expresiones algebraicas racionales

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES: SUMAS Y RESTAS / EJERCICIOS RESUELTOShttp://matematicaylisto.webcindario.com/index.htmTEMARIO PRINCIPALFACTORIZACIN DE POLINOMIOSLOS CASOS DE FACTOREO(Lista de Casos - Conceptos Generales)

1)Factor Comn(o "Primer Caso")2)Factor Comn en Grupos(o "Segundo Caso")3)Trinomio Cuadrado Perfecto(o "Tercer Caso")4)Cuatrinomio Cubo Perfecto(o "Cuarto Caso")5)Diferencia de Cuadrados(o "Quinto Caso")6)Sumas o Restas de Potencias de Igual Grado(o "Sexto Caso")7)"Trinomio de Segundo Grado"(o "Sptimo Caso")8)"Factoreo con Gauss"

CASOS COMBINADOS

Factoreo combinado- Ejemplos resueltos y explicados de ejercicios combinados de factoreo- Conceptos generales- Reconocer el caso de factoreoEXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES1)Expresiones Algebraicas Racionales2)Simplificacin3)Multiplicacin4)Divisin5)Sumas y Restas6)Operaciones Combinadas7)Ecuaciones RacionalesOPERACIONES CON POLINOMIOS1)Operaciones con Polinomios2)Suma de Polinomios3)Resta de Polinomios4)Multiplicacin de Polinomios5)Divisin de Polinomios por la regla de Ruffini(Nuevo!)OTROS TEMASDurante el desarrollo de los temas principales de esta pgina, tambin se habla sobre otros temas que vienen al caso:INDICE DE LOS OTROS TEMASRESPUESTAS A LAS CONSULTASEn las respuestas a las consultas hay ejercicios resueltos y explicados de gran variedad de temas. Los enlaces a las respuestas se pueden encontrar, ordenados por tema, en:INDICE DE RESPUESTASDUDAS FRECUENTES EN MATEMTICA(Nuevo!)En elBLOG DE MATEMATICA Y LISTOse tratan las dudas ms frecuentes que los alumnos presentan en clase:-Cmo se despeja la x al cuadrado?-Cmo se despeja -x?(Nuevo!)

CONCEPTOS GENERALES:A qu se le llama "Expresiones Algebraicas Racionales"?A esas "fracciones que tienen polinomios en el numerador y denominador". En este tema nos ensean a trabajar con fracciones entre polinomios: simplificarlas, operar con ellas y resolver ecuaciones con esa forma. Por ejemplo:

Y los ejercicios tendrn esta forma: SimplificarSuma de expresiones algebraicas racionales Sumas y restas combinadas

Multiplicacin de expresiones algebraicas racionales Divisin de expresiones algebraicas racionales

Operaciones combinadas

Ecuaciones racionalesQu temas previos tengo que conocer para trabajar con Expresiones Algebraicas Racionales?En estos ejercicios se utilizan losCasos de Factoreode Polinomios, se opera con polinomios (suma, resta y multiplicacin), y se calcula el Mnimo Comn Mltiplo entre polinomios (m.c.m). Tambin se resuelven ecuaciones de grado 1 y ecuaciones cuadrticas.Lo relativo a las operaciones lo ir explicando a medida que se presente en los ejemplos. Lo mismo respecto al Mnimo Comn Mltiplo y ecuaciones. Pero los Casos de Factoreo tienen que saberse bien antes de comenzar con este tema. Los Casos que ms se suelen usar en este tema son:Factor Comn,Diferencia de Cuadrados,Trinomio Cuadrado Perfectoy Sexto Caso ("Ruffini").Tambin conviene recordar el mtodo para sumar o restar fracciones (de nmeros enteros) sin usar la calculadora. Lo mismo con la multiplicacin y divisin de fracciones, y simplificacin de fracciones.En resumen, tendremos que recordar estos temas:-Casos de Factoreo-Operaciones con Polinomios(suma, resta y multiplicacin)-Sumar o Restar "a mano"(sin calculadora) fracciones-Mnimo Comn Mltiploentre nmeros Naturales (m.c.m)-MultiplicacinyDivisin de fracciones. Simplificacin.- Ecuaciones de primer grado y de segundo grado (cuadrticas)Con excepcin de los Casos de Factoreo (tema cuyo desarrollo completo ya se ha hecho en este sitio), de todos los otros temas ir haciendo un recordatorio en el momento en que sea necesario.

EJEMPLO 1: (Suma de fracciones con igual denominador)

3

Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador comn es ese denominador, y se suman los numeradores; tal como se hace con la suma de fracciones numricas de igual denominador.Y si lo piden, aclaremos que la simplificacin vale para todo x -2.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 1EXPLICACIN:

1) El denominador:

Al igual que en la suma de fracciones numricas, si los dos denominadores son iguales, el denominador comn es ese denominador, y en el numerador se hace la suma de los numeradores. Por ejemplo:

Ejemplo con fracciones numricas de igual denominador

Ahora hacemos lo mismo con las fracciones polinmicas:

2) Sumar los numeradores:

Los parntesis los puse para que se vea cada numerador y resaltar el hecho de que los estoy sumando. Pero en esa suma no son necesarios los parntesis, y pueden no ponerse. En el siguiente paso los quito:

(Reglas para quitar los parntesis)

Ahora tengo que sumar entre s los trminos de igual grado, es decir: las x con las x, y los nmeros "sueltos" entre ellos. Porque recordemos que as se suman los polinomios. Y esto es una suma de dos polinomios: (x + 3) ms (2x + 3). Si prefieren pueden hacer la suma ponindolos en columnas, como cuando aprendieron el tema "operaciones con polinomios". Yo lo voy a hacer "juntando" los trminos de igual grado, como tambin habrn hecho alguna vez en las ecuaciones:

x + 2x = 3x (por qu?)

3 + 3 = 6

En el numerador entonces queda: 3x + 6

3) Si se puede, aplicar algn Caso de Factoreo en el numerador:

3x + 6 = 3.(x + 2) (Primer Caso de Factoreo: Factor Comn)

Luego, reemplazo el numerador por su equivalente factorizado:

4) Simplificar si se puede:

As, me encuentro con que qued el polinomio (x + 2) arriba y abajo. Lo puedo simplificar, como ya se vi en el tema:Simplificacinde Expresiones Algebraicas Racionales.

