Universidad Dominicana O&M saber pensar trabajarIng.-Sistemas seccin 411

Oscilaciones

Presenta.Gustavo Antonio Quezada Hernndez...14-SISN-2-013Jos Romn Ramrez Bez...14-SISN-2-010Jose Manuel Mercedes Ramirez..14-SISN-2-031Jos Arturo Hidalgo Santana.13-SISN-2-007Carlos Rafael Santana.13-SIST-2-010Leonardo Mariano Shephard Parris.14-EISN-2-052Tomas Prez..14-EISN-2-022

Asesor:Nstor Guerrero

Lunes 1 de Febrero 2016

iINDICE1. Oscilador armnico simple.

2. Movimiento Armnico Simple2.1. Las caractersticas de un M.A.S.2.2. Cmo se origina el MAS?2.3. Magnitudes (valores a medir) del fenmeno

3. Consideraciones energticas en el movimiento armnico simple y elmovimiento circular uniforme

4. Pndulo simple4.1. Oscilacin4.2. Leyes del pndulo

5. Relacin entre el movimiento armnico simple y elmovimiento circular uniforme.5.1. Movimiento circular y movimiento armnico5.2. Relacin entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme

6. Combinaciones de Movimientos Armnicos Simples6.1.Superposicin de movimientos armnicos simples

ii

Nomenclaturas

es la elongacin o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.

es la amplitud del movimiento (elongacin mxima).

es la frecuencia angular

es el tiempo.

es la fase inicial e indica el estado de oscilacin o vibracin (o fase) enel instante

t = 0 de la partcula que oscila.

la frecuencia angular.

t+ la fase.

la fase inicial

T= tiempo

L=longitud

G=gravedad

2 =dos pi

f=nmero de oscilaciones/tiempo

m=masa

dm=dimetro

1

Introduccin

En cualquier lugar se encuentran partculas o cuerpos que realizan diferentes tipos

de movimientos, entre ellos estn los movimientos oscilatorios o vibratorios, los

cuales presenciamos todos los das en nuestra vida cotidiana, como por ejemplo: El

pndulo de un reloj, los latidos del corazn, las cuerdas de una guitarra, la corriente

elctrica que circula por el filamento de una bombilla y a nivel microscpico la luz,

ya que tiene un campo elctrico y uno magntico oscilando alrededor del tiempo.

Dependiendo de las condiciones y de la manera con la cual se introduzca la energa

en el sistema, el movimiento oscilatorio puede dividirse o clasificarse en: movimiento

armnico simple, movimiento amortiguado y movimiento forzado, los cuales poseen

caractersticas diferentes y por consecuencia requieren estudios individuales.

Cada movimiento describe condiciones especficas, por lo que se utilizan

ecuaciones diferentes para cada uno de ellos. Es importante conocerlos, para lograr

comprender de manera adecuada y con mayor claridad, cuando se nos presenten

en la vida diaria estos tipos de movimientos

2

Resumen

Un sistema en equilibrio estable, si se perturba ligeramente de su punto de

equilibrio, realiza oscilaciones en torno a este punto. Las oscilaciones tienen la

caracterstica de ser peridicas. Un movimiento se denomina peridico, si a

intervalos de tiempo iguales de valor T, se repiten exactamente las caractersticas

cinticas y dinmicas del sistema. El tiempo T recibe el nombre de perodo.

Debe diferenciarse el movimiento oscilatorio del movimiento ondulatorio, aunque

ambos estn muy relacionados. Las ondas sonoras, por ejemplo, se pueden

producir mediante las vibraciones de un instrumento musical. Un muelle o un

pndulo, realizan un movimiento oscilatorio, al ser desplazados de su punto de

equilibrio, alrededor de este punto. Las ondas sonoras, como perturbaciones del

equilibrio de las molculas de aire, se propagan en el espacio, alejndose del punto

en el que fueron producidas.

3

Oscilador armnico simple

{1} Se dice que un sistema cualquiera, mecnico, elctrico, neumtico, etc., es un

oscilador armnico si, cuando se deja en libertad fuera de su posicin de equilibrio,

vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales

amortiguadas en torno a dicha posicin estable.

El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su

posicin de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional

al desequilibrio (distancia a la posicin de reposo) y que est dirigida hacia la

posicin de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa

hacia la posicin de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posicin de

equilibrio y que aumenta su velocidad, la energa potencial elstica del resorte se

transforma en energa cintica de la masa. Cuando la masa llega a su posicin de

equilibrio, la fuerza ser cero, pero como la masa est en movimiento, continuar y

pasar del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energa

cintica de la masa va transformndose ahora en energa potencial del resorte hasta

que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en direccin

opuesta completando una oscilacin.

