Trabajo de Fin de Grado. Matematicas.Universidad de Salamanca

Existencia de funcionesmeromorfas en Superficies

de Riemann abiertas

Ruben Martos Prieto

Dirigido por:Pascual Cutillas Ripoll

Indice

1 Introduccion 1

2 Generalidades sobre las Superficies de Riemann 52.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Resultados generalizados para Superficies de Riemann . . . . . . 122.3 El operador ∂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Resultados para el plano complejo C 173.1 El Teorema de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Existencia de funciones meromorfas en abiertos de C . . . . . . . 25

4 Superficies de Riemann abiertas 32

5 Consecuencias y conclusiones 425.1 El Teorema de Behnke-Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2 Existencia de funciones meromorfas en Superficies de Riemann

abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3 Variedades de Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Apendices 50

A Elementos de Topologıa 50A.1 Haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.2 Cohomologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A.2.1 Cohomologıa de Cech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

B Elementos de Analisis Funcional 68B.1 Teorıa General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68B.2 Espacios localmente convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73B.3 Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

C Generalidades 89C.1 Sucesiones y series de funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . 89C.2 Particiones de la unidad y orientabilidad . . . . . . . . . . . . . . 91

Bibliografıa 93

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Resumen

En el presente trabajo se desarrolla parte de la teorıa de las superficiesde Riemann abiertas con el objetivo principal de la demostracion de laexistencia de funciones meromorfas (con ciertas caracterısticas prefijadas)sobre ellas.

En primer lugar, se trata el problema para el caso de abiertos del planocomplejo, siendo el Teorema de Aproximacion de Runge el resultado cen-tral para la teorıa, pues permite demostrar la existencia de solucion paralas ecuaciones no homogeneas de Cauchy-Riemann con lo que podemosconcluir la demostracion de los teoremas de existencia de funciones mero-morfas con partes singulares prefijadas (Teorema de Mittag-Leffler) y condivisor prefijado (Teorema de Weierstrass).

Una vez hecho esto, se desarrollan resultados generales para el casode las superficies de Riemann abiertas con el objetivo de generalizar losteoremas anteriores para tales superficies. Ası, obtendremos el llamadoTeorema de Behnke-Stein generalizando el clasico teorema de Runge. Es-to permite ya deducir las propiedades analogas a las establecidas paraabiertos del plano complejo, obteniendo finalmente la generalizacion delos teoremas de Mittag-Leffler y Weierstrass, y con ello el problema de laexistencia de funciones meromorfas (con parte singular prefijado o divisorprefijado) sobre superficies de Riemann abiertas quedara resuelto.

Para el desarrollo de estas cuestiones se necesitaran conocimientos ele-mentales de variable compleja y de superficies de Riemann. Con idea deintroducir lenguaje, en la seccion 2 se hace una presentacion de las superfi-cies de Riemann en general. Por su parte, el apendice C trata de presentaralgunas cuestiones mas tecnicas sobre variable compleja elemental y su-perficies de Riemann, que se suponen ya conocidas.

La teorıa general de haces y cohomologıa tambien se utiliza segun elplanteamiento seguido en el presente trabajo, de ahı que se haya incluido elapendice A en donde se exponen las definiciones basicas y los resultadosmas importantes sobre esta teorıa. El apendice B trata las cuestionesmas generales del Analisis Funcional que han sido utilizados en nuestrosrazonamientos (cabe destacar, el Teorema de Hahn-Banach, espacios deFrechet o el Lema de Weyl de la teorıa general de distribuciones).

Palabras-clave: superficie de Riemann, variedad de Stein, Runge,Behnke-Stein, funcion meromorfa, Mittag-Leffler, Weierstrass.

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1. Introduccion

El desarrollo de la idea de “Superficie de Riemann” comenzo a mediados delsiglo XIX de la mano del matematico aleman Bernhard Riemann con el intentode extender el dominio de definicion de las funciones holomorfas. La extensionmaxima se logra no sobre el propio plano complejo, sino sobre copias de abiertosdel mismo que se solapan.

Las superficies de Riemann constituyen el lugar natural donde estudiar elcomportamiento global de numerosas funciones, como la funcion logaritmo; parala cual la superficie asociada estarıa formada por infinitos niveles o capas a modode una escalera de caracol infinita.

El estudio del comportamiento de la funcion depende fuertemente de la copiadel abierto en que nos encontremos (del “nivel” de la superficie en que nosencontremos) obteniendo resultados muy diferentes, lo cual constituye un detallemuy a tener en cuenta, sobre todo en la aplicacion a un problema fısico.

Una de las particularidades que poseen algunas funciones complejas es queno son propiamente funciones, pues para un mismo valor de la variable la fun-cion le hace corresponder multiples valores. A este tipo de funciones se les llama“funciones multiformes” y pueden interpretarse (restringiendolas si fuera ne-cesario) como una coleccion de funciones cada una de las cuales tiene comodominio de definicion una copia de un abierto del plano. Ası, cada una de estasfunciones (que se llaman “ramas de la funcion multiforme”) esta definida pormedio de una de las posibilidades que da la funcion multiforme.

Por ejemplo, la funcion f(z) = log(z) definida en C∗ es una funcion multi-forme. En efecto, para cada z0 ∈ C∗, la funcion logaritmo le asigna el numerocomplejo log(z0) := log(|z0|) + it, siendo t el argumento de z0. Ahora bien, elpunto z0 es geometricamente el mismo que |z0|ei(t+2πn) con n ∈ Z. Por tanto,hay infinitas posibilidades para el valor del logaritmo. Aplicando ahora la ideade Riemann, para solucionar este problema se considerarıan varias capas en eldominio de definicion de forma adecuada de modo que cuando el angulo lleguea t+ 2π se pase a la capa superior, obteniendo como superficie de Riemann esaescalera de caracol de la que hablabamos arriba.

Ası pues, el concepto de “Superficie de Riemann” surge inicialmente moti-vado por la idea que acabamos de describir: estudiar el dominio de las funcionesmultiformes haciendo variar la variable z sobre un dominio que puede recubriruna parte del plano complejo varias veces, de modo que la definicion de estasfunciones se sale del propio plano complejo. De esta manera, el concepto de“Superficie de Riemann” esta ligado al de “funcion holomorfa”, es decir, cadafuncion holomorfa determina una superficie de Riemann en concreto.

Sin embargo, mas tarde se desarrollo el estudio de las superficies de Riemanncomo un objeto en sı mismo, esto es, como variedades complejas independientesde las funciones holomorfas que las definieron inicialmente1. Es en este momentoen el que surge una generalizacion de la Geometrıa Diferencial usual que tratacon las variedades diferenciables (es decir, con espacios sobre los que se lleva acabo un estudio de la Geometrıa por medio del calculo diferencial de Rn) para

1Hay que decir que el propio Riemann hablaba en sus trabajos de la nocion de “variedad”como un concepto mas intrınseco al que se manejaba entonces, esto es, sin suponer que elobjeto geometrico en cuestion estuviera sumergido en un cierto espacio afın. Ahora bien,podrıamos citar el libro [12] de H. Weyl de 1913 como uno de los trabajos principales queestablece los fundamentos de la teorıa moderna de las Superficies de Riemann.

1

pasar ahora al estudio de variedades complejas. En este sentido, una superficiede Riemann no es mas que una variedad compleja de dimension 1.

Por otro lado, la teorıa abstracta de las superficies de Riemann se divide endos partes: una parte algebraica y una parte analıtica. La parte algebraica con-siste esencialmente en el estudio de las superficies de Riemann compactas, puescomo es sabido toda superficie de Riemann compacta esta asociada canonica-mente a una curva algebraica del plano proyectivo. Ası, bajo el punto de vistaalgebraico el estudio de una superficie de Riemann compacta, entendida comocurva algebraica, se basa en el estudio de su cuerpo de funciones algebraicas (osea, los cuerpos de grado de trascendencia 1 sobre C); el cual se correspondecon el cuerpo de funciones meromorfas de la superficie2. En cuanto a la parteanalıtica, el problema fundamental trata de establecer la existencia de un cier-to tipo de funciones (para nosotros las meromorfas), segun la estructura quepresente la superficie de Riemann.

Tanto en la parte algebraica como en la parte analıtica, las propiedades to-pologicas de la superficie de Riemann son esenciales, de modo que lo que enun principio parecıa ser un problema algebraico o analıtico se convierte en unproblema topologico. Un ejemplo esclarecedor es la existencia de una determi-nacion uniforme de la funcion logaritmo complejo; se trata de determinar undominio en C donde la funcion logaritmo sea verdaderamente una funcion (esdecir, donde deje de ser una funcion multiforme tal y como hemos explicadoarriba), pues bien, la condicion que debe cumplir dicho dominio para ello estopologica: ser simplemente conexo y no contener al cero.

La diferencia que podemos apuntar entre las vıas algebraica y analıtica pa-ra el estudio de las superficies de Riemann es la manera en que se describe elobjeto geometrico. Algebraicamente, una variedad es descrita en terminos de“esquemas”, con lo que se define el modo en que se “observa” al espacio to-pologico en cuestion, porque dar un esquema es dar la pareja formada por elespacio topologico y un haz de anillos sobre el, con lo que estamos diciendocon que tipo de “observaciones” o “funciones” se esta viendo tal espacio. Elproblema algebraico consiste, por tanto, en estudiar cuales son verdaderamentelos “puntos” que estan siendo observados por ese tipo de funciones; (de ahı queel concepto de “punto” sea tan importante para el algebra) luego nuestro datoes el cuerpo de funciones racionales del correspondiente anillo de funciones dela variedad con el que se reconstruye la propia variedad.

Analıticamente, la descripcion de una variedad se hace a la inversa, esto es,se define una variedad diciendo explıcitamente quienes son los “puntos” que laforman en terminos del tipo de “observacion” que elijamos para ello. Por ejem-plo, una subvariedad diferenciable se define como los ceros de un conjunto defunciones diferenciables, es decir, se define como el conjunto de puntos verifi-cando las correspondientes condiciones que dan dichas funciones diferenciables.El problema abstracto que se plantea ahora, es precisamente la existencia deese tipo de “funciones” con las que deberemos observar dichos “puntos”.

En este sentido, el presente trabajo lleva a cabo un estudio analıtico de las

2Esta equivalencia entre curvas algebraicas y superficies de Riemann compactas (que alfinal se reduce a una equivalencia entre las categorıas del conjunto de cuerpos de funcionesalgebraicas y del conjunto de cuerpos de funciones meromorfas), permite estudiar la teorıade funciones meromorfas en una superficie de Riemann compacta por tecnicas puramentealgebraicas. Esta idea se recoge en la llamada Teorıa de Dedekind-Weber, de la que puedeverse un detallado estudio en [3].

2

superficies de Riemann abiertas (esto es, no compactas). La conclusion final quese alcanza es precisamente la afirmacion de que existen funciones meromorfas(con parte singular prefijada o con divisor prefijado) definidas sobre tales super-ficies, generalizando ası el caso que se tiene para abiertos del plano complejo.3.Ahora bien, para alcanzar dicha conclusion se debe plantear otro problema comoexplicamos a continuacion.

En primer lugar, para abiertos del plano complejo la definicion de funcionholomorfa como una serie de potencias localmente sigue la idea de Weierstrassde interpretar las funciones como si fueran polinomios generalizados. Ası, tal ycomo se detallara mas adelante, el problema inicial que se plantea es la aproxi-macion de funciones holomorfas por polinomios. Sin embargo, diferentes ejem-plos muestran que esta aproximacion no puede realizarse globalmente en todoel dominio de definicion de la funcion holomorfa, dependiendo fuertemente dela naturaleza topologica de dicho dominio. Quien se encargo de resolver esteproblema fue el matematico aleman Carl Runge4 y en lugar de plantear la apro-ximacion directamente por polinomios, planteo la aproximacion por funcionesracionales. El resultado que demostramos primero aquı es que la aproximaciones posible por medio de funciones holomorfas cuando el dominio de definicionde la funcion holomorfa cumple cierta condicion topologica; mas concretamentesi U es un abierto de C y f es una funcion holomorfa en U , entonces la funcionf es lımite en O(U) de una sucesion de funciones holomorfas cuando U r Kno tiene componentes conexas relativamente compactas, para todo subconjuntocompacto K de U . Este resultado es conocido como el Teorema de Aproximacionde Runge y fue publicado en 1885 en [13].5

Como se vera, el Teorema de Aproximacion de Runge permite deducir, parael caso de abiertos del plano complejo, la existencia de funciones meromorfas(con ciertas caracterısticas prefijadas) en dichos abiertos, de modo que el proble-ma abstracto planteado arriba estarıa resuelto para el caso del plano complejoC. Los teoremas que nos dan la existencia de estas funciones son los llamadosTeorema de Mittag-Leffler y Teorema de Weierstrass6; el primero de ellos nosdice que podemos construir una funcion meromorfa cuyos polos y cuyo desarro-llo de Laurent estan prefijados, mientras que el segundo nos dice que podemosconstruir la funcion meromorfa prefijando sus polos, sus ceros y los ordenes de

3La teorıa desarrollada para las superficies de Riemann abiertas constituye una verdaderageneralizacion de los resultados que se tienen para abiertos del plano complejo. Para el casode las superficies de Riemann compactas, la misma conclusion referida a los teoremas deexistencia de funciones meromorfas no es cierta de forma tan general y es necesario imponeralguna condicion anadida para que el problema tenga solucion. En [6] o tambien en [3] puedeverse un estudio de las superficies de Riemann compactas en este sentido.

4Carl David Tolme Runge (1856-1927) fue un matematico y fısico aleman nacido en laciudad de Bremen y cuyos intereses incluıan la espectroscopıa, la geodesia y la astrofısica.

5Este teorema degenera en otras dos versiones con las que se demuestra que la aproximacionpuede darse por funciones racionales controlando en cierto sentido sus polos, lo cual permitıadeducir finalmente (gracias a los argumentos que empleo Runge en su trabajo original) laaproximacion polinomial planteada desde el comienzo, de manera que ahora la condiciontopologica que se requiere es que el dominio U de definicion fuera simplemente conexo. Runge,sin embargo, no habla de ello en su trabajo.

6Como hemos comentado, para las superficies de Riemann compactas los teoremas deMittag-Leffler y de Weierstrass no son ciertos de forma general. Para el Teorema de Mittag-Leffler, el Teorema de la Dualidad de Serre nos da cuales son las condiciones necesariasy suficientes para que sea cierto sobre una superficie de Riemann compacta. El analogo alTeorema de Weierstrass en superficies de Riemann compactas es el llamado Teorema de Abel.Todo ello puede verse en [6] o tambien en [3]

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dichos polos y ceros.En vista de que el Teorema de Aproximacion de Runge es el que permi-

te demostrar despues los teoremas de existencia de funciones meromorfas quebuscamos, es obvia la intencion de generalizar este teorema para el caso de lassuperficies de Riemann abiertas que nos ocupan. Dicha generalizacion se recogeen el llamado Teorema de Behnke-Stein y es llevada a cabo por los matematicosalemanes Heinrich Behnke7 y Karl Stein8 cuyo trabajo fue publicado en 1948en [14] en “Mathematishche Annalen”9.

Pues bien, el mencionado teorema nos da cual ha de ser la condicion to-pologica del abierto U de una superficie de Riemann abierta V para que unafuncion holomorfa f en el pueda ser aproximada en los subconjuntos compactosde U por una sucesion de funciones holomorfas. Dicha condicion es que V r Uno tenga componentes conexas compactas. Disponiendo ya del teorema de apro-ximacion para las superficies de Riemann abiertas, toda la teorıa posterior quese apoya en este resultado es completamente analoga a la desarrollada para losabiertos del plano complejo, de modo que utilizando el Teorema de Behnke-Stein, los teoremas de Mittag-Leffler y Weierstrass son generalizables de formainmediata para las superficies de Riemann abiertas, obteniendo los teoremas deexistencia de funciones meromorfas sobre tales superficies, como se querıa.

Mas alla de las generalizaciones del Teorema de Mittag-Leffler y del Teoremade Weierstrass, el Teorema de Behnke-Stein permite deducir propiedades quecaracterizan a las superficies de Riemann abiertas y que, posteriormente, seaxiomatizan para dar lugar al concepto de variedad de Stein, de modo que elTeorema de Behnke-Stein podrıa enunciarse ahora diciendo que “Toda superficiede Riemann abierta es una variedad de Stein”.

Haciendo referencia a lo que comentamos al comienzo, el problema inicialque motiva el estudio de las superficies de Riemann es el de saber cual es eldominio natural de definicion de las funciones holomorfas. Un abierto U de Cnse dice que es un “dominio de holomorfıa” si para cada punto z0 ∈ ∂U existeuna funcion holomorfa en U que no puede extenderse como funcion holomorfaen algun entorno de z0. Se demuestra que en C todos los abiertos son dominiosde holomorfıa, pero en el caso de varias variables complejas no es cierto; demodo que el problema consiste en caracterizar este tipo de dominios. En estesentido surge el concepto de “variedad de Stein” (introducio en 1951 por KarlStein) con el objetivo de generalizar el concepto de “dominio de holomorfıa” delespacio complejo n-dimensional.

No es intencion del presente trabajo hacer un estudio de los problemas plan-teados en terminos de variedades de Stein, pero al final del mismo se hara unabreve introduccion a este lenguaje para poner de manifiesto que este tipo devariedades representan la generalizacion de las superficies de Riemann abiertas.

7Heinrich Behnke (1898-1979) fue un matematico aleman nacido en la ciudad de Horn cuyotrabajo se centra en Analisis Complejo.

8Karl Stein (1913-2000) fue un matematico aleman nacido en la ciudad de Hamm cuyotrabajo se centra en Analisis Complejo y Criptografıa.

9Cabe decir que el resultado fue demostrado antes en 1943, pero su publicacion se retraso acausa de la Segunda Guerra Mundial.

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2. Generalidades sobre las Superficies de Rie-mann

En terminos mas generales y dejando de lado las ideas primeras que moti-van el concepto de superficie de Riemann, una tal superficie se va a presentaraquı como “algo mas” que una superficie diferenciable, en el sentido de que, enlugar de exigir la diferenciabilidad para sus funciones de transicion; se exigira laholomorfıa de las mismas. De esta manera, no se refleja de modo claro todo loque hemos explicado en la introduccion; sin embargo, representa un modo utily sencillo para construir toda la teorıa relacionada.

2.1. Definiciones y ejemplos

2.1.1 Definicion. Una superficie topologica V es un espacio topologico Haus-dorff en el que cada punto tiene un entorno abierto homeomorfo a un abiertode R2.

2.1.2 Definicion. Sea V una superficie topologica. Un atlas holomorfo en V esuna familia de parejas (cada una de las cuales se llamara carta) (Ui, ϕi)i∈I ,donde Ui es un abierto de V y ϕi es un homeomorfismo de Ui con un abierto deC para cada i ∈ I de modo que ademas se verique lo siguiente:

1. El conjunto Uii∈I es un recubrimiento de V.

2. Si i, j ∈ I y Ui∩Uj 6= φ, la composicion ϕjϕ−1i : ϕi(Ui∩Uj)→ ϕj(Ui∩Uj)es holomorfa entre abiertos de C.

A estas aplicaciones se les llama funciones de transicion.

2.1.3 Observaciones. (a) Como la composicion ϕj ϕ−1i debe ser holomorfay esto es cierto para todos i, j ∈ I, entonces permutando los ındices sededuce que su inversa ϕi ϕ−1j tambien debe ser holomorfa. Por tanto,podemos decir que las funciones de transicion son isomorfismos holomorfosentre abiertos de C.

(b) En palabras estamos diciendo que las funciones de transicion representanlos cambios de coordenadas entre dos cartas del atlas considerado en V. Lacondicion de atlas holomorfo establece que dicho cambio de coordenadasdebe ser holomorfo.

2.1.4 Definicion. Sea V una superficie topologica. Dos atlas holomorfos en Vse dicen equivalentes si su union es otro atlas holomorfo.

2.1.5 Observaciones. (a) Para que dos atlas holomorfos sean quivalentes bas-ta, en realidad, que su union verifique la condicion (2) de la definicion deatlas holomorfo, pues la condicion (1) siempre se va a cumplir, obviamente.Cuando ocurre esto, diremos que las cartas de sendos atlas holomorfos soncompatibles.

(b) Puesto que la composicion de isomorfismos holomorfos es un isomorfismoholomorfo, es facil ver que la nocion de atlas holomorfos equivalentes estable-ce una relacion de equivalencia en el conjunto de todos los atlas holomorfosde V, lo que permite considerar el correspondiente conjunto cociente.

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2.1.6 Definicion. Sea V una superficie topologica. Se llama estructura holo-morfa en V a una clase de equivalencia en V de atlas holomorfos.

2.1.7 Observacion. Ası, una estructura holomorfa en V consiste en la eleccionde un atlas holomorfo. Toda estructura holomorfa en V contiene un unico atlasmaximal, de manera que dado un atlas cualquiera de la estructura, dicho atlasmaximal consiste en todas las cartas de V compatibles con las cartas del atlasescogido.

2.1.8 Definicion. Una superficie de Riemann es una superficie topologica co-nexa en la que se considera una estructura holomorfa.

2.1.9 Observacion. En la definicion de superficie de Riemann imponemos lacondicion de que la superficie topologica sea, como espacio topologico, conexa.Esto es ası porque en caso contrario, cada componente conexa de la superficiepodrıa pensarse como una superficie topologica independiente del resto, luegose estarıan considerando multiples superficies topologicas simultaneamente, queno es nuestra intencion.

2.1.10 Ejemplos. (a) Sea U un abierto del plano complejo C. Sea F :=(U, z) la familia formada por la unica carta (U, z) donde z : U → Use le considera como homeomorfismo de U consigo mismo, pues representala coordenada natural del plano complejo.

Es obvio que F es un atlas holomorfo en U . Con la estructura holomorfadefinida por este atlas, U es una superficie de Riemann.

En particular, esto es cierto cuando U = C

(b) Sea V una superficie de Riemann cualquiera y U ⊆ V un abierto suyo.

Sea F = (Ui, ϕi)i∈I un atlas holomorfo que defina la estructura holomorfade V. Llamemos FU a la familia (U ∩ Ui, ϕi|U∩Ui)i∈I . Es inmediato verque FU constituye un atlas holomorfo para U y ademas si F′ es otro atlasholomorfo en V que sea equivalente a F, entonces FU y F′U son tambienequivalentes.

Por lo tanto, la estructura holomorfa en U dada por FU esta bien definiday se le llama estructura holomorfa en U inducida por la de V. Obviamente,U es tambien una superficie de Riemann con esta estructura.

(c) Plano complejo ampliado

Llamaremos plano complejo ampliado, y lo denotaremos por C, al planocomplejo C junto con un sımbolo ∞ /∈ C, que llamaremos punto del in-finito. Es importante decir que la finalidad de anadir el punto ∞ a C esexclusivamente topologica y no algebraica, pues no es posible extender a Cla suma y producto definidos en C, de manera que C tenga estructura decuerpo. En cambio, sı es posible extender la topologıa de C a C, de modoque C sea un espacio compacto.

En efecto, C no es mas que la compactificacion de Alexandroff de C, o sea,se le considera con la siguiente topologıa: los subconjuntos abiertos de C sonlos abiertos de C y los complementarios en C de los subconjuntos compactosde C. Es facil ver que esto es, efectivamente, una topologıa para C.

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Definido ya topologicamente el plano complejo ampliado, veamos como Ces una superficie de Riemann. La estructura holomorfa en C se construyedel siguiente modo:

Tomemos los subconjuntos

U0 := C y U1 := C∗ ∪ ∞ = Cr 0 ,

que son claramente abiertos en C segun la topologıa que hemos definido.Consideremos ahora las siguientes aplicaciones

ϕ0 : U0 −→ C ϕ1 : U1 −→ C

z 7−→ ϕ0(z) := z z 7−→ ϕ1(z) :=

1z , si z ∈ C∗

0 , si z =∞

Se demuestra facilmente que ϕ0 y ϕ1 son homeomorfismos. Consideramos,por tanto, la familia F := (U0, ϕ0), (U1, ϕ1), que es un atlas holomorfoen C porque un pequeno calculo muestra que (ϕ1 ϕ−10 )(z) = 1

z estando

la composicion ϕ1 ϕ−10 definida, ademas, en C∗ (y tomando valores en C∗tambien).

2.1.11 Nota. A los homeomorfismos ϕ0 y ϕ1 que definimos arriba repre-sentando las respectivas coordenadas en U0 y en U1, tambien se les suelendenotar por z y z′, respectivamente. De manera que el cambio de coorde-

nadas, segun lo que acabamos de obtener, se escribirıa z′(p)def.= 1

z(p) , para

todo p ∈ U0 ∩ U1.

Con la estrucutra holomorfa definida por F, C es una superficie de Riemann.De hecho, C es una superficie de Riemann compacta.

(d) Recta proyectiva compleja

En C2 r (0, 0) consideramos la siguiente relacion binaria:

(z1, z2) ∼ (w1, w2)def.⇔ existe λ ∈ C∗ tal que (w1, w2) = λ(z1, z2)

Esta relacion es de equivalencia como puede comprobarse facilmente. Alconjunto cociente C2r(0, 0) / ∼, o sea, el conjunto de las clases de equiva-lencia; lo denotaremos por P1 y es lo que se llama recta proyectiva compleja.

Como vemos, los puntos de la recta proyectiva pueden identificarse con unpar de numeros complejos (t0, t1) (siendo t0, t1 no simultaneamente nulos).Estos t0, t1 estan determinados salvo multiplicacion por un escalar no nuloλ ∈ C∗ cualquiera y se llaman coordenadas homogeneas del punto de P1

considerado.

A la recta proyectiva compleja P1 = C2 r (0, 0) / ∼ le dotamos de latopologıa cociente de C2r(0, 0), es decir, se trata de la topologıa final de laaplicacion natural de paso al cociente π : C2r(0, 0) → C2r(0, 0) / ∼=P1, que es por definicion la topologıa mas fina para la cual la aplicacion depaso al cociente es continua. Ası, por la propia definicion de esta topologıaes claro que un subconjunto U de P1 es un abierto si y solo si π−1(U) esun abierto de C2 r (0, 0). Con esta topologıa, es inmediato que la rectaproyectiva compleja P1 es un espacio topologico Hausdorff.

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Tomemos los subconjuntos:

U0 :=

(t0, t1) ∈ P1 : t0 6= 0

y U1 :=

(t0, t1) ∈ P1 : t1 6= 0,

que son abiertos de P1 como se deduce facilmente. Consideremos ahora lasaplicaciones siguientes:

ϕ0 : U0 −→ C ϕ1 : U1 −→ C(t0, t1) 7−→ ϕ0((t0, t1)) := t1

t0(t0, t1) 7−→ ϕ1((t0, t1)) := t0

t1

Se demuestra de forma sencilla que ϕ0 y ϕ1 son homeomorfismos. Consi-deramos ası, la familia F := (U0, ϕ0), (U1, ϕ1), que constituye un atlasholomorfo para la recta proyectiva compleja porque un pequeno calculomuestra que (ϕ1 ϕ−10 )(z) = 1

z estando la composicion ϕ1 ϕ−10 defini-da, ademas, en C∗ (y tomando valores en C∗ tambien). Observese que losabiertos U0 y U1 considerados forman, efectivamente, un recubrimiento dela recta proyectiva.

Con la estructura holomorfa definida por F, la recta proyectiva compleja P1

es una superficie de Riemann.

(e) Esfera de Riemann

Consideremos el siguiente subconjunto del espacio euclıdeo R3:

S :=

(x1, x2, x3) ∈ R3 : x21 + x22 + x23 = 1,

que representa la superficie esferica de R3 centrada en el origen de coorde-nadas (0, 0, 0) y de radio 1. La topologıa de S sera la inducida por la deR3.

En dicha superficie, distinguimos dos puntos que, por motivos obvios, lla-maremos polo norte N y polo sur S correpondiendose con los puntos de R3

de coordenadas (0, 0, 1) y (0, 0,−1), respectivamente.

Habiendo fijado estos puntos se consideran los siguientes abiertos de la su-perficie S:

U0 := S r N y U1 := S r S

y sobre cada uno de ellos se definen las aplicaciones siguientes:

ϕ0 : U0 −→ Cp 7−→ ϕ0(p) := α1(p) + iα2(p)

ϕ1 : U1 −→ Cp 7−→ ϕ1(p) := β1(p)− iβ2(p)

donde (α1(p), α2(p)) (resp. (β1(p), β2(p))) representan las coordenadas enx3 = 0 = R2 = C de la proyeccion estereografica del punto p desde el polonorte (resp. desde el polo sur).

Se ve sin dificultad que las aplicaciones ϕ0 y ϕ1 son homeomorfismos. Con-sideramos ası, la familia F := (U0, ϕ0), (U1, ϕ1) cuyos abiertos U0, U1

constituyen claramente un recubrimiento de la esfera S y un calculo mues-tra que F es un atlas holomorfo en la esfera.

Con la estructura holomorfa definida por F, resulta que S es una superfi-cie de Riemann. Observese que, de hecho, S es una superficie de Riemanncompacta (por ser un subconjunto cerrado y acotado del espacio euclıdeoR3) y se le llama esfera de Riemann.

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2.1.12 Observacion. Geometricamente, es lıcito pensar que la recta proyectivacompleja y el plano complejo ampliado, que hemos descrito en los ejemplos an-teriores; puedan estar relacionados. Pues bien, resulta que son el mismo espaciotopologico.

En efecto, el homeomorfismo que se establece entre ellos consiste en definircual queremos que sea el punto del infinito para nuestra recta proyectiva:

f : C = C ∪ ∞ −→ P1 = C2 r (0, 0) / ∼

z 7−→ f(z) :=

[1, z] , si z 6=∞[0, 1] , si z =∞

En este caso, estamos diciendo que el punto [0,1] de la recta proyectiva es el queva a representar al punto del infinito.

Como C y P1 son el mismo espacio topologico y el plano complejo ampliadoera compacto, entonces la recta proyectiva compleja tambien lo es, luego P1 esuna superficie de Riemann compacta. Ademas, el homeomorfismo f permite de-ducir que C y P1 tienen incluso la misma estructura holomorfa como superficiesde Riemann, pues los abiertos de sendos atlas holomorfos se identifican, comose ve inmediatamente.

Observese, sin embargo, que el punto del infinito no puede representarsepor ningun punto del plano euclıdeo y, por ello, la recta proyectiva compleja(o el plano complejo ampliado) no es representable. Ahora bien, la esfera deRiemann constituye una visualizacion de la recta proyectiva, ya que la estructuraholomorfa de la esfera de Riemann es la misma que la de la recta proyectivacompleja en el siguiente sentido:

g : S −→ P1

p 7−→ g(z) :=

[1, α1(p) + iα2(p)] , si p 6= N

[0, 1] , si p = N

Este es un homeomorfismo entre ambos espacios topologicos y consiste en en-tender el polo norte N como el punto del infinito de la recta proyectiva a travesde la proyeccion estereografica desde el polo norte. De esta manera, los abiertosde sendos atlas holomorfos se identifican, como se ve inmediatamente.

6. Toro Complejo de dimension 1

Sean ω1, ω2 ∈ C dos numeros complejos linealmente independientes sobreR. Consideremos el subgrupo aditivo de C generado por estos vectores, esdecir,

G := mω1 + nω2m,n∈ZA continuacion consideramos el correspondiente grupo cociente V := C/Gdotandolo de la topologıa final de la proyeccion natural de paso al cociente

π : C→ C/G def.= τ , esto es, la topologıa mas fina que hace continua a π.

Al espacio topologico que acabamos de construir es al que se le llama torocomplejo de dimension 1 y es facil ver que es un espacio Hausdorff.

Ademas, V es un espacio topologico compacto. En efecto, dados los ge-neradores ω1, ω2 del grupo G, consideremos el paralelogramo cerrado devertices ω1 + ω2, −ω1 + ω2, −ω1 − ω2 y ω1 − ω2, que denotaremos por P .

9

Por la propia definicion de V y la construccion de este paralelogramo, esclaro que π(P ) = τ . Finalmente, como π es continua y P es un compacto(por ser un subconjunto cerrado y acotado de C), deducimos que V escompacto, como querıamos.

Dado z0 ∈ C, sea Dz0 un disco abierto centrado en z0 dentro el paralelo-gramo cuyos vertices son: z0+ −ω1+ω2

2 , z0+ ω1+ω2

2 , z0+ −ω1−ω2

2 , z0+ ω1−ω2

2

Con esta eleccion de Dz0 , resulta que dos trasladados cualesquiera deDz0 por el grupo G son disjuntos, de modo que π−1(π(Dz0)) es la unionde todos los trasladados posibles de Dz0 por elementos de G (pues suselementos son los numeros complejos que se diferencian de un numero deDz0 en un elemento de G, por definicion de la relacion de equivalencia queproduce G), o sea, π−1(π(Dz0)) = (

⋃m,n∈Z

mω1 + nω2) +Dz0 .

Resulta que π|Dz0 : Dz0 → π(Dz0) es un homeomorfismo y la familiaF := (π(Dz0), ϕz0)z0∈C, donde ϕz0 denota la aplicacion inversa de π|(que es un homeomorfismo de π(Dz0) con Dz0) es un atlas holomorfo paraτ como muestra un pequeno razonamiento utilizando el hecho de que Ges un grupo discreto.

Con la estructura holomorfa definida por F, el toro es una superficie deRiemann. De hecho, el toro τ es una superficie de Riemann compacta.

2.1.13 Observacion. Por la observacion 2.1.12, el plano complejo ampliado,la recta proyectiva compleja y la esfera de Riemann son la misma superficie deRiemann. Ası pues, los ejemplos (c), (d), (e), (6) anteriores se pueden resumiren dos: una esfera y un toro.

