exercícos cálculo diferencial e integral em rn
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Exercícios resplvidos de Cálculo Diferencial e Integral em RNTRANSCRIPT
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE
CENTRO DE ENSINO À DISTÂNCIA
LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA
Cálculo Integral em Rn
4º Ano
Trabalho do Campo II Sessões/
Julho de 2014
Filipe Mathusso Lunavo
Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 1
APRESENTAÇÃO DAS QUESTÕES
1. Represente a curva C por uma função com valores vectoriais.
a) C é a curva definida pela função 2483 22 =+ yx .
Solução: 2483 22 =+ yx => 138
248/13/1
2222
=+=>=+ yxyx é uma elipse.
22=a e 3=b y
3
-3 8− 8 3 �
3−
b) C é a curva definida pela função 0711864916 22 =−−++ yxyx .
Solução: 0711864916 22 =−−++ yxyx => ( ) ( ) 07129416 22 =−−++ yyxx
� ( ) ( ) 071112944416 22 =−−+−+−++ yyxx
� ( )[ ] ( )[ ] 0711194216 22 =−−−+−− yx
� ( ) ( ) 07191964216 22 =−−−+−+ yx
� ( ) ( ) ( ) ( )1
48
13
36
2414419216
2222 =−++=>=−+− yx
yx
� ( ) ( )
1
3
481
4
362 22
=−++ yx
)0;17,0(
)49,2;0(
B
A
)0;17,4(
)49,0;0(
−−
D
C
2
-2
y
x
A
D B
C
Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 2
−1 1 2
−1
1
2
3
4
x
y
2. Calcule ∫ ++y
dzydydx , onde � é a inserção do plano � � � com a superfície � � �� �
���� 2, sendo o sentido do percurso do ponto ��1,�1,2� para o ponto �1,1,2�.
∫ ∫ ∫− − −−
=−++−−=++=++=1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
21
1
2)22(2
1)1(1
2z
yxdzydydx
3. Construir as linhas ou curvas de nível da função 2
),(x
yyxf =
Se 22
11 xyx
yc =⇒=⇒= é uma parábola.
Se 22
222 xyx
yc =⇒=⇒= é uma parábola.
Se 22
333 xyx
yc =⇒=⇒= é uma parábola.
Se 22
444 xyx
yc =⇒=⇒= é uma parábola.
x
z
y
y=x
C=4
C=3
C=2 C=1
Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 3
4. Determine o gradiente da função yxz 2= , no ponto P(1;1).
Solução: jy
fi
x
ff
∂∂+
∂∂=∇
xyx
yx
x
f2
)( 2
=∂
∂=∂∂
; 2
2 )(x
y
yx
y
f =∂
∂=∂∂
2112)1;1( =××=
∂∂
x
f; 11
)1;1( 2 ==∂
∂y
f, logo: jif +=∇ 2)1;1(
5. Averiguar os extremos da função yxxyxz 12153 23 −−+= .
=
=−
+⇒
=−=−+
⇒
=−=−+
⇒
=∂∂
=∂∂
xy
xx
xy
yx
xy
yx
y
zx
z
2
052
02
05
0126
01533
0
02
22222
( )⇒
=+−
⇒ =+−
⇒
=+
_______________
045
___________
045
_________
54 22224
22
xxxxx
x
±=±=
∨
±=±=
⇒ =−
⇒ =−
⇒ =−−
2
1
2
2
_______
01
_______
04
_______________
0)1)(4( 2222
y
x
y
xxxxx
Os pontos críticos são: );1;2(1 −−p );1;2(2p );2;1(3 −−p );2;1(4p
12)2(6)1;2(6 −=−=−−⇒= xxxx fxf
;1226)1;2( =×=xxf ;6)1(6)2;1( −=−=−−xxf ;616)2;1( =×=xxf
6)1(6)1;2(6 −=−=−−⇒= yyyy fyf ; ;616)1;2( =×=yyf
12)2(6)2;1( −=−=−−yyf 1226)2;1( =×=yyf
;6yf xy = 1226)2;1( =×=xyf
;12)2(6)2;1( −=−=−−xyf 616)1;2( =×=xyf
6)1(6)1;2( −=−=−−xyf
Para );1;2(1 −−p ( ) 363672)6()6(12 22 =−=−−−×−=−×⇒ xyyyxx fff ; logo: 36 > 0 e
012<−=xxf portanto )1;2( −−f é máximo local.
