exlibris - ΣΑΜΟΣ · exlibris. Μιχάλης Ανούσης ... (δ) Αν x,y ∈ x τότε x

Πραγματικη Αναλυςη

E X - L I B R I S

Μιχάλης Ανούσης

Αντώνης Τσολομύτης

Ευάγγελος Φελουζής

Πραγματικη Αναλυςη

Σάμος 2009–2013

Απαγορεύεται κάθε μορφής αναπαραγωγή μέρους ή όλου του βιβλίουμε οποιοδήποτε μέσο χωρίς την έγγραφη άδεια του εκδότη και των συγ-γραφέων.

Περιεχόµενα

1 Το συνολο των πραγματικων αριθμων 2

1.1 Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων 21.2 Οι ιδιότητες του R 3

1.2 α Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπερα-ριθμήσιμο 4

1.3 Κάποιες συνέπειες της πληρότητας του R 91.4 Οριακά σημεία μιας ακολουθίας 13

1.5 Ανώτερα και κατώτερα όρια μιας ακολουθίας 15

2 Μετρικοι χωροι 23

2.1 Μετρικοί χώροι-Χώροι με νόρμα 232.2 Ανισότητες 282.3 Ανοικτά σύνολα-Κλειστά σύνολα 322.4 Υπόχωροι Μετρικών χώρων 392.5 Ισοδυναμία νορμών 412.6 Πληρότητα 422.7 Το Θεώρημα Baire 522.8 Συμπάγεια 54

2.9 Συνεκτικότητα 61

3 Συνεχεια 65

3.1 Ορισμός της συνέχειας μιας συνάρτησης 653.2 Συνέχεια και συμπάγεια 693.3 Συνέχεια και συνεκτικότητα 713.4 Ομοιόμορφη συνέχεια 733.5 Lipschitz-συνέχεια—Θεώρημα σταθερού σημείου 803.6 Ομοιομορφισμοί και Ισομετρίες 823.7 Συνεχείς συναρτήσεις σε χώρους με νόρμα 84

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ G ΠΙΙ

4 Ακολουθιες και σειρες συναρτησεων 89

4.1 Ακολουθίες συναρτήσεων 894.2 Ομοιόμορφη σύγκλιση και συνέχεια 954.3 Ομοιόμορφη σύγκλιση και ολοκλήρωση 974.4 Ομοιόμορφη σύγκλιση και παραγώγιση 1014.5 Το Θεώρημα Dini 1034.6 Σειρές συναρτήσεων 104

5 Ο Χωρος των συνεχων συναρτησεων 108

5.1 Ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων ως μεταθετική άλγε-βρα 108

5.2 Προσέγγιση με πολυώνυμα. Το θεώρημα του Weierstrass110

5.3 Το Θεώρημα Stone-Weierstrass 1165.4 Ισοσυνέχεια και το θεώρημα Arzelà-Ascoli 1205.5 Εφαρμογές του θεωρήματος Baire 123

6 Το μετρο Lebesgue 126

6.1 Εισαγωγή στην έννοια του μέτρου 1266.2 Ιδιότητες του εξωτερικού μέτρου 1296.3 Ιδιότητες του μέτρου Lebesgue 135

7 Ολοκληρωση 145

7.1 Εισαγωγή 1457.2 Μετρήσιμες συναρτήσεις 1477.3 Το ολοκλήρωμα μιας ϕραγμένης συνάρτησης 1537.4 Το ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνάρτησης 1587.5 Το ολοκλήρωμα Lebesgue 161

Ελληνικη Βιβλιογραφια 164

Ξενογλωσση Βιβλιογραφια 165

Ευρετηριο Ελληνικων Ορων 165

Ευρετηριο Ξενογλωσσων Ορων 171

Εισαγωγή

1Κ Ε Φ Α Λ Α Ι ΟΤο σύνολο των πραγµατικώναριθµών

Η πιο θεμελιώδης έννοια της ανάλυσης είναι η έννοια του πραγματικούαριθμού. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιεςπου αφορούν στους πραγματικούς αριθμούς και είναι απαραίτητες γιατα επόμενα κεφάλαια. Πολλά από αυτά που παρουσιάζονται είναι ήδηγνωστά από τον Απειροστικό Λογισμό.

1.1 Βασικέ̋ έννοιε̋ από τη Θεωρία Συνόλων

(i) Αν X και I είναι δύο σύνολα, μια συνάρτηση f : I → X θα λέγεταιμια οικογένεια στοιχείων του συνόλου X με σύνολο δεικτών το I.Στην περίπτωση που θα χρησιμοποιούμε την ορολογία αυτή θαγράφουμε και (xi)i∈I, όπου f (i) = xi.

(ii) Αν το σύνολο I είναι ένα άπειρο υποσύνολο των ϕυσικών αριθμώνN (μπορεί και να είναι το ίδιο το N) τότε μια οικογένεια στοιχείων(xn)n∈I του X θα λέγεται μια ακολουθία στοιχείων του X. Στην περί-πτωση που I = N εκτός από τον συμβολισμό (xn)n∈N θα γράφουμεκαι (xn)

∞n=1.

(iii) Θεωρούμε μια ακολουθία (xi)i∈I, όπου το I είναι ένα άπειρο υποσύ-νολο τουN. Μια υπακολουθία της (xi)i∈I είναι μια ακολουθία (y j) j∈Jόπου

(α) Το J είναι άπειρο υποσύνολο του I.

(β) y j = x j αν j ∈ J.

1.2 Οι ιδιότητε̋ του R G 3

Αν (xn)n∈N (είτε (xn)∞n=1) είναι μια ακολουθία, τότε μια υπακολουθίατης συμβολίζεται με (xn)n∈M (είτε (xkn)

∞n=1) όπου το M είναι άπειρο

υποσύνολο τουN (είτε kn είναι ϕυσικοί αριθμοί με k1 < k2 < k3 < . . . ).

(iv) Αν (Xi)i∈I είναι μια οικογένεια συνόλων (δηλαδή μια οικογένεια πουτα στοιχεία της είναι σύνολα) τότε ορίζουμε τα σύνολα

⋃i∈I Xi και⋂

i∈I Xi ως εξής:

⋃

i∈IXi = {x : ∃i ∈ I με x ∈ Xi} και

⋂

i∈IXi = {x : ∀i ∈ I, x ∈ Xi}.

1.2 Οι ιδιότητε̋ του R

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, που συμβολίζεται μεR, μπορείνα κατασκευαστεί από το σύνολο Q των ρητών με τη διαδικασία της πλή-ρωσης, την οποία θα περιγράψουμε στο επόμενο κεφάλαιο. Το σύνολοτων πραγματικών αριθμών μπορεί να θεωρηθεί ως μια επέκταση του συ-νόλου των ρητών που ικανοποιεί όλες τις αλγεβρικές ιδιότητες που έχειτο Q αλλά και μια επιπλέον ιδιότητα: την πληρότητα. Συγκεκριμένα:

Ι. ΤοR είναι σώμα: Δηλαδή είναι εφοδιασμένο με δύο διμελείς πράξεις,την πρόσθεση (a, b) 7→ a + b και τον πολλαπλασιασμό (a, b) 7→ a · b,ώστε για οποιαδήποτε a, b, c ∈ R να ικανοποιούνται οι παρακάτωιδιότητες:

(α) a + (b + c) = (a + b) + c και a · (b · c) = (a · b) · c.(β) a + b = b + a και a · b = b · a.(γ) Υπάρχουν μοναδικά 0, 1 ∈ R με 0 , 1 που λέγονται το μηδέν

και η μονάδα του σώματος ώστε, για κάθε a ∈ R να ισχύει ότιa + 0 = a και a · 1 = a.

(δ) Για κάθε a ∈ R υπάρχει ένα και μοναδικό στοιχείο −a ∈ R, τοοποίο ονομάζεται αντίθετο στοιχείο του a, για το οποίο ισχύειa + (−a) = 0.

(ε) για κάθε a , 0 υπάρχει ένα και μοναδικό στοιχείο a−1, το οποίοονομάζεται και το αντίστροφο στοιχείο του a, με a · a−1 = 1.

(στ) a · (b + c) = a · b + a · c.

(ΙΙ) ΤοR είναι διατεταγμένο σώμα. Πριν εξηγήσουμε τι σημαίνει η έννοιααυτή θυμίζουμε ότι:

Ορισµό̋ 1.2.1 Μια διμελής σχέση σε ένα σύνολο X ονομάζεται μιασχέση ολικής διάταξης αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες:

(α) Για κάθε x ∈ X, x ≤ x (ανακλαστικότητα).

4 G Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών

(β) Αν x ≤ y και y ≤ x τότε x = y (αντισυμμετρικότητα).(γ) Αν x ≤ y και y ≤ z τότε x ≤ z (μεταβατικότητα).(δ) Αν x, y ∈ X τότε x < y είτε y < x είτε x = y (αρχή της τριχοτο-

μίας).

Το R είναι διατεταγμένο σώμα σημαίνει πως είναι εφοδιασμένο μεμια σχέση όλικής διάταξης ≤ ώστε να ισχύουν επιπλέον τα παρα-κάτω:

(α) Αν a, b ∈ R, 0 ≤ a και 0 ≤ b τότε 0 ≤ a + b και 0 ≤ a · b(β) Αν a, b ∈ R τότε ισχύει a ≤ b αν και μόνο αν a + (−b) ≤ 0.

(ΙΙΙ) Το R ικανοποιεί το Αξίωμα της Πληρότητας: Για κάθε μη κενό καιπάνω ϕραγμένο υποσύνολο X του R υπάρχει ένα στοιχείο a ∈ Rπου έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

(α) Για κάθε x ∈ X ισχύει x ≤ a.(β) Για κάθε b < a υπάρχει x ∈ X με a < x.

Το στοιχείο a είναι μοναδικό, ονομάζεται ελάχιστο άνω ϕράγμα τουX και συμβολίζεται με sup X.

Σημειώνουμε ότι το Q είναι πυκνό υποσύνολο του R, δηλαδή μεταξύ δύοοποιωνδήποτε πραγματικών αριθμών περιέχεται ένας ρητός:

Αν x, y ∈ R και x < y τότε υπάρχει r ∈ Q με x < r < y.

1.2 αʹ Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών είναι υπεραριθµήσιµο

Σε αυτή την παράγραφο εισάγουμε την έννοια του αριθμήσιμου συνό-λου, που αφορά σύνολα με άπειρο πλήθος στοιχείων. Θα δείξουμε ότι τοσύνολο των ρητών είναι αριθμήσιμο αλλά το σύνολο των πραγματικών δενείναι, γεγονός που δείχνει ότι το R έχει ουσιωδώς περισσότερα στοιχείααπό το Q. ΄Ενα άπειρο σύνολο λέγεται αριθμήσιμο αν έχει το ίδιο πλήθοςστοιχείων με το σύνολο N των ϕυσικών αριθμών ή, με άλλα λόγια, ανμπορούμε να γράψουμε τα στοιχεία του ως μια ακολουθία.