(Si les interesa, en la parte de conceptos se puede ver una comparacin de esta situacin con lo que pasa en las fracciones numricascuando se pueden simplificar: Ver aqu)

El resultado es entonces lo que no qued tachado:

3 (por qu?)

Y si lo piden, aclaremos para qu valores de x vale esa simplificacin:

x + 2 0x -2 (por qu?)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema estn en:SUMA Y RESTA

Por qu x + 2x es igual a 3x?

x + 2x es igual a 1x + 2x, ya que x es igual a 1x. Luego:

1x + 2x = 3x

Porque cuando sumamos dos trminos que tienen la misma letra (parte literal), hay que "sumar los nmeros que tienen delante", es decir: sumar los coeficientes, que en este caso son el 1 y el 2 (qu son los coeficientes?).

1 + 2 = 3

As es como se suman los polinomios, hay que sumar entre s los coeficientes de los trminos que tienen igual parte literal (qu es la parte literal?). Y si el polinomio tiene un solo tipo de letra (por ejemplo la "x"), podemos decir que hay que "sumar los trminos de igual grado (igual exponente): las x2con las x2, las x con las x, las x3con las x3, los nmeros solos (trmino independiente) con los nmeros solos, etc.Recordemos con algunos ejemplos como se haca la suma de polinomios:

P = -6x2+ 2x4+ 2x - 3 + 4x3Q = 3x4+ 7 - 2x3+ 4x2+ 3x

Y queremos sumar: P + Q =

Pueden que hayan visto dos formas de hacerlo: 1) Ponindolos uno sobre otro, como en la suma de nmeros de varias cifras, y ubicando en columnas los trminos del mismo grado, porque es entre ellos que van a sumarse. 2) Ponindolos en lnea con un signo "+" entre ellos, y luego agrupando los trminos de igual grado. Un ejemplo de la segunda forma de sumarlos se puede ver aqu:SUMA

1)2x4+ 4x3- 6x2+ 2x - 3+ 3x4- 2x3+ 4x2+ 3x + 7 -------------------------- 5x4+ 2x3- 2x2 + 5x + 4

En cada columnas se ponen los trminos de igual grado. Y la cuenta se hace entre los coeficientes:

Para la x4-------> 2 + 3 = 5Para la x3-------> 4 + (-2) = 4 - 2 = 2Para la x2-------> -6 + 4 = -2Para la x --------> 2 + 3 = 5Para los "nmeros solos" -------> -3 + 7 = 4

Volvamos a nuestro EJEMPLO 1. All estamos sumando:

P = x + 3Q = 2x + 3

1x + 32x + 3--------3x + 6

Y por qu se suman as los polinomios? Por qu se "juntan" los trminos de igual grado (o igual parte literal)? Por qu se suman los coeficientes pero la letra queda con el mismo exponente?

Supongamos que tenemos estos dos trminos en una suma de polinomios:

3x2+ 5x2

Las tres preguntas anteriores se resumiran en una: por qu eso d 8x2? Y voy a tratar de responder eso:

3x2significa 3.x2, es decir: " 3 por x2". Ya que el punto puede obviarse, pero cuando no hay nada entre un nmero y una letra, o entre dos letras, hay que asumir que hay un punto y por lo tanto es una multiplicacin.

Si 3x2es una multiplicacin, significa " tres veces x2", ya que se el concepto de multiplicacin: multiplicar por 3 es sumar 3 veces. Es decir que el trmino 3x2representa a la x2sumada 3 veces:

3x2= x2+ x2+ x2

Y con el mismo razonamiento, llego a la conclusin de que:

5x2= x2+ x2+ x2+ x2+ x2

Entonces, sumar a 3x2+ 5x2no es otra cosa que sumar lo siguiente:

x2+ x2+ x2+ x2+ x2+ x2+ x2+ x2=

Eso es sumar 8 veces x2. Lo cual, segn el concepto de multiplicacin, es multiplicar a 8 por x2:

8.x2

Que si no le ponemos el punto, es:

8x2

Se suman los coeficientes 3 y 5, para obtener 8, porque podemos pensar que los coeficientes nos dicen "las cantidades que tenemos de x2en cada trmino". La cantidad de x2que tenemos ser la suma de las cantidades en cada trmino con x2. Si tengo "3 veces x2" y "5 veces x2", puedo decir que tengo "8 veces x2". Y eso puede escribirse como una multiplicacin: la multiplicacin de 8.x2, que tambin puede escribirse as: 8x2, y es un trmino de un polinomio.

Y no se pueden sumar trminos de distinto grado por la misma razn. Si tengo:

3x2+ 5x7

Eso significa que tengo:

x2+ x2+ x2+ x7+ x7+ x7+ x7+ x7=

Eso no puede decirse que sea 8 veces la misma cosa. No es ni 8 veces x2, ni 8 veces x7, y menos 8 veces x con otro exponente. Entonces no sirve sumar los coeficientes, porque no voy a poder escribirlo como una multiplicacin de un coeficiente por la letra elevada a un exponente. No puedo escribirlo como un solo trmino de un polinomio. No puedo escribirlo ms que como: 3x2+ 5x7.

Cmo llegu deal resultado final: 3?

En el apartado deSimplificacin de Expresiones Algebraicas Racionalesya expliqu cmo simplificar este tipo de expresiones. Pero aqu puedo decir que, al cancelar los (x + 2), quedan nmeros "1" en su lugar. As:

1 1

Ms ejercicios resueltos, similares al EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2: (Resta de fracciones con igual denominador)

Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador comn es ese denominador, y se suman los numeradores. Si el segundo numerador tiene ms de un trmino, hay que ponerlo entre parntesis para restarlo, ya que es signo menos afectar a todos los trminos.EXPLICACIN DEL EJEMPLO 2EXPLICACIN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 2: (Resta de fracciones con igual denominador)

Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador comn es ese denominador, y se restan los numeradores. Si el segundo numerador tiene ms de un trmino, hay que ponerlo entre parntesis para restarlo, ya que es signo menos afectar a todos los trminos.