2.1.14 Definicion. Sea V una superficie de Riemann. Una funcion f : V → Cse dice que es holomorfa en un punto p ∈ V si existe una carta (U,ϕ) de unatlas holomorfo que defina la estructura holomorfa de V con p ∈ U tal que

f ϕ−1 : ϕ(U) −→ C

es holomorfa en un entorno de ϕ(p).Se dira que f es holomorfa en V si f es una funcion holomorfa para todo

punto p ∈ V.Al conjunto de funciones holomorfas en V se le denotara por O(V)

2.1.15 Observaciones. (a) La definicion anterior no depende de la carta(U,ϕ) escogida ni tampoco del atlas holomorfo escogido, como se compruebainmediatamente.

(b) De la misma manera puede definirse una funcion holomorfa sobre un abiertode la superficie de Riemann V utilizando la estructura holomorfa de dichoabierto herededa de la de V (ver (b) de los ejemplos anteriores). Observeseque si f es una funcion holomorfa en V, entonces tambien lo es en cualquierade sus abiertos.

(c) Puede comprobarse con la definicion, que la suma y el producto de funcionesholomorfas en V es de nuevo una funcion holomorfa en V. Las constantestambien son funciones holomorfas en V. Por tanto, resulta que el conjuntoO(V) es una C-algebra.

10

2.1.16 Definicion. Sean V, W dos superficies de Riemann. Una aplicacioncontinua f : V → W se dice que es holomorfa en un punto p ∈ V si existencartas (U,ϕ) de un atlas holomorfo que defina la estructura holomorfa de V y(V, ψ) de un atlas holomorfo que defina la estructura holomorfa deW con p ∈ Uy f(p) ∈ V tales que la aplicacion entre abiertos de C:

ψ f ϕ−1 : ϕ(U ∩ f−1(V )) −→ ψ(f(U) ∩ V )

es holomorfa en un entorno de ϕ(p).Diremos que f es holomorfa en V si f es una aplicacion holomorfa para todo

punto p ∈ V.

2.1.17 Observaciones. (a) De nuevo, la definicion anterior no depede de lascartas (U,ϕ) y (V, ψ) escogidas ni de los atlas holomorfos escogidos, comose comprueba inmediatamente.

(b) Queda definida al mismo tiempo una aplicacion holomorfa entre abiertosde las superficies de Riemann V y W utilizando la estructura holomorfa dedichos abiertos herededa de la de la correspondiente superficie.

(c) Puede comprobarse sin dificultad que la composicion de aplicaciones holo-morfas entre superficies de Riemann es de nuevo una aplicacion holomorfaentre superficies de Riemann.

(d) Si f : V → W es una aplicacion holomorfa entre superficies de Riemanny V es un subconjunto abierto cualquiera de W, entonces siempre se tieneinducido de forma natural un homomorfismo entre los anillos de funcionesholomorfas O(V ) y O(f−1(V )) del siguiente modo:

f∗ : O(V ) −→ O(f−1(V ))h 7−→ f∗(h) := h f

A este homomorfismo se le llamara pull-back de f .

2.1.18 Definicion. Una aplicacion holomorfa entre superficies de Riemannf : V → W se dice que es un isomorfismo holomorfo si f es biyectiva y suinversa tambien es una aplicacion holomorfa.

En tal caso, se dira que las superficies de Riemann V yW son analıticamenteisomorfas.

Aplicando las definiciones que venimos dando, no muestra dificultad la de-mostracion de la siguiente:

2.1.19 Proposicion. Sea V una superficie de Riemann y F un atlas holomorfoque defina la estructura holomorfa de V. Si U es un subconjunto abierto de Vy ϕ : U → C es una funcion compleja en U , entonces las siguientes condicionesson equivalentes:

1. ϕ es holomorfa y univalente.

2. ϕ es un isomorfismo holomorfo de U con un abierto ϕ(U) de C.

3. ϕ es un homeomorfismo de U con un abierto de C y F ∪ (U,ϕ) es otroatlas holomorfo en V.

11

Este resultado motiva la siguiente:

2.1.20 Definicion. Sea V una superficie de Riemann. Un subconjunto abiertoU de V en el que haya definida una funcion compleja ϕ verificando cualquierade las condiciones de la proposicion anterior, se llamara abierto coordenado deV y a la funcion ϕ se le llamara coordenada (holomorfa) en U .

2.1.21 Observaciones. (a) Si F = (Ui, ϕi)i∈I es un atlas holomorfo defi-niendo una estructura holomorfa en la superficie de Riemann V, entoncesde la propia definicion se sigue que los abiertos Ui son abiertos coordenadosen V con ϕi como la correspondiente coordenada, para cada i ∈ I.

(b) Sea U un abierto coordenado cualquiera en V con coordenada holomorfa ϕ.Por verificarse la condicion (3) de la proposicion 2.1.19, entonces es claro quela pareja (U,ϕ) tambien es valida para comprobar la condicion de holomorfıaen un punto p ∈ V de una funcion definida en V.

Entre todos los abiertos coordenados que se puedan considerar en una super-ficie de Riemann, hay un caso particular especialmente importante que definimosa continuacion:

2.1.22 Definicion. Sea V una superficie de Riemann. Un disco coordenadoD en V con coordenada ϕ es un subconjunto abierto de V tal que hay unacoordenada holomorfa ϕ en algun entorno abierto de D que identifica a D conun disco de C.

Al punto de D que se transforma en el centro del disco ϕ(D) se le llamacentro de D (respecto de la coordenada ϕ) y al radio de ϕ(D) se le llama radiode D (respecto de la coordenada ϕ).

2.1.23 Observacion. Hay que notar que una superficie de Riemann es, enparticular, una variedad diferenciable y como tal podemos hacer un “AnalisisComplejo” sobre ella distinguiendo la carta local en la que estemos trabajando.

En este sentido, si f es una funcion holomorfa en V, entonces sabremosderivarla en un punto p ∈ V respecto de una coordenada fijada. En efecto, si(U,ϕ) es un abierto coordenado conteniendo al punto p, entonces ϕ(p) representaal punto p como numero complejo en C respecto de la coordenada natural z deC y podemos definir

∂f

∂ϕ(p) :=

∂(f ϕ−1)

∂z(ϕ(p))

2.2. Resultados generalizados para Superficies de Rie-mann

Vistas las definiciones del apartado anterior, podemos decir que una super-ficie de Riemann se reduce localmente a un abierto del plano complejo, pues losabiertos coordenados en una superficie de Riemann son isomorfos a abiertos deC. Observese que cada punto de la superficie estara contenido en diferentes car-tas y ninguna de ellas es distinguible de las demas. Por este motivo, llevaremossobre las superficies de Riemann aquellas nociones de variable compleja en elplano que no dependan del abierto de C escogido.

En este sentido, la teorıa de variable compleja conocida sobre C se “copia”practicamente para el caso de las superficies de Riemann.

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2.2.1 Nota. Como consecuencia de esto, a lo largo del presente trabajo losresultados que se expongan referidos a abiertos del plano complejo (que nonecesiten hipotesis anadidas sobre los mismos) son validos y generalizables deforma inmediata para el caso de superficies de Riemann. Cuando esto sea ası,se hara notar o bien se sobreentendera que esto es ası como por ejemplo sucedecon la Teorıa de Distribuciones desarrollada en el apendice B.

Ası, el conocido Principio de Prolongacion Analıtica de variable complejapara abiertos de C junto con todas sus consecuencias sigue siendo cierto sobreuna superficie de Riemann. A su vez, puede darse una generalizacion de esteresultado para el caso de aplicaciones holomorfas entre superficies de Riemann:

2.2.2 Teorema (Principio de Prolongacion Analıtica). Sean V y W dos super-ficies de Riemann y f : V → W una aplicacion holomorfa entre ellas. Si f esconstante en un subconjunto no discreto de V, entonces f es constante en todaV.

Otro resultado basico de variable compleja que se lleva a las superficies deRiemann de forma inmediata es que toda funcion holomorfa no constante sobreuna superficie de Riemann es abierta (generalizable tambien para el caso deaplicaciones holomorfas); y como consecuencia el conocido Principio del modulomaximo:

2.2.3 Teorema (Principio del modulo maximo). Sea V una superficie de Rie-mann y f : V → C una funcion holomorfa no constante en ella. Entonces, |f |nunca alcanza su maximo en V (salvo que fuera constante, obviamente).

Por otro lado, lo mas elemental es ver que toda funcion holomorfa en undisco coordenado de una superficie de Riemann puede expresarse como suma deuna serie de potencias de la coordenada.

En efecto, sea D un disco coordenado con coordenada ϕ en una superficie deRiemann V. Sea p0 el centro del disco D. Si f es una funcion holomorfa en D,entonces por definicion resulta que f ϕ−1 : ϕ(D)→ C es una funcion holomorfa(utilizando la observacion (b) de 2.1.21) y como consecuencia sabemos que en

un entorno de cada punto de ϕ(D) se verifica (f ϕ−1)(z) =∞∑n=0

an (z − z0)n

con an ∈ C, para cada n ∈ Z+ y siendo z0 el centro del disco ϕ(D) de C.Llamemos p := ϕ−1(z) ∈ D. Sustituyendo en la expresion queda:

f(p) =

∞∑n=0

an (ϕ(p)− ϕ(p0))n

lo cual es cierto para todo punto p ∈ D; que es precisamente lo que querıamosdemostrar.

Analogamente, podemos demostrar que una funcion holomorfa en un discocoordenado sin su centro puede desarrollarse en serie de Laurent, de modo quecon las notaciones precedentes; llamando p := ϕ−1(z) ∈ Dr p0 escribirıamos

f(p) =

∞∑n=−∞

an (ϕ(p)− ϕ(p0))n

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lo cual es cierto para todo punto p ∈ D r p0, siendo la serie uniformementeconvergente en los compactos de D r p0.

En virtud de la expresion que acabamos de obtener sobre el desarrollo deLaurent de una funcion holomorfa en un disco coordenado D sin su centro p0 ydistinguiendo la forma que presente la parte singular de dicho desarrollo, obte-nemos igual que para discos sin centro en el plano complejo tres posibilidadesque dan lugar a la clasificacion de las singularidades aisladas para una funcionf como la de arriba:

1. Singularidad evitable

El punto p0 es una singularidad evitable cuando todos los coeficientes desubındice negativo del desarrollo de Laurent son nulos o equivalentementecuando f esta acotada en algun entorno de p0 o equivalentemente si existe

lımp−→p0

f(p) ∈ C.

2. Polo

El punto p0 es un polo para la funcion cuando todos los coeficientes desubındice negativo del desarrollo de Laurent son nulos salvo un conjuntofinito de ellos o equivalentemente si lım

p−→p0f(p) =∞.

Se dira que el punto p0 es un polo de orden k ∈ N si k es el maximo talque a−k 6= 0.

3. Singularidad esencial

El punto p0 es una singularidad esencial cuando infinitos coeficientes desubındice negativo del desarrollo de Laurent son distintos de cero o equi-valentemente cuando la imagen por f de cualquier entorno reducido de p0es densa en C o equivalentemente cuando no existe lım

p−→p0f(p) (ni finito

ni infinito).

2.2.4 Observacion. En las equivalencias mencionadas se han utilizado losanalogos al Teorema de las singularidades evitables de Riemann y al Teoremade Weierstrass conocidos de variable compleja, que siguen siendo validos paralas superficies de Riemann.

2.2.5 Definicion. Una funcion meromorfa en una superficie de Riemann V esuna funcion que este definida y sea holomorfa en el complementario en V dealgun subconjunto discreto S tal que no tenga ninguna singularidad esencial enS.

Al conjunto de funciones meromorfas en V se denotara por M(V).

2.2.6 Observacion. Es inmediato ver que el conjunto M(V) tiene estructurade anillo con la suma y producto usuales de funciones. Ademas, utilizando elPrincipio de Prolongacion Analıtica se deduce facilmente que M(V) tambientiene estructura de cuerpo.

Una de las consecuencias que se obtienen del Principio de ProlongacionAnalıtica es que el anillo de funciones holomorfas de una superficie de Riemann,O(V); es un anillo ıntegro y como tal es lıcito considerar su cuerpo de fracciones,pero ¿quien es este cuerpo, realmente?

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Por definicion, dicho cuerpo consiste en el cociente de funciones holomorfascuyo denominador no sea identicamente nulo en V. Es facil ver que el cuerpoM(V) se corresponde con esta definicion, pero localmente. Pues bien, un proble-ma general que se plantea es ver que este cuerpo no se reduce a las constantes.

Como aplicacion del Teorema de Weierstrass (que se demostrara mas adelan-te), se vera que el cuerpo de funciones meromorfas de una superficie de Riemannabierta V es exactamente el cuerpo de fracciones del anillo O(V).

Observese que para el caso en que V sea una superficie de Riemann compacta,resulta que sus unicas funciones holomorfas son las constantes, esto es, O(V) =C; como se deduce del Principio del modulo maximo. Luego, en este caso elcuerpo de funciones meromorfas de V no es el cuerpo de fracciones de O(V)(pues en tal caso, M(V) deberıa ser constante, lo cual no es cierto porque parauna superficie de Riemann compacta sabemos que existen funciones meromorfasno constantes como puede verse en [3]).

Para terminar, otro de los resultados fundamentales de variable complejaque se lleva inmediatamente al caso de las superficies de Riemann es el conocidoTeorema de los Residuos (junto con todas sus consecuencias).

2.2.7 Definicion. Sea V una superficie de Riemann. Una 1-forma holomorfa ωen V es una 1-forma diferencial compleja en V que para cada abierto coordenadode V con coordenada ϕ, se expresa como ω = f dϕ, siendo f una funcionholomorfa en dicho abierto coordenado.

Al conjunto de 1-formas holomorfas en V lo denotaremos por Ω(V).

2.2.8 Definicion. Sea V una superficie de Riemann. Una 1-forma meromorfa ωen V es una 1-forma holomorfa en el complementario en V de algun subconjuntodiscreto que para cada abierto coordenado de V con coordenada ϕ, se expresacomo ω = f dϕ, siendo f una funcion meromorfa en dicho abierto coordenado.

Al conjunto de 1-formas meromorfas en V lo denotaremos por M1(V).

2.2.9 Definicion. Sea V una superficie de Riemann. Dados un punto p de lasuperficie y una 1-forma meromorfa ω en algun entorno abierto de p, se defineel residuo de ω en el punto p como sigue:

Res(ω, p) :=1

2πi

∫D

ω

para algun disco coordenado D en V conteniendo al punto p y tal que ω seaholomorfa en algun entorno de D, salvo quizas en p.

2.2.10 Observacion. Aplicando el Teorema de Stokes, se ve inmediatamenteque la definicion de residuo no depende del disco coordenado D escogido.

2.2.11 Teorema (de los Residuos). Sea V una superficie de Riemann. Sea Vuna subvariedad compacta con borde de clase C1 a trozos de V y sea ∂V lafrontera orientada de V .

Si ω es una 1-forma meromorfa en algun entorno abierto de V sin puntossingulares en ∂V , entonces:∫

∂V

ω = 2πi∑p∈V

Res(ω, p)

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2.3. El operador ∂

Como ya hemos dicho, si V es una superficie de Riemann, entonces es enparticular una variedad diferenciable, luego sobre ella tiene sentido considerar1-formas diferenciales (complejas). De manera que si U es un abierto coordenadode V con coordenada ϕ, sabemos que cualquier 1-forma diferencial compleja declase C∞ en U , digamos ω; puede escribirse como ω = f1dϕ+f2dϕ, para ciertasfunciones f1, f2 ∈ C∞(U).

En este sentido, denotaremos por a (0,1)(U) al conjunto de las 1-formas di-ferenciales complejas ω de clase C∞ en U (que tiene ademas estructura naturalde C-espacio vectorial) cuya expresion local en coordenadas es ω = fdϕ, pa-ra cierta funcion f ∈ C∞(U) (se comprueba facilmente que esta definicion nodepende de la coordenada ϕ escogida del abierto U considerado).

2.3.1 Nota. Por simplicidad en la notacion, a una coordenada ϕ de un abiertocoordenado U de V se le denotara por z, de modo que si p ∈ U , z(p) es lacoordenada del punto p en la carta escogida.

Si V es una superficie de Riemann cualquiera, entonces se tiene una aplicacionlineal natural entre C∞(V) y a (0,1)(V), que denotaremos por ∂ y esta definidapor:

∂f :=∂f

∂zdz ,

para toda funcion f ∈ C∞(V), siendo z una coordenada de algun abierto coor-denado de la superficie (puede comprobarse facilmente que esta definicion nodepende de la coordenada considerada en cada abierto coordenado)

Por definicion de funcion holomorfa, es claro que el nucleo de esta aplicaciones precisamente O(V); con lo que se dispone siempre de la siguiente sucesionexacta:

0→ O(V)→ C∞(V)∂→ a (0,1)(V)

Notese que el operador ∂ no tiene porque ser exhaustivo necesariamente.De hecho, la epiyectividad de este operador es fundamental en toda la teorıaque vamos a desarrollar a lo largo del presente trabajo, pues constituye la ba-se para llegar a los teoremas de existencia de funciones meromorfas, como seobservara mas adelante.

Un resultado que se vera en la seccion siguiente, y que se deduce del Teo-rema de Aproximacion de Runge (vease 3.2.1), nos da que el operador ∂ sı esexhaustivo para un abierto cualquiera del plano complejo C y como consecuenciaesto sigue siendo cierto para abiertos coordenados de una superficie de Riemanncualquiera. Para el caso de las superficies de Riemann en general no podemosafirmarlo directamente para abiertos arbitrarios. Mas adelante se vera que encaso de que U sea un abierto relativamente compacto de una superficie de Rie-mann abierta, el operador ∂ tambien es exhaustivo. Y finalmente, se vera queeste operador es exhaustivo sobre una superficie de Riemann abierta en gene-ral, que es lo que nos permitira obtener los teoremas de existencia de funcionesmeromorfas sobre este tipo de superficies.

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3. Resultados para el plano complejo CEn este apartado se quieren presentar los resultados referidos a abiertos

del plano complejo que se pretenden generalizar para el caso de superficies deRiemann abiertas.

En todo lo que sigue, se hace uso (entre otras cosas) de resultados elementalesde variable compleja que se suponen conocidos. En cualquier caso, se puedeconsultar el apendice C donde se ha hecho un resumen de las propiedades masimportantes que se han utilizado aquı sobre la topologıa de la convergencia encompactos con la que se dota al espacio de las funciones complejas continuas(y, por tanto, al espacio de las funciones holomorfas), los teoremas referidos alas sucesiones y series de funciones holomorfas y existencia de particiones de launidad.

En este sentido, si U es un abierto de C y K un subconjunto compacto suyo,seguiremos la siguiente notacion:

‖f‖K := maxz∈K|f(z)| ,

para toda f ∈ C(U). De modo que ‖ · ‖K constituye una seminorma en C(U).

3.1. El Teorema de Runge

Uno de los problemas fundamentales en Analisis consiste en estudiar la apro-ximacion de funciones por medio de otro tipo de funciones. Un teorema centralque establece un resultado en este sentido es el conocido Teorema de Stone-Weierstrass (el cual puede consultarse en [2]), segun el cual toda funcion con-tinua definida sobre un compacto de R es lımite uniforme de una sucesion depolinomios en dicho compacto. El desarrollo de la teorıa general de funcionesholomorfas se basa en la idea de Weierstrass de tratar las funciones como si fue-ran polinomios generalizados, introduciendo el concepto de “funcion analıtica”.Sabemos ası que las funciones holomorfas se expresan localmente como una seriede potencias o lo que es lo mismo como lımite de una sucesion de polinomios;mas explıcitamente, si f : U → C es una funcion holomorfa siendo U un abiertode C, entonces para cada punto z0 ∈ U existe un disco abierto D(z0, r) ⊂ U ,con r > 0 tal que en dicho disco, la funcion f se expresa como:

f(z) =

∞∑k=0

an (z − z0)k = lımn→∞

n∑k=0

an (z − z0)k ,

siendo an ∈ C, para cada n ∈ N.De esta manera dirıamos que para cada punto z0 ∈ U , el anillo de polinomios

definidos sobre D(z0, r), con r > 0 es denso en el anillo de funciones holomorfasdefinidas sobre D(z0, r) ⊂ U , con r > 0.

3.1.1 Nota. Observermos que cuando se diga que una sucesion de polinomiosconverge a una funcion f en O(U) quiere decir que la convergencia debe darseuniformemente en cada compacto de U .

La pregunta que nos hacemos es si esto sigue siendo cierto globalmente, esdecir, si toda funcion holomorfa en U es lımite de una sucesion de polinomiosen O(U). En terminos generales no podemos afirmar que esto sea ası, como

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muestra el siguiente ejemplo: tomemos U := Cr 0 y la funcion holomorfa enU dada por f(z) := 1

z , entonces f no es aproximable en O(U) por polinomios,es decir, no existe una sucesion de polinomios Pn(z)n∈N tal que Pn −→

n→∞f

en O(U). En efecto, supongamos que fuera ası y tomemos para nuestro ejemploel subconjunto compacto de U dado por la circunferencia unidad, esto es, S1 :=z ∈ U : |z| = 1; entonces obtendrıamos el siguiente absurdo:

2πi =

∫S1

1

zdz = lım

n→∞

∫S1

Pn(z) dz = 0

3.1.2 Lema. Si f es una funcion compleja de clase C∞ y soporte compacto enC, entonces para todo z ∈ C se verifica lo siguiente:

f(z) =1

2πi

∫C

1

w − z∂f

∂wdw ∧ dw

Demostracion. Fijado z ∈ C, consideramos en C r z la 1-forma diferencial

compleja de clase C∞ y soporte compacto dada por ω := 12πi

f(w)w−z dw.

Dados ε, R > 0 con ε < R, consideramos la corona circular centrada en z yradios ε y R. Llamemos V al recinto que encierra la mencionada corona y Cε, CRlas correspondientes circunferencias que constituyen la corona, de manera que∂V = CR ∪ Cε, siendo Cε la circunferencia Cε orientada como borde de V .Aplicando el Teorema de Stokes a la 1-forma ω, se obtiene lo siguiente:∫

∂V

ω =

∫CR

ω −∫Cε

ω =

∫V

dω (3.1)

Un pequeno calculo muestra que la diferencial de ω viene dada por

dω =−1

2πi

1

w − z∂f

∂wdw ∧ dw

Tengamos en cuenta que la 1-forma ω tiene soporte compacto en C, de modoque a medida que R se hace mas grande, la integral

∫CR

ω se anula. Por tanto,

tomando lımites en la igualdad (3.1) cuando R→∞ y cuando ε→ 0, entoncesresulta lo siguiente:

− lımε→0

∫Cε

1

2πi

f(w)

w − zdw =

∫C

−1

2πi

1

w − z∂f

∂wdw ∧ dw (3.2)

Desarrollemos ahora el primer miembro de la igualdad (3.2) que acabamos deobtener:

lımε→0

∫Cε

1

2πi

f(w)

w − zdw =

1

2πilımε→0

∫Cε

f(w)

w − zdw

∗=

1

2πilımε→0

∫ 2π

0

f(z + εeit)

εeitiεeitdt =

=1

2πlımε→0

∫Cε

f(z + εeit)dt∗∗=

1

2π

∫ 2π

0

f(z)dt =

=1

2π2πf(z) = f(z)

En (*) se ha seguido el cambio de variable w := z + εeit con t ∈ [0, 2π] conel que parametrizamos la circunferencia Cε por el angulo. En (**) se tiene en

18

cuenta que para cada ε > 0, f(z+εeit) es una sucesion de funciones que convergeuniformemente a la funcion f(z), de modo que el lımite conmuta con la integral.

Comparando el resultado que acabamos de obtener con la formula (3.2), sededuce ya la formula del enunciado y concluimos.

3.1.3 Observacion. La integral sobre C del Lema anterior no presenta ninguntipo de problema aunque en su integrando aparezca el factor 1

w−z porque si

hacemos el cambio de variable w := z+ reit con r > 0 y t ∈ [0, 2π], entonces unpequeno calculo muestra que dw∧dw = −2ir dr∧dt de modo que el integrandode la formula quedarıa:

1

w − z∂f

∂wdw ∧ dw =

1

reit∂f

∂w(−2ri) dr ∧ dt =

1

eit∂f

∂w(−)2i dr ∧ dt

3.1.4 Lema. Sea K un subconjunto compacto de C y sea µ : C(K) → C unaaplicacion lineal y continua. La funcion dada por:

Fµ(z) := µw

( 1

w − z

), para todo z ∈ CrK

es holomorfa (donde µw denota a la aplicacion µ dada que se aplica a 1w−z

considerada esta ultima como funcion de w para cada z ∈ CrK fijo).

Demostracion. Sea z0 ∈ C rK y sea D un disco abierto centrado en z0 y conradio r < d(z0,K). Entonces, un calculo elemental prueba que, en D, la funcion

1w−z se expresa como suma de una serie del siguiente modo:

1

w − z=

∞∑n=0

(z − z0)n

(w − z0)n+1

Aplicando µw a la igualdad obtenida y teniendo en cuenta que esta es unaaplicacion lineal y continua (y ademas para cada z ∈ D la convergencia de laserie de funciones de w ∈ K considerada es uniforme en K), queda:

Fµ(z)def.= µw

( 1

w − z

)=

∞∑n=0

µw

( 1

(w − z0)n+1

)︸ ︷︷ ︸ (z − z0)n

not.≡∞∑n=0

an (z − z0)n

De esta expresion se deduce que Fµ es holomorfa en D, pero como cada puntoz0 ∈ CrK es el centro de algun disco donde esto es ası, entonces deducimos queFµ es holomorfa en CrK, como se querıa demostrar concluyendo el lema.

Haciendo referencia al ejemplo expuesto arriba, en lugar de plantear el pro-blema directamente con los polinomios; el primer paso consiste en averiguarbajo que condiciones podemos dar la aproximacion de funciones holomorfas pormedio de funciones holomorfas, es decir, ¿dado un abierto U ⊂ C, cuales sonsus subconjuntos compactos K ⊂ U para los cuales cualquier funcion holomorfadefinida en un entorno de K puede ser uniformemente aproximable sobre K porfunciones holomorfas en U? La respuesta a este problema se incluye en la prime-ra version del Teorema de Aproximacion de Runge, que damos a continuacion.

19

3.1.5 Nota. Si K es un subconjunto compacto de U , denotaremos por O(K)al conjunto de los germenes de funciones holomorfas en K, es decir, al conjuntode las funciones holomorfas en un entorno de K identificando dos cualesquierade ellas que concidan en un entorno de K. En tal caso se tiene siempre unaaplicacion natural O(U)→ O(K), pues toda funcion holomorfa en U define ungermen de funcion holomorfa en K ⊂ U .

3.1.6 Teorema (de Aproximacion de Runge). Sea U ⊆ C un abierto y K unsubconjunto compacto suyo. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. La imagen de O(U) en O(K) es densa, esto es, si f0 es una funcion holo-morfa en un entorno de K, dado ε > 0 hay una funcion holomorfa f en Utal que ‖f0 − f‖K < ε.

2. U rK no tiene componentes conexas relativamente compactas.

3. Para cada z0 ∈ U rK hay una funcion f ∈ O(U) tal que |f(z0)| > ‖f‖K

Demostracion. Veamos la equivalencia (1)⇔(2).Supongamos primero que se verifica (1) y por reduccion al absurdo suponga-

mos que U rK tiene una componente conexa relativamente compacta, digamosV . Por tanto, V es un subconjunto compacto de U y observemos que ∂V ⊆ K.

Sea z0 ∈ V y consideremos 1z−z0 , que es una funcion holomorfa en algun

entorno de K. Por hipotesis, hay una sucesion (fn)n∈N de funciones holomorfasen U que converge uniformemente a 1

z−z0 en K, por lo que (fn) tambien convergeuniformemente en ∂V ⊆ K.

Del Principio del modulo maximo se deduce que (fn) tambien converge uni-formemente en todo V . Sea g la funcion continua en V y holomorfa en V igualal lımite uniforme en V de la sucesion (fn) (observese que es continua por serlımite uniforme de funciones continuas y es holomorfa por el Teorema de Weiers-trass sobre la convergencia uniforme en compactos de funciones holomorfas, quepuede consultarse en el apendice C).

Es claro que g y 1z−z0 coinciden en ∂V (porque en ∂V las dos son lımite

uniforme de (fn)), lo cual implica que g(z)(z − z0)− 1 = 0, para todo z ∈ ∂V .Aplicando de nuevo el Principio del modulo maximo, esta igualdad se verifica

tambien en todo V , lo cual es imposible!!.Recıprocamente, supongamos ahora que se verifica (2). Queremos ver que la

imagen de O(U) en O(K) es densa. En virtud del corolario B.1.22 del Teoremade Hahn-Banach (en su version geometrica), resulta que para nuestro objetivobasta con ver que toda forma lineal y continua de O(K) que se anule sobrela imagen de O(U), es identicamente nula en O(K). Ademas, en virtud delpropio Teorema de Hahn-Banach (en su version analıtica, ver B.1.12), podemossuponer que la forma lineal y continua considerada de O(K) es la restriccion aO(K) de una forma lineal y continua de C(K).

En definitiva, basta con probar que toda forma lineal y continua de C(K)que se anule en la imagen de O(U) en O(K) tambien se anula en todo O(K).

Sea µ una tal forma lineal de C(K) y sea Fµ ∈ O(C rK) como en el lema3.1.4 previo. Veamos que Fµ es identicamente nula en CrK, para lo cual vamosa verlo sobre cada una de sus componentes conexas.

20

Consideremos primero la componente conexa no acotada de CrK, llamemos-la X. Si z ∈ X y |z| > |w|, para todo w ∈ K, tenemos que:

1

w − z=−1

z

1

1− wz

=−1

z

∞∑n=0

wn

zn= −

∞∑n=0

wn

zn+1,

donde la serie de funciones de w obtenida converge uniformemente en K. Portanto, aplicando ahora la forma lineal µw y teniendo en cuenta que µ conmutacon la suma infinita (porque µ es continua y la serie converge uniformementeen K), resulta:

Fµ(z)def.= µw

( 1

w − z

)= −

∞∑n=0

µw(wn)

zn+1,

lo cual es cero porque µw(wn) = 0, ya que wn es una funcion entera, luego esholomorfa en cualquier abierto U ⊆ C y, por tanto, esta en la imagen de O(U)en O(K). Ası, hemos demostrado que Fµ = 0 para los puntos de X con modulosuficientemente grande. Por el Principio de prolongacion analıtica, deducimosque Fµ = 0 en todo X.

Pasemos a ver que Fµ = 0 en cualquier componente conexa acotada de CrK,que llamaremos Y . Y sera, por tanto, una componente conexa relativamentecompacta de CrK y como U rK no tiene componentes conexas relativamentecompactas, por hipotesis; debe ser Y ∩ (C r U) 6= φ, lo cual implica que Y ∩(Cr U) 6= φ porque ∂Y ⊂ K ⊂ U .

Sea z0 ∈ Y ∩ (C r U) 6= φ y sea D un disco abierto centrado en z0 que nocorte a K. Razonando como en la demostracion del lema 3.1.4 previo, vemosque para todo z ∈ D se tiene que:

Fµ(z) =

∞∑n=0

µw

( 1

(w − z0)n+1

)(z − z0)n

Como z ∈ C r U , entonces 1(w−z0)n+1 ∈ O(U), para todo n ∈ N y como µ se

anula en la imagen de O(U) en O(K), tenemos que µw

(1

(w−z0)n+1

)= 0, para

todo n ∈ N. Por lo tanto, Fµ(z) = 0, para todo z ∈ D. Se deduce que Fµ seanula en Y ∩ D y aplicando el Principio de prolongacion analıtica obtenemosque Fµ = 0 en todo Y .

En definitiva, queda demostrado que Fµ es identicamente nula en CrK.Consideremos ahora un germen cualquiera f ∈ O(K) para ver que µ(f) = 0.

Sea W un entorno abierto de K en el que haya una funcion holomorfa cuyogermen sea f (que seguiremos denotando por f). Sea ϕ ∈ C∞c (C) cuyo soporteeste contenido en W e igual a 1 en un entorno de K. Entonces, el producto ϕf(extendido por cero fuera de W ) puede ser considerado como una funcion deC∞c (C). Por el lema 3.1.2, resulta que para todo z ∈ K se tiene lo siguiente:

f(z) = ϕ(z)f(z) =1

2πi

∫C

1

w − z∂ϕf

∂wdw ∧ dw

Aplicando µz a ambos lados de la igualdad de arriba y teniendo en cuentaque µz conmuta con la integral, queda:

µ(f) =1

2πi

∫C−Fµ(w)

∂(ϕf)

∂wdw ∧ dw

21

Por lo que demostramos antes, resulta que Fµ(w) = 0, para todo w ∈ CrK.

Mientras que si w ∈ K, entonces ∂(ϕf)∂w = 0 porque ϕf y f coinciden en algun

entorno de K en donde f es holomorfa. En cualquier caso, el integrando de laformula anterior es nulo en todo C, luego µ(f) = 0 en C, como se pretendıademostrar.

Vista la equivalencia de (1) con (2), vamos a ver ahora que (1) (o (2)) implicala condicion (3). En efecto, sea z0 ∈ U rK y sea K ′ := K ∪ z0, que tambienes compacto y verifica que U rK ′ no tiene componentes conexas relativamentecompactas (porque UrK no las tiene por hipotesis). Consideremos una funcionh ∈ O(K ′) que sea cero en algun entorno abierto de K y 1 en el punto z0. Por lahipotesis de la condicion (1), existe una funcion f ∈ O(U) tal que ‖h−f‖K′ < 1

3 .Se tiene entonces que |f(z0)| > 2

3 y ‖f‖K < 13 .

