exercícios resolvidos - pesquisa operacional
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Slide 1
Exerccio 1
Funo Objetiva
Max L = 6x1 + 4x2
Restries
x1 + < 50 (1) Produto A
x2 < 100 (2) Produto B
10x1 + 5x2 < 900 (3) Mo de obra
8x1 + 6x2 > 300 (4) Nat Financeira
Pede-se:
Resolver graficamente
Determinar os limites de variao dos coeficientes da funo objetiva
Calcular o preo sombra de cada uma das restries
Conjunto de solues viveis: Polgono ABCDEF
Exerccio 1 - Soluo Grfica
50
100
150
200
50
100
150
200
C
D
A
F
E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)
(4)
Max L = 6x1 + 4x2
x1 < 50 (1)
x2 < 100 (2)
10x1 + 5x2 < 900 (3)
8x1 + 6x2 > 300 (4)
225
0
37,5
F
300
0
50
E
620
80
50
D
640
100
40
C
400
100
0
B
200
50
0
A
L
x2
x1
Pto
Exerccio 1 - Soluo Grfica
50
100
150
200
50
100
150
200
C
D
A
F
E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)
(4)
640 = 6x1 + 4x2
120 = 6x1 + 4x2
Max L = 6x1 + 4x2
x1 < 50 (1)
x2 < 100 (2)
10x1 + 5x2 < 900 (3)
8x1 + 6x2 > 300 (4)
Conjunto de solues viveis: Polgono ABCDEF
225
0
37,5
F
300
0
50
E
620
80
50
D
640
100
40
C
400
100
0
B
200
50
0
A
L
x2
x1
Pto
Ponto timo
Exerccio 1 - Anlise de Sensibilidade
50
100
150
200
50
100
150
200
C
D
A
F
E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)
(4)
6x1 + 4x2 = 640
p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2
Girar at ser paralela reta (3)
10x1 + 5x2 = 900
Ponto D vai ser o novo timo
9x1 + 4x2 = L
10x1 + 5x2 < 900
Exerccio 1 - Anlise de Sensibilidade
50
100
150
200
50
100
150
200
C
D
A
F
E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(4)
6x1 + 4x2 = 640
p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2
10x1 + 5x2 < 900
Coeficientes da funo objetiva quando tornar paralela reta 10x1 + 5x2 = 900
(3)
Girar at ser paralela reta (3)
10x1 + 5x2 = 900
Exerccio 1 - Anlise de Sensibilidade
Duas retas so paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular
p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2
10x1 + 5x2 = 900
Exerccio 1 - Anlise de Sensibilidade
50
100
150
200
50
100
150
200
C
D
A
F
E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)
(4)
6x1 + 4x2 = 640
p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2
0x1 +1x2 < 100
Girar at ser paralela reta (2)
x2 = 100
Exerccio 1 - Anlise de Sensibilidade
50
100
150
200
50
100
150
200
C
D
A
F
E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)
(4)
6x1 + 4x2 = 640
p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2
0x1 +1x2 < 100
Coeficientes da funo objetiva quando tornar paralela reta x2 = 100
Girar at ser paralela reta (2)
x2 = 100
Exerccio 1 - Anlise de Sensibilidade
Duas retas so paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular
p1x1 + 4x2 = L1 6x1 + p2x2 = L2
x2 = 100
Exerccio 1 - Anlise de Sensibilidade
Sintetizando os limites da anlise de sensibilidade.
A soluo permanece inalterada enquanto:
Em outras palavras, o valor de p1 pode ser aumentado at 2 (8 6) e reduzido at 6 (6 - 0).
Em outras palavras, o valor de p2 valor pode ser aumentado at ( 4) e reduzido at 1 (4 - 3).
L = 6x1 + 4x2
11
Exerccio 1 Preo Sombra
50
100
150
200
50
100
150
200
C
D
A
F
E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)
(4)
H
Restrio 3 Mo de obra
10x1 + 5x2 = 500
10x1 + 5x2 = 900
10x1 + 5x2 = 1000
A restrio (3) pode ser deslocada at os pontos
B(0; 100) e H(50,100).
