exercÍcios variados
DESCRIPTION
Alguns testes sobre termodinâmica, óptica, acústica e magnitudes de terremoto!TRANSCRIPT
DILATAÇÃO LINEAR 1/28
LISTA DE EXERCÍCIOS –
Considere uma barra metálica, cujo coeficiente
de dilatação linear vale 1,6•10-6 o
C-1
. Ao ser
resfriada de 60oC a 20
oC, a barra contrai 8•10
-4 m
(0,0008 m) de seu comprimento original. Calcule
esse comprimento. Resposta: Li = 12,5 m.
Seja uma barra metálica, cujo coeficiente de
dilatação linear vale 1,25•10-6 o
C-1
, e comprimento
inicial de 20 m. Ao ser aquecida de -20oC a 180
oC,
a barra terá uma expansão de quantos milímetros
em relação ao seu tamanho inicial? Resposta: ∆L
= 5 mm.
Seja uma barra metálica, cujo coeficiente de
dilatação linear vale 1,8•10-6 o
C-1
, e comprimento
inicial de 15 m. Ao ser resfriada de 180oC a 0
oC, a
barra apresentará uma contração de quantos
milímetros em relação ao seu tamanho inicial?
Resposta: ∆L = -4,86 mm ≈ -4,9 mm.
Uma barra de comprimento inicial de 10 m, ao
ser aquecida, dilata 0,5 mm. O coeficiente de
dilatação linear vale 1,25•10-6 o
C-1
. Calcule a
variação da temperatura da barra. Resposta:
∆T = 40oC.
Uma barra com comprimento de 20 m, ao ser
resfriada, contrai 2 mm de seu tamanho original. O
coeficiente de dilatação linear vale 2,5•10-6 o
C-1
. (a)
Determine o valor da temperatura inicial da
barra, sabendo-se que a temperatura final é de
50oC. Resposta: Ti = 90
oC. (b) Calcule o
percentual dessa contração, em relação ao
comprimento inicial. Resposta: P = -0,01%.
Uma barra metálica com coeficiente de dilatação
linear desconhecido, dilata 0,4 mm ao ser aquecida
de 0oC a 50
oC. (a) Ache este coeficiente, sabendo-
se que a barra tinha 8 metros de comprimento.
Resposta: = 1,0•10-6 o
C-1
. (b) Calcule o
percentual dessa expansão, em relação ao
comprimento inicial. Resposta: P = 0,005%.
Uma barra metálica, dilata 0,010% de seu
tamanho original ao ser aquecida até a temperatura
de 80oC. Sabe-se que coeficiente de dilatação linear
vale 1,25•10-6 o
C-1
. Calcule a temperatura inicial
da barra. Resposta: Ti = 0oC.
Uma barra metálica, dilata 0,005% de seu
tamanho original ao ser aquecida até a temperatura
de 60oC. Sabe-se que coeficiente de dilatação linear
vale 1,25•10-6 o
C-1
. Obtenha a temperatura inicial
da barra. Resposta: Ti = 20oC.
Seja uma barra de certo metal, cujo comprimento
inicial vale 8 m, e que contrai 0,6 mm quando
resfriada lentamente. O coeficiente de dilatação
linear do material vale 7,5•10-6 o
C-1
. Sabendo-se que
a temperatura inicial da barra é de 30oC, calcule sua
temperatura final. Resposta: Tf = 20oC.
Seja uma barra metálica, cujo coeficiente de
expansão linear vale 2,4•10-6 o
C-1
, e de comprimento
inicial, 50 m. Ao ser aquecida de -50oC a 150
oC, a
barra terá uma expansão de quantos centímetros
em relação ao seu tamanho inicial? Resposta: ∆L
= 2,4 cm.
Considere uma barra metálica, que contraia
0,02% de seu tamanho original, quando resfriada de
30oC a -10
oC. O coeficiente de dilatação linear da
barra é desconhecido. Ache-o! Resposta: =
5•10-6 o
C-1
.
Uma barra metálica dilata 0,06% de seu
tamanho original, quando aquecida de 0oC a 50
oC.
O coeficiente de dilatação linear da barra é
desconhecido. Encontre-o! Resposta: = 1,2•10-
5 oC
-1.
Uma barra metálica dilata 0,018% de seu
tamanho original, quando aquecida de -40oC a 50
oC.
O coeficiente de dilatação linear da barra é
desconhecido. Determine-o! Resposta: =
2,0•10-6 o
C-1
.
Considere uma barra metálica, que dilata
0,02% de seu tamanho original, quando aquecida de
-20oC a 60
oC. O coeficiente de expansão linear da
barra é desconhecido. Calcule-o! Resp.: =
2,5×10-6 o
C-1
.
Ao aquecermos uma barra metálica de -30oC a
0oC, verificou-se que ela dilatou 0,27 mm em
relação ao seu tamanho original. Sabe-se que o
coeficiente de dilatação linear vale 1,5•10-6 o
C-1
. (a)
Encontre o comprimento da barra. Resposta: Li
= 6,0 m. (b) Qual o percentual dessa dilatação, em
relação ao comprimento inicial? Resposta: P =
0,0045%.
DILATAÇÃO LINEAR 2/28
Uma barra metálica é aquecida até 45oC,
dilatando 0,0036% em relação ao seu tamanho
original. Sabe-se que o coeficiente de expansão
linear vale 1,8•10-6 o
C-1
. Calcule a temperatura
inicial. Resposta: T i = 25oC.
Uma barra metálica de 5 metros de
comprimento sofre uma contração de 2,5 mm
quando submetida à redução de temperatura a -
150oC. Sabe-se que o coeficiente de dilatação linear
vale 2•10-6 o
C-1
. Obtenha sua temperatura inicial.
Resposta: Ti = 100oC.
Uma barra metálica de 8 metros de
comprimento sofre uma contração de 0,32 mm
quando submetida à uma redução de temperatura.
Sabe-se que o coeficiente de dilatação linear vale
2•10-6 o
C-1
. Calcule sua temperatura final,
sabendo-se que a temperatura inicial é de 70oC.
Resposta: Tf = 50oC.
Ao aquecermos uma barra metálica de -40oC a
0oC, verificou-se que ela dilatou 1,0 mm em relação
ao seu tamanho original. Sabe-se que o coeficiente
de expansão linear vale 5,0•10-6 o
C-1
. (a) Determine
o comprimento da barra. Resposta: Li = 5 m. (b)
Calcule o percentual dessa dilatação, em relação ao
comprimento inicial. Resposta: P = 0,02%.
Aquecendo uma barra metálica de -60oC a
40oC, verificou-se que ela dilatou 2,0 mm em
relação ao seu tamanho original. Sabe-se que o
coeficiente de expansão linear vale 2,5•10-6 o
C-1
. (a)
Determine o comprimento da barra. Resposta: Li
= 8,0 m. (b) Calcule o percentual dessa dilatação,
em relação ao comprimento inicial. Resposta: P =
0,0025%.
Ao esquentarmos uma barra metálica, de 10 m
de comprimento, inicialmente a 10oC, verificou-se
que ela dilatou 0,25 cm em relação ao seu tamanho
original. Sabe-se que o coeficiente de dilatação
linear vale 5•10-6 o
C-1
. (a) Encontre a temperatura
final da barra. Resposta: Tf = 60oC. (b) Qual o
percentual dessa dilatação, em relação ao
comprimento inicial? Resposta: P = 0,025%.
Uma barra metálica é esquentada até 75oC,
dilatando 0,0075% em relação ao seu tamanho
original. Sabe-se que o coeficiente de expansão
linear vale 2,5•10-6 o
C-1
. Obtenha a temperatura
inicial. Resposta: Ti = 45oC.
Considere uma barra metálica de 0,8 metro de
comprimento sofrendo uma contração de 0,04 mm
quando submetida à uma redução de temperatura.
Sabe-se que o coeficiente de dilatação linear vale
5•10-6 o
C-1
. (a) Encontre sua temperatura final,
sabendo-se que a temperatura inicial é de 25oC.
Resposta: Tf = 15oC. (b) Qual o percentual dessa
contração, em relação ao comprimento inicial?
Resposta: P = -0,005%.
Uma barra metálica de 0,75 metro de
comprimento sofre uma expansão de 0,225 mm
quando submetida a um aumento de temperatura.
Sabe-se que o coeficiente de dilatação linear vale
1,0•10-5 o
C-1
. (a) Encontre sua temperatura final,
sabendo-se que a temperatura inicial é de -30oC.
Resposta: Tf = 0oC. (b) Determine o percentual
dessa contração, em relação ao comprimento inicial.
Resposta: P = 0,03%.
Suponha uma barra metálica de 1,05 metro de
comprimento que sofre uma expansão de 0,210 mm
quando submetida a um aumento de temperatura.
Sabe-se que o coeficiente de expansão térmica
linear vale 2,0•10-6 o
C-1
. (a) Encontre sua
temperatura final, sabendo-se que a temperatura
inicial é de -50oC. Resp.: Tf = 50
oC. (b)
Determine o percentual dessa contração, em
relação ao comprimento inicial. Resposta: P =
0,02 %.
DILATAÇÃO SUPERFICIAL – DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA 3/28
LISTA DE EXERCÍCIOS
DILATAÇÃO SUPERFICIAL: ∆ S = S i • • ∆ T
DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA: ∆ V = V i • • ∆ T
1. Considere uma placa metálica, cujo coeficiente
de dilatação linear vale 1,6•10-6 o
C-1
. Ao ser resfriada
de 60oC a 20
oC, a placa contrai 8•10
-6 m
2 (0,000008
m2) de sua superfície original. Calcule essa
superfície, em cm2. Resposta: Si = 625 cm
2.
2. Seja uma placa metálica, cujo coeficiente de
dilatação linear vale 1,25•10-6 o
C-1
, e superfície
inicial de 2,5 m2. Ao ser aquecida de -20
oC a 180
oC,
a placa apresentará uma expansão de quantos
milímetros quadrados em relação ao seu tamanho
inicial? Resposta: ∆S = 12.500 mm2.
3. Seja uma placa metálica, cujo coeficiente de
dilatação linear vale 1,8•10-6 o
C-1
, e superfície inicial
de 1,5 m2. Ao ser resfriada de 120
oC a 60
oC, a placa
apresentará uma contração de quantos milímetros
quadrados em relação ao seu tamanho original?
Resposta: ∆S = -324 mm2.
4. Uma placa metálica de superfície inicial de 10
m2, ao ser aquecida, dilata 5 cm
2. O coeficiente de
dilatação linear vale 1,25•10-6 o
C-1
. Encontre a
variação da temperatura da placa. Resposta: ∆T
= 20oC.
5. Uma placa metálica de superfície inicial de 1,0
m2, ao ser aquecida, dilata 2,5 cm
2. O coeficiente de
dilatação linear vale 1,25•10-6 o
C-1
. Calcule a
variação da temperatura da placa. Resposta: ∆T
= 100oC.
6. Uma placa com superfície de 8 m2, ao ser
resfriada, contrai 20 cm2 de seu tamanho original. O
coeficiente de dilatação linear vale 2,5•10-6 o
C-1
.
Ache o valor da temperatura inicial da placa,
sabendo-se que a temperatura final é de 50oC.
Resposta: T i = 100oC.
7. Uma placa metálica com coeficiente de dilatação
linear desconhecido, dilata 0,4 cm2 ao ser aquecida
em 50oC. Encontre este coeficiente, sabendo-se que
a placa tinha 4 metros quadrados de superfície.
Resposta: = 1,0•10-7 o
C-1
. 8. Uma placa metálica, dilata 0,005% de seu
tamanho original ao ser aquecida até a temperatura
de 60oC. Sabe-se que coeficiente de dilatação linear
vale 1,25•10-6 o
C-1
. Encontre a temperatura inicial
da placa. Resposta: Ti = 40oC.
9. Seja uma placa de certo metal, cuja superfície
inicial vale 4 m2, e que contrai 6 cm
2 quando
resfriada lentamente. O coeficiente de dilatação
linear do material vale 7,5•10-6 o
C-1
. Sabendo-se que
a temperatura final da placa é de 20oC, encontre: (a)
sua temperatura inicial [Resp.: Ti = 30oC], e (b)
o percentual dessa contração em relação ao
tamanho original. Resp.: P = -0,015%.
10. Seja uma placa de certo metal, cuja superfície
inicial vale 5 m2, e que dilata 8 cm
2 quando aquecida
lentamente. O coeficiente de dilatação linear do
material vale 5•10-6 o
C-1
. Sabendo-se que a
temperatura final da placa é de 80oC, determine: (a)
sua temperatura inicial [Resp.: Ti = 64oC], e (b)
o percentual dessa dilatação em relação ao tamanho
original. Resp.: P = 0,016%.
11. Seja uma placa de certo metal, cuja superfície
inicial vale 2,5 m2, e que dilata 10 cm
2 quando
aquecida lentamente. O coeficiente de dilatação
linear do material vale 1,25•10-5 o
C-1
. Sabendo-se
que a temperatura inicial da placa é de 20oC, calcule:
(a) sua temperatura final [Resp.: Tf = 36oC], e
(b) o percentual dessa dilatação em relação ao
tamanho original. Resp.: P = 0,04%.
12. Seja um bloco metálico, cujo coeficiente de
expansão linear vale 2,4•10-6 o
C-1
, e de volume
inicial, 0,5 m3. (a) Ao ser aquecido de -50
oC a
150oC, o bloco apresentará uma expansão de
quantos centímetros cúbicos em relação ao seu
tamanho inicial? Resposta: ∆V = 720 cm3. (b)
Qual o percentual desta expansão, em relação ao
volume original? Resposta: P = 0,144%.
13. Considere um bloco metálico, que contraiu
0,02% de seu tamanho original, quando resfriado de
30oC a -10
oC. O coeficiente de dilatação
volumétrica do bloco é desconhecido. Encontre-o!
Resp.: = 5•10-6 o
C-1
. 14. Considere um bloco metálico, que dilata 0,01%
de seu tamanho original, quando aquecido de 20oC a
100oC. O coeficiente de dilatação volumétrica do
bloco é desconhecido. Encontre-o! Resposta: =
1,25•10-6 o
C-1
.
DILATAÇÃO SUPERFICIAL – DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA 4/28
15. Ao resfriarmos um cubo metálico de 75oC a -
25oC, verificou-se que contraiu 0,9 cm
3 em relação
ao seu volume original. Sabe-se que o coeficiente de
dilatação linear vale 1,5•10-6 o
C-1
. Qual o volume, em
dm3, do bloco? Resposta: Vi = 2,0 dm
3.
16. Ao aquecermos uma esfera metálica de -20oC a
20oC, verificou-se que ela dilatou 0,27 cm
3 em
relação ao seu tamanho original. Sabe-se que o
coeficiente de dilatação linear vale 0,9•10-6 o
C-1
.
Qual o volume da esfera, em litros? Resposta: Vi
= 2,5 litros.
17. Ao aquecermos um cilindro metálico de -40oC
a 60oC, verificou-se que ela dilatou 0,18 dm
3 em
relação ao seu tamanho original. Sabe-se que o
coeficiente de dilatação linear vale 3,0•10-6 o
C-1
.
Qual o volume do cilindro, em m3? Resposta: Vi =
0,2 m3.
18. Um bloco metálico de 0,6 metro cúbico de
volume sofre uma contração de 0,36 dm3 quando
submetido à redução de temperatura a -150oC. O
coeficiente de expansão linear vale 2•10-6 o
C-1
. Ache
sua temperatura inicial. Resp.: Ti = 50oC.
19. Um bloco metálico de 0,2 metro cúbico de
volume sofre uma contração de 0,096 dm3 quando
submetido à uma redução de temperatura. Sabe-se
que o coeficiente de dilatação linear vale 1,6•10-6 o
C-
1. Calcule sua temperatura final, sabendo-se que a
temperatura inicial é de 70oC. Resp.: Tf = -30
oC.
