experimento 1 - relatorio lva - determinação experimental das rigidezes das molas 1

7/17/2019 Experimento 1 - Relatorio LVA - Determinação Experimental Das Rigidezes Das Molas 1

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1. INTRODUÇÃO

O presente trabalho aborda de forma acadêmica a utilização da lei de Hooke no estudo

vibratório, através do estudo de um sistema massa – mola. Onde através de um eperimento em

laboratório se obteve dados !ue devem ser tratados, estudados e posteriormente comparado com a

forma anal"tica, a fim de ser determinar a ri#idez das molas utilizadas.

O ob$etivo então é obter a ri#idez de três molas de mesmo material, mesmo n%mero de epirasativas, além de comprimento e di&metro relativamente parecidos, variando si#nificativamente

apenas o di&metro do arame !ue comp'e a mola, a fim de se obter o comportamento da ri#idez de

uma mola com a variação apenas do di&metro do arame.

Outro ob$etivo do trabalho é obter um comportamento da fre!uência natural da mola com a

variação do di&metro do seu arame. (onsiderando uma massa constante e utilizando a ri#idez

eperimental calculada anteriormente.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

)tualmente somos cercados de estruturas mec&nicas das mais variadas formas, materiais,

propriedades e utilidades, e estas estão sempre sofrendo al#um tipo de esforço *torção, fleão,tração, compressão, entre outros+, al#uns deles são leves e !uase impercept"veis, $ outros são

vis"veis e peri#osos. O material deve suportar um determinado #rau de esforço em sua aplicação

para ser eficiente em sua utilização. -sses esforços podem causar deformaç'es e estas podem ser

plsticas *as forças aplicadas no mesmo o deformam de forma permanente+ ou elsticas *as forças o

deformam en!uanto aplicadas e depois de retiradas a estrutura volta ao seu estado inicial+.

)través do estudo da deformação elstica em sistemas elsticos obert Hooke, f"sico in#lês,

publicou sua lei, cu$o enunciado é/ 0)s forças deformantes são proporcionais 1s deformaç'es

elsticas produzidas2.

Ou se$a, a intensidade da força elstica é diretamente proporcional 1 deformação. 3endo assim é

uma força restauradora, !ue tem como ob$etivo restaurar o material depois !ue este sofreu uma

determinada deformação. -n!uanto a constante elstica !ue também deve4se levar em consideraçãorepresenta a dureza, ri#idez da mola.

2.1.Modelo Físico

3e#undo a lei de Hooke a mola em e!uil"brio esta presa em uma etremidade e livre em outra,

aplicando4se um peso ao sistema na etremidade livre se pode perceber uma deformação, e !uanto

maior fosse esse peso mais acentuado era a sua deformação causada na mola, sendo assim é dito

proporcional.

5i#ura 67. 8odelo 5"sico. 5onte/ ao *966:+

2.2. Hipóteses

) massa da mola é desprez"vel, no entanto sua deformação e o peso do suporte para os pesosdevem ser levados em consideração no calculo.

O sistema ser considerado como um sistema de apenas um #rau de liberdade.

7



2.. Modelo M!te"#tico

) lei de Hooke pode ser epressa matematicamente conforme a -! *7+ abaio/

F =k ∗ x -!.

*7+

F : 5orça da molak : i#idez da mola ou constante elstica x : ;eformação

Ou em sua forma vetorial, como vemos na -!. *9+/

F =−k ∗ x -!.

*9+

F : 5orça da molak : i#idez da mola ou constante elstica x : ;eformação

(u$o sinal ne#ativo si#nifica !ue a força elstica tem sentido oposta ao da deformação.

-ssas e!uaç'es só podem ser utilizadas se o limite elstico do material não for ultrapassado.

) -!uação *<+ foi utilizada para a determinação do = através de vrios dados.