Figura 1

La masa colgada del resorte forma un oscilador armnico.

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Una de las consecuencias de la accin de las fuerzas sobre la materia es que puede

llegar a deformarla. Entre los distintos comportamientos destacan aquellos cuerpos

que, aun deformndose, recuperan la forma inicial cuando la fuerza deja de actuar;

estos cuerpos reciben el nombre de elsticos. La deformacin de estos cuerpos

obedece a la conocida como Ley de Hooke, donde existe una fuerza restauradora

F que es directamente proporcional a su elongacin:

{2} El oscilador armnico es el ejemplo ms simple de sistema fsico que describe

un movimiento vibratorio armnico simple, y corresponde a un sistema sobre el que

acta nicamente una fuerza restauradora que obedece a la ley de Hooke.

La ecuacin que describe el movimiento de este sistema puede encontrarse de una

forma muy sencilla, teniendo en cuenta que nicamente interesa la direccin en la

que se produce el movimiento. Para ella:

Como el movimiento de este sistema es del tipo armnico simple, es posible sustituir

el valor de la aceleracin por el que ya se obtuvo en el punto anterior (a = -2x),

resultando

Donde sustituye al producto, ya que la masa del oscilador y la pulsacin son

constantes. Por tanto, y la frecuencia angular es:

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Movimiento Armnico Simple:

{3} El estudio del oscilador armnico constituye en Fsica un captulo muy

importante, ya que son muchos los sistemas fsicos oscilantes que se dan en la

naturaleza y que han sido producidos por el hombre.

Un movimiento armnico simple es el que describe una partcula sometida a una

fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento. Se genera entonces un

movimiento peridico, es decir que se repite cada cierto intervalo de tiempo. No

todos los movimientos peridicos son armnicos. Para que lo sean, la fuerza

restauradora debe ser proporcional al desplazamiento.

El problema del oscilador armnico simple aparece con mucha frecuencia en Fsica,

ya que una masa en equilibrio bajo la accin de cualquier fuerza conservativa, en el

lmite de movimientos pequeos, se comporta como un oscilador armnico simple.

es la elongacin o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.

es la amplitud del movimiento (elongacin mxima).

es la frecuencia angular

es el tiempo.

es la fase inicial e indica el estado de oscilacin o vibracin (o fase) en el

instante

t = 0 de la partcula que oscila.

Una partcula describe un Movimiento Armnico Simple (M.A.S.) cuando se mueve

a lo largo del eje X, estando su posicin x dada en funcin del tiempo t por la

ecuacin

x=Asen(t+)

Figura 2

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Donde

A es la amplitud.

la frecuencia angular.

t+ la fase.

la fase inicial

{4}Las caractersticas de un M.A.S. son:

Como los valores mximo y mnimo de la funcin seno son +1 y -1, el

movimiento se realiza en una regin del eje X comprendida entre -A y +A.

La funcin seno es peridica y se repite cada 2, por tanto, el movimiento se

repite cuando el argumento de la funcin seno se incrementa en 2, es decir,

cuando transcurre un tiempo P tal que (t+P)+= t++2 .

P=2/

Conviene aclarar lo que significa peridico, oscilatorio y vibratorio para entender por

qu se aplica este trmino al movimiento armnico simple:

Movimiento peridico: un movimiento se dice que es peridico cuando a intervalos

iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleracin, etc.)

toman el mismo valor. Ej. la Tierra alrededor del Sol.

Movimiento oscilatorio: Es el movimiento peridico en el que la distancia del mvil

al centro de oscilacin, pasa alternativamente por un valor mximo y un mnimo. Ej.

un pndulo.

Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto

medio y en cada vibracin pasa por l. Las separaciones a ambos lados a ambos

lados del centro se llaman amplitud y son iguales. Ej. una varilla que sujeta por un

extremo a la que damos un impulso en el otro. La varilla vibra.

El Movimiento vibratorio armnico simple -M.A.S- es: un movimiento vibratorio.

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La ecuacin que determina la posicin es una funcin matemtica seno o coseno y

por ello se las denomina armnicas.

No se consideran las atenuaciones del medio por lo que al movimiento as

simplificado se le llama simple.

{5}Cmo se origina el MAS?