20. Um bloco metálico de 0,25 metro cúbico de
volume sofre uma contração de 0,1 dm3 quando
submetido à uma redução de temperatura. Sabe-se
que o coeficiente de dilatação volumétrica vale
5•10-6 o
C-1
. Encontre sua temperatura final,
sabendo-se que a temperatura inicial é de 80oC.
Resposta: Tf = 0oC.
21. Um bloco metálico de 0,50 metro cúbico de
volume sofre uma expansão de 0,25 dm3 quando
submetido a um aumento de temperatura. Sabe-se
que o coeficiente de expansão volumétrica vale
25•10-6 o
C-1
. Obtenha sua temperatura final,
sabendo-se que a temperatura inicial é de -20oC.
Resp.: Tf = 0oC.
22. (Unesp, adaptado) – Uma chapa de cobre,
cujo coeficiente de dilatação linear vale 12,5∙10-6
0C
-1, possui a -40
0C, um comprimento de 80
centímetros e uma largura de 50 centímetros. Na
região central a chapa apresenta um furo circular
de superfície Fi. A chapa então é esquentada até
que o furo apresente um aumento de 0,5%. Adote:
∆ S = S i ∙ β ∙ ∆ T e ∆ F = F i ∙ β ∙ ∆ T. Para essas
condições, determine: (a) a temperatura final, Tf,
da chapa nas condições supracitadas. Resp.: Tf =
160oC. (b) A variação da dilatação superficial
dessa chapa, ∆S, em mm2. Resp.: ∆S = 2.000
mm2. (c) A variação da superfície do furo, ∆F,
após a dilatação, em mm2, supondo F
i = 0,005 m
2.
Resp.: ∆F = 25 mm2. (d) O raio da superfície do
furo, R, após a dilatação, em mm. A superfície do
círculo é dada por S = π∙R2 e use π = 3,125, para
facilitar o cálculo. Resp.: R ≈ 2,8 mm.
CALORIMETRIA – EQUILÍBRIO TÉRMICO 5/28
►FÍSICA – CALORIMETRIA – EQUILÍBRIO TÉRMICO◄ Admita para todos os exercícios desta lista, sempre quando houver necessidade: 1,0 cal = 4,0 J; L
fusão = 80 cal/g;
Lsolid
= -80 cal/g; Lvapor
= 540 cal/g; Lcond
= -540 cal/g; cágua
= 1,0 cal/g∙oC; c
gelo = 0,5 cal/g∙
oC; c
vapor = 0,5 cal/g∙
oC.
1. Considere uma massa de 500 g de água,
inicialmente a 15oC. Ao receber uma quantidade de
calor de 7.500 cal, qual será a temperatura
apresentada pela massa de água ao final do
processo?
2. Seja uma massa de 200 g de água, inicialmente a
5oC. Ao receber uma quantidade de energia de 2.000
cal, qual será a temperatura apresentada pela massa
de água ao final do processo?
3. Considere uma massa de 200 g de certo líquido,
cujo calor específico vale 0,8 cal/g∙oC, inicialmente
a 20oC. Ao receber uma quantidade energética de
19.200 J, qual será a temperatura apresentada pela
massa do líquido ao final do processo?
4. Seja uma massa de 300 g de certo líquido, cujo
calor específico vale 3,80 J/g∙oC, inicialmente a -
10oC. Ao receber uma quantidade de calor de 5.700
cal, qual será a temperatura apresentada pela massa
do líquido ao final do processo?
5. Uma massa de certo líquido, cujo calor específico
vale 0,90 cal/g∙oC, tem sua temperatura elevada de
60oC a 80
oC, ao receber 28.800 J. Qual é a massa do
líquido?
6. Uma massa de 800 g de certo fluido sintético,
como por exemplo, lubrificantes de motores de alta
performance, cujo calor específico vale 1,28
cal/g∙oC, tem sua temperatura elevada a 120
oC, ao
receber um incremento energético de 51.200 cal.
Qual era a temperatura apresentada pelo fluido no
início do processo?
7. Uma massa de 1,0 kg de certo fluido sintético,
cujo calor específico vale 1,25 cal/g∙oC, tem sua
temperatura elevada a 60oC, ao receber 3×10
5 J de
energia. Qual era a temperatura apresentada pelo
fluido no início do processo?
8. Determinada massa de certo fluido sintético, cujo
calor específico vale 4,8 J/g∙oC, tem sua temperatura
elevada de 60oC a 110
oC, ao receber um incremento
de energia de 72.000 cal. Qual é a massa, em kg, do
fluido?
9. Seja um bloco de certo metal com massa de 1,25
kg. Ao ceder uma quantidade de energia de 50.000
cal, tem sua temperatura diminuída em 80oC. (a)
Obtenha seu calor específico.
(b) Encontre sua capacidade térmica.
10. Um bloco de certo metal com massa de 520
g ao receber uma quantidade de 7.800 cal tem sua
temperatura aumentada em 100oC. (a) Ache seu
calor específico. (b)
Encontre sua capacidade térmica.
11. Considere um bloco de certo metal com
massa desconhecida, e capacidade térmica 500
cal/oC. Ao ser aquecido tem sua temperatura elevada
de 15oC a 75
oC. (a) Determine a quantidade de
energia, em joule, que o metal recebeu nesta
transformação. (b)
Ache sua massa, em kg, sabendo-se que seu calor
específico é de 0,25 cal/g∙ o
C.
12. Considere um bloco de certo metal com
massa desconhecida, e capacidade térmica 800
cal/oC. Ao ser aquecido tem sua temperatura elevada
de 25oC a 125
oC. (a) Calcule a quantidade de
energia, em joule, que o metal recebeu nesta
transformação. (b)
Encontre sua massa, em kg, sabendo-se que seu
calor específico é de 0,20 cal/g∙ oC.
13. Um bloco de certo metal com massa
desconhecida e capacidade térmica 600 cal/oC, ao
ser resfriado tem sua temperatura diminuída em
80oC. (a) Obtenha a quantidade de calor que o metal
cedeu nesta transformação.
(b) Encontre sua massa, em kg,
sabendo-se que seu calor específico é de 0,15 cal/g∙
oC.
14. Considere um bloco de certo metal com massa
desconhecida, e capacidade térmica 800 cal/oC. Ao
ser resfriado tem sua temperatura diminuída de
100oC a 20
oC. (a) Calcule a quantidade de calor que
o metal cedeu nesta transformação.
(b) Encontre sua massa, sabendo-
se que seu calor específico é de 0,25 cal/g∙ o
C.
CALORIMETRIA – EQUILÍBRIO TÉRMICO 6/28
15. Um bloco de certo metal tem massa de 4,0 kg e
capacidade térmica 800 cal/oC. Ao ser resfriado tem
sua temperatura diminuída de 120oC a 20
oC. (a)
Calcule a quantidade de energia cedida pelo metal
nesta transformação. (b) Encontre seu calor específico.
16. Um bloco de certo metal tem massa
desconhecida e capacidade térmica 750 cal/oC. Ao
ser aquecido tem sua temperatura aumentada em
80oC. (a) Calcule a quantidade de calor que o metal
recebeu nesta transformação.
(b) Encontre sua massa, em kg,
sabendo-se que seu calor específico é 0,5 cal/g∙ o
C.
17. (a) Determine a quantidade de energia necessária, para transformar 600 g de gelo a
inicialmente -20oC em vapor a 120
oC.
(b) Trace o gráfico que representa as transformações.
18. (a) Encontre a quantidade de energia necessária, para transformar 500 g de gelo
inicialmente a -30oC em água a 50
oC.
(b) Trace o gráfico que representa as transformações. 19. (a) Determine a quantidade de energia, em joule, para transformar 800 g de gelo inicialmente a
0oC em vapor a 110
oC.
(b) Trace o gráfico que representa as transformações. 20. (a) Obtenha a quantidade de energia, em joule,
para transformar 750 g de gelo inicialmente a -25oC
em vapor a 105oC.
(b) Trace o gráfico que representa as transformações. 21. (a) Determine a massa de vapor (em kg) a
110oC, formada ao serem fornecidas 7,3×10
5
calorias a um bloco de gelo inicialmente a -10oC.
(b) Sabendo-se que a fonte tinha 1.460 J/s de potência, qual o tempo gasto para a transformação? É dado, para a resolução do
exercício, a relação matemática: t = Q/P.
22. (a) Determine a massa de água (em kg) a 80oC,
formada ao serem fornecidas 3,2×105 calorias a um
bloco de gelo inicialmente a 0oC.
(b) Sabendo-se que a fonte tinha 4.000 J/s de potência, obtenha o tempo gasto para a
transformação.
23. Determine a massa de gelo a -10oC, formada ao
serem retiradas 9.500 calorias de água inicialmente
a 10oC.
24. Determine a massa de gelo (em kg) a -20oC,
formada ao serem retiradas 3,7×105 calorias de
vapor inicialmente a 120oC.
25. Considere um calorímetro de capacidade
térmica 250 cal/oC, inicialmente a 15
oC. São
introduzidos no interior deste calorímetro, 50 g de
água a 0oC e um bloco de 100 g de certo metal, a
120oC. Sabe-se que o equilíbrio térmico acontece a
20oC. Calcule o calor específico do metal.
26. Considere um calorímetro de capacidade
térmica 500 cal/oC, inicialmente a 5
oC. São
introduzidos no interior deste calorímetro, 100 g de
água a 0oC e um bloco de 200 g de certo metal, a
125oC. Sabe-se que o equilíbrio térmico acontece a
25oC. Ache o calor específico do metal.
27. Seja um calorímetro de capacidade térmica
desconhecida, inicialmente a 10oC. São introduzidos
no interior deste calorímetro, 100 g de água a 5oC e
um bloco de 200 g de certo metal, a 101oC e cujo
calor específico vale 0,25 cal/g•oC. Sabe-se que o
equilíbrio térmico acontece a 25oC. Determine a
capacidade térmica do calorímetro.
28. Considere um calorímetro de capacidade
térmica desconhecida, inicialmente a 20oC. São
introduzidos no interior deste calorímetro, 100 g de
água a 0oC e um bloco de 1000 g de certo metal, a
100oC e cujo calor específico vale 0,2 cal/g•
oC.
Sabe-se que o equilíbrio térmico acontece a 40oC.
Obtenha a capacidade térmica do calorímetro.
29. Seja um calorímetro de capacidade térmica
40 cal/oC, e sua temperatura inicial é de 10
oC. São
introduzidos no interior deste calorímetro, 100 g de
certo líquido, cujo calor específico vale 0,8 cal/g•oC
e, um bloco de 25 g de certo metal, a 185oC e cujo
calor específico vale 0,40 cal/g•oC. Sabe-se que o
equilíbrio térmico acontece a 25oC. Qual a
temperatura inicial do líquido?
CALORIMETRIA – EQUILÍBRIO TÉRMICO 7/28
30. Um calorímetro de capacidade térmica 80
cal/oC, com temperatura inicial de 20
oC, tem
introduzidos no seu interior, 100 g de certo líquido,
cujo calor específico vale 0,90 cal/g•oC e, um bloco
de 50 g de certo metal, a 110oC e cujo calor
específico vale 0,2 cal/g•oC. Sabe-se que o
equilíbrio térmico acontece a 40oC. Calcule a
temperatura inicial do líquido.
31. Considere um calorímetro de capacidade
térmica 500 cal/oC, e sua temperatura inicial é de
10oC. São introduzidos no interior deste
calorímetro, 100 g de certo líquido, com calor
específico de 0,75 cal/g•oC, e cuja temperatura
inicial vale 20oC e também, um bloco de 50 g de
certo metal, a 150oC e cujo calor específico vale 0,2
cal/g•oC. Ache a temperatura de equilíbrio deste
conjunto.
32. Seja um calorímetro de capacidade térmica
200 cal/oC, e sua temperatura inicial é de 0
oC. São
introduzidos no interior deste calorímetro, 150 g de
certo líquido, com calor específico de 0,80 cal/g•oC,
e cuja temperatura inicial vale 10oC e também, um
bloco de 75 g de certo metal, a 200oC e cujo calor
específico vale 0,2 cal/g•oC. Encontre a
temperatura de equilíbrio deste conjunto.
33. Um calorímetro de capacidade térmica 90
cal/oC, com temperatura inicial de 20
oC, tem
introduzido em seu interior, uma massa de um
líquido, ML, cujo calor específico vale 0,90 cal/g•oC
à temperatura de 10oC e, um bloco de 100 g de certo
metal, a 150oC e cujo calor específico vale 0,3
cal/g•oC. Sabe-se que o equilíbrio térmico acontece
a 30oC. Qual a massa, ML, em gramas, do líquido,
introduzido no calorímetro?
34. Seja um calorímetro de capacidade térmica
200 cal/oC, e temperatura inicial de 20
oC.
Introduzimos em seu interior, 250 g de um líquido
cujo calor específico vale 0,80 cal/g•oC à
temperatura de 10oC e, um bloco de massa MB, de
certo metal, a 230oC e cujo calor específico vale
0,15 cal/g•oC. Sabe-se que o equilíbrio térmico
acontece a 30oC. Calcule a massa do bloco de
metal, MB, em kg, introduzida no interior do
calorímetro.
35. Um calorímetro de capacidade térmica 90
cal/oC, com temperatura inicial de 30
oC, tem
introduzido no seu interior, 200 g de um líquido cujo
calor específico vale 0,95 cal/g•oC à temperatura de
0oC e, um bloco de massa MB, de certo metal, a
140oC e cujo calor específico vale 0,1 cal/g•
oC.
Sabe-se que o equilíbrio térmico acontece a 40oC.
Obtenha a massa do bloco de metal, MB, em kg,
introduzida no interior do calorímetro.
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 36. (Unicamp) – Durante uma corrida, um estudante de 72 kg gera potência com uma taxa de 1.200 J/s. Para manter a temperatura do corpo
constante e igual a 37°C, esta energia ser removida pela transpiração ou por outros mecanismos. Caso esses mecanismos falhem e o calor não possa ser removido do corpo do estudante, durante quanto tempo aproximadamente, em minutos, o estudante poderá correr antes que ocorra um dano irreversível ao seu corpo? As estruturas das proteínas no corpo são irreversivelmente danificadas quando a
temperatura do corpo passar de 44°C. O calor específico de um corpo humano típico é igual a
0,875 kcal/kg∙°C, ligeiramente menor do que o da água. A diferença é produzida pela presença de proteínas, gorduras e minerais, que possuem calores específicos menores. 37. (Fuvest, ligeiramente modificado) – Quando água pura é cuidadosamente resfriada, nas condições normais de pressão, pode permanecer no
estado líquido até temperaturas inferiores a 0oC,
num estado instável de “superfusão”. Se o sistema é perturbado, por exemplo, por vibração, parte da água se transforma em gelo e o sistema se aquece
até se estabilizar em 0oC. O calor latente de fusão da
água é Lf = 80 cal/g. Considerando-se um recipiente
termicamente isolado e de capacidade térmica desprezível, contendo um litro de água, à
temperatura de –8oC e à pressão normal, determine:
(a) a massa, M, em gramas, de gelo, formada quando o sistema é perturbado e atinge uma situação
de equilíbrio a 0oC
; (b) a temperatura final, TF, de
equilíbrio do sistema e , (c)
a quantidade de gelo existente, MF, (considerando-
se o sistema inicial no estado de “superfusão” a –
8oC), ao colocar-se, no recipiente, um bloco
metálico cuja capacidade térmica é C = 600 cal/oC,
na temperatura de 120oC.
