experimentalphysik vii atome, moleküle, laser · 2.1. das bohrsche model • die klassischen...
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Experimentalphysik VIIAtome, Moleküle, Laser
Vorlesung: apl. Prof. Dr. Georgeta SalvanDo. 13:45-15:15 2/N006
Übung: Dipl. Phys. Michael FronkMo. 2.W: 15:30-17:00 2/P033
•Einleitung, Wasserstoff-Atom, Mehrelektronenatome (1V)•Gruppentheorie (2 V)•Chemische Bindung (2V)•Elektronen- und Rotationsspektren von Molekülen (1V)•Rotation und Schwingungen von Molekülen (2V)•Experimentellen Techniken in der Molekülspektroskopie (2V)•Laser (2V)•Molekulare Elektronik (1V)•Themen zur Auswahl: zB molekularer Magnetismus
Experimentalphysik VIIAtome, Moleküle, Laser
VoraussetzungenExperimentalphysik III und IV, Quantenmechanik
LeistungsnachweisVergabe eines Scheins: aktive Teilnahme an den Übungen,
Prüfung
LiteraturAtome und Moleküle: Haken & Wolf, DemtröderLaser: Demtröder „Laserspektroskopie“Vorlesungsskript und Übungsaufgaben: http://www.tu-chemnitz.de/physik/OHL/
Atom:griechisch: das Unzerschneidbarelateinisch: das IndividuumKleinste Einheit eines chemischen Elements, die noch alle für dieses Element wesentlichen Eigenschaften besitzt.
Molekül:lateinisch: kleine MasseKleinste Einheit einer chemischen Verbindung, die noch deren Eigenschaften nachweist.
1. Einleitung
• Elektromagnetische Welle beschrieben durch Maxwellsche Gleichungen
• Charakterisiert durch die elektrischen (E) und magnetischen (B) Feldvektoren und Frequenz (ω)
• Beugung und Interferenz
• Eine beschleunigte Ladung strahlt Energie in Form einer elektromagnetischen Welle ab.
• Wechselwirkung Licht-Materie: Modell des schwingenden geladenen Teilchens
x
zy
1.1. Licht als elektromagnetische Welle
• Energie hν
• Geschwindigkeit c
• Ruhemasse m0=0
• Impuls
• Eigendrehimpuls
1.2. Licht als Teilchen: das Photon
Experimente, die die Existenz des Photons nachweisen:– Die Temperaturstrahlung– Der Photoeffekt– Der Comptoneffekt
λυ hc
hp ==
π2h
[ ] [ ]nmeVE
λ1240
=
Der Photoeffekt
Frequenz des Lichtes
Pho
tost
rom
I
Photoelektronen werden nur emittiert, wenn die Frequenz des Lichtes größer ist als die für das Elektrodenmaterial charakteristische Grenzfrequenz νGrenz
hν ≥ hνGrenz = eUA
eUA: Austrittsarbeit
Austrittsarbeiten einiger Metalle
2315.36Pt2774.48Cu6391.94Cs5512.25K5432.28Na5042.46Li
λGrenz / nmUA / eVMetall
Der Photoeffekt
Lichtintensität
Sät
tigun
gsst
rom
Die Anzahl N von emittierten Elektronen ist proportional zur Lichtintensität.
Bremsspannung: eUMax=mv2/2
AeUhmv −= υ2
21
Millikanscher Öltröpfchen-Versuch
Das negativ geladene Öltröpfchen erfährt im elektrischen Feld des Kondensators die Kraft: n.e.En = Anzahl der
Elementarladungen
1.3. Elektronen als Teilchen: Die Ladung des Elektrons
e = (1.6021917±0.0000070).10-19 C
Elementarladung
1.4. Elektronen als Wellen
Beugungsstreifen von Rotlichtfilter an der geometrischen Schattengrenze einer Halbebene
Beugungsstreifen von Elektronen an einer Halbebene (Al2O3-Folienkante)E = 3.4.104 eV
Beugung von Elektronen an einem 2 µm dicken vergoldeten DrahtE = 19.4.103 eV
2.1. Das Bohrsche Model
• Die klassischen Bewegungsgleichungen gelten für Elektronen in Atomen. Es sollen aber nur diskrete Bahnen mit den Energie Enerlaubt sein.