Cuando separamos un resorte de su posicin de equilibrio, estirndolo o

comprimindolo, adquiere un M.A.S al soltarlo. La fuerza recuperadora de ese

resorte, que varia segn la distancia al centro, es la que genera una aceleracin,

proporcional tambin a la elongacin, la cual le confiere ese movimiento de vaivn

llamado M.A.S.

Todas las expresiones del M.A.S. de la fuerza, aceleracin etc., contienen la funcin

matemtica senoidal o cosenoidal.

Magnitudes (valores a medir) del fenmeno

Observando el movimiento del resorte vemos que se desplaza entre dos puntos,

desde la mxima compresin hasta la mxima elongacin, pasando por un punto

medio de equilibrio. A la distancia desde el punto medio a cualquiera de los

extremos le llamamos AMPLITUD y la representamos por A.

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figura 2.1

La distancia desde la posicin que ocupa la bola roja en cada

momento hasta el punto central es la ELONGACIN, x.

El valor de x coincide con la coordenada de posicin medida

desde el centro.

El punto O es el punto de equilibrio.

Al representar un movimiento que oscila en unos ejes

cartesianos al eje vertical le llamamos X (aunque suele

llamrsele "eje y" ) para que la elongacin coincida con la

frmula que viene en la mayora de los libros de texto.

Esto es lo mismo que girar la imagen de la oscilacin.

El tiempo que emplea en realizar una oscilacin completa se llama PERODO, se

representa por T y se mide en segundos.

La FRECUENCIA es el nmero de oscilaciones que realiza por segundo.

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Consideraciones energticas en el movimiento armnico simple y el

movimiento circular uniforme

{6} Las fuerzas involucradas en un movimiento armnico simple son centrales y, por

tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir un campo escalar llamado

energa potencial (Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresin de la energa

potencial, basta con integrar la expresin de la fuerza (esto es extensible a todas

las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obtenindose para el caso

especfico de un sistema de masa-resorte la siguiente expresin para la energa

potencial :

Ep = K x2

La energa potencial alcanza su mximo en los extremos de la trayectoria y tiene

valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto de equilibrio. La energa cintica

cambiar a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

Ec = mv2

La energa cintica es nula en -A o +A (v=0) y el valor mximo se alcanza en el

punto de equilibrio (mxima velocidad A). Sustituyendo la ecuacin de velocidad

para el MAS podemos obtener la expresin para la energa cintica mxima como

sigue.

Ec max = 2A2

Como slo actan fuerzas conservativas, la energa mecnica (suma de la energa

cintica y potencial) permanece constante.

Ec + Ep = Em

Finalmente, al ser la energa mecnica constante, puede calcularse fcilmente

considerando los casos en los que la velocidad de la partcula es nula y por lo tanto

la energa potencial es mxima, es decir, en los puntos x = A y x = A. Se obtiene

entonces que,

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Em = Ep max + 0 = KA2

O tambin cuando la velocidad de la partcula es mxima y la energa potencial nula,

en el punto de equilibrio x = 0

Em = 0 + Ec max = 2A2

Pndulo simple

{7}Llamamos pndulo a todo cuerpo que puede oscilar con respecto de un eje fijo.

Pndulo ideal, simple o matemtico: Se denomina as a todo cuerpo de masa m (de

pequeas dimensiones) suspendido por medio de un hilo inextensible y sin peso.

Estas dos ltimas condiciones no son reales sino ideales; pero todo el estudio que

realizaremos referente al pndulo, se facilita admitiendo ese supuesto.

El pndulo simple o matemtico se denomina as en contraposicin a los pndulos

reales, compuestos o fsicos, nicos que pueden construirse.

Un pndulo simple es uno tal, que se puede considerar como una masa puntual,

suspendida de una cuerda o varilla de masa despreciable. Es un sistema resonante

con una frecuencia de resonancia simple. Para pequeas amplitudes, el periodo de

tal pndulo, se puede aproximar por:

Sean Carroll relata la historia del descubrimiento de Galileo sobre el hecho de que

para pequeas amplitudes, el perodo y la frecuencia no se ven afectados por la

amplitud. "Segn se informa, en 1581, un joven Galileo Galilei hizo un

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descubrimiento revolucionario mientras estaba sentado y aburrido durante un

servicio religioso en una iglesia de Pisa.

La araa que penda del techo sobre su cabeza, oscilaba suavemente hacia atrs

y hacia delante, pero pareca moverse ms rpidamente cuando el balanceo era

ms amplio (por ejemplo, despus de una rfaga de viento), y ms lentamente

cuando el balanceo era ms corto. Intrigado, Galileo decidi medir el tiempo que

duraba cada oscilacin, utilizando para ello el nico evento aproximadamente

peridico al que tena fcil acceso: los latidos de su propio pulso.