CALORIMETRIA – EQUILÍBRIO TÉRMICO 8/28
38. (Unicamp) – O enormus, o normus e o
pequenus são três seres vivos de temperatura maior
que a temperatura ambiente. Eles têm a mesma
densidade e a forma de um cubo de lados 10,0, 1,00
e 0,10 respectivamente. O enormus se alimenta de
normus e este, de pequenus. Porque suas
temperaturas estão acima da ambiente eles
diariamente perdem a quantidade de calor: Q =
(1/1000)×área da superfície. Para cada ser ingerido
eles ganham a energia: E = (1/10)×volume do ser
ingerido. As quantidades anteriores estão em um
mesmo sistema de unidades. (a) Quantos normus
o enormus deve ingerir diariamente só para manter
a sua temperatura constante?
(b) Quantos pequenus o normus deve
ingerir diariamente só para manter a sua temperatura
constante? (c) Que
fração (ou percentual) de sua própria massa o
enormus precisa comer diariamente? E o normus?
39. (Unicamp) – Nas
regiões mais frias do
planeta, camadas de gelo
podem se formar
rapidamente sobre um
volume de água a céu
aberto. A figura ao lado, à
direita, mostra um tanque
cilíndrico de água cuja
área da base é A = 2,0 m2,
havendo uma camada de
gelo de espessura L na
superfície da água. O ar em contato com o gelo está a uma temperatura
Tar = –10oC, enquanto a temperatura da água em
contato com o gelo é Tag = 0oC. Para essas
condições: (a) obtenha o calor conduzido da água ao ar
através do gelo. O fluxo de calor cal, definido
como a quantidade de calor conduzido por unidade
1 Também conhecida como equação de Fourier (Jean-Baptiste
Joseph Fourier, 1768-1830, ou da Difusão do Calor, no entanto
fundamentada e concebida, original e inicialmente pelo notável
Sir. Isaac Newton). Fourier, extraordinário físico e matemático
francês, viveu parte de sua vida a serviço do Império Napoleônico
(o qual se opôs sistematicamente), desvendando vários enigmas,
os quais se fizeram presentes no desenvolvimento da ciência
moderna, entre eles as famosas séries harmônicas de funções
trigonométricas (séries de Fourier) e suas correspondentes no
universo complexo (transformadas de Fourier), que hoje
mostram-se notadamente importantes em computação gráfica e
processamento de sinais [as imagens JPEG, que utilizamos
de tempo, é:
L
TTAk aragcal
1
, onde a
constante k = 4 × 10–3
cal/(s∙cm∙0C) é a
condutividade térmica do gelo. Qual é o fluxo de
calor φcal quando L = 5,0 cm?
(b) Ao solidificar-se, a água a 0oC perde uma
quantidade de calor que é proporcional à massa de água transformada em gelo. A constante de proporcionalidade L
S é chamada de calor latente de
solidificação. Sabendo-se que o calor latente de
solidificação e a densidade do gelo valem,
respectivamente, LS = 80 cal/g e μ = 0,90 g/cm3,
calcule a quantidade de calor (energia) trocado entre a água e o ar para que a espessura do gelo aumente de 5,0 cm para 15 cm.
40. (Fuvest) – Um forno solar simples foi
construído com uma caixa de isopor, forrada
internamente com papel alumínio e fechada com
uma tampa de vidro de 40 cm × 50 cm. Dentro
desse forno, foi colocada uma pequena panela
contendo 1 xícara de arroz e 300 mℓ de água à
temperatura ambiente de 25oC. Suponha que os
raios solares incidam perpendicularmente à tampa
de vidro e que toda a energia incidente na tampa do
forno a atravesse e seja absorvida pela água. Para
essas condições, determine: (a) A potência solar
total P absorvida pela água. Resposta: P = 200 W
= 0,2 kW. (b) A energia ε necessária para aquecer
o conteúdo da panela até 100oC. Resposta: ε =
90.000 J = 90 kJ. (c) O tempo total T necessário
para aquecer o conteúdo da panela até 100oC e
evaporar ⅓ da água nessa temperatura (cozer o
arroz). Resposta: T = 1550 s ≈ 25,8 minutos.
cotidianamente, por exemplo, são aplicações práticas das
transformadas, em um poderoso algoritmo de compressão
(código de Huffman)]. Além disso tudo deve-se também a
Fourier o crédito sobre a descoberta do Efeito Estufa, tão
difundido pela mídia contemporânea acerca do aquecimento
global, em foco especialmente desde o final do século XX. Uma
grande curiosidade, especial e muito especificamente desta
equação é que o desenvolvimento técnico-científico da
humanidade é mais notadamente voltado à maldita barbárie da
espécie humana e sua sede de conquistas do que para as melhorias
das condições de vida da população em geral.
NOTE E ADOTE
Potência solar incidente na superfície da Terra: 1,0 kW/m2
Densidade da água: 1,0 g/cm3
Calor específico da água: 4,0 J/(g•oC)
Calor latente de evaporação da água: 2200 J/g
Desconsidere as capacidades caloríficas do arroz e da panela.
ESCALA DE RICHTER 9/28
INFORMATIVO – ESCALA DE RICHTER
Até 1979, a intensidade dos terremotos era
medida através da conhecida escala Richter,
mas em 1979 ela foi substituída pela escala de
magnitude momentânea, de sigla Mw. Na
prática, entretanto, os resultados são muito
aproximados.
Da mesma forma que a escala Richter, a Mw
também mede a energia liberada pelos
terremotos e também é uma escala logarítmica,
dada pela relação:
0
10 AAlogM , onde A
0
é uma amplitude de referência. Isso significa que
os números da escala medem fatores de 10.
Assim, um terremoto que mede 4 “graus” tem
10 vezes mais amplitude que um que mede 3
graus e 100 vezes maior que um que mede 2.
Em outros textos essa escala é dada por
010 Mlog3
27,10M , onde M
representa a magnitude do terremoto e M0, o
momento sísmico. A unidade de referência é o
dina∙cm e, a equivalência: 1,0 dina∙cm = 10-7
J.
Quanto maior a magnitude de um terremoto,
maior sua energia e capacidade de destruição,
mas os efeitos dependem de vários fatores, entre
eles a distância, profundidade, condições do
terreno e tipo de edificações.
A Mw é uma escala infinita e pode inclusive
apresentar números negativos. No entanto, as
forças naturais envolvidas limitam o topo da
escala em aproximadamente 10, já que
teoricamente (ainda não comprovado na Terra)
não existe energia em um terremoto capaz de
superar esta marca.
Até hoje, o maior terremoto ocorrido na história
foi de 9,5 graus e ocorreu no Chile, em 1960.
Escala Richter
A escala de Richter foi desenvolvida em 1935
pelos sismólogos Charles Francis Richter e Beno
Gutenberg, ambos membros do California
Institute of Technology (Caltech), que
estudavam sismos no Sul da Califórnia. A escala
representa a energia sísmica liberada durante um
terremoto e se baseia em registros sismográficos.
A escala Richter aumenta de forma
logarítmica, dada pela relação:
0
10 EElog
3
2M , em que E
0 é uma energia
de referência, onde E0 = 104,4
J ≈ 25.000 J na sua
forma de referencial dada pela energia de
maneira que cada ponto de incremento significa
um aumento 31,6 vezes maior no registro
sismográfico. Dessa forma, a onda de sismo de
magnitude 4,0 é muito aproximadamente 1.000
vezes maior que a onda de um sismo de 2,0.
Aqui, é importante salientar que o que aumenta
é a energia liberada. A tabela a seguir, à
próxima página, nos dá um comparativo acerca
do montante energético, e da comparação com
os efeitos da natureza e provocados pelo ser
humano em guerras ou construções.
ESCALA DE RICHTER 9/28
TABELA COMPARATIVA – ENERGIA/MAGNITUDE
OS EXERCÍCIOS A SEGUIR SÃO BASEADOS EM ESTIMATIVA E APROXIMAÇÃO
1. ☺☻☺ - Manipule os itens a seguir: (a) Mostre
que a relação: pode ser
reescrita através da forma exponencial:
. Saber escrever a função inversa pode ser
extremamente útil na hora de resolver vários problemas. (b) Mostre que, quando for duplicado o nível de energia em um terremoto, a magnitude equivalente aumenta em 0,2 ponto. Use, se necessário, log
10(2,0) = 0,30. (c) Verifique que,
quando aumentamos a magnitude de Richter em 2 pontos, o nível energético aumenta em mil vezes. 2. Para os itens a seguir, use, caso necessário, as
aproximações: 100,4
= 2,50; 100,5
= 3,16. (a) Estime o aumento de energia, gerado por uma diferença de
magnitude de 3,6 pontos. Resp.: E/E0 = 2,5×105
vezes = 250 mil vezes. (b) Obtenha a diferença de
magnitude, provocada por um aumento de energia
de um milhão de vezes. Resposta: M = 4 pontos. (c) Estime a diferença de magnitude, provocada por um aumento de energia de 31.600 vezes. Resposta:
M = 3 pontos. 3. Use as seguintes aproximações, sempre quando
houver necessidade: 100,65
≈ 4,5; 100,25
≈ 1,8. (a) Seja um terremoto que marca 7,5 pontos na escala Richter. Qual a quantidade de energia, em joule,
liberada neste abalo sísmico? Resp.: E = 4,5×1015
J. (b) A aniquilação total de 1,0 kg de matéria, com 1,0 kg de antimatéria seria capaz de produzir
1,8×1018
J de energia (desde que dominássemos a tecnologia de produção em larga escala). Estime a magnitude equivalente a essa produção energética. Resposta: M ≈ 9,23.
Descrição Magnitude Efeitos FrequênciaEnergia Média (J) para
M = (2/3)log(E/104,4)Comparativo
Micro < 2,0 Micro tremor de terra, não se sente. ~8000 por dia 4,5E+06
Muito
pequeno2,0-2,9
Geralmente não se sente mas é
detectado/registrado.~1000 por dia 1,4E+08
Bombardeio em Londres, II GM:
1,2E8 J.
Pequeno 3,0-3,9Frequentemente sentido, mas
raramente causa danos.~49000 por ano 4,5E+09 Itaipu: 6,0E10 J.
Ligeiro 4,0-4,9
Tremor notório de objetos no interior
de habitações, ruídos de choque entre
objetos. Danos importantes pouco
comuns.
~6200 por ano 1,4E+11
Moderado 5,0-5,9
Pode causar danos maiores em edifícios
mal concebidos em zonas restritas.
Provoca danos ligeiros nos edifícios
bem construídos.
800 por ano 4,5E+12
Hiroshima II GM, Little Boy,
ago/1945: 5,5E13 J. Bombardeio
em Dresden, fev/1945.
Forte 6,0-6,9
Pode ser destruidor em zonas num raio
de até 180 quilômetros em áreas
habitadas.
120 por ano 1,4E+14Maior registro no Brasil, MT -
1955: M = 6,6.
Grande 7,0-7,9Pode provocar danos graves em zonas
mais vastas.18 por ano 4,5E+15
Yerevan (ex-URSS, 1988, M=7,2);
Meteorito de Chelyabinsk (15-02-
2013): 2,1E15 J.
Importante 8,0-8,9Pode causar danos sérios em zonas num
raio de centenas de quilômetros.1 por ano 1,4E+17
Terremoto México DF, ameaçou
a realização da Copa no ano
seguinte. (1985): M=8,1; 2,7E16 J.
Excepcional 9,0-9,9Devasta zonas num raio de milhares de
quilômetros.1 a cada 20 anos 4,5E+18
Tsar Bomb, ex-URSS, 1961: 2E17
J. Tsunami no Oceano Índico (26-
12-2004): M=9,3; 9,2E17 J.
Extremo >10,0
Nunca registrado. Pode provacar
alteração na estrutura continental,
como a falha de San Andreas, na
Califórnia.
Extremamente raro,
apareceu no filme 10.5.1,4E+20
Possível meteoro de 4 km de
diâmetro, a 30 km/s: 4,0E19 J.
Hipotético >11,5Nunca registrado na Terra, ocorreu no
Sol em 1998 (M = 11,3).
Seria suficientemente (ou
próximo disso) potente para
rachar a Terra ao meio!
4,5E+21
Qtde. de Energia que a Terra
recebe do Sol: M = 12. Yucatán,
65 M. anos, que dizimou os
dinossauros (estimado em grau
13): 8,0E23 J. Cometa Shoemaker-
Levy 9 (julho/94, Júpiter):
8,5E23 J.
ESCALA DE RICHTER 11/28
4. Qual o grau (magnitude) equivalente à energia
liberada (2×1017
J) na explosão da Tsar-Bomb, maior arma nuclear já detonada pelo ser humano?
Usar a aproximação: 100,30
≈ 2,0. Resp.: M = 8,6. 5. Estime a energia aproximada, liberada no grande
terremoto solar (M = 11,3, em 1.998). Dado: 100,35
≈ 2,25. Resposta: E = 2,25∙1021
J. 6. Calcule, usando a seguinte aproximação, se houver necessidade: log
10(8,50) = 0,93; (a) o grau
(magnitude) equivalente à energia liberada (E =
8,5×1023
J), provocada pelo cometa Shoemaker-
Levy 9, ao se desintegrar na superfície do colossal planeta Júpiter em julho de 1.994 (até à segunda casa decimal), sendo o primeiro grande evento cataclísmico astronômico acompanhado e observado pelo homem, desde o advento da ciência moderna. Resposta: M = 13,02. (b) O número de Tsar-Bomb, necessárias para provocar uma produção energética equivalente. Lembre-se (ou saiba) que esta foi a maior arma de destruição concebida pelo homem, no auge da Guerra Fria, no começo da década de 1.960 (procure no youtube).
Resposta: n = 4,25×106 bombas = 4.250.000
bombas. 7. A erupção de La Garita, situada nas montanhas do sudoeste do estado do Colorado nos Estados Unidos, foi a maior erupção ocorrida na história da Terra. É possivelmente o maior evento energético que aconteceu no planeta desde o impacto que formou a cratera de Chicxulub, causada pelo meteoro da península de Yucatán (vide próximo exercício) e ocorreu entre, aproximadamente, 40 e 25 milhões de anos atrás. A estimativa da erupção
é de 1,0 zettajoule (1,0 ZJ = 1021
J) de energia liberada. Avalie a magnitude de Richter equivalente a essa explosão vulcânica. Resposta:
M ≈ 11,07.
8. ☺☻☺ - Um dos grandes mistérios da vida em
nosso planeta foi como ocorreu a extinção dos dinossauros, suposta e hipoteticamente causada pelo meteoro da península de Yucatán. (a)
Obtenha a magnitude equivalente à energia liberada pelo choque do meteoro em nosso planeta, que ocorreu há cerca de 65 milhões de anos e liberou
extraordinários 4×1023
J de energia, suficientes para dizimar quase por completo, toda a vida existente,
1 Também conhecido como Quantidade de Movimento (Q).
Originalmente Sir. Isaac Newton postulou sua famosa 2ª lei
como F = dP/dt (em uma dimensão sem notação vetorial), onde
a Força resultante é diretamente proporcional à variação
infinitesimal do Momento Linear (P) de um corpo, dP = m∙dv,
mas entanto, não separou a massa e velocidade conforme
conhecemos hoje nos cursos de física, ministrados no ensino
médio. Vale salientar que o Momento Linear em um sistema
não somente àquela época como hoje, caso fosse repetido. Admita a aproximação, caso haja
necessidade: 100,3
= 2,0. Resposta: M = 12,8. (b)
Estime a velocidade de recuo do nosso planeta após o choque. A velocidade de impacto do meteoro era
de 30 km/s, a massa do meteoro, 5×1015
kg e, da
Terra, 6×1024
kg. Adote: momento linear1, P = m•v,
e lembre-se que Pantes = Pdepois. Suponha este
movimento unidimensional. Resposta: vr =
2,5×10-5
m/s. 9. (AMAN) – A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M
W),
introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M
W e M
0 se relacionam
através da fórmula matemática: MW = – 10,7 + (2/3)∙log10 (M0), onde M
0 é o
momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através
dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅cm, onde
1,0 dina∙cm = 10-7
J. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional teve magnitude M
W = 7,3.