Recıprocamente, vamos a ver que (3) implica la condicion (2). En efecto,porque si U rK tuviera una componente conexa relativamente compacta, di-gamos V ; entonces ∂V ⊂ K, luego para todo z ∈ V serıa |f(z)| ≤ ‖f‖K , paratodo funcion f ∈ O(U) (aplicando el Principio del modulo maximo). Sin em-bargo, por hipotesis debe existir una funcion f ∈ O(U) tal que |f(z)| > ‖f‖K ,obteniendo, por tanto, una contradiccion con lo anterior!!.

Con todo esto, el teorema queda completamente demostrado.

3.1.7 Observacion. Dado un abierto U de C, denotaremos por A(U) al con-junto de las funciones racionales con polos fuera de U . Segun los razonamientosque se han llevado en el Teorema de aproximacion de Runge, es claro que el mis-mo teorema es cierto para el anillo A(U) en lugar de para el anillo de funcionesholomorfas en U .

Historicamente, Runge planteo la aproximacion de una funcion holomor-fa aproximando a su vez la formula integral de Cauchy asociada por mediode sumas de Riemann. De esta manera, obtenıa funciones racionales para laaproximacion de la funcion, pero estas presentaban polos en donde la funcionoriginal era holomorfa. Por este motivo, desarrolla un razonamiento con el quepuede “empujar” dichos polos para que dejen de ser un problema. Surge ası una“segunda version del Teorema de Aproximacion de Runge”.

3.1.8 Proposicion. Sea V una superficie de Riemann. Si para cada subconjuntoA de V escribimos

η(A) := A ∪ componentes conexas relativamente compactas de V rA ,

entonces se verifican las siguientes propiedades:

1. Si A,B son subconjuntos de V tales que A ⊆ B, entonces η(A) ⊆ η(B).

2. η(η(A)) = η(A), para todo subconjunto A de V.

3. Si A es un subconjunto cerrado de V, entonces η(A) es cerrado.

4. Si A es un subconjunto compacto de V, entonces η(A) es compacto.

Demostracion. 1. Sean A,B subconjuntos de V tales que A ⊆ B. Sea C unacomponente conexa de V r A. Si C corta a una componente conexa deV rB, digamos C ′, entonces C ∪C ′ es conexo y esta contenido en V rA,por lo que tiene que ser C = C ∪C ′, o sea, C ′ ⊆ C. Se deduce que C rB

22

es union de dos componentes conexas de V r B, que seran relativamentecompactas si lo es C, luego η(A) ⊆ η(B), ya que cada componente re-lativamente compacta de V r A esta contenida en B o en componentesconexas relativamente compactas de V rB

2. No hay nada que decir.

3. Sea A un subconjunto cerrado de V. V r η(A) es la union de las com-ponentes conexas de V r A que no son relativamente compactas. Comotodas estas componentes conexas son abiertas por ser A cerrado, entoncesV r η(A) es abierto.

4. Sea A un subconjunto compacto de V, U un entorno abierto relativamentecompacto de A y C una componente conexa de V rA. Como ∂C ⊆ A, setiene que o bien C ⊆ U o bien C corta a ∂U .

Como ∂U es compacto, solo un conjunto finito de componentes conexas deVrA pueden cortar a ∂U , por lo que se tiene que η(A) ⊆ U∪C1∪ . . .∪Cn,siendo C1, . . . , Cn las componentes conexas relativamente compactas deV r A que cortan a ∂U . Se deduce que η(A) es relativamente compactoporque U ∪ C1 ∪ . . . ∪ Cn lo es. Como A es cerrado (por ser compacto enV), entonces η(A) es cerrado por la propiedad (3) anterior.

En definitiva, η(A) es cerrado y relativamente compacto, luego es compac-to.

3.1.9 Lema. Sea U ⊆ C un abierto. Existe una sucesion (Kn)n∈N de subcon-juntos compactos de U verificando las siguientes propiedades:

1. U =∞⋃n=1

Kn

2. Kn ⊆Kn+1, para todo n ∈ N

3. UrKn no tiene componentes conexas relativamente compactas para todon ∈ N.

Demostracion. De Analisis elemental sabemos de la existencia de una sucesion(Qn)n∈N de subconjuntos compactos de U verificando los analogos a (1), (2) delenunciado.

Sea K1 := η(Q1). Supongamos que ya hemos elegido K1, . . . ,Kn−1 de ma-

nera que Kj ⊂Kj+1, para cada j = 1, . . . , n − 2; Qj ⊆ Kj , para cada

j = 1, . . . , n−1 y UrKj no tiene componentes conexas relativamente compactaspara cada j = 1, . . . , n− 1.

Tomemos m ∈ N con m ≥ n tal queQm contenga a Kn−1 y definimos

Kn := η(Qm), entonces Kn−1 ⊂Kn, Qn ⊂ Kn y ademas U r Kn no tiene

componentes conexas relativamente compactas.Por tanto, la sucesion (Kn)n∈N del enunciado ha quedado definida por in-

duccion.

Teniendo en cuenta el Teorema de Aproximacion de Runge, la observacion3.1.7 y el lema 3.1.9 que acabamos de demostrar, el siguiente teorema es inme-diato:

23

3.1.10 Teorema (segunda version del Teorema de Aproximacion de Runge).Sea U ⊆ C un abierto. Toda funcion holomorfa en U es uniformemente aproxi-mable en los compactos de U por funciones racionales con polos fuera de U .

Finalmente, una “tercera version del Teorema de Aproximacion de Runge”permite incluso “elegir” los polos de las funciones racionales aproximantes, enel sentido que detallaremos posteriormente.

3.1.11 Lema. Sea K un subconjunto compacto de C y sea C un subconjuntocerrado y conexo de C disjunto con K. Si a, b son puntos de C, cualquier funcionracional con polo solo en b es uniformemente aproximable en K por funcionesracionales con polo solo en a.

Demostracion. Como C es conexo, hay un conjunto finito de puntos de C, di-gamos a0 := a, a1, . . . , an := b tales que d(aj , aj+1) < d := d(K,C) y basta condemostrar el lema para dos puntos consecutivos de los considerados. Por tanto,podemos suponer que d(a, b) < d.

Por otro lado, como toda funcion racional con polo solo en b es de la forma

λk(z − b)k

+ . . .+λ1z − b

+ P (z) ,

para algun k ∈ N y siendo P (z) un polinomio en z; entonces basta con ver que1z−b es uniformemente aproximable en K por funciones racionales con polo soloen a. En efecto, para cada z ∈ K se tiene lo siguiente:

1

z − b=

1

(z − a)− (b− a)=

1

z − a1

1− b−az−a

=1

z − a

∞∑n=0

(b− a)n

(z − a)n,

siendo la serie uniformemente convergente en K, como se querıa demostrar.

3.1.12 Observacion. El lema anterior sigue siendo valido cuando C es unsubconjunto cerrado de C, conexo y disjunto con K como se ve aplicando, sifuera preciso, una homografıa. Por tanto, podemos tomar b := ∞, si fueraconveniente hacerlo.

Teniendo en cuenta la segunda version del Teorema de Aproximacion de Run-ge, el lema 3.1.11 y la observacion 3.1.12 de arriba, se deduce inmediatamenteel siguiente:

3.1.13 Teorema (tercera version del Teorema de Aproximacion de Runge).Sea U un subconjunto abierto de C y S un subconjunto de C formado por ununico punto de cada componente conexa de CrU . Toda funcion holomorfa en Ues uniformemente aproximable en los compactos de U por funciones racionalescon polos en los puntos de S.

3.1.14 Nota. Con las mismas condiciones y notaciones de la tercera versiondel Teorema de Aproximacion de Runge, es obvio que en caso de que C rU seaconexo, entonces toda funcion holomorfa en U es uniformemente aproximableen los compactos de U por polinomios (pues bastara tomar S := ∞).

Como nota historica, podemos decir que a este resultado llego D. Hilbertsin mencionar en su trabajo a Runge y de forma independiente al Teorema deRunge, sin embargo, no se sabe a ciencia cierta si Hilbert estaba o no informadosobre los trabajos que realizaba Runge.

24

3.2. Existencia de funciones meromorfas en abiertos de CA continuacion, a partir del Teorema de Aproximacion de Runge vamos a

deducir un resultado sobre la epiyectividad del operador ∂ que utilizaremosposteriormente.

3.2.1 Teorema. Sea U ⊆ C un abierto. La aplicacion de C∞(U) en C∞(U)definida por f 7→ ∂f

∂z es exhaustiva.

Demostracion. Sea g ∈ C∞(U) y veamos que existe una f ∈ C∞(U) tal que∂f∂z = g.

Demostremos el teorema, primero para el caso en que la funcion g ∈ C∞(U)tenga soporte compacto. En tal caso, la funcion f ∈ C∞(U) que buscamos puededefinirse por:

f(z) :=1

2πi

∫Cg(w)

1

w − zdw ∧ dw

para todo z ∈ U . Observese antes de continuar que, como la funcion g es desoporte compacto por la hipotesis que hemos hecho, entonces la integral de laformula anterior no presenta ningun problema en este sentido pues se reduce ala integral sobre un rectangulo cerrado en C que contenga al soporte de g. Comotampoco lo presenta la funcion del integrando aunque aparezca el factor 1

w−zcuando w recorre C por el motivo que expusimos en 3.1.3.

Haciendo el cambio de variable de integracion u := w − z y teniendo encuenta que se verifican las hipotesis necesarias para derivar respecto de z bajoel signo integral, escribimos lo siguiente:

∂f

∂z(z) =

1

2πi

∫C

∂g

∂z(z + u)

1

udu ∧ du =

1

2πi

∫C

∂g

∂u(z + u)

1

udu ∧ du =

=1

2πi

∫C

∂g

∂w(w)

1

w − zdw ∧ dw = g(z)

donde se ha deshecho el cambio de variable y se ha utilizado ademas el Lema3.1.2

Pasemos al caso general. Sea g ∈ C∞(U) cualquiera y consideremos unasucesion de subconjuntos compactos de U , digamos (Kn)n∈N, tal que:

1. U =∞⋃n=1

Kn

2. Kn ⊆Kn+1, para todo n ∈ N

3. UrKn no tiene componentes conexas relativamente compactas para cadan ∈ N.

(de la cual sabemos su existencia por el Lema 3.1.9).Para cada n ∈ N sea ϕn una funcion de clase C∞ con soporte contenido en

Kn (y, por tanto, compacto) e igual a 1 en algun entorno de Kn−1 para todon ≥ 2. Definimos ψ1 := ϕ1 y ψn := ϕn − ϕn−1 para cada n ≥ 2. Entonces,estas funciones verifican lo siguiente: para todo n ∈ N, ψn es de clase C∞ y tienesoporte (compacto) contenido en Kn, para todo n ≥ 2, ψn−1 se anula en algun

entorno de Kn−1 y∞∑n=1

ψn = 1 en U .

25

Como para todo n ∈ N, ψng es una funcion de clase C∞ en U y tienesoporte compacto, entonces el teorema es cierto por lo que demostramos antesy deducimos que existe una funcion fn ∈ C∞(U) tal que ∂fn

∂z = ψng. Como ψnes cero en algun entorno abierto de Kn−1 para cada n ≥ 2, deducimos que fnes una funcion holomorfa en un entorno abierto de Kn−1 para cada n ≥ 2.

El Teorema de Aproximacion de Runge (ver 3.1.6) nos da que, para cadan ≥ 2, existe una hn ∈ O(U) tal que ‖fn − hn‖Kn−1

< 12n

Sea m ∈ N cualquiera, por la condicion que acabamos de obtener resulta quela serie

f1 + (f2 − h2) + . . .+ (fm − hm) + (fm+1 − hm+1) + . . .+ (fn − hn) + . . .

converge uniformemente en los subconjuntos compactos de U . Ademas, todos susterminos a partir del (m+1)-esimo son funciones holomorfas en algun entornode Km, luego aplicando el corolario C.1.10 deducimos que la suma de la serie es

una funcion holomorfa, de hecho∞∑

n=m+1fn − hn ∈ O(

Km). El mismo corolario

C.1.10 nos da tambien que en estas condiciones la serie es derivable termino atermino respecto de z, por tanto teniendo en cuenta que las funciones hn son

holomorfas en todo U para cada n ∈ N, para el abiertoKm podemos escribir lo

siguiente:

∂f

∂z=

∂f1∂z

+∂(f2 − h2)

∂z+ . . .+

∂(fm − hm)

∂z+

∞∑n=m+1

∂(fn − hn)

∂z=

=∂f1∂z

+∂(f2 − h2)

∂z+ . . .+

∂(fm − hm)

∂z

Ası, teniendo en cuenta finalmente las propiedades que cumplen las funcionesψn definidas arriba; se ha obtenido lo siguiente:

∂f

∂z=

m∑n=1

∂fn∂z

=

m∑n=1

ψng =

∞∑n=1

ψng = g ,

lo cual es cierto enKm para cada m ∈ N. Como U =

∞⋃n=1

Kn, se concluye el

teorema.

3.2.2 Observacion. El teorema anterior se puede enunciar tambien diciendoque el sistema de ecuaciones diferenciales no homogeneas dado por las ecuacio-nes de Cauchy-Riemann siempre tiene solucion, pero la solucion a la ecuaciondiferencial ∂f∂z = g no es unica, como es obvio; pues esta determinada salvo sumade funciones holomorfas.

El siguiente lema es un resultado sencillo de demostrar, pero fundamentalpara concluir los teoremas posteriores. Aquı comenzamos a utilizar termino-logıa y resultados de Topologıa Algebraica referidos a la teorıa de haces y decohomologıa, que hemos incluido en el apendice A.

3.2.3 Lema. Sea U ⊆ C un abierto. Si O denota al haz de las funcionesholomorfas definido sobre U , entonces su primer grupo de cohomologıa de Cechen U es trivial, esto es, H1(U,O) = 0.

Es mas, el haz O es acıclico, es decir, Hp(U,O) = 0, para todo p ≥ 1.

26

Demostracion. Consideremos la siguiente sucesion exacta de haces en U :

0 −→ O −→ C∞∂∂z−→ C∞ −→ 0 ,

donde el primer homomorfismo no trivial es la inclusion natural y el segundohomomorfismo no trivial consiste en la derivacion con respecto a z, que es unhomomorfismo exhaustivo como muestra el teorema 3.2.1 que acabamos de de-mostrar. Ademas, observese que la sucesion es, efectivamente, exacta porqueuna funcion compleja diferenciable es holomorfa si y solo si su derivada parcialcon respecto a z es cero, como se sabe de la teorıa elemental de funciones.

De la teorıa general de cohomologıa de haces, sabemos que la sucesion exac-ta corta que acabamos de escribir lleva asociada una sucesion exacta larga degrupos de cohomologıa de Cech en U y una parte de la misma es:

. . .→ Γ(U, C∞)∂∂z→ Γ(U, C∞)→ H1(U,O)→ H1(U, C∞)→ . . .

Como hemos dicho, el homomorfismo definido por el operador ∂∂z es exhaus-

tivo. Por otro lado, sabemos que el haz de las funciones diferenciables en U , C∞,es un haz fino (vease el ejemplo (a) de A.2.38) y como consecuencia su primergrupo de cohomologıa de Cech es nulo (vease A.2.39). Ası, de la parte de la suce-sion exacta larga de cohomologıa que hemos escrito; se deduce inmediatamenteque H1(U,O) = 0, como se querıa demostrar.

Finalmente, para cada p ≥ 2 una parte de la sucesion exacta larga de gruposde cohomologıa de Cech en U asociada a la sucesion exacta corta de arriba es:

. . .→ Hp−1(U, C∞)→ Hp(U,O)→ Hp(U, C∞)→ . . .

Como el haz de funciones diferenciables C∞ es fino, entonces Hp−1(U, C∞) =Hp(U, C∞) = 0, para todo p ≥ 2 y, por tanto,Hp(U,O) = 0, para todo p ≥ 2.

3.2.4 Observacion. Si consideramos una superficie de Riemann V y U unsubconjunto abierto suyo, es lıcito considerar los grupos de cohomologıa deCech de O en U , como ya se sabe. Pues bien, en caso de que el abierto U ⊂ Vsea un abierto coordenado de la superficie de Riemann, entonces quiere decir(por definicion, vease 2.1.20) que dicho abierto se identifica con un abierto delplano complejo; luego vıa esta identificacion el lema anterior sigue siendo cierto.

En definitiva, el haz de funciones holomorfas de una superficie de Riemannes acıclico en cualquier abierto coordenado de tal superficie.

Tratamos ahora la construccion de funciones meromorfas en un abierto delplano complejo, esto es, se trata de construir una funcion meromorfa cuyos polose incluso la parte singular de su desarrollo de Laurent puedan ser prefijados.

Por claridad en nuestra exposicion, damos la siguiente definicion no estandar:

3.2.5 Definicion. Sea U ⊆ C un abierto. Una distribucion de partes singularesen U es una ley que asigna a cada punto a ∈ U una parte singular en a, esdecir, un polinomio en 1

z−a sin termino independiente, de modo que estas partessingulares sean distintas de cero unicamente en un subconjunto discreto de U .

Al conjunto de todas las distribuciones de partes singulares en U lo denota-remos por S(U).

27

3.2.6 Observacion. En primer lugar, observese que el conjunto S(U) tieneuna estructura natural de grupo abeliano con la suma de polinomios. Fijado elabierto U ⊆ C, la asignacion a cada subconjunto abierto W de U del grupode las distribuciones de partes singulares en W junto con los homomorfismosde restriccion es claramente un prehaz de grupos abelianos en U y como se veinmediatamente tambien es un haz. A este haz se le denotara por S.

Sea U ⊆ C un abierto y f ∈M(U) una funcion meromorfa en dicho abierto,entonces a la funcion f podemos asociarle una distribucion de partes singularesde modo natural. Llamemos a dicha distribucion s(f) ∈ S(U), la cual vienedefinida por la siguiente ley: a cada punto a ∈ U se le asigna la parte singulardel desarrollo de Laurent de f en a. Formalmente:

s(f) : a ∈ U

0 , si f es holomorfa en algun entorno de aλ−k

(z−a)k + . . .+ λ−1

z−a , si f tiene en a un polo de orden k

Este razonamiento muestra entonces, que siempre existe un homomorfismo na-tural de grupos abelianos M(U)→ S(U) asignando a cada funcion meromorfaf con la distribucion s(f) que acabamos de describir.

3.2.7 Teorema (de Mittag-Leffler). Sea U ⊆ C un abierto. Cualquier dis-tribucion de partes singulares en U es de la forma s(f), para alguna funcionf ∈M(U).

Demostracion. Consideremos la siguiente sucesion exacta de haces en U :

0 −→ O −→M −→M/O −→ 0 ,

donde el primer homomorfismo no trivial es la inclusion natural y el otro homo-morfismo no trivial es el paso al cociente.

Tomemos la sucesion exacta larga de grupos de cohomologıa de Cech aso-ciada a la sucesion exacta corta de haces que acabamos de escribir:

0→ O(U)→M(U)→ Γ(U,M/O)→ H1(U,O)→ . . . ,

donde se tiene que H1(U,O) = 0 por el lema 3.2.3, lo cual quiere decir que elhomomorfismoM(U)→ Γ(U,M/O) es epiyectivo. Por tanto, si vemos que exis-te un isomorfismo ψ : S(U) → Γ(U,M/O) que haga conmutativo el diagramasiguiente:

M(U)

// Γ(U,M/O)

S(U)

ψ

88

el teorema quedarıa demostrado.Veamos como definir el homomorfismo ψ. Sea s ∈ S(U) una distribucion de

partes singulares en U , entonces por definicion se tiene que s se anula en todoslos puntos de U salvo en un subconjunto discreto suyo, digamos akk∈I siendoI una familia finita o numerable de ındices. En tal caso, para cada k ∈ I se tieneque s(ak) := Pk( 1

z−ak ) siendo Pk un polinomio en una variable con coeficientes

complejos sin termino independiente. Como akk∈I es un subconjunto discretode U , podemos considerar un entorno abierto de ak que no contenga a ningun

28

otro punto ak′ con k′ 6= k, digamos Wk para cada k ∈ I; y achicandolos sifuera preciso, los tomamos disjuntos entre sı y contenidos en U . Tomemos otrossubconjuntos abiertos de U , digamos W ′nn∈N de tal manera que Wkk∈I ∪W ′nn∈N sea un recubrimiento de U .

Restringimos la seccion s al abierto Wk, de modo que s|Wkes distinta de

cero unicamente en el punto ak, en donde la distribucion le asigna el polinomioPk( 1

z−ak ). Es decir, en cualquier punto de Wk distinto de ak, la seccion s tiene

germen nulo. Por tanto, tomado[Pk( 1

z−ak )]∈M(Wk)/O(Wk) para cada k ∈ I

y 0 ∈ M(W ′n)/O(W ′n) para todo n ∈ N, entonces las secciones de M/O en losabiertos Wkk∈I , W ′nn∈N coinciden en las intersecciones no vacıas y por lacondicion de haz se deduce que estas definen una seccion global, que es la quellamamos ψ(s) ∈ Γ(U,M/O).

De la construccion seguida, se deduce que ψ ası definida es un isomorfismoy ademas hace conmutativo el diagrama de arriba; lo que nos permite dar porterminado el teorema.

Podemos dar ahora la version multiplicativa de este teorema; consiste enpoder prefijar los polos, los ceros y los ordenes de tales polos y ceros de unafuncion meromorfa; aunque en este caso perdemos el control sobre el propiodesarrollo singular de la funcion. Para ello necesitamos introducir las siguientesdefiniciones.

3.2.8 Definicion. Sea U ⊆ C un abierto. Un divisor en U es una aplicacionde U en Z que se anula en todos los puntos del complementario en U de algunsubconjunto discreto suyo.

Si δ : U → Z es un tal divisor y S es un subconjunto discreto de U talque δ ≡ 0 en U r S, entonces al divisor δ se le representara formalmente de lasiguiente manera:

δ :=∑p∈S

np · p ,

siendo np el numero entero que δ asigna al punto p.

3.2.9 Observacion. En primer lugar, el conjunto de los divisores en U tieneestructura natural de grupo abeliano con la suma de aplicaciones. Fijado unabierto U de C, a cada subconjunto abierto suyo, digamos W ⊆ U podemosasignarle el conjunto de los divisores en W . Esta asignacion junto con los homo-morfismos de restriccion de aplicaciones constituye un prehaz en U que tambienes haz como se ve inmediatamente.

3.2.10 Definicion. Sea U ⊆ C un abierto y S un subconjunto finito suyo. Siδ es un divisor en U que se anula en U r S, se dira que δ es un divisor finito,de modo que si p1, . . . , pk son los puntos de S, el divisor δ se le representaformalmente como sigue:

δ :=

k∑j=1

nj · pj ,

siendo nj el numero entero que δ asigna al punto pj , para todo 1 ≤ j ≤ k.

3.2.11 Definicion. Sea U ⊆ C un abierto y S un subconjunto discreto e infinitosuyo. Si δ es un divisor en U que se anula en U r S, se dira que δ es un divisor

29

infinito, de modo que si pkk∈N son los puntos de S, el divisor δ se le representaformalmente como sigue:

δ :=

∞∑k=1

nk · pk ,

siendo nk el numero entero que δ asigna al punto pk, para todo k ∈ N.

3.2.12 Definicion. Sea U ⊆ C un abierto y f una funcion meromorfa en Uno identicamente nula en ninguna de las componentes conexas de U , o sea,f ∈M∗(U). Se llama divisor de la funcion f a la aplicacion de U en Z definidadel siguiente modo:

div(f) : U −→ Zp 7−→ div(f)(p) := ordp(f) ,

donde ordp(f) es el numero entero definido por:

ordp(f) :=

n , si f tiene en p un cero de orden n

0 , si f no se anula ni tiene polo en p

−m , si f tiene en p un polo de orden m

3.2.13 Definicion. Sea U ⊆ C un abierto. Un divisor δ en U se dice que esprincipal si exsite una funcion f ∈M∗(U) tal que div(f) = δ.

El resultado que anunciabamos arriba es el siguiente:

3.2.14 Teorema (de Weierstrass). Sea U ⊆ C un abierto. Todo divisor en Ues principal.

Demostracion. Consideremos la siguiente sucesion exacta de haces en U :

1 −→ O∗ −→M∗ −→M∗/O∗ −→ 1 ,

donde el primer homomorfismo no trivial es la inclusion natural y el otro homo-morfismo no trivial es el paso al cociente.

Tomemos la sucesion exacta larga de grupos de cohomologıa de Cech aso-ciada a la sucesion exacta corta de haces que acabamos de escribir:

1→ O∗(U)→M∗(U)→ Γ(U,M∗/O∗)→ H1(U,O∗)→ . . . ,

Como el haz cocienteM∗/O∗ es isomorfo de modo natural al haz de los divisoresen U , el teorema quedara demostrado si vemos que H1(U,O∗) es trivial.

Para ello consideremos ahora la siguiente sucesion exacta de haces en U :

0 −→ Z −→ O −→ O∗ −→ 1 ,

donde Z representa al haz de las funciones localmente constantes con valoresenteros, el primer homomorfismo no trivial es la inclusion natural de estas funcio-nes como funciones holomorfas y el otro consiste en que si W es un subconjuntoabierto de U y f ∈ O(W ), le asociamos e2πif ∈ O∗(W ). Es inmediato com-probar que la sucesion escrita es, efectivamente, exacta. Tomemos la sucesionexacta larga de grupos de cohomologıa que lleva asociada:

. . .→ H1(U,O)→ H1(U,O∗)→ H2(U,Z)→ . . .

30

Por el lema 3.2.3 sabemos que H1(U,O) = 0 y ahora teniendo en cuentaque el abierto U ⊆ C puede pensarse como una superficie diferenciable y comotal es orientada, entonces H2(U,Z) = 0 (por una propiedad topologica conocidade tales superficies que puede verse en [1]); lo cual nos permite deducir ya queH1(U,O∗) = 0, como se pretendıa demostrar.

31

4. Superficies de Riemann abiertas

En este apartado vamos a desarrollar una teorıa general sobre las superfi-cies de Riemann abiertas con idea de demostrar el Teorema de Behnke-Stein,que se tratara mas tarde. Los resultados que presentaremos aquı son propieda-des generales de este tipo de superficies, con las que concluiremos un teoremafundamental, que serivira de base para el Teorema de Behnke-Stein.

En definitiva, este apartado del trabajo constituye la parte preparatoria paraconcluir, de la forma mas sencilla posible, la tesis planteada desde el comienzo.La teorıa general de haces y cohomologıa (expuesta en el apendice A) se usafrecuentemente en todo lo que sigue. Tambien se utilizan conceptos basicos deanalisis funcional (Teorema de Hahn-Banach, espacios de Frechet, etc.) y encuanto a la teorıa general de distribucines cabe destacar la importancia delconocido Lema de Weyl (todo ello esta expuesto en el apendice B).

4.1 Observacion. Sea V una superficie de Riemann cualquiera y U, V abier-tos suyos con V ⊂ U . Sea U := Uii∈I un recubrimiento abierto de U porabiertos coordenados (por ejemplo, discos coordenados). En virtud de la obser-vacion 3.2.4 y aplicando el Teorema de Leray (consultar en A.2.40), se tieneque H1(U ,O) = H1(U,O).

Ası, cada elemento de H1(U,O)def.= Z1(U,O)/B1(U,O) es por definicion la

clase cociente de un 1-cociclo de U con coeficientes en O, el cual denotaremospor z1U . De nuevo por definicion, este 1-cociclo asocia a cada 1-sımplice Ui, Ujde U con i, j ∈ I una seccion de O en Ui ∩ Uj, digamos s. De manera que sipara cada 1-sımplice Ui ∩ V,Uj ∩ V le asociamos la restriccion de la seccions tendremos definido un 1-cociclo de UV := Ui ∩ V i∈I con coeficientes en O,cuya clase cociente en H1(UV ,O) denotaremos por z1V .

De nuevo por la observacion 3.2.4 y aplicando el Teorema de Leray se tieneque H1(UV ,O) = H1(V,O).

Por tanto, la construccion natural que acabamos de describir nos da quesiempre existe un homomorfismo del siguiente tipo:

H1(U,O) −→ H1(V,O)z1U 7−→ z1V ,

al que nos referiremos como homomorfismo natural de restriccion.

4.2 Lema. Sea V una superficie de Riemann abierta y U un subconjunto abier-to suyo. Si U es relativamente compacto, entonces hay un conjunto finito dediscos coordenados recubriendo U , de modo que llamando U ′ a su union; elhomomorfismo natural de restriccion H1(U ′,O)→ H1(U,O) es exhaustivo.

Demostracion. Sea W0 un disco coordenado en V con W0 ∩ U 6= φ y sea D0

otro disco coordenado respecto de la misma coordenada tal que D0 ⊂W0 y talque D0 ∩U 6= φ. Sean W1, . . . ,Wm otros discos coordenados en V que recubranU rW0 y que no corten a D0.

En virtud de la observacion 3.2.4 y aplicando el Teorema de Leray (consultaren A.2.40), se tiene que H1(Wi ∩ Umi=0,O) = H1(U,O). Llamando U0 a U ∪D0, la propiedad analoga es cierta tambien, esto es, H1(Wi ∩ U0mi=0,O) =H1(U0,O).

32

Vamos a demostrar que H1(U0,O) → H1(U,O) es exhaustivo; pero por loque acabamos de decir, basta con ver que H1(Wi ∩ U0mi=0,O) → H1(Wi ∩Umi=0,O) es exhaustivo.

Observemos primero que las 1-cocadenas de Wi ∩ U0mi=0 con coeficientesen O son las mismas que las 1-cocadenas de Wi ∩Umi=0 con coeficientes en Oporque la interseccion de Wi ∩ U0 con Wj ∩ U0 es la misma que la de Wi ∩ Ucon Wj ∩U , para cuando i o j es mayor o igual que 1. En efecto, tomemos i o jmayor o igual que 1 y supongamos (sin perdida de generalidad) que i ≤ j, dedonde se deduce que j ≥ 1. Entonces:

(Wi ∩ U0) ∩ (Wj ∩ U0) = (Wi ∩ (U ∪D0)) ∩ (Wj ∩ (U ∪D0)) =

= (Wi ∩ (U ∪D0)) ∩ (Wj ∩ U) =

= Wi ∩ (Wj ∩ U) ∩ (U ∪D0) =

= Wi ∩ (Wj ∩ U) = (Wi ∩ U) ∩ (Wj ∩ U)

Para el caso en que i = j = 0 se tendrıa la interseccion de W0 ∩ U0 conW0 ∩ U0, por un lado, y, por otro lado, la correspondiente W0 ∩ U con W0 ∩ U ;pero las 1-cocadenas alternadas asocian a dos abiertos iguales el valor cero, luegoen este caso tambien serıan iguales (de hecho, serıan cero). Como consecuencia,es claro que los 1-cociclos de sendos recubrimientos son tambien los mismos. Portanto, aplicando la definicion de cohomoloıa de Cech (teniendo en cuenta quela aplicacion de paso al cociente es exhaustiva), se concluye lo que querıamos.

Finalmente, por recurrencia; si D1, . . . , Dn son discos coordenados como elD0 del comienzo, de modo que U ⊆ D0∪D1∪ . . .∪Dn y llamando Ui a U∪(D0∪D1∪ . . .∪Di), para cada i = 0, . . . , n, entonces el argumento analogo al anteriormuestra que H1(Ui−1,O)→ H1(Ui,O) es exhaustiva. Con lo cual, llamando U ′

aD0∪. . .∪Dn, tendrıamos queH1(U ′,O)→ H1(U,O) es exhaustiva; alcanzandola conclusion deseada.

4.3 Lema. Sea V una superficie de Riemann abierta y U un subconjunto abier-to suyo. Si U es relativamente compacto, entonces H1(U,O) es un C-espaciovectorial de dimension finita.

Demostracion. Aplicando el lema previo, sean D1, . . . , Dn discos coordenadosen V recubriendo U y de modo que el homomorfismo natural de restriccion

H1(n⋃i=1

Di,O)→ H1(U,O) sea exhaustivo.

Consideremos discos D′1, . . . , D′n respecto de las mismas coordenadas que

D1, . . . , Dn, respectivamente; con los mismos centros, con radios mas pequenosy de modo que tambien recubran a U .

Para cada j = 1, . . . , n llamaremos Vj a D′j ∩ U , con lo que tenemos que

U =n⋃j=1

Vj y sigue siendo cierto que V j ⊂ Dj , para cada j = 1, . . . , n. Apli-

cando el Teorema de Leray se deduce que la restriccion H1(Djnj=1,O) →H1(Vjnj=1,O) es exhaustiva.

Consideremos las dos aplicaciones siguientes:

α : Z1(Djnj=1,O)⊕ C0(Vjnj=1,O) −→ Z1(Vjnj=1,O)(z1, c0) 7−→ α(z1, c0) := z1|Vjnj=1

+ ∂(c0)

33

β : Z1(Djnj=1,O)⊕ C0(Vjnj=1,O) −→ Z1(Vjnj=1,O)(z1, c0) 7−→ α(z1, c0) := z1|Vjnj=1

+ 0

donde ∂ denota al operador coborde (ver A.2.19)Es claro que tanto α como β son aplicaciones lineales y continuas.Veamos que α es ademas exhaustiva. Como H1(Djnj=1,O) →

H1(Vjnj=1,O) es exhaustiva, dado z1 ∈ Z1(Vjnj=1,O), entonces existe un

1-coborde b1 ∈ B1(Vjnj=1,O) tal que z1 + b1 ∈ Im(Z1(Djnj=1,O) →

Z1(Vjnj=1,O))

.