Ορισµό̋ 1.2.2 Θα λέμε ότι το σύνολο A έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων Bή ότι είναι ισοπληθικό με το B αν υπάρχει μια 1-1 και επί απεικόνιση απότο A στο B. Σε αυτή την περίπτωση θα γράφουμε A � B.

Πρόταση 1.2.3 ΄Εστω A, B, C σύνολα. Τότε

(i) A � A,

(ii) A � B αν και μόνο αν B � A,


(iii) αν A � B και B � C τότε A � C.

Απόδειξη: Αφήνεται ως άσκηση. �

Ορισµό̋ 1.2.4 ΄Ενα άπειρο σύνολο A λέγεται

(i) αριθμήσιμο αν A �N, δηλαδή αν υπάρχει μια 1-1 και επί απεικόνισηf :N→ A,

(ii) υπεραριθμήσιμο αν δεν είναι αριθμήσιμο.

Πρόταση 1.2.5 Κάθε άπειρο υποσύνολο M του συνόλουN των ϕυσικώναριθμών είναι αριθμήσιμο.

Απόδειξη: Μια βασική ιδιότητα του συνόλου των ϕυσικών αριθμών είναιη καλή διάταξή του, το οποίο σημαίνει ότι: κάθε μη κενό υποσύνολο Mτων ϕυσικών αριθμών έχει μικρότερο στοιχείο, το οποίο συμβολίζεται μεmin M. Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι η ιδιότητα της καλής διάταξηςείναι ισοδύναμη με την ιδιότητα της τέλειας επαγωγής του N (για τιςλεπτομέρειες δείτε στο [1]). Ορίζουμε επαγωγικά μια συνάρτηση1 f :N→M ως εξής:

(i) f (1) = min M.

(ii) Αν έχουμε ορίσει τα f (1), . . . , f (n) ∈M τότε θέτουμε

Mn =M \ { f (1), . . . , f (n)}.

Επειδή το M είναι άπειρο σύνολο, το Mn θα είναι μη κενό, οπότεμπορούμε να ορίσουμε f (n + 1) = min Mn.

΄Ετσι ορίζεται επαγωγικά η f (n) για κάθε n = 1, 2, . . . για κάθε n = 1, 2, . . .Φανερά η f :N→M είναι 1-1 και επί απεικόνιση από τοN στο M. �

Πρόταση 1.2.6 Αν ένα άπειρο σύνολο A είναι αριθμήσιμο τότε και κάθεάπειρο υποσύνολό του B είναι επίσης αριθμήσιμο.

Απόδειξη: ΄Εστω μια 1-1 και επί απεικόνιση f :N→ A και έστω

M = {n : f (n) ∈ B}.

Το M είναι ένα άπειρο υποσύνολο του N και συνεπώς από την Πρό-ταση 1.2.5 υπάρχει μια g : N → M που είναι 1-1 και επί. Η απεικόνισηh :N→ B με h(n) = f (g(n)) είναι ϕανερά 1-1 και επί. �

Πρόταση 1.2.7 Το σύνολοN ×N είναι αριθμήσιμο.1Αν κάποιος δυσκολεύεται να καταλάβει την ιδέα πίσω από την κατασκευή της συνάρ-

τησης f ας εφαρμόσει την κατασκευή για την ειδική περίπτωση που M = {2, 4, 6, 8, . . . }.


Απόδειξη: Ισχυριζόμαστε ότι κάθε ϕυσικός αριθμός n γράφεται με μονα-δικό τρόπο ως

n = 2k−1(2m − 1) (1.1)όπου k,m ∈ N. Πράγματι, αν ο n είναι περιττός τότε k = 1 και m =(n+1)/2. Αν ο n είναι άρτιος διαιρούμε διαδοχικά (k−1 ϕορές) με το 2 έωςότου προκύψει περιττός. Ορίζουμε μια απεικόνιση f :N→N ×N με

f (n) = (k,m) (1.2)

Για παράδειγμα,

f (1) = (1, 1), f (2) = (2, 1), f (3) = (1, 2), f (4) = (3, 1), . . . , f (40) = (4, 3)

(αφού 40 = 8 · 5 = 24−1(2 · 3− 1)). Η απεικόνιση f είναι ϕανερά 1-1 και επί(αφήνεται ως άσκηση). �

Πρόταση 1.2.8 Αν η (An)∞n=0 είναι μια ακολουθία από αριθμήσιμα σύνολατότε και το A =

⋃∞n=0 An είναι αριθμήσιμο.

Απόδειξη: Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα σύνολα An είναι ξένα ανάδύο. Πράγματι, ας ορίσουμε για κάθε n ένα σύνολο Bn ως εξής:

(i) B0 = A0.

(ii) Αν n > 0, Bn = An \⋃n−1

i=0 An.

Τότε τα σύνολα (Bn)∞n=0 είναι ξένα ανά δύο, αριθμήσιμα ως υποσύνολα

αριθμήσιμων (Πρόταση 1.2.6) και⋃∞

n=0 Bn =⋃∞

n=0 An.Για κάθε n, θεωρούμε μια 1-1 και επί απεικόνιση fn : N → An. Ορί-

ζουμε την F :N ×N→ A με

F(m, n) = fn(m).

Φανερά η F είναι 1-1 και επί. Από την Πρόταση 1.2.7, το N ×N είναιαριθμήσιμο, συνεπώς και το A είναι αριθμήσιμο. �

Πρόταση 1.2.9 Θεωρούμε δυο σύνολα A, B. Αν υπάρχει f : B → A πουνα είναι 1-1 και το A είναι αριθμήσιμο σύνολο τότε και το B είναι αριθμήσιμοσύνολο.

Απόδειξη: Το σύνολο f (B) είναι αριθμήσιμο, ως υποσύνολο αριθμήσιμουσυνόλου. Η απεικόνιση f : B → f (B) είναι 1-1 και επί και συνεπώς τοB � f (B). Αφού f (B) �N, από την Πρόταση 1.2.3 θα έχουμε ότι B �N.

�

Πρόταση 1.2.10 Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι αριθμήσιμο σύ-νολο.


Απόδειξη: Το σύνολο A = {(m, n) : m, n ∈ N και n , 0} είναι αριθμήσιμοσύνολο ως υποσύνολο του αριθμήσιμου συνόλου N ×N. Θέτουμε Q+ ={q ∈ Q : q ≥ 0} και Q− = {q ∈ Q : q < 0}. Η απεικόνιση f : Q+ → Aμε f (r) = (m, n) αν m, n είναι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή μεμέγιστο κοινό διαιρέτη την μονάδα) και r = m/n είναι 1-1 και συνεπώςαπό την Πρόταση 1.2.9 θα έχουμε ότι το Q+ είναι αριθμήσιμο σύνολο.Η απεικόνιση f : Q− → A με f (r) = (m, n) αν m, n είναι αριθμοί πρώτοιμεταξύ τους (δηλαδή με μέγιστο κοινό διαιρέτη την μονάδα) και r = −m/nείναι 1-1 και συνεπώς από την Πρόταση 1.2.9 θα έχουμε ότι το Q− είναιαριθμήσιμο σύνολο. Συνεπώς και τοQ = Q−∪Q+ είναι αριθμήσιμο σύνολοως ένωση δύο αριθμήσιμων συνόλων. �

Θεώρηµα 1.2.11 Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών είναι υπερα-ριθμήσιμο σύνολο.

Απόδειξη: Από την Πρόταση 1.2.6 αρκεί να δείξουμε ότι το διάστημα (0, 1)είναι υπεραριθμήσιμο. Για να καταλήξουμε σε άτοπο ας υποθέσουμε ότιυπάρχει μια f :N→ (0, 1) που να είναι 1-1 και επί. Για κάθε n θέτουμε

f (n) = 0,an1an2an3 . . . , όπου anm ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , 9}

η δεκαδική μορφή του f (n), όπου—για να εξασφαλίσουμε τη μοναδικότηταστο δεκαδικό ανάπτυγμα—υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει k με anm = 9 γιακάθε m ≥ k. Για παράδειγμα, αν f (20) = 1/5 τότε f (20) = 0,20000 . . . καιόχι f (20) = 0,1999999 . . .

Για κάθε n ορίζουμε

bn =

ann + 1 αν ann ∈ {0, . . .7}

ann − 2 αν ann ∈ {8, 9}

Φανερά ο αριθμός x = 0, b1b2 . . . δεν μπορεί να είναι στο σύνολο των τιμώντης f αφού διαφέρει από κάθε τιμή f (n) της f στο n-οστό δεκαδικό ψηφίο.

�

Πόρισµα 1.2.12 Το σύνολο Q′ = R \Q των άρρητων αριθμών είναι υπε-ραριθμήσιμο σύνολο. �

Ασκήσει̋

Άσκηση 1.2.1 Αποδείξτε την Πρόταση 1.2.3.

Άσκηση 1.2.2 Δείξτε ότι το a = sup X, όπου X μη κενό άνω ϕραγμένο υποσύνολοτων πραγματικών αριθμών, αν και μόνο αν


(i) για κάθε x ∈ X τότε x ≤ a,(ii) για κάθε ε > 0 υπάρχει x ∈ X με x > a + ε.

Άσκηση 1.2.3 ΄Εστω ότι τα A και B είναι υποσύνολα ενός ολικά διατεταγμένουσυνόλου X. Το A θα λέγεται πυκνό στο B αν για οποιαδήποτε b, b′ ∈ B με b < b′υπάρχει a ∈ A με b ≤ a ≤ b′. Δείξτε ότι αν το A είναι πυκνό στο B και το B είναιπυκνό στο C τότε το A είναι πυκνό στο C.

Άσκηση 1.2.4 Δείξτε ότι για κάθε κάτω ϕραγμένο υποσύνολο X των πραγματι-κών αριθμών υπάρχει ένα και μοναδικό στοιχείο a ∈ R ώστε

(i) για κάθε x ∈ X ισχύει a ≤ x,(ii) αν b > a υπάρχει x ∈ X ώστε x < b.

Το στοιχείο αυτό ονομάζεται μέγιστο κάτω ϕράγμα του X και συμβολίζεται μεinf X.

Άσκηση 1.2.5 Αν τα A και B είναι μη κενά υποσύνολα του R ορίζουμε

(i) A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B},(ii) AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B},

(iii) −A = {−a : a ∈ A}.

Αν A = (0, 4)∪ (7, 10] και B = (−4, 0)∪ (11, 12) να βρείτε τα A+B, AB, −A, A+ (−B).Άσκηση 1.2.6 Δείξτε ότι αν τα A και B είναι δυο μη κενά σύνολα από θετικούςαριθμούς, αποδείξτε τις παρακάτω ισότητες υπό την προϋπόθεση ότι οι πράξειςστο δεύτερο μέρος των εξισώσεων ορίζονται:

(i) sup(A + B) = sup A + sup B.

(ii) sup(AB) = sup A sup B.

(iii) inf(A + B) = inf A + inf B.

(iv) sup(−A) = − inf A.(v) inf(−A) = − sup A.