Para );1;2(2p ( ) 366612 22 =−×=−×⇒ xyyyxx fff como 36 > 0 e ;012>=xxf
Logo: )1;2(f é mínimo local.
Para );2;1(3 −−p ( ) 363672)6()12(6 22 =−=−−−−=−× xyyyxx fff ; como 36 > 0 e
06 <−=xxf logo )2;1( −−f é um máximo local.
Para );2;1(4p ( ) 366126 22 =−×=−×⇒ xyyyxx fff como 36 > 0 e 06 >=xxf ;
Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 4
Logo: )2;1(f é um mínimo local.
6. Analise os máximos e mínimos de 22 32);( yxyxyxf +−= com a restrição 12 22 =+ yx .
( )yx
x
yxyx
x
f22
32 22
−=∂
+−∂=∂∂
( )yx
y
yxyx
x
f62
32 22
+−=∂
+−∂=∂∂
0
0
==
y
x
0004 =∧=⇒= xyy
P(0;0) => 2=xxf e 6=yyf ; 2−=xyf
=++−=−
⇒
=+=+−
=−⇒
=+=+−
=−⇒
=
==
_______________
0)23(
)1(
12
23
12
462
222
2222
λλ
λλ
λλ
λλ
yx
yx
yx
yyx
xyx
yx
yyx
xyx
kg
gf
gf
yy
xx
=+
+=⇒
=+
=+−=−
12
__________
22
12
232222 yx
yxy
yx
yyx
dxyx λλλ
Em ordem a 1ª equação: λ
λλ
λλλλλ221
2)1(222−
=⇒−
=⇒=−⇒=−⇒x
yx
yxyxyy
Em ordem a 3ª equação: 1444
2122
2122
222222 =
+−+⇒=
−+⇒=+
λλ
λλ
x
xx
xxyx
( ) 22222
222 24441
444
2xx
xx λλλ
λλλ ++−⇒=
+−+⇒ 2444 λλ +−=
=> 2222222 4444442 λλλλλ +−=+−+ xxxx
=> ( ) 22222222 444446444446 λλλλλλλλ +−=−+⇒+−=−+ xxxx
=>3
2
3
2
6
4
446
444 22
22
2
22 =⇒=⇒=⇒
+−+−= xxxxλλ
λλ
⇒
=+−=−
062
022
yx
yx
Filipe M. Lunavo Trabalho do Campo Pág 5
7. Calcule as integrais iteradas
a. ∫ ∫= =
2
01 01
2xydydx
( )∫ ∫=
−==
2
0
2
0
2
0 2
0
22
2
x
x
dxx
dxy
∫ ====
=
2
02
252
0
54
5
16
10
32
10
2
102
xdx
x
b. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ ∫ ∫ ∫ +−+=+=+1
0
2
0
1
0
1
0
20 202222 dxxxdxxydydxx ( )∫ +=
1
0
42 dxx
[ ] 51414 21
02 =×+=+ xx
8. Achar a área entre as curvas 3xy = e xy 4= .
Solução: Primeiro vamos extrair o ponto de intersecção:
==
xy
xy
4
3
04
43
3
=−=
xx
xx ( ) 042 =−xx
−===
2
2
0
x
x
x
( )∫ =−=−=2
0
2
0
423 ..4
42
44 au
xxdxxxA
( ) ( )dxxxdxxx
xxMx ∫∫ −=
+−=2
0
622
0
33 16
2
1
2
44 => 19,12
73
16
2
12
0
73
=
−= xx
Mx
( ) ( ) 26,453
444
2
0
2
0
5342
2
0
3 =
−=⇒−=⋅−= ∫∫
xxMydxxxdxxxxMy
06,14
26,4 ==x
04,34
19,12 ==y
CG�1,06; 3,04)