Se deduce, por tanto, que dado z1 ∈ Z1(Vjnj=1,O), existe una 0-cocadena

c0 ∈ C0(Vjnj=1,O) y un 1-cociclo w1 ∈ Z1(Djnj=1,O) tales que z1 =

w1|Vjnj=1+ ∂(c0) ∈ Im(α).

Veamos ahora que β es una aplicacion completamente continua (vease B.2.19,para consultar esta terminologıa). En primer lugar, puesto que el operador co-borde ∂ es una aplicacion continua, entonces su nucleo es un subespacio vecto-rial cerrado. Para nosotros, resulta que Z1(Djnj=1,O) y Z1(Vjnj=1,O) son

subespacios cerrados de C1(Djnj=1,O) y C1(Vjnj=1,O), respectivamente.Por otro lado, teniendo en cuenta la definicion de cocadenas (vease (a) de

A.2.16) es claro que:

C1(Djnj=1,O) ∼=⊕

1≤j≤n

O(Di ∩Dj) (4.1)

C1(Vjnj=1,O) ∼=⊕

1≤j≤n

O(Vi ∩ Vj) (4.2)

Como cada uno de los Vj , Dj son abiertos coordenados de nuestra superficie deRiemann y por construccion se tiene que Vi ∩ Vj ⊂ Di ∩Dj , el ejemplo B.2.21nos da que cada uno de los morfismos de restriccion O(Di ∩Dj)→ O(Vi ∩ Vj)son aplicaciones completamente continuas.

Por la descomposicion escrita en (4.1) y (4.2) se deduce que la restriccionC1(Djnj=1,O) → C1(Vjnj=1,O) tambien es completamente continua. Esto,

junto con lo que hemos dicho antes nos da que la restriccion Z1(Djnj=1,O)→Z1(Vjnj=1,O) es tambien completamente continua. Luego, inmediatamenteobtenemos que β es completamente continua; como querıamos ver.

Teniendo en cuenta que el espacio de las funciones holomorfas de abiertoscoordenados de la superficie de Riemann V es un espacio de Frechet (comomuestra el ejemplo (a) de B.2.14), las descomposiciones (4.1) y (4.2), el hechode que los cociclos correspondiente son subespacios cerrados de las cocadenascorrespondientes como dijimos arriba y utilizando las propiedades basicas de losespacios de Frechet (las cuales pueden verse en B.2.18), deducimos que α y βson aplicaciones lineales y continuas entre espacios de Frechet. Ademas, hemosdemostrado que α y β verifican las hipotesis del Teorema de Schwartz (cuyoenunciado puede consultarse en B.2.23). Aplicando dicho teorema, por tanto,obtenemos que el conucleo de α − β es un C-espacio vectorial de dimensionfinita.

Finalmente, aplicando las definiciones y el Teorema de Leray se obtiene que

34

dicho conucleo es precisamente:

Coker(α− β)def.= Z1(Vjnj=1,O)/B1(Vjnj=1,O)

def.=

def.= H1(Vjnj=1,O) = H1(U,O) ,

alcanzandose la conclusion que se buscaba.

4.4 Observacion. Supongamos ahora que V es una superficie de Riemanncompacta. En tal caso, el mismo argumento utilizado en el lema 4.3 permitedecir que H1(V,O) es un C-espacio vectorial de dimension finita.

Como consecuencia, se tiene que Hp(V,O) es un C-espacio vectorial de di-mension finita, para todo p ∈ Z+. Ademas, se tiene lo siguiente:

1. Como suponemos ahora que V es compacta, entonces H0(V,O) =Γ(V,O) = O(V) = C

2. Hp(V,O) = 0, para todo p ≥ 2. En efecto, tomemos la sucesion exactanatural de hace en V dada por:

0→ O → C∞ ∂→ a (0,1) → 0 ,

de modo que tomando la sucesion exacta larga de grupos de cohomologıa,para cada p ≥ 2 se tiene:

. . .→ Hp−1(V,a (0,1))→ Hp(V,O)→ Hp(V, C∞)→ . . . ,

donde Hp−1(V,a (0,1))= 0 = Hp(V, C∞) (porque a (0,1) y C∞ son haces fi-nos en V como se hizo notar en A.2.38), deduciendose ya lo que querıamos.

4.5 Lema. Sea V una superficie de Riemann abierta y U un abierto suyo. SiU es relativamente compacto, existe una funcion holomorfa no constante en U .

Demostracion. Sea U ′ un entorno abierto relativamente compacto de U en V ysea p ∈ ∂U . Basta con ver que existe una funcion holomorfa en U ′ r p conpolo en p, porque en tal caso, como la funcion tiene polo, no puede ser unafuncion constante y como p es un punto de la frontera, entonces al restringir aU sera una funcion holomorfa.

Denotemos por Mm al haz de las funciones meromorfas en U ′ sin polos enU ′ r p y con polo de orden menor o igual m ∈ N en el punto p. Veamos queH1(U ′,Mm) es un C-espacio vectorial de dimension finita, para todo m ∈ N.

Dado m ∈ N, consideremos la siguiente sucesion exacta de haces en U ′:

0→ O →Mm →M′′m → 0

donde el primer homomorfismo no trivial es la inclusion y el otro es el paso alcociente, siendo M′′m el haz cociente de Mm por O. Observese que las fibrasde O y de Mm coinciden en todo punto q ∈ U ′ r p (porque en U ′ r p,las funciones que da el hazMm son holomorfas), luego estamos diciendo que lafibra de M′′m es cero en todo punto q ∈ U ′ r p. Por el ejemplo (c) de A.2.38,se tiene que M′′m es un haz fino. Por tanto, tomando la sucesion exacta largade grupos de cohomologıa de Cech asociada a la anterior sucesion exacta corta,escribimos lo siguiente:

. . .→ H1(U ′,O)→ H1(U ′,Mm)→ H1(U ′,M′′m)→ . . .

35

ComoM′′m es un haz fino, entonces sabemos que es un haz acıclico (ver A.2.39);luego H1(U ′,M′′m) = 0, de donde deducimos que la aplicacion H1(U ′,O) →H1(U ′,Mm) de la sucesion de arriba es exhaustiva. Por tanto, hemos demos-trado que H1(U ′,Mm) es un C-espacio vectorial cociente de H1(U ′,O), el cuales de dimension finita en virtud del lema 4.3 previo; luego H1(U ′,Mm) es tam-bien de dimension finita, como se querıa.

Por otro lado, consideremos la siguiente sucesion exacta de haces en U ′:

0→Mm →Mm+1 →M′m → 0

donde el primer homomorfismo no trivial es la inclusion y el otro homomorfismoes el paso al cociente siendo M′m el haz cociente de Mm+1 por Mm.

Observese que para cada q ∈ U ′ r p, las fibras de los haces Mm y Mm+1

en q tambien coinciden (porque en U ′rp, las funciones que dan los hacesMm

y Mm+1 son holomorfas) o equivalentemente, la fibra de M′m en q ∈ U ′ r pes trivial. Mientras que su fibra en el punto p son precisamente las constantes,esto es, (M′m)p = C (pues harıamos cociente por funciones con polo de ordenmenor o igual que m + 1 por funciones con polo de orden menor o igual quem). En este sentido, decimos que M′m es un haz concentrado en p, ya quepor todo lo que hemos dicho se tiene que: Hp(U ′,M′m) = 0 para todo p ≥ 1 yH0(U ′,M′m) = C.

Tomemos entonces la sucesion exacta larga de grupos de cohomologıa aso-ciada a la sucesion exacta corta de arriba. Una parte de la misma es:

0 → Γ(U ′,Mm)→ Γ(U ′,Mm+1)→ Γ(U ′,M′m)→→ H1(U ′,Mm)→ H1(U ′,Mm+1)→ H1(U ′,M′m)→ . . .

Como H1(U ′,M′m) = 0, el morfismo H1(U ′,Mm) → H1(U ′,Mm+1) esexhaustivo y como ademas Γ(U ′,M′m) = C, entonces surgen dos posibilidades:

1. dimCH1(U ′,Mm) = 1 + dimCH1(U ′,Mm+1)

2. dimCH1(U ′,Mm) = dimCH1(U ′,Mm+1)

La posibilidad (1) se reduce a la posibilidad (2) porque de (1) se de-duce que dimCH1(U ′,Mm) es una funcion decreciente de m, luego enalgun momento debe estacionar, es decir, la igualdad (1) solo puede dar-se para un conjunto finito de valores de m ∈ N, de modo que hay unm0 ∈ N tal que dimCH1(U ′,Mm0

) = dimCH1(U ′,Mm0+1), lo cual im-

plica que Ker(H1(U ′,Mm0

) → H1(U ′,Mm0+1))

= Im(

Γ(U ′,Mm0+1) →

Γ(U ′,M′m0))

es trivial y, por ello, podemos escribir la siguiente sucesion exacta:

0→ Γ(U ′,Mm0)→ Γ(U ′,Mm0+1)→ Γ(U ′,M′m0

)→ 0 ,

de donde se deduce que Γ(U ′,Mm0) ( Γ(U ′,Mm0+1), o sea, que existe unafuncion meromorfa en U ′, sin polos en U ′ r p y con polo en p de ordenexactamente m0 +1; lo cual acaba la demostracion del lema como ya razonamosal comienzo.

4.6 Lema. Sea V una superficie de Riemann abierta y U un abierto suyo. SiU es relativamente compacto, entonces H1(U,O) es trivial.

36

Demostracion. Por el lema previo sabemos de la existencia de una funcion ho-lomorfa y no constante en U , llamemosla f .

Observemos ahora que H1(U,O) es un O(U)-modulo, luego en particular esun C[f ]-modulo y por el lema 4.3, sabemos que es un C-espacio vectorial dedimension finita. Vamos a ver que existe un polinomio P en f con coeficientescomplejos tal que P · H1(U,O) = 0.

En efecto, tomemos elementos m1, . . . ,mr ∈ H1(U,O) que generen es-te grupo de cohomologıa sobre O(U). Como H1(U,O) es de dimension fini-ta como C-espacio vectorial, no puede ser que los infinitos elementos suyosm1, fm1, f

2m1, . . . sean linealmente independientes sobre C; lo que quieredecir que hay un polinomio en f con coeficientes en C, digamos P1(f); tal queP1(f) ·m1 = 0. Analogamente, vemos que existen polinomios P2, . . . , Pr ∈ C[f ],de modo que Pi(f) ·mi = 0, para cada i = 2, . . . , r. Por tanto, el polinomio quebuscamos es P (f) := P1(f) · . . . · Pr(f).

Tomemos pues un polinomio P ∈ C[f ] como antes y consideremos ası lasiguiente sucesion exacta de haces en U .

0→ P · O → O → F→ 0 ,

donde el primer homomorfismo no trivial es la inclusion y el otro es el paso alcociente, siendo F el haz cociente de O por P · O.

Observese que sobre los puntos que no son ceros del polinomio P , las fibrasdel haz F son cero, es decir, F es un haz soportado en el conjunto discreto de losceros de P . Luego, haciendo referencia al ejemplo (c) de A.2.38, deducimos queF es un haz fino y, por tanto, es acıclico como ya sabemos, o sea, Hp(U,F) = 0,para todo p ≥ 1. Tomando la sucesion exacta larga de grupos de cohomologıaasociada a la anterior sucesion exacta corta de haces, escribimos una parte dela misma:

. . .→ H1(U,P · O)→ H1(U,O)→ H1(U,F)→ . . .

Ademas, Im(H1(U,P ·O)→ H1(U,O)

)esta contenida en P ·H1(U,O) (sin

mas que tener en cuenta que todo 1-cociclo de algun recubrimiento adecuado deU con coeficientes en P · O es el producto de P por un 1-cociclo de este mismorecubrimiento con coeficientes en O; ya que O es un O-modulo).

Como el polinomio P escogido es tal que P · H1(UO) = 0, entonces

Im(H1(U,P · O) → H1(U,O)

)= 0. Por la condicion de exactitud de la su-

cesion, obtenemos que tambien es Ker(H1(U,O) → H1(U,F)

)= 0 y como

H1(U,F) = 0, por lo dicho antes, deducimos ya que H1(U,O) = 0, concluyendoel lema.

4.7 Observacion. Si U es un abierto relativamente compacto en una superficiede Riemann abierta V, entonces dada ω ∈a (0,1)(V) existe una funcion f ∈C∞(U) tal que ∂f = ω|U .

En efecto, consideremos la sucesion exacta de haces de que se dispone deforma natural segun se vio en 2.3:

0→ O → C∞ ∂→ a (0,1) → 0

Tomando la sucesion exacta larga de grupos de cohomologıa que lleva asocia-da y teniendo en cuenta que H1(U,O) es trivial en virtud del lema que acabamos

37

de demostrar, se deduce inmediatamente que el operador ∂ es exhaustivo, quees precisamente lo que decıamos arriba.

Para el siguiente lema hacemos uso de la topologıa definida en el ejemplo(b) de B.2.14 para C∞(V), siendo V una superficie de Riemann cualquiera.

4.8 Lema. Sea V una superficie de Riemann y T : C∞(V)→ C una aplicacionlineal y continua. Entonces, existe un subconjunto compacto K de V tal quef ∈ C∞(V) y sop(f) ⊂ V rK implica que T (f) = 0.

Demostracion. Por la continuidad de T , hay un entorno abierto U de 0 enC∞(V) tal que si f ∈ U , entonces |T (f)| < 1. Como U es un subconjuntoabierto de C∞(V), entonces U contiene un abierto basico de la topologıa deC∞(V); llamemosle U0. Por definicion de esta topologıa, dicho abierto basico esde la forma:

U0 := f ∈ C∞(V) : maxpK1,α1(f), . . . , pKr,αr (f) < ε ,

para algun ε > 0, algunos subconjuntos compactos K1, . . . ,Kr de V y algunosα1, . . . , α2 ∈ (Z+)2.

Tomemos ahora el subconjunto compacto de V dado por K := K1∪ . . .∪Kr.Observese que si f ∈ C∞(V) y sop(f) ⊂ V rK, entonces f se anula en algunentorno de K1, . . . ,Kr (por la eleccion de K). Por tanto, serıa pK1,α1(f) =. . . = pKr,αr (f) = 0, luego f ∈ U0 ⊂ U y con ello |T (f)| < 1. Esto siguesiendo cierto para nf , con n ∈ N, escribiendo |T (nf)| < 1, para todo n ∈ No equivalentemente |T (f)| < 1

n , para todo n ∈ N; lo cual quiere decir queT (f) = 0, como se querıa demostrar.

4.9 Observacion. Observese que debido a la topologıa considerada ena (0,1)(V)(ver B.2.16), el lema analogo al anterior sigue siendo cierto cuando sustituimosC∞(V) por a (0,1)(V), siguiendo el mismo razonamiento.

4.10 Lema. Sea V una superficie de Riemann y U un subconjunto abierto suyo.Si S :a (0,1)(V)→ C es una aplicacion lineal y continua tal que S(∂g) = 0, paratoda funcion g ∈ C∞c (U); entonces hay una 1-forma holomorfa σ en U tal que:

S(ω) =

∫U

σ ∧ ω ,

para toda ω ∈a (0,1)(V) con soporte compacto contenido en U .

Demostracion. Sea W un abierto coordenado de V contenido en U con coorde-nada z. Consideramos la siguiente aplicacion:

T : C∞c (W ) −→ Ch 7−→ T (h) := S(hdz) ,

donde hdz se le considera como 1-forma diferencial en toda V con soporte com-pacto (ya que el soporte de la funcion h es compacto y esta contenido en W ).

Puesto que S es lineal y continua por hipotesis, entonces T tambien lo es;o sea, T es una distribucion en W (consultar B.3.3). Ademas, si ϕ ∈ C∞c (W ),

entonces T (∂ϕ∂z )def.= S(∂ϕ∂z dz) = 0, por la condicion que cumple S. Ahora bien,

por la definicion de derivada de una distribucion (ver B.3.6) se tiene que T (∂ϕ∂z ) =

38

∂T∂z . Del Lema de Weyl (ver en B.3.14) se deduce, por tanto, que T es una funcionholomorfa en W , es decir, existe una funcion f ∈ O(W ) tal que T = Tf , o sea,para cada h ∈ C∞c (W ), T (h) =

∫Wfh dxdy, siendo x := Re(z), y := Im(z).

Con lo cual, dada ω ∈a (0,1) con soporte compacto contenido en W , luegode la forma ω = hdz con h ∈ C∞c (W ); podemos escribir lo siguiente:

S(ω) = S(hdz)def.= T (h) =

∫W

fh dxdy∗=

∫W

fhi

2dz ∧ dz ≡

∫W

σW ∧ ω ,

donde se ha definido σW := f i2dz. En (*) simplemente se ha utilizado el cambiode coordenadas reales a coordenada compleja teniendo en cuenta que dz ∧ dz =−2i dx ∧ dy (como muestra un sencillo calculo).

Sea W ′ otro abierto coordenado de V contenido en U , entonces existe una1-forma holomorfa σW ′ en W ′ verificando lo analogo a lo que hemos obtenidoarriba. Ası, en caso de que W ∩W ′ 6= φ, se deduce facilmente que σW = σ′W .

Con todo ello, hemos demostrado que existe una 1-forma holomorfa σ en Utal que σ = σW , para todo abierto coordenado W contenido en U ; de modo quesi ω ∈a (0,1) y tiene soporte compacto contenido en algun abierto coordenadode U , entonces S(ω) =

∫Uσ ∧ ω.

Consideremos ahora ω ∈a (0,1) cualquiera con soporte compacto conteni-do en U y sea Wii∈I un recubrimiento de U por abiertos coordenados. Seaϕnn∈N una particion de la unidad en U subordinada al recubrimiento Wii∈I(vease C.2). Como estamos suponiendo que sop(ω) es compacto, entonces hayun conjunto finito de abiertos del recubrimiento Wi considerado que recubrensop(ω), luego hay un conjunto finito de funciones de la particion de la unidadconsiderada, digamos ϕn1

, . . . , ϕnr tales que ϕn1+ . . .+ ϕnr = 1 en sop(ω).

En consecuencia, utilizando esta particion de la unidad y lo que hemos de-mostrado antes escribimos lo siguiente:

S(ω) = S(ϕn1ω + . . .+ ϕnrω) =

∫U

σ ∧ (ϕn1ω) + . . .+

∫U

σ ∧ (ϕnrω) =

=

∫U

σ ∧ (

r∑j=1

ϕnjω) =

∫U

σ ∧ ω ,

con lo que se concluye finalmente el lema.

4.11 Teorema. Sea V una superficie de Riemann abierta y U un subconjuntoabierto relativamente compacto suyo. Si V r U no tiene componentes conexascompactas y U ′ es un entorno abierto relativamente compacto de U , entoncesla imagen de O(U ′) en O(U) (por el homomorfismo de restriccion) es densa.

Demostracion. En virtud del corolario B.1.22 del Teorema de Hahn-Banach(en su version geometrica), resulta que para nuestro objetivo basta con ver quetoda forma lineal y continua de O(U) que se anule sobre la imagen de O(U ′), esidenticamente nula en O(U). Ademas, en virtud del propio Teorema de Hahn-Banach (en su version analıtica, ver B.1.12), podemos suponer que la formalineal y continua considerada de O(U) es la restriccion a O(U) de una formalineal y continua de C∞(U).

Consideremos entonces T : C∞(U)→ C una aplicacion lineal y continua quese anula sobre la imagen de O(U ′) en O(U). Queremos ver que T |O(U) ≡ 0.

39

Por lo que hemos dicho en la observacion 4.7 sabemos que dada una formaω ∈a (0,1)(V), existe una funcion f ∈ C∞(U ′) tal que ω|U ′ = ∂f , lo cual nospermite definir una aplicacion S :a (0,1)(V) → C como S(ω) := T (f |U ), paratoda ω ∈a (0,1)(V). Observese que la definicion de S no depende de la funcionf ∈ C∞(U ′) escogida, pues si f1 ∈ C∞(U ′) es otra funcion verificando lo analogoa f para una misma forma ω ∈a (0,1)(V) dada, entonces ∂(f − f1) = 0 y pordefinicion del operador ∂ es claro que f − f1 ∈ O(U ′), luego (f − f1)|U esta enla imagen de O(U ′) en O(U) y como T es nula en esta imagen por hipotesis,deducimos que se obtiene la misma definicion para S con la nueva funcion f1.

Por la linealidad de T , S tambien es una aplicacion lineal. Veamos quetambien es continua. Consideremos el siguiente conjunto:

E := (ω, f) ∈ a (0,1)(V)× C∞(U ′) : ω|′U = ∂f

Tanto a (0,1)(V) como C∞(U ′) son espacios de Frechet como ya se sabe (consusl-tar B.2.14) y como E es un subespacio cerrado (por la continuidad del operador∂) de su producto directo, entonces las propiedades enunciadas en B.2.18 sobrelos espacios de Frechet, nos dan que el conjunto E que acabamos de definir,tambien es un espacio de Frechet.

Consideremos el siguiente diagrama conmutativo:

Eπ2 //

π1

C∞(U)

T

a (0,1)(V)

S // C

donde π1 indica la proyeccion de E en el primer factor y π2 la proyeccion deE en el segundo factor, y debe entenderse (segun el diagrama) que esta π2 vaseguida de la restriccion de funciones de C∞(U ′) a C∞(U).

Es claro que la proyeccion π1 es una aplicacion lineal, continua y exhaustivaentre espacios de Frechet; luego el Teorema de la Aplicacion Abierta de Banach(ver B.1.8 y B.2.13) nos da que π1 es una aplicacion abierta, de modo quejunto con la conmutatividad del diagrama y la continuidad de T , se deduce lacontinuidad de S, como se querıa.

Por otro lado, dada la aplicacion lineal y continua T : C∞(U)→ C considere-mos un subconjunto compacto K de U tal que si h ∈ C∞(U) y sop(h) ⊂ U rK,entonces T (h) = 0; el cual existe en virtud del lema 4.8.

Analogamente, dada la aplicacion lineal y continua S :a (0,1)(V) → Cconsideremos un subconjunto compacto L de V tal que si ω ∈a (0,1)(V) ysop(ω) ⊂ V r L, entonces S(ω) = 0; el cual existe por el mismo resultado.

Vamos a ver que el compacto L podemos escogerlo como η(K). Sea g ∈C∞c (V) tal que sop(g) ⊂ V rK. Por definicion de la aplicacion S, se tiene queS(∂g) = T (g|U ) y como sop(g|U ) ⊂ U rK, entonces es T (g|U ) = 0. Con lo cualpodemos aplicar el lema 4.10 al abierto V rK, de modo que existe una 1-formaholomorfa σ en V rK tal que S(ω) =

∫VrK σ ∧ ω, para toda ω ∈a (0,1)(V) con

soporte compacto contenido en V rK.Por la eleccion de L, resulta que si ademas sop(ω) ⊂ V r L, entonces 0 =

S(ω) =∫VrK σ∧ω, para toda ω ∈a (0,1)(V) y como consecuencia se deduce que

σ es identicamente nula en V r (K ∪ L)Como cualquier componente conexa de Vrη(K) tiene que cortar a Vr(K∪L)

(porque no es relativamente compacta), σ = 0 en alguna parte abierta no vacıa

40

de la mencionada componente conexa y como σ es holomorfa, σ es identicamen-te nula sobre toda esa componente conexa (por el Principio de ProlongacionAnalıtica). Por tanto, σ = 0 en V r η(K).

Con lo cual, si ω ∈a (0,1)(V) y sop(ω) ⊂ Vrη(K), entonces∫Vrη(K)

σ∧ω =

S(ω) = 0, lo que quiere decir que podemos suponer que L es de la forma η(K).Finalmente, sea f ∈ O(U) y sea ϕ ∈ C∞c (U) igual a 1 en algun entorno de

η(K) contenido en U , lo cual es posible porque η(U) = U porque VrU no tienecomponentes conexas compactas por hipotesis. Se tiene lo siguiente:

T (f) = T (ϕf) = S(∂ϕf) ,

que es cero porque ∂ϕf = 0 en algun entorno de η(K), pues en dicho entornoes ϕf = f , que es holomorfa; luego sop(∂ϕf) ⊂ V r η(K).

Todo ello nos permite concluir el teorema.

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5. Consecuencias y conclusiones

5.1. El Teorema de Behnke-Stein

Como se explico en la seccion 3.1, el problema fundamental que se planteaen el plano complejo es la aproximacion de una funcion holomorfa por mediode polinomios globalmente, esto es, en todo el dominio de definicion de dichafuncion holomorfa. En la mencionada seccion, el Teorema de Aproximacion deRunge nos da, por su parte, la condicion que debe cumplir el abierto U dedefinicion de una funcion holomorfa para que esta sea aproximable por funcionesholomorfas. Recordemos que dicha condicion era U rK no tenga componentesconexas relativamente compactas, para cada subconjunto compacto K de U .

En este sentido, observamos que el teorema 4.11 con el que se ha concluidoel apartado anterior representa ya una generalizacion del teorema de Rungepara el caso de abiertos relativamente compactos en superficies de Riemannabiertas, pues en caso de que V sea una superficie de Riemann abierta y Uun abierto relativamente compacto en V tal que V r U no tenga componentesconexas compactas, entonces el mencionado teorema nos dice que toda funcionholomorfa en U es uniformemente aproximable por funciones holomorfas de unentorno abierto relativamente compacto de U .

Ası, el Teorema de Behnke-Stein generaliza esta condicion para superficiesde Riemann abiertas con abiertos arbitrarios de las mismas, es decir, la apro-ximacion se hace por medio de funciones holomorfas sobre toda la superficie Vimponiendo la condicion analoga a la del clasico Teorema de Aproximacion deRunge, esto es, que V r U no tenga componentes conexas compactas.

Teniendo en cuenta el teorema 4.11 del apartado anterior, lo primero quedebemos hacer con idea de abordar el Teorema de Behnke-Stein segun lo queacabamos de explicar, consiste en expresar una superficie de Riemann abiertacomo union de abiertos relativamente compactos cumpliendo ademas las condi-ciones naturales en terminos de la conlusion que queremos demostrar. Esto lorecogemos en la siguiente:

5.1.1 Proposicion. Sea V una superficie de Riemann abierta. Se verifica que:

1. Existe una sucesion de abiertos relativamente compactos en V, (Un)n∈Ntal que:

a) V =∞⋃n=1

Un

b) Un ⊂ Un+1, para todo n ∈ Nc) V r Un no tiene componentes conexas compactas, para todo n ∈ N

2. Si U ′ es un abierto de V tal que V r U ′ no tiene componentes conexascompactas y U es un subconjunto abierto de U ′ tal que U ′ r U no tienecomponentes conexas compactas, entonces V r U tampoco las tiene.

Demostracion. 1. Por el lema 3.1.9, sabemos de la existencia de una sucesionde compactos (Kn)n∈N en V tal que:

a) V =∞⋃n=1

Kn

42

b) Kn ⊂Kn+1, para todo n ∈ N

c) VrKn no tiene componentes conexas relativamente compactas, paratodo n ∈ N

Recubramos ∂Kn+1 con discos coordenados D1, . . . , Dr que no corten a

Kn y sea Un := Kn+1 rr⋃j=1

Dj , que es un abierto relativamente compacto

de V por construccion.

Veamos que V r Un no tiene componenentes conexas relativamente com-pactas. En efecto, pues si existiera una tal componente, digamos A; deberıaser ∂A ⊂ ∂Un (pues ∂A ⊂ Un), por lo que habrıa algun punto en ∂Dj ,para algun j = 1, . . . , r en ∂A, luego tambien en A (que es cerrado). ComoA es una componente conexa y Dj ⊂ V r Un, entonces Dj ⊂ A y comoDj corta a alguna componente conexa X de V r Kn+1, tendrıa que serX ⊆ A, lo cual es imposible porque X no es relativamente compacta (porla eleccion de los (Kn)n∈N).

2. En efecto, supongamos que A es una componente conexa compacta deV r U . No puede ser que A ⊂ U ′ (porque U ′ r U no tiene componentesconexas compactas), luego A corta a VrU ′, por lo que tiene que contener aalguna componente conexa de VrU ′, lo cual es imposible porque ningunade ellas es compacta.

Todo ello nos permite dar finalmente el ansiado:

5.1.2 Teorema (de Behnke-Stein). Sea V una superficie de Riemann abiertay U un subconjunto abierto suyo. Si V rU no tiene componentes conexas com-pactas, entonces O(V) es denso en O(U), esto es, toda funcion holomorfa en Ues uniformemente aproximable en los compactos de U por funciones holomorfasen V.

Demostracion. Sea f ∈ O(U) y K un subconjunto compacto de U . Dado ε > 0,vamos a ver que existe una funcion F ∈ O(V) tal que ‖F − f‖K < ε.

En virtud de la proposicion 5.1.1 previa, podemos suponer que U es relati-vamente compacto en V. Ası, sea (Un)n∈N una sucesion de abiertos en V comoen la mencionada proposicion tal que U = U1 (como suponemos que U es re-lativamente compacto, entonces a partir de un ındice n ∈ N todos los abiertosUn de la sucesion contendran a nuestro U por las propiedades que verifica estasucesion de abiertos y por ello podemos tomar U = U1).

Por el teorema 4.11 (el cual se puede aplicar a cada uno de los abiertos de lasucesion (Un)n∈N escogida por las propiedades que verifica), sabemos que existeuna funcion f1 ∈ O(U2) tal que ‖f1−f‖K < ε

2 . Aplicando el mismo teorema porrecurrencia, se deduce que para cada n ≥ 2 existe una funcion fn ∈ O(Un+1)tal que ‖fn − fn−1‖Un−1

< ε2n .

Como consecuencia, se obtiene que para cada n ∈ N, la sucesion fn+pp∈Nconverge uniformemente en Un a una funcion Fn ∈ O(Un) y que si m > n, Fmcoincide con Fn en Un. Luego, como esto es cierto para cada n ∈ N y (Un)n∈Nforman un recubrimiento de V, hay una funcion F ∈ O(V) tal que F = Fn, encada Un.

43

Ademas, por la construccion hecha se tiene lo siguiente:

‖F − f‖K ≤ ‖f1 − f‖K + ‖f2 − f1‖U + . . . <ε

2+

ε

22+ . . . = ε ,

como se querıa demostrar.

5.2. Existencia de funciones meromorfas en Superficies deRiemann abiertas

A continuacion, vamos a ver algunas de las principales consecuencias delTeorema de Behnke-Stein.

Seguiremos el mismo esquema que se hizo en la seccion 3.2, pues como elTeorema de Behnke-Stein representa la generalizacion del Teorema de Aproxi-macion de Runge, entonces las mismas conclusiones son ciertas ahora para lassuperficies de Riemann abiertas y ademas los mismos argumentos que se utili-zaron para el caso de los abiertos del plano complejo son ahora aplicables parael caso de este tipo de superficies. Por este motivo, no detallamos las demos-traciones de estos resultados, pues ahora la teorıa estudiada para C se “copia”para las superficies de Riemann abiertas al disponer ya de nuestro teorema deaproximacion de funciones holomorfas sobre tales superficies.

5.2.1 Teorema. Sea V una superficie de Riemann abierta. El operador ∂ :C∞(V)→a (0,1)(V) es exhaustivo.

Demostracion. Si U es un subconjunto abierto relativamente compacto de V,entonces la observacion 4.7 nos dice que el operador ∂ : C∞(U) →a (0,1)(U)es exhaustivo. Considerando una sucesion (Un)n∈N de abiertos en V como enla proposicion 5.1.1 y aplicando el argumento analogo al que se seguıa en elteorema 3.2.1, pero utilizando aquı el Teorema de Behnke-Stein (en lugar deutilizar el Teorema de Aproximacion de Runge) se obtiene facilmente la conclu-sion deseada.

5.2.2 Lema. Sea V una superficie de Riemann abierta. Si O denota al haz defunciones holomorfas definido sobre V, entonces su primer grupo de cohomologıade Cech en V es trivial, esto es, H1(V,O) = 0.

Es mas, el haz O es acıclico, es decir, Hp(V,O) = 0, para todo p ≥ 1.

Demostracion. Basta con considerar la sucesion exacta natural de haces que nosproporciona el operador ∂:

0→ O → C∞ ∂→ a (0,1) → 0

Tomando la sucesion exacta larga de grupos de cohomologıa que lleva aso-ciada y aplicando el teorema previo, se deduce inmediatamente la afirmaciondel enunciado.

Finalmente, los buscados teoremas de existencia de funciones meromorfassobre las superficies de Riemann abiertas se obtienen ya de forma inmediata,pues los resultados previos que acabamos de exponer nos permiten razonar demodo completamente analogo a como se hizo en el apartado 3.2 para dar elTeorema de Mittag-Leffler y el Teorema de Weierstrass.

Observese que las definiciones 3.2.5 y 3.2.8 pueden darse tambien para unasuperficie de Riemann arbitraria, obteniendo por un lado:

44

5.2.3 Definicion. Sea V una superficie de Riemann y U un abierto suyo. Unadistribucion de partes singulares en U es una ley que asigna a cada punto a ∈ Uuna parte singular en a, es decir, un polinomio en 1

z−z(a) sin termino inde-

pendiente siendo z una funcion coordenada en U , de modo que estas partessingulares sean distintas de cero unicamente en un subconjunto discreto de U .

Al conjunto de todas las distribuciones de partes singulares en U lo denota-remos por S(U).