Άσκηση 1.2.7 Βρείτε μια 1-1 και επί απεικόνιση απο τοN ×N στοN.Άσκηση 1.2.8 Βρείτε μια 1-1 και επί απεικόνιση από το Z στο Z ×Z.Άσκηση 1.2.9 Βρείτε μια ακολουθία υποσυνόλων {An}n∈N του N ώστε:

(i) το An είναι αριθμήσιμο για κάθε n ∈N,(ii) An ∩ Am = ∅ για m , n,(iii)

⋃n∈NAn =N.

Άσκηση 1.2.10 Συμβολίζουμε A το σύνολο {0, 1}N. Δείξτε ότι:(i) Το A είναι ισοπληθικό με το A ×A.(ii) Αν I = [0, 1], τότε το I είναι ισοπληθικό με το I × I.

Άσκηση 1.2.11 Δείξτε ότι:

(i) Το R είναι ισοπληθικό με το (0, 1).

(ii) Το R είναι ισοπληθικό με το (0, 1].

(iii) Το R είναι ισοπληθικό με το R ×R.

1.3 Κάποιε̋ συνέπειε̋ τη̋ πληρότητα̋ του R G 9

Άσκηση 1.2.12 ΄Ενας πραγματικός αριθμός λέγεται αλγεβρικός αν είναι ρίζαενός πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Λέγεται υπερβατικός αν δεν είναιαλγεβρικός. Δείξτε ότι

(i) ΄Ενας πραγματικός αριθμός είναι αλγεβρικός αν και μόνο αν είναι ρίζα ενόςπολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές.

(ii) Οι3√

5,√

7 +3√

3 είναι αλγεβρικοί αριθμοί.

(iii) Το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο και το πηλίκο αλγεβρικών αριθμώνείναι αλγεβρικός αριθμός.

(iv) Το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι διατεταγμένο σώμα που περιέχειγνήσια το σώμα των ρητών αριθμών.

(v) Το πλήθος των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο.

(vi) Υπάρχουν άπειροι υπερβατικοί αριθμοί.

1.3 Κάποιε̋ συνέπειε̋ τη̋ πληρότητα̋ του R

Σε αυτή την παράγραφο θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητεςτου συνόλου των πραγματικών αριθμών που είναι συνέπειες του αξιώ-ματος της πληρότητας των πραγματικών αριθμών.

Θεώρηµα 1.3.1 Κάθε αύξουσα άνω ϕραγμένη ακολουθία πραγματικώναριθμών συγκλίνει.

Απόδειξη: ΄Εστω ότι η (an)∞n=1 είναι μια αύξουσα ακολουθία. Θέτουμε

a = sup{an : n = 1, 2, . . . }.

Αν ε > 0 το a − ε δεν είναι άνω ϕράγμα της (an)∞n=1 και συνεπώς υπάρχειn0 με

a − ε < an0 .Αλλά για κάθε n ≥ n0 θα έχουμε ότι

a − ε < an0 ≤ an ≤ a ≤ a + ε

και συνεπώς για κάθε n ≥ n0|an − a| < ε,

άρα a = limn→∞ an. �

Θεώρηµα 1.3.2 Κάθε ϕθίνουσα κάτω ϕραγμένη ακολουθία συγκλίνει.

Απόδειξη: ΄Εστω ότι η (an)∞n=1 είναι μια ϕθίνουσα κάτω ϕραγμένη ακο-

λουθία. Τότε η ακολουθία (−an)∞n=1 είναι αύξουσα και άνω ϕραγμένη. Συ-νεπώς από το Θεώρημα 1.3.1 συγκλίνει σε κάποιον αριθμό a. Αλλά τότεη (an)

∞n=1 θα συγκλίνει στον αριθμό −a (συμπληρώστε τις λεπτομέρειες της

απόδειξης). �


Ορισµό̋ 1.3.3 Αν I = [a, b] είναι ένα κλειστό διάστημα ορίζουμε το μήκοςτου I να είναι ο αριθμός |I| = b − a.

Θεώρηµα 1.3.4 (Εγκιβωτισµού του Cantor) Αν (In)∞n=1 είναι μια ακολουθίααπό κλειστά διαστήματα με I1 ⊇ I2 ⊇ I3 . . . και limn→∞ |In| = 0 τότε υπάρχειένας και μόνο ένας πραγματικός αριθμός a που ανήκει σε όλα τα διαστή-ματα, δηλαδή

⋂∞n=1 In = {a}.

Απόδειξη: ΄Εστω ότι In = [an, bn]. Επειδή I1 ⊇ I2 ⊇ I3 . . . θα έχουμεότι η ακολουθία των αριστερών άκρων των διαστημάτων (an)

∞n=1 είναι

αύξουσα και η ακολουθία των δεξιών άκρων των διαστημάτων (bn)∞n=1

είναι ϕθίνουσα. Επειδή οι ακολουθίες είναι ϕραγμένες θα συγκλίνουν.Θέτουμε

limn→∞

an = a και limn→∞

bn = b

Επειδή για κάθε nan ≤ a ≤ b ≤ bn,

έχουμε ότι

a, b ∈∞⋂

n=1

In.

Επίσης, αφού |a− b| ≤ |an− bn| και |an− bn| → 0 συμπαιρένουμε ότι a = b. �

Θεώρηµα 1.3.5 (Bolzano-Weierstrass) Κάθεϕραγμένη ακολουθία έχει συγ-κλίνουσα υπακολουθία.

Απόδειξη: ΄Εστω ότι η (an)∞n=1 είναι μια ϕραγμένη ακολουθία. Τότε θα

υπάρχει ένα κλειστό διάστημα I ώστε για κάθε n, να ισχύει an ∈ I. Θακατασκευάσουμε επαγωγικά μια άπειρη ακολουθία (In)

∞n=1 από κλειστά

υποδιαστήματα του I ως εξής:

(α) Επιλέγουμε I1 = I.

(β) Αν έχουμε επιλέξει τα διάστημα In = [cn, dn] ώστε το σύνολο An ={i ∈N : ai ∈ In} να είναι άπειρο, ορίζουμε

Jn =

ïcn,

cn + dn2

ò, Kn =

ïcn + dn

2, dn

ò

να είναι τα δύο υποδιαστήματα του In που ορίζονται από το μέσοτου διαστήματος In. Αν Bn = {i : ai ∈ Jn},Cn = {i : ai ∈ Kn} τότεAn = Bn ∪ Cn και, αφού το An είναι άπειρο, ένα τουλάχιστον απότα Bn ή Cn θα είναι άπειρο. Αν το Bn είναι άπειρο επιλέγουμε In+1 =

Jn =îcn,

cn+dn2

ó, διαφορετικά επιλέγουμε In+1 = Kn =

îcn+dn

2 , dnó.

Παρατηρούμε τώρα ότι τα διαστήματα In έχουν τις παρακάτω ιδιότητες:

1.3 Κάποιε̋ συνέπειε̋ τη̋ πληρότητα̋ του R G 11

(i) I = I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇ . . .

(ii) |In| =|I|

2n−1, όπου με |I| συμβολίζεται το μήκος ενός διαστήματος I.

(iii) Κάθε διάστημα περιέχει άπειρους όρους της ακολουθίας: για κάθεn, το σύνολο

An = {i ∈N : ai ∈ In} (1.3)είναι άπειρο.

Επιλέγουμε—επαγωγικά (δες και ΄Ασκηση 1.3.1)—για κάθε n ένα ϕυσικόαριθμό kn με τέτοιο τρόπο ώστε

kn ∈ An, και συνεπώς ak+n ∈ In (1.4)kn < kn+1 (1.5)

Από το Θεώρημα 1.3.4 η τομή των διαστημάτων δεν είναι κενή, συγκεκρι-μένα υπάρχει a ∈ R με

{a} =∞⋂

n=1

In. (1.6)

Επειδή για κάθε n ισχύει akn ∈ In θα έχουμε ότι

|akn − a| ≤|I|

2n−1→ 0,

και συνεπώς limn→∞ akn = a. �

Το Θεώρημα 1.3.5 μπορεί να προκύψει και ως άμεσο πόρισμα τουπαρακάτω ενδιαφέροντος Θεωρήματος 1.3.6 και των Θεωρημάτων 1.3.1και 1.3.2.

Θεώρηµα 1.3.6 Κάθε ακολουθία πραγματικών αριθμών (an)∞n=1 έχει είτεμια αύξουσα υπακολουθία είτε μια γνήσια ϕθίνουσα υπακολουθία.

Απόδειξη: Θα ονομάζουμε έναν όρο am της ακολουθίας σημείο κορυφής(της ακολουθίας) αν έχει την ιδιότητα am > an για κάθε n > m, δηλα-δή να είναι αυστηρά μεγαλύτερο από όλους τους επόμενους όρους τηςακολουθίας. Θέτουμε

M1 = {n : an είναι σημείο κορυφής},

M2 = {n : an δεν είναι σημείο κορυφής}.

Αφού τα M1, M2 είναι ξένα σύνολα και M1 ∪M2 = {n ∈ N : n ≥ 1}, δύοπεριπτώσεις υπάρχουν:

(i) είτε το M1 θα είναι άπειρο σύνολο, είτε


(ii) θα υπάρχει n0 ≥ 1 ώστε M2 = {n : n ≥ n0}.Αν ισχύει η περίπτωση (i) τότε αν m, n ∈ M1 και m < n θα ισχύει am > an(αφού το am είναι σημείο κορυφής), και συνεπώς βρήκαμε μια γνήσιαϕθίνουσα υπακολουθία.

Αν ισχύει η περίπτωση (ii), δηλαδή για κάποιο n0 έχουμε ότι M2 = {n :n ≥ n0} τότε το an0 δεν είναι σημείο κορυφής άρα θα υπάρχει n1 > n0 μεan0 ≤ an1 . Αλλά n1 ∈M2 αφού n1 > n0 συνεπώς ούτε το an1 είναι σημείο κο-ρυφής, και θα υπάρχει n2 > n1 με an1 ≤ an2 . Επαγωγικά κατασκευάζουμεμια άπειρη ακολουθία ϕυσικών αριθμών με

n0 < n1 < n2 < · · · < nk < nk+1 < . . .

ώστε για κάθε k να ισχύει ank ≤ ank+1 . Με άλλα λόγια βρήκαμε μια αύξουσαυπακολουθία. �

Ασκήσει̋

Άσκηση 1.3.1 Δίνεται μια ακολουθία (An)∞n=1 από υποσύνολα του N που τοκαθένα τους έχει άπειρα στοιχεία. Δείξτε ότι μπορούμε να επιλέξουμε μια γνήσιααύξουσα ακολουθία ϕυσικών αριθμών (kn)

∞n=1 με kn ∈ An.

Άσκηση 1.3.2 Δίνεται μια ακολουθία (an)n∈N στο a ∈ R. Δείξτε ότι η (an)n∈N έχειμια γνήσια μονότονη υπακολουθία.

Άσκηση 1.3.3 Δείξτε ότι η ακολουθία (an)∞n=1 με an =(

1 + 1n

)nείναι αύξουσα και

ϕραγμένη και συνεπώς συγκλίνει. Το όριο της συμβολίζεται με e.