U.S. GEOLOGICAL SURVEY.
Historic Earthquakes.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov.
Acesso em: 1-maio-2.010 (adaptado).
U.S. GEOLOGICAL SURVEY.
USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov.
Acesso em: 1-maio-2.010 (adaptado). (a) Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, calcule o
momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em
dina·cm). Resposta: M0 = 1027
dina·cm.
(b) Qual a energia aproximada estimada, em joule?
Resposta: E = 1020
J.
isolado de forças externas sempre permanece constante. Assim
sendo a outra grandeza de um sistema físico que poderá ser
alterada em virtude de uma colisão é a Energia (E), dissipada
normalmente sob a forma de calor. Outra grandeza que é
utilizada é o Impulso (J), que é nada mais que a variação do
Momento Linear. Também é sabido que Momento Linear (ou
Quantidade de Movimento) e Impulso assim como a Força, são
grandezas vetoriais e Energia é uma grandeza escalar!
ESCALA DE RICHTER 12/28
10. ☺☻☺ - Outro grande mistério para a ciência
é o de como ocorreu a formação da Lua, através da colisão de um hipotético planeta chamado Theia, que anteriormente fora formado em um fenômeno denominado acreção planetária, e, que durante um período de existência do sistema solar, dividiu a órbita com a Terra, em cerca de 20 ou 30 milhões de anos, isso até aproximadamente, 150 milhões de anos atrás. Com a mesma dimensão de Marte, embora mais massivo e denso, foi “puxado” em direção à Terra por sua órbita caótica e, também, pela força gravitacional desta, e finalmente, acabou chocando-se contra nosso planeta com velocidade de cerca de 11 km/s, afundando seu material (muito provavelmente ferro, em sua totalidade) dentro do núcleo terreno. O restante do mesmo foi disperso no espaço, ganhando estrutura e formando o que é hoje, nossa Lua. Em termos de magnitude foi estimado um “assombroso grau” de 25 pontos para essa colisão. (a) Usando log
10(2,0) = 0,30, avalie a
energia liberada, em joule, neste cataclísmico
processo interplanetário. Resposta: E = 8,0×1041
J. (b) Qual a velocidade de agrupamento (unidimensional) do conjunto “Terra-Theia” imediatamente após a fusão? A massa aproximada
de Theia era de 6,4×1023
kg e, da Terra, 6×1024
kg.
Resposta: va ≈ 1.060 m/s ≈ 3.816 km/h. (c) A
quantidade de água (em volume) nos oceanos da
Terra é de, cerca de, 1,33×109 km
3. Qual,
aproximada e hipoteticamente, a elevação de
temperatura (em oC) provocada na água dos
oceanos pela energia resultante do processo de
colisão? Considere a massa específica da água 103
kg/m3, e, o calor específico da água 4.200 J/kg∙
oC.
Resposta: T ≈ 1,43×1017 o
C. 11. A usina hidrelétrica de Itaipu tem uma
potência instalada de cerca de 6×1010
W = 60 GW. (a) Quanto tempo (em anos terrenos) seria necessário para Itaipu gerar energia equivalente ao Tsunami que ocorreu no Oceano Índico a 26-12-2.004, cuja magnitude foi de 9,3 na escala de
Richter (adote 1 ano = 3,2×107 s). Use: log
10(2,25)
= 0,35. Resposta: t ≈ 1,17 ano. (b) Que número de usinas como Itaipu, seriam necessárias estarem operando simultaneamente, para produzir tal
montante energético? Resposta: n ≈ 3,73×107
usinas. (c) E, se comparássemos a um hipotético tremor na crosta terrestre de 10,5 “graus” na escala de Richter. Qual o tempo necessário, em anos, para
2 Conversão entre Quilowatt-hora e joule: 1,0 kWh = 3,6×10
6J.
3 Leonhard Paul Euler (*Basiléia, 15/04/1.707; †São
Petersburgo, 25/09/1.783), um dos (dois) maiores matemáticos
da história (para muitos, o maior). A função exponencial: y = ex.
Itaipu produzir a energia equivalente? Saiba que um sismo desse porte pode provocar alteração na estrutura de um continente. Suponha, log
10(1,4) =
0,15. Resposta: t ≈ 72,9 anos.
12. Estime: (a) a energia aproximada, em joule, que o Sol nos fornece diariamente (M = 12). Admita: log
10(2,5) =
0,4. Resposta: ESOLAR
= 2,5×1022
J. (b) A
intensidade de radiação solar que esta energia provoca em nossa superfície. Adote o raio da Terra
como sendo 6,4×106 m, 1 dia = 8,64×10
4 s, e que,
intensidade (ou radiação) e energia se relacionam
por:tr4
EI 2 . Resposta: I
SOLAR ≈
562 W/m2. (c) A quantidade de energia produzida
em uma placa fotovoltaica, em formato retangular, cujas dimensões são de 2,5 m × 2,0 m, com eficiência de 10%, durante seis horas de exposição
à luz solar. Resposta: E = 6.069.600 J ≈ 6,07×106
J, ou ainda, E ≈ 1,69 kWh(2)
– verifique!
13. ☺☻☺ - Normalmente na natureza, o
crescimento das populações de seres vivos ou, de algum material com decaimento radioativo, aparece uma lei de base exponencial ℮, número esse
conhecido como número de Euler3 (℮ = 2,718...) na
forma: N(t) = N0∙℮±kt
, com k um número real (-∞ ≤
k ≤ ∞). (a) Baseado neste fato, e usando ℮2,3
= 10,
reescreva a relação M = (2/3)∙log10(E/E0) em
logaritmo de base natural (ou neperiana4). Resp.:
M = 0,29∙ℓn(E/E0) ou M = (2/6,9)∙ℓn(E/E0). (b)
Agora, escreva a relação na base exponencial
correspondente. Resp.: E = E0∙℮M/0,29
ou E =
E0∙℮3,45∙M
. (c) Mude também, o valor de referência,
E0 = 10
4,4 J, para uma unidade de base exponencial.
Resposta: E0 ≈ ℮10,13
J, com 0,01 de ajuste no
expoente! (d) Usando esses valores obtidos
anteriormente em (a), (b) e (c), e supondo: ℮2,14
=
8,5, e ℮1,38
= 4, verifique que, por exemplo, as magnitudes encontradas nos itens (a) das questões 6 e 8, são muito próximas (até a 4.ª casa decimal) se referenciadas em base exponencial! Resposta:
usando esses valores você irá obter, para o item
(a) da questão 6, M ≈ 13,0239, logo um M =
0,0039 e, para o item (a) da questão 8, M ≈
12,8035, logo um M = 0,0035.
4 Em homenagem a John Napier (latinizado João Neper), um
dos inventores dos logaritmos (a função logarítmica natural ou
neperiana: y = ℓn(x)). Logaritmo e exponencial são funções
inversas, uma da outra.
COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA 13/28
COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA Na linguagem da Física um som é considerado de grande intensidade quanto maior a transmissão de energia por unidade de área (espaço superficial). Daí nós temos a famosa definição de onda sonora que diz: “o som é uma perturbação que se propaga em meios materiais, e gera transporte de energia, sem gerar transporte de matéria”. Portanto a intensidade do som é uma propriedade que nosso ouvido tem, e percebe, relacionando a energia à unidade de tempo, na qual a onda transfere a ele, sabendo-se que tanto maior, quanto maior for a amplitude dessa onda sonora. Logo o nosso ouvido é um instrumento extremamente poderoso e sensível, capaz de captar esta energia transportada pelas ondas sonoras. Os cientistas verificaram que os ouvidos dos seres humanos são capazes de perceber os sons de intensidades muito baixas nas quais a amplitude de vibração das moléculas do ar vale cerca de um
bilionésimo de um centímetro (10-9 cm = 10
-11 m). Este valor é menor que o diâmetro da molécula que está oscilando! Sabemos que o decibel (dB), submúltiplo do bel (B), é a denominação da unidade usual de medida no nível sonoro (1 B = 10 dB), relacionado à intensidade1 pela equação (ou relação)
de Weber-Fechner:
0
10I
Ilog10 , β em
decibel2 e I0 = 10-12 W/m
2 representa um valor padrão
de intensidade muito próximo do limiar de audibilidade de um ser humano. Também conhecemos as seguintes relações para potência:
tP
; vFP
3
; SIP , mas no entanto
como o som se propaga em todas as direções do
espaço e, 2D4S , logo
2D4
PI
e
tSI . Podemos ainda relacionar o som (no caso – decibel) com outras grandezas físicas conhecidas:
PRESSÃO SONORA:
0
10pp
plog20 , onde
p0 = 2∙10-5 N/m
2 e, POTÊNCIA SONORA:
0
10PP
Plog10 , onde P0 = 10
-13 W.
1. ☻ – Estabeleça uma relação matemática entre: (i) INTENSIDADE SONORA × POTÊNCIA SONORA [Resposta: I = 10∙P] (ii) PRESSÃO SONORA × INTENSIDADE SONORA
1 Intensidade ou Radiação, unidade no SI: watt por metro
quadrado (W/m2). Não confundir com intensidade de corrente
elétrica, unidade no SI: ampère (A).
[Resposta: p = 20∙I1/2
] e (iii) PRESSÃO SONORA × POTÊNCIA SONORA [Resposta: p =
20∙(10∙P)1/2
] a fim de que os logaritmos sejam eliminados dessas relações! Caso julgar necessário, admita log10(2,0) = 0,30.
Dica: iguale as definições de intensidade, potência e pressão conforme o item e resolva o problema como se fosse uma única equação logarítmica com duas variáveis!
2. Em uma oficina mecânica o nível de intensidade
I do som é 10-3
W/m2. Avalie esta intensidade em
decibel e em bel. Resposta: βI = 90 dB = 9 B.
3. Considere agora uma rua de tráfego intenso, onde o nível de ruído sonoro é de cerca de 80 dB. Estime a amplificação A, entre as intensidades sonoras da oficina mecânica verificada na questão anterior e a intensidade do som obtida nesta rua. Resposta: A =
dez vezes maior! 4. Com um equipamento propício mede-se o nível de intensidade sonora em um ponto das avenidas Ipiranga e São João (no centro da cidade de São Paulo). Uma primeira amostragem obtida às 6 horas acusou 20 dB de nível sonoro. Entretanto uma outra amostragem obtida às 18 horas acusou 100 dB. Determine a amplificação A, obtida entre as duas
amostragens. Resposta: A = 108 vezes maior = cem
milhões de vezes maior! 5. O barulho de um rebitador em uma obra atinge o nível sonoro de 90 dB. Caso houvesse dois rebitadores idênticos estivessem operando simultaneamente, de quanto seria o nível sonoro, em decibel, no local? Use log10(2,0) = 0,30. Resposta: β
= 93 dB. 6. Um coral, com cinquenta vozes, está interpretando uma canção cujo nível sonoro é de 70 dB. Supondo que todas as vozes deste coral tenham a mesma intensidade – como deve ocorrer em corais de boa qualidade – faça uma estimativa do nível sonoro NC, em decibel, de cada uma das vozes dos
componentes deste coral. Dado: log10(2,0) = 0,30.
Resposta: Nc = 53 dB.
7. Nas aberturas das Olimpíadas de Atenas apresentou-se um coral, e nele foi observado que o nível de intensidade sonora foi de 100 dB. Sabendo-se que eram cem os integrantes deste coral e, que este, era um coral de excelente qualidade, calcule NCOMP,
em decibel, o nível sonoro de cada uma das vozes dos componentes deste coral. Resposta: NCOMP = 80 dB.
2 Pode ser (na pior das hipóteses), decibels. Nunca, jamais em
hipótese e circunstância alguma “decibéis”, apesar de ser aceito
pela Academia Brasileira de Letras! 3 Força e velocidade são grandezas vetoriais, caracterizadas por
uma intensidade (ou módulo), uma direção e um sentido.
COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA 14/28
8. Suponha uma sala tranquila na qual não há ruídos
uma pessoa consegue perceber com dificuldade o
zumbido de um mosquito a um metro de distância
dela. É dado P0 = 10-13
W. (a) Estime a potência
sonora PM, em watts, que o mosquito está emitindo.
(b) Estime o número de mosquitos NM, necessários
para emitir uma potência igual àquela consumida
por uma lâmpada de 100 W.
Resposta: (a) PM = 1,25∙10-11 W; (b) NM = 8∙10
12
mosquitos = 8 trilhões4 de mosquitos.
9. No item (b) da questão anterior, suponha que NM
,
o número de mosquitos ali mencionados emita uma
potência sonora que se irradia por todas as direções
do espaço. Sabendo-se que o limiar da sensação
dolorosa para um ser humano é de 120 dB, estime
DMÍN, a mínima distância (em metros, centímetros e
milímetros) a qual uma pessoa poderá se aproximar
deste enxame de mosquitos sem sentir dor.
Resposta: DMÍN ≈ 2,80 m ≈ 280 cm ≈ 2800 mm.
10. (Fuvest – ligeiramente modificado) – Para o
ouvido humano a mínima intensidade perceptível é
de 10-16 W/cm
2, e a máxima intensidade suportável é
de 10-4
W/cm2. Uma onda sonora propaga-se através
de uma fonte sonora, de maneira uniforme em todas
as direções do espaço, e que começa a ser percebida
no ouvido humano a 1,0 km de distância. Considere
os valores, se necessário: log10(2,0) = 0,30, log10(π)
= 0,50 e P0 = 10-13
W. (a) Estime a potência sonora
PF, da fonte, em watts. Resposta: PF = 1,25∙10-5
W.
(b) Estime o nível sonoro NF, da fonte, em decibel.
Resposta: NF = 81 dB. (c) Estime DMÍN, a menor
distância da fonte a qual uma pessoa poderá se
aproximar sem sentir dor (resposta em centímetros,
milímetros e metros). Resposta: DMÍN = 0,1 cm,
DMÍN = 1,0 mm, DMÍN = 0,001 m.
11. (Tipler, Volume II – Capítulo 12 – pág.
444) – O alto-falante do som de um concerto de rock
gera ondas com intensidade de 10-2
W/m2 a vinte
metros de distância, na frequência de 1,0 kHz.
Admitamos que a energia seja irradiada em todas as
direções do espaço. (a) Qual o nível de intensidade
de som βi, em decibel, a 20 metros de distância?
Resposta: βi = 100 dB. (b) Qual a potência acústica
4 “Será que existem todos esses mosquitos na natureza?” –
Arthur Jansen Ferreira, Prof.º de História, EE Prof.º Alberto
Conte.
total, PM, em watts, emitida pelo alto-falante?
Resposta: PM = 50 W. (c) A que distância D, em
metros, o nível de intensidade sonora atinge o limiar
de sensação dolorosa, 120 dB? Resposta: D = 2,0
m. (d) Qual o nível de intensidade sonora βj, em
decibel, a 30 metros de distância do alto-falante?
Resposta: βj = 96,6 dB.
12. Um observador, situado a uma certa distância
de uma fonte de emissão de som, percebe-o com um
nível sonoro de 36 dB. Estime N2, o nível sonoro,
em decibel, com o qual um observador,
subjetivamente igual ao primeiro, ouve este som
se colocado a uma distância igual ao dobro de onde
se encontra o primeiro observador. Dado: log10(2,0)
= 0,30. Resposta: N2 = 30 dB.
13. Um observador portando um decibelímetro -
aparelho usado para medir o nível sonoro, em
decibel - observa que, estando a cinco metros de
uma fonte sonora recebe um ruído com um nível de
80 dB. Estime D, a distância, em metros, com a qual
esse observador deverá ficar da fonte, para que este
nível sonoro caia para 60 dB. Suponha a onda
propagando-se com potência constante. Resposta:
D = 50 metros.