Con lo que damos la generalizacion del Teorema de Mittag-Leffler para su-perficies de Riemann abiertas:

5.2.4 Teorema (de Mittag-Leffler, generalizado). Sea V una superficie de Rie-mann abierta. Toda distribucion de partes singulares en V es de la forma s(f),para alguna funcion f ∈M(V).

Y por otro lado,

5.2.5 Definicion. Sea V una superficie de Riemann y U un abierto suyo. Undivisor en U es una aplicacion de U en Z que se anula en todos los puntos delcomplementario en U de algun subconjunto discreto suyo.

Si δ : U → Z es un tal divisor y S es un subconjunto discreto de U talque δ ≡ 0 en U r S, entonces al divisor δ se le representara formalmente de lasiguiente manera:

δ :=∑p∈S

np · p ,

siendo np el numero entero que δ asigna al punto p.

5.2.6 Definicion. Sea V una superficie de Riemann, U un abierto suyo y f unafuncion meromorfa en U no identicamente nula en ninguna de las componentesconexas de U , o sea, f ∈M∗(U). Se llama divisor de la funcion f a la aplicacionde U en Z definida del siguiente modo:

div(f) : U −→ Zp 7−→ div(f)(p) := ordp(f) ,

donde ordp(f) es el numero entero definido por:

ordp(f) :=

n , si f tiene en p un cero de orden n

0 , si f no se anula ni tiene polo en p

−m , si f tiene en p un polo de orden m

5.2.7 Definicion. Sea V una superficie de Riemann y U un abierto suyo. Undivisor δ en U se dice que es principal si exsite una funcion f ∈M∗(U) tal quediv(f) = δ.

Con lo que damos la generalizacion del Teorema de Weierstrass para super-ficies de Riemann abiertas:

5.2.8 Teorema (de Weierstrass, generalizado). Sea V una superficie de Rie-mann abierta. Todo divisor en V es principal.

Haciendo referencia a la observacion 2.2.6, podemos describir ya quien es elcuerpo de funciones meromorfas de una superficie de Riemann abierta:

45

5.2.9 Teorema. Sea V una superficie de Riemann abierta. El cuerpo de funcio-nes meromorfas en V, M(V), es el cuerpo de fracciones del anillo de funcionesholomorfas en V, O(V).

Demostracion. En primer lugar, es claro que para demostrar que M(V) es elcuerpo de fracciones de O(V) basta que ver que toda funcion meromorfa en Vpuede expresarse como cociente de dos funciones holomorfas en V.

En efecto, sea h ∈M(V).Si pii∈I denota el conjunto de los polos de la funcion h, sea δp := −

∑i∈Imi·pi

el divisor de polos correspondiente, donde mi es el orden del polo pi para cadai ∈ I. En virtud del Teorema de Weierstrass sabemos de la existencia de unafuncion holomorfa g ∈ O(V) cuyo divisor sea precisamente −δp, es decir, g esuna funcion holomorfa en V con ceros unicamente en pii∈I de ordenes mi paracada i ∈ I, respectivamente.

Por otro lado, si qjj∈J denota por su parte el conjunto de ceros de lafuncion h, sea δc :=

∑j∈J

nj · qj el divisor de ceros correspondiente, donde nj es

el orden del cero qj para cada j ∈ J . En virtud del Teorema de Weierstrasssabemos de la existencia de una funcion holomorfa f1 ∈ O(V) cuyo divisor seaprecisamente δc, es decir, f1 es una funcion holomorfa en V con ceros unicamenteen qjj∈J de ordenes nj para cada j ∈ J , respectivamente.

La funcion f1g es una funcion meromorfa en V cuyo divisor asociado es,

por construccion, el mismo que el divisor de la funcion h escogida. Como con-secuencia, h y f1

g se distinguen en una funcion holomorfa sin ceros, digamos

f2 ∈ O∗(V); es decir,

h =f1gf2 ≡

f

g,

donde f := f1f2 es una funcion holomorfa en V con ceros unicamente en qjj∈Jy se concluye la demostracion.

5.3. Variedades de Stein

En este apartado se quiere hacer una breve mencion sobre el marco masgeneral en que se encuentra el Teorema de Behnke-Stein, cuya demostracion hasido uno de los objetivos finales del trabajo.

Las “variedades de Stein” pueden considerarse como el ambiente naturaldonde estudiar la teorıa de funciones de la forma mas general posible (puededecirse que las variedades de Stein son para la geometrıa compleja como lasvariedades afines para la geometrıa algebraica). Ası, hay dos teoremas funda-mentales en el estudio de la teorıa de funciones sobre estas variedades, que sonlos llamados Teorema A de Cartan y Teorema B de Cartan, con los que puededarse una caracterizacion de las variedades de Stein en terminos de cohomologıa,lo que permite despues, ademas, dar los teoremas analogos al de Mittag-Lefflery Weierstrass generalizados ahora para este tipo de variedades.

Ası como la teorıa elemental de funciones de una variable compleja da piea generalizarla para las superficies de Riemann; la analoga teorıa de funcionespara el caso de varias variables complejas se traslada a las variedades complejasen general. Si al trabajar con superficies de Riemann distinguıamos el caso de lassuperficies de Riemann abiertas en particular, ahora se distingue el caso de las

46

variedades complejas que sean de Stein. Como ya se ha explicado en la introduc-cion, el problema fundamental (desde un punto de vista geometrico-analıtico)es el de la existencia de funciones meromorfas. Para la teorıa de funciones deuna varibale compleja, dicho problema se concluıa con los teoremas de Mittag-Leffler y Weierstrass; el problema analogo para la teorıa de funciones en variasvariables se plantea con los llamados Primer problema de Cousin y SegundoProblema de Cousin, respectivamente; demostrandose que para una variedad deStein dichos problemas tienen solucion.10

Evidentemente, no es el objetivo aquı llevar a cabo un estudio de las cues-tiones anteriores, pero si el lector esta interesado el libro [8] de C. Gunning y H.Rossi puede ser una buena referencia donde encontrar una detallada construc-cion de la teorıa de funciones en varias variables complejas.

Pues bien, en vista de lo que acabamos de explicar y por lo que ya hemosdemostrado anteriormente acerca de las superficies de Riemann abiertas, es na-tural pensar que toda superficie de Riemann abierta sea una variedad de Stein.Introduciendo algo de lenguaje, esto es lo que nos proponemos ver a continua-cion, que no es mas que una consecuencia de los resultados previos.

5.3.1 Definicion. Una variedad topologica V de dimension n ∈ N es un espaciotopologico Hausdorff en el que cada punto tiene un entorno abierto homeomorfoa un abierto de Rn.

Analogamente a como se hizo en 2.1 se define un “atlas holomorfo” sobreuna variedad topologica de dimension n, con lo que tambien se da la definicionde ”estructura holomorfa”, pero en lugar de considerar C, se debe tomar Cn.Ası, surge la siguiente:

5.3.2 Definicion. Una variedad compleja de dimension n (o variedad analıticade dimension n) es una variedad topologica de dimension n en la que se considerauna estructura holomorfa.

5.3.3 Ejemplo. Las superficies de Riemann que hemos estudiado son varieda-des complejas de dimension n=1.

5.3.4 Nota. Ası como una superficie de Riemann se interpretaba, por su defini-cion, como un espacio que localmente es C, una variedad compleja n-dimensionalse interpreta como un espacio que localmente es Cn.

Como hemos hecho notar, los principales resultados conocidos de variablecompleja se generalizan de forma inmediata para el caso de las superficies deRiemann.

Por otro lado, se puede hacer un estudio de la teorıa de funciones de variasvariables complejas introduciendo el concepto de funcion holomorfa para fun-ciones de varias variables complejas y llevando a cabo una teorıa generalizadade la ya conocida para una variable compleja. De modo que esta teorıa puedegeneralizarse ahora para variedades complejas n-dimensionales de forma analo-ga a como se hace con la teorıa de funciones de una variable compleja para lassuperficies de Riemann.

En particular, por ejemplo, si V es una variedad compleja n-dimensionalentonces es lıcito considerar el espacio O(V) de las funciones holomorfas de V,

10Para el segundo habrıa que imponer una condicion topologica anadida, que para el casode las superficies de Riemann abiertas se verifica de forma natural.

47

pues la definicion de funcion holomorfa sobre una tal V sera la analoga a la defuncion holomorfa sobre una superficie de Riemann.

Todo esto puede verse de forma detallada en [8].

5.3.5 Definicion. Sea V una variedad compleja y K un subconjunto compactosuyo. Se llama envolvente holomorfa de K al siguiente conjunto:

K := p ∈ V : |f(p)| ≤ ‖f‖K , para toda f ∈ O(V)

5.3.6 Observacion. La envolvente holomorfa de un subconjunto compacto Ksiempre es un subconjunto cerrado como se ve facilmente.

5.3.7 Definicion. Sea V una variedad compleja y U un abierto suyo. Se dice queU es holomorficamente convexo si la envolvente holomorfa de todo subconjuntocompacto de U es un subconjunto compacto de U .

5.3.8 Definicion. Una variedad compleja V se dice que es una variedad deStein si se verifican las siguientes propiedades:

1. V es holomorficamente convexa.

2. O(V) separa puntos, esto es, si p, q ∈ V son puntos distintos de la variedad,entonces existe una funcion holomorfa f en V tal que f(p) 6= f(q).

5.3.9 Lema. Sea V una superficie de Riemann abierta. Si pii∈I es un conjuntodiscreto de puntos distintos de V, entonces dado para cada i ∈ I un numerocomplejo zi ∈ C existe una funcion holomorfa f ∈ O(V) tal que f(pi) = zi, paracada i ∈ I.

Demostracion. Dado el conjunto discreto de puntos pii∈I , definimos el divisoren V, δ :=

∑i∈I

1 ·pi. Entonces, el Teorema de Weierstrass (ver 5.2.8) nos asegura

la existencia de una funcion meromorfa en V cuyo divisor es precisamente δ,llamemosla h. Observese que para este divisor δ la funcion h es en realidadholomorfa y estamos diciendo que en cada punto pi, h tiene un cero de orden 1.

Para cada j ∈ I definimos el abierto: Uj := V r⋃i6=jpii∈I . En tal caso,

es obvio que Ujj∈I constituye un recubrimiento abierto de la superficie V.Para cada j ∈ I definimos la funcion gj :=

zjh , que es una funcion meromorfa

en V (cuyos polos son los ceros de la funcion h, o sea, los puntos pii∈I delenunciado).

De la propia definicion del abierto anterior, es claro que para cada j, k ∈ Ise tiene que Uj ∩Uk = Vrpii∈I . Por lo tanto, se deduce que 1

h es una funcionholomorfa en Uj ∩ Uk, para todos j, k ∈ I. Ası pues, definimos la siguientedistribucion de partes singulares en V:

s : p ∈ V s(p) :=

gj , si p = pj , para algun j ∈ I0, si p 6= pj , para todo j ∈ I

En virtud del Teorema de Mittag-Leffler (ver 5.2.4), sabemos de la existenciade una funcion meromorfa en V cuya distribucion singular asociada es precisa-mente s, llamemosla g. Esto quiere decir que la funcion g es tal que la partesingular de su desarrollo de Laurent en cada punto pj es precisamente

zjz−z(pj) ,

donde z es una funcion coordenada en Uj .

48

Definimos ahora f := gh. En tal caso, en cada abierto Uj escribimos losiguiente:

f = gh = gjh− gjh+ gh = gj + (g − gj)h = zj + (g − gj)h ,

donde hay que observar que en Uj , g − gj es una funcion holomorfa (pues enUj el punto problematico para g y gj serıa pj , pero al tomar la diferencia de lasfunciones, el punto deja de ser singular). Como esto es cierto para todo j ∈ I,se deduce que f es una funcion holomorfa en V. Ademas, cada pj es un cero dela funcion h por construccion; luego es claro que f(pj) = zj , para todo j ∈ I(en virtud de la expresion que acabamos de obtener arriba).

Todo ello concluye la demostracion.

5.3.10 Observacion. Sea V una variedad compleja cualquiera verificando lasiguiente propiedad: para toda sucesion discreta de puntos pnn∈N de V, existeuna funcion holomorfa en V, digamos f ; tal que lim

n→∞|f(pn)| =∞.

En tal caso, resulta que V es holomorficamente convexa. En efecto, sea K unsubconjunto compacto de V cualquiera y, por reduccion al absurdo, supongamosque su envolvente holomorfa K no es compacta. Entonces, existe un subconjuntoinfinito de K que no tiene puntos de acumulacion, es decir, existe una sucesiondiscreta de puntos pnn∈N ⊂ K. Por la hipotesis que cumple V, resulta queexiste una funcion holomorfa f en V tal que lim

n→∞|f(pn)| =∞. Ahora bien, por

definicion de la envolvente holomorfa de K, se tiene que |f(xn)| ≤ ‖f‖K < ∞,para todo n ∈ N!! y como K es un cerrado, se llega a contradiccion. Por tanto,K debe ser compacto, como se querıa demostrar.

Pues bien, el lema 5.3.9 previo y la observacion que acabamos de hacer nospermiten ya concluir con el siguiente:

5.3.11 Teorema. Toda superficie de Riemann abierta es una variedad de Stein.

49

Apendices

A. Elementos de Topologıa

Aquı pretendemos dar conceptos basicos y demostrar algunos resultados ele-mentales de Topologıa Algebraica que se han manejado en los razonamientosprevios aplicandolos al caso que nos ocupa de las superficies de Riemann.

A.1. Haces

A.1.1 Definicion. Sea X un espacio topologico cualquiera. Un prehaz F degrupos abelianos en X es una ley que asigna a cada abierto U ⊆ X un grupo

abeliano F(U)not.≡ Γ(U,F) verificandose lo siguiente:

1. Si V ⊆ X es otro abierto contenido en U , existe un morfismo de gru-pos φU,V : F(U) → F(V ); que se llamara morfismo de restriccion (porsimplicidad, si s ∈ F(U), entonces denotaremos φU,V (s) ≡ s|V )

2. Para todo abierto U ⊆ X, φU,U = Id

3. Si W ⊆ V ⊆ U son abiertos, entonces φU,W = φV,W φU,V (con nuestranotacion es s|W = (s|V )|W , si s ∈ F(U))

A.1.2 Observacion. De modo analogo puede definirse un prehaz en un espaciotopologico X para cualquier otra categorıa (conjuntos, anillos, espacios vecto-riales, etc.). Para nosotros los prehaces siempre lo seran de, al menos, gruposabelianos (salvo que se especifique otra categorıa concreta).

A.1.3 Ejemplos. (a) Sea π : E → X una aplicacion continua entre espaciostopologicos. Para cada abierto U ⊆ X, sea F(U) el conjunto de las seccionescontinuas de π sobre U , es decir,

F(U) := s : U → E, continuas tales que π s = Id = HomX(U,E)

(donde se considera a E y al abierto U como espacios topologicos sobre Xpara la ultima igualdad).

Por otro lado, si V ⊆ X es otro abierto contenido en U , entonces se tiene unmorfismo de restriccion natural F(U)→ F(V ) que consiste en la restriccionusual de aplicaciones.

Con todo ello, la regla F := HomX( · , E) que acabamos de definir es unprehaz de grupos abelianos en X, que llamaremos prehaz de las seccionescontinuas de π o prehaz de las secciones continuas de E.

(b) Sea X un espacio topologico y Z el grupo abeliano de los numeros enteros(que supondremos dotado de la topologıa discreta). El prehaz constante Z sedefine como Z(U) := Z para todo abierto U ⊆ X, tomando como morfismosde restriccion la identidad (es claro que la regla U Z(U) que acabamosde definir es, efectivamente, un prehaz de grupos abelianos en X).

Denotaremos con Z tanto al prehaz constante Z como al grupo Z de losnumeros enteros propiamente dicho, siendo el propio contexto quien losdiferencie.

50

(c) Sea X un espacio topologico cualquiera. Para cada abierto U ⊆ X deno-taremos por C(U,C) al grupo de las funciones continuas en U con valorescomplejos, de manera que si V ⊆ X es otro abierto de X contenido enU , podremos consisderar el correspondiente grupo C(V,C). La restriccionnatural de funciones da lugar a un morfismo de grupos:

φU,V : C(U,C) −→ C(V,C)f 7−→ f |V

Ası, la regla C( · ,C)not.≡ C que acabamos de definir junto con la restriccion

natural de funciones, constituye un prehaz de grupos abelianos en X; comose ve inmediatamente.

Observese que cada uno de los conjuntos C(U,C) es ademas una C-algebra,de modo que C( · ,C) es, de hecho, un prehaz de C-algebras en X.

(d) Sea X una variedad diferenciable. Para cada abierto U ⊆ X denotaremospor C∞(U,C) al grupo de las funciones de clase C∞ en U con valores com-plejos.

Al igual que antes, junto con la restriccion natural de funciones;

C∞( · ,C)not.≡ C∞ constituye un prehaz de grupos abelianos en X; co-

mo se ve inmediatamente (de hecho, puede pensarse como un prehaz deC-algebras en X).

(e) Sea V una superficie de Riemann. Para cada abierto U ⊆ V denotaremospor O(U) al grupo (aditivo) de las funciones holomorfas en U .

Al igual que antes, junto con la restriccion natural de funciones;O constituyeun prehaz de grupos abelianos (aditivos) en V; como se ve inmediatamente(de hecho, puede pensarse como un prehaz de C-algebras en V).

(f) Sea V una superficie de Riemann. Para cada abierto U ⊆ V denotaremospor M(U) al grupo (aditivo) de las funciones meromorfas en U .

Al igual que antes, junto con la restriccion natural de funciones; M consti-tuye un prehaz de grupos abelianos (aditivos) en V; como se ve inmediata-mente (de hecho, puede pensarse como un prehaz de C-algebras en V).

(g) Sea V una superficie de Riemann. Para cada abierto U ⊆ V denotaremospor O∗(U) al grupo (multiplicativo) de las funciones holomorfas en U sinceros en U .

Al igual que antes, junto con la restriccion natural de funciones; O∗ cons-tituye un prehaz de grupos abelianos (multiplicativos) en V; como se veinmediatamente.

(h) Sea V una superficie de Riemann. Para cada abierto U ⊆ V denotaremospor M∗(U) al grupo (multiplicativo) de las funciones meromorfas en U noidenticamente nulas en ninguna componente conexa de U .

(i) Sea V una superficie de Riemann. Para cada abierto U ⊆ V denotaremospor a (0,1)(U) al grupo (aditivo) de las 1-formas diferenciales complejas ωen U cuya expresion local en coordenadas es ω = fdϕ, para cierta funcionf ∈ C∞(U) siendo ϕ una funcion coordenada en el abierto U considerado.

51

Comprobandose facilmente que esta definicion no depende de la coordena-da ϕ escogida en el abierto en cuestion, resulta que junto con la restriccionnatural de funciones; a (0,1) constituye un prehaz de grupos abelianos (adi-tivos) en V, como se ve inmediatamente.

Al igual que antes, junto con la restriccion natural de funciones; M∗ cons-tituye un prehaz de grupos abelianos (multiplicativos) en V; como se veinmediatamente.

A.1.4 Definicion. Sea X un espacio topologico. Si F, F′ son prehaces de gruposabelianos sobre X, un homomorfismo de prehaces ϕ : F → F′ consiste en darpara cada abierto U ⊆ X un morfismo de grupos abelianos ϕ(U) : F(U) →F′(U) tal que sea compatible con los morfismos de restriccion de los prehacesconsiderados.

Es decir, tal que para cada par de abiertos U, V ⊆ X con V ⊆ U el siguientediagrama sea conmutativo:

F(U)ϕ(U) //

F′(U)

F(V )

ϕ(V ) // F′(V )

Definimos ahora el concepto de “fibra” de un prehaz.Dado un espacio topologico X y p ∈ X un punto suyo,podemos considerar

diferentes entornos alrededor del mismo. Haciendo referencia al ejemplo clasicodel prehaz de las funciones continuas, el objetivo de la “fibra” consiste en definiruna funcion en un entorno tan “pequeno” como queramos alrededor del puntop. Es decir, el punto p puede pensarse dentro del dominio de diferentes funcio-nes dependiendo del entorno considerado de el, de manera que identificaremosaquellas funciones (y respectivos entornos) cuando en un entorno mas pequenoaun , dichas funciones coincidan. Formalmente, la definicion es la siguiente:

A.1.5 Definicion. Sea X un espacio topologico y F y prehaz sobre X. Si p ∈ Xes un punto del espacio topologico, se define la fibra del prehaz F en p comosigue:

Fp := lım−→U3p

F(U)

A los elementos de Fp se les llamara germenes de F en p.

A.1.6 Observaciones. (a) La categorıa a la que pertenece la fibra de unprehaz en un punto es precisamente la del tipo de prehaz que se consi-dere, esto es, si F es un prehaz de grupos abelianos en X (resp. anillos,espacios vectoriales, etc.), entonces Fp sera un grupo abeliano (resp. anillo,espacio vectorial, etc.); pues se trata del lımite inductivo de objetos de dichacategorıa.

(b) El sistema inductivo que se utiliza para dar la definicion anterior consisteen el conjunto de los grupos abelianos que asocia el prehaz F a cada uno delos abiertos U de X, junto con los morfismos de restriccion.

52

(c) Teniendo en cuenta la definicion del lımite inductivo y lo que hemos expli-cado arriba, podemos dar una construccion mas intuitiva de la fibra: sea Xun espacio topologico y F un prehaz en X. Dado un punto p ∈ X conside-ramos parejas (U, s), donde U ⊆ X es un abierto que contiene a p y s esuna seccion de F en U .

Se define la siguiente relacion de equivalencia: (U, s) ∼ (U ′, s′) si existe unabierto W ⊆ U ∩ U ′ conteniendo al punto p y tal que s|W = s′|WPues bien, el conjunto de parejas (U, s) que hemos descrito, cociente por larelacion de equivalencia que acabamos de definir se denotara por Fp y esprecisamente la fibra de F en el punto p.

Ası pues, los germenes de F en p son clases de equivalencia representadaspor un entorno del punto y una seccion del prehaz en dicho entorno.

(d) Si ϕ : F → F′ es un morfismo de prehaces en X, entonces para cada puntop ∈ X se tiene de forma natural un morfismo entre las fibras ϕp : Fp → F′pdefinido del siguiente modo: ϕp((U, s)) := (U,ϕ(U)(s)), para todo (U, s) ∈Fp y donde ϕ(U) es el morfismo dado.

Puede demostrarse sin dificultad que la definicion no depende del represen-tante escogido de la clase (U, s).

A.1.7 Ejemplo. Sea V una superficie de Riemann y consideremos en ella elprehaz O de las funciones holomorfas.

Sea p ∈ V un punto de la superficie de Riemann. Si f es una funcion holo-morfa en dicho punto, sabemos que la funcion puede expresarse como suma deuna serie de potencias (con coeficientes complejos) convergente en un entornocoordenado del punto, respecto de la coordenada fijada. Llamemos Uf a dichoentorno. Ahora, si g es otra funcion holomorfa en el mismo punto p, entoncestendremos la situacion analoga para otro entorno diferente quizas, digamos Ug.De manera que, las parejas (Uf , f), (Ug, g) estaran relacionadas en el sentido dela definicion de fibra, cuando en la insterseccion de dichos entornos, los desarro-llos en serie de las funciones (que representan a las propias funciones en sendosentornos) coinciden.

En definitiva, estamos diciendo que si p ∈ V es un punto de la superficie deRiemann, la fibra Op del prehaz de las funciones holomorfas en el punto p esprecisamente el grupo de las series de potencias respecto de la coordenada fijadaen un entorno del punto tales que convergen en algun entorno del mismo.

(Analogamente, si M es el prehaz de las funciones meromorfas y p ∈ V unpunto de la superficie de Riemann, entonces la fibra Mp de dicho prehaz en elpunto p es precisamente el grupo de las series de Laurent que convergen en algunentorno reducido del punto, respecto de la coordenada fijada en dicho entorno).

Segun hemos visto, el concepto de “prehaz” trata de formalizar la esencia delproceso de restriccion de funciones. A continuacion, introducimos el conceptode “haz” que consiste, en este caso, en formalizar la esencia del proceso dereconstruccion de funciones “globales” a partir de funciones locales (el cualtiene en consideracion tambien el proceso de restriccion).

A.1.8 Definicion. Sea X un espacio topologico y F un prehaz de grupos abe-lianos en X. Se dice que F es un haz (de grupos abelianos) en X si para todoabierto U ⊆ X y todo recubrimiento por abiertos Uii∈I de U se verifica losiguiente:

53

1. Si s ∈ F(U) y s|Ui = 0 para cada i ∈ I, entonces s = 0

2. Si sii∈I es una familia de elementos de los grupos F(Ui) y siempre queUi ∩ Uj 6= φ se tiene que si|Ui∩Uj = sj |Ui∩Uj , entonces hay un elementos ∈ F(U) tal que s|Ui = si, para cada i ∈ I.

En otras palabras, si tenemos una coleccion de elementos si ∈ F(Ui) paracada i ∈ I que conincidan en las intersecciones de los abiertos, entonces existeun unico elemento s ∈

⋃i∈IUi tal que s|Ui = si

A.1.9 Observacion. La condicion de haz permite trabajar con sus elementosa nivel local para deducir propiedades globales.

En este sentido se verifica lo siguiente: sea F un haz en X y s, s′ dos elementosde F en un abierto U ⊆ X. La condicion necesaria y suficiente para que s y s′

sean iguales es que sus germenes sean iguales para todo punto de U . En efecto,supongamos que los germenes de s y s′ son iguales para todo punto de U , esdecir, sp = s′p para todo punto p ∈ U ; en tal caso para cada punto p ∈ U existeun entorno suyo en U , digamos Up tal que s|Up = s′|Up . Puesto que los abiertosUp con p ∈ U recubren el abierto U y F es un haz, entonces s = s′ en todo Ucomo querıamos demostrar. El recıproco es inmediato.

A.1.10 Ejemplos. (a) Los ejemplos (a), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i) expues-tos en A.1.3, son tambien haces porque las propiedades de continuidad yholomorfıa son cuestiones locales.

(b) El ejemplo (b) expuesto en A.1.3 no es un haz porque podemos tomar dosnumeros enteros distintos, digamos n,m ∈ Z y sendos entornos disjuntos,digamos Un, Um (pues Z es discreto). Por tanto, como Un∩Um = φ, entoncesn|Un∩Um = m|Un∩Um y, sin embargo, no existe un elemento e ∈ Z(Un ∪Um)

def.= Z tal que e|Un = n y e|Um = m; pues tal elemento deberıa ser de

la forma e = (n,m) que, obviamente, no es un numero entero!!

A.1.11 Definicion. Sea X un espacio topologico. Una sucesion de homomor-fismos de haces de grupos abelianos en X

. . . −→ Fi−1ϕi−1−→ Fi

ϕi−→ Fi+1ϕi+1−→ . . .

se dice que es exacta si para todo punto p ∈ X la sucesion de fibras

. . . −→ (Fi−1)p(ϕi−1)p−→ (Fi)p

(ϕi)p−→ (Fi+1)p(ϕi−1)p−→ . . .

es una sucesion exacta de grupos abelianos.

A continuacion, vamos a construir un espacio topologico asociado a unprehaz.

Sea X un espacio topologico y F un prehaz en X. Para cada punto p ∈ X,sea Fp la fibra del prehaz F en p. Consideremos ası, la union disjunta de todaslas posibles fibras del prehaz escribiendo: |F| :=

⊔p∈X

Fp

Se tiene una proyeccion natural π : |F| → X asignando a cada germen conel correspondiente punto en donde se tiene definido dicho germen.

54

Por otro lado, dado un abierto U ⊆ X y un elemento s ∈ F(U), se tienedefinida la siguiente aplicacion:

s : U −→ |F|p 7−→ s(p) := sp

donde sp denota el germen del elemento s en el punto p (o sea, el elemento deFp que corresponde a s ∈ F(U)). Observese que, por la propia construccion, esclaro que la aplicacion s es una seccion de la proyeccion natural π, es decir,π s = Id

Por lo tanto, variando los abiertos de X y los elementos del prehaz en cadaabierto, disponemos de una coleccion de aplicaciones sobre el conjunto |F|. Ası,en |F| consideramos como base de abiertos los conjuntos s(U) con U abiertode X y s ∈ F(U) (puede comprobarse sin dificultad que, efectivamente, esteconjunto constituye una base de entornos para una topologıa en |F|). Observeseque esta topologıa es precisamente la mınima que hace continuas cada una delas aplicaciones s que hemos considerado.

Con todo esto, damos la siguiente:

A.1.12 Definicion. Sea X un espacio topologico y F un prehaz en X. Se llamaespacio etale al espacio topologico |F| que acabamos de construir.

A.1.13 Definicion. Sea X un espacio topologico, F un prehaz en X y |F| suespacio etale. Llamaremos haz asociado al prehaz F, y lo denotaremos por F#,al haz de secciones continuas del espacio etale, esto es,

F# := HomX( · , |F|)

A.1.14 Observacion. Se tiene un morfismo natural de prehaces h : F → F#

definido del siguiente modo: si U ⊆ X es un abierto y s ∈ F(U) una seccion delprehaz dado en dicho abierto, entonces h(U)(s) := s, que efectivamente es unelemento de F#(U), como comentamos anteriormente.

Se comprueba entonces que la condicion necesaria y suficiente para que unprehaz F sea un haz es que el morfismo de prehaces h : F→ F# que acabamosde describir sea un isomorfismo.

Por este motivo, si F es un haz en X y U es un abierto de X, entonces a loselementos de F(U) se les llamara secciones del haz F en U ; pues estos elementosseran precisamente aplicaciones continuas de U en |F| cuya composicion con laproyeccion natural π es la identidad.

A.1.15 Ejemplo. Habıamos visto en el ejemplo (b) de A.1.10 que el prehazconstante Z no es un haz. Nos preguntamos entonces, cual es el haz asociado.

Sea X un espacio topologico. En primer lugar, es claro por la propia defini-cion que la fibra del prehaz constante Z en cualquier punto de X es el propiogrupo Z. El espacio etale asociado al prehaz es, por tanto:

|Z| =⊔p∈X

Zp =⊔p∈X

Z ≡ X × Z

Con este calculo, la definicion de haz asociado a un prehaz nos da lo siguiente:

Z# def.= HomX( · , |Z|) = HomX( · , X × Z) = HomX( · ,Z)

55

Es decir, hemos obtenido que para cada abierto U ⊆ X el haz asociadoZ#(U) consiste en las aplicaciones continuas de U en el grupo de los numerosenteros. Como Z se supone dotado de la topologıa discreta, todo elemento suyon ∈ Z es cerrado y abierto a la vez. Puesto que las aplicaciones de U a Zque consideramos son continuas, la antiimagen por cualquiera de ellas de cadaelemento n ∈ Z sera un abierto y cerrado a la vez en U , en particular, sera abiertoy se deduce, por tanto, que estas aplicaciones son localmente constantes (eiguales al elemento n considerado).

En definitiva, podemos decir que el haz asociado al prehaz constante Z con-siste en el haz de las funciones localmente constantes con valores enteros.

Como hemos visto, podemos relacionar entre sı diferentes haces por medio delos morfismos de haces; nos preguntamos entonces si tienen cabida los conceptosde nucleo, imagen o conucleo de dichos morfismos. En efecto:

A.1.16 Definicion. Sea X un espacio topologico y ϕ : F → F′ un morfismode haces de grupos abelianos. Se define el nucleo de ϕ, y lo denotaremos porKer ϕ, al haz en X definido por

(Ker ϕ)(U) := Ker ϕ(U)

para todo abierto U ⊆ X y donde ϕ(U) es el morfismo de grupos abelianos dadopor ϕ

A.1.17 Definicion. Sea X un espacio topologico y ϕ : F → F′ un morfismode haces de grupos abelianos. Se define la imagen de ϕ, y lo denotaremos porIm ϕ, al haz asociado al prehaz en X definido por

U Im ϕ(U)

para todo abierto U ⊆ X y donde ϕ(U) es el morfismo de grupos abelianos dadopor ϕ

A.1.18 Definicion. Sea X un espacio topologico y F,F′ dos haces de gruposabelianos. Se define el haz cociente de F por F′, y lo denotaremos por F/F′, alhaz asociado al prehaz en X definido por

U F(U)/F′(U)

para todo abierto U ⊆ X.

A.2. Cohomologıa

En general, la teorıa de la homologıa y cohomologıa trata de asociar a unobjeto matematico (un espacio topologico, por ejemplo) una sucesion de gru-pos abelianos con los que recojamos la informacion esencial de dicho objeto,ayudando en la tarea de clasificacion del mismo. Por su parte, los grupos decohomologıa pueden pensarse como un metodo de asignacion de invariantes aun espacio topologico, o sea, son una herramienta algebraica para estudiar lageometrıa del espacio topologico y juegan un papel importante en la teorıa delas superficies de Riemann.

56

A.2.1 Definicion. Un complejo de grupos abelianos consiste en una sucesionde grupos abelianos

G•not.≡ . . . −→ Gi−1

di−1−→ Gidi−→ Gi+1 di+1−→ . . .

tal que di di−1 = 0, para todo i ∈ I.Al grupo Gi se le llamara termino del complejo en grado i y al morfismo

di : Gi → Gi+1 se le llamara diferencial en grado i de Gi.

A.2.2 Nota. Si en alguna situacion no resultara relevante el grado del complejo,a las diferenciales dii∈I se les denotara directamente por d y la condicion dela definicion anterior se escribira d2 = 0.

A.2.3 Observacion. De modo analogo puede definirse un complejo para cual-quier otra categorıa (anillos, espacios vectoriales, etc.). Para nosotros los com-plejos siempre lo seran de, al menos, grupos abelianos (salvo que se especifiqueotra categorıa concreta).