Άσκηση 1.3.4 Η ακολουθία (bn)∞n=0 με bn =∑n

i=0 1/n! είναι προφανώς αύξουσα.Να δείξετε ότι είναι και ϕραγμένη και ότι limn→∞ bn = e.

Άσκηση 1.3.5 Δείξτε ότι μια ακολουθία (an)∞n=0 πραγματικών αριθμών συγκλίνειαν και μόνο αν έχει την παρακάτω ιδιότητα, που λέγεται και ιδιότητα του Cauchy:

Για κάθε ε > 0 υπάρχει n0 ∈ N ώστε για κάθε n ≥ n0 καιγια κάθε m ≥ n0 ισχύει |an − am| < ε.

Άσκηση 1.3.6

(i) Δείξτε πως αν ο x είναι ένας ρητός αριθμός με x2 < 2 και 0 < ε < 1 τότε(x + ε)2 < x2 + 5ε και, επιλέγοντας κατάλληλο ε, δείξτε ότι υπάρχει ρητόςαριθμός y > x με y2 < 2.

(ii) Δείξτε πως αν x είναι ένας ρητός αριθμός με x2 > 2 και 0 < ε < 1 τότε(x − ε)2 > x2 − 4ε και, επιλέγοντας κατάλληλο ε, δείξτε ότι υπάρχει ρητόςαριθμός y < x με y2 > 2.

(iii) Δεδομένου2 ότι δεν υπάρχει ρητός αριθμός x με x2 = 2, να βγάλετε τοσυμπέρασμα ότι το σύνολο των ρητών δεν είναι πλήρες ως προς την διάταξήτου.

2Θεώρημα γνωστό από την αρχαιότητα, το οποίο διδασκόμαστε στο Λύκειο. Να θυμη-θείτε την απόδειξη.

1.4 Οριακά σηµεία µια̋ ακολουθία̋ G 13

Άσκηση 1.3.7* Αν r είναι θετικός ρητός τότε υπάρχει ρητός αριθμός x με x2 = rαν και μόνο αν r = m2/n2 με m,n ∈ Z, n , 0.

Άσκηση 1.3.8* ΄Εστω ότι ο a είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός και ο n > 1ένας ϕυσικός αριθμός.

(i) Να δείξετε ότι το σύνολο A = {x > 0 : xn ≤ a} είναι μη κενό και ϕραγμένο.(ii) Να δείξετε ότι αν xn < a τότε υπάρχει y > x με yn < a (Υπόδειξη: Δείτε την

΄Ασκηση 1.3.6).

(iii) Να δείξετε ότι αν xn > a τότε υπάρχει y < x με yn > a.

(iv) Αν θέσουμεn√a = sup A = sup{x > 0 : xn ≤ a}

να δείξετε ότι(

n√a)n= a (Υπόδειξη: Δείτε την άσκηση 1.3.6).

(v) Να συμπεράνετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό a > 0 υπάρχει μοναδικόςθετικός πραγματικός b με την ιδιότητα bn = a. Ο αριθμός αυτός συμβολίζε-

ται μεn√a ή a

1n .

1.4 Οριακά σηµεία µια̋ ακολουθία̋

Μια γενίκευση της έννοιας του ορίου μιας ακολουθίας (xn)∞n=1 είναι αυτή

του οριακού σημείου της ακολουθίας.

Ορισµό̋ 1.4.1 ΄Ενας αριθμός a ∈ R ονομάζεται οριακό σημείο της ακο-λουθίας (xn)

∞n=1 αν για κάθε ε > 0 το σύνολο

Aε = {n ∈N : |xn − a| < ε}

είναι ένα άπειρο υποσύνολο των ϕυσικών αριθμών.

Η διαφορά μεταξύ οριακού σημείου και ορίου μιας ακολουθίας είναι η εξής:Το a είναι όριο της ακολουθίας αν σε κάθε περιοχή (a − ε, a + ε) με ε > 0βρίσκονται όλοι οι όροι της ακολουθίας μετά από κάποιο δείκτη (δηλαδήυπάρχει n0 με an ∈ (a − ε, a + ε) για κάθε n ≥ n0), ενώ το a είναι οριακόσημείο της ακολουθίας αν σε κάθε περιοχή (a−ε, a+ε) με ε > 0 βρίσκονταιάπειροι όροι της ακολουθίας (δηλαδή για κάθε n0 υπάρχει n1 > n0 μεan1 ∈ (a − ε, a + ε)).

Παράδειγµα 1.4.2 Θεωρείστε της ακολουθίες (xn)∞n=1 και (yn)∞n=1 όπου

xn =

1 αν n = 1

2 αν n = 2

3 αν n = 3, 5, 7, 9 . . .

4 αν n = 4, 6, 8, 10 . . .

yn =

3 αν n = 1

4 αν n = 2

1 αν n = 3, 5, 7, 9 . . .

2 αν n = 4, 6, 8, 10 . . .


Το σύνολο των οριακών σημείων της (xn)∞n=1 είναι το {3, 4} και το σύνολο

των οριακών σημείων της (yn)∞n=1 είναι το {1, 2}. Σημειώστε ότι και οι δύο

ακολουθίες έχουν ως σύνολο τιμών το {1, 2, 3, 4}.Τα οριακά σημεία μιας ακολουθίας είναι τα όρια των συγκλινουσών

υπακολουθιών της.

Πρόταση 1.4.3 ΄Ενας πραγματικός αριθμός a είναι οριακό σημείο της ακο-λουθίας (xn)

∞n=1 αν και μόνο αν υπάρχει μια υπακολουθία (xkn )

∞n=1 της (xn)

∞n=1

με limn→∞ xkn = a.

Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός a είναι οριακό σημείο της ακο-λουθίας (xn)

∞n=1. Για κάθε n ∈N θέτουμε

An =

ßk ∈N : |xk − a| <

1

n

™.

Από τον ορισμό του οριακού σημείου τα σύνολα An είναι άπειρα σύνολα.Συνεπώς μπορούμε να βρούμε (δες και ΄Ασκηση 1.3.1) μια άπειρη ακολου-θία (kn)

∞n=1 από ϕυσικούς αριθμούς ώστε για κάθε n,

kn ∈ An και kn < kn+1.

Φανεράlimn→∞

xkn = a.

Το αντίστροφο είναι προφανές. �

Το επόμενο θεώρημα δείχνει ότι τα όρια οριακών σημείων μιας ακο-λουθίας είναι επίσης οριακά στοιχεία της ακολουθίας.

Θεώρηµα 1.4.4 ΄Εστω ότι η (xn)∞n=1 είναι μια ακολουθία πραγματικώναριθμών και S το σύνολο των οριακών σημείων της (xn)

∞n=1. Αν S , ∅

τότε κάθε πραγματικός αριθμός που είναι όριο ακολουθίας στοιχείων τουS θα είναι οριακό σημείο της (xn)

∞n=1.

Απόδειξη: ΄Εστω ότι S , ∅ και a ∈ R με a = limn→∞ sn, όπου sn ∈ S.Θέτουμε

An =

ßk ∈N : |xk − sn| <

1

n

™.

Επειδή τα sn είναι οριακά σημεία της ακολουθίας (xn)∞n=1 εξ ορισμού τα

σύνολα An, n = 1, 2, 3, . . . θα έχουν άπειρο πλήθος στοιχείων. Συνεπώς(δες και ΄Ασκηση 1.3.1) υπάρχει μια γνήσια αύξουσα ακολουθία ϕυσικώναριθμών (kn)

∞n=1 με kn ∈ An. Φανερά limn→∞ xkn = a και συνεπώς ο a είναι

οριακό σημείο της (xn)∞n=1. �

Επειδή τα sup S και inf S, για οποιοδήποτε σύνολο S, είναι όρια στοι-χείων του S (εξηγήστε το λόγο), το προηγούμενο Θεώρημα μας δίνει άμεσατο εξής:

1.5 Ανώτερα και κατώτερα όρια µια̋ ακολουθία̋ G 15

Πόρισµα 1.4.5

(i) Αν το σύνολο S των οριακών σημείων μιας ακολουθίας (xn)∞n=1 πραγ-ματικώναριθμών είναι άνωϕραγμένο υποσύνολο τουR τότε sup S ∈S.

(ii) Αν το σύνολο S των οριακών σημείων μιας ακολουθίας (xn)∞n=1 πραγ-ματικώναριθμών είναι κάτωϕραγμένο υποσύνολο τουR τότε inf S ∈S. �

Ασκήσει̋

Άσκηση 1.4.1 ΄Εστω ότι xn = 1 + (−1)n 1n , n = 1, 2, . . . Να βρεθούν τα οριακάσημεία της ακολουθίας (xn)

∞n=1.

Άσκηση 1.4.2 ΄Εστω ότι xn = (1 + (−1)n)(

1 + 1n

), n = 1, 2, . . . Να βρεθούν τα

οριακά σημεία της ακολουθίας (xn)∞n=1.

Άσκηση 1.4.3 ΄Εστω ότι xn = (−1)nn, n = 1, 2, . . . Να βρεθούν τα οριακά σημείατης ακολουθίας (xn)

∞n=1.

Άσκηση 1.4.4 ΄Εστω ότι xn = (1 + (−1)n) n, n = 1, 2, . . . Να βρεθούν τα οριακάσημεία της ακολουθίας (xn)

∞n=1.

Άσκηση 1.4.5 Αποδείξτε το Θεώρημα 1.5.4.

Άσκηση 1.4.6 ΄Ενα υποσύνολο A των ϕυσικών αριθμών ονομάζεται συμπεπερα-σμένο αν το συμπλήρωμά του είναι πεπερασμένο. Δείξτε ότι

(i) ΄Ενας αριθμός a είναι το όριο της ακολουθίας (xn)∞n=1 αν για κάθε ε > 0 τοσύνολο

Aε = {n : |xn − a| < ε}είναι συμπεπερασμένο.

(ii) ΄Ενας αριθμός a είναι το οριακό σημείο της ακολουθίας (xn)∞n=1 αν για κάθεε > 0 το σύνολο Aε είναι άπειρο.

Άσκηση 1.4.7 Δείξτε ότι αν μια ακολουθία είναι ϕραγμένη τότε το σύνολο τωνοριακών της σημείων δεν είναι κενό.

Άσκηση 1.4.8 Δίνεται μια ακολουθία (an)n∈N πραγματικών αριθμών και a ∈ R.Δείξτε ότι αν κάθε υπακολουθία της (an)n∈N έχει μια υπακολουθία που συγκλίνειστο a, τότε η (an)n∈N συγκλίνει στο a.

1.5 Ανώτερα και κατώτερα όρια µια̋ ακολουθία̋

Θυμίζουμε τους ορισμούς της σύγκλισης μιας ακολουθίας στο άπειρο:

Ορισµό̋ 1.5.1 Θα λέμε ότι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών (xn)∞n=1


(i) συγκλίνει στο θετικό άπειρο, και θα γράφουμε limn→∞ = +∞, αν γιακάθε M > 0 υπάρχει ϕυσικός αριθμός n0 ώστε για κάθε n ≥ n0 ναισχύει xn > M,

(ii) συγκλίνει στο αρνητικό άπειρο, και θα γράφουμε limn→∞ xn = −∞,αν για κάθε M > 0 υπάρχει ϕυσικός αριθμός n0 ώστε για κάθε n ≥ n0να ισχύει xn < −M.