EXPLICACIN:

1) El denominador:

Al igual que en la resta de fracciones numricas, si los dos denominadores son iguales, el denominador comn es ese denominador, y en el numerador se hace la resta de los numeradores. Por ejemplo:

Ejemplo con fracciones numricas de igual denominador

Ahora hacemos lo mismo con las fracciones polinmicas:

2) Restar los numeradores:

Al segundo polinomio hay que ponerlo entre parntesis, porque tiene ms de un trmino. Cuando hay que restar algo que tiene ms de un trmino, hay que poner esa expresin entre parntesis, porque el signo menos de la resta "afecta a todos los trminos" (por qu? no entiendo).En el prximo paso quito los parntesis, recordando la regla para quitar parntesis: "si el parntesis est precedido de un signo menos, hay que cambiar los signos de todos los trminos que estaban dentro de l".

(Reglas para quitar los parntesis)

As, el trmino 2x cambi a -2x, y el trmino -4 cambi a +4. so es lo ms importante a recordar en la resta de polinomios. Por lo dems, es como una suma de polinomios.En este tema es ms prctico restar as, pero si saben restar polinomios ponindolos en columnas, como se aprende en el tema "operaciones con polinomios", podran hacer la resta en un lugar aparte y luego poner el resultado en el numerador (cmo se restaba de esa forma?).

Ahora tengo que "juntar" entre s los trminos de igual grado, es decir: las x con las x, y los nmeros "sueltos" entre ellos, como tambin habrn hecho alguna vez en las ecuaciones:

5x - 2x = 3x (suma de polinomios)

1 + 4 = 5

En el numerador entonces queda: 3x + 5, al que no se le puede aplicar ningn caso de factoreo, porque es un polinomio de grado 1 y no hay factor comn. El resultado final es entonces:



Por qu tengo que poner entre parntesis a 2x - 4, el polinomio que resto?

Como corresponde en una resta de fracciones de igual denominador, al numerador de la primera fraccin (5x + 1), le tengo que restar el numerador de la segunda fraccin: 2x - 4. Pero como 2x - 4 tiene ms de un trmino (dos trminos), lo tengo que poner entre parntesis. Eso es es consecuencia de lo que significa restar polinomios: se restan entre s los trminos de igual grado, como en la suma se sumaban los trminos de igual grado(suma de polinomios). Seguramente en el tema "operaciones con polinomios" habrnaprendido a restarlos de esta manera:

5x + 1- 2x - 4----------- 3x + 5

Las cuentas que hubo que hacer para llegar a ese resultados, son las siguientes restas entre coeficientes:

5 - 2 = 3

1 - (-4) = 1+4 = 5

O quizs, lo que es muy frecuente, en vez de restar coeficiente a coeficiente, hayan aprendido a "transformar la resta en suma y cambiar todos los signos del polinomio de abajo". Con lo cual hubieran hecho as:

5x + 1+-2x+4----------- 3x + 5

Las cuentas seran entonces:

5 + (-2) = 5 - 2 = 3

1 + (+4) = 1+4 = 5

(con ambos mtodos se llega al mismo resultado obviamente)

En ambos caso se ve como el nmero 4 termina siendo positivo. Pero en este tema de las expresiones racionales tratamos de restar los polinomios ah arriba del numerador ("en lnea"), sin ponerlos en columnas, porque es ms prctico. Si al segundo polinomio no le hubiera puesto el parntesis, en el numerador hubiera quedado lo siguiente:

5x + 1 - 2x-4 =

Y en el siguiente paso tendra que "juntar" los trminos de igual grado de la siguiente manera:

5x - 2x = 3x

1-4 = -3 Y as no d lo mismo

Si no se coloca un parntesis para abarcar los dos trminos del segundo polinomio (2x - 4), corresponde interpretar que el signo menos de la resta afecta solamente al primer trmino. Entonces no se estara restando a todo el polinomio (2x - 4), sino que solamente se estara restando al primer trmino 2x. Y se puede observar que d diferente a la resta que hice antes con el mtodo de encolumnar los polinomios. Por eso, cuando restamos "en lnea" dos polinomios y el segundo tiene ms de un trmino, hay que poner al polinomio segundo entre parntesis, para que se interprete que se est restando todo el polinomio, es decir, cada uno de sus trminos. Al quitar luego el parntesis, se cambiar los signos de todos los trminos, siguiendo la "regla para quitar parntesis" cuando est precedido de un signo menos:

- (2x - 4) = -2x + 4

- (-7x2+ 3x - 1) = 7x2- 3x + 1

- (x - 2) = -x + 2

etc.

Se puede observar que esto viene a ser lo mismo que se hace en el segundo procedimiento para restar en columnas que mostr ah arriba, cuando se transforma a la resta en suma y "se cambian todos los signos del segundo polinomio". Si no lo aprendieron antes en el tema "operaciones con polinomios", es mejor acostumbrarse desde ahora a restar "en lnea" los polinomios. Ejemplos:

Resta de polinomios "en lnea":

(3x2- 5x4+ 2x - 6) - (- 2x2- x3+ 3x4+ 5x) =

3x2- 5x4+ 2x - 6 + 2x2+ x3- 3x4- 5x = (quito parntesis/cambio los signos del 2do polinomio)

3x2+ 2x2- 5x4- 3x4+ 2x - 5x - 6 = (este paso no es obligatorio)

5x2- 8x4- 3x - 6 (hago la cuenta entre los coeficientes de los trminos del mismo grado)

(-x - 5 + 2x3- 4x2) - (3x2- 1 - 8x + x3) =

-x - 5 + 2x3- 4x2- 3x2+ 1 + 8x - x3=

-x + 8x - 5 + 1 + 2x3- x3- 4x2- 3x2=

7x - 4 + x3- 7x2


EJEMPLO 3: (Con denominadores distintos)

En este ejemplo el denominador comn es el producto de los dos denominadores. Luego se procede como en la suma de fracciones numricas: se divide al denominador comn por el denominador de la primera fraccin, y al resultado se lo multiplica por el numerador. Lo mismo con la segunda fraccin. Y luego se trabaja en el numerador para llegar a la mnima expresin.

No siempre el denominador comn es el producto de los dos denominadores. En realidad hay que buscar el mnimo comn mltiplo entre ellos. Pero, en ejemplos como ste, el m.c.m es el produco de los denominadores. En los siguientes ejemplos se ver cmo calcular el m.c.m. en todos los otros casos. Para una explicacin detallada de este ejemplo entrar en el siguiente enlace:

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 3


EJEMPLO 3: (Con denominadores distintos)

En este ejemplo el denominador comn es el producto de los dos denominadores. Luego se procede como en la suma de fracciones numricas: se divide al denominador comn por el denominador de la primera fraccin, y al resultado se lo multiplica por el numerador. Lo mismo con la segunda fraccin. Y luego se trabaja en el numerador para llegar a la mnima expresin.No siempre el denominador comn es el producto de los dos denominadores. En realidad hay que buscar el mnimo comn mltiplo entre ellos. Pero, en ejemplos como ste (en donde los denominadores no se pueden factorizar), el m.c.m es el produco de los denominadores. En los siguientes ejemplos se ver cmo calcular el m.c.m. en todos los otros casos.