A partir del concepto de “complejo” obtenemos otros dos que dan lugar alconcepto de “cohomologıa”.

A.2.4 Definicion. Sea G• un complejo de grupos abelianos. Se llaman ciclosde grado i del complejo G• al nucleo de la diferencial en grado i y escribiremos:

Zi(G•) := Ker di

A.2.5 Definicion. Sea G• un complejo de grupos abelianos. Se llaman bordesde grado i del complejo G• a la imagen de la diferencial en grado i − 1 yescribiremos:

Bi(G•) := Im di−1

Observese que la condicion de complejo di di−1 = 0 equivale a decir queIm di−1 ⊆ Ker di, para todo i ∈ I. Utilizando las definiciones que acabamosde dar esto se traduce en que los bordes de grado i siempre estan contenidosen los ciclos de grado i, para todo i ∈ I. Por tanto, es lıcito considerar elcorrespondiente grupo cociente dando lugar a la siguiente:

A.2.6 Definicion. Sea G• un complejo de grupos abelianos. Se llama cohomo-logıa i-esima (o i-esimo grupo de cohomologıa) del complejo G• a los ciclos degrado i modulo los bordes de grado i y escribiremos:

Hi(G•) := Zi(G•)/Bi(G•)

A.2.7 Observacion. Por lo que hemos hecho ver arriba, resulta que el conceptode “complejo” es mas debil que el concepto de “sucesion exacta”. Si Hi(G•) = 0,quiere decir que los ciclos de grado i son los mismos que los bordes de grado i,es decir, que para el grado i se verifica Im di−1 = Ker di; o sea, la sucesiones exacta en este grado. De manera que la cohomologıa i-esima de un complejomide el defecto de exactitud del mismo en el grado i, esto es, cuanto le falta alcomplejo para que, verdaderamente, sea una sucecion exacta.

Esto motiva la siguiente:

A.2.8 Definicion. Un complejo de grupos abelianos G• se dice que es acıclicosi todos sus grupos de cohomologıa son triviales, es decir, si Hi(G•) = 0, paratodo i ∈ I. Equivalentemente, si G• es una sucesion exacta de grupos abelianos.

57

A.2.9 Definicion. Sean F • y G• dos complejos de grupos abelianos. Un homo-morfismo de complejos ϕ : F • → G• consiste en dar una coleccion de morfismosde grupos abelianos entre sendos terminos de los complejos considerados, demodo que sean compatibles con sendas diferenciales.

Es decir, una coleccion de morfismosϕi : F i → Gi

i∈I tales que hagan

conmutativos los siguientes diagramas:

F • ≡ . . . // F i−1

ϕi−1

// F i

ϕi

// F i+1

ϕi+1

// . . .

G• ≡ . . . // Gi−1 // Gi // Gi+1 // . . .

A.2.10 Definicion. Una sucesion de homomorfismos de complejos de gruposabelianos

. . . −→ G•j−1ϕj−1−→ G•j

ϕj−→ G•j+1

ϕj+1−→ . . .

se dice que es exacta cuando para cada grado i ∈ I

. . . −→ Gij−1 −→ Gij −→ Gij+1 −→ . . .

es una sucesion exacta de grupos abelianos.

De la propia definicion de homomorfismo de complejos (teniendo en cuentala conmutatividad de los diagramas descritos arriba) se siguen inmediatamentelas propiedades functoriales mas elementales de los complejos, que recojemos enla siguiente:

A.2.11 Proposicion. Sean F •, G• dos complejos de grupos abelianos y ϕ :F • → G• un homomorfismo entre ellos. Entonces, se tiene inducido de modonatural

1. un morfismo entre los ciclos, Zϕ : Zi(F •)→ Zi(G•), para cada i ∈ I.

2. un morfismo entre los bordes, Bϕ : Bi(F •)→ Bi(G•), para cada i ∈ I.

3. un morfismo entre los grupos de cohomologıa, Hϕ : Hi(F •) → Hi(G•),para cada i ∈ I.

A.2.12 Definicion. Un homomorfismo de complejos ϕ : F • → G• se diceque es un quasi-isomorfismo si el homomorfismo inducido entre los grupos decohomologıa Hϕ : Hi(F •) → Hi(G•) es un isomorfismo de grupos abelianos,para todo i ∈ I.

Un resultado bien conocido de Topologıa Algebraica y fundamental para lateorıa general es que toda sucesion exacta corta de complejos tiene asociada (deforma natural) una sucesion exacta larga de cohomologıa.

A.2.13 Teorema (Sucesion exacta larga de cohomologıa). Sea 0 → E•ι→

F •p→ G• → 0 una sucesion exacta corta de complejos de grupos abelianos y

denotemos por d, d, d a las diferenciales de E•, F •, G•; respectivamente.Entonces, se tiene inducida de forma natural una sucesion exacta larga entre

los grupos de cohomologıa del siguiente modo:

. . .→ Hi(E•)→ Hi(F •)→ Hi(G•) δ→ Hi+1(E•)→ Hi+1(F •)→ Hi+1(G•)→ . . .

Al morfismo δ se le llama morfismo de conexion (o “connecting”).

58

A.2.1. Cohomologıa de Cech

Los haces en un espacio topologico representan en cierto sentido el modo enque estamos “observando” todo el espacio topologico, como lugar geometrico.Por ejemplo, si V es una superficie de Riemann y consideramos en ella el haz delas funciones de clase C∞ con valores complejos, entonces el espacio topologicoV lo estamos observando (en cada region suya) desde el punto de vista diferen-ciable sin mas, es decir, geometrica o topologicamente estarıamos estudiandolas propiedades de dicha superficie que son invariantes por cambios diferencia-bles. Mientras que si consideramos en V el haz de las funciones holomorfas, O,la manera de “interpretar” o estudiar dicho espacio es de un punto de vistaholomorfo, que es algo mas concreto que la diferenciabilidad.

Dependiendo de la manera en que “observamos” nuestro espacio, es evidenteque la geometrıa de dicho espacio sera una concreta. Por lo tanto, es lıcito definirgrupos de cohomologıa para un haz definido en el espacio topologico en cuestion,pues los grupos de cohomologıa son, como ya hemos dicho en A.2, la herramientaalgebraica que nos permite estudiar la geometrıa del espacio, la cual dependedel haz de funciones que se considere en el; como hemos explicado.

Para ello, se construyen grupos abelianos a partir del haz F consideradocon los que dar un complejo de grupos abelianos. El complejo resultante suelellamarse resolucion y es lo que nos permite estudiar el haz F (en lugar de utilizarel propio haz) en terminos de cohomologıa.

A.2.14 Definicion. Sea X un espacio topologico y U := Uii∈I un recubri-miento abierto de X.

Dado p ∈ Z+, un p-sımplice de U es un conjunto ordenado de p+ 1 abiertosde U , digamos σp :=

Ui0 , . . . , Uip

, tales que Ui0 ∩ . . . ∩ Uip 6= φ. A esta

interseccion se le llama soporte de σp y se denota por |σp|.Al conjunto de todos los p-sımplices de U lo denotaremos por Σp(U).

A.2.15 Definicion. Sea X un espacio topologico, U := Uii∈I un recubri-miento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X.

Dado p ∈ Z+, una p-cocadena de U con coeficientes en F consiste en unaaplicacion cp que asigna a cada p-sımplice σp ∈ Σp(U) una seccion continua deF sobre |σp| (o sea, cp(σp) ∈ F(|σp|)).

Al conjunto de p-cocadenas de U con coeficientes en F lo denotaremos porCp(U ,F).

A.2.16 Observaciones. (a) Por definicion se tiene que

Cp(U ,F)def.=cp : Σp(U)→ F(Ui0 ∩ . . . ∩ Uip)

,

de modo que este conjunto podemos identificarlo de forma natural comosigue:

Cp(U ,F) =∏

(i0,...,ip)∈Ip+1

F(Ui0 ∩ . . . ∩ Uip) ,

asignando a cada p-cocadena cp ∈ Cp(U ,F) la familia de secciones(cp(Ui0 , . . . , Uip)

)(i0,...,ip)∈Ip+1 . En palabras, estamos identificando cada

aplicacion cp con el conjunto de todos los valores que toma dicha aplica-cion.

59

(b) Dadas dos p-cocadenas de U con coeficientes en F, digamos cp1 y cp2, definimossu suma como la suma usual de aplicaciones, es decir:

(cp1 + cp2)(σp) := cp1(σp) + cp2(σp) ,

para todo σp ∈ Σp(U).

Evidentemente, la suma de dos p-cocadenas es de nuevo una p-cocadenay con esta ley interna se comprueba inmediatamente que Cp(U ,F) tieneestructura de grupo abeliano (puesto que F es un haz de grupos abelianosen X).

A.2.17 Definicion. Sea X un espacio topologico, U := Uii∈I un recubri-miento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X.

Dado p ∈ Z+, una p-cocadena alternada es una p-cocadena de U con coefi-cientes en F, cp, tal que si σp :=

Ui0 , . . . , Uip

∈ Σp(U), entonces

cp(Uiζ(0) , . . . , Uiζ(p)) = sign(ζ) cp(Ui0 , . . . , Uip)

para toda permutacion ζ del conjutno 0, . . . , p.

A.2.18 Nota. Puesto que las p-cocadenas que nosotros consideramos son todasp-cocadenas alternadas, seguiremos denotando por Cp(U ,F) al conjunto de las p-cocadenas alternadas de U con coeficientes en F (que es claramente un subgrupodel conjunto de las p-cocadenas).

A.2.19 Definicion. Sea X un espacio topologico, U := Uii∈I un recubri-miento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X.

Para cada p ∈ Z+, el operador coborde ∂ : Cp(U ,F) → Cp+1(U ,F) es laaplicacion que asigna a cada p-cocadena cp ∈ Cp(U ,F) la (p+1)-cocadena ∂(cp) ∈Cp+1(U ,F) definida del siguiente modo:

∂(cp)(Ui0 , . . . , Uip+1) :=

p+1∑k=0

(−1)k cp(Ui0 . . . , Uik , . . . , Uip+1) , (A.1)

para todo (p+ 1)-sımpliceUi0 , . . . , Uip+1

de U .

El siguiente lema se demuestra sin dificultad aplicando la definicion de ope-rador coborde junto con la definicion de suma de dos p-cocadenas y un pequenocalculo que no merece la pena detallar aquı.

A.2.20 Lema. Sea X un espacio topologico, U := Uii∈I un recubrimientoabierto de X y F un haz de grupos abelianos en X. Entonces, el operadorcoborde ∂ es un homomorfismo de grupos y ∂2 ≡ ∂ ∂ = 0.

Como consecuencia, para cada p ∈ Z+ la sucesion

C•(U ,F)not.≡ . . . −→ Cp−1(U ,F)

∂−→ Cp(U ,F)∂−→ Cp+1(U ,F) −→ . . .

es un complejo de grupos abelianos.

Con este resulado, estamos en condiciones de definir ya los grupos de coho-mologıa de Cech.

60

A.2.21 Definicion. Sea X un espacio topologico, U := Uii∈I un recubri-miento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X.

Se llama grupo de los p-cociclos de U con coeficientes en F, y lo denotaremospor Zp(U ,F), al grupo de los ciclos de grado p del complejo C•(U ,F). Es decir,

Zp(U ,F) := Zp(C•(U ,F))

A.2.22 Definicion. Sea X un espacio topologico, U := Uii∈I un recubri-miento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X.

Se llama grupo de los p-cobordes de U con coeficientes en F, y lo denotaremospor Bp(U ,F), al grupo de los bordes de grado p del complejo C•(U ,F). Es decir,

Bp(U ,F) := Bp(C•(U ,F))

A.2.23 Nota. Para p = 0, convenimos en poner B0(U ,F) = (0).

A.2.24 Definicion. Sea X un espacio topologico, U := Uii∈I un recubri-miento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X.

Se llama p-esimo grupo de cohomologıa de Cech del recubrimiento U con coe-ficientes en F, y lo denotaremos por Hp(U ,F), al p-esimo grupo de cohomologıadel complejo C•(U ,F). Es decir,

Hp(U ,F) := Hp(C•(U ,F)) = Zp(U ,F)/Bp(U ,F)

A.2.25 Observacion. El 0-esimo grupo de cohomologıa de Cech del recubri-miento U con coeficientes en F es exactamente el grupo de las secciones globalesde F, de forma natural. Es decir, H0(U ,F) = Γ(X,F) ≡ F(X).

En efecto, como B0(U ,F) = (0), entonces por definicion de grupo de coho-mologıa se tiene que H0(U ,F) = Z0(U ,F). Los 0-cociclos vienen definidos por:

Z0(U ,F)def.= Z0(C•(U ,F))

def.= Ker

(C0(U ,F)

∂−→ C1(U ,F)),

de modo que una 0-cocadena c0 pertenece a H0(U ,F) si y solo si ∂(c0) = 0,

lo cual equivale a decir que 0 = ∂(c0)(Ui, Uj)def.= c0(Uj) − c0(Ui), para todos

i, j ∈ I. Es decir, c0 es la 0-cocadena que a cada 0-sımplice, o sea, a cadaabierto Ui con i ∈ I del recubrimiento U le asigna una misma seccion, digamosque es una aplicacion constante. Entonces, es obvio que en la interseccion de losabiertos, dichas secciones coinciden; luego la definicion de haz (ver A.1.8) nos daque existe una unica seccion de F en

⋃i∈IUi = X que coincide al restringir a cada

uno de los abiertos con las secciones definidas por la 0-cocadena, pero estas sontodas las mismas como hemos dicho; entonces la seccion global es igual a cadauna de ellas, de modo que la propia 0-cocadena c0 puede identificarse con dichaseccion global, puesto que la 0-cocadena es la aplicacion constante a la seccionglobal que acabamos de encontrar.

A.2.26 Definicion. Sea X un espacio topologico, U := Uii∈I un recubri-miento abierto de X y F un haz de grupos abelianos en X.

Se dice que F es un haz acıclico con respecto al recubrimiento U si su coho-mologıa de Cech respecto del recubrimiento U es nula, es decir, si Hp(U ,F) = 0,para todo p ≥ 1.

61

Hasta aquı hemos tratado con los grupos de cohomologıa de un haz conrespecto a un recubrimiento del espacio topologico considerado, de modo quedependen del recubrimiento elegido. Lo que hacemos a continuacion es definirlos grupos de cohomologıa del haz con respecto al propio espacio topologico, esdecir, una cohomologıa propia del espacio sin depender del modo en que lo recu-brimos, para lo cual deberemos ir “refinando” progresivamente el recubrimientodel espacio que se haya considerado.

A.2.27 Definicion. Sea X un espacio topologico y U := Uii∈I un recubri-miento abierto de X. Un refinamiento de U es otro recubrimiento abierto de X,digamos U ′ := U ′jj∈J tal que para cada j ∈ J existe un α(j) ∈ I, de modoque U ′j ⊆ Uα(j).

A la aplicacion α : J → I se le llama aplicacion de refinamiento.

Sea X un espacio topologico, U := Uii∈I un recubrimiento abierto de Xy U ′ := U ′jj∈J un refinamiento de U . Dado p ∈ Z+, a cada p-sımplice delrefinamiento U ′ podemos asociarle un p-sımplice del recubrimiento U por mediode la aplicacion de refinamiento, del siguiente modo: si σ′p := U ′j0 , . . . , U

′jp ∈

Σp(U ′), entonces

α(σ′p) :=Uα(j0), . . . , Uα(jp)

∈ Σp(U)

(Observese que α(σ′p) es, efectivamente, un p-sımplice de U por la condicion derefinamiento).

Gracias a esto, la aplicacion de refinamiento α permite definir el siguientehomomorfismo de grupos, para cada p ∈ Z+:

α∗ : Cp(U ,F) −→ Cp(U ′,F)cp 7−→ α∗(cp) ,

donde α∗(cp) es la p-cocadena de U ′ con coeficientes en F definida por:

α∗(cp)(σ′p) := cp(α(σ′p))||σ′p| ,

para todo p-sımplice σ′p de U ′. Es inmediato ver que α∗ es, efectivamente, unhomomorfismo de grupos, en virtud de la definicion de suma de p-cocadenas. Aα∗ se le llama homomorfismo de refinamiento.

A.2.28 Observacion. Por un lado, de la propia definicion de α(σ′p) con σ′p ∈Σp(U ′); se deduce que que si U ′ = U , entonces el morfismo de refinamiento α∗

se reduce a la identidad.Por otro lado, supongamos que U ′′ es ahora un refinamiento de U ′ con apli-

cacion de refinamiento β. Observese que U ′′ sera tambien un refinamiento deU con su correspondiente aplicacion de refinamiento, digamos γ. Entonces, dela definicion dada de homomorfismo de refinamiento se deduce facilmente queβ∗ α∗ = γ∗.

Aplicando directamente las definiciones, se ve facilmente que el homomorfis-mo α∗ que acabamos de obtener conmuta con el operador coborde ∂, es decir,se verifica que α∗ ∂ = ∂ α∗. O bien, en otras palabras; estamos diciendo que

62

el siguiente diagrama es conutativo, para cada p ∈ Z+:

Cp(U ,F)α∗ //

∂

Cp(U ′,F)

∂

Cp+1(U ,F)

α∗ // Cp+1(U ′,F)

Como consecuencia, es inmediato ver que el homomorfismo de refinamiento α∗

transforma p-cociclos (resp. p-cobordes) de U con coeficientes en F en p-cociclos(resp. p-cobordes) de U ′ con coeficientes en F, para cada p ∈ Z+. Luego, α∗ in-duce un homomorfismo entre los respectivos grupos cocientes, es decir, un homo-morfismo entre los respectivos grupos de cohomologıa, Hp(U ,F) → Hp(U ′,F);que seguiremos denotando por α∗ y seguiremos llamando homomorfismo de re-finamiento.

A.2.29 Observacion. La aplicacion de refinamiento α no es, en general, launica posible para un mismo refinamiento U ′ de U ; sin embargo, el homomorfis-mo de refinamiento α∗ : Hp(U ,F)→ Hp(U ′,F) es independiente de la eleccionde dicha aplicacion.

Sea α : J → I otra aplicacion de refinamiento. Dados un p-cociclo zp ∈Zp(U ,F), entonces hay que ver que α∗(zp)− α∗(zp) es un p-coborde de U ′ concoeficientes en F, es decir, tenemos que encontrar una (p− 1)-cocadena cp−1 deU ′ con coeficientes en F tal que ∂(cp−1) = α∗(zp) − α∗(zp). Pues bien, dicha(p− 1)-cocadena es la que viene definida por:

cp−1(U ′j0 , . . . , U′jp−1

) :=

p−1∑l=0

(−1)l zp(Uα(j0). . . . , Uα(jl), Uα(jl), . . . , Uα(jp−1))

para todo (p − 1)-sımplice U ′j0 , . . . , U′jp−1 de U ′, como muestra un pequeno

calculo.

Fijado p ∈ Z+, variando U entre todos los recubrimientos del espacio to-pologico X (en donde se tiene una relacion de orden por medio de los sucesivosrefinamientos que se tomen de cada recubrimiento considerado) y en virtud dela observacion A.2.28, es claro que el conjunto Hp(U ,F) constituye un sistemainductivo de grupos abelianos junto con los homomorfismos de refinamiento, demodo que es lıcito considerar su lımite inductivo dando lugar a la siguiente:

A.2.30 Definicion. Sea X un espacio topologico y F un haz de grupos abe-lianos en X. Dado p ∈ Z+, se llama p-esimo grupo de cohomologıa de Cech deX con coeficientes en F, y lo denotaremos por Hp(X,F); al lımite inductivo quehemos descrito antes. Es decir:

Hp(X,F) := lım−→U

Hp(U ,F)

A.2.31 Definicion. Sea X un espacio topologico y F un haz de grupos abelia-nos en X. Se dice que F es un haz acıclico si su cohomologıa de Cech en X esnula, es decir, si Hp(X,F) = 0, para todo p ≥ 1.

63

A.2.32 Observaciones. (a) En palabras, si U1,U2 son dos recubrimientosabiertos de X, dados dos elemntos hp1 ∈ Hp(U1,F) y hp2 ∈ Hp(U2,F), di-remos que estan relacionados cuando existe un refinamiento comun U ′ deU1 y U2 con α como aplicacion de refinamiento tal que α∗(hp1) = α∗(hp2). Esdecir, los elementos de cada uno de los grupos de cohomologıa se identificancuando sean iguales en el grupo de cohomologıa del refinamiento comun.

(b) Si U es un recubrimiento cualquiera de X, entonces la observacion A.2.25nos viene a decir que el 0-esimo grupo de cohomologıa de Cech de U con coe-ficientes en F es independiente del recubrimiento U escogido, pues habıamosobtenido que H0(U ,F) = F(X). Por lo tanto, podemos escribir directamenteH0(X,F) = F(X), como se deduce inmediatamente.

Veamos ahora que a una sucesion exacta corta de haces le corresponde deforma natural una sucesion exacta larga de cohomologıa (imponiendo algunacondicion topologica en el espacio X), para lo cual bastara con utilizar conve-nientemente el teorema A.2.13 tras haber probado algunas propiedades functo-riales basicas. La primera de ellas es la siguiente:

A.2.33 Proposicion. Sea X un espacio topologico y U := Uii∈I un recubri-miento abierto de X.

Si ϕ : F → F′ es un homomorfismo entre haces de grupos abelianos enX, entonces se tiene inducido de forma natural un homomorfismo de gruposabelianos Cϕ : Cp(U ,F)→ Cp(U ,F′), para todo p ∈ Z+ haciendo conmutativo elsiguiente diagrama:

Cp(U ,F)∂ //

Cϕ

Cp+1(U ,F)

Cϕ

Cp(U ,F′) ∂ // Cp+1(U ,F′)

Demostracion. Como ϕ : F → F′ es un morfismo de haces de grupos abelianosen X, entonces para cada abierto U ⊆ X se tiene un homomorfismo de gruposabelianos ϕ(U) : F(U)→ F′(U), por definicion (ver A.1.4).

Ası, si cp es una p-cocadena de U con coeficientes en F, entonces Cϕ(cp)sera la p-cocadena de U con coeficientes en F′ definida del siguiente modo:

Cϕ(cp)(σp) := ϕ(|σp|)(cp(σp)) (A.2)

para todo p-sımplice σp de U .Con la definicion que acabamos de dar, se ve inmediatamente que el diagrama

del enunciado es, efectivamente, conmutativo.

Como consecuencia de este resultado, es claro que el morfimo Cϕ transformap-cociclos (resp. p-cobordes) de U con coeficientes en F en p-cociclos (resp. p-cobordes) de U con coeficientes en F′, para todo p ∈ Z+ y, por ello, podemosdar la siguiente:

A.2.34 Proposicion. Sea X un espacio topologico y U := Uii∈I un recubri-miento abierto de X.

Si ϕ : F → F′ es un homomorfismo entre haces de grupos abelianos en X,entonces se tiene inducido de forma natural

64

1. un morfismo entre los p-cociclos, Zϕ : Zp(U ,F) → Zp(U ,F′), para todop ∈ Z+.

2. un morfismo entre los p-cobordes, Bϕ : Bp(U ,F) → Bp(U ,F′), para todop ∈ Z+.

3. un morfismo entre los grupos de cohomologıa,Hϕ : Hp(U ,F)→ Hp(U ,F′),para todo p ∈ Z+.

Con lo que finalmente, podemos dar ya el resultado buscado:

A.2.35 Teorema. Sea X un espacio topologico paracompacto.

Si 0→ F1ι→ F2

p→ F3 → 0 es una sucesion exacta corta de haces de gruposabelianos en X, entonces se tiene inducida de forma natural una sucesion exactalarga entre los grupos de cohomologıa de Cech de X del siguiente modo:

. . . → Hp(X,F1)→ Hp(X,F2)→ Hp(X,F3)δ→

δ→ Hp+1(X,F1)→ Hp+1(X,F2)→ Hp+1(X,F3)→ . . .

Al morfismo δ se le llama morfismo de conexion (o “connecting”).

Demostracion. Para una detallada demostracion puede consultarse [8] (aunqueaplicando las definiciones puede construirse facilmente una sucesion exacta cortade complejos con la que aplicar el teorema general dado en A.2.13, obteniendouna sucesion exacta de grupos de cohomologıa, que es la que se busca utilizandola condicion de paracompacidad de X). Aquı nos limitamos a definir cual hade ser el morfismo de conexion δ (pues, en virtud de los razonamientos previos,los morfismos del tipo Hp(X,F1)→ Hp(X,F2) y Hp(X,F2)→ Hp(X,F3) estancompletamente definidos, para cada p ≥ 0).

El connecting que vamos a definir, por simplicidad en la exposicion y porqueal aplicarlo al caso que nos ocupa de las superficies de Riemann abiertas es elque utilizaremos en realidad, es el que relaciona las secciones globales de F3 yel primer grupo de cohomologıa de F1:

δ : H0(X,F3) = F3(X) −→ H1(X,F1)

Sea f3 ∈ F3(X). Como el morfismo p : F2 → F3 es epiyectivo por hipotesis, pordefinicion quiere decir que dicho morfismo es epiyectivo en fibra, luego existe unrecubrimiento U := Uii∈I de X y una 0-cocadena c0F2

de U con coeficientesen F2 tal que p(c0F2

(Ui)) = f3|Ui , para todo i ∈ I.Es evidente que en Ui ∩ Uj es p(c0F2

(Ui)− c0F2(Uj)) = 0, para todos i, j ∈ I;

lo cual quiere decir que c0F2(Ui) − c0F2

(Uj) ∈ Ker p en Ui ∩ Uj , para todosi, j ∈ I. Por la exactitud de la sucesion de haces de que disponemos por hipotesis,deducimos que existe una seccion f1ij ∈ F1(Ui ∩ Uj) tal que ι(f1ij) = c0F2

(Uj) −c0F2

(Ui), para cada i, j ∈ I.Ahora, en Ui ∩ Uj ∩ Uk se tiene claramente que ι(f1ij + f1jk − f1ik) = 0 y por

la inyectividad del morfismo ι se deduce que f1ij + f1jk − f1ik = 0, para todos

i, j, k ∈ I. El conjunto de secciones f1iji,j∈I nos define de forma natural una

1-cocadena de U con coeficientes en F1, que llamaremos z1F1y viene dada por

z1F1(Ui∩Uj) := f1ij , para todos i, j ∈ I. Por el resultado que acabamos de obtener

(y por la definicion del operador coborde) es claro que esta 1-cocadena es en

65

realidad un 1-cociclo de U con coeficientes en F1, es decir, z1F1∈ Z1(U ,F1).

Tomando su clase de equivalencia modulo los 1-cobordes de U con coeficientesen F1 como definicion de la imagen del elemento f3 ∈ F(X), el morfismo deconexion δ ha quedado definido (comprobandose que la construccion descritano depende de las elecciones hechas).

A.2.36 Observacion. Las superficies de Riemann son espacios topologicosparacompactos, luego el teorema anterior es aplicable en ellas.

Observemos, sin embargo, que la definicion de los grupos de cohomologıa deCech de un espacio topologico X no es operativa, pues en general no es sencillocalcular un lımite inductivo. Ademas, es natural preguntarse bajo que condicio-nes la cohomologıa de un espacio topologico X pueda calcularse directamentepor medio de un recubrimiento abierto suyo. Los recubrimientos que nos per-miten hacer esto, se llamaran recubrimientos de Leray, ya que seran los recubri-mientos que cumplen las hipotesis del llamado Teorema de Leray, que vamos aenunciar a continuacion.

Recordando la definicion de particiones de la unidad (ver C.2.1), la definicionque damos ahora, representa en cierto sentido una generalizacionla suya cuandopasamos a utilzar haces:

A.2.37 Definicion. Sea X un espacio topologico. Un haz fino en X es un hazF de grupos abelianos en X tal que para cada abierto U ⊆ X, cada seccions ∈ F(U) y cada recubrimiento abierto localmente finito de U , digamos Wii∈Isiendo cada Wi un subconjunto abierto de U ; existe una seccion si ∈ F(Wi) nulafuera de Wi para cada i ∈ I y de modo que s =

∑i∈Isi.

A.2.38 Ejemplos. (a) Si X es una variedad diferenciable, entonces el haz delas funciones de clase C∞ con valores complejos es un haz fino en X; comoconsecuencia de que en una variedad diferenciable existen particiones de launidad, como se sabe.

(b) Si X es una variedad diferenciable, entonces el haz a (0,1) es tambien unhaz fino en X por el mismo motivo expuesto en el ejemplo anterior.

(c) Sea X un espacio topologico y F un haz de grupos abelianos en X. Sitodas las secciones de F se anulan salvo en un conjunto discreto de puntos,entonces F es un haz fino en X.

Los siguientes resultados se han utilizado fuertemente en los argumentos delpresente trabajo y su demostracion detallada puede encontrarse en [8].

A.2.39 Lema. Sea X un espacio topologico. Los haces finos sobre X son acıcli-cos con respecto a cualquier recubrimiento abierto localmente finito de X. Esdecir, si U := Uii∈I un recubrimiento abierto localmente finito de X y F unhaz fino en X, entonces Hp(U ,F) = 0, para todo p ≥ 1.

En particular, si X es un espacio paracompacto, entonces los haces finossobre X son acıclicos; esto es, Hp(X,F) = 0, para todo p ≥ 1.

A.2.40 Teorema (de Leray). Sea X un espacio topologico y F un haz de gruposabelianos en X. Si U := Uii∈I es un recubrimiento abierto de X tal que F

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es un haz acıclico con respecto al soporte de cualquier q-sımplice de U , esto es,Hp(|σq|,F|σq ) = 0, para todos p, q ∈ Z+ y todo σq ∈ Σq(U); entonces

Hp(X,F) = Hp(U ,F)

para todo p ≥ 1.A un tal recubrimiento U se le llamara recubrimiento de Leray.

67

B. Elementos de Analisis Funcional

Aquı pretendemos dar conceptos basicos y demostrar algunos resultados ele-mentales de Analisis Funcional que se han manejado en los razonamientos pre-vios aplicandolos al caso que nos ocupa de las superficies de Riemann.

B.1. Teorıa General

En terminos muy generales, podrıamos decir que el Analisis Funcional tratadel estudio de los “espacios de funciones”. Estos espacios poseen una estructuraalgebraica o geometrica de espacio vectorial y una estructura topologica, lascuales estan bien relacionadas entre sı. Estos espacios funcionales son, en sumayor parte, de dimension infinita; de manera que no todo lo conocido de algebralineal es aplicable. El problema fundamental que se plantea es la extension delas formas lineales definidas sobre un subespacio vectorial a todo el espacioambiente. Para el caso de dimension finita esto estarıa resuelto por dualidad,sin embargo, para el caso infinito no es tan inmediato. Si ademas incluimos lacondicion topologica de que dicha forma lineal deba ser tambien continua, seempeora el problema. El Teorema de Hahn-Banach da la respuesta definitiva aesta pregunta representando la pieza clave en el estudio de la dualidad de losespacios normados y el mismo teorema tiene una version geometrica equivalentesegun la cual tenemos asegurada la existencia de un hiperplano que separa dossubconjuntos convexos dados.

B.1.1 Definicion. Sea X un conjunto cualquiera. Una distancia en X es unaaplicacion

d : X ×X −→ R+

(x, y) 7−→ d(x, y)

verificando las siguientes propiedades:

1. Dados x, y ∈ X, d(x, y) = 0 si y solo si x = y

2. d(x, y) = d(y, x), para todos x, y ∈ X

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), para todos x, y, z ∈ X

A la pareja (X, d) formada por un conjunto X y una distancia d en el, se lellamara espacio metrico.

B.1.2 Definicion. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo k. Una normaen E es una aplicacion

‖·‖ : E −→ R+

e 7−→ ‖e‖

verificando las siguientes propiedades:

1. Dado e ∈ E, ‖e‖ = 0 si y solo si e = 0

2. ‖λe‖ = |λ| ‖e‖, para todo λ ∈ k y todo e ∈ E

3. ‖e1 + e2‖ ≤ ‖e1‖+ ‖e2‖, para todos e1, e2 ∈ E

A la pareja (E, ‖·‖) formada por un k-espacio vectorial E y una norma ‖·‖ enel se le llamara espacio normado.

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B.1.3 Nota. Por simplificar la notacion, cuando la norma del espacio vectorialse de por supuesta (y no haya peligro de confusion), a un espacio normado(E, ‖·‖) lo denotaremos simplemente por E.

B.1.4 Definicion. Sea T : E → F una aplicacion lineal entre los espaciosnormados (E, ‖·‖E), (F, ‖·‖F ). Se dice que T es continua si existe una constanteM > 0 tal que ‖T (x)‖F ≤M ‖x‖E , para todo x ∈ E.

Como bien es sabido, una norma define de forma natural una distancia; portanto, todo espacio normado es un espacio metrico y como tal se tiene definidaen el una topologıa, que es aquella que tiene como base de abiertos las bolascon respecto a la distancia que define la norma fijada. En este sentido, es lıcitohablar de conceptos de lımites, convergencia, etc. y podemos dar la siguiente:

B.1.5 Definicion. Un espacio de Banach es un espacio normado y completocon respecto a la distancia definida por la norma fijada en dicho espacio.

B.1.6 Definicion. Un conjunto X se dice que es un espacio de Baire si sesatisface la siguiente condicion: dada cualquier familia numerable de conjuntoscerrados de X todos ellos con interior vacıo en X, digamos Fnn∈N; entoncessu union

⋃n∈N

Fn tambien tiene interior vacıo en X.