Encontr algo interesante: el nmero de latidos del corazn entre los vaivenes de la

araa era ms o menos el mismo, independientemente de si las oscilaciones eran

anchas o estrechas.

El tamao de las oscilaciones - la amplitud del recorrido del pndulo hacia adelante

y hacia atrs-, no afectaba a la frecuencia de estas oscilaciones.

{9}Oscilacin

Oscilacin simple es la trayectoria descrita entre dos posiciones extremas (arco AB).

Oscilacin completa o doble oscilacin es la trayectoria realizada desde una

posicin extrema hasta volver a ella, pasando por la otra extrema (arco ABA).

Angulo de amplitud o amplitud (alfa) es el ngulo formado por la posicin de reposo

(equilibrio) y una de las posiciones extremas.

Perodo o tiempo de oscilacin doble (T) es el tiempo que emplea el pndulo en

efectuar una oscilacin doble.

Tiempo de oscilacin simple (t) es el tiempo que emplea el pndulo en efectuar una

oscilacin simple.

Elongacin (e). Distancia entre la posicin de reposo OR y cualquier otra posicin.

Mxima elongacin: distancia entre la posicin de reposo y la posicin extrema o de

mxima amplitud.

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Frecuencia (f). Es el nmero de oscilaciones en cada unidad de tiempo.

{8}Leyes del pndulo

Ley de las masas

Suspendamos de un soporte (por ejemplo: del dintel de una puerta) tres hilos de

coser de igual longitud y en sus extremos atemos sendos objetos de masas y

sustancias diferentes. Por ejemplo: una piedra, un trozo de hierro y un corcho.

Saqumoslo del reposo simultneamente. Verificaremos que todos tardan el mismo

tiempo en cumplir las oscilaciones, es decir, que todos van y vienen

simultneamente. Esto nos permite enunciar la ley de las masas:

Figura 3

Las tres ms de la figura son distintas entre s, pero el periodo (T) de Oscilacin es

el mismo. (T1=T2=T3)

Los tiempos de oscilacin de varios pndulos de igual longitud son independientes

de sus masas y de su naturaleza, o tambin El tiempo de oscilacin de un pndulo

es independiente de su masa y de su naturaleza.

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Ley del Iscrono

Dispongamos dos de los pndulos empleados en el experimento anterior.

Separmoslos de sus posiciones de equilibrio, de tal modo que los ngulos de

amplitud sean distintos (pero no mayores de 6 o 7 grados).

Dejmoslo libres: comienzan a oscilar, y notaremos que, tambin en este caso, los

pndulos van y vienen al mismo tiempo. De esto surge la llamada Ley del

isocronismo (iguales tiempos):

Ley de las longitudes:

Suspendamos ahora tres pndulos cuyas longitudes sean:

Pndulo A = (10cm) 1 dm.

Pndulo B = (40 cm) 4 dm.

Pndulo C = (90 cm) = 9 dm.

figura 3.1

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figura 3.2

Procedamos a sacarlos del reposo en el siguiente orden:

1) El de 1 dm. Y el de 4dm.

2) El de 1 dm. Y el de 9dm.

Observaremos entonces que:

a) El de menor longitud va ms ligero que el otro, o sea: a menor longitud menor

tiempo de oscilacin y a mayor longitud mayor tiempo de oscilacin.

b) Mientras el de 4 dm. Cumple una oscilacin, el de 1 dm. Cumple dos

oscilaciones.

c) Mientras el de 9 dm. Cumple una oscilacin, el de 1 dm. Cumple

tres oscilaciones.

Esta circunstancia ha permitido establecer la siguiente ley de las longitudes:

Los tiempos de oscilacin (T) de dos pndulos de distinta longitud (en el mismo

lugar de la Tierra), son directamente proporcionales a las races cuadradas de sus

longitudes

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Relacin entre el movimiento armnico simple y el movimiento circular

uniforme.

Movimiento circular y movimiento armnico

{11} En dos dimensiones la composicin de dos movimientos armnicos de la misma

frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular

uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:

El momento angular puede calcularse como:

De hecho las rbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composicin de dos

movimientos armnicos segn dos direcciones mutuamente perpendiculares.

Relacin entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyeccin" (sombra

que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme (M.C.U.)

de radio igual a la amplitud A y velocidad angular , sobre el dimetro vertical de la

circunferencia que recorre.

En lo siguiente podrs visualizar dicha relacin.