Παρατήρηση 1.5.2 Η συνηθισμένη ορολογία για μια ακολουθία (xn)∞n=1 μεlimn→∞ xn = +∞ είναι ότι «αποκλίνει στο θετικό άπειρο» με την έννοιαότι ναι μεν αποκλίνει (δεν συγκλίνει σε κανένα πραγματικό αριθμό) αλ-λά αποκλίνει με ένα ειδικό τρόπο προς το θετικό άπειρο. Προτιμήσαμετην ορολογία «συγκλίνει στο θετικό άπειρο» και αντίστοιχα «συγκλίνει στοαρνητικό άπειρο» γιατί κανείς μπορεί να δει το θετικό άπειρο και το αρ-νητικό άπειρο σαν νέους «αριθμούς» που προστίθενται στο σύνολο τωνπραγματικών αριθμών. Δείτε αμέσως παρακάτω.

Για να συμπεριλάβουμε στην μελέτη μας και τις ακολουθίες πραγματι-κών αριθμών που συγκλίνουν στο −∞ ή στο +∞ δίνουμε τον παρακάτωορισμό:

Ορισµό̋ 1.5.3 (Γενικευµένο σύνολο των πραγµατικών αριθµών) ΄Εστωότιτα −∞ και +∞ είναι δυο διακριτά σύμβολα που δεν είναι στοιχεία του R.Το γενικευμένο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι το σύνολο

‹R = R ∪ {−∞,+∞}, (1.7)στο οποίο

(i) επεκτείνουμε την σχέση ολικής διάταξης του R θεωρώντας ότι γιακάθε a ∈ R ισχύει

−∞ < a < +∞, (1.8)

(ii) επεκτείνουμε τις πράξεις + (πρόσθεση) και · (πολλαπλασιασμός)του R καθώς και τις αντίστροφες αυτών, αφαίρεση και διαίρεσηθεωρώντας ότι

(α) για κάθε a ∈ R, a + (+∞) = +∞ και a + (−∞) = −∞,(β) (+∞) + (+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = −∞,(γ) για κάθε a ∈ R με a > 0 ισχύει a(+∞) = +∞ και a(−∞) = −∞,(δ) για κάθε a ∈ R με a < 0 ισχύει a(+∞) = −∞ και a(−∞) = +∞,(ε) (+∞)(+∞) = +∞, (−∞) + (−∞) = +∞, (+∞)(−∞) = −∞ και

(−∞)(+∞) = −∞,(στ) −(+∞) = −∞, −(−∞) = +∞,


(ζ) (+∞)−1 = (−∞)−1 = 0.

Το παρακάτω θεώρημα δικαιολογεί τον προηγούμενο ορισμό:

Θεώρηµα 1.5.4 Αν οι (xn)∞n=1 και (yn)∞n=1 είναι δυο ακολουθίες πραγματι-

κών αριθμών με limn→∞ xn = a και limn→∞ yn = b όπου a, b ∈ ‹R τότε(i) lim

n→∞(xn + yn) = a + b,

(ii) limn→∞

(xn − yn) = a − b,

(iii) limn→∞

(xnyn) = ab,

(iv) limn→∞

Åxnyn

ã=

a

b.

με την προϋπόθεση ότι οι πράξεις μεταξύ των a, b ορίζονται όπως στονΟρισμό 1.5.3.

Παρατήρηση 1.5.5 Ως γνωστόν στο σύνολο των πραγματικών αριθμώνδεν ορίστηκε η διαίρεση αριθμού με μηδέν. ΄Οπως θα παρατηρήσατεκαι στο γενικευμένο σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν ορίστηκανκάποιες πράξεις, και συγκεκριμένα δε δόθηκε κάποιο νόημα στις πράξεις:

(i) 0(+∞), 0(−∞),

(ii) (+∞) + (−∞), (−∞) + (+∞), (−∞) + (+∞),

(iii)0

0,+∞+∞ ,

+∞−∞ ,

−∞−∞ ,

+∞+∞ .

Σε αυτές τις πράξεις δεν μπορούμε να αποδώσουμε κάποιο νόημα καιαναφερόμαστε σε αυτές συχνά σαν απροσδιόριστες μορφές.

Παρατήρηση 1.5.6 Η ορολογία «απροσδιόριστη μορφή» προκύπτει απότο γεγονός ότι αν γνωρίζουμε τα όρια limn→∞ xn = a και limn→∞ yn = bκαι—για παράδειγμα—το a/b είναι απροσδιόριστη μορφή τότε δεν είναιδυνατόν να αποφανθούμε για το limn→∞ xn/yn. Θα δώσουμε ένα παρά-δειγμα για την μορφή +∞/+∞. Σε όλα τα παρακάτω παραδείγματα οιακολουθίες (xn)

∞n=1, (yn)

∞n=1 συγκλίνουν και οι δύο στο +∞ αλλά θα δούμε

ότι ανάλογα τον τύπο τους το limn→∞ xn/yn ,πορεί να πάρει διαφορετικέςτιμές ή και να μην υπάρχει.

(i) xn = n, yn = 2n τότε limn→∞

xnyn=

1

2,

(ii) xn = n, yn = n2 τότε limn→∞

xnyn= 0,

(iii) xn = n2, yn = n τότε limn→∞

xnyn= +∞,


(iv) xn =

ßn αν το n είναι άρτιος,n2 αν το n είναι άρτιος

και yn = n τότε το limn→∞xnyn

δεν υπάρχει.

Ορισµό̋ 1.5.7 Θεωρούμε ένα μη κενό σύνολο A πραγματικών αριθμών.Θέτουμε sup A = +∞ αν και μόνο αν το A δεν είναι άνω ϕραγμένο καιinf A = −∞ αν και μόνο αν το A δεν είναι κάτω ϕραγμένο.

Παρατήρηση 1.5.8 Από το αξίωμα της πληρότητας και τα Θεωρήμα-τα 1.3.1 και 1.3.2 θα έχουμε πως

(i) κάθε μονότονη ακολουθία πραγματικών αριθμών συγκλίνει στο ‹R,(ii) για κάθε μη κενό υποσύνολο A πραγματικών αριθμών υπάρχουν τα

inf A και sup A στο ‹R.Πράγματι, αν A είναι ένα μη κενό υποσύνολο του R υπάρχουν οι εξήςπεριπτώσεις για αυτό:

– είτε είναι ϕραγμένο οπότε inf A ∈ R και sup A ∈ R,

– είτε θα είναι κάτω ϕραγμένο αλλά όχι άνω ϕραγμένο οπότε inf A ∈R και sup A = +∞,

– είτε θα είναι άνω ϕραγμένο αλλά όχι κάτω ϕραγμένο οπότε sup A ∈R και inf A = −∞,

– είτε δεν θα είναι ούτε άνω ϕραγμένο ούτε κάτω ϕραγμένο οπότεsup A = +∞ και inf A = −∞.

Ορισµό̋ 1.5.9 (Γενικευµένο οριακό σηµείο µια̋ ακολουθία̋) ΄Ενα στοι-

χείο s ∈ ‹R = R∪ {−∞,+∞} θα ονομάζεται γενικευμένο οριακό σημείο μιαςακολουθίας πραγματικών αριθμών (xn)

∞n=1 αν υπάρχει μια υπακολουθία

(xkn)∞n=1 της (xn)

∞n=1 με limn→∞ xkn = s.

Πρόταση 1.5.10 ΄Εστω ότι η (xn)∞n=1 είναι μια ακολουθία πραγματικών

αριθμών, S το σύνολο των οριακών σημείων της και S̃ το σύνολο των

γενικευμένων οριακών σημείων της. Τότε S̃ ⊆ S ∪ {−∞,+∞} και τα max S̃και min S̃ υπάρχουν.

Απόδειξη: Από την Πρόταση 1.4.3 έχουμε άμεσα ότι το γενικευμένο σύ-νολο των οριακών σημείων μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών (xn)

∞n=1

θα είναι το σύνολο των οριακών σημείων της (xn)∞n=1, με πιθανώς επιπλέον

στοιχεία τα ∞, +∞, αν υπάρχουν υπακολουθίες της που να συγκλίνουνσε αυτά. Συνεπώς πάντοτε S̃ ⊆ S ∪ {−∞,+∞} και από το Πόρισμα 1.4.5το S̃ θα έχει μικρότερο και μεγαλύτερο στοιχείο. �


Ορισµό̋ 1.5.11 ΄Εστω ότι η (xn)∞n=1 είναι μια ακολουθία πραγματικών

αριθμών και S̃ το σύνολο των γενικευμένων οριακών σημείων της. Ορί-ζουμε

lim infn→∞

xn = min S̃ και lim supn→∞

xn = max S̃.

Ο αριθμός lim supn→∞ xn ονομάζεται ανώτερο όριο της ακολουθίας και οlim infn→∞ xn κατώτερο όριο της ακολουθίας.

Θεώρηµα 1.5.12 ΄Εστω ότι η (xn)∞n=1 είναι μια ακολουθία πραγματικώναριθμών και a ∈ R. Τότε lim supn→∞ xn = a αν και μόνο αν για κάθε ε > 0ισχύουν τα εξής:

(i) υπάρχουν το πολύ πεπερασμένοι το πλήθος δείκτες n με xn ≥ a + ε(ισοδύναμα, υπάρχει n0 ∈ N ώστε για κάθε n ≥ n0 να ισχύει xn <a + ε), και

(ii) υπάρχουν άπειροι δείκτες n με xn ≥ a − ε.

Απόδειξη: Θέτουμε a = lim supn→∞ xn και θεωρούμε ένα ε > 0. Αν υπήρ-χαν άπειροι όροι της ακολουθίας (xn)

∞n=1 μεγαλύτεροι από a + ε, τότε θα

υπήρχε μια υπακολουθία της (xn)∞n=1 που όλοι οι όροι της θα ήταν ≥ a + ε

και συνεπώς η (xn)∞n=1 θα είχε ένα γενικευμένο οριακό σημείο ≥ a + ε, που

είναι άτοπο. Συνεπώς ισχύει η συνθήκη (i). Αν πάλι υπήρχαν πεπερα-σμένοι το πλήθος όροι της ακολουθίας (xn)

∞n=1 μεγαλύτεροι από a− ε τότε

όλοι οι όροι της ακολουθίας μετά από κάποιο δείκτη (δηλαδή όλοι εκτόςαπό πεπερασμένο πλήθος) θα ήταν μικρότεροι από a − ε και συνεπώςκάθε οριακό σημείο της ακολουθίας θα ήταν ≤ a − ε. Αυτό είναι άτοπογιατί το a είναι οριακό σημείο. Συνεπώς ισχύει η συνθήκη (ii).