En palabras, estamos diciendo que un conjunto X es un espacio de Bairecuando no puede expresarse como union numerable de cerrados con interiorvacıo. Estos cerrados pueden interpretarse como “puntos” del espacio (en unsentido natural si pensamos en el propio concepto de “punto”); de manera queser un espacio de Baire significa que dicho espacio es lo suficientemente grandecomo para no poder construirse numerablemente reuniendo este tipo de “pun-tos” del espacio. El siguiente resultado nos dice en particular que los espaciosde Banach son espacios de Baire, lo cual permite demostrar propiedades impor-tantes.

B.1.7 Teorema (de la categorıa de Baire). Todo espacio metrico completo esun espacio de Baire.

Su demostracion no supone mucha dificultad, pero no la detallamos aquı re-mitiendo a la bibliografıa (ver [10] o tambien [9]) y continuar ası con los re-sultados referentes a los espacios de Banach y espacios normados propiamentedichos.

Uno de los teoremas basicos que se estudian en Analisis Funcional es elsiguiente, cuya demostracion puede verse en [9]:

B.1.8 Teorema (de la Aplicacion Abierta). Sea ϕ : E → F una aplicacionlineal y continua entre espacios de Banach. Si ϕ es epiyectiva, entonces ϕ esabierta.

En particular, si ϕ es un isomorfismo algebraico, entonces ϕ es un homeo-morfismo.

B.1.9 Definicion. Sean X,Y dos conjuntos cualesquiera y f : X → Y unaaplicacion entre ellos. La grafica de f se define como el siguiente subconjuntode X × Y :

Γf := (x, f(x)) ∈ X × Y : x ∈ X

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Cuando X e Y tienen alguna estructura adicional, es frecuente que ciertaspropiedades de la funcion f puedan caracterizarse en terminos de su grafica.Por ejemplo, cuando X e Y son espacios vectoriales, es facil comprobar que laaplicacion f es lineal si y solo si su grafica Γf es un subespacio vectorial deX × Y .

Supongamos que X e Y son espacios topologicos. Segun la propia definicion,la grafica de una aplicacion representa a esta geometricamente en la referencianatural del producto cartesiano, de manera que es lıcito relacionar la continuidadde la aplicacion f considerada con su grafica, pues dependiendo del aspectoque presente la grafica, podremos deducir propiedades de la propia aplicacion.Sin embargo, se necesitan algunas condiciones topologicas adicionales sobre losespacios para dar una caracterizacion satisfactoria sobre la continuidad de laaplicacion con respecto a su grafica.

Supongamos que Y es un espacio Hausdorff. Si f : X → Y es continua,entonces un sencillo razonamiento muestra que Γf es un cerrado de X × Y .

La principal consecuencia del Teorema de la Aplicacion Abierta es el si-guiente teorema, que nos da la caracterizacion definitiva para la continuidad deuna aplicacion en terminos de su grafica: (su demostracion puede encontrarsetambien en [9]).

B.1.10 Teorema (de la Grafica Cerrada). Sea ϕ : E → F una aplicacion linealentre espacios de Banach. La condicion necesaria y suficiente para que ϕ seacontinua es que su grafica Γϕ sea cerrada en E × F .

Como dijimos al principio, uno de los problemas que se plantea el AnalisisFuncional consiste en el estudio de la dualidad de los espacios normados, paraasegurar la existencia de formas lineales continuas. El clasico Teorema de Tietzenos asegura que toda funcion continua definida sobre un subconjunto cerrado deun espacio normal puede extenderse globlalmente como funcion continua. Estopodrıa ayudarnos en nuestra tarea, sin embargo, la extension que se consiguierade una aplicacion lineal y continua solo tiene asegurada la continuidad y no lalinealidad.

Por un argumento de induccion trasfinita aplicando el Lema de Zorn, laexistencia de formas lineales que extienden a formas lineales de subespacios,viene dada por la siguiente:

B.1.11 Proposicion. Sean E,F espacios normados cualesquiera sobre un cuer-po k tales que F ⊆ E. Dada una forma lineal ω ∈ F ∗, existe una forma linealΩ ∈ E∗ prolongando a ω, es decir, Ω|F = ω.

El teorema que sigue es el que da la respuesta al problema que venimosplanteando (remitimos a la bibliografıa para su demostracion, vease [9]).

B.1.12 Teorema (de Hahn-Banach, version analıtica). Sea E un espacio nor-mado cualquiera y F ⊂ E un subespacio propio suyo. Dada una forma linealω ∈ F ∗ tal que para todo x ∈ F es |ω(x)| ≤ ‖x‖, existe una forma lineal Ω ∈ E∗prolongando a ω y tal que para todo x ∈ E es |Ω(x)| ≤ ‖x‖.

B.1.13 Observacion. Hay que decir que la forma Ω global que se obtiene en elteorema no es unica y ademas el teorema anterior no es constructivo (pues no sesabe cual es explıcitamente la forma Ω de la que se demuestra su existencia). Las

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versiones geometricas del teorema de Hahn-Banach plantean de forma naturalla relacion entre la unicidad de la extension y la geometrıa del espacio.

De todas formas, el Teorema de Hahn-Banach nos dice que los duales (to-pologicos) de los espacios normados son no vacıos (pues nos dice que existenformas lineales continuas y ademas de norma 1) y ademas lo suficientementegrandes como para dar informacion estructural sobre ellos.

B.1.14 Nota. Usualmente, en la notacion se distingue el dual topologico de unespacio vectorial del dual algebraico, que denotaremos E′ y E∗, respectivamente.El dual topologico consiste en las formas lineales que ademas son continuas,mientras que el dual algebraico se limita a considerar las formas lineales sinninguna condicion anadida. Para el caso de dimension finita, toda forma lineales continua y por ello no hay problema; pero para el caso de dimension infinitano es ası, de ahı la importancia del teorema anterior.

B.1.15 Corolario. Sea E un espacio normado cualquiera. Existe una formalineal continua ω ∈ E′ y un punto x0 ∈ E tales que:

1. ω(y) ≤ ‖y‖, para todo y ∈ E

2. ω(x0) = ‖x0‖

A una forma lineal de este tipo se le llamara forma lineal normante.

Demostracion. Dado un vector cualquiera del espacio, digamos x0 ∈ E; consi-deramos el subespacio que lo genera, M :=< x0 > y sobre este definimos lasiguiente forma lineal:

ω : M −→ kλx0 7−→ ω(λx0) := λ ‖x0‖ , para todo λ ∈ k

Observese que la forma ω que acabamos de definir cumple las hipotesis delTeorema de Hahn-Banach de forma trivial, luego aplicando el mencionado teo-rema sabemos que existe una forma lineal continua en todo el espacio, digamosΩ ∈ E′; prolongando a ω y dominada por la norma, esto es, tal que Ω(y) ≤ ‖y‖,para todo y ∈ E. Ademas, como x0 ∈ M y Ω prolonga a ω, entonces se tiene

que Ω(x0) = Ω|M (x0) = ω(x0)def.= ‖x0‖. Todo ello nos permite concluir.

B.1.16 Corolario. Sean E un espacio normado cualquiera y x0, x1 ∈ E puntossuyos. Si ω(x0) = ω(x1), para toda forma ω ∈ E′; entonces x0 = x1.

En palabras, las formas lineales continuas de un espacio normado separanpuntos. En particular, para que un vector de un espacio normado sea cero bastacon que sea cero al aplicarle una forma lineal continua cualquiera.

B.1.17 Corolario. Sea E un espacio normado cualquiera, entonces para todox ∈ E se verifica que:

‖x‖ = supω∈BE′

|ω(x)|

Demostracion. Por un lado, sea ω0 una forma lineal normante como la que nosda el corolario B.1.15 (la cual tiene norma 1 como se deduce de las propiedadesdel mencionado corolario), entonces se tiene que ‖x‖ = |ω0(x)| ≤ sup

ω∈BE′|ω(x)|.

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Por otro lado, dada la forma lineal continua ω ∈ BE′ , como cualquier otraaplicacion lineal continua se tiene que |ω(x)| ≤ ‖ω‖ · ‖x‖, luego sup

ω∈BE′|ω(x)| ≤

‖x‖.Las dos desigualdades que acabamos de obtener nos permiten concluir.

El problema puede plantearse geometricamente en el siguiente sentido: elclasico Lema de Urysohn nos dice que las funciones continuas separan cerrados(disjuntos) de un espacio normal, de modo que este resultado da una motivacionpara plantear geometricamente la existencia de una forma lineal y continua,que serıa un hiperplano separando dos subconjuntos convexos (esto ultimo esuna hipotesis tecnica para que la “separacion” funcione bien). En este sentidoaparece la version geometrica del Teorema de Hahn-Banach. (de nuevo, paralos resultados que siguen a continuacion remitimos a la bibliografıa pudiendoseconsultar [9] o [10])

B.1.18 Definicion. Sea E un k-espacio vectorial. Un subconjunto A de E sedice que es convexo si para todos a, b ∈ A y todo t ∈ [0, 1], el vector ta+(1− t)bpertenece a A.

B.1.19 Ejemplo. Sea (E, ‖·‖) un espacio normado. Dado r > 0, consideremosla bola de radio r centrada en el origen, o sea, B(0, r) := y ∈ E : ‖y‖ < r.Decimos que esta bola es un subconjunto convexo de E. En efecto, sean y1, y2 ∈B(0, r), entonces ‖y1‖ , ‖y2‖ < r. Dado t ∈ [0, 1], tomamos la combinacionty1 + (1− t)y2. Es inmediato, entonces que ‖(ty1 + (1− t)y2)‖ < r y, por tanto,ty1 + (1− t)y2 ∈ B(0, r); como se querıa demostrar.

Observese que cualquier otra bola de E se obtiene trasladando la bola unidad(debido a la continuidad de las aplicaciones naturales del espacio vectorial),luego dados r > 0 y x ∈ E, podemos decir que la bola B(x, r) es un subconjuntoconvexo de E.

B.1.20 Definicion. Sea E un espacio normado y sean A,B subconjuntos con-vexos suyos. Se dice que un hiperplano H := x ∈ E : ω(x) = α con ω ∈ E∗no identicamente nula y α ∈ R; separa A y B en sentido estricto si existe ε > 0tal que:

1. ω(x) ≤ α− ε, para todo x ∈ A.

2. ω(x) ≥ α+ ε, para todo x ∈ B.

B.1.21 Teorema (de Hahn-Banach, version geometrica). Sea E un espacionormado cualquiera y sean A,B dos subconjuntos convexos, no vacıos y dis-juntos de E. Si A es cerrado y B es compacto, entonces existe un hiperplanocerrado, digamos H := x ∈ E : ω(x) = α con ω ∈ E∗ no identicamente nulay α ∈ R; tal que separa A y B en sentido estricto.

B.1.22 Corolario. Sea E un espacio normado cualquiera y F ⊂ E un subes-pacio propio suyo. Dado x0 ∈ ErF existe una aplicacion lineal continua ω ∈ E′tal que ω|F = 0 y ω(x0) = d(x0, F ).

Demostracion. Dado x0 ∈ ErF , aplicando el teorema anterior al tomar A := Fy B := x0 resulta que existe un hiperplano cerrado separando F y x0en sentido estricto, es decir, existe una forma lineal y continua ω ∈ E′ no

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identicamente nula, de modo que para algun α ∈ R, el hiperplano de ecuacionω = α separa a F y x0 en sentido estricto. Como consecuencia se tiene que:

ω(x) < α < ω(x0) ,

para todo x ∈ F .Se deduce, por tanto, que ω(x) = 0, para todo x ∈ F , ya que λω(x) < α,

para todo λ ∈ R y todo x ∈ F .

B.1.23 Observacion. El corolario que acabamos de probar suele utilizarsepara cuando queremos demostrar que un subespacio vectorial de un espaciovectorial normado es denso. El razonamiento consiste en considerar una formalineal y continua sobre E, digamos ω; tal que ω = 0 sobre dicho subespacio,probando despues que ω es identicamente nula sobre E.

B.2. Espacios localmente convexos

A veces, en un espacio vectorial necesitamos una nocion de proximidad ypara tenerla es necesario definir una topologıa sobre dicho espacio. Puesto queel espacio vectorial ya tiene de por sı una estructura algebraica por definicion,la estructura topologica (la topologıa) que le anadamos debera ser compatible(en el sentido natural) con dicha estructura algebraica. Damos ası, la siguiente:

B.2.1 Definicion. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo k, dotado deuna cierta topologıa T . Se dice que (E, T ) es un espacio vectorial topologico(abreviadamente e.v.t.) si las aplicaciones naturales:

+ : E × E −→ E · : k × E −→ E(e, e′) 7−→ e+ e′ (λ, e) 7−→ λ · e

son continuas (considerando en los conjuntos E × E y k × E las topologıasproducto respectivas).

B.2.2 Observacion. De la definicion de e.v.t. se deduce que si U es un abiertode E, entonces a+U y λU son tambien abiertos de E, para todo a ∈ E y todoλ ∈ k. En particular, esto nos quiere decir que salvo una traslacion siempre po-demos suponer que los abiertos considerados son entornos del origen del espaciovectorial, lo cual facilita los razonamientos.

Observese que en la definicion de e.v.t. se considera una topologıa T ar-bitraria. Ahora bien, en el apartado anterior hemos tratado con los espaciosnormados, que son espacios topologicos cuya topologıa viene definida a travesde la norma considerada en el espacio, como ya explicamos. Esta norma, haceademas que las aplicaciones naturales del espacio vectorial (la suma de vectoresy el producto por escalar) sean continuas. Es decir, todo espacio normado es une.v.t.

B.2.3 Nota. En los espacios normados, ademas de la nocion de proximidad,disponemos de una herramienta para “medir” sus vectores: la norma; que es laque nos permite a su vez, determinar cuan proximos estan dichos vectores

A continuacion, vamos a considerar una generalizacion de los espacios nor-mados, de manera que sigamos obteniendo espacios vectoriales topologicos. Para

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ello, la topologıa que se va a considerar en el espacio vectorial, vendra dada poruna familia de seminormas. Obtendremos ası, los llamados espacios localmenteconvexos.

B.2.4 Definicion. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo k. Una semi-norma en E es una aplicacion

p : E −→ R+

e 7−→ p(e)

verificando las siguientes propiedades:

1. Si e ∈ E con e = 0, entonces p(e) = 0

2. p(λe) = |λ| p(e), para todo λ ∈ k y todo e ∈ E

3. p(e1 + e2) ≤ p(e1) + p(e2), para todos e1, e2 ∈ E

A la pareja (E, p) formada por un k-espacio vectorial E y una seminorma p enel se le llamara espacio seminormado.

B.2.5 Observaciones. (a) Sea E un k-espacio vectorial. Dada una seminor-ma p en E, se tiene inducida de forma natural una pseudodistancia en E,digamos d definida como d(x, y) := p(x−y), para todos x, y ∈ E. Observeseque no es una distancia propiamente dicha porque decir que d(x, y) = 0 noimplica que los puntos x, y ∈ E sean iguales, por la definicion de seminorma.

Ahora bien, el conjunto de bolasB(x, r) := y ∈ E : p(x− y) < r

r∈R+ ,

constituye una base de entornos abiertos para cada x ∈ E; obteniendoası una topologıa natural para E de forma analoga a como se tiene en unespacio normado (o en un espacio metrico, en general).

(b) Los teoremas de Hahn-Banach y sus consecuencias, que hemos mencionadoen el apartado anterior siguen siendo ciertas para el caso en que los espaciosvectoriales que se consideran tienen una topologıa definida a traves de unaseminorma, en lugar de hacerlo con una norma.

(c) Sea (E, p) un espacio seminormado. Al igual que se hizo en el ejemplo B.1.19,dados r > 0 y x ∈ E, la bola B(x, r) := y ∈ E : p(x − y) < r es unsubconjunto convexo de E.

Ahora, dado un espacio vectorial E y una familia de seminormas definidasen el, digamos pii∈I , vamos a ver de que manera podemos dotar de una buenatopologıa al espacio E.

Para cada x0 ∈ E, una base de entornos abiertos para este punto seran lossiguientes subconjuntos:

y ∈ E : maxpi1(x0 − y), . . . , pik(x0 − y) < ε ,

al variar ε en (0,+∞) y pi1 , . . . , pik entre los subconjuntos finitos de pii∈I .Puede comprobarse que, efectivamente, estos subconjuntos constituyen base

para una topologıa por abiertos en E. Ademas, de la propia definicion se de-duce que con esta topologıa, las operaciones naturales del espacio vectorial soncontinuas (los detalles para estas cuestiones pueden encontrarse en [9]). Lue-go, hemos construido un espacio vectorial topologico que ademas es localmente

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convexo, es decir, cada punto de E tiene un entorno que es localmente convexo(en virtud de la observacion (c) de B.2.5).

Teniendo en cuenta lo que acabamos de decir y la observacion B.2.2, damosla siguiente:

B.2.6 Definicion. Un espacio localmente convexo (abreviadamente e.l.c.) esun espacio vectorial topologico E cuya topologıa esta definida por una familiapii∈ de seminormas en el siguiente sentido: una base de entornos de 0 ∈ Eesta formada por los conjuntos del tipo:

y ∈ E : maxpi1(y), . . . , pik(y) < ε ,

al variar ε en (0,+∞) y pi1 , . . . , pik entre los subconjuntos finitos de pii∈I .

B.2.7 Ejemplo. Sea U un abierto de C. Entonces O(U) es un espacio local-mente convexo. En efecto, como se explica en C.1 en O(U) tenemos definidauna topologıa a traves de las seminormas pK (las cuales estan definidas porpK(f) := max

z∈K|f(z)|, para toda f ∈ O(U)), haciendo variar K entre los subcon-

juntos compactos de U (tomando como base de abiertos, las bolas adecuadascon la correspondiente pseudodistancia) y dicha topologıa recibe el nombre detopologıa de la convergencia compacta. Disponiendo de la familia de seminormaspK(K compacto de U)

, podemos definir en O(U) la topologıa correspondiente

que hemos descrito arriba, de modo que es sencillo comprobar (aplicando direc-tamente las definiciones de cada topologıa) que la topologıa de las seminormases exactamente la topologıa de la convergencia compacta. Luego, O(U) es unespacio localmente convexo.

Observese ademas, que la misma topologıa esta definida por una familianumerable adecuada de seminormas. Esto es ası, porque dado el abierto U ⊂ C,sabemos de Analisis elemental que exite una sucesion (Kn) de subconjuntos

compactos de U tal que U =∞⋃n=1

Kn y Kn ⊆Kn+1, para todo n ∈ N. Pues bien,

la familia numerable pKnn∈N define la misma topologıa, como se ve facilmente.En definitiva, O(U) es un espacio localmente convexo y numerable.

B.2.8 Definicion. Sea (X, T ) un espacio topologico. Si en X existe una dis-tancia d tal que la topologıa Td que induce es la misma que la topologıa T deque dispone ya el espacio X, entonces se dice que el espacio X es metrizable.

La demostracion de la siguiente proposicion no muestra especial dificultad yno lo detallamos aquı.

B.2.9 Proposicion. Sea X un conjunto cualquiera. Para cada n ∈ N, sea dnuna pseudodistancia en X, de modo que si x, y ∈ X con x 6= y, entonces existen ∈ N tal que dn(x, y) > 0.

La funcion d : X × X → R+ definida por d(x, y) :=∞∑n=1

12n

dn(x,y)1+dn(x,y)

, para

todos x, y ∈ X es una distancia en X.Ademas, la topologıa Td que define esta distancia es exactamente la topologıa

Tdn que define el conjunto de pseudodistancias consideradas.

En particular, podemos aplicar este resultado al caso que estamos tratando.Sea E un espacio localmente convexo cuya topologıa viene definida por una

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familia numerable de seminormas, digamos pnn∈N. En tal caso, es facil verque E es un espacio metrizable, pues basta con definir la distancia analogaa la que da la proposicion anterior (observando que las seminormas inducenpseudodistancias, como dijimos en B.2.5):

d(x, y) :=

∞∑n=1

1

2npn(x− y)

1 + pn(x− y), para todos x, y ∈ E

B.2.10 Observacion. Puede comprobarse que el recıproco de la afirmacionanterior tambien es cierto, esto es, si E es un espacio localmente convexo me-trizable, entonces su topologıa viene definida por una familia numerable de se-minormas. Si la topologıa del e.l.c. E viene dada por la familia de seminormaspii∈I y d es la distancia que define la misma topologıa por hipotesis, entoncespara cada n ∈ N tomamos las bolas de radio 1

n con respecto a dicha distancia yası, para cada seminorma p1, p2, . . .; tomamos estas bolas obteniendo la familianumerable como se querıa.

B.2.11 Ejemplo. Sea U un abierto de C. En el ejemplo B.2.7, habıamos vistoque O(U) es un espacio localmente convexo cuya topologıa viene dada por unafamilia numerable de seminormas, luego en virtud de lo que acabamos de decir,resulta que O(U) es un espacio localmente convexo y metrizable.

B.2.12 Definicion. Un espacio de Frechet es un espacio localmente convexo,metrizable y completo.

B.2.13 Observacion. Por definicion, un espacio de Frechet es en particularun espacio metrico y completo. Como consecuencia puede aplicarse el Teoremade Baire y con ello, el Teorema de la Aplicacion Abierta de Banach (ver B.1.8)es generalizable para el caso de los espacios de Frechet.

En este sentido, teniendo en cuenta la observacion (b) de B.2.5 resulta quetoda la teorıa general sobre espacios normados y espacios de Banach que se haexpuesto en la seccion anterior de este apendice, es generalizable para espaciosde Frechet.

B.2.14 Ejemplos. (a) Sea U un abierto de C. En virtud del Teorema I deWeierstrass (ver C.1.8), sabemos que O(U) es un espacio completo respectoa la topologıa de la convergencia compacta. En el ejemplo B.2.7 habıamoshecho notar que esta topologıa es la misma que la que define directamente lafamilia de seminormas pK(Kcompacto de U)

, luego O(U) tambien es un

espacio completo como espacio localmente convexo. Ademas, es metrizablepor el ejemplo B.2.11.

En definitiva, O(U) es un espacio de Frechet.

B.2.15 Observacion. Sea V una superficie de Riemann cualquiera. Si Ues un abierto coordenado suyo, sabemos que se identifica con un abiertodel plano complejo; luego por medio de esta identificacion podemos afirmartambien que O(U) es un espacio de Frechet, donde O denota aquı el haz defunciones holomorfas sobre la superficie de Riemann considerada.

(b) Sea V una superficie de Riemann cualquiera. Sobre el espacio de sus funcio-nes holomorfas,O(V) se tiene la topologıa usual de la convergencia compacta

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(como se hace notar en C.1.1). Vamos a dar una nueva construccion de estatopologıa.

Como V es una superficie de Riemann, el Teorema de Rado (ver C.2.4) nospermite considerar un recubrimiento finito o numerable de V por discoscoordenados Wjj∈J . Para cada j ∈ J , llamaremos Kj a W j (que es unsubconjunto compacto de V).

Dado α := (α1, α2) ∈ (Z+)2, denotaremos por Dα al operador de derivaciondefinido por

Dαf :=∂α1+α2f

∂xα1j ∂yα2

j

,

para toda funcion f ∈ C∞(V), y cada j ∈ J ; siendo zj := xj + iyj unacoordenada en algun entorno de Kj .

Ası, en C∞(V) consideramos la familia de seminormas pj,αj∈J,α∈(Z+)2 de-finidas por

pj,α(f) := maxq∈Kj|Dαf(q)| ,

para cada j ∈ J , cada α ∈ (Z+)2 y cada f ∈ C∞(V).

Esta familia de seminormas dota a C∞(V) de estructura de espacio local-mente convexo. Ademas, como la familia de seminormas es numerable, di-cho espacio es metrizable (por lo que hemos explicado anteriormente). Porla propia definicion de esta topologıa, es claro que el espacio C∞(V) es com-pleto.

En definitiva, C∞(V) es un espacio de Frechet.

A la topologıa que acabamos de construir sobre C∞(V) se le llama topo-logıa de la convergencia uniforme de las funciones y de todas sus derivadasen compactos de V. Y es inmediato que su restriccion al espacio O(V) esprecisamente la topologıa usual de la convergencia compacta de que ya dis-ponıamos.

B.2.16 Observacion. Consideremos el espacio a (0,1)(V) (recordar 2.3).Siguiendo las mismas notaciones que antes, para cada j ∈ J y cada α ∈(Z+)2 podemos definir la familia de seminormas pj,α del siguiente modo:

pj,α(ω) := maxq∈Kj|Dαfj(q)| ,

para toda ω ∈a (0,1)(V) tal que en un entorno de Kj sea de la forma fjdzj .

Entonces, a (0,1)(V) tambien es un espacio de Frechet.

B.2.17 Nota. Si los espacios vectoriales topologicos eran la generalizacionde los espacios normados al considerar ahora una seminorma; los espacios deFrechet representan la generalizacion de los espacios de Banach. Observese quetodo espacio de Banach es un espacio de Frechet, como se ve inmediatamente.Ademas, los resultados dados en el apartado B.1 para espacios de Banach songeneralizables tambien para espacios de Frechet, como ya hemos hecho notar.

Las propiedades mas basicas de los espacios de Frechet (cuya demostracionno supone mucha dificultad), las recogemos en la siguiente:

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B.2.18 Proposicion. Se verifican las siguientes propiedades:

1. Todo espacio de Banach es un espacio de Frechet.

2. El producto cartesiano de un numero finito de espacios de Frechet (resp.de Banach) dotado de la topologıa producto es un espacio de Frechet (resp.de Banach).

3. Sea E un e.v.t. metrizable y denotemos por E a su completado comoespacio metrico.

a) Si E es localmente convexo, entonces E tambien lo es y, por tanto,es un espacio de Frechet.

b) Si E es normado, entonces E tambien lo es y, por tanto, es un espaciode Banach.

4. Sea E un e.v.t. Si V es un subespacio vectorial de E, entonces con latopologıa inducida, V tambien es un e.v.t. En particular, esto es ciertopara su cierre, V .

Ademas, si E es un espacio de Frechet, entonces todo subespacio vectorialcerrado de E es tambien de Frechet.

5. Sea E un e.v.t. y V un subespacio vectorial suyo. El cociente E/V esta do-tado de estructura de e.v.t. de forma natural: su topologıa es la mas finaque hace continua la aplicacion de paso al cociente π : E → E/V (o sea,la topologıa final de π).

B.2.19 Definicion. Sean E,F espacios localmente convexos y ϕ : E → F unaaplicacion lineal entre ellos. Se dice que ϕ es completamente continua si hay unentorno U de 0 en E tal que ϕ(U) es relativamente compacto en F

B.2.20 Observacion. Mas en general, podriamos decir que ϕ es completa-mente continua cuando transforma cualquier bola de E en un subconjunto re-lativamente compacto de F . Pero por las observaciones B.2.2 y B.2.5, podemosescribir la definicion de arriba.

Se comprueba facilmente que si ϕ es completamente continua, entonces escontinua.

B.2.21 Ejemplo. Consideremos el haz de funciones holomorfas en C, O; ysean U, V abiertos de C tales que V ⊂ U con V compacto. Consideremos ası larestriccion de funciones ϕ : O(U) → O(V ). Evidentemente, el morfismo derestriccion es lineal. Veamos que ademas ϕ es completamente continua.

En efecto, el subconjunto f ∈ O(U) : pV (f) < 1 de O(U) es un abiertocomo se deduce inmediatamente de la definicion de la topologıa de O(U) (dehecho, este subconjunto es uno de los de la base de dicha topologıa, pues estamossuponiendo que V es compacto de U). Su imagen por ϕ esta contenida eng ∈ O(V ) : |g| < 1 en V , que es una familia normal de funciones holomorfas enV (recuerdese la definicion C.1.11). Por el Teorema de Montel (ver C.1.12), estesubconjunto es relativamente compacto en O(V ), y se concluye lo que querıamosdemostrar.

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B.2.22 Observacion. Sea V una superficie de Riemann cualquiera. Es lıcitoconsiderar su haz de funciones holomorfas, O. Como ya sabemos, si U es unabierto coordenado de la superficie de Riemann, entonces se identifica con unabierto del plano complejo y, por ello, lo que digamos sobre los abiertos delplano seguira siendo cierto para los abiertos coordenados de una tal superficie.

Por tanto, si U, V son abiertos coordenados de V tales que V ⊂ U con Vcompacto, entonces el ejemplo anterior sigue siendo cierto y diremos que larstriccion de funciones ϕ : O(U) → O(V ) es una aplicacion completamentecontinua.

Una propiedad esencial de los espacios de Frechet, cuya demostracion puedeencontrarse en [8] y necesitamos para el presente trabajo es el siguiente:

B.2.23 Teorema (de Schwartz). Sean E,F espacios de Frechet y α, β dos apli-caciones lineales y continuas de E en F . Si α es exhaustiva y β es completamentecontinua, entonces la imagen de α − β es cerrada y el conucleo de α − β es dedimension finita.

B.3. Distribuciones

De forma sencilla, podemos decir que una “distribucion” generaliza el con-cepto de funcion. La Teorıa de distribuciones fue desarrollada principalmentepor Paul Dirac y Laurent Schwartz durante la primera mitad del siglo XX conel objetivo de abordar situaciones en las que la nocion clasica de funcion es in-suficiente, de manera que constituye una teorıa revolucionaria; pues el trabajofinal de Schwartz permitio consolidar y dar rigor matematico al uso de este ti-po de aplicaciones que surgıan de forma natural para describir ciertos procesosfısicos y cuyo manejo era mas bien intuitivo, sin ningun tipo de fundamentomatematico.

Para ilustrar el problema que plantea la Teorıa de distribuciones suponga-mos una cuerda formada por dos trozos de diferente densidad, entonces, en laecuacion de la cuerda vibrante,

∂2u

∂t2− a2 ∂

2u

∂x2= 0

el coeficiente sera igual a una constante diferente en cada uno de los correspon-dientes trozos y, por tanto, esta ecuacion no tendra soluciones “clasicas”, estoes, dos veces continuamente diferenciables.

Supongamos, que el coeficiente a es constante, pero que la posicion inicialde la cuerda tiene la forma de una lınea quebrada, dada por la ecuacion u|t=0 =ϕ(x). En el vertice de la lınea quebrada, la funcion ϕ, no puede tener primeraderivada (en ese punto habrıa una singularidad). Se demuestra que tampocoexiste solucion “clasica” de la ecuacion de la cuerda vibrante con condicioneiniciales

u|t=0 = ϕ(x)∂u

∂t|t=0 = 0

Dando un golpe seco a cualquier segmento de la cuerda, las oscilaciones queresultan estan descritas por la ecuacion:

∂2u

∂t2− a2 ∂

2u

∂x2= f(x, t) ,

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donde f(x, t) corresponde al efecto producido, que es una funcion discontinua,distinta de cero solamente sobre el pequeno segmento de cuerda donde se ha dadoese “impulso” y durante un corto intervalo de tiempo. Esta ecuacion tampocotiene solucion “clasica”.

Ası pues, el planteamiento fısico de la solucion a esta ecuacion en derivadasparciales queda sin resolver desde el punto de vista matematico; pero fısica-mente el proceso ocurre, luego es deseable que pueda ser descrito de algunaforma. Entonces, introduciendo “soluciones discontinuas” para las ecuacionesdiferenciales, el problema quedarıa resuelto satisfactoriamente.

Vemos que el problema surge cuando intentamos describir un proceso puntualo inmediato o lımite en el sentido que explicamos a continuacion: supongamosque queremos empujar un objeto; para ello podemos aplicarle una fuerza duran-te un periodo de tiempo t. Si queremos comunicarle una determinada energıacinetica, la fuerza aplicada nos determina la duracion t para alcanzar dichaenergıa. Si aumentamos la fuerza, el tiempo necesario sera menor. En el lımite,cuando t → 0, tendremos que aplicarle una fuerza infinita. Serıa el equivalentefısico a un “martillazo”, un “chispazo”; o sea, una fuerza impulsiva.

Comencemos con las definiciones formales.

B.3.1 Definicion. Sea U un abierto de C y denotemos por C∞c (U) al anillo delas funciones complejas de clase C∞ y soporte compacto en U .

Dada una sucesion (fn)n∈N de funciones en C∞c (U), diremos que (fn)n∈Nconverge en C∞c (U) a una funcion f ∈ C∞c (U) cuando se verifican las dos condi-ciones siguiente:

1. Hay un subconjunto compacto K de U tal que sop(fn) ⊆ K, para todon ∈ N.

2. Para cada α := (α1, α2) ∈ (Z+)2, la sucesion (Dαfn)n∈N converge unifor-memente en K a Dαf ; siendo Dα el operador de derivacion definido por

Dα(f) := ∂α1+α2f∂xα1yα2

(donde se entiende que si alguno de los α1, α2 es cero,

entonces no se deriva respecto de la correspondiente variable).

B.3.2 Observacion. Puede demostrarse que en C∞c (U) existe una topologıapara la cual la nocion de convergencia de una sucesion de elementos de C∞c (U)es precisamente la que hemos descrito arriba.

B.3.3 Definicion. Sea U un abierto de C. Una distribucion en U es una apli-cacion lineal T : C∞c (U) → C que sea continua en el sentido de que si (fn)n∈Nconverge a f en C∞c (U), entonces existe lım

n→∞T (fn), siendo tal lımite T (f).

Al conjunto de todas las distribuciones en U lo denotaremos por D(U)

B.3.4 Ejemplo. Sea h una funcion compleja continua en U ⊆ C y consideremosla aplicacion lineal Th : C∞c (U) → C definida por Th(f) :=

∫Uh(z) f(z) dxdy,

para todo f ∈ C∞c (U). Observese que la integral escrita tiene sentido porque ftiene soporte compacto.