Vamos a establecer una relacin entre un movimiento vobratorio armnico simple y el

movimiento circular uniforme. Esto nos va a permitir dos cosas:

- Hallar la ecuacin del M.A.S sin tener que recurrir a clculos matemticos complejos.

- Conocer de donde vienen algunos de los conceptos que usamos en el MAS, como frecuencia

angular o el desfase.

Observando el applet que viene a continuacin. Tememos inicialmente el resorte azul, que

oscila verticalmente. En la circunferencia tienes un punto negro que gira con movimiento circular

uniforme, ocupando en cada instante una posicin en la circunferencia. Traza mentalmente la

proyeccin de esa posicin sobre el dimetro vertical de la circunferencia. En cada momento,

la masa que cuelga del resorte ocupa una posicin determinada. Observa que la posicin de la

masa del resorte coincide exactamente con la proyeccin de la posicin del objeto sobre el

dimetro, que vers en forma de lnea azul en el dimetro vertical.

Es decir, como resumen, cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una

trayectoria circular, el movimiento de la proyeccin del objeto sobre el dimetro es un

movimiento armnico simple.

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Combinaciones de Movimientos Armnicos Simples

{12} Las combinaciones de movimientos armnicos simples son movimientos

armnicos complejos peridicos un movimiento armnico complejo es un

movimiento superposicin lineal de movimientos armnicos simples. Aunque un

movimiento armnico simple es siempre peridico, un movimiento armnico

complejo no necesariamente es peridico, aunque s puede ser analizado mediante

anlisis armnico de Fourier el cual estudia la representacin de funciones o

seales como superposicin de ondas "bsicas" o armnicas. Un movimiento

armnico complejo es peridico slo si es la combinacin de movimientos

armnicos simples cuyas frecuencias son todos mltiplos racionales de una

frecuencia base

Superposicin de movimientos armnicos simples.

{13} Consideremos la superposicin interferencia de 2 MAS bajo la

siguiente hiptesis: la resultante de dos ms oscilaciones armnicas es

simplemente la suma de las oscilaciones aisladas. Los casos que analizaremos

son los siguientes

Superposicin de dos MAS de igual direccin y frecuencia. Supongamos

2 MAS superpuestos de igual frecuencia y diferente fase que producen

el desplazamiento de la partcula a lo largo de la misma lnea

x1 = A1 cos( wt + a 1)

x2 A2 cos( w+ a 2 )

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El desplazamiento resultante de la partcula est dado por la suma

x = A1 cos(wt + a1 ) + A2 cos(wt + a 2 )

Representado en la figura 1.1

Figura 1.4. Suma de los vectores rotantes de los MAS 1 y2

Este movimiento se puede expresar como

Un MAS dado por la expresin

x = A cos( wt + a )

Deduciendo a partir de la suma de los vectores

Rotantes de la figura 1.4

Analizamos algunos casos especiales. Si a1 = a2 decimos

Que los 2 movimientos estn en fase dado que la diferencia de fase

= a1 - a2 = 0. Sus vectores rotantes son

Paralelos y la ecuacin [1.20] da

A = A1 + A2

a = a1

Interfiriendo constructivamente ya que sus amplitudes se suman como se observa en la figura 1.1 si a2 = a1 + entonces la diferencia de fase f = y se dice que los 2 MAS estn en oposicin, sus vectores rotantes son anti paralelos y como queda representado en la figura 1.2

A = A1- A2

A = a1

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Finalmente, si a2=a1+/2 entonces f= /2 y se dice que los 2 MAS estn en cuadratura obtenindose el MAS representado en la figura 1.2

Figura 1.1 suma de 2 MAS de igual direccin y F en a)Fase b)oposicin y

c)cuadratura

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Conclusin

Para finalizar hay que tener en claro que las oscilaciones se presentan en varios

fenmenos de la naturaleza se clasifican por el periodo, la amplitud, la frecuencia y

el amortiguamiento.

Son efectos producidos tanto por la naturaleza como por el hombre gracias a sus

descubrimientos se ha cambiado la forma de usar muchos instrumentos cotidianos.

Como el reloj de pndulo que con el descubrimiento del pndulo se encontr una

forma de cmo medir con exactitud el tiempo. Y entre otros.

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BIBLIOGAFIA.

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nmica_del_mas_el_oscilador_armnico.html

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simple/leyes-del-pendulo-simple/

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13. movimiento oscilatorio tecnun. [ libro pdf ]

portada.pdftrabajo.pdfindice.pdfoscilaciones.pdf