EXPLICACIN:

1) El denominador comn:

Como en la suma de fracciones numricas, si los denominadores son diferentes, hay que buscar un denominador comn. En este ejemplo, el denominador comn es el producto (multiplicacin) de ambos denominadores.

Denominador comn = (x + 2).(x - 3)

sto no ser as siempre en todos los ejercicios. Pero en general, los primeros ejemplos que nos ensean son como ste. En los siguientes Ejemplos-desde el 4 en adelante- se ver cmo es la regla para calcular el denominador comn en cualquier caso. Pero por ahora sigamos con este ejemplo, y si quieren ahora una amplia explicacin sobre por qu en este ejemplo es as, pueden verlo en:CONCEPTOS-DUDAS-COMENTARIOS.

2) El numerador:

Una vez determinado el denominador comn, hay que seguir el mismo procedimiento que para la suma de fracciones numricas:Se divide a ste por los denominadores de cada fraccin, y se multiplica el resultado por el numerador de la fraccin correspondiente (ver ejemplo con fracciones numricas):

Primera fraccin:

Divido el denominador comn por el denominador de la primera fraccin:

(x + 2).(x - 3) dividido (x + 2), es igual a(x - 3)(cmo se hacen esas divisiones?)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fraccin:

x.(x - 3)

Me va quedando:

Segunda fraccin:

Divido el denominador comn por el denominador de la segunda fraccin:

(x + 2).(x - 3) dividido (x - 3), es igual a (x + 2)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fraccin:

2.(x + 2)

Me queda:

(Quizs puedan darse cuenta aqu de que, cuando divido (x + 2).(x - 3) por uno de los binomios, el resultado es el otro binomio. Y sino, consultar en el enlace:DIVISIONES)

3) Operar en el numerador para llegar a la mnima expresin:

Lo ms complicado ya pas. Ahora nos queda "trabajar" en el numerador: distributiva, juntar trminos de igual grado, etc. Lo hago aqu fuera de la fraccin, para que se distinga mejor lo que estoy haciendo en este paso:

x.(x - 3) + 2.(x + 2) = x2- 3x + 2x + 4 = x2- x + 4 (suma de trminos)

Los siguientes pasos son, entonces:

Si se pudiese, habra que factorizar al polinomio x2- x + 4, porque quizs uno de sus factores podra simplificarse con algn factor del denominador, como sucedi en elEJEMPLO 1. Pero ya comprob que x2- x + 4 no puede factorizarse por ningn Caso de Factoreo (hay que probar con el Tercero: Trinomio Cuadrado Perfecto, y el Sptimo: Trinomio de Segundo Grado ("cuadrtica") o Gauss)



Sobre el denominador comn en este ejemplo y otros similares:

Como en la suma de fracciones numricas, si los denominadores comunes son distintos entre s, hay que buscar un denominador comn. Ese denominador comn debe ser el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) entre los denominadores. No expliqu nada todava acerca de cmo hallar el m.c.m. entre polinomios, ni siquiera entre nmeros, porque en este ejemplo en particular, como en muchos otros que nos dan al empezar el tema, el denominador comn es simplemente el producto (multiplicacin) de los dos denominadores:

denominador comn = (x + 2).(x - 3) (y por qu?)

Porque en este ejemplo, el m.c.m. es (x + 2).(x - 3).

Por supuesto, no siempre el m.c.m. entre dos polinomios es el producto de ambos. Pero en este ejemplo s lo es, y hay muchos ejemplos en donde pasa esto. Y no hace falta todava saber la regla del m.c.m. para darse cuenta de eso. Lo que hay que aclarar es cmo debe ser un ejercicio para que el denominador comn pueda calcularse de esa forma. Y la respuesta es sta:

"Cuando los denominadores de las fracciones son polinomios distintos y que no se pueden factorizar, el denominador comn es el producto de ambos denominadores."

Cualquier ejercicio que cumpla eso, puede resolverse como el EJEMPLO 3 de esta pgina. Por ejemplo, los siguientes ejercicios (para que vayan identificando su forma):

Denominador comn: (x +1).(x + 5)

Denominador comn: (x - 2).(x + 8)

Denominador comn: (x - 1).x

Qu tienen en comn estos tres ejemplos: los dos denominadores de las fracciones son distintos y no se pueden factorizar. Hay muchos ejercicios con esa forma. Y no hace falta conocer y aplicar la regla del m.c.m. para resolverlos, porque el denominador comn es el producto de ambos denominadores. Por eso, el primer ejemplo que estoy explicando de suma de fracciones de distinto denominador (el EJEMPLO 3, el desarrollado en esta pgina), es un ejemplo de este tipo. Porque quizs al profesor le parece que son los ejemplos ms fciles para empezar, y por eso siempre nos ensean stos primero. Pero lo difcil es explicar que no siempre el denominador se calcula as, cuando en general el alumno quiere desde el primer ejemplo tener una regla que le sirva para todo. En elEJEMPLO 4es donde explicar la regla para calcular el m.c.m., que se usar para todos los ejemplos siguientes.