K eq= G∗d4

8∗ N ∗ D3

-!. *<+

K eq : (onstante de ri#idez >esistência da mola e!uivalente

G : 8odulo de elasticidaded : ;i&metro do arame N : ?%mero de espiras ativas D : ;i&metro normalizado

Onde a -!. *@+ mostra como se calcula o D

D=

Di+ De

2 -!. *@+

D : ;i&metro normalizado Di: ;i&metro interno

De : ;i&metro eterno

- o Di foi obtido através da -!. *A+

Di= De−2∗d -!.

*A+

Di: ;i&metro interno

9



De : ;i&metro eterno

d : ;i&metro do arame

) -!. *B+ é a e!uação da re#ressão linear.

Y i=α + β X i+ϵ i -!.

*B+

Y i : Carivel eplicada *dependente+D valor !ue se !uer atin#irD

α : (onstanteD representa intercepção da reta com o eio verticalD β : (onstanteD representa o declive da reta *coeficiente an#ular+D X i : Carivel eplicativa *independente+D representa o fator eplicativo na e!uação

ϵ i D Carivel !ue inclui todos os fatores residuais mais os poss"veis erros de medição.

O erro relativo obtido com os resultados eperimentais e anal"ticos é calculado pela -!. *E+.

Erro=| K exp−

K a| K exp

∗100 -!. *E+

Erro: -rro relativo K exp : (onstante de ri#idez eperimental

K a : (onstante de ri#idez anal"tica

. MATERIAI$ E M%TODO$

.1 M!te&i!is Utili'!dos

) lista de materiais !ue foram utilizados neste eperimento se#ue abaio/

• Fancada universal para teste de vibração *Gecuipment G8 7B ?.3. 966+D

• < molas mec&nicas *material/ fio musical+D

• Ia!u"metroD

• é#ua de precisão *parte inte#rante da bancada+D

• 3uporte para pesos *de 7,A k#+D

• Iesos em formatos de discos com @66 # cada.

) bancada *5i#. 9+ consiste em um e!uipamento capaz de prender a mola na posição vertical em

sua parte superior, além de prender um suporte na parte inferior da mola. O suporte é formado por uma #uia e uma base, para receber os pesos em forma de discos de @66 #. O suporte também serve

de apoio para a trena, !ue possui livre deslocamento vertical para acompanhar o suporte e

conse!uentemente o deslocamento e deformação da mola, conforma são adicionados os discos

*massa+.

<



5i#ura 9. Fancada universal para teste de vibração.

5oram utilizadas três molas, 5i#. *<+, a!ui chamada de 8ola 7, 8ola 9 e 8ola <, !ue se

apresentaram respectivamente como uma del#ada, uma intermediria e uma robusta *classificação

com relação ao di&metro do arame, visualmente+. Jm pa!u"metro de plstico *resolução 6,6A mm+

foi utilizado para a medição das propriedades #eométrica das molas.

5i#ura <. ;a es!uerda para a direita/ as molas, um dos discos de massa e o pa!u"metro utilizado.

.1 Metodolo(i!

) metodolo#ia do eperimento pode em/

• Obtenção dos par&metros #eométricos da mola e de sua ri#idez anal"tica *teórica+D

• Obtenção de dados eperimentais. 8edição da deformação das molas com a colocação

dos discos de massaD

• Gratamento estat"stico desses dados em #rfico para se obter a variação da ri#idez

eperimental de cada mola, além do #rfico de variação da ri#idez relacionada 1

variação do di&metro do fio da molaD

• )nlise da variação da fre!uência natural com variação do di&metro do fioD

• )nlise de erro entre a ri#idez teórica e eperimental.

Irimeiramente foi realizada a medição dos par&metros #eométricos da mola/ O di&metro do

arame *d+, di&metro eterno da mola *;e+ e o numero de espiras ativas *?+, onde os dois primeiros

foram obtidos pelo uso do pa!u"metro e o terceiro analisando visualmente sem necessidade de

aparelhos.