14. (ITA – 2006) – Colaborando com a campanha
de economia de energia, um grupo de escoteiros
construiu um fogão solar, consistindo de um espelho
de alumínio curvado que foca a energia térmica
incidente sobre uma placa coletora. O espelho tem
um diâmetro efetivo de 1,00 m e 70% da radiação
solar incidente é aproveitada para de fato aquecer
uma certa quantidade de água. Sabemos ainda que o
fogão solar demora 18,4 minutos para aquecer 1,00
ℓ de água desde a temperatura de 20oC até 100
oC, e
que 4,186×103 J é a energia necessária para elevar a
temperatura de 1,00 ℓ de água de 1,000 K. Com base
nos dados, estime a intensidade irradiada pelo Sol
na superfície da Terra, em W/m2. Justifique.
Resposta: ISOLAR
≈ 552 W/m2.
Observação relevante: evidentemente que a parte irradiada
representa metade da superfície voltada para o Sol, no caso
de um planeta como a Terra. Logo o dobro deste valor
calculado (ISOLAR
≈ 1.100 W/m2 ≈ 1,1 kW/m
2), é mais
justificável e plausível, para um valor mais realista!
COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA 15/28
15. ☺☻☺☻ (DESAFIO MATEMÁTICO) –
Na natureza, as leis de crescimento e, de
decaimento, normalmente não se apresentam em
base decimal. Aparecem de uma outra forma sob
bases exponenciais e logarítmicas que referenciam
ao número de Euler5 (℮ = 2,718...) e cuja definição
fogem ao assunto deste texto. Portanto são
mencionadas sob a relação N(t) = N0∙℮±k∙t
, onde k
é um número real (-∞ ≤ k ≤ ∞). (a) Expresse as
relações logarítmicas de Intensidade, Potência e
Pressão sonora em base neperiana. Resposta
parcial: βI = (10/2,3)∙ℓn(I/I0). (b) Expresse também
as funções inversas em forma de funções
exponenciais de base ℮. Resposta parcial: p =
p0∙℮∙
. (c) Finalmente, mude o valor de
referência dos limiares da audibilidade humana para
base ℮ conveniente. Adote, ℮0,7
= 2,0 e ℮2,3
= 10,
sempre quando houver necessidade. Resposta
parcial: P0 = ℮
W.
16. Uma marcação de intensidade sonora aponta
℮-20
W/m2. Qual é o valor da marcação do nível
sonoro correspondente em decibel? Resp.: β ≈ 33
dB.
17. Uma outra marcação de intensidade sonora
aponta ℮-4,6
W/m2. Qual é o valor da marcação do
nível sonoro correspondente em decibel? Resposta:
β ≈ 100 dB.
18. ☺☻☺ (DESAFIO MATEMÁTICO –
ESTIMATIVA e APROXIMAÇÃO) – Duas
baterias (W e Z) abastecem pequenos circuitos
elétricos, cada qual obedecendo às funções de
decaimento: W(t) = (2∙t)log
4(1/3)
e Z(t) =
(3∙t)log
16(1/2)
,W e Z, referem-se à diferença de
potencial, logo são dadas em volt e t, em horas, t >
0. Determine o instante t, em minutos, em que as
funções apresentam a mesma d.d.p. e a especifique,
com o referido valor, em volt. Utilize nos cálculos,
sempre quando houver necessidade, as seguintes
aproximações: 21,60
≈ 3; 30,625
≈ 2; 20,73
≈ 30,454
≈ 5/3;
(1,2)0,80
≈ (1,8)0,25
≈ 1,16. Procure evitar usar
calculadora ao resolver o exercício! Você seria
capaz de traçar os gráficos que representam essas
curvas de decaimento? Explique. Resposta: t ≈ 36
minutos; W ≈ Z ≈ 0,86 V.
5 Leonhard Paul Euler (*Basiléia, 15/04/1.707; †São
Petersburgo, 25/09/1.783), um dos (dois) maiores matemáticos
da história (para muitos, o maior). A função exponencial: y = ex,
19. ☺☻☺ (DESAFIO MATEMÁTICO) – A bateria de um servidor corporativo obedece a um ciclo de flutuação de cálculos cujo pico máximo de operação é modelado através da função:
Et4 tlog para um intervalo de tempo
definido, tMÍN ≤ t ≤ tMÁX, onde t é expresso em
minutos e, E, em volt. (a) Supondo E = 1,50 V, calcule o intervalo de tempo, em segundos, cujo pico de operação tem sua maior eficiência. Use nos cálculos, caso necessite, as seguintes aproximações:
100,30
= 2,00 e 100,36
= 2,25. (b) Mostre que a função
original pode ser reescrita como: )tlog(
8
Et .
20. ☺☻☺ (DESAFIO MATEMÁTICO – ESTIMATIVA e APROXIMAÇÃO) – Dois receptores (P e Q) transformam energia elétrica em energia térmica, cada qual satisfazendo às funções
de crescimento: P(t) = (2∙t)log
10(2)
e Q(t) =
(3∙t)log
10(3)
,P e Q, referem-se à diferença de potencial, logo são expressas em volt e t, em horas, t ≥ 0. Determine o instante t, em minutos, em que as funções apresentam a mesma d.d.p. e a especifique, com o referido valor, em volt. Utilize nos cálculos,
caso necessário, as seguintes aproximações: 100,30
≈
2; 100,48
≈ 3; 20,48
≈ 30,30
≈ 1,39.
21. ☺☺ (DESAFIO MATEMÁTICO) – Uma
espira retangular com área A, em m2, está em um
campo magnético, cujo módulo é dado através de
variando conforme o tempo t, t ≥ 0,
em horas, B em tesla, e a força eletromotriz (pela lei
de Faraday-Lenz) dada por: ,
em volt e, com B0 e constantes. Sabe-se que B(0)
= 2 T, que B(1) = 0,2 T, que (0) = 4∙B0, e que (2)
= B0/8. Use as aproximações, quando houver
necessidade, ℓn(2,0) = 0,70 e ℓn(10) = 2,3. (a)
Quais os valores de B0, e A? (b) Calcule o valor
de B(2). (c) Qual o máximo valor de ? Resposta:
MÁX
= 8,0 V. (d) Obtenha (4). (e) Para que valores
aproximados de t (em minutos) tem-se (t) = 1,6 V e B(t) = 0,8 T? (f) Demonstre que a lei de Faraday-Lenz pode ser escrita como:
.
OBS.: O exercício é um modelo de descrição da matemática que ocorre na natureza. Portanto, podemos expressar os valores obtidos em forma de frações.
e sua inversa logarítmica y = ℓn(x), ambas com base de número
℮.
COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA 16/28
22. (Unicamp – 2007) – O nível
sonoro S é medido em decibel
(dB) de acordo com a expressão:
0
10I
Ilog10S , onde I é a
intensidade da onda sonora e I0 =
10–12
W/m2 é a intensidade de
referência padrão correspondente
ao limiar da audição do ouvido
humano. Numa certa construção, o
uso de proteção auditiva é
indicado para trabalhadores
expostos durante um dia de
trabalho a um nível igual ou
superior a 85 dB. O gráfico à
direita mostra o nível sonoro em
função da distância a uma
britadeira em funcionamento na
obra. (a) A que distância mínima
DMÍN, da britadeira os
trabalhadores podem permanecer
sem proteção auditiva? Resp.: DMÍN = 10 metros de distância. (b) A frequência predominante do som emitido
pela britadeira é de 100 Hz. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é de 340 m/s, qual é o comprimento
de onda λ, em metros, para essa frequência? Resposta: λ = 3,4 m. (c) Qual é a intensidade I, em W/m2, da
onda sonora emitida pela britadeira a uma distância de 50m? Resposta: I = 10-5
W/m2.
23. ☺☺ - A primeira escala para a medida do brilho das estrelas foi criada por Hiparco, por volta de 150
a.C. Ele dividiu cerca de 850 estrelas, então visíveis a olho nu e classificou-as de acordo com a intensidade do
brilho, atribuindo, quando vistas da Terra, grandeza 1 às mais brilhantes e 6 às menos brilhantes. Por volta de
1850, um astrônomo inglês chamado Norman Robert Pogson (1823-1891), baseado no trabalho de Hiparco,
propôs uma escala logarítmica para a medida do brilho de uma estrela. Considerando na escala proposta por
Hiparco a estrela mais brilhante como cem vezes mais brilhante que a de brilho visível mais fraco, Pogson
atribui grandeza - ou magnitude - 0 às mais brilhantes e grandeza 5 às menos brilhantes na escala antiga; como
(2,5)5 ≈ 100, ele considerou cada unidade de grandeza maior 2,5 vezes que a de nível imediatamente inferior,
logo criou a tabela:
Grandeza 1 2 3 4 5 n
Brilho 1 (2,5)-1
(2,5)-2
(2,5)-3
(2,5)-4
(2,5)-(n-1)
nos. proporcionais 100 ≈ (2,5)5 40 ≈ (2,5)
4 15,6 ≈ (2,5)
3 6,25 = (2,5)
2 2,5 (2,5)
-(n-5)
Pogson ainda estendeu a escala de modo a classificar a grande quantidade de estrelas e demais corpos celestes
brilhantes, na perspectiva de um observador na Terra. A escala foi estendida tanto para cima quanto para baixo,
incluindo aí os logaritmos não inteiros:
Corpo brilhante Sol Lua Sirius Betelgeuse Antares Deneb
Grandeza aparente -27 -11 -1,50 0,50 1,00 1,25
Corpo brilhante Rigel A Procyon Canopus Altair Pollux Aldebaran
Grandeza aparente 0,00 0,40 -0,72 0,80 1,20 1,80
COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA 17/28
Existem outras escalas de medida para a grandeza de uma estrela, levando em consideração seu brilho em
relação ao seu sentido absoluto e não apenas o que é percebido por um observador na Terra. A escala de
Pogson fornece a grandeza aparente, ou seja, relativa a um observador da Terra. Em uma escala absoluta,
que leva em consideração as distâncias dos corpos celestes envolvidos, o Sol é uma estrela de 5ª. grandeza,
enquanto Sirius é de 1ª. grandeza. Para os itens do exercício a seguir, use, sempre que houver necessidade,
log10(2,0) = 0,30, log10(2,5) = 0,40, log10(3,0) = 0,48, log10(7,0) = 0,84 e log10(11) = 1,04. Lembre-se
também, que 2,5 = 5/2. (a) Betelgeuse é mais ou menos brilhante que Antares? Quantas vezes? Resposta:
Betelgeuse, 1,6 vezes mais brilhante. (b) Sirius é mais ou menos brilhante que Antares? Quantas vezes?
Resposta: Sirius, 10 vezes mais brilhante. (c) Quantas vezes o Sol é mais brilhante que a Lua? Resposta:
o Sol é 2,5×106 vezes mais brilhante = 2,5 milhões de vezes mais brilhante.
24. (Unicamp – 2008, ampliado) – O ruído sonoro nas proximidades de rodovias resulta
predominantemente da compressão do ar pelos pneus de veículos que trafegam a altas velocidades. O uso
de asfalto emborrachado pode reduzir significativamente esse ruído. O gráfico abaixo, mostra duas curvas
de intensidade do ruído sonoro em função da frequência, uma para asfalto comum e outra para asfalto
emborrachado. Utilize as aproximações: π = 3,0, log10
(2,0) = 0,30 e log10
(3,0) = 0,48.
(a) As intensidades da figura foram obtidas a uma distância r = 10 m da rodovia. Considere que a
intensidade do ruído sonoro é dada por 2
r4
PI
, onde P é a potência de emissão do ruído. Calcule
P na frequência de 1.000 Hz para o caso do asfalto emborrachado. (b) Uma possível explicação para a
origem do pico em torno de 1.000 Hz é que as ranhuras longitudinais dos pneus em contato com o solo
funcionam como tubos sonoros abertos nas extremidades. O modo fundamental de vibração em um tubo
aberto ocorre quando o comprimento de onda é igual ao dobro do comprimento do tubo. Considerando que
a frequência fundamental de vibração seja 1.000 Hz, qual deve ser o comprimento do tubo? A velocidade
de propagação do som no ar é v = 340m/s. (c) Compute o valor do nível sonoro, provocado pela intensidade
em função da frequência de 1.000 Hz, para os asfaltos comum e emborrachado. O nível sonoro () é dado
pela fórmula matemática: = 10∙log10(I/I0), onde é expresso em decibel e I0 = 10-12
W/m2, é o
equivalente ao limiar da audição para um ser humano. Resposta: (a) P = 3,6∙10-3
W = 3,6 mW; (b) L =
0,17 m = 17 cm; (c) C = 70,8 dB e E = 64,8 dB.
COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA 18/28
25. ☻ – (Unicamp – 1997) – É usual medirmos o nível de uma fonte sonora em decibel (dB). O nível em
dB é relacionado à intensidade I da fonte sonora pela fórmula: [Nível Sonoro] S (dB) = 10∙log10
0I
I,
onde I0 = 10
-12 W/m2 é um valor padrão de intensidade muito próximo do limite de audibilidade humana.
Os níveis sonoros necessários para uma pessoa ouvir variam de indivíduo para indivíduo. No gráfico abaixo,
estes níveis estão representados em função da frequência do som para dois indivíduos, A e B. O nível sonoro
acima do qual um ser humano começa a sentir dor é aproximadamente 120 dB, independentemente da
frequência.
(a) Quais as frequências que o indivíduo A consegue ouvir melhor que o indivíduo B? (b) Qual a
intensidade I mínima de um som (em W/m2) que causa dor em um ser humano? (c) Um beija-flor bate as
asas 100 vezes por segundo, emitindo um ruído que atinge o ouvinte com um nível de 10 dB. Quanto a
intensidade I deste ruído precisa ser amplificada para ser audível pelo indivíduo B?
Resposta: (a)Todas compreendidas no intervalo de frequência entre 20 Hz e 200 Hz ou If = [20 Hz;
200 Hz]. (b) I = 1,0 W/m2. (c) Deve ser amplificada em 100 vezes para ser audível pelo indivíduo B.
26. (UEL – 2004 – adaptado para analítico-
discursivo) – A tomografia foi concebida pelos
cientistas Godfrey N. Hamsfield e Allan
McLeod Cormack que, em 1956, desenvolveram
o modelo matemático de como a projeção de
múltiplos feixes de raios X sobre um corpo
poderia levar à construção de uma imagem mais
completa que a obtida pela técnica até então
utilizada, que gerava a imagem radiográfica a
partir de um único feixe. O tomógrafo, construído
por Hamsfield, usa uma fonte de raios X que,
girando em torno do paciente, produz um feixe
colimado que, ao emergir do corpo, atinge
sensores que convertem a radiação numa corrente
elétrica. Essa corrente é proporcional à energia
dos raios recebidos, sendo, então, analisada por
um computador e convertida numa imagem
detalhada do corpo. A radiação que atinge cada
detector I está relacionada à radiação da fonte I0
por uma equação da forma I(x) = I0∙℮-k∙x
, onde k é
um número real positivo que caracteriza a
densidade de matéria encontrada ao longo do
caminho percorrido pelo feixe, sendo maior
quanto maior for essa densidade e x é a distância
(em nanômetros, 1 nm = 10-9
m) percorrida pelo
feixe. (a) Mostre que a relação I(x) = I0∙℮-k∙x
pode
ser reescrita como ℓn(I/I0) = -k∙x, ou então, como
ℓn(I0/I) = k∙x. (b) Sabendo-se que I(3) = I0/2,
determine o valor da constante κ. Use, se
necessário, ℓn(2,0) = 0,693. Resposta: κ = 0,231.
(c) Para que valor de x (em nm) tem-se I(x) = I0/5?
Use ℓn(5,0) = 1,61. Resp.: x = 6,96 nm ≈ 7 nm.
COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA 19/28
27. Um cachorro ao latir emite ondas com
potência sonora aproximada de 1,0 mW (10-3
W). Suponha que esta potência aproximada seja distribuída uniformemente em uma superfície hemisférica (cujo centro se situa exatamente na boca do cachorro). Adote log10(2,0) = 0,30, log10(π)
= 0,50, log10(5,0) = 0,70 e log10(7,0) = 0,84, sempre
que houver necessidade. (a) Estime NCÃO, o nível
sonoro, em decibel, a cinco metros do cão. Resposta: NCÃO = 65 dB. (b) Estime NMAT, o nível
sonoro, em decibel, de uma matilha composta por cinco cães. Resposta: NMAT = 72 dB.
28. Uma fonte sonora irradia 0,1 W de potência
sonora em espaço livre. Adote I0 = 10-12
W/m2, P0
= 10-13
W, log10(2,0) = 0,30 e log10(π) = 0,50. (a)
Avalie NF, este nível de potência sonora da fonte,
em decibel. Resp.: NF = 120 dB. (b) Estime N10, o
nível de som em um ponto situado a dez metros da fonte, em decibel. Resp.: N10 = 79 dB.
29. (UEL – 2005 – adaptado para analítico-discursivo) – No século XIX, o trabalho dos fisiologistas Ernest e Gustav Fechner levou à quantificação da relação entre as sensações percebidas pelos sentidos humanos e as intensidades dos estímulos que as produziam. Eles afirmaram que não existe uma relação linear entre elas, mas logarítmica; o aumento do estímulo I através da sensação S é proporcional ao logaritmo do estímulo, isto é, S – S0 = k∙log10(I/I0), onde S0 é
a intensidade auditiva adotada como referência, I0 é
a intensidade física auditiva, adotada como referência associada a S0 e k é uma constante de
proporcionalidade. Quando aplicada à intensidade auditiva (ou sonoridade), a intensidade auditiva S recebeu o nome de bel (B) e 1 decibel (dB) = 0,1 B, em homenagem a Alexander Graham Bell, o “inventor do telefone”, situação em que foi assumido que k = 1. Com base no texto: (a) se um som é mil vezes mais intenso que a intensidade I0,
do menor estímulo perceptível, de quanto será a diferença da intensidade auditiva entre esses sons? Resposta: ΔS = 3 B = 30 dB. (b) Se um som for 200 vezes mais intenso que a intensidade I0, do
menor estímulo perceptível, qual será a diferença entre as intensidades auditivas desses sons? Dado:
log10(2,0) = 0,30. Resposta: S = 2,3 B = 23 dB.
(c) Demonstre que, para k = 10, quando duplicamos uma intensidade de referência I0, o nível sonoro
aumenta de 3 dB.
30. ☺☻☺ – Usando as relações de Weber-Fechner para a intensidade sonora e adotando, se
necessário, 100,3
≈ 2,0, manipule os itens a seguir. (a) Mostre que para I = I0, o nível sonoro, β = 0.
(b) Demonstre que, quando duplicamos a intensidade do som de referência, o nível sonoro aumenta de 3,0 dB. (c) Prove que, quando o som é cinco vezes mais intenso que a intensidade de referência, ele aumenta de 7,0 dB. (d) Verifique que, para I = 10∙I0, o nível sonoro é amplificado em
dez vezes. (e) Calcule a intensidade sonora, IDOR,
para o limiar de sensação dolorosa para um ser
humano, 120 dB. Resposta: IDOR = 1,0 W/m2.
31. ☺☻☺ – A relação do nível sonoro com a diferença de potencial (d.d.p.) é expressa através da fórmula: , onde V
0 = 1,0 V
representa o equivalente em d.d.p. (ou voltagem) ao padrão do limiar de audibilidade de um ser humano, e é dado em decibel. Adote, quando necessário,
as seguintes aproximações, 100,3
≈ 2,0, 100,5
≈ 3,2 e
100,9
≈ 8,0. (a) Mostre que para V = V0, o nível
sonoro, β = 0. (b) Prove que, quando duplicamos a d.d.p., o nível sonoro aumenta de 6,0 dB. (c) Demonstre que, quando o som é cinco vezes mais intenso que a voltagem de referência, ele aumenta de 14 dB. (d) Calcule o equivalente em nível sonoro , para uma d.d.p. de 32.000 V. (e) Compute a d.d.p., em volt, do equivalente do nível de ruído sonoro = 78 dB. (f) Compute a d.d.p. sonora equivalente, VDOR, para o limiar de sensação de dor
para um ser humano, 120 dB. (g) Imagine agora um “trovão” numa tempestade cujo nível de ruído sonoro produzido é de, aproximadamente, 130 dB. Estime a d.d.p. equivalente ao som provocado por esse “trovão”. Resp.: (d) = 90 dB; (e) V = 8.000
V; (f) VDOR = 1,0×106 V; (g) VTr = 3,2×10
6 V.
32. ☺☻☺☻ (DESAFIO – ESTIMATIVA e APROXIMAÇÃO) – Considere agora um trovão que formado em uma tempestade, atinge o ouvido de um ser humano a 1,0 km de distância, com um nível de ruído de 60 dB. Estime: (a) a potência, P, do trovão a 1,0 km de distância. (b) A diferença de potencial, VTr, estabelecida pelo trovão no local
onde ele foi formado. (c) O nível sonoro, Tr, do
trovão no local em que ele foi estabelecido. (d) A potência, PTr, estabelecida na descarga elétrica do
trovão, sabendo-se que o tempo de queda foi de
2,0×10-4
s, e a carga elétrica nas imediações do local onde ocorreu a descarga é, de
aproximadamente, 0,10 C. Adote: .
Aproxime os seguintes valores: π = 25/8;
log10
(1,12) ≈ 0,05; 1250,5
≈ 11,2. Resposta: (a) P ≈
12,5 W; (b) VTr ≈ 1,12×107 V; (c) Tr ≈ 141 dB;
(d) PTr ≈ 5,6×109 W.
COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA 20/28
33. ☺☻☺☻ (DESAFIO – ESTIMATIVA e APROXIMAÇÃO) – Admita agora uma situação em que o ouvinte do trovão se protege em uma residência, imediatamente antes da descarga da tempestade anunciada se formar nas imediações do referido local onde se encontra o imóvel. A pressão sonora a qual o ouvido da pessoa é submetido vale
0,8 N/m2, estando o imóvel a 20 metros de distância
do local onde se originou a descarga. Estime: (a) o
nível sonoro, 20, do ruído ao qual o ouvinte está
submetido, a 20 metros de distância. (b) A intensidade da onda sonora, I20, irradiada a 20
metros de distância. (c) A diferença de potencial, V20, estabelecida a 20 metros de distância. (d) A
diferença de potencial do trovão, VTr, estabelecida
no local onde a descarga foi formada. (e) O nível
sonoro, Tr, do ruído do trovão no local onde a
descarga foi formada. Utilize as seguintes
aproximações: π = 25/8; log
10(1,6) ≈ 0,2; log
10(2,0)
≈ 0,3; log10
(3,0) ≈ 0,48; 800,5
≈ 9,0. Resposta: (a)
20 ≈ 92 dB; (b) I20 ≈ 1,6×10-3
W/m2; (c) V20 ≈
4×104 V; (d) VTr ≈ 9×10
6 V; (e) Tr ≈ 139,2 dB.
34. (Unicamp) – O enormus, o normus e o pequenus são três seres vivos de temperatura maior que a temperatura ambiente. Eles têm a mesma densidade e a forma de um cubo de lados 10,0, 1,0 e 0,10 respectivamente. O enormus se alimenta de normus e este, de pequenus. Porque suas temperaturas estão acima da ambiente eles
diariamente perdem a quantidade de calor: Q = (1/1.000)×área da superfície. Para cada ser ingerido eles ganham a energia: = (1/10)×volume do ser ingerido. As quantidades anteriores estão em um mesmo sistema de unidades. (a) Quantos normus o enormus deve ingerir diariamente só para manter a sua temperatura constante? Resposta: n = 6 normus. (b) Quantos pequenus o normus deve ingerir diariamente só para manter a sua temperatura constante? Resposta: n = 60 pequenus. (c) Que fração de sua própria massa o enormus precisa comer diariamente? E o normus? Resposta: fenormus = 3/50
= 6% e fnormus = 3/500 = 0,6%.
35. (Fuvest – 2000) – Quando água pura é cuidadosamente resfriada, nas condições normais de pressão, pode permanecer no estado líquido até
temperaturas inferiores a 0oC, num estado instável de
“superfusão”. Se o sistema é perturbado, por exemplo, por vibração, parte da água se transforma em gelo e o sistema se aquece até se estabilizar em
0oC. O calor latente de fusão da água é L
f = 80 cal/g.
Considerando-se um recipiente termicamente isolado e de capacidade térmica desprezível,
contendo um litro de água à temperatura de -5,6oC, e
à pressão normal, determine: (a) A massa, M, em gramas, de gelo, formada quando o sistema é perturbado e atinge uma
situação de equilíbrio a 0oC. Resposta: M = 70
gramas. (b) A temperatura final, TF, de equilíbrio
do sistema e [Resposta: TF = 22oC], (c) a
quantidade de gelo existente, MF, (considerando-
se o sistema inicial no estado de “superfusão” a -
5,6oC), ao colocar-se, no recipiente, um bloco
metálico cuja capacidade térmica é C = 400 cal/oC,
na temperatura de 91oC. Resposta: MF = 0.
36. (ITA – adaptado) – Uma lâmpada de filamento, ligada a uma fonte com diferença de potencial (tensão) de 100 volts tem resistência de 50 ohms. Suponha que 2% da potência elétrica dissipada seja convertida em radiação visível ou ainda, audível por um ser humano. (a) Qual será a intensidade luminosa IL a dez metros da fonte? (b)
De quanto seria o nível sonoro β, em decibel, causado por esta intensidade, supondo também que fosse possível esta conversão? Utilize, caso necessário, as aproximações: log10(2,0) = 0,30,
log10(3,0) = 0,48 e log10(π) = 0,50. Resposta: (a) IL
≈ 3,2∙10-3
W/m2 e (b) β = 95 dB.
37. ☺☻☺ (FGV – adaptado para Física) – Em um circuito elétrico alimentado por uma bateria, a
queda da diferença de potencial , é processada por uma função exponencial. Sabe-se que o decaimento – em função do tempo – é dado através da função matemática:
,
onde, t ≥ 0, t em horas, em volt, e, após uma hora transcorrida do início da queda, 50% da tensão já havia sido consumida. Use, caso necessite, as aproximações: log3(2,0) = 0,625 e log10(2,0) =
0,300. (a) Qual o percentual (ou fração) P da tensão
, que foi dissipado no instante que começou a
queda? (b) Compute o valor da d.d.p. , em volt, e escreva a função completa correspondente. (c) Após quanto tempo t, 80% da tensão já tinha sido dissipada? Resp.: t = 2,0 horas. (d) A relação de Weber-Fechner, para o som em função da diferença
de potencial, é dada por: , onde
o limiar da audição V0 = 1,00 V. Qual é o
equivalente sonoro, em decibel, para um arranjo de mil baterias interligadas em série? Resp.: = 68,0 dB. (e) Mostre que a função inversa é obtida por:
.
COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA 21/28
38. ☺☺ (DESAFIO MATEMÁTICO) –
Imagine que os elétrons sejam agrupados como
dígitos quânticos (qubit), e que esta será a nova
unidade de armazenagem de dados (ou
informação), nos computadores. Em princípio esses
qubits terão, hipoteticamente e, no mínimo, três
estados – 0, 1 e 2 – possíveis de serem feitas
combinações acerca do montante dessas
informações lançadas em um computador, que
neste caso é quântico. Pense que 340
desses qubits
sejam os elétrons, e trafegam em uma rede elétrica
durante 1,28 s, dissipando energia de uma bateria
cuja d.d.p. é de 0,50 volt. Utilize, quando houver
necessidade, as aproximações, 100,20
= 1,60 e 100,48
= 3,00, e, a carga elementar do elétron e = 1,6∙10-19
C. (a) Estime o número de elétrons que trafegam
nessa rede. (b) Estime a carga elétrica gerada pelos
elétrons. (c) Calcule a corrente elétrica estabelecida
pelos qubits. Resposta: i = 2,0 A. (d) Encontre a
potência do dispositivo. (e) Ache a energia
dissipada pelo computador quântico em ½ hora de
uso (em kWh), sabendo que a resistência da bateria
é de 0,20 .
39. (Unicamp – 2015) – O primeiro trecho do
monotrilho de São Paulo, entre as estações Vila
Prudente e Oratório, foi inaugurado em agosto de
2014. Uma das vantagens do trem utilizado em São
Paulo é que cada carro é feito de ligas de alumínio,
mais leve que o aço, o que, ao lado de um motor
mais eficiente, permite ao trem atingir uma
velocidade de oitenta quilômetros por hora. (a) A
densidade do aço é daço
= 7,9 g/cm3 e a do alumínio
é dAl
= 2,7 g/cm3. Obtenha a razão, R = (aço/Al),
entre os trabalhos realizados pelas forças resultantes
que aceleram dois trens de dimensões idênticas, um
feito de aço e outro feito de alumínio, com a mesma
aceleração constante de módulo a, por uma mesma
distância l. Resposta: R ≈ 2,93. (b) Outra vantagem
do monotrilho de São Paulo em relação a outros
tipos de transporte urbano é o menor nível de ruído
que ele produz. Considere que o trem emite ondas
esféricas como uma fonte pontual. Se a potência
sonora emitida pelo trem é igual a P = 1,20×10-3
W,
qual é o nível sonoro S em decibel (dB), a uma
distância R = 10 m do trem? O nível sonoro S (em
dB) é dado pela expressão S = 10∙log(J/J0) em que
J é a intensidade da onda sonora e J0 = 10
-12 W/m
2 é
a intensidade de referência padrão correspondente
ao limiar da audição do ouvido humano. Resposta:
S = 60 dB.
40. ☺☻☺ (DESAFIO MATEMÁTICO –
ESTIMATIVA e APROXIMAÇÃO) – Duas
pequenas baterias (U e V) fornecem energia a
microprocessadores de alta performance, cada qual
obedecendo às funções de decaimento: U(t) =
(2∙t)log
4(1/3)
e V(t) = (3∙t)log
16(1/6)
,U e V dadas em volt
e t, em minutos, t > 0. Determine o instante t, em
que as funções apresentam a mesma diferença de
potencial e a especifique, com o referido valor, em
volt. Utilize nos cálculos, sempre quando houver
necessidade, as seguintes aproximações: 21,60
≈ 3;
30,625
≈ 2; 60,80
≈ 90,65
≈ 4,2. Tente não usar
calculadora ao resolver o exercício! Você seria
capaz de traçar os gráficos que representam essas
curvas de decaimento? Explique. Resposta
parcial: U ≈ V ≈ 0,24 V.
41. ☺☻☺ (DESAFIO MATEMÁTICO –
ESTIMATIVA e APROXIMAÇÃO) – Em alguns textos científicos, especialmente os que tratam de física mais avançada, a constante da lei de Coulomb
k (k = 9×109 N∙m
2/C
2) é apresentada através da
fórmula: , onde ε0 é denominada
constante de permissividade elétrica. (a) Usando o
valor de k, calcule o valor (aproximado) de ε0. (b)
Com o valor obtido em (a) calcule o valor (aproximado) da velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo, representado por
. O valor de μ0, constante conhecida
por constante de permeabilidade magnética, vale
4∙π×10-7
N/A2. Com qual valor de constante
conhecida é parecido esse resultado obtido? Use π
= 3,14, para não haver significativa distorção do valor encontrado, ao se comparar com os apresentados nos livros de física. (c) Usando agora, os valores encontrados em (a) e (b), verifique a consistência da constante de permeabilidade magnética mencionada no item anterior, estimando
o valor apresentado, est, com precisão de, pelo
menos, cinco (ou seis, se for o caso) casas decimais.