Comparacin con la suma de fracciones numricas:

Podemos comparar este EJEMPLO 3 y los otros mostrados en el punto anterior, con una suma de fracciones numricas como la siguiente, situacin a la que estarn uds. ms acostumbrados:

Al ver esa suma de fracciones, seguramente deducen ustedes con facilidad que el denominador comn es 6, nmero que viene de multiplicar los dos denominadores: 2 por 3. Podran ustedes ni siquiera saber que 6 es el mnimo comn mltiplo entre 2 y 3, ni aplicar la regla para encontrarlo. Pero se dan cuenta de, entre 2 y 3, hay que poner 6. Porque 6 se puede dividir por 2, y se puede dividir por 3. Y es el nmero ms chico con el que se puede hacer eso (porque tambin serviran el 12, 18, 24, etc.). Y es necesario que se pueda dividir al 6 por 2 y por 3, porque es lo que hay que hacer en el siguiente paso: dividir.Pero saben tambin que no siempre el denominador comn se saca as, porque hay otros ejemplos donde si multiplican los denominadores, queda un nmero grande y que hay otro ms chico que es ms correcto poner como denominador. Un ejemplo donde pasa eso:

Aqu, el denominador comn no es la multiplicacin de los denominadores: 4.6 = 24. Sino que es 12, el nmero ms chico que se puede dividir por 4 y por 6. Se podra hacer la suma usando al 24 como denominador comn (se llega al mismo resultado); pero cuando nos ensean sumas de fracciones nos piden que usemos el menor nmero (porque sino despus quedan todos nmeros ms grandes que hay que simplificar). Nos dicen que hay que usar el 12, porque el 12 es el mnimo comn mltiplo (m.c.m) entre 4 y 6, el cual se puede deducir pensando un poco o usando la regla para hallarlo (que todava no expliqu).

El ejemplo de fracciones numricas con denominadores 2 y 3, se puede comparar con el EJEMPLO 3 de fracciones polinmicas explicado en esta pgina. Porque en el EJEMPLO 3 deca que los denominadores "no se podan factorizar", y por eso su m.c.m. era el producto de ambos denominadores. Con los nmeros 2 y 3 pasa lo mismo: podramos decir que son nmeros que "no se pueden factorizar", en realidad, que no tienen ningn factor diferente a ellos mismos en su descomposicin (nmeros primos):

2 | 2 3 | 31 | 1 1 | 1

En cambio el 4 y el 6 son nmeros que "se pueden factorizar", es decir: aparecen factores diferentes a ellos mismos en su descomposicin:

4 | 2 6 | 22 | 2 3 | 31 | 1 1 | 1

Cuando los dos denominadores de las fracciones son nmeros primos, se puede asegurar que su m.c.m. es el producto de ambos nmeros. Para sumar dos fracciones cuyos denominadores son primos los dos, puedo usar como denominador comn el producto de ambos nmeros, porque ste producto es con seguridad el m.c.m. entre los nmeros.Pero cuando al menos uno de los denominadores no es primo, ya no se puede asegurar eso. Esto tiene que ver con lo que es el m.c.m. y la regla para calcularlo, que aqu no veremos todava. Entonces, no sera conveniente usar como denominador comn el producto de ambos, porque no es el m.c.m., hay un denominador comn menor que podra usarse.Y eso es lo que pasa con la suma de dos fracciones con polinomios. Si los dos denominadores no se pueden factorizar por ningn Caso (tambin se les llama "primos"), podemos usar su producto como denominador comn, porque es con seguridad el m.c.m. Pero si al menos uno de los dos polinomios puede factorizarse, ya no es conveniente usar el producto de ambos, porque no se tiene la seguridad de que sea el m.c.m. Y sobretodo trabajando con polinomios, usar un denominador que no sea el m.c.m. complicara mucho ms los clculos. En elEJEMPLO 4ya pasa eso y all explicar la regla para hallar el m.c.m.

Divisiones entre el denominador comn y los denominadores de cada fraccin:

En este tema tendremos que dividir entre s polinomios que estn factorizados. En este EJEMPLO 3 tuvimos que hacer dos divisiones:

(x + 2).(x - 3) dividido (x + 2)

(x + 2).(x - 3) dividido (x - 3)

Para entender cmo se encuentra el resultado de estas divisiones, podemos pensar en el tema simplificacin. Porque dividir polinomios en este tema es como simplicarlos! Y a simplificar ya aprendimos en la parte deSIMPLIFICACIN DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS

S, porque:

(x + 2).(x - 3) dividido (x + 2) es lo mismo que:

ya que la lnea de fraccin significa divisin

Y como ya aprendimos que en una fraccin se simplifica cancelando los polinomios iguales ("uno de arriba con uno de abajo"), ya sabemos que podemos hacer esto:

(x - 3)

Como se cancelaron los polinomios iguales (x + 2), qued como resultado el que era diferente: (x - 3). Y as va a pasar siempre en ejemplos como ste: se cancelan los iguales y queda el diferente como resultado de la divisin. Por eso, no hace falta plantearlo como fraccin y cancelar (aunque pueden hacerlo al principio si quieren hasta estar ms seguros), porque se puede deducir ("cancelando mentalmente") cul o cules polinomios se cancelan y cul es el resultado. Por ejemplo, en la otra divisin:

(x + 2).(x - 3) dividido (x - 3)

Puedo pensar as: "Los (x - 3) se van a cancelar, entonces el resultado es (x + 2)".

Otros ejemplos:

(x + 5).(x - 1) dividido (x - 1) es igual a (x - 5)

(x + 5).(x - 1) dividido (x + 5) es igual a (x - 1)

Caso particular:

(x + 3).(x + 5) dividido (x + 3).(x + 5) es igual a 1. Porque si cancelo todo, queda un 1. O tambin puedo pensar que: "Si divido algo por s mismo, el resultado es 1. Por ejemplo:8:8 = 1; 14:14 = 1; a:a = 1; (x + 4):(x + 4) = 1, etc.

Me pueden preguntar: Y si tengo que dividir polinomios que no se cancelan, por ejemplo:(x + 5).(x - 1) dividido (x + 2)?. Bueno, pero eso en este tema no va a pasar nunca. Porque en este tema estamos dividiendo el denominador comn, que es el m.c.m. entre los denominadores, y siempre se me va a cancelar algo de esa manera.Y esto no es necesario saberlo, pero eso pasa porque el denominador comn tiene que tener los "factores" de ambos denominadores. Justamente, el m.c.m se forma con los factores de ambos denominadores, como ya se ver cuando explique cmo se calcula el m.c.m. Entonces siempre se van a poder cancelar los denominadores.

De todos modos, en todos los ejemplos resueltos (desde este EJEMPLO 3 en adelante) mostrar siempre cmo se hacen estas divisiones, para que no queden dudas.

Observacin: El denominador comn "incluye" a todos los denominadores. Divisibilidad entre polinomios factorizados.

Sin aprender todava la regla para hallar el Mnimo Comn Mltiplo, podemos ir observando lo siguiente, lo cual tiene que ver con lo que es el Mnimo Comn Mltiplo y cmo se obtiene: Los denominadores de cada fraccin estn "incluidos" en el denominador comn.