(om esses par&metros medidos, podemos facilmente obter os outros par&metros/ O di&metro

interno *;i+, !ue nada mais é do !ue di&metro eterno menos duas vezes o di&metro do arame, e o

di&metro das epiras da mola ou di&metro da mola *;+, !ue é a média entre o di&metro eterno e o

interno e ser utilizado para o clculo da ri#idez teórica da mola. Outro par&metro necessrio para

se obter a ri#idez anal"tica *teórica+ da uma mola é o módulo de elasticidade transversal *K+ do

material. Iara a obtenção dessa informação foi utilizada a 5i#. *@+.

@



5i#ura @. Iropriedades mec&nicas de al#uns fios de mola. *5onte/ 3hi#leL, Moseph -., 8ischke,

(harles ., FudLnas, ichard K., 966A, 0Iro$eto de en#enharia mec&nica2. EN -d. Fookman, Iorto

)le#re, B6 p. Gabela 764A, p#ina @E.

) obtenção de dados eperimentais foi realizada com seis medidas de comprimento para cada

mola. Irimeiramente foi realizada a medição do comprimento inicial de cada mola, após isso as

cinco mediç'es se#uintes foram realizadas após adicionar um disco de massa *eceto a mola <, mais

espessa, foram necessrios adicionar os discos de três em três para se obter um descolamento

si#nificativo+. Gambém foi calculada a deformação da mola para cada medida. ) deformação é o

valor medido na medição menos o valor medido na medição anterior na ré#ua.

)s massas foram normalizadas para m%ltiplos da primeira massa adicionada, a fim de se tornar

um par&metro comum entre as molas e tornar poss"vel a anlise das três molas em um %nico #rfico

;eformação da 8ola P 8assa ou Ieso ?ormalizado.

) dispersão dos cinco pontos de medição para cada mola foi utilizada para obtermos uma

e!uação linear do tipo LQ)RF na !ual o coeficiente an#ular *)+ ser a ri#idez da mola. ?o

tratamento estat"stico dos dados do eperimento para a determinação das ri#idezes das molasutilizado para a representação no #rfico, foi considerada a re#ressão linear, pois ela estima um

valor condicional esperado, o !ue facilita !uando tem !ue se dar com vrios dados !ue podem ter

erros de medidas e uma dispersão entre eles, conforme a -!. *B+.

) ri#idez eperimental das molas foi utilizada para calcular a fre!uência natural de cada uma,

considerando todas este$am carre#adas com a mesma massa. ) fre!uência natural de cada mola foi

plotada em um #rfico 5re!uência ?atural P ;i&metro do )rame, obtendo4se três pontos, os !uais

foram utilizados para se obter uma e!uação polinomial eperimental !ue descreva o comportamento

da fre!uência natural !uando se varia o di&metro do fio de uma mola.

)s tabelas e #rficos foram plotados utilizando o softSare 8icrosoft -celT.

). RE$U*TADO$

)s mediç'es dos par&metros #eométricos das molas são apresentados na Gab. *7+.

Iar&metro Jnidade 3"mbolo 8ola 7 8ola 9 8ola <

;i&metro do )rame 8m ; 9,@ 9, @,B

;i&metro eterno 8m ;e @A @A,A @:,:

?%mero de -spiras )tivas -spiras ? 7: 7: 7:

Gabela 7. Iar&metros #eométricos das molas medidos com pa!u"metro.

-ntão podemos calcular o par&metro 0;2 utilizando os par&metros $ medidos. Iara isso serãoutilizadas a -!. *@+ e a -!. *A+, !ue são obtidas por #eometria.

A



Iara calcularmos a ri#idez anal"tica ainda precisamos do par&metro K das molas. )s molas em

!uestão são fabricadas em fio musical e os dados podem ser obtidos na 5i#. *@+. Cale lembrar !ue os

di&metros devem ser convertidos de mil"metros para pole#adas a fim de se identificar o K na tabela.

Godos os par&metros para a -!. *<+ $ são conhecidos. (om isso podemos calcular a ri#idez

anal"tica para cada uma das três molas em !uestão. Os valores para ;i, ; e =a calculados estão

dispostos na Gab. *9+.