(d) Qual a diferença de truncamento () apresentada e o percentual apresentado por essa diferença? Este é um valor plausível e justificável? Explique.
Adote as relações matemáticas pertinentes à questão:
e
Sendo a diferença um valor absoluto (ou módulo) da
diferença entre o valor real e o estimado entre as permeabilidades magnéticas, pode-se dizer que o valor a ser calculado independe da ordem na qual você irá utilizar o resultado obtido!
COMPLEMENTOS SOBRE INTENSIDADE, POTÊNCIA E PRESSÃO SONORA 22/28
42. (DESAFIO MATEMÁTICO) – Seja uma rede elétrica cuja resistência é de 5,0 ohm e, a intensidade de corrente elétrica é definida pela
passagem de 1,5∙1021
elétrons durante dez segundos, em um fio condutor. Durante três horas circula nesta rede uma quantidade de energia que poderia ser utilizada para os mais variados fins, como, por exemplo, aquecer certa quantidade de água. Da Termodinâmica sabemos que “calor é a energia em trânsito entre corpos ou sistemas decorrente da existência de uma diferença de temperatura entre eles”. A carga elementar do
elétron, é de 1,6∙10-19
C. (a) Determine a diferença de potencial, em volt, que atua nesta rede. (b) Qual é, aproximadamente, a variação de energia da rede no intervalo de tempo de três horas, em Quilowatt-hora6? (c) Qual é, aproximadamente, a variação de
temperatura, em oC, que 2∙10
4 kg de água,
estariam sendo submetidos, se estivessem sendo colocados sob o efeito dessa variação de energia?
Considere cágua = 4∙103 J/Kg∙
oC, e lembre que a
equação fundamental da calorimetria é dada por Q
= m∙c∙T. (d) Agora considere que a variação de energia fosse utilizada para elevar a temperatura de água de um determinado reservatório. Qual é, aproximadamente, a massa de água, em toneladas, que esta mesma energia seria capaz de elevar em
1oC de temperatura? (e) Podemos também
relacionar a potência com outras grandezas físicas como, por exemplo, o som e a radiação e mesmo, até a pressão. A relação matemática intensidade (ou radiação em alguns textos) é definida como J =
P/4∙π∙D2, que denominaremos aqui neste
enunciado, de J, para não confundirmos diretamente com a intensidade de corrente elétrica dada através de i, pois o som, especificamente, se propaga em todas as direções do espaço e, ainda, se relacionam mais diretamente pelas relações de Weber-Fechner, cientistas que estudaram as propriedades sonoras. As relações de Weber-Fechner são definidas para a intensidade (ou radiação, conforme anteriormente mencionado)
como J = 10∙log10[J/J0], onde β é o nível sonoro
medido em decibel (dB), em homenagem a Alexander Graham Bell, inventor do telefone,
para o qual 10 dB = 1 B, e onde J0 = 10
-12 W/m
2, e
este é um valor padrão de intensidade muito próximo do limiar de audibilidade do ser humano. Segue que, para as mesmas condições, temos para a
potência, P = 10∙log10[P/P0], onde P0 = 10
-13 W (um
valor praticamente igual a J0), e para a pressão (que
chamaremos aqui neste enunciado, de z, para não confundirmos diretamente com a potência, dada por
P), z = 20∙log10[z/z0], onde z0 = 2∙10
-5 N/m
2
(também um valor praticamente igual a J0). Sendo
βP = 140 dB (nível sonoro em relação à potência),
calcule o valor de P, em watt. Este é um valor que está acima do limite extremo de sensação de dor para a audição de um ser humano! Resposta: P = 10 W. (f) Calcule a máxima distância, em metros e quilômetros, para a qual um ser humano poderia continuar ouvindo este som, se estivesse sendo submetido à ação constante deste nível sonoro (140 dB). Considere para a solução do item em questão,
a relação matemática J0 = P/4∙π∙D2, e suponha que
não existam quaisquer interferências no caminho. (g) Sendo agora β
J = 120 dB (nível sonoro em
relação à intensidade), calcule o valor de JDOR, em
W/m2. Este é um valor que está no limite extremo
de sensação de dor para a audição de um ser
humano! Resposta: JDOR = 1,0 W/m2. (h) Sendo
agora βz = 80 dB (nível sonoro em relação à
pressão), calcule o valor de zSALA, em N/m2 e use
log10(2,0) = 0,30, caso houver necessidade. (i) Se o
valor da potência verificado no item (e) pudesse ser utilizado para induzir uma corrente elétrica, de quanto seria sua intensidade, em ampères, para uma resistência de 40 ohm? Resposta: i = 0,5 A. (j) Se o valor da potência verificado no item (e) pudesse ser utilizado para aquecer certa quantidade de água, quanto essa massa, em gramas, que essa
potência seria capaz de elevar em 1oC de
temperatura, quando colocada sob o efeito de uma energia absorvida em seis minutos?
43. ☻☺☻☺ (DESAFIO MATEMÁTICO) – A bateria de um superprocessador obedece a um ciclo de flutuação de cálculos cujo máximo pico de operação é modelado através da função:
)t(log4
2Vt para um intervalo definido de tempo, tMÍN ≤ t ≤ tMÁX, onde t é dado em minutos e
V, em volt. (a) Supondo V = 2,00 V, determine o intervalo de tempo, em segundos, cujo pico de
operação tem sua eficiência máxima. Resposta: t = 225 s. (b) Partindo da função original, demonstre a consistência da equivalência a seguir:
Vtt4
22 tlogtlog .
6 Conversão entre Quilowatt-hora e joule: 1,0 kWh = 3,6×10
6J.
ÓPTICA GEOMÉTRICA – ESPELHOS ESFÉRICOS 23/28
►FÍSICA – ÓPTICA GEOMÉTRICA – ESPELHOS ESFÉRICOS◄
1. Um espelho côncavo, de raio de curvatura 50 cm
tem uma imagem formada a 30 cm de seu vértice.
Sabendo-se que o tamanho da imagem formada é de
6 cm, obtenha: (a) a distância do objeto ao espelho;
(b) o tamanho do objeto. Resposta: (a) p = 1,50 m;
(b) o = 0,3 m = 30 cm.
2. Um espelho côncavo, de distância focal de 30 cm
tem uma imagem formada a 75 cm de seu vértice.
Sabendo-se que o tamanho do objeto é de 1,00 m,
calcule: (a) a distância do objeto ao espelho; (b) o
tamanho da imagem. (c) o aumento linear
transversal.
3. Considere um espelho côncavo com distância
focal de 40 cm, e cujo objeto tem o tamanho de ¼ da
altura da imagem formada. Determine: (a) a
distância do objeto ao vértice do espelho; (b) a
distância da imagem ao vértice do espelho; (c) faça
um esboço da situação descrita no enunciado.
Resposta: (a) p = 0,50 m; (b) p´ = 2,0 m; (c) Todos
os desenhos e esboços serão feitos em sala de aula.
4. Seja um espelho convexo com raio de curvatura
de 1,20 m, e cuja imagem formada tem um tamanho
de ⅓ da altura do objeto. Encontre: (a) a distância do
objeto ao vértice do espelho; (b) a distância da
imagem ao vértice do espelho; (c) faça um esboço
da situação descrita no enunciado. Resposta: (a) p
= 1,20 m; (b) p´ = -0,40 m.
5. A distância de um objeto ao vértice de um espelho
esférico é igual a 0,60 m. O tamanho deste objeto é
igual cinco vezes o tamanho da imagem, que é
direita. Encontre: (a) a distância da imagem ao
espelho; (b) o valor da distância focal (em módulo,
se for o caso); (c) o valor do raio de curvatura; (d) o
espelho é côncavo ou convexo? Justifique.
Resposta: (a) p´ = -0,12 m; (b) f = 0,15 m; (c) R =
0,30 m; (d) convexo, dado que a imagem formada
é virtual, direita e menor que o objeto.
6. (PUC-Campinas) – O espelho esférico convexo
de um retrovisor de automóvel tem raio de curvatura
de 80 cm. Esse espelho conjuga, para certo objeto
sobre o seu eixo principal, imagem 20 vezes menor.
Nessas condições, calcule a distância do objeto ao
espelho. Resposta: p = 7,60 m.
7. A distância da imagem formada por um espelho
esférico ao seu vértice é igual a 0,9 m. O tamanho
do objeto é igual ao quadruplo do tamanho da
imagem, que é invertida. Obtenha: (a) a distância do
objeto ao espelho; (b) o valor da distância focal; (c)
o valor do raio de curvatura; (d) o espelho é côncavo
ou convexo? Justifique. Resposta: (a) p = 3,60 m;
(b) f = 0,72 m; (c) R = 1,44 m; (d) côncavo, dado
que a imagem formada é real, menor e invertida. 8. A distância do objeto ao vértice de um espelho é
igual a 10,00 m. O tamanho do objeto é igual a 50
vezes o tamanho da imagem, que é virtual. Encontre:
(a) a distância da imagem ao espelho; (b) o valor da
distância focal (em módulo); (c) o valor do raio de
curvatura; (d) o espelho é côncavo ou convexo?
Justifique. Resposta: (a) p´ = 0,20 m; (b) f ≈ 0,204
m; (c) R ≈ 0,408 m; (d) convexo, dado que a
imagem formada é virtual e menor que o objeto. 9. (Fuvest) – A imagem de um objeto forma-se a 40
cm de um espelho côncavo com distância focal de
30 cm. A imagem formada sobre o eixo principal do
espelho tem 3,0 cm de altura. Calcule: (a) o raio de
curvatura, R, em metros, do espelho. Resposta: R =
0,60 m. (b) A posição, p, do objeto em relação ao
espelho. Resposta: p = 1,20 m. (c) O aumento linear
transversal, A, e, o tamanho do objeto, Ho, em
metros. Resp.: A = ⅓; Ho = 0,09 m. (d) Construa
o esquema referente à questão representando objeto,
imagem, espelho e raios utilizados e indicando as
distâncias envolvidas (raio de curvatura, distância
focal e distâncias do objeto e imagem ao espelho).
10. A figura abaixo mostra um objeto O e sua
correspondente imagem I fornecida por um espelho
côncavo.
Se F representa o foco do espelho e V o seu vértice,
compute: (a) o valor da distância focal, (b) do raio
de curvatura, (c) da imagem ao espelho e, (d) do
objeto ao espelho, em metros. (e) Calcule o aumento
linear transversal. Resposta: (a) f = 0,20 m; (b) R =
0,40 m; (c) p = 0,60 m; (d) p´ = 0,30 m; (e) A =
½.
ÓPTICA GEOMÉTRICA – ESPELHOS ESFÉRICOS 24/28
11. (Unicamp) – Uma das primeiras aplicações
militares da óptica ocorreu no século III a.C. quando
Siracusa estava sitiada pelas forças navais romanas.
Na véspera da batalha, Arquimedes ordenou que 60
soldados polissem seus escudos retangulares de
bronze, medindo 0,5 m de largura por 1,0 m de
altura. Quando o primeiro navio romano se
encontrava a aproximadamente 30 m da praia para
atacar, à luz do sol nascente, foi dada a ordem para
que os soldados se colocassem formando um arco e
empunhassem seus escudos, como representado
esquematicamente na figura a seguir. Em poucos
minutos as velas do navio estavam ardendo em
chamas. Isso foi repetido para cada navio, e assim
não foi dessa vez que Siracusa caiu. Uma forma de
entendermos o que ocorreu consiste em tratar o
conjunto de espelhos como um espelho côncavo.
Suponha que os raios do Sol cheguem paralelos ao
espelho e sejam focalizados na vela do navio.
(a) Qual deve ser o raio do espelho côncavo para que a intensidade do sol concentrado seja máxima? (b) Considere a intensidade da radiação solar no
momento da batalha como 500 W/m2. Considere que
a refletividade efetiva do bronze sobre todo o espectro solar é de 0,6, ou seja, 60% da intensidade incidente é refletida. Estime a potência total incidente na região do foco. É dado: Potência =
Intensidade×Área. Resposta: (a) R = 60 m; (b) P = 9.000 W. 12. (ITA) – Um objeto linear de altura h está assentado perpendicularmente no eixo principal de um espelho esférico, a 15 cm de seu vértice. A imagem produzida é direita e tem altura de h/5. Determine e justifique a natureza e o raio de curvatura deste espelho. Resposta: este é um
espelho convexo, de raio 7,5 cm, dado que a imagem produzida é direita e menor que o objeto. 13. (Fatec-SP) – Um espelho esférico côncavo tem distância focal 3,0 m. Um objeto de dimensões desprezíveis se encontra sobre o eixo principal do espelho, a 6,0 m deste. O objeto desliza sobre o eixo principal, aproximando-se do espelho com velocidade constante de 1,0 m/s. O que acontece com a imagem após transcorridos 2,0 segundos do objeto deslizando? Resposta: ela se afastará 6,0 m
do espelho.
14. (UFRJ) – Com o objetivo de obter mais
visibilidade da área interna do supermercado,
facilitando o controle da movimentação de pessoas,
são utilizados espelhos esféricos cuja distância focal
em módulo é igual a 25 cm. Um cliente de 1,6 m de
altura está a 2,25 m de distância do vértice de um
dos espelhos. (a) Indique o tipo de espelho utilizado
e a natureza da imagem por ele oferecida. (b)
Calcule a altura da imagem do cliente, em mm.
Resposta: hi = 160 mm.
15. A distância da imagem virtual formada por um
espelho ao seu vértice é igual a 0,80 m. A posição
do objeto em relação à imagem é a mesma, e o
aumento linear transversal vale 0,2. Ache: (a) a
distância do objeto ao espelho; (b) o valor (do
módulo) da distância focal; (c) o valor do raio de
curvatura; (d) o espelho é côncavo ou convexo?
Justifique. Resposta: (a) p = 4,00 m; (b) f = 1,00
m; (c) R = 2,00 m; (d) convexo, dado que a
imagem formada é virtual e menor que o objeto. 16. A distância da imagem formada por um espelho
convexo ao seu vértice é igual a 1,8 m. O tamanho
do objeto é igual a três vezes ao tamanho da imagem.
Obtenha: (a) a distância do objeto ao espelho; (b) o
valor do raio de curvatura; (c) o valor da distância
focal; (d) faça um esboço da situação descrita no
enunciado.
17. A figura abaixo ilustra um espelho esférico
côncavo de distância focal igual a 30 cm. Um objeto
de 5 cm de altura e colocado a 15cm do vértice do
espelho.
(a) Obtenha a localização da imagem, usando, no
mínimo, dois raios luminosos incidentes no espelho.
(b) Classifique a imagem (real ou virtual; direita ou
invertida; maior, menor ou igual ao tamanho do
objeto). (c) Determine a posição da imagem em
relação ao vértice do espelho. (d) Determine o
aumento linear transversal do objeto. Resposta: (b)
virtual, direita e maior; (c) p´ = 30 cm; (d) A =
2 (a imagem tem o dobro do tamanho do objeto).
APÊNDICE – MANIPULAÇÃO E PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 25/28
MANIPULAÇÃO E PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
1. DEFINIÇÃO: definimos logb(a) = c bc = a,
onde 0 < b ≠ 1 e a nomenclatura, a (logaritmando),
b (base) e c (logaritmo) .
2. POSTULADOS:
2.1. logb(1) = 0, pois b0 = 1.
2.2. logb(b) = 1, pois b1 = b.
2.3. logb(b) = .
2.4. logb
(b) = 1/ *.
2.5. logb(x) = logb(y) x = y.
2.6. logb(x) > logb(y) x > y, b > 1.
2.7. logb(x) < logb(y) x > y, 0 < b < 1.