En nuestro EJEMPLO 3, por ser un ejemplo muy sencillo, se puede ver muy claramente:

Denominador comn: (x + 2).(x - 3)

Denominador 1: (x + 2)Denominador 2: (x - 3)

En los siguientes ejemplos ir mostrando cmo, siempre, en el m.c.m. estn "incluidos" todos los denominadores. Y es porque el m.c.m. es justamenteun producto de factores que incluya a todos los denominadores, pero que use la menor cantidad de factores posibles. Y eso es porque, el denominador comn, tiene que ser divisible por todos los denominadores.


EJEMPLO 4: (Con denominadores factorizables)

Primero hay que factorizar los denominadores que se puedan. El denominador comn va a ser el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) entre los denominadores de las fracciones, como en la suma o resta de fracciones numricas. El m.c.m. entre polinomios se calcula de la misma forma que el m.c.m entre nmeros: es el producto de todos los factores que aparecen en las descomposiciones, elevados a la mayor potencia con que aparecen.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 4EXPLICACIN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 4: (Con denominadores factorizables)

Primero hay que factorizar los denominadores que se puedan. El denominador comn va a ser el mnimo comn mltiplo (m.c.m.) entre los denominadores de las fracciones, como en la suma o resta de fracciones numricas. El m.c.m. entre polinomios se calcula de la misma forma que el m.c.m entre nmeros: es el producto de todos los factores que aparecen en las descomposiciones, elevados a la mayor potencia con que aparecen.

EXPLICACIN:

1) Factorizar todos los denominadores que se puedan:

Primera fraccin:

x2- 4 = (x + 2).(x - 2) con el Quinto Caso:Diferencia de Cuadrados

Segunda fraccin:

x + 2 no se puede factorizar (por qu?) Queda as.

Ahora reemplazo el denominador que factoric (x2- 4), por su equivalente factorizado (x + 2).(x - 2). Va quedando as:

2) El denominador comn: Mnimo Comn Mltiplo

Como en la suma de fracciones numricas, si los denominadores son diferentes, hay que buscar un denominador comn. Que debe ser el Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m) entre los denominadores de todas las fracciones.Una explicacin completa de cmo calcular el m.c.m. entre polinomios, con variedad de ejemplos se puede ver aqu:M.C.M. ENTRE POLINOMIOS.Aqu explicar lo que creo necesario para que se entienda en este ejemplo en particular:

Denominadores:

(x + 2).(x - 2)

(x + 2)

m.c.m:(x + 2).(x - 2)

Porque, el m.c.m. es: "Es el producto (multiplicacin) de todos los factores (qu era un "factor"?), con el mayor exponente con el que aparecen".Entonces, en el m.c.m. hay que poner, multiplicando, a todos los factores de los denominadores. Si un factor est en dos denominadores, hay que poner uno slo, no ponerlo dos veces (eso pas aqu con el (x + 2)). Y si alguno hubiera quedado a alguna potencia (cuadrado, cubo), habra que ponerlo a la potencia ms alta con la que aparece. Por ejemplo, si en algn denominador hubiera quedado (x + 2)2, en el m.c.m. habra que ponerlo elevado al cuadrado.(ms sobre esto enM.C.M.)

Entonces, bajo una sola lnea de fraccin pongo el denominador comn, el m.c.m. que encontr, y en el siguiente paso determinar lo que queda en el numerador:

(Ms sobre cmo determin el m.c.m. en este ejemplo)

3) El numerador:

Una vez determinado el denominador comn, hay que seguir el mismo procedimiento que para la suma de fracciones numricas: Se divide a ste por los denominadores de cada fraccin, y se multiplica el resultado por el numerador de la fraccin correspondiente (ver ejemplo con fracciones numricas):

Pongamos aqu los dos pasos anteriores, para que se vean los numeradores que tenamos y el denominador comn:

Primera fraccin:Divido el denominador comn por el denominador de la primera fraccin:

(x + 2).(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), es igual a1(cmo se hace esta divisin?)Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fraccin:

1.x, lo que es igual ax

Me va quedando:

Segunda fraccin:


(x + 2).(x - 2) dividido (x + 2), es igual a(x - 2) (cmo se hace esta divisin?)


3.(x - 2)

Me queda:


Lo ms complicado ya pas. Ahora nos queda "trabajar" en el numerador: distributiva, juntar trminos de igual grado, etc. Lo hago aqu fuera de la fraccin, para que se distinga ms lo que estoy haciendo en este paso:

x + 3.(x - 2) = x + 3x - 6 = 4x - 6 (suma de trminos)

Me qued:


Pero como en 4x - 6 se puede aplicar un Caso de Factoreo, lo tengo que hacer, porque quizs despus pueda simplificar algn factor del numerador con alguno del denominador:

4x - 6 = 2.(2x - 3) por el Primer Caso de Factoreo:Factor Comn

Reemplazo en la fraccin con el polinomio del numerador, ya factorizado:

Pero no se puede simplificar nada, porque no me quedaron polinomios iguales arriba y abajo. As que se es el resultado final del ejercicio.



El Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.) entre polinomios

Recordemos primero con un ejemplo cmo se calculaba el mnimo comn mltiplo entre nmeros enteros:

Hallar el mnimo comn mltiplo entre 120 y 36.

Primero haba que "factorizar" o descomponer a los nmeros. As:

120 |236 | 260|218 | 230|29 |315| 33 |35|51 | 11 | 1

120 =23.3.5 36 = 22.32

Luego, en el m.c.m. haba que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores" (los nmeros que aparecen en la columna derecha de la factorizacin), y haba que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un nmero o en el otro.Habra que aclarar que los factores tienen que ser todos nmeros primos (primos?)

m.c.m. =23.32.5

Porque:

- Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay que ponerlos todos.

- El 2: El exponente ms alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2 est tres veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 est menos veces (dos veces). En el m.c.m, entonces, al 2 hay que ponerlo elevado a la tercera: 23(Aclaremos, por la dudas, que el exponente que se le pone a un factor es igual a la cantidad de veces que aparece en la descomposicin de un nmero, en la columna de la derecha).

- El 3: El exponente ms alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3 est dos veces", en cambio en el 120 el 3 est una sola vez. Por eso en el m.c.m. al 3 hay que ponerlo elevado a la potencia segunda: 32.