Iar&metro Jnidade 3"mbolo 8ola 7 8ola 9 8ola <

;i&metro Unterno mm ;i @6,9 <,E <,B

;i&metro 8édio mm ; @9,B @9,B @@,9

8ódulo de -lasticidade Gransversal KIa K :7 :7 :6

i#idez )nal"tica ?>m =a 9@7,@6 A7@,B9 @6BB,B

Gabela 9. i#idez anal"tica das molas

)s mediç'es na ré#ua, clculo de deformaç'es, massa, peso *considerando4se uma aceleração da

#ravidade de ,:7 m>sV+ e massa ou peso normalizado *m%ltiplos da primeira medida+ estão

dispostos nas três tabelas a se#uir *Gab. *<+, Gab. *@+ e Gab. *A++ para as molas 7, 9 e <

respectivamente.

Gabela <. 8ediç'es de dados eperimentais da 8ola 7.

Gabela @. 8ediç'es de dados eperimentais da 8ola 9.

Gabela A. 8ediç'es de dados eperimentais da 8ola <.

B



Ilotando4se um #rfico ;eformação P 8assa ?ormalizada contendo as informaç'es das três molas

e calculando a e!uação linear *por re#ressão linear+ para o comportamento das molas, podemos

avaliar a ri#idez eperimental das molas e compar4las em um %nico #rfico *5i#. *A++.

5i#ura A. Krfico ;eformação P 8assa ?ormalizada das três molas

)s e!uaç'es do tipo LQ)RF estão eibidas no #rfico da 5i#. @ para as três molas em !uestão.Cale ressaltar !ue o coeficiente F deveria se i#ual 1 zero, pois sem massa *força+ a mola não deveria

ter deformação i#ual a zero, fazendo com !ue a reta passasse pela ori#em do #rfico. ?o entanto,

para as três molas eles são de valores muito pe!uenos !ue podem der desprezados.

3e o eio WX é o peso normalizado e o WLX é a deformação, a ri#idez, !ue é definida como

força>deformação ser i#ual a >L. Ce$amos um eemplo para a 8ola 7.

) 8ola 7 possui e!uação da reta *$ desconsiderando o coeficiente constante+/

y1=0,0111 x1(m) -!.

*:+

3e L é a deformação e é o peso>massa normalizada, a ri#idez eperimental ser/

K exp= x

y=

1

0,0111(m)=90,09m

−1 -!.

*+

(omo estamos trabalhando com massa>peso normalizado, se !uisermos obter a ri#idez em k#>m

ou ?>m, temos !ue multiplicar a ri#idez pela primeira massa medida ou o primeiro peso medido,

respectivamente. Ior eemplo, a ri#idez da 8ola 7, em ?>m, ser/

K exp=90,09m

−1

∗3,924 N =353,51 N /m -!.*76+

5azendo da mesma forma para as outras molas e calculando o erro *-!. *E++ em relação ao valor

de ri#idez anal"tica, dados da Gab. *9+, para cada mola, obtemos os valores desposto na Gab. *B+.

Jnidade 8ola 7 8ola 9 8ola <

i#idez Geórica ?>m 9@7,@6 A7@,B9 9::6,BB

i#idez -perimental ?>m <A<,A7 :A<,6@ <9@,66

-rro Y <7,E7 <,BE 9B,A

Gabela B. esultados para as ri#idezes das molas e erros.

E



3e#undo ao *966:+, a fre!uência natural de uma mola pode ser calculada de acordo com a -!.

*B+.

ωn=√ K eqmeq

-!.

*77+

Onde/

• ωn é a fre!uência naturalD

• meq é a massa e!uivalenteD

• K eq é a ri#idez e!uivalente.

) massa e!uivalente foi considerada como a massa do suporte *7,A k#+ mais uma massa comum

a todas as molas, no caso a massa de 7966 #. -ntão, a massa e!uivalente foi admitida i#ual a 9,E k#

para as três molas. ) ri#idez e!uivalente foi considerada como sendo apenas a ri#idez eperimental.

Iara observar a variação da fre!uência natural com a variação no di&metro do fio da mola,

podemos colocar substituir a -!. < na -!. B e obter/

ωn=√ G

8¿meq N D3∗d

2 -!.

