expresión i fascículo 4

Documento desarrollado por: ADOLFO B. LECOMPTE DE LA VEGA. Para el programa de Diseo Grfico-U.A.C. GUIA CTEDRA EXPRESIN

8- Cuadrilteros 8-1 Definicin: Figura plana cerrada formada por cuatro lneas rectas sucesivas llamadas lados (a, b, c, d ) , que se encuentran en cuatro puntos o vrtices (A, B, C, D ), originando cuatro ngulos (, , , ), las lneas que unen dos vrtices opuestos se denominan diagonales (A-C, B-D).

8-2 Propiedades: a) La suma de los ngulos interiores de un cuadriltero (, , , ), son iguales a 360

b) Solo se puede inscribir una circunferencia en un cuadriltero si la suma de sus lados opuestos son iguales (a+ c = b+ d) c) Solo se puede circunscribir un cuadriltero en una circunferencia si sus ngulos opuestos son suplementarios ( + = + = 180) d) Si unimos los puntos medios de los lados de un cuadriltero obtenemos un paralelogramo.


8-3 Clasificacin: Segn la relacin de sus lados los cuadrilteros se clasifican en: A)

Paralelogramos, B) Trapecios y Trapezoides.

8-4 A.- Los paralelogramos son cuadrilteros que tienen sus lados opuestos paralelos

y se dividen en:

a) Cuadrados, cuando son iguales sus cuatro lados (a= b= c= d), sus cuatro ngulos (= = = ) y sus diagonales iguales (A-C = B-D) que se cortan a 90

b) Rectngulos, cuando sus lados opuestos son iguales y paralelos de dos en dos (a = c, b = d ), iguales sus ngulos (= = = ), sus diagonales (A-C y B-D), iguales y no se cortan a 90

c) Rombos, cuadrilteros de lados iguales y paralelos, sus ngulos no son rectos y sus

diagonales desiguales no se cortan a 90


d) Romboides, cuadrilteros de lados y ngulos opuestos iguales, no forman 90y sus

diagonales son distintas y oblicuas.

8-5 B.- Trapecios: Cuadrilteros que tienen dos lados o bases paralelas, lados

desiguales. Se dividen en trapecios rectos, issceles y escalenos.

Trapecios rectos, los que adems de tener dos lados paralelos forman ngulos rectos

con otro de sus lados, sus diagonales son distintas y oblicuas.

Trapecios issceles, los que tienen dos lados opuestos o bases oblicuas.

Trapecio escaleno, con dos lados opuestos paralelos, distintos sus ngulos, lados y

diagonales.

8-6 Trapezoides: Cuadrilteros que no tienen ninguno de sus lados, ngulos y

diagonales iguales, son asimtricos


8-7 Construccin de figuras geomtricas de cuatro lados. 9-8 Cuadrados: Como el cuadrado es un paralelogramo con sus lados, ngulos y

diagonales iguales solo con un dato podemos construirlo.

a) Construccin de un cuadrado conociendo el lado: Se traza el lado A-B como base, sobre los extremos A y B, se levantan perpendiculares, se hace centro con

el comps en estos vrtices y se trazan sendos arcos con radio igual al valor del

lado y se determinan los otros dos vrtices C y D. se unen y formamos el

cuadrado.

b) Construccin de un cuadrado conociendo la diagonal: Se traza la diagonal A-C, se halla la mediatriz y su interseccin O con la diagonal, con centro en O y

radio igual a O-A se traza una circunferencia que corta la mediatriz en B y C, se

unen los vrtices A-B y C-D y se obtiene el cuadrado.

8-9 Construccin de un rectngulo. El rectngulo tiene dos lados mayores y dos

menores por lo tanto para su construccin necesitamos dos datos.

a) Construccin de un rectngulo conociendo sus lados (mayor y menor). Se traza el lado mayor A-B, por sus extremos se levantan perpendiculares, desde

estos vrtices se hace centro con el comps y se trazan arcos con radio igual al

lado menor (A-C o B-D) que cortan las perpendiculares en los puntos C y D, se

unen los vrtices y obtenemos el rectngulo.

b) Conociendo uno de los lados y la diagonal. Se traza la diagonal, se halla la mediatriz y su centro, desde este punto con radio O-A se traza una

circunferencia, desde A y C con radio igual al lado se trazan arcos que cortan a

la circunferencia en B y D, se unen los vrtices y obtenemos el rectngulo.

c) Conociendo la diagonal y la suma de los lados. Se traza el segmento A-S igual a la suma de los lados, desde el extremo S se traza un ngulo de 45, desde A se

traza un arco con un radio igual a la diagonal que intercepta a la lnea de 45 en

C. se levantan perpendiculares en A y C, esta {ultima corta a A-S en B y

determina el lado menor-C. Desde A con radio B-C se traza un arco que corta la

perpendicular en D, as tenemos los cuatro vrtices que unidos nos dan el

rectngulo A-B-C-D


8-10 Construccin de un rombo El rombo es un cuadriltero que tiene sus lados

iguales y paralelos de dos en dos y sus ngulos opuestos iguales, por lo tanto solo

necesitamos dos datos para su construccin.