500 < Mo de obra < 1000
x2 < 80
10x1 + 5x2 = 901
C
Exerccio 1 Preo Sombra
Sensibilidade da Restrio Mo de obra
Em vez de 900 horas, se tivermos 901 horas de mo de obra, o que ir acontecer com o valor da funo objetiva?
O novo valor ser no ponto C, que a interseo das retas:
Resolvendo o sistema, temos x1 = 40,1 e x2 = 100. O novo valor da funo objetiva (L) ser:
Assim, o aumento no valor da funo objetiva ser de:
Este valor 0,6 denominado preo sombra da restrio mo de obra.
O preo sombra indica a variao no valor da funo objetiva quando aumentarmos uma unidade o valor da restrio.
Exerccio 1 Preo Sombra
Sensibilidade da Restrio Mo de obra
Note-se que a reta da restrio mo de obra pode ser deslocada entre os pontos B e H.
A coordenada do ponto B x1 = 0 e x2 = 100. Neste ponto, a reta da restrio mo de obra ser: 10x1 + 5x2 = 500.
A coordenada do ponto H x1 = 50 e x2 = 100. Neste ponto, a reta da restrio mo de obra ser: 10x1 + 5x2 = 1000.
Assim, a restrio mo de obra pode variar no intervalo:
500 < mo de obra < 1000
Em outras palavras, seu valor pode ser:
aumentado at 100 (1000 900) e
reduzido at 400 (900-500).
Exerccio 1 Preo Sombra
50
100
150
200
50
100
150
200
C
D(50; 80)
A
F
E
B
x1
x2
0
(1)
(2)
(3)
(4)
C
Restrio 2 Produto B
G(0; 180)
x2 = 100
x2 = 101
10x1 + 5x2 < 900
x2 = 180
x2 = 80
A restrio (2) pode ser deslocada at os pontos
D(50; 80) e G(0,180).
80 < Prod B < 180
Exerccio 1 - Solver
Anlise de Sensibilidade
Exerccio 2
Max R = 5x1 + 2x2
Sujeito a
x1 < 3 (a)
x2 < 4 (b)
x1 + 2x2 < 9 (c)
x1, x2 > 0
Pede-se:
Resolver graficamente
Determinar os limites de variao dos coeficientes da funo objetiva
Calcular o preo sombra de cada uma das restries
Dado o problema:
Funo Objetiva
Exerccio 2 - Soluo Grfica
1
4
A
B
C
D
E
2
3
5
1
3
4
5
2
0 = 5x1 + 2x2
x1 < 3 (a)
x2 < 4 (b)
x1 + 2x2 < 9 (c)
15
0
3
E
21
3
3
D
13
4
1
C
8
4
0
B
0
0
0
A
R
x2
x1
Pto
21 = 5x1 + 2x2
F
9
G
Exerccio 2 - Anlise de Sensibilidade
1
4
A
B
C
D
E
2
3
5
1
3
4
5
2
R= 5x1 + 2x2
F
9
G
x1 < 3 (a)
x2 < 4 (b)
x1 + 2x2 < 9 (c)
Coeficientes da funo objetiva
Girar at ser paralela reta
x1 + 2x2 = 9
Exerccio 2 - Anlise de Sensibilidade
1
4
A
B
C
D
E
2
3
5
1
3
4
5
2
R = 5x1 + 2x2
F
9
G
x1 < 3 (a)
x2 < 4 (b)
x1 + 2x2 < 9 (c)
Coeficientes da funo objetiva
Girar at ser paralela reta
x1 = 3
Exerccio 2 - Anlise de Sensibilidade
Sintetizando os limites da anlise de sensibilidade.
A soluo permanece inalterada enquanto:
Em outras palavras, o valor de p1 pode ser aumentado at ( 5) e reduzido at 4 (5 - 1).
Em outras palavras, o valor de p2 valor pode ser aumentado at 8 (10 2) e reduzido at 2 (2 - 0).
21
Exerccio 2 Preo Sombra
1
4
A
B
C
D
E
2
3
5
1
3
4
5
2
R = 5x1 + 2x2
F
9
G
Restrio (c)
x1 < 3 (a)
x2 < 4 (b)
x1 + 2x2 < 9 (c)
A restrio (c) pode ser deslocada at os pontos
E(3; 0) e G(3; 4).