3. PROPRIEDADES:
3.1. Logaritmo do Produto: seja o produto de
logaritmos: logb(ac); podemos escrever este
produto como: logba + logbc.
Prova: vamos mostrar que logb(ac) = logba + logbc
é equivalente a expressão z = x + y. Façamos,
logb(a) = x bx = a (1),
logb(c) = y by = c (2) e,
logb(ac) = z bz = ac (3);
substituindo (1) e (2) em (3) fica: bz = b
xb
y
bz = b
x+y mesma base exponencial, portanto,
z = x + y 3.2. Logaritmo do Quociente: seja o quociente de
logaritmos: logb(a/c); podemos escrever este
produto como: logba - logbc.
Prova: vamos mostrar que logb(a/c) = logba - logbc
é equivalente a expressão z = x - y. Façamos,
logb(a) = x bx = a (1),
logb(c) = y by = c (2) e,
logb(a/c) = z bz = a/c (3);
substituindo (1) e (2) em (3) fica: bz = b
x/b
y
bz = b
x-y mesma base exponencial, portanto,
z = x - y 3.3. Logaritmo da Potência: seja o logaritmo
elevado a um expoente qualquer: logb(a)w;
podemos escrever este produto como: w∙logba.
Prova: vamos mostrar que logb(a)w = w∙logba é
equivalente a expressão w∙x.
Façamos, logb(a) = x bx = a (1);
substituindo (1) em logb(a)w, fica logb(b
x)
w
ajustando logb(b)x∙w
, e como logb(b) = 1,
nos resta o valor do expoente x∙w, ou
evidentemente,
w∙x,
exatamente como queríamos!
Vale também para o caso de existir um radical
envolvido: logb (√aw) = (w/2)∙ logb(a)
Vale também para o caso de ocorrer um expoente
na base envolvido (desde que, sejam respeitadas
todas as condições de existência: 0 < b ≠ 1):
logb
w(a) = (1/w)∙logb(a)
Na prática esse valor de w deverá ser diferente de
zero! A demonstração fica a cargo do leitor!
3.4. Mudança de Base: é uma consequência da
propriedade anterior. Seja a divisão de dois
logaritmos em mesma base e, que estejam
satisfeitas todas as condições de existência:
logb(a)/logb(c); podemos escrever este quociente
como simplesmente: logc(a).
Prova: vamos mostrar que logc(a) = logb(a)/logb(c)
é equivalente a expressão matemática z = x/y.
Chamando:
logc(a) = logb(a)/logb(c) de (0) e fazendo,
logc(a) = z cz = a (1),
logb(a) = x bx = a (2) e,
logb(c) = y by = c (3);
substituindo (1), (2) e (3) em (0) fica:
logc(c)z = logb(b)
x/logb(b)
y como: logc(c) = 1 e,
logb(b) = 1, e, por último, usando a propriedade
(3.3), nos resta, conforme queríamos, z = x/y.
A extensão da propriedade é:
logb
w(a)z = (z/w)∙log
b(a),
satisfeitas, obviamente, todas as condições de
existência! Portanto, demonstre-a!
3.5. Também temos que, satisfeitas todas as
condições de existência, a seguinte propriedade:
ℓog
= , pois, um número , elevado ao
logaritmo de na base , é sempre igual a.
Prova: vamos propor que x = , e usar as
propriedades já demonstradas.
Fazendo ℓog = x
x = , e substituindo
diretamente na expressão:
ℓog
x
= .
Como ℓog = 1, temos que
x = , exatamente
como propusemos!
APÊNDICE – MANIPULAÇÃO E PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 26/28
EQUAÇÕES GERAIS
Vamos fazer um pequeno exemplo para
comprovar: Calcule log256
(64), por definição e por
propriedade.
Por propriedade: log256
(64) = log28(2)
6 =
(6/8)∙log2(2) = 3/4∙(1) = ¾ = 0,75. Bem fácil!
Por definição: log256
(64) = x 256x = 64
(28)
x = 2
6 mesma base 8x = 6
x = 6/8 = ¾ = 0,75. Bem chato!
Alguns logaritmos notáveis:
log10(x), logaritmo decimal ou comum,
escrevemos simplesmente, ℓog(x);
log2(x), logaritmo binário, usado em Ciência da
Computação, escrevemos simplesmente, ℓg(x);
log℮(x), logaritmo neperiano ou natural, usado
em Cálculo Diferencial e Integral e Análise
Matemática, escrevemos simplesmente, ℓn(x). O
número irracional, ℮ = 2,718... é conhecido como
número de Euler.
Vamos fazer mais um exercício:
Sejam α e β constantes reais positivas, tais que
log10α = 0,5 e log10β = 0,7. Resolva a equação
exponencial: 5x
100
.
Sejam pela definição: 100,5
= e 100,7
= .
Substituindo na equação:
57,05,0
x
7,05,01010
1010
100
52,1
x
2,1
2
1010
10
6x8,0
1010
mesma base 0,8∙x = 6
x = 6/0,8, portanto, x = 7,5
De uma outra forma: 5x
100
aplicando log decimal nos dois lados da equação
ℓog(100/∙)x = ℓog(∙)
5
usando logaritmo da potência
x∙[ℓog(100/∙)] = 5∙[ℓog(∙)]
separando os logaritmos internos do produto e
quociente
x∙[ℓog(10)2 - ℓog - ℓog] = 5∙[ℓog + ℓog]
substituindo os valores
x∙[2 – 0,5 – 0,7] = 5∙[0,5 + 0,7] 0,8∙x = 6
x = 6/0,8, portanto, x = 7,5
Agora, usando os mesmos dados do exercício
anterior, resolva as equações:
1. 225
x
3
10
Resposta: x = 5.
2. 127
x2
100
Resposta: x = 2,5.
3.
x2
2
5x25
2
10100
Resposta: x = 1,8.
Procure resolver usando tanto o método
exponencial quanto o logaritmo!
Na primeira parte deste apêndice, em nossos
objetos de estudo, utilizamos práticas de solução
de equações exponenciais e logarítmicas, sem no
entanto fazermos uma pergunta do tipo: e se nos
deparássemos com uma equação do tipo 2x = 3?
Ou, em quanto tempo uma quantia investida a
uma taxa de juros de 6% a.a. necessita para ser
duplicada? Ou triplicada? Em quantos anos a
Índia dobrará sua população se mantiver seu
crescimento populacional constante a 2,5%
anuais? Ou ainda, de quantos decibels – ou
decibel, no singular, jamais, nunca, sob hipótese
ou circunstância alguma, “decibéis” –
precisaremos para duplicar e até triplicar um
certo nível sonoro em um ambiente? Essas e
outras perguntas desse tipo são respondidas –
talvez com certa surpresa em um primeiro instante
– pela extraordinária teoria dos logaritmos, que
na prática se mostra muito mais eficiente e eficaz
que em suas equações teóricas. Veremos com
algum espanto, que a resposta da equação é o log23
≈ 1,6, que em aproximadamente 12 anos, o
dinheiro hoje investido à taxa de 6% anuais duplica
de valor, que em 28 anos a Índia dobrará sua
população mantida essa taxa de crescimento
vegetativo, e que três decibel, bastam para
duplicar o nível sonoro em um ambiente!
Costumamos utilizar para desvendar esses
problemas cotidianos, as funções exponenciais:
Q(t) = Q0∙(1 + i)
t ou Q(t) = Q
0∙℮
it. A variável Q –
ou qualquer outra que você queira utilizar –
representa a quantidade que será trabalhada na
solução dos problemas.
APÊNDICE – MANIPULAÇÃO E PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 27/28
FUNÇÕES INVERSAS
4. Considere f(x) = ℮x+2
. (a) Calcule a função
inversa g(x). (b) Mostre que f(g(x)) = g(f(x)) = x.
(c) Determine g(e).
5. Seja f(x) = ℓog
1x
1. (a) Compute a função
inversa g(x). (b) Mostre que f(g(x)) = g(f(x)) = x.
(c) Obtenha g(0) e g(1).
6. A magnitude absoluta de uma estrela, vista da
Terra é dada por M = β - 5∙log10
10
d, onde M é o
brilho absoluto, β é o brilho aparente e d, é a
distância em parsecs, onde 1 parsec = 3,2 anos-luz
e 1 ano-luz ≈ 9,5∙1015
m. Expresse d em termos de
M e β.
Dica: considere o termo (d/10) como sendo um
único elemento!
7. Seja N(t) = N0∙℮-λ∙t
= N0∙exp[-λ∙t] (forma
alternativa). (a) Obtenha a função inversa, em
termos de N(t) e t. (b) Componha as funções
exponencial e logarítmica. (c) Isole, também, o
termo constante , em termos de N(t) e t.
Dica: faça N ≡ N(t)! Esta importantíssima função representa o decaimento – ou
desintegração – radioativo nos núcleos instáveis dos
isótopos de elementos químicos, como por exemplo, o
Urânio e o Plutônio, usados em reatores nucleares. A função
exponencial de base ℮ talvez seja a mais relevante e
pertinente de toda a natureza. PROBLEMAS GERAIS
Utilizar sempre que houver necessidade os
valores de referência para base decimal:
log10(2) = 0,30, log10(2,5) = 0,40, log10(3) = 0,48,
log10(5) = 0,70, log10(7) = 0,84 e para base
neperiana: ℓn(2) = 0,70, ℓn(2,5) = 0,92, ℓn(3) =
1,10, ℓn(5) = 1,60, ℓn(7) = 1,95. Resolva-os, se
possível, das duas formas!
8. Seja um certo país, com uma população de 25
milhões de habitantes. Considerando que sua taxa
de crescimento vegetativo é de 2% anuais,
determine: (a) o tempo – aproximado – para sua
população duplicar. (b) o tempo – aproximado –
para sua população triplicar. Dado: ℓn(1,02) =
0,02.
1 A aproximação fornecida nos logaritmos
determina o valor da resposta desejada. Por isso
temos alguns valores com precisão diferentes.
9. Considere uma aplicação financeira cujo
rendimento é da ordem de 5% anuais. (a) Em
quanto tempo a aplicação duplicará de valor? (b)
Em quanto tempo a aplicação irá ser de sete vezes
o valor original? Dado1: log10
(1,05) = 0,02.
10. Considere uma população de um
determinado país, e cujo crescimento vegetativo é
da ordem de 2,5% anuais. (a) Em quanto tempo,
aproximadamente, a população triplicará de
tamanho? (b) Em quanto tempo,
aproximadamente, a população irá ser de cinco
vezes o tamanho da população original? Dado:
log10
(1,025) = 0,01.
11. (DESAFIO) – Uma caixa, de aparelho de som, está emitindo uma onda sonora de
intensidade de 10-6 W/m
2. Considere a “energia”
transportada pela onda sonora, que passa por uma
janela com área igual a 2,0 m2, durante 4,0×10
3 s (pouco mais de uma hora), e com a posição de passagem da onda sendo perpendicular à posição de colocação da janela. Adote 1cal = 4 J e c =
4,0×103 J/Kg∙ºC. (a) Sabendo-se que a equação
fundamental da calorimetria é dada por Q = m∙c∙∆T, e as expressões matemáticas para intensidade (ou radiação) e para a potência, são dadas respectivamente por I = P/Área e P =
E/t, e admitindo que todo o calor gerado seja convertido em energia útil – ou seja, não existem possíveis perdas de energia – qual a elevação de temperatura (∆T1) que 200g de água estará sendo
submetida se colocada sob efeito desta radiação?
Resposta: ∆T1 = 0,00001oC = 1,0∙10
-5 oC (b)
Considere agora que a onda sonora está operando
sob uma condição de 1,0 W/m2 de radiação, ou
seja, o equivalente do limiar de dor para a audição de um ser humano. Se essa radiação se mantiver
constante durante 2,0×103s (pouco mais de meia
hora), qual a elevação de temperatura (∆T2), que
1.000g de água irá experimentar? Resposta: ∆T2
= 1,0oC. (c) Agora considere uma explosão, dessas
tipo demolição de estruturas como prédios ou edifícios. O som causado por essas explosões é da ordem de 160 dB. Suponha que cada explosão dessas tenha duração de 10 s e que gere certa quantidade de intensidade sonora. Se este nível sonoro é dado pela equação de Weber-Fechner:
β = 10∙log10
(I/I0),
APÊNDICE – MANIPULAÇÃO E PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 28/28
onde, β é dado em decibel, e que I0 = 10-12 W/m
2,
representa um valor padrão de intensidade muito próximo do limiar de audibilidade de um ser humano, expresse esse nível sonoro de 160 dB em
W/m2 e, [Resp.: I = 10
4 W/m
2 = 10.000 W/m
2] (d)
qual quantidade de água, MA, que essa explosão
seria capaz de aumentar de 1oC de temperatura se
colocada sob efeito desta intensidade? Admita que
a caixa que acomoda a bomba tenha 2,5 m2 de
superfície. Resposta: MA = 62,5 kg.
12. (Unicamp) – Considere que um país troca de moeda cada vez que sua inflação acumulada chega à cifra de 900%. A nova moeda sempre vale mil vezes a antiga. Com uma inflação de 25% ao mês, em quanto tempo este país trocará de moeda? Dado log
10(2) = 0,301.
13. (UFRJ – adaptado)2 - Sabendo-se algumas estimativas, o volume de água facilmente disponível para consumo em todo o planeta, é de
cerca de 14 mil km3. Consideremos como
“razoável” o consumo de 500 m3 por ano, por
habitante. Sabendo que (à época da publicação desta questão) a população do planeta é de 6 bilhões de habitantes, e que cresce à taxa de 1,6% ao ano, faça uma estimativa de, em quanto tempo chegaremos, mantidos esses dados, ao limiar dos recursos disponíveis. Utilize, caso necessário, ℓn(4,67) ≈ 1,54 e ℓn(1,016) ≈ 0,016 e lembre-se
também que 1,0 km3 = 10
9 m
3.
14. (Unicamp, 2003) – O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por:
T(t) = TA + ∙3∙t
,
onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a
temperatura ambiente, suposta constante, e α e β são constantes. O referido corpo foi colocado em
um congelador com temperatura de –18ºC. Um
termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC
após 90 minutos e chegou a –16ºC após 270 minutos. (a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β. (b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas
(2/3)o
C superior à temperatura ambiente.
2 O texto original deste exercício não fornecia nenhuma das
constantes dadas no enunciado!
15. (MAUÁ) – No dia 11 de março de 2011, o
Japão foi atingido por um terremoto de
magnitude de 8,9 na escala Ritcher. O tsunami
subsequente provocou ondas de até 14 m que
atingiram a central nuclear Fukushima Daiichi.
A água usada para resfriamento tornou-se
contaminada por elementos radioativos, entre
eles, o 131
I, vazando para o mar. Existem 30
isótopos do iodo, sendo estável o 127
I. O 131
I
decai para um elemento estável por meio da
radiação , que corresponde à emissão de um
elétron do interior do núcleo atômico, devido ao
decaimento de um nêutron em um próton.
Define-se a meia-vida do elemento pelo tempo
necessário para que sua quantidade inicial se
reduza à metade.
A Figura 1 exibe a variação da quantidade de 131
I numa amostra contendo inicialmente 20 mg do elemento. A Figura 2 mostra uma parte da tabela periódica com os elementos vizinhos ao iodo. Considere uma amostra contendo inicialmente
20 mg de 131
I e a variação de sua quantidade em função do tempo, mostrada pela Fig. 1. (a)
Determine a meia-vida do 131
I, com base na Fig. 1. Resposta: t
1/2vida = 8 dias. (b) Calcule
a quantidade de 131
I após 16 dias com o resultado do item a, sem o uso da Fig. 1. Resposta: m
I-16 = 5,0 mg. (c) Calcule o
tempo necessário para que a amostra contenha
2,5 mg de 131
I ? Resposta: t2,5mg
= 24 dias.