Αντίστροφα: Ας υποθέσουμε ότι ισχύουν οι συνθήκες (i) και (ii). Τότεγια κάθε ε > 0—από την συνθήκη (i)—όλοι οι όροι της ακολουθίας εκτόςαπό πεπερασμένο το πολύ πλήθος θα είναι μικρότεροι από a+ε και—απότην συνθήκη(ii)—άπειροι όροι της ακολουθίας θα είναι μεγαλύτεροι απόa − ε. Συνεπώς (γιατί;) θα υπάρχουν άπειροι όροι της ακολουθίας στοδιάστημα (a − ε, a + ε) το οποίο σημαίνει ότι το a είναι οριακό σημείο τηςακολουθίας (xn)

∞n=1. Επίσης το a είναι το μεγαλύτερο οριακό σημείο της

ακολουθίας (xn)∞n=1 γιατί αν a

′ > a για ε = a′−a2 > 0, θα έχουμε από την

συνθήκη (i) ότι το πολύ πεπερασμένο πλήθος όρων της ακολουθίας είναιμεγαλύτεροι από a + ε. Συνεπώς το a′ δεν μπορεί να είναι οριακό σημείοτης ακολουθίας. ΄Αρα a = lim supn→∞ xn. �

Θεώρηµα 1.5.13 ΄Εστω μια ακολουθία πραγματικών αριθμών (xn)∞n=1καιa ∈ R. Τότε lim infn→∞ xn = a αν και μόνο αν για κάθε ε > 0 ισχύουν ταεξής:


(i) υπάρχουν το πολύ πεπερασμένοι το πλήθος δείκτες n με xn ≤ a − ε.Ισοδύναμα, υπάρχει n0 ∈Nώστε για κάθε n ≥ n0 να ισχύει xn > a−ε.

(ii) υπάρχουν άπειροι δείκτες n με xn ≥ a + ε.

Απόδειξη: Η απόδειξη είναι παρόμοια με αυτή του προηγούμενου θεω-ρήματος και αφήνεται ως άσκηση. �

Θεώρηµα 1.5.14 Θεωρούμε μια ακολουθία (xn)∞n=1 και a ∈ R̃. Θα έχουμεότι limn→∞ xn = a αν και μόνο αν lim supn→∞ xn = lim infn→∞ xn = a.

Απόδειξη: Αν limn→∞ xn = a τότε κάθε υπακολουθία της συγκλίνει στο a.΄Αρα lim supn→∞ xn = lim infn→∞ xn = a.

Αντίστροφα. ΄Εστω ότι lim supn→∞ xn = lim infn→∞ xn = a και έστωε > 0. Αφού lim supn→∞ xn = a από το Θεώρημα 1.5.12 (i) υπάρχει n1ώστε για κάθε n ≥ n1 να ισχύει ότι xn < a + ε. Αφού lim infn→∞ xn = a,από το Θεώρημα 1.5.13 (i), υπάρχει n2 ώστε για κάθε n ≥ n2 να ισχύειότι xn > a − ε. Συνεπώς για κάθε n ≥ n3 = max{n1, n2} θα έχουμε ότι|xn − a| < ε, που σημαίνει ότι limn→∞ xn = a. �

Το επόμενο θεώρημα δείχνει ότι τα lim sup και lim inf είναι πράγματιόρια.

Ορισµό̋ 1.5.15 Αν (xn)∞n=0 είναι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών,για κάθε n ∈N θέτουμε

xsupn = sup{xn, xn+1, xn+2 . . . } = sup

k≥nxk, (1.9)

xinfn = inf{xn, xn+1, xn+2 . . . } = infk≥n

xk. (1.10)

Προφανώς θα έχουμε ότι για οποιαδήποτε ακολουθία (xn)∞n=0 η ακολουθία

(xsupn )

∞n=0, η οποία ορίζεται από την σχέση (1.9), είναι ϕθίνουσα, η δε

(xinfn )∞n=0, η οποία ορίζεται από την σχέση (1.10), είναι αύξουσα και x

supn ≥

xinfn για κάθε n. Συνεπώς, ανεξάρτητα από το αν η ακολουθία (xn)∞n=0

συγκλίνει ή όχι, οι ακολουθίες (xsupn )

∞n=0, (x

infn )∞n=0 συγκλίνουν (ως μονότονες

ακολουθίες) σε δύο όρια a, b ∈ ‹R αντίστοιχα, με a ≥ b. ΄Οπως θα δούμεαμέσως παρακάτω τα όρια αυτά είναι τα lim supn→∞ xn και lim infn→∞ xn,αντίστοιχα.

Θεώρηµα 1.5.16 Για κάθεακολουθία (xn)∞n=1 πραγματικώναριθμών ισχύει

lim supn→∞

xn = limn→∞

xsupn (1.11)

lim infn→∞

xn = limn→∞

xinfn . (1.12)


Απόδειξη: Θα αποδείξουμε την σχέση (1.11). Για κάθε n θέτουμε

An = {xn, xn+1, xn+2, . . . }

καιyn = x

supn = sup An.

Επειδή An+1 ⊆ An η ακολουθία (yn)∞n=1 είναι ϕθίνουσα και συνεπώς συγ-κλίνει. ΄Εστω ότι

a = limn→∞

yn.

Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

a = +∞: Αυτό μπορεί να συμβεί αν και μόνο αν η ακολουθία (xn)∞n=1 δεν

είναι άνω ϕραγμένη (και yn = +∞ για κάθε n) οπότε lim supn→∞ xn =+∞ = a.

a = −∞: Αυτό μπορεί να συμβεί αν και μόνο αν η ακολουθία (xn)∞n=1 δεν

είναι κάτω ϕραγμένη και δεν έχει οριακά σημεία (για παράδειγμαόταν xn = −n). Και σε αυτή την περίπτωση lim supn→∞ xn = −∞ = a.

a ∈ R: Σε αυτή την περίπτωση η ακολουθία θα είναι ϕθίνουσα και κάτωϕραγμένη. Για να δείξουμε ότι a = lim supn→∞ xn θα δείξουμε ότιικανοποιούνται οι συνθήκες (i), (ii) του Θεωρήματος 1.5.12. Αν ησυνθήκη (i) δεν ίσχυε, για κάποιο ε > 0 θα υπήρχαν άπειροι όροι xnτης ακολουθίας (xn)

∞n=1 με xn ≥ a + ε. Τότε, για κάθε n, θα είχαμε ότι

yn = sup{xn, xn+1, xn+2, . . . } ≥ a + ε

και συνεπώς a = infn yn ≥ a + ε που είναι άτοπο.Αν πάλι η συνθήκη (ii) δεν ίσχυε, για κάποιο ε > 0 θα υπήρχε n0ώστε αν n ≥ n0 τότε xn < a − ε. Συνεπώς για κάθε n ≥ n0 θα είχαμεότι

yn = sup{xn, xn+1, xn+2, . . . } < a − ε,και συνεπώς a = infn yn < a − ε που είναι άτοπο.

Η απόδειξη της σχέσης (1.12) είναι παρόμοια και αφήνεται ως άσκηση. �

Ασκήσει̋

Άσκηση 1.5.1 ΄Εστω ότι xn = 1 + (−1)n 1n , n = 1, 2, . . . Να βρεθούν οι ακολουθίες(x

supn )

∞n=1, (x

infn )∞n=1 καθώς και τα lim supn→∞ xn, lim infn→∞ xn.

Άσκηση 1.5.2 ΄Εστω ότι xn = (1 + (−1)n)(

1 + 1n

), n = 1, 2, . . . Να βρεθούν οι

ακολουθίες (xsupn )

∞n=1, (x



Άσκηση 1.5.3 ΄Εστω ότι xn = (−1)nn, n = 1, 2, . . . Να βρεθούν οι ακολουθίες(x

supn )

∞n=1, (x


Άσκηση 1.5.4 ΄Εστω ότι xn = (1 + (−1)n) n, n = 1, 2, . . . Να βρεθούν οι ακολουθίες(x

supn )

∞n=1, (x




Άσκηση 1.5.7 Δίνεται η ακολουθία (an)n∈N που ορίζεται από τις σχέσεις: a1 = 0,a2m = a2m−1/2, a2m+1 = a2m + 1/2 για m ∈N. Βρείτε το lim sup an και το lim inf an.Άσκηση 1.5.8 Για οποιεσδήποτε ακολουθίες (an)n∈N και (bn)n∈N δείξτε ότι

lim sup(an + bn) ≤ lim sup an + lim sup bn.

Άσκηση 1.5.9 Δίνεται μια ακολουθία (an)n∈N με an > 0 για κάθε n ∈N. Δείξτε ότι

lim sup(an)1n ≤ lim sup an+1

an.

Άσκηση 1.5.10 Δίνεται μια ακολουθία (an)n∈N με an > 0 για κάθε n ∈ N. Δείξτεότι αν R = lim sup(an)

1n τότε υπάρχει ένας n0 ∈N ώστε an ≤ Rn για κάθε n ≥ n0.


(i) Δίνεται μια ακολουθία (an)n∈N. Θέτουμε sn =a1 + a2 + ... + an

n. Δείξτε ότι αν

an → a, τότε sn → a.(ii) Βρείτε μια ακολουθία που δε συγκλίνει ώστε η (sn)n∈N να συγκλίνει στο 0.

(iii) Εξετάστε αν υπάρχει ακολουθία (an)n∈N ώστε an > 0 για κάθε n ∈ N ώστεlim sup an = +∞ και sn → 0.

Άσκηση 1.5.12 Δίνονται οι ϕραγμένες ακολουθίες (an)n∈N και (bn)n∈N στο R.Δείξτε ότι:

(i) min{lim sup an, lim sup bn} ≥ lim sup (min{an, bn}),(ii) max{lim sup an, lim sup bn} = lim sup (max{an, bn}),(iii) min{lim inf an, lim inf bn} = lim inf (min{an, bn}),(iv) max{lim inf an, lim inf bn} ≤ lim inf (max{an, bn}).

2Κ Ε Φ Α Λ Α Ι ΟΜετρικοί χώροι

Στο κεφάλαιο αυτό θα διαπραγματευτούμε την έννοια του μετρικούχώρου, η οποία εισάγει μια γεωμετρική γλώσσα στην μελέτη της Ανάλυ-σης.

2.1 Μετρικοί χώροι-Χώροι µε νόρµα

Στα μαθηματικά συναντάμε διάφορες έννοιες «απόστασης» ανάλογαμε τον χώρο που αναφερόμαστε.

– Η απόσταση δυο πραγματικών αριθμών x και x′ είναι ο αριθμόςd(x, x′) = |x − x′|.

– Η απόσταση δυο μιγαδικών αριθμών z = x+ iy και z′ = x′+ iy′ (όπου,x, x′, y, y′ ∈ R) είναι ο αριθμός

d(z, z′) =»

(x − x′)2 + (y − y′)2.

– Η απόσταση δυο σημείων A = (x, y, z) και B = (x′, y′, z′) του χώρουτων τριών διαστάσεων είναι ίση με

d(A,B) =»

(x − x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2.

Την έννοια της απόστασης την χρησιμοποιούμε για να ορίσουμε βασι-κές έννοιες της ανάλυσης, όπως η σύγκλιση μιας ακολουθίας ή η συνέχειαμιας συνάρτησης.