3 < restrio c < 11
Preo Sombra
Exerccio 2 Preo Sombra
1
4
A
B
C
D
E
2
3
5
1
3
4
5
2
R = 5x1 + 2x2
F
9
G
Restrio (a)
x1 < 3 (a)
x2 < 4 (b)
x1 + 2x2 < 9 (c)
A restrio (a) pode ser deslocada at os pontos
C(1; 4) e F(9; 0).
1 < restrio a < 9
Preo Sombra
Exerccio 2 - Solver
Anlise de Sensibilidade
Uma companhia produz trs tipos de fertilizantes (A, B e C), a partir da mistura de ingredientes a base de nitrato, fosfato e potssio e de um componente inerte, conforme mostra o Quadro 1, que apresenta tambm os preos de venda dos fertilizantes. Dados sobre disponibilidade e custos dos ingredientes so apresentados no Quadro 2. O custo de mistura, empacotamento e promoo de vendas estimado em R$300,00 por tonelada para quaisquer produtos. A companhia possui contrato de longo prazo para fornecimento mensal de 6.500 t de fertilizante A. Elabore o modelo de programao linear para a programao da produo para o prximo ms, com o objetivo de maximizar o lucro.
Tipo de FertilizanteNitrato(%)Fosfato(%)Potssio(%)Componente inerte (%)Preo de mercado (R$/t)A510580800B5101075960C101010701.100Quadro 1 - Proporo em peso dos ingredientes
IngredientesDisponibilidade (t)Custo (R$/t)Nitrato1.2003.000Fosfato2.0001.000Potssio1.4001.800Componente inerte200Quadro 2
Exerccio 3
Variveis de deciso
x1: quantidade de fertilizante A produzida por tonelada ao ms
x2: quantidade de fertilizante B produzida por tonelada ao ms
x3: quantidade de fertilizante C produzida por tonelada ao ms
Funo Objetiva
Max Lucro = 0,00x1 + 80,00x2 + 80,00x3
Sujeito a
0,05x1 + 0,05x2 + 0,10x3 < 1.200Nitrato
0,10x1 + 0,10x2 + 0,10x3 < 2.000Fosfato
0,05x1 + 0,10x2 + 0,10x3 < 1.400Potssio
x1 > 6.500 Produo mnima do Fertilizante A
x1, x2, x3 > 0
Exerccio 3 - Soluo
Observaes:
Clculo do lucro do fertilizante A:
Lucro A = Preo A - Custo dos ingredientes A Custo de mistura A
Lucro A = 800,00 (0,05 x 3.000 + 0,10 x 1.000 + 0,05 x 1.800 + 0,80 x 200) 300,00
Lucro A = 800,00 500,00 300,00 = 0,00
Clculo do lucro do fertilizante B:
Lucro B = Preo B - Custo dos ingredientes B Custo de mistura B
Lucro B = 960,00 (0,05 x 3.000 + 0,10 x 1.000 + 0,10 x 1.800 + 0,75 x 200) 300,00
Lucro B = 960,00 580,00 300,00 = 80,00
Clculo do lucro do fertilizante C:
Lucro C = Preo C - Custo dos ingredientes c Custo de mistura C
Lucro C = 1100,00 (0,10 x 3.000 + 0,10 x 1.000 + 0,10 x 1.800 + 0,70 x 200) 300,00
Lucro C = 1100,00 720,00 300,00 = 80,00
Exerccio 3 - Soluo
Obs.: Supor ano com 50 semanas
Formule o modelo de programao linear para a programao da produo para o ano com o objetivo de maximizar o lucro.
Exerccio 4
O fabricante de tnis Mayk produz trs modelos: COMUM, BOTA e AERBICA. Uma anlise do mercado revelou a seguinte demanda anual para os trs modelos:
COMUM vendas entre 35.000 e 40.000 unidades e o preo sugerido pelo fabricante para a venda de R$103,50, o que corresponde a um lucro de 20% para o vendedor sobre o preo de fbrica que pagou.
BOTA vendas entre 15.000 e 20.000 unidades e o preo sugerido pelo fabricante para a venda de R$146,00, o que corresponde a um lucro de 18% para o vendedor sobre o preo de fbrica que pagou.