a) Construccin de un rombo conociendo las diagonales Se traza la diagonal A-C , se halla la mediatriz y su centro, desde donde se traza una circunferencia con

radio igual a la mitad de la otra diagonal que corta a la mediatriz en B-D, se

unen los vrtices A-B-C-y D y se obtiene el rombo.

b) Construccin de un rombo conociendo un lado y el ngulo comprendido entre dos lados adyacentes. Se traza el lado (A-B) y el ngulo (), se centra en el vrtice A, con el valor del lado se traza un arco que corte al ngulo en D, con

centro en los vrtices B y D y con el mismo radio se trazan arcos en cuya


intercepcin est el vrtice C, que unidos forman el rombo.

8-11 Construccin de un romboide. El romboide es un cuadriltero que tiene sus lados

paralelos e iguales de dos en dos y sus ngulos opuestos iguales, de ah que se necesitan

tres datos para su construccin.

a) Construccin de un romboide cuyos lados menor y mayor y un ngulo comprendido son conocidos. Se traza el lado mayor A-B y el ngulo (), desde A como centro con radio igual al lado menor se traza un arco que corte a la prolongacin del ngulo en D , desde este punto con radio igual al lado mayor A-B y desde B con radio igual al lado menor se trazan arcos que al cortarse determinan el vrtice C , se unen y tenemos el romboide.

b) Construccin de un romboide conociendo los lados mayor y menor y su altura. Se traza el lado mayor A-B, por el extremo B se levanta una

perpendicular igual a la altura H, se traza una paralela a la lnea A-B que pase

por el punto H, desde los vrtices A y B se trazan arcos con valor igual al lado

menor que cortan a la paralela en los vrtices C y D, se unen y formamos el

romboide.

c) Construccin de un romboide conociendo los lados y la diagonal. Se traza el lado mayor A-B, con centro en A y radio igual a la diagonal B-D y desde B con

radio igual al lado menor C-D se trazan arcos en cuya intercepcin est el punto

C , desde C y A se repite la operacin y se obtiene el vrtice D, se unen y

tenemos el romboide.


8-12 Construccin de un trapecio. El trapecio es un cuadriltero con sus bases

paralelas, lados y ngulos distintos por lo cual para su construccin se necesitan cuatro

datos. Solo en los trapecios issceles y rectngulos son necesarios tres datos.

a) Construccin de un trapecio recto conociendo las bases y la altura. Se traza la base mayor A-B, por el vrtice A se levanta una perpendicular con valor igual

a la altura H, que establece el vrtice D, se traza un paralela a la base que pase

por D, con centro en D y radio igual al lado menor D-C se describe un arco que

corta a la paralela y determina el vrtice D faltante.

b) Construccin de un trapecio recto conociendo las diagonales y una base. Se traza la base A-B, por el vrtice A se levanta una perpendicular, con centro en B


c) y radio igual a la diagonal B-C se traza un arco que intercepta a la perpendicular en C, desde este punto se traza una paralela a la base, se hace centro en A con un

radio igual a la otra diagonal y se traza un arco que corta a la paralela en D , se

une los vrtices y tenemos el trapecio.

d) Construccin de un trapecio issceles conociendo las bases y la altura. Se traza la base A-B se halla la mediatriz y el punto medio M, desde este punto se

levanta una perpendicular igual a la altura H y determina el punto P por donde se

hace pasar una paralela a la base, con centro en P y radio igual a la mitad de la

base C-D se traza un arco que corte a la paralela en los vrtices C y D, se unen

todos y obtenemos el trapecio.

e) Construccin de un trapecio issceles conociendo una base, un ngulo y la altura. Se traza la base A-B , se hallan la mediatriz y el punto medio desde

donde se levanta una perpendicular con un valor igual a la altura H se traza una

paralela a la base que pase por el punto H se trasladan a sus vrtices A y B el ngulo () y se prolongan hasta que corten a la paralela en los vrtices C y D. obteniendo los cuatro puntos para trazar el trapecio.

f) Construccin de un trapecio escaleno conocidas sus bases y las diagonales. Se traza la suma de las bases mayor y menor A-B-P, Se hacen centros en A y P

con radios iguales a las diagonales menor y mayor respectivamente se trazan

arcos que se encuentran en el punto C, se traza una paralela a la base que pase

por el punto C, desde B como centro se describe un arco con radio igual a la otra

diagonal que intercepta a la paralela en D., se unen los puntos y tenemos el

trapecio.


g) Construccin de un trapezoide conociendo sus cuatro lados distintos y una de las diagonales. Se traza uno de los lados A-B, con centro en A y radio igual a

la diagonal A-C, y con centro en B y radio igual al lado B-C, se trazan arcos que

se cruzan y determinan en vrtice C, desde A y C se trazan arcos con radios

iguales a los lados C-D y B-D donde se corten est el vrtice correspondiente, se

unen y se obtiene la figura pedida.

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