Th es lineal de modo trivial y ademas es continua porque se podra inter-cambiar el lımite con la integral en virtud de la definicion de convergencia enC∞c (U).

En definitiva, Th es una distribucion, que llamaremos distribucion asociadaa h.

80

Dado el abierto U ⊆ C, consideremos el C-espacio vectorial de las distri-buciones en U , D(U). En virtud del ejemplo anterior, podemos considerar laaplicacion de C(U) en D(U) que asigna a cada funcion compleja continua h conla distribucion Th, definida en dicho ejemplo.

Es obvio que esta aplicacion es lineal y ademas es inyectiva. En efecto, seah ∈ C(U) tal que Th ≡ 0, entonces Th(f) =

∫Uh(z) f(z) dxdy = 0, para toda

funcion f ∈ C∞c (U); de donde se deduce que h ≡ 0 porque h es una funcioncontinua y f es una funcion de soporte compacto en U , de modo que podemostomar un rectangulo R := [a, b] × [c, d] conteniendo a dicho soporte en dondecalcular la integral anterior. Ası, f se anula en ∂R y el Lema fundamental delcalculo de variaciones (el cual puede consultarse en [2]) nos permite concluir.

Como consecuencia, resulta que por medio de esta aplicacion podemos iden-tificar C(U) con un subespacio de D(U) y, por esto, identificaremos cada funcioncontinua h con la correspondiente distribucion Th, es decir, pensaremos a lasfunciones continuas en U como distribuciones en U .

A continuacion, vamos a ver que una funcion continua, en tanto que se leconsidera como distribucion; es infinitamente derivable.

B.3.5 Lema. Sea U un abierto de C y h, f ∈ C∞c (U). Entonces se verifica:∫U

Dαh(z) f(z) dxdy = (−1)|α|∫U

h(z) Dαf(z) dxdy ,

donde |α| := α1 + α2, supuesto que α := (α1, α2) ∈ (Z+)2

Demostracion. En primer lugar, obsrvamos que para demostrar la igualdad delenunciado basta con verlo para el caso en que Dα = ∂

∂x (o sea, α = (1, 0))

o Dα = ∂∂y (o sea, α = (0, 1)). Vamos a verlo para Dα = ∂

∂x , es decir, vamos aver que: ∫

U

∂h

∂x(z) f(z) dxdy = −

∫U

h(z)∂f

∂x(z) dxdy

Como h, f tienen soporte compacto en U por hipotesis, sea K := [a, b]× [c, d]un rectangulo que contenga a sop(h)∪sop(f), consideradas h, f como funcionesde x, y. Entonces, para ver la igualdad de arriba basta con ver la siguiente:∫

K

∂h

∂x(z) f(z) dxdy = −

∫K

h(z)∂f

∂x(z) dxdy

En efecto, aplicando el Teorema de Fubini e integrando por partes se obtienelo siguiente:∫K

∂h

∂x(z) f(z) dxdy =

∫ d

c

(∫ b

a

∂h

∂x(z) f(z) dx

)dy =

=

∫ d

c

(h(z) f(z)

]x=bx=a−∫ b

a

h(z)∂f

∂x(z) dx

)dy =

=

∫ d

c

(h(b+ iy)f(b+ iy)− h(a+ iy)f(a+ iy)−

∫ b

a

h(z)∂f

∂x(z) dx

)dy =

= −∫ d

c

(∫ b

a

h(z)∂f

∂x(z) dx

)dy = −

∫K

h(z)∂f

∂x(z) dxdy

Todo ello acaba la demostracion.

81

Utilizando la notacion introducida en el ejemplo B.3.4, entonces la igualdadprobada en el lema anterior puede reescribirse del siguiente modo:

TDαh(f) = (−1)|α| Th(Dαf) ,

para cualesquiera h, f ∈ C∞c (U) y todo α ∈ (Z+)2.Como hemos explicado al principio, la idea de la Teorıa de distribuciones

consiste en generalizar el concepto de funcion por medio del concepto de distri-bucion; entonces, ¿como definimos la derivada de una distribucion? Pues bien,dado α ∈ (Z+)2 la igualdad que hemos escrito arriba nos motiva a definir DαT ,siendo T una distribucion en U ⊆ C; como sigue:

B.3.6 Definicion. Sea U un abierto de C y α ∈ (Z+)2. Dada una distribucionT en U , se llama derivada de orden α de T a la distribucion DαT en U definidapor:

DαT (f) := (−1)|α| T (Dαf) ,

para toda funcion f ∈ C∞c (U)

B.3.7 Observacion. Como toda funcion continua h ∈ C(U) define una distri-bucion Th en U , entonces podemos derivar infinitamente a la funcion h cuandola entendemos como distribucion, en virtud de la definicion de derivada de dis-tribucion que acabamos de dar y dado α ∈ (Z+)2 escribiremos:

Dαh = DαTh

Cuando se estudian las funciones en el Analisis elemental, nos preocupamospor estudiar de que manera podemos conmutar las operaciones de derivar eintegrar en los procesos de paso al lımite. Intuitivamente, las distribuciones ofunciones generalizadas que aparecen debido a problemas fısicos representan unproceso de lımite de otras funciones, como hemos explicado al comienzo. En estesentido, vamos a ver que las distribuciones conmutan con la derivacion y con laintegracion.

B.3.8 Proposicion. Sea U un abierto de C y (a, b) un intervalo real. Consi-deremos una funcion f : (a, b) × U → C de clase C∞ y con soporte contenidoen (a, b) × K, para algun subconjunto compacto K de U ; y una distribucionT ∈ D(U).

La funcion de t ∈ (a, b) definida por t 7→ Tz(f(t, z)) es infinitamente diferen-

ciable y ademas su derivada en t0 ∈ (a, b) es Tz

(∂f∂t (t0, z)

); donde Tz indica que

aplicamos la distribucion T a la funcion f considerada esta como funcion solode z para cada valor fijo de t.

Demostracion. Observese que para demostrarlo basta con ver que Tz(f(t, z))es una funcion derivable de t verificandose lo del enunciado (pues repitiendo elargumento a lo que se obtiene, resulta que efectivamente es infinamente diferen-ciable). Ası pues, vamos a ver que:

d(Tz(f(t, z))

)dt

(t0) = Tz

(∂f∂t

(t0, z))

O sea, vamos a ver que existe lımn→∞

Tz(f(tn,z))−Tz(f(t0,z))tn−t0 , para cada sucesion

(tn)n∈N en (a, b)r t0 convergente a t0 y que este lımite coincide precisamente

con Tz

(∂f∂t (t0, z)

)82

Veamos primero que la sucesion(f(tn,z)−f(t0,z)

tn−t0

)n∈N

converge a ∂f∂t (t0, z) en

C∞c (U) (es decir, en el sentido de la topologıa de C∞c (U); es decir, que la con-vergencia es uniforme, pues la convergencia puntual esta clara por la definicionde derivada parcial).

Como por hipotesis se tiene que sop(f) ⊂ (a, b) × K, entonces el soportede cada una de las funciones de la sucesion considerada esta contenido en unmismo compacto.

Por otro lado, para cada z fijo y dado α ∈ (Z+)2, aplicamos el Teorema delos incrementos finitos de Analisis elemental a la funcion Dα(f(t, z)) en [t0, tn](o bien en [tn, t0] dependiendo de que sea t0 < tn o tn < t0) y obtenemos:

Dα(f(tn, z))−Dα(f(t0, z)) = (tn − t0)∂Dα(f(t′n, z))

∂t,

siendo t′n un punto intermedio entre t0 y tn.

Este resultado nos permite decir ya que Dα(f(tn,z)−f(t0,z)

tn−t0

)converge uni-

formemente en el compacto (a, b)×K cuando n→∞ a Dα(∂f∂t (t0, z)

).

Con todo esto podemos concluir que la sucesion de funciones(f(tn,z)−f(t0,z)

tn−t0

)n∈N

converge a ∂f∂t (t0, z) en C∞c (U), como se querıa.

Finalmente, utilizando la linealidad y la continuidad de la distribucion Tescribimos lo siguiente:

Tz(f(tn, z))− Tz(f(t0, z))

tn − t0= Tz

(f(tn, z)− f(t0, z)

tn − t0

)n→∞−→ Tz

(∂f∂t

(t0, z))

quedando demostrado el lema.

B.3.9 Proposicion. Sean U, V abiertos de C. Consideremos una funcion f :U × V → C de clase C∞ y con soporte contenido en K × L, siendo K y Lsubconjuntos compactos de U y V , respectivamente; y una distribucion T ∈D(U)

La funcion Tz((f(z, w))) es una funcion de clase C∞ y soporte compacto enV y se verifica lo siguiente:∫

V

Tz(f(z, w) dsdt = T(∫

V

f(z, w) dsdt)

donde Tz indica que aplicamos la distribucion T a la funcion f considerada estacomo funcion solo de z para cada valor fijo de w.

Demostracion. En primer lugar, en virtud de la proposicion previa resulta queTz(f(z, w)) es una funcion de clase C∞ en V (pues las partes real s e imgi-naria t de w ∈ V pueden entenderse como parametros). Ademas, su soporteesta contenido en L, luego Tz(f(z, w)) es integrable en V .

Consideremos ahora un rectangulo R en C que contenga a L y sea Pn laparticion de R en n2 rectangulos con la misma area, para cada n ∈ N. En talcaso, se tiene: ∫

V

f(z, w)dsdt = lımn→∞

∑Rni∈Pn

f(z, wni)A(R)

n2,

83

donde los Rni son los rectangulos de la particion Pn, wni es un punto de Rni ;para cada n ∈ N y cada i ∈ 1, . . . , n2 y A(R) es el area del rectangulo R

Se comprueba facilmente que la sucesion de sumas de Riemann( ∑Rni∈Pn

f(z, wni)A(R)n2

)n∈N

converge a∫Vf(z, w)dsdt en C∞c (U).

Finalmente, aplicando la distribucion T a ambos miembros de la igualdadde arriba, utilizando la continuidad de T junto con lo que acabamos de decir ysu linealidad, se obtiene ya que:

T(∫

V

f(z, w) dsdt)

= T(

lımn→∞

∑Rni∈Pn

f(z, wni)A(R)

n2

)=

= lımn→∞

∑Rni∈Pn

Tz(f(z, wni))A(R)

n2=

∫V

Tz(f(z, w) dsdt

quedando demostrado el lema.

Para lo que sigue vamos a considerar una funcion ρ : C→ R verificando lassiguientes propiedades:

1. ρ es de clase C∞ y soporte compacto contenido en D, siendo D el discounidad de C.

2. ρ(z) = ρ(|z|), para todo z ∈ C.

3.∫C ρ(z) dxdy = 1

B.3.10 Nota. Para ver que existe una tal ρ podemos considerar una funcionc : R → R positiva, de clase C∞ y sopote compacto contenido en (−1, 1), yobtener a partir de c una funcion, que denotaremos por φ, definida por φ(t) :=c(t) + c(−t), para todo t ∈ R. A partir, de φ, podemos definir ψ(z) := φ(|z|),para todo z ∈ C; para tomar finalmente:

ρ(z) :=1∫

C ψ(z) dxdyψ(z) , para todo z ∈ C

Ahora, dado ε > 0, definimos la funcion

ρε(z) :=1

ε2ρ(z

ε) , para todo z ∈ C

Es inmediato comprobar que la funcion ρε que acabamos de definir verificalas siguientes propiedades:

1. ρε es de clase C∞ y soporte compacto contenido en D(0, ε).

2. ρε(z) = ρε(|z|), para todo z ∈ C.

3.∫C ρε(z) dxdy = 1

Por otro lado, dado un abierto U de C y ε > 0, definimos el siguiente sub-conjunto abierto de U :

Uε := z ∈ U : D(z, ε) ⊂ U = z ∈ U : d(z,Cr U) > ε

84

Ahora, dada una funcion continua en el abierto U , digamos f ∈ C(U); defi-nimos lo siguiente:

Sε(f)(z) :=

∫U

ρε(z − w)f(w) dsdt , para todo z ∈ Uε

donde s := Re(w) y t := Im(w).

B.3.11 Observaciones. (a) La integral que hemos escrito arriba podrıa ha-berse tomado sobre D(z, ε) en lugar de sobre U (pues la funcion ρε(z − w)tendra su soporte compacto contenido en D(z, ε), debido a las propiedadesque verifica una tal ρε). Ademas, haciendo el cambio de variable z−w := u,dicha integral puede escribirse como:

Sε(f)(z) :=

∫D(0,ε)

ρε(u)f(z + u) dαdβ , para todo z ∈ Uε

siendo ahora α := Re(u) y β := Im(u).

(b) Como∫Uρε(z − w)f(w) dsdt es derivable bajo el signo integral, entonces

deducimos que Sε(f) es una funcion de z ∈ Uε de clase C∞, aunque f solose suponga continua en U .

Con las notaciones y observaciones precedentes, damos la siguiente:

B.3.12 Proposicion. Sean U un abierto de C, ε > 0 y f ∈ C∞(U). Se verificaque:

1. para cada α ∈ (Z+)2, Dα(Sε(f)) = Sε(Dαf)

2. si z ∈ Uε y f es armonica en D(z, ε), entonces Sε(f)(z) = f(z)

Demostracion. 1. Como hemos quedado en la observacion (a) de B.3.11, paracada z ∈ Uε la funcion Sε(f) podemos escribirla como

Sε(f)(z) :=

∫D(0,ε)

ρε(u)f(z + u) dαdβ

Como podemos derivar bajo el signo integral respecto de x, y tantas vecescomo queramos, deducimos que

Dα(Sε(f))(z) =

∫D(0,ε)

ρε(u)Dαf(z + u) dαdβdef.= Sε(D

αf)(z) ,

como se querıa demostrar.

2. Como f se supone armonica enD(z, ε), entonces verifica la correspondientepropiedad de la media, o sea,

f(z) =1

2π

∫ 2π

0

f(z + reiϕ) dϕ ,

siendo r ∈ (0, ε)

85

Por otro lado, haciendo referencia de nuevo a la expresion de (a) de lasobservaciones B.3.11 y utilizando la propiedad de la media de la funcionf , escribimos lo siguiente:

Sε(f)(z) =

∫D(0,ε)

ρε(u)f(z + u) dαdβ∗=

=

∫D(0,ε)

ρε(r)f(z + reiϕ)r drdϕ =

∫ ε

0

(∫ 2π

0

ρε(r)f(z + reiϕ)r dϕ

)dr =

=

∫ ε

0

2πf(z)ρε(r)r dr = f(z)

∫ ε

0

2πρε(r)r dr =

= f(z)

∫ ε

0

(∫ 2π

0

ρε(r)r dϕ

)dr = f(z)

∫D(0,ε)

ρε(u) dαdβ = f(z)

En (*) hemos parametrizado el disco D(0, ε) por el angulo, esto es, he-mos hecho el cambio de variable u := reiϕ, con r ∈ (0, ε) y ϕ ∈ (0, 2π).Observese que la funcion ρε es invariante por rotaciones porque esta fun-cion verifica que ρε(z) = ρε(|z|), para todo z ∈ C. Por tanto, podemosescribir ρε(r) = ρε(re

iϕ) tal y como hemos hecho en (*).Todo ello acaba la demostracion.

En B.3.6 definimos la derivada de una distribucion por medio del operador

derivada D. El operador laplaciano viene definido por ∆ := ∂2

∂x2 ∂2

∂y2 , siendo

x, y las coordenadas cartesianas reales de C y puede ser entendido como unnuevo operador de derivacion; de modo que debido a la linealidad de las distri-buciones y teniendo en cuenta la definicion B.3.6, podemos definir el conceptode “distribucion armonica” como sigue:

B.3.13 Definicion. Sea U un abierto de C. Una distribucion T ∈ D(U) se diceque es armonica en U si

∆T (f) ≡ T (∆f) = 0 ,

para toda funcion f ∈ C∞c (U), siendo ∆ el operador laplaciano.

B.3.14 Lema (de Weyl). Sea U un abierto de C y T una distribucion en U . SiT es una distribucion armonica en U , entonces T es una funcion armonica enU , esto es, existe una funcion armonica en U , digamos u; tal que T = Tu.

Demostracion. Sea ε > 0. Para cada z ∈ Uε, la funcion de w ∈ C dada porρε(w−z) tiene soporte compacto contenido en D(z, ε) ⊂ U . Por tanto, podemosaplicar a esta funcion la distribucion T dada y considerar h : Uε → C definidapor h(z) := Tw(ρε(w−z)), para todo z ∈ Uε; donde Tw indica que la distribucionT se le aplica a la funcion ρε pensada esta como funcion de w para cada valorfijo de z. Por la proposicion B.3.8 resulta que la funcion h que acabamos dedefinir es de clase C∞ en Uε.

Para probar el lema basta con ver que se verifica que T = Th, es decir, quepara toda funcion f ∈ C∞c (Uε) se tiene que:

T (f) =

∫Uε

h(z)f(z) dxdy

86

Esto es ası porque si h1, h2 son otras dos funciones verificando la igualdadde arriba, entonces deben coincidir en Uε (por la inyectividad de la aplicacionque asigna a cada funcion continua con la correspondiente distribucion), luegoal variar ε queda definida una funcion en todo U , digamos u; que, en cada Uε,coincidira con la funcion h de arriba.

Para ello vamos a ver en primer lugar que para toda funcion f ∈ C∞c (Uε) setiene que T (Sε(f)) =

∫Uεh(z)f(z) dxdy.

Observemos que Sε(f) tiene soporte compacto contenido en U porque sop(f)es un subconjunto compacto de Uε por hipotesis y por la definicion de Sε(f) esclaro que sop(Sε(f)) ⊂

⋃z∈sop(f)

D(z, ε); luego sop(Sε(f)) esta contenido en una

familia finita del tipo D(z1, ε) ∪ . . . ∪ D(zr, ε) para ciertos z1, . . . , zr ∈ sop(f).Por este motivo, es lıcito aplicar la distribucion T a la funcion Sε(f).

Aplicando la proposicion B.3.9, la definicion de h y el hecho de que sop(f) ⊂Uε, escribimos lo siguiente:

T (Sε(f)) = T

(∫U

ρε(w − z)f(z) dxdy

)=

=

∫U

Tw(ρε(w − z))f(z) dxdy =

∫Uε

h(z)f(z) dxdy

como se querıa demostrar.Pasemos a ver ahora que T (f) = T (Sε(f)), para toda funcion f ∈ C∞c (Uε),

lo cual acabara la demostracion del teorema en virtud de lo que acabamos deobtener.

Para ello consideremos una funcion ψ ∈ C∞(C) tal que ∆ψ = f en C (la cualexiste por 3.2.1 y por el hecho de que el operador laplaciano puede expresarseen la coordenada compleja z como ∆ = 4 ∂

∂z ∂∂z ).

Con lo cual, es claro que la funcion ψ considerada es armonica en V :=C r sop(f), luego aplicando el apartado (2) de la proposicion anterior, resultaque Sε(ψ) = ψ en Vε. Se deduce que sop(Sε(ψ)−ψ) es un subconjunto compacto

de U porque Vεdef.= z ∈ C : d(z,C r V ) > ε = z ∈ C : d(z, sop(f)) > ε,

luego C r Vε = z ∈ C : d(z, sop(f)) ≤ ε, que es un subconjunto compactode U (por ser cerrado y acotado), luego sop(Sε(ψ) − ψ) tambien lo es. Comoconsecuencia, sop(Sε(f)−f) = sop(Sε(∆ψ)−∆ψ) = sop(∆Sε(ψ)−∆ψ) tambienes un subconjunto compacto de U (para la ultima igualdad hemos utilizado elapartado (1) de la proposicion anterior y la linealidad de la integral).

Por tanto, es lıcito aplicar la distribucion T a la funcion Sε(f)−f y escribimoslo siguiente:

T (Sε(f)− f) = T (∆(Sε(ψ))−∆ψ) = T (∆(Sε(ψ)− ψ)) ,

lo cual es cero porque estamos suponiendo que T es una distribucion armonica.Aplicando ahora la linealidad de la distribucion T , obtenemos que T (Sε(f)) −T (f) = 0, como querıamos demostrar.

Argumentando como hicimos antes para dar la definicion de “distribucionarmonica”, analogamente podemos dar la definicion de “distribucion holomor-fa”, considerando para este caso el operador ∂

∂z :

87

B.3.15 Definicion. Sea U un abierto de C. Una distribucion T ∈ D(U) se diceque es holomorfa en U si

∂T

∂z(f) ≡ T

(∂f∂z

)= 0 ,

para toda funcion f ∈ C∞c (U).

B.3.16 Corolario. Sea U un abierto de C y T una distribucion en U . Si T esuna distribucion holomorfa en U , entonces T es una funcion holomorfa en U ,esto es, existe una funcion holomorfa en U , digamos f ; tal que T = Tf .

Demostracion. Basta tener en cuenta que el operador laplaciano ∆ se expresaen la coordenada compleja z como ∆ = 4 ∂

∂z ∂∂z . Por tanto, es inmediato que

si T es una distribucion holomorfa en U , tambien es una distribucion armonicaen U ; luego por el Lema de Weyl sabemos que T es una funcion armonica enU , es decir, existe una funcion armonica f en U tal que T = Tf . Por tanto, ladistribucion T puede interpretarse como la propia funcion f , luego como porhipotesis es

0 =∂T

∂z=∂Tf∂z∼=∂f

∂z,

se deduce que f es de hecho una funcion holomorfa en U , como se querıa.

88

C. Generalidades

El objetivo de este apendice es presentar unicamente los resultados masbasicos que se han utilizado referidos a variable compleja elemental o sobre lassuperficies de Riemann para facilitar la lectura del trabajo.

C.1. Sucesiones y series de funciones holomorfas

Comenzamos analizando cual ha de ser la topologıa adecuada (los Teoremasde Weierstrass que siguen a continuacion nos diran el sentido en que decimosque la topologıa escogida es la “adecuada”) para el conjunto de las funciones ho-lomorfas en un abierto del plano complejo. Sea U un abierto del plano complejoC y consideremos el anillo de funciones complejas continuas en dicho abierto,C(U). Nos preocupamos pues de dotar a este anillo de una topologıa.

Para ello, fijemos un subconjunto compacto de U , digamos K. Se define unaseminorma en C(U) del siguiente modo:

pK(f)not.≡ ‖f‖K := max

z∈K|f(z)| ,

para todo f ∈ C(U). Esta seminorma induce en C(U) una pseudodistancia defi-nida de modo natural como sigue:

dK(f, g) := ‖f − g‖K ,

para todos f, g ∈ C(U).Esta pseudodistancia define a su vez una topologıa en C(U), que denotaremos

por TK ; en la que cada funcion f ∈ C(U) tiene como base de entornos el conjuntode las “bolas” BK(f, r) := g ∈ C(U) : dK(f, g) < r, cuando r recorre elconjunto de los numeros reales positivos. Haciendo variar ahora K entre todoslos subconjuntos compactos de U , obtenemos en C(U) la llamada topologıa de laconvergencia uniforme en compactos o topologıa de la convergencia compacta,que denotaremos por T ; que no es mas que la reunion de todas las topologıasTK .

C.1.1 Observacion. Sea V una superficie de Riemann cualquiera. Como ya sesabe, los abiertos coordenados de V se identifican con abiertos del plano com-plejo, luego todo lo que digamos sobre abiertos del plano complejo sigue siendocierto para los abiertos coordenados de la superficie. De esta manera, dado unabierto coordenado U de V; en O(U) podemos construir de forma completamen-te analoga la topologıa de la convergencia compacta. En particular, para O(V)(haciendo el proceso anterior para cada uno de los abiertos recubridores de unatlas que defina la estructura holomorfa de la superficie de Riemann).

Con todo esto, ya disponemos de la nocion de convergencia para una sucesionde elementos de C(U) en el sentido de la topologıa T que acabamos de definir:

C.1.2 Definicion. Sea U ⊆ C un abierto. Una sucesion de funciones complejascontinuas en U , (fn)n∈N se dice que converge a una funcion f ∈ C(U) si para cadasubconjunto compacto K de U se verifica que lım

n→∞fn(z) = f(z) uniformemente

en K.

89

C.1.3 Observacion. Notese que segun la topologıa T definida en el anilloC(U), la definicion anterior es la que surge de modo natural si aplicamos ladefinicion habitual de convergencia, pues dada la pseudodistancia dK en C(U),decir que una sucesion de funciones complejas continuas, (fn)n∈N, converge a unafuncion f ∈ C(U) es decir que para cada subconjunto compacto K de U y cada

ε > 0 existe un δε,K tal que si n ≥ δε,K , entonces dK(fn, f) = pK(fn − f)def.=

maxz∈K|f(z)| < ε, es decir, |fn(z) − f(z)| < ε, para todo z ∈ K; o sea, que la

sucesion (fn)n∈N converge uniformemente en los compactos de U en el sentidohabitual, de aquı la nomenclatura de la topologıa.

De la misma manera, tambien tenemos el concepto de sucesion de Cauchypara elementos de C(U) en el sentido de la topologıa T que acabamos de definir:

C.1.4 Definicion. Sea U ⊆ C un abierto. Una sucesion de funciones complejascontinuas en U , (fn)n∈N se dice que es de Cauchy cuando para cada subconjuntocompacto K de U y cada ε > 0 existe un n0(ε,K) tal que si p, q ≥ n0(ε,K),entonces dK(fp, fq) < ε.

Y tambien tendremos el concepto de serie de funciones holomorfas en unabierto U ⊆ C y la correspondiente nocion de convergencia de la serie:

C.1.5 Definicion. Sea U ⊆ C un abierto. Una serie de funciones complejas con-tinuas en U es una pareja de sucesiones

((fn), (Fn)

)n∈N de funciones complejas

continuas en U relacionadas por Fn := f1 + . . .+ fn, para cada n ∈ N.A una tal serie se le representa por

∑fn y a la sucesion (Fn)n∈N se le llama

sucesion de sumas parciales de la serie∑fn.

C.1.6 Definicion. Sea U ⊆ C un abierto y∑fn una serie de funciones com-

plejas continuas en U . Se dice que∑fn es convergente en C(U) (en el sentido

de la topologıa T ) si la sucesion de sumas parciales (Fn)n∈N es convergente enC(U) (en el sentido de la topologıa T ).

En tal caso, a la funcion F := lımn→∞

Fn se le llama suma de la serie y se

escribe F :=∞∑n=1

fn.

Utilizando la topologıa de la convergencia uniforme en compactos del anillode funciones complejas continuas en un abierto U ⊆ C, vamos a analizar eneste sentido la estructura del anillo de funciones holomorfas en U , O(U); puesen O(U) se considerara la topologıa heredada de la de C(U). Todos los resulta-dos que enunciamos a continuacion se suponen conocidos, ya que forman partede un primer curso de variable compleja elemental; en cualquier caso, puedeencontrarse un detallado desarrollo de los mismos en [3].

C.1.7 Teorema. Sea U ⊆ C un abierto. El anillo C(U) es un espacio completocon respecto a la topologıa T anteriormente definida.

C.1.8 Teorema (I de Weierstrass). Sea U ⊆ C un abierto. El anillo de funcionesholomorfas en U , O(U), es un cerrado de C(U). Como consecuencia, O(U) estambien un espacio completo.

C.1.9 Teorema (II de Weierstrass). Sea U ⊆ C un abierto. Si una sucesionde funciones holomorfas en U converge a una cierta funcion holomorfa en U ,

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entonces la sucesion de las funciones derivadas converge a la derivada de dichafuncion.

Es decir, si (fn)n∈N ⊂ O(U) es tal que lımn→∞

fn = f para alguna f ∈ O(U),

entonces (f ′n)n∈N ⊂ O(U) converge a f ′, o sea, lımn→∞

f ′n = f ′.

C.1.10 Corolario. Sea U ⊆ C un abierto. Si∑fn es una serie de funciones

holomorfas en U convergente en O(U) (en el sentido de la topologıa T fijada),entonces su suma F es holomorfa en U y ademas F ′ =

∑f ′n.

C.1.11 Definicion. Sea U ⊆ C un abierto. Una familia de funciones holomorfasen U , digamos A ⊂ O(U) se dice acotada o normal o de Montel si para cadacompacto K de U , se verifica que sup

f∈ApK(f) < ∞, para toda funcion f ∈ A.

En palabras, existe una cota para todos los puntos del compacto K y todas lasfunciones de la familia A.

Un resultado fundamental de variable compleja es el siguiente:

C.1.12 Teorema (de Montel). Si U es un abierto de C y A ⊂ O(U) es unafamilia normal de funciones holomorfas en U , entonces A es relativamente com-pacto.

Si el lector esta familiarizado con el Teorema de Ascoli-Arzela (cuyo enun-ciado y demostracion puede verse en [11]), el Teorema de Montel surge de formainmediata. De lo contrario, puede verse una detallada demostracion directa en[3].

C.2. Particiones de la unidad y orientabilidad

A continuacion, se exponen cuestiones elementales sobre la estructura to-pologica de las superficies de Riemann como pueda ser la existencia de particio-nes de la unidad (que nos permiten extender propiedades locales a nivel global),la orientabilidad de tales superficies y alguna otra propiedad a tener en cuenta.

C.2.1 Definicion. Sea X un espacio topologico y U := Uii∈I un recubrimien-to abierto de X. Una particion de la unidad en X es una familia de funcionescontinuas fj : X → [0, 1]j∈J tal que verifica lo siguiente:

1. La familia de los soportes de dichas funciones, sop.(fj)j∈J , es localmentefinita.

2. La suma de estas funciones es identicamente 1, o sea,∑j∈J

fj ≡ 1.

Se dice que la particion de la unidad fjj∈J esta subordinada al recubrimientoU si ademas se cumple que:

3. Para cada j ∈ J existe un ij ∈ I tal que sop.(fj) ⊂ Uij .

C.2.2 Teorema. Si V es una variedad diferenciable con una base numerablepara su topologıa, entonces para todo recubrimiento abierto U := Uii∈I de Xexiste una particion de la unidad subordinada al recubrimiento U .

Como consecuencia de la existencia de particiones de la unidad se dedu-ce la existencia de funciones verificando propiedades utiles, que ayudan en lasdemostraciones de los resultados:

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C.2.3 Corolario. Sean V una variedad diferenciable, K un subconjunto com-pacto suyo y U un entorno abierto de K. Entonces, existe una funcion diferen-ciable f tal que:

1. sop.(f) ⊂ U

2. f |K = 1

Nos preocupamos en analizar la topologıa de una superficie de Riemann.Resulta que, en una tal superficie, siempre podemos tomar una base numera-ble de abiertos. Esto es importante, porque debido a esta propiedad tendremosasegurada (en virtud del teorema anterior) la existencia de particiones de launidad para la superficie de Riemann. Las particiones de la unidad, junto con elhecho de que una superficie de Riemann es un espacio Hausdorff, son las propie-dades topologicas fundamentales para que una tal superficie sea una variedadadecuada sobre la cual pueda llevarse a cabo un Analisis Matematico:

C.2.4 Teorema (de Rado). En toda superficie de Riemann V existe una basenumerable de abiertos.

Su demostracion puede verse en [6].Otra propiedad topologica importante de las superficies de Riemann que hay

que mencionar es su “orientabilidad”:

C.2.5 Teorema. Toda superficie de Riemann es orientable.

C.2.6 Observacion. Un pequeno calculo muestra que el determinante jaco-biano de cambio de coordenadas entre abiertos coordenados de una superficiesde Riemann es siempre positivo (de hecho, si U y V son dos abiertos coorde-nados de una superficie de Riemann V de coordenadas z y w, respectivamentey ϕ : V → U es el correspondiente cambio de coordenadas, entonces dicho de-terminante jacobiano es |ϕ′(w)|2), lo cual quiere decir (por definicion) que lasuperficie de Riemann es orientable, luego el teorema anterior es inmediato.

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Bibliografıa

[1] Jesus Munoz Dıaz, “Funciones de variables complejas”. Publicaciones deldepartamento de teorıa de funciones, Universidad de Salamanca (1977)11

[2] J. Escuadra Burrieza, J. Rodrıguez Lombardero, A. Tocino Garcıa, “Anali-sis Matematico”. Hesperides.

[3] Jesus Munoz Dıaz, “Curso de Teorıa de Funciones I”. Tecnos.

[4] Lars V. Ahlfors, “Analisis de variable compleja”. Aguilar.

[5] Walter Rudin, “Real and Complex Analysis”. McGRAW HILL.

[6] Otto Forster, “Lectures on Riemann Surfaces”. Springer.

[7] George Springer, “Introduction to Riemann Surfaces”. Chelsea PublishingCompany.

[8] Robert C. Gunning, Hugo Rossi, “Analytic Functions of Several ComplexVariables”. Prentice-Hall.

[9] Aziz El Kacimi Alaoui, “Introduccion al Analisis Funcional”. Reverte S.A.

[10] Haım Brezis, “Analisis Funcional”. Alianza Universidad Textos.

[11] Avner Friedman, “Foundations of Modern Analysis”. Dover Publications,Inc. New York.

[12] Hermann Weyl, “Die Idee der Riemannschen Flache”. Leipzig, Berlin, B.G.Teubner.

[13] C. Runge, “Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen”, ActaMath. 6 (1885).

[14] H. Behnke, K. Stein, “Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemanns-chen Flachen”, Math. Ann. 120 (1947-49).

11La referencia citada aquı son apuntes del Profesor Jesus Munoz Dıaz de la Universidadde Salamanca de una asignatura impartida por el en el ultimo curso de la Licenciatura enMatematicas de la misma Universidad. Entre otros temas, estos apuntes tratan sobre la teorıade funciones de varias variables complejas y han servido de apoyo para el presente trabajo,pues en ellos se recopila dicha teorıa siguiendo el libro [8] y diversos seminarios de Cartan.

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