24 G Μετρικοί χώροι

– Μια ακολουθία (πραγματικών ή μιγαδικών) αριθμών (zn)n∈N λέμε ότισυγκλίνει στον (πραγματικό αριθμό ή μιγαδικό αριθμό z) αν για κάθεε > 0 υπάρχει ένας ϕυσικός αριθμός n0 ώστε αν n ≥ n0 τότε ηαπόσταση d(z, zn) του zn από τον z να είναι μικρότερη από ε.

– Μια συνάρτηση f : R→ R (αντίστοιχα, f : C→ C) λέγεται συνεχήςστο a ∈ R (αντίστοιχα, στο a ∈ C) αν για κάθε ε > 0 υπάρχει έναδ > 0 ώστε για κάθε x με d(x, a) < δ να ισχύει d( f (x), f (a)) < ε.

Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο θα μπορούσαμε να ορίσουμε πότε μια ακο-λουθία στοιχείων ενός αφηρημένου συνόλου X συγκλίνει σε ένα στοιχείοτου ή πότε μια συνάρτηση f : X → X είναι συνεχής στο a ∈ X εφόσονείχαμε ορίσει μια έννοια «απόστασης» μεταξύ των στοιχείων του συνόλου,δηλαδή αν σε οποιαδήποτε δύο στοιχεία x,y του X είχαμε αντιστοιχίσειέναν αριθμό d(x, y) ≥ 0 που θα ήταν η «απόσταση του x από το y». Θέ-λουμε ακόμη η συνάρτηση d : X × X→ [0,+∞) που ορίζει την απόστασηd(x, y) του x από το y να έχει κάποιες «ϕυσιολογικές» ιδιότητες, τις οποίεςπεριγράφει ο παρακάτω ορισμός:

Ορισµό̋ 2.1.1 Θεωρούμε ένα μη κενό σύνολο X. Μια απεικόνιση d :X × X→ R λέγεται μετρική αν ικανοποιεί τα εξής:

(i) d(x, y) ≥ 0, για κάθε x, y ∈ X.

(ii) d(x, y) = d(y, x), για κάθε x, y ∈ X.

(iii) d(x, y) = 0 αν και μόνον αν x = y.

(iv) (τριγωνική ανισότητα) Για κάθε x, y, z ∈ X ισχύει:

d(x, y) ≤ d(x, z)+ d(z, y).

Ορισµό̋ 2.1.2 ΄Ενα μη κενό σύνολο X στο οποίο έχουμε ορίσει μια μετρι-κή d θα λέγεται μετρικός χώρος (με μετρική d). ΄Ενας μετρικός χώρος θασυμβολίζεται συχνά και ως ένα ζευγάρι (X, d). Τα στοιχεία ενός μετρικούχώρου τα αποκαλούμε και σημεία του χώρου.

Αν x, y είναι στοιχεία ενός μετρικού χώρου (X, d), ο μη-αρνητικός αριθ-μός d(x, y) λέγεται και η απόσταση του x από το y.

Παράδειγµα 2.1.3 Δίνεται ένα μη κενό σύνολο X. Για x, y στο X ορίζουμε:

d(x, y) =

1 αν x , y,

0 αν x = y.

Είναι άμεσο ότι η d είναι μετρική επί του X. Η μετρική αυτή λέγεταιδιακριτή μετρική επί του X.

2.1 Μετρικοί χώροι-Χώροι µε νόρµα G 25

Παράδειγµα 2.1.4 Θεωρούμε το σύνολο R. Για x, y ∈ R θέτουμε

d(x, y) = |x − y|.

Η d είναι μια μετρική επί του R, και θα αναφερόμαστε σε αυτήν με τονόρο «η συνήθης μετρική του R».

Σε ένα μετρικό χώρο μπορούμε να ορίσουμε μια έννοια «απόστασης»μεταξύ συνόλων.

Ορισµό̋ 2.1.5 ΄Εστω (X, d) ένας μετρικός χώρος.

(i) Αν A ⊆ X με A , ∅ και x ∈ X ορίζουμε ως απόσταση του x από το Aτον αριθμό

d(x,A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}

(ii) Αν A,B είναι μη κενά υποσύνολα του X ορίζουμε ως απόσταση τουA από το B τον αριθμό

d(A,B) = inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

Ορισµό̋ 2.1.6 Θεωρούμε ένα μετρικό χώρο X. ΄Ενα υποσύνολο A τουX λέγεται ϕραγμένο αν υπάρχει x ∈ X και M > 0 ώστε για κάθε a ∈ A ναισχύει d(x, a) < M.

Σε πολλές περιπτώσεις οι χώροι με τους οποίους ασχολούμαστε έ-χουν μια πλουσιότερη δομή από το να είναι απλά σύνολα. Συχνά είναιγραμμικοί χώροι. Στους γραμμικούς χώρους η απόσταση μεταξύ δυοστοιχείων τους ορίζεται συχνά μέσω μιας νόρμας, όπου η έννοια της νόρ-μας μπορεί να θεωρηθεί σαν γενίκευση της έννοιας της απόλυτης τιμήςτων πραγματικών ή των μιγαδικών αριθμών και δίνεται από τον επόμενοορισμό:

Ορισµό̋ 2.1.7 Θεωρούμε ένα διανυσματικό χώρο X πάνω στο R ή τοC. Μια απεικόνιση x→ ‖x‖ : X→ R λέγεται νόρμα αν ικανοποιεί τα εξής:

(i) ‖x‖ ≥ 0 και ‖x‖ = 0 αν και μόνον αν x = 0.

(ii) Για κάθε x ∈ X και για κάθελ στο σώμα (R ήC), ισχύει: ‖λx‖ = |λ| ‖x‖.

(iii) (τριγωνική ανισότητα) Για κάθε x, y ∈ X έχουμε: ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖.

Ορισµό̋ 2.1.8 ΄Ενα μη κενό σύνολο X στο οποίο έχουμε ορίσει μια νόρμα‖ · ‖ θα λέγεται χώρος με νόρμα. ΄Ενας χώρος με νόρμα θα συμβολίζεταισυχνά ως ένα ζευγάρι (X, ‖ · ‖).


Πρόταση 2.1.9 Θεωρούμε ένα διανυσματικό χώρο με νόρμα (X, ‖ · ‖).Θέτουμε d(x, y) = ‖x − y‖, για x ∈ X και y ∈ X. Τότε η d είναι μια μετρικήεπί του X.

Απόδειξη: ΄Αμεση από τους ορισμούς. �

Ορισµό̋ 2.1.10 ΄Εστω ότι ο (X, d) είναι ένας μετρικός χώρος. Λέμε ότιμια ακολουθία (xn)n∈N του X συγκλίνει στο x ∈ X αν για κάθε ε > 0 υπάρχειn0 ώστε αν n ≥ n0 να ισχύει d(xn, x) < ε.

Πρόταση 2.1.11 Αν μια ακολουθία σε ένα μετρικό χώρο συγκλίνει, τοόριο είναι μοναδικό.

Απόδειξη: Θεωρούμε μια ακολουθία (xn)n∈N και x, y ∈ X με x , y. Υποθέ-τουμε ότι xn → x και xn → y. Θέτουμε ε = d(x, y) > 0. Υπάρχει n1 ώστεαν n ≥ n1 να ισχύει d(xn, x) < ε/2. Υπάρχει n2 ώστε αν n ≥ n2 να ισχύειd(xn, y) < ε/2. Θεωρούμε n ≥ max{n1, n2}. ΄Εχουμε

d(x, y) ≤ d(x, xn) + d(xn, y) <ε

2+ε

2= ε = d(x, y).

Αυτό είναι άτοπο. ΄Αρα x = y. �

Ασκήσει̋

Άσκηση 2.1.1 ΄Εστω (X, d) μετρικός χώρος και x1, . . . , xn ∈ X. Να δείξετε ότι

d(x1, xn) ≤n−1∑

i=1

d(xi, xi+1) = d(x1, x2) + d(x2, x3) + · · · + d(xn−1, xn).

Άσκηση 2.1.2 ΄Εστω (X, d) μετρικός χώρος και x, y, z ∈ X. Να δείξετε ότι

d(x, y) ≥ |d(x, z) − d(z, y)|.

Άσκηση 2.1.3 Αποδείξτε την Πρόταση 2.1.9.

Άσκηση2.1.4 Δείξτε ότι ένα υποσύνολο A ενός μετρικού χώρου X είναιϕραγμένοαν για κάθε x ∈ X υπάρχει M > 0 ώστε d(x, a) < M για κάθε a ∈ A.Άσκηση 2.1.5 ΄Εστω X μη κενό σύνολο και a > 0. Αν x ∈ X, y ∈ X ορίζουμε

d(x, y) =

ßa αν x , y,0 αν x = y.

Να δείξετε ότι

(i) Ο (X, d) είναι μετρικός χώρος.

2.1 Μετρικοί χώροι-Χώροι µε νόρµα G 27

(ii) Μια ακολουθία (xn)n∈N στοιχείων του X συγκλίνει αν και μόνο αν υπάρχειn0 ∈N ώστε xn = xn0 για κάθε n ≥ n0.

Η παρακάτω άσκηση μάς δείχνει ότι σε κάθε μετρικό (X, d) χώρο μπορούμε ναορίσουμε μια μετρική d′ ώστε ο X να είναι ϕραγμένο σύνολο ως προς την d′ και ο(X, d′) να έχει τις ίδιες συγκλίνουσες ακολουθίες με τον (X, d).


(i) Να δείξετε πως αν οι a, b, c είναι θετικοί αριθμοί με a ≤ b + c τότε

a

1 + a≤ b

1 + b+

c

1 + c.

(ii) ΄Εστω (X, d) μετρικός χώρος. Για κάθε x ∈ X, y ∈ X ορίζουμε d′(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y). Να δείξετε ότι:

(α) Ο (X, d′) είναι μετρικός χώρος και το X είναι ϕραγμένο σύνολο με τηνμετρική d′.

(β) Μια ακολουθία (xn)n∈N συγκλίνει στον (X, d′) αν και μόνο αν συγκλίνει

στον (X, d).

Άσκηση 2.1.7 ΄Εστω (X, d) μετρικός χώρος, x ∈ X και A μη κενό υποσύνολο του X.να δείξετε ότι d(x,A) = 0 αν και μόνο αν υπάρχει μια ακολουθία (an)n∈N στοιχείωντου A με limn→∞ an = x.

Άσκηση 2.1.8 ΄Εστω (X, d) μετρικός χώρος και έστω X το σύνολο όλων των μηκενών και ϕραγμένων υποσυνόλων του X. Αν A, B ∈ X ορίζουμε

F(A,B) = supa∈A

d(a,B) = supa∈A

infb∈B

d(a, b)

(i) Βρείτε δυο μη κενά ϕραγμένα υποσύνολα A, B του R με F(A,B) , F(B,A)

(ii) Αν ορίσουμεD(A,B) = max {F(A,B),F(B,A)} ,

δείξτε ότι ο (X,D) είναι μετρικός χώρος. Η μετρική D που ορίζεται στοσύνολο όλων των μη κενών ϕραγμένων υποσυνόλων ενός μετρικού χώρουονομάζεται απόσταση του Hausdorff.

