, ,b b bλ λ λ= = = −
B também apresenta degeneração. b)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
a b
AB a ib
a ib
= − − −
0 0
0 0
0 0
ab
AB iab
iab
= −
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
b a
BA ib a
ib a
= − − −
0 0
0 0
0 0
ba
BA iba
iba
= −
0AB BA− =
35
c) Montando a equação de autovalor para a matrizB
0 0
0 0
0 0
b x x
ib y y
ib z z
λ
− =
Onde λ é um autovalor de B
0 0
0 0
0
b x
ib y
ib z
λλ
λ
− − − = −
Os autovalores são é claro b ,b e b− . Para bλ = 0 0 0
0 0
0
x
b ib y
ib b z
− − = −
0
0
by ibz
iby bz
− − =− =
Colocando z em termos de y ficamos com um auto vetor do tipo z iy=
1 0
', ' 0 1
0
x
a b y x y
iy i
= = +
O ket 1
0
0
já é auto ket de A. uma olhada rápida é suficiente para ver que o ket 0
1
i
e o ket 1
0
0
são ortogonais.
Aplicando A em 0
1
i
percebemos que ele está associado ao autovalor a− .
Podemos então retirar os dois autokets associados aos autovalores degenerados de B .
1
', ' 0
0
a b
=
e
36
01
'', '' 12
a b
i
=
Para bλ = − 2 0 0
0 0
0
b x
b ib y
ib b z
− =
0
0
by ibz
iby bz
− =+ =
Colocando z em termos de y z iy= −
0 0
''', ''' 1a b y y
iy i
= = + − −
Rapidamente vemos que ele é ortogonal a ', 'a b fazendo o teste com '', ''a b também é verificada a
ortogonalidade. Aplicando A percebemos que está associado ao autovalor a− . Normalizado esse era o ket que faltava.
0 01
''', ''' 12
a b y
iy i
= = − −
.
26) Montando a matriz
1;
2xU S+ + = + + = , 1
;2
xU S+ − = + − =
1;
2xU S− + = − + = , 1
;2
xU S− − = − − = −
A matriz transformação
1 111 12
U = −
Que deve ser perfeitamente coerente com a generalização, pois
( ) ( )r r
r
U b a= ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r l r r r l
r
a U a a b a a= ∑
37
( ) ( ) ( ) ( )r l r ra U a a b=
31) Temos as seguintes referencia
( ), ' 'dx dx = x T 31.1
( ), ' 0dx = p T 31.2
( )'dxα α→ T 31.3 de 31.3 e do fato de que o ket evoluído também deve ser normalizado.
( ) ( )†' ' 1dx dxα α =T T
( ) ( )†' ' 1dx dx =T T 31.4
O valor esperado
( ) ( )†' 'dx dxα αxT T 31.5
De 31.1 podemos tirar
( ), ' 'dx dx = x T
( ) ( )' ' 'dx dx dx− =x xT T
( ) ( )' ' 'dx dx dx= +x xT T 31.6
38
Substituindo o resultado 31.6 em 31.5
( ) ( ) ( )†' ' 'dx d dx dxα α+x xT T T
( ) ( ) ( )† †' ' ' 'dx dx dx dxα α α α+ xT T T
( )†' 'dx dxα α α α+ xT
'dxα α α α+ x
'dxα α +x Agora o valor esperado de p
( ) ( )†' 'dx dxα αpT T
A relação 31.2 diz que os operadores translação e momento comutam
( ) ( )†' 'dx dxα αpT T
α αp 33) a) i) Sabemos que
' '1
' '2
x pi
x p eπ
=
'' ' ' '
'
xx p i x p
p
∂=
∂
' ' ' ' ''
i x p x x pp
∂− =
∂ 33.1
Agora partindo para a primeira prova ' ' ' ' 'p x dx p x x xα α= ∫
' ' ' ' ' 'p x dx x p x xα α= ∫
' '' ' ' ' ' ' '' ''p x dp dx x p x x p pα α= ∫ ∫
39
Usando 33.1 ' '' ' ' ' ' ' '' ''p x dp dx p x x x p pα α= ∫ ∫
' '' ' ' ' ' '' ''''
p x dp dx p x i x p pp
α α∂
= −∂∫ ∫
' ' ' ' '' ' '' ''''
p x dx p x dp i x p pp
α α∂
= −∂∫ ∫
''
''' ' ' ' ' '' '' '' ' '' ''
''
p
pp x dx p x i x p p dp i x p p
pα α α
→∞
→−∞
∂ = − − ∂∫ ∫
''
''' ' ' ' ' '' '' ' '' ' ' ' '' ''
''
p
pp x i dx p x x p p i dx dp p x x p p
pα α α
→∞
→−∞
∂ = − + ∂∫ ∫ ∫''
''' ' '' '' '' ' ' ' ' '' ''
''
p
pp x i p p p i dp dx p x x p p
pα α α
→∞
→−∞
∂ = − + ∂∫ ∫
( ) ''
''' ' '' '' '' ' ' ' ' '' ''
''
p
pp x i p p p i dp dx p x x p p
pα δ α α
→∞
→−∞
∂ = − − + ∂∫ ∫
( )' '' ' '' ''''
p x i dp p p pp
α δ α∂
= −∂∫
' ''
p x pp
α α∂
=∂
Usando 33.1
' ' ' ' ''
p x dx i p x xp
α α∂
=∂∫
ii)
' ' 'x dp p p xβ α β α= ∫
De i)
' ' 'x dp p p xβ α β α= ∫
' ' ''
x dp p pp
β α β α∂
=∂∫
( ) ( )* *' ' ''
x dp p ppβ αβ α φ φ∂
=∂∫
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b) vamos examinar algumas propriedades desse operador. Fazendo Ξ pequeno e igual a 'dp
exp 1ixdp dp
ix +
O comutador entre x e o operador
,1 ,1 , 0dp dp
x ix x i x x
+ = + =
Agora com p
( ),1 ,1 ,dp dp dp
p ix p i p x i i dp
+ = + = − =
Como vemos existe uma semelhança entre o operador e o operador translação. O operador translação espacial comuta com pmas não com x sendo o comutador aproximadamente dx que tem dimensão de espaço. Já o operador em questão comuta com x mas não com p , dando como resultado dp que tem unidade de momento linear. Os operadores se assemelham muito, sendo a diferença entre eles a relação trocada que tem com x e p . Se o primeiro tem significado físico de translação espacial, é muito coerente dizer que o outro tem significado físico de translação do momento.