AERBICA vendas entre 3.000 e 5.000 unidades e o preo sugerido pelo fabricante para a venda de R$180,00, o que corresponde a um lucro de 15% para o vendedor sobre o preo de fbrica que pagou.
Os custos totais por unidade produzida de COMUM, BOTA e AERBICA so respectivamente R$50,00, R$80,00 e R$95,00.
A produo de tnis envolve quatro operaes que necessitam dos tempos em minutos abaixo discriminados para serem executados:
Variveis de deciso
x1: quantidade de produo do modelo COMUM em unidades ao ano
x2: quantidade de produo do modelo BOTA em unidades ao ano
x3: quantidade de produo do modelo AERBICA em unidades ao ano
Funo Objetiva
Max Lucro = 36,25x1 + 43,73x2 + 61,52x3
Sujeito a
x1 < 40.000Demanda mxima COMUM
x1 > 35.000Demanda mnima COMUM
x2 < 20.000Demanda mxima BOTA
x2 > 15.000Demanda mnima BOTA
x3 < 5.000Demanda mxima AERBICA
x3 > 3.000Demanda mnima AERBICA
0,250x1 + 0,250x2 + 0,250x3 < 12.500Operao 1
0,417x1 + 0,500x2 + 0,667x3 < 30.000Operao 2
0,750x1 + 1,000x2 + 1,333x3 < 53.000Operao 3
1,750x1 + 2,000x2 + 3,000x3 < 120.000Operao 4
Exerccio 4 - Soluo
Observaes:
Clculo do lucro do fabricante do tnis COMUM
Lucro tnis COMUM = Preo de venda do fabricante Custo de fabricao
Lucro tnis COMUM = 103,50 / 1,2 50,00 = 86,25 50,00 = 36,25
Clculo do lucro do fabricante do tnis BOTA
Lucro tnis BOTA = Preo de venda do fabricante Custo de fabricao
Lucro tnis BOTA = 146,00 / 1,18 80,00 = 123,73 80,00 = 43,73
Clculo do lucro do fabricante do tnis AERBICA
Lucro tnis AERBICA = Preo de venda do fabricante Custo de fabricao
Lucro tnis AERBICA = 180,00 / 1,15 95,00 = 156,52 95,00 = 61,52
Exemplo de transformao de tempos em horas
15 min = 15 / 60 = 0,25 h
Clculo do tempo disponvel para operao 1 durante 50 semanas
250 h/sem x 50sem= 12.500 h
Exerccio 4 - Soluo
Uma fbrica constituda por quatro centros de processamento S1, S2, S3 e S4 e produz trs produtos finais F1, F2 e F3, cada um deles tendo apenas um processo de fabricao. O centro S1 recebe a matria-prima, podendo processar, no mximo, K1 unidades a um custo unitrio C1. Na sada do centro S1, possvel enviar o resultado do primeiro processamento, tanto para os centros S2 como S3. Os centros S2 e S3 tm custo unitrio de processamento C2 e C3 e capacidades mximas K2 e K3, respectivamente. A sada do centro S2 pode constituir o produto final F1 ou servir de entrada para o centro S4. A sada S3 tem que obrigatoriamente, passar por S4. O centro S4 pode processar qualquer uma, ou ambas as entradas, com uma capacidade total de K4 unidades e um custo unitrio de processamento, para qualquer entrada, de C4. As sadas de S4 resultaro nos produtos finais F2 e F3. Os preos unitrios de venda so P1, P2 e P3.
Utilizando como variveis de deciso, o quanto fabricar de cada produto, formule o problema de maximizao do lucro como programao linear.