Άσκηση 2.1.9 ΄Εστω X ένα μη κενό σύνολο και B(X) να είναι το σύνολο όλων τωνσυναρτήσεων f : X → R που είναι ϕραγμένες, δηλαδή supx∈X | f (x)| < +∞. Αν γιακάθε f ∈ B(X) ορίσουμε ‖ f ‖ = supx∈X | f (x)| να δείξετε ότι ο (B(X), ‖ · ‖) είναι χώροςμε νόρμα.

Άσκηση 2.1.10 ΄Εστω ότι οι (X, d1), (Y, d2) είναι δυο μετρικοί χώροι. Στο σύνολοX × Y ορίζουμε

d(

(x, y), (x′, y′))= d1(x, x

′) + d2(y, y′).


(i) ο (X × Y, d) είναι μετρικός χώρος.(ii) Μια ακολουθία ((xn, yn))n∈N στοιχείων του X × Y συγκλίνει στο (x, y) αν και

μόνο αν η (xn)n∈N συγκλίνει στο x και η (yn)n∈N συγκλίνει στο y.


Άσκηση 2.1.11 ΄Εστω ότι οι (X, d1), (Y, d2) είναι δυο μετρικοί χώροι. Στο σύνολοX × Y ορίζουμε

d(

(x, y), (x′, y′))= max

{d1(x, x

′), d2(y, y′)}.


(i) ο (X × Y, d) είναι μετρικός χώρος.(ii) Μια ακολουθία ((xn, yn))n∈N στοιχείων του X × Y συγκλίνει στο (x, y) αν και

μόνο αν η (xn)n∈N συγκλίνει στο x και η (yn)n∈N συγκλίνει στο y.

2.2 Ανισότητε̋

Σε αυτή την παράγραφο θα δώσουμε βασικά παραδείγματα νορμώνσε διάφορους βασικούς γραμμικούς χώρους είτε πεπερασμένης διάστα-σης, όπως είναι οι χώροι Rn (Παραδείγματα 2.2.4 και 2.2.5), είτε άπειρηςόπως οι χώροι συναρτήσεων ή ακολουθιών (Παραδείγματα 2.2.6, 2.2.7και 2.2.6). Για να δείξουμε όμως ότι οι σχέσεις που ορίζουν τις νόρμες ικα-νοποιούν την τριγωνική ιδιότητα, πρέπει να αποδείξουμε πρώτα κάποιεςβασικές ανισότητες.

Πρόταση 2.2.1 (Ανισότητα Young) Για οποιαδήποτε a, b ∈ R, a > 0, b > 0και p ∈ R με 1 < p < ∞ ισχύει η ανισότητα:

ab ≤ ap

p+

bq

q.

όπου q είναι ο πραγματικός αριθμός με 1p +1q = 1.

Απόδειξη: Παρατηρούμε πρώτα ότι η σχέση 1/p+1/q = 1 συνεπάγεται(p − 1)(q − 1) = 1. Θέτουμε f : R+ → R+ με f (x) = xp−1. Η f είναι 1-1και επί και άρα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f−1 : R+ → R+ καιf−1(x) = x1/(p−1) = xq−1. Αν E1 και E2 είναι τα εμβαδά των περιοχών του

0

b

a x

y

E1

E2

y = xp−1

Σχήµα 2.1: Το γράφηµα τη̋ συνάρτηση̋ f (x) = xp−1.

2.2 Ανισότητε̋ G 29

Σχήματος 2.1, έχουμε:

ab ≤ E1 + E2 =∫ a

0

xp−1dx +

∫ b

0

xq−1dx =ap

p+

bq

q. �

Πρόταση 2.2.2 (Ανισότητα Hölder) Θεωρούμε p, q ∈ R, με 1 < p < ∞,1 < q < ∞ που ικανοποιούν την 1/p + 1/q = 1. Αν x1, x2, . . . , xk, y1,y2, . . . , yk ∈ R, τότε

k∑

i=1

|xiyi| ≤(

k∑

i=1

|xi|p) 1

p(

k∑

i=1

|yi|q) 1

q

.

Απόδειξη: Θέτουμε A = (∑k

i=1 |xi|p)1p και B = (

∑ki=1 |yi|q)

1q . Από την ανισό-

τητα Young έχουμε|xi|A

|yi|B≤ 1

p

|xi|pAp+

1

q

|yi|qBq

.

Προσθέτουμε κατά μέλη (για i = 1, 2, . . . , k) και παίρνουμε:

k∑

i=1

|xi|A

|yi|B≤ 1

p

∑ki=1 |xi|pAp

+1

q

∑ki=1 |yi|qBq

=1

p+

1

q= 1.

΄Αρα

k∑

i=1

|xiyi| ≤ AB =(

k∑

i=1

|xi|p) 1

p(

k∑

i=1

|yi|q) 1

q

. �

Πρόταση 2.2.3 (Ανισότητα Minkowski) Θεωρούμε p ∈ R με 1 ≤ p < ∞.Αν x1, x2, . . . , xk, y1, y2, . . . , yk ∈ R, τότε

(k∑

i=1

|xi + yi|p) 1

p

≤(

k∑

i=1

|xi|p) 1

p

+

(k∑

i=1

|yi|p) 1

p

.

Απόδειξη: Αν p = 1 ή όλα τα xi, yi, i = 1, . . . , k είναι ίσα με 0, η ανισότηταείναι άμεση συνέπεια της τριγωνικής ανισότητας της απόλυτης τιμής.Υποθέτουμε ότι p , 1 και ότι τα xi, yi, i = 1, . . . , k δεν είναι όλα ίσα με 0,

οπότε∑k

i=1(|xi| + |yi|)p , 0. ΄Εχουμε(|xi| + |yi|

)p=(|xi| + |yi|

)p−1|xi| +(|xi| + |yi|

)p−1|yi|

για κάθε i και προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε:

k∑

i=1

(|xi| + |yi|

)p=

k∑

i=1

(|xi| + |yi|

)p−1|xi| +k∑

i=1

(|xi| + |yi|

)p−1|yi|


Θέτουμε q =Ä

1 − 1pä−1

. Παρατηρούμε ότι 1p +1q = 1. Από την ανισότητα

Hölder προκύπτει:

k∑

i=1

(|xi| + |yi|

)p−1|xi| ≤(

k∑

i=1

(|xi| + |yi|

)(p−1)q) 1

q(

k∑

i=1

|xi|p) 1

p

καιk∑

i=1

(|xi| + |yi|

)p−1|yi| ≤(

k∑

i=1

(|xi| + |yi|

)(p−1)q) 1

q(

k∑

i=1

|yi|p) 1

p

.

΄Αρα

k∑

i=1

(|xi| + |yi|

)p ≤(

k∑

i=1

(|xi| + |yi|

)(p−1)q) 1

q

Ñ(k∑

i=1

|xi|p) 1

p

+

(k∑

i=1

|yi|p) 1

p

é.

Επειδή επιπλέον (p − 1)q = p, καταλήγουμε στην

k∑

i=1

(|xi| + |yi|

)p ≤(

k∑

i=1

(|xi| + |yi|

)p) 1

q

Ñ(k∑

i=1

|xi|p) 1

p

+

(k∑

i=1

|yi|p) 1

p

é.

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με τηνÄ∑k

i=1

(|xi| + |yi|

)pä 1qοπότε

(k∑

i=1

(|xi| + |yi|

)p) 1

p

=

(k∑

i=1

|xi|p) 1

p

+

(k∑

i=1

|yi|p) 1

p

. �

Παράδειγµα 2.2.4 Θεωρούμε n ∈ N και p ∈ R με 1 ≤ p < ∞. Γιαx = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn θέτουμε

‖x‖p =(

n∑

i=1

|xi|p) 1

p

.

Από την Πρόταση 2.2.3 προκύπτει ότι η ‖ · ‖p είναι μια νόρμα στον Rn.

Παράδειγµα 2.2.5 Για n ∈N και x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn θέτουμε

‖x‖∞ = sup{|xi| : 1 ≤ i ≤ n

}.

Είναι άμεσο ότι η ‖ · ‖∞ είναι μια νόρμα στον Rn.

2.2 Ανισότητε̋ G 31

Παράδειγµα 2.2.6 Συμβολίζουμε μεRN τον χώρο των ακολουθιών πραγ-ματικών αριθμών. Θεωρούμε p ∈ R με 1 ≤ p < ∞. Θέτουμε

ℓp =

{(xn)n∈N ∈ RN :

∞∑

n=1

|xn|p < ∞}.

Για x = (xn)n∈N ∈ ℓp θέτουμε

‖x‖p =( ∞∑

n=1

|xn|p) 1

p

.

Από την Πρόταση 2.2.3 προκύπτει ότι ο ℓp είναι διανυσματικός χώροςκαι ότι η ‖ · ‖p είναι μια νόρμα στον ℓp.Παράδειγµα 2.2.7 Θέτουμε

ℓ∞ =¶

(xn)n∈N ∈ RN : sup{|xn| : n ∈N

}< ∞©.

Για x = (xn)n∈N ∈ ℓ∞ θέτουμε

‖x‖∞ = sup{|xn| : n ∈N

}.

Είναι άμεσο ότι ο ℓ∞ είναι διανυσματικός χώρος και ότι η ‖ · ‖∞ είναι μιανόρμα στον ℓ∞.

Παράδειγµα 2.2.8 Θέτουμε

c0 ={

(xn)n∈N ∈ RN : lim xn = 0}.

Για x = (xn)n∈N ∈ c0 θέτουμε

‖x‖∞ = sup{|xn| : n ∈N

}.

Είναι άμεσο ότι ο c0 είναι διανυσματικός χώρος και ότι η ‖ · ‖∞ είναι μιανόρμα στον c0.

Ασκήσει̋


(i) Δείξτε ότι για κάθε x ∈ Rn έχουμε ‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 .(ii) Δείξτε ότι για κάθε x ∈ Rn έχουμε ‖x‖1 ≤ n‖x‖∞.(iii) Δείξτε ότι για κάθε x ∈ Rn έχουμε ‖x‖1 ≤

√n‖x‖2.


(i) Δείξτε ότι για κάθε x ∈ ℓ2 έχουμε ‖x‖∞ ≤ ‖x‖2.(ii) Δείξτε ότι για κάθε x ∈ ℓ1 έχουμε ‖x‖2 ≤ ‖x‖1.


2.3 Ανοικτά σύνολα-Κλειστά σύνολα

Σε αυτή την παράγραφο θα ορίσουμε βασικές γεωμετρικές έννοιες σεμετρικούς χώρους που αφορούν σύνολα όπως είναι οι έννοιες της τουανοικτού και του κλειστού συνόλου.

Ορισµό̋ 2.3.1 Θεω�

exlibris - ΣΑΜΟΣ · exlibris. Μιχάλης Ανούσης ... (δ) Αν x,y ∈ x τότε x

Documents