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Oscillations mécaniques forcées(4ème Sc.Exp) Série physique n° : 14

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A- Rappel :

L’analogie électromécanique : - Tableau d’analogie :

- Analogie électromécanique :

L’amplitude de l’intensité Imax :

m...

.......I

......... (..... .......)

L’amplitude Qmax :

maxm m

... ...

I ....... .......Q X

......... (..... .......) ......... (..... .......)

Le déphasage : Cu u F x

...... ......tg tg( ) tg( )

........ ....... ........ .......

r r

...... ............. .......

...... ......

r r

...... ......N ....... N .......

...... ......

2

mmec

I ....P (R r). P ......

2 ....

... ... ... ...mmec

m

U .... ..... ....Z (...... ...) (..... ) Z (...... ...) (..... )

I ..... ..... .....

B- Exercices de synthèse : Exercice 1 : Un pendule élastique horizontal est formé d’un solide (S) de centre d’inertie G et de masse m=100 g soudé à l’une des extrémités d’un ressort (R) à spires non jointives de masse négligeable et de raideur K=40 N.m-1. L’autre extrémité du ressort est fixe. Le pendule repose sur un plan horizontal (figure 1) et la position du centre d’inertie

G du solide est repérée sur un axe horizontal (O, i ), d’origine O position

d’équilibre du solide. Au cours de son mouvement, le solide (S) est soumis à une

Fig.5 i

O

(S) (R)

x Fig 1

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force de frottement de type visqueux f =-h v avec h=0,8 Kg.s-1. On soumet le solide (S) à une force

excitatrice F =(1,2sin18t) i . À un instant de date t, on notera x l’abscisse de G relative au repère (O, i ).

Sachant que pour un dipôle RLC série soumis à une tension alternative sinusoïdale u(t)=Umsin(t), l’équation différentielle reliant l’intensité du courant électrique à sa dérivée première et à sa primitive est

1( ) ( )

diL R r i idt u t

dt C et sa solution est de la forme i(t)=Imsin(t+i).

1- Établir l’expression de l’amplitude de l’intensité Im du courant en fonction de Um, R, r, L, C et . 2- Déduire l’expression de l’amplitude Qm de la charge. 3- Donner l’expression de la fréquence Nr à la résonance de charge en fonction de R, r, L et C.

a- l’équation différentielle reliant la charge q du condensateur, sa dérivée première et sa primitive est 2

2( ) ( )

d q dq qL R r u t

dt dt C En précisant l’analogie utilisée, écrire :

- L’équation différentielle reliant l’abscisse x de G à sa dérivée première et à sa dérivée seconde pour l’oscillateur mécanique.

- L’expression de x(t) en régime permanent en précisant la valeur de son amplitude et de sa phase initiale.

b- En déduire l’expression de la vitesse v(t) de G.

2- on modifie la pulsation de l’excitateur. Pour une valeur 1 de celle-ci, l’amplitude des oscillations devient maximale.

a- Donner le nom du phénomène dont l’oscillateur est le siège à la pulsation 1.

b- Calculer la puissance mécanique moyenne du pendule oscillant à la pulsation 1. c- Exprimer puis calculer l’impédance mécanique de l’oscillateur.

Exercice 2 : La résonance joue un rôle important dans la physique des

phénomènes oscillants : une cause apparemment minime mais

périodique peut avoir des conséquences importantes si la résonance

se produit. Cela se constate souvent dans le domaine de l’automobile.

L’automobile, un oscillateur

• On peut considérer qu’une automobile est constituée, d’une part, du

châssis supportant la caisse et le moteur, d’autre part, des essieux sur

lesquels les roues sont fixées.

Document 1 : Schématisation simplifiée d'une suspension

d'automobile. Entre ces deux parties se situe la suspension formée de ressorts (ou de lames élastiques dans

les camions) et d’amortisseurs. Le document 1 symbolise cette suspension qui, du point de vue technique, peut

être construite de diverses manières ; le document 2 représente une suspension à roues indépendantes.

L’ensemble châssis + caisse + moteur constitue un oscillateur (pendule

élastique vertical). La fréquence propre d’une automobile moderne est de

l’ordre du hertz.

Les oscillations d’une automobile • Cas d’une excitation brève Lorsque l’automobile passe dans un trou ou sur un petit obstacle, elle

entre en oscillation (oscillations libres). Si les amortisseurs sont en

mauvais état, c’est un régime pseudopériodique qui s’installe avec des «

pseudo oscillations » nombreuses. Si les amortisseurs sont en bon état,

l’automobile effectue une ou deux oscillations (en tout cas, un petit

nombre) avant de retrouver rapidement sa position d'équilibre ; le confort

des passagers est bon et la tenue de route nettement meilleure dans ce

cas.

Document 1

Document 2





• Les oscillations forcées

Lorsque l'automobile roule sur une série de bosses ou de trous régulièrement répartis, elle reçoit des impulsions périodiques dont la fréquence N dépend de sa vitesse. Elle peut entrer en résonance si la fréquence excitatrice est voisine de N0. Si la suspension est molle (amortissement faible : amortisseurs fatigués), cela se traduit par des oscillations lentes et de grande amplitude. De nombreuses pistes africaines recouvertes de sable ont un aspect de « tôle ondulée » (document 3) dû à une succession régulière de bosses distantes de quelques dizaines de centimètres. Un véhicule roulant sur une telle piste subit donc, pour une vitesse v une suite d’excitations à la fréquence N. Si la fréquence N est égale ou peu différente de la fréquence propre N0 du véhicule, celui-ci entre en résonance et les oscillations de grande amplitude rendent le voyage très inconfortable. Questions :

1- En utilisant l’analogie électromécanique, compléter le tableau suivant :

Mécanique Electrique

Ressort

Chassis

Amortisseur

Piste ayant l’aspect d’une tôle ondulée

2- Représenter le schéma du circuit analogue au document 2 lorsque la roue roule sur une piste ayant la

forme d’une tôle ondulée. 3- Donner l’expression de l’amplitude Im de l’intensité du courant qui circule dans un tel circuit. Déduire

l’amplitude Qm de la charge q(t). 4- A partir de l’expression de Qm, déduire par analogie, l’expression de l’amplitude Xm des oscillations

forcées d’un pendule élastique en régime sinusoïdal. 5- Montrer que la fréquence des impulsions reçues par une voiture qui roule sur une piste ondulée s’écrit

sous la forme V

Nd

avec V vitesse de la voiture et d la distance séparant deux bosses consécutives

de la piste. Comment faut-il conduire pour voyager sur une piste ondulée sans que le voyage soit très lent et sans qu’il soit pénible ?

A- Exercice bac :

Document 3

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