- El 5: El 5 aparece solamente en la descomposicin del 120. Y aparece una sola vez, lo que significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 = 51. En el m.c.m hay que poner el 5. Y el 5 hay que ponerlo as, sin exponente (o con el 1), porque obviamente es el mayor exponente con que aparece (porque otro 5 no hay).

Ms sobre el MCM entre nmeros en:CALCULO DEL MNIMO COMN MLTIPLO (MCM)

Bueno, para hallar el mnimo comn mltiplo entre polinomios, hay que hacer exactamente lo mismo. Con la diferencia de que los que se "factorizan" ya no son nmeros, sino polinomios. Y los factores son tambin polinomios. Ya no se factoriza dividiendo, con las 2 columnas, sino que para factorizar los polinomios se usan los Casos de Factoreo. Los siguientes son ejemplos donde se busca el m.c.m. Por practicidad, para algunos de esos ejemplos uso polinomios que ya estn factorizados.

EJEMPLO 1:

Hallar el m.c.m entre los siguientes polinomios (ya factorizados):

(x + 2)3.(x + 5).(x - 1)

(x + 2)2.(x + 5)2

m.c.m.= (x + 2)3.(x + 5)2.(x - 1)

Porque:

- Los factores que se pueden ver en la factorizacin de los polinomios son los siguientes:(x + 2), (x - 1) y (x + 5). Eso es todo, otros diferentes no hay.

- El mayor exponente con que aparece el (x + 2) es 3, porque en el primer polinomio est (x + 2)3, y en el segundo polinomio est (x + 2)2. Obviamente, el exponente 3 es mayor que el exponente 2. Por eso, en el m.c.m. hay que poner (x + 2)3.

- El mayor exponente con que aparece (x + 5) es 2. Porque en el primer polinomio est(x + 5) sin exponente (quiere decir que exponente es 1), y en el segundo polinomio est(x + 5)2. Como 2 es mayor exponente que 1, en el m.c.m. hay que poner (x + 5)2.

- El factor (x - 1) aparece solamente en el primer polinomio, y est as sin elevar (significa que el exponente es 1). As que no queda otra que ponerlo as, ya que no hay otro exponente con cual compararlo: es el mayor. Por eso en el m.c.m. hay que poner (x - 1).

Recordemos que en el m.c.m. haba que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores", y haba que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen en los polinomios. Habra que aclarar que los factores tienen que ser todos polinomios primos, es decir, polinomios que ya no tienen factorizacin posible.

EJEMPLO 2:

Hallar el m.c.m entre los siguientes polinomios:

x2- 9 =x2+ 6x + 9 =x3+ 9x2+ 27x + 27 =

1) Hay que factorizar:

x2- 9 = (x + 3).(x - 3) (Diferencia de Cuadrados)x2+ 6x + 9 = (x + 3)2 (Trinomio Cuadrado Perfecto)x3+ 9x2+ 27x + 27 = (x + 3)3 (Cuatrinomio Cubo Perfecto)

2) Los polinomios, ya factorizados, son:

(x + 3).(x - 3)(x + 3)2(x + 3)3

3) Los factores: (x + 3) y (x - 3) son los nicos factores que hay en estos polinomios.

4) (x + 3): El mayor exponente con que aparece es 3, en el tercer polinomio. En el m.c.m hay que poner entonces(x + 3)3 (x - 3): Aparece solamente en el primer polinomio, y est sin elevar (o sea que el exponente es 1). No est con otro exponente mayor, as que en el m.c.m. hay que poner entonces(x - 3).

5) m.c.m.:(x + 3)3.(x - 3)

EJEMPLO 3:


x5- x3=x4+ 2x3+ x2=

1) Factorizo:

x5- x3= x3.(x2- 1) = x3.(x + 1).(x - 1) (Factor comn y Diferencia de cuadrados)x4+ 2x3+ x2= x2.(x2+ 2x + 1) = x2.(x + 1)2 (Factor comn y Trinomio cuadrado perfecto)

2) Los polinomios, ya totalmente factorizados, son:

x3.(x + 1).(x - 1)x2.(x + 1)2

3) Los factores que aparecen son: x, (x + 1) y (x - 1)

4) x: El mayor exponente con que aparece es 3, en el primer polinomio. En el m.c.m. hay que poner entoncesx3. (x + 1): El mayor exponente con que aparece es 2, en el segundo polinomio. En el m.c.m hay que poner entonces(x + 1)2. (x - 1): Aparece solamente en el primer polinomio y est sin elevar (o sea que el exponente es 1). No aparece con otro exponente mayor, as que en el m.c.m. hay que poner entonces(x - 1).

5) m.c.m.:x3.(x + 1)2.(x - 1)

EJEMPLO 4:


2x2- 8x + 84x + 83x + 6

1) Factorizo:

2x2- 8x + 8 = 2.(x2- 4x + 4) = 2.(x - 2)2 (Factor comn y Trinomio cuadrado perfecto)4x + 8 = 4.(x + 2) (Factor comn)3x + 6 = 3.(x + 2) (Factor comn)

2) Los polinomios, ya totalmente factorizados son:

2.(x - 2)24.(x + 2)3.(x + 2)

3) Los factores que aparecen son: (x - 2), (x + 2) y los nmeros 4, 2, y 3. Pero cuando hay nmeros como factores, hay que buscar el m.c.m. entre los nmeros (porque algunos de esos nmeros no estn "factorizados en sus factores primos", como el 4 en este caso):

2 | 2 4 |2 3 |31 | 1 2 |2 1 | 1 1 | 1

2 = 2 4 = 22 3 = 3

m.c.m.: 22.3 = 12

4) (x - 2): El mayor exponente con el que aparece es 2, en el primer polinomio. Entonces en el m.c.m. hay que poner(x - 2)2. (x + 2): Aparece sin elevar (o sea que el exponente es 1) en el segundo y en el tercer polinomio. No aparece con otro exponente mayor, as que en el m.c.m. hay que poner entonces(x + 2). Y entre los nmeros, hay que poner el m.c.m. que ya calcul en el paso anterior:12.