*79+

O !ue mostra claramente !ue a fre!uência natural deve variar proporcionalmente ao !uadrado do

di&metro do fio da mola, ou ao menos analiticamente *teoricamente+, caso os outros par&metros

se$am mantidos constantes.

)o utilizarmos a -!. *77+ para calcular a fre!uência natural para as ri#idezes eperimentais das

molas, obtemos os resultados da Gab. *E+.

;i&metro do )rame *mm+ 5re!uência ?atural *rad>s+ 5re!uência ?atural *Hz+

8ola 67 9,@ 77,@ 7,:7

8ola 69 9, 7E,: 9,:<

8ola 6< @,B <:,7 B,6B

Gabela E. 5re!uência ?atural -perimental das 8olas

Ilotando isso em um #rfico e obtendo uma e!uação polinomial de se#unda ordem !ue melhor

descreva o comportamento, obtemos o #rfico da 5i#. *B+.

:



5i#ura B. Krfico 5re!uência ?atural P ;i&metro do 5io da 8ola

?esse caso, assim como no #rfico da 5i#. *A+, podemos desprezar o coeficiente constante da

e!uação, pois o mesmo é de valor muito pe!ueno.

+. CONC*U$,E$

) partir de uma anlise de 5i#. *@+ podemos ver a influência da variação do di&metro do fio da

mola em sua ri#idez mantendo os outros par&metros praticamente constantes. ) variação para cada

mola é aproimadamente linear, comprovando a validade da lei de Hooke. Iercebe4se !ue a 8ola <

é a !ue apresenta maior ri#idez, se#uida da 8ola 9 e da 8ola 7 respectivamente. )lém disso,

podemos perceber !ue o inverso dos coeficientes an#ulares das retas representam a ri#idez.

Iodemos ver também !ue os erros calculados entre as ri#idezes anal"ticas e eperimentais dasmolas foram de valores relativamente elevados, devido a problemas como/

• O #rau de precisão dos e!uipamentos de medição *ou erro humano de medição+D

• Ioss"veis descontinuidades no material da mola.

)nalisando4se a 5i#. *B+ podemos observar !ue o comportamento da fre!uência natural da mola

varia aproimadamente com o !uadrado do di&metro do fio>arame da mesma, como $ espervamos,

após a anlise anal"tica !ue foi feita *-!. 79+. )l#uns desvios em relação 1 curva esperada devem4se

a diferenças nos par&metros #eométricos das molas, !ue, para a anlise em !uestão, foram

considerados constantes.

-. REFERNCIA$;isciplina Zaboratório de Cibraç'es e )c%stica *ZC)+, 967A. Gemplate elatorio ZC). Felém4I).

oteiro do eperimento 7, 967A, ;eterminação eperimental das ri#idezes de molas.

ao, 3in#iresu 3., 966:, 0Cibraç'es mec&nicas2, @N -d. Iearson Irentice Hall, 3ão Iaulo.

3hi#leL, Moseph -., 8ischke, (harles ., FudLnas, ichard K., 966A, 0Iro$eto de en#enharia

mec&nica2. EN -d. Fookman, Iorto )le#re, B6 p.

HallidaL, ;avid, esnik obert, =rane, ;enneth 3., 966@, 05"sica 92, Col. 7, A -d. io de Maneiro/

ZG(, <:@ p.

Zink 7/ [http/>>blo#daen#enharia.com>leidehooke> \ acessado em/ 9A>6<>967A 1s 79/7h.

Zink 9/ [http/>>pt.Sikipedia.or#>Siki>e#ressY(<Y)<o]linear\ acessado em / 9A>6<>967A 1s

7</<Ah.



/. RE$0ON$AI*IDADE AUTORA*

Os autores, Fruce Frandom ;antas de 5i#ueiredo e ?aLara 8artinez 5aro, são os %nicos

responsveis pelo conte%do deste trabalho.

76

experimento 1 - relatorio lva - determinação experimental das rigidezes das molas 1

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