• Die Bewegung der Elektronen auf gequantelten Bahnen erfolgt strahlungslos. Übergang zwischen En und En‘ unter Emission/Absorption von Strahlung:
En - En‘ = hν
• Die Umlauffrequenz der Elektronen auf den Bahnen unterscheidet sich von der Frequenz der emittierten oder absorbierten Strahlung bei kleinen n.
Die Bohrschen Postulate
Energie, Radius und Drehimpuls der n-ten Bahn
2220
2
40 1
32 nem
En ⋅−=hεπ
02
2204me
nrn
hπε=
Drehimpuls kann auch nur bestimmte Werte annehmen.
prl rrr×=
hnrmrvml nnnn === ω200
Wasserstoffähnliche Systeme
( ) 2220
2
40
2 132 n
emZZEn ⋅−=
hεπ
• ein Kern der Ladungszahl Z wird von einem einzelnen Elektron umkreist
( )0
2
2204
mZen
Zrnhπε
=
Z=1, n=1
E1(Z)= - 13.59 eVIonisierungsenergie des Wasserstoff-Atoms
r1(Z) = 0.529 Å Bohrscher Radius des Wasserstoff-Atoms im Grundzustand, a0
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−= 2232
03
20
4
'1
'1
641
nncZme
EEhc nn
hεπυ
Wellenzahlen der Emission-Spektrallinien:
Die von Bohr eingeführte Quantenzahl n ist mit der Laufzahl n von Balmer-Serienidentisch.
Balmer-Serie von H in Emission
2.2. Sommerfelds Erweiterung des Bohrschen Modells
• Bei höherem spektralen Auflösungsvermögen haben die Linien des Wasserstoffs mehrere Komponenten.
• Sommerfeld: neben den Kreisbahnen für Elektronen sind auch Ellipsenbahnen mit gleicher Energie möglich.
- die große Halbachse wird durch n bestimmt; - eine neu eingeführte zweite Quantenzahl k legt die kleine Halbachse
fest: der Betrag des Drehimpulses ist ein ganzzahliges Vielfaches k des Drehimpulses (k ≤ n).
- in Quantentheorie k → l mit l=k-1, l= 0,1,2,…n-1.
( )h1+= lll
2.3. Das mathematische Gerüst der Quantenphysik
• Die Quantentheorie wird nötig, weil die klassische Physik selbstbei der Beschreibung des einfachsten Atoms (Wasserstoff) bereits versagt. Ihre wesentlichen Merkmale sind:
1. Die Teilchen der klassischen Physik werden durch Materiewellen beschrieben.
2. An die Stelle der deterministischen Beschreibung von Ort und Impuls tritt in der Quantenphysik deren statistische Behandlung.
3. Bei gleichzeitiger Bestimmung von Ort und Impuls tritt zwingend eine Unschärfe auf.
• Die klassisch wohldefinierte Bahnkurve eines Teilchens geht in die Wahrscheinlichkeitsdichte über:
( )trr
( )trW ,r
( ) ( ) dzdydxtrtrW 2,, rr ψ=
Materie-Wellenfunktion( )tr ,rψ
Vertauschbare Operatoren
[ ] 0ˆˆˆˆˆ,ˆ122121 =−= AAAAAA
Ein notwendiges Kriterium für die gleichzeitige Messbarkeit zweier Größen ist die Vertauschbarkeit der zugehörigen Operatoren. Sie müssen die gleichen Eigenfunktionen haben:
2.3.2. Schrödinger-Gleichung• Schrödinger-Gleichung des kräftefreien Teilchens
( ) ( )trt
itrm
,,2 0
2 rh
rh ψψ∂∂
=∆−
• Schrödinger-Gleichung bei Anwesenheit eines Potentialfeldes
( ) ( ) ( )trt
itrrVm
,,2 0
2 rh
rrh ψψ∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∆−
• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:
( ) ( ) ( )rErrVm
rrrh ϕϕ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∆−
0
2
2
H - Hamilton-Operator
m0- Ruhemasse des Teilchens, ∆ Laplace-Operator; ( ) 1, 2 =∫ dVtrrψ
2.3.3. Beispiel: Der harmonische Oszillator
( ) ( )xExxm
dxd
mϕϕω =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− 220
0
2
22h
• Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung d. harm. Oszillators
Variabeltransformation:h
ωξ 0mx=
Allgemeiner Lösungssatz: , Hn Hermitisches Polynom( ) ( ) 2
2ξ
ξξϕ−
⋅= eH nn
ωh⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
21nEn
n = 0,1,2,3…
( ) ( )πξ
ξξ
ξ
!