P1=8, P2=12, P3=14
C1=4, C2=2, C3=1, C4=3
K1=90, K2=50, K3=30, K4=70
Exerccio 5
31
S1
S2
S3
S4
Matria prima
K1 = 90, C1 = 4
K3 = 30, C3 = 1
K2 = 50, C2 = 2
K4 = 70, C4 = 3
F1
P1 = 8
F2
P2 = 12
F3
P3= 14
P1=8, P2=12, P3=14
C1=4, C2=2, C3=1, C4=3
K1=90, K2=50, K3=30, K4=70
X1, X2
X3
X3
X1
X2
X3
X2
Exerccio 5 - Soluo
32
Exerccio 5 - Soluo
Funo objetiva
Max Lucro = 8x1 + 12x2 + 14x3 (4x1 + 2x1) - (4x2 + 2x2 + 3x2) - (4x3 + 1x3 + 3x3)
= 2x1+ 3x2 + 6x3
Sujeito a
x1 + x2 + x3 < 90Centro de processamento S1
x1 + x2 < 50Centro de processamento S2
x3 < 30Centro de processamento S3
x2 + x3 < 70Centro de processamento S4
x1, x2, x3 > 0
Variveis de deciso
x1 quantidade do produto F1
x2 quantidade do produto F2
x3 quantidade do produto F3
P1=8, P2=12, P3=14 (preo)
C1=4, C2=2, C3=1, C4=3 (custo)
K1=90, K2=50, K3=30, K4=70 (capacidade)
Receita
Custo F1
Custo F2
Custo F3
33
3
5
10
6
8
5
10
4
2
2
1
1
=
=
=
=
p
p
p
p
obra
de
mo
restrio
da
x
de
e
Coeficient
obra
de
mo
restrio
da
x
de
e
Coeficient
objetiva
funo
da
x
de
e
Coeficient
objetiva
funo
da
x
de
e
Coeficient
-
-
-
-
=
2
1
2
1
3
5
10
6
8
5
10
4
2
2
1
1
=
=
=
=
p
p
p
p
=
=
=
=
2
2
1
1
1
0
6
0
1
0
4
p
p
p
p
produtoB
restrio
da
x
de
e
Coeficient
produtoB
restrio
da
x
de
e
Coeficient
objetiva
funo
da
x
de
e
Coeficient
objetiva
funo
da
x
de
e
Coeficient
2
1
2
1
=
=
=
=
=
2
2
1
1
1
0
6
0
1
0
4
p
p
p
p
8
0
1
p
2
3
p
0,6
sombra
Preo
6
,
0
640
6
,
640
'
6
,
640
)
100
(
4
)
1
,
40
(
6
'
1
,
40
901
5
10
100
1
2
1
2
=
\
=
-
=
-
=
D
=
+
=
=
=
+
=
L
L
L
L
x
x
x
x
901
5
10
100
2
1
2
=
+
=
x
x
x
6
,
640
)
100
(
4
)
1
,
40
(
6
'
=
+
=
L
6
,
0
640
6
,
640
'
=
-
=
-
=
D
L
L
L
1
sombra
Preo
1
640
641
'
641
)
101
(
4
)
5
,
39
(
6
'
5
,
39
900
5
10
101
1
2
1
2
=
\
=
-
=
-
=
D
=
+
=
=
=
+
=
L
L
L
L
x
x
x
x
Clulas ajustveis
Valor
Reduzido
Objetivo
Permissvel
Permissvel
Clula
Nome
Final
Custo
Coeficiente
Acrscimo
Decrscimo
$B$3
Varivel decisria X1
40
0
6
2
6
$C$3
Varivel decisria X2
100
0
4
1E+30
1
Restries
Valor
Sombra
Restrio
Permissvel
Permissvel
Clula
Nome
Final
Preo
Lateral R.H.
Acrscimo
Decrscimo
$D$6
Produo A LE
40
0
50
1E+30
10
$D$7
Produo B LE
100
1
100
80
20
$D$8
Mo de Obra LE
900
0,6
900
100
400
$D$9
Nat Financeira LE
920
0
300
620
1E+30
10
2
1
5
1
2
1
2
2
2
1
1
=
=
=
=
p
p
p
p
0
0
1
5
0
1
2
2
2
1
1
=
=
=
=
p
p
p
p
1
1
p
10
0
2
p
1
21
22
'
22
)
5
,
3
(
2
)
3
(
5
'
5
,
3
;
3
3
10
2
2
1
1
2
1
=
-
=
-
=
D
=
+
=
=
=
=
=
+
R
R
R
R
x
x
x
x
x
4
21
25
'
25
)
5
,
2
(
2
)
4
(
5
'
5
,
2
;
4
4
9
2
2
1
1
2
1
=
-
=
-
=
D
=
+
=
=
=
=
=
+
R
R
R
R
x
x
x
x
x