121
22
ndedeH n
n
n
n
n
−−=
• Äquidistante Energieniveaus und Quadrate der Wellenfunktion im Parabelpotential des Harmonischen Oszillators
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
2.4. Quantenmechanik des Wasserstoff-Atoms
( ) ( ) ( )rErrVm
rrrh ψψ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∆−
0
2
2
Kartesische Koordinaten → sphärische Polarkoordinaten
x, y, z → r, ϑ, ϕ
V(r) - allgemeines zentralsymmetrisches Potential
Operator der kinetischen Energie in Polarkoordinaten:
Operator des Drehimpulsquadrates:
→
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕϑϕϑϕϑψ ΦΘ== rRFrRr ,,,
Separationsansatz:
Wellenfunktionen des Wasserstoff-Atoms mit Coulomb-Potential
Die Wellenfunktion des Wasserstoff-Atoms
Die Orbitale des Wasserstoff-Atoms
rosettenförmigl = 3fundamentalf-Orbital
gekreuzte Doppelhantell = 2diffused-Orbital
hantelförmig in den drei Raumachsenl = 1principalp-Orbital
radialsymmetrischl = 0sharps-Orbital
AussehenWert von lausgeschriebenName
2.5. Bahn- und Spin- Magnetismus
ll
rr
02me
−=µ
mit 2mB A109.272me 24
0
−⋅==hµ Bohrsche
Magneton
( )1+= llBl µµ
h
rrr lg Bll µµ −= Mit gl=1: g-Faktor
lBlzl mg µµ =, ( ) lg Blz µµ =max
2.5.1. Magnetisches Moment der Bahnbewegung
2.5.2. Eigendrehimpuls (Spin) eines Elektrons
Der Spin eines Elektrons trägt ebenfalls zum Magnetismus bei:
Stern & Gerlach: der Spin kann in einem äußeren Magnetfeld B nur zwei Orientierungen einnehmen: parallel oder antiparallel zum Feld.
sgµs2m
egµ SB0
SSrrv −=−=
gS=2.0023 ist der g-Faktor des Elektrons
( )hr 1+= ssss = 1/2: Spinquantenzahl; ms = ±1/2
hsz ms =
BsSs,z µmgµ −=
und sind nicht parallel! µr J
r
)SgL(gµµ SLBtot
rrr+−=
)SJ(µ)S2L(µµ BBtot
rrrrr+−=+−=
mit gL=1 und gS=2
2.5.3. Magnetismus eines Atoms
Lr Sr
Jr
SJrr
+
SrzH
r
Lµµ BL
rr−=
Sgµµ SBS
rr−=
Jr
ist der Gesamtdrehimpuls
∑=i
iSSrr
∑=i
iLLrr
( )∑ +=i
ii LSJrrr
L-S Kopplung von zwei Elektronen im Vektormodel
Russel-Saunders Kopplung
• Die L-S-Kopplung findet in den leichten Atomen aber auch in den meisten4f-Elemente statt. • Die 3d-Elektronen der Übergangselementen beteiligen sich an chemischen Bindungen und werden stark vom starken Ligandenfeld beeinflusst.
Gesamt Spin
Gesamt Bahndrehimpuls
Gesamt Drehimpuls
Spektroskopische Terme
JS X12 +
2S+1: Multiplizität
X : entspricht an Drehimpulsquantenzahl
L = 0 1 2 3 4 5 6
X = S P D F G H I
Pauli-Postulat:Die Gesamtwellenfunktion eines Systems mit mehreren Elektronen ist antisymmetrisch gegen Vertauschung zweier Elektronen.
Dieses Antisymmetrisierungsprinzip gilt für alle Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen wie Protonen, Neutronen...).
Die Verteilung der Elektronen eines Atoms auf die verschiedenen Energiezustände (n, l, ml, ms) geschieht so, dass das Pauli-Prinzip erfüllt ist und die Gesamtenergie aller Elektronen für den Grundzustand jedes Atomsminimal wird.
Das Pauli-Prinzip
Hund‘sche Regeln
1. e- werden so in eine Schale gefüllt, dass der Spin S der Elektronenhülle maximal wird.
2. Die Orbitalzustände werden so gewählt, dass auch der Bahndrehimpuls L der Hülle maximalwird.
3. Für weniger als halb gefüllte Schalen wird J =⏐L - S⏐, für mehr als halb gefüllte Schalen gilt J = L + S.