5) m.c.m.:12.(x - 2)2.(x + 2)

EJEMPLO 5:

Hallar el m.c.m. entre los siguientes polinomios:

a3b + a2ba3+ 2a2+ a

1) Factorizo:

a3b + a2b = a2b.(a + 1)a3+ 2a2+ a = a.(a2+ 2a + 1) = a.(a + 1)2

2) Los polinomios ya factorizados quedaron as:

a2b.(a + 1)a.(a + 1)2

3) Los factores que aparecieron son: a, b, y (a + 1)

4) a: El mayor exponente con que aparece es 2, en el primer polinomio. Entonces en el m.c.m. hay que ponera2. b: Aparece solamente en el primer polinomio, sin exponente (est elevado a la 1). El mayor exponente es entonces 1. En el m.c.m. hay que ponerb. (a + 1): El mayor exponente con que aparece es 2, en el segundo polinomio. Entonces en el m.c.m. hay que poner(a + 1)2.

5) m.c.m.:a2b.(a + 1)2

Polinomios que no se pueden factorizar

En este tema conviene tener presente que en los polinomios de grado 1, si no se puede aplicar el Caso Factor Comn, no se pueden factorizar por ningn otro Caso. Si no practicaron mucho factoreo quizs no se dieron cuenta de eso. Hablo de polinomios como los siguientes:

(x + 1)(x - 5)(x + 3)(x - 1/2)(1 - x)

etc.

Porque estos polinomios aparecen muchas veces como denominadores, y es bueno darse cuenta enseguida de que no hay que pensar en factorizar esos denominadores, porque no se puede. En cambio, aunque sean de grado 1, s se pueden factorizar los siguientes polinomios, porque en ellos hay factor comn:

2x - 46x - 23x + 312 - 4x

etc.

Con menos frecuencia, pero tambin pueden encontrarse en este tema polinomios que son sumas de potencias pares, que tampoco pueden factorizarse. Por ejemplo:

x2+ 4x2+ 1x4+ 16x2+ 9

Explicacin de las divisiones que se hicieron en este ejemplo:

Como ya expliqu con ms detalle en otro apartado (ver aqu), hacer estas divisiones es lo mismo que simplificar una fraccin, ya que una fraccin representa a la divisin entre su numerador y su denominador.

Resolver (x + 2).(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), sera lo mismo que simplificar la fraccin:

1 1(SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES) 1 1

Resolver (x + 2).(x - 2) dividido (x + 2), es como simplificar la fraccin:

Puede observarse que lo que sucede es que se cancelan los polinomios que son iguales. Teniendo en cuenta esto, se pueden resolver mentalmente estas divisiones, pensando en que algunos se cancelan y otros quedan. As:

"Si divido a (x + 2).(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), se me va a cancelar todo. El resultado es 1."

"Si divido a (x + 2).(x - 2) dividido (x + 2), se me va a cancelar (x + 2), y me queda como resultado (x - 2)"


Como dije en el EJEMPLO 3, voy a mostrar cmo siempre denominadores de cada fraccin estn "incluidos" en el denominador comn. Eso es lo mismo que decir que en el m.c.m. estn incluidos los polinomios entre los cuales estoy buscando el m.c.m.

En este EJEMPLO 4:

Para que se vea dnde el denominador 1 est incluido en el denominador comn, lo marcar en rojo:

Denominador 1:(x + 2).(x - 2)

Denominador comn:(x + 2).(x - 2)

Para que se vea dnde el denominador 2 est incluido en el denominador comn, lo marcar en azul:

Denominador 2:(x + 2)

Denominador comn:(x + 2).(x - 2)

En los siguientes ejemplos seguir mostrando que en el m.c.m. estn "incluidos" todos los denominadores. Y es porque el m.c.m. es justamente un producto de factores que incluya a todos los denominadores, pero que use la menor cantidad de factores posibles. Y eso es porque el denominador comn tiene que ser divisible por todos los denominadores. A veces, darse cuenta de eso puede servir para encontrar el denominador comn sin pensar en la regla para obtener el m.c.m.

Ms acerca cmo determin el m.c.m. en este EJEMPLO 4:

El denominador de la primera fraccin haba quedado factorizado asi:

(x + 2).(x - 2) (Los "factores" son (x + 2) y (x - 2) )

Y el denominador de la segunda ya no tena ms factorizacin posible:

(x + 2) (El nico "factor" es (x + 2) )

Y recordemos que si algo "no tiene exponente", se puede considerar que su exponente es "1". Por ejemplo: (x + 2) es igual a (x + 2)1. As que en este ejercicio que estamos haciendo, el exponente de los factores es 1. Por lo cual, el "mayor exponente" del que habla la regla ser "1": Casi que esa parte de la regla no hace falta tenerla en cuenta para este ejemplo, porque aqu no tenemos ningn exponente a la vista. Hay que hacer otros ejemplos para ver eso.

Entonces, los factores que vemos en estos dos denominadores, los factores con los que vamos a armar el m.cm. entre ellos, son solamente dos:

(x + 2) y (x - 2) (nicos factores que forman los denominadores)

El factor (x + 2) est en el primer denominador, y tambin en el segundo, pero es el mismo factor. En cambio el factor (x - 2) est solamente en el primer denominador. En el m.c.m. tenemos que poner multiplicando a esos factores,y el mayor exponente con que aparecen todos es "1", porque no tienen exponente. As que hay que ponerlos as, sin exponente (que es como si estuvieran elevados a la "1").

m.c.m.: (x + 2).(x - 2)

Si no qued claro cmo se obtuvo el m.c.m., convendra ver el apartado donde se explica exclusivamente el temaM.C.M. ENTRE POLINOMIOS. All se vern otros ejemplos en donde se aprecia mejor el uso de la regla porque en un principio no son casos particulares cmo el de este EJEMPLO 4, y el ver varios ejemplos comparados ayuda a la compresin definitiva de cmo se aplica la regla en cualquier caso. Tambin se remite al m.c.m. entre nmeros naturales, que se calcula de igual manera, slo que con nmeros en vez de con polinomios, y que se aprende en general en la escuela primaria.


EJEMPLO 5:



EJEMPLO 5:

EXPLICACIN:

1) Factorizo los denominadores:

Primera fraccin:


Segunda fraccin:

x2+ 4x + 4 = (x + 2)2 con el Tercer Caso:Trinomio Cuadrado Perfecto

Ahora reemplazo los denominadores que factoric, por sus equivalentes factorizados. Va quedando as:



Denominadores:

(x + 2).(x - 2)

(x + 2)2

Los factores son:

(x + 2)(x - 2)

Con el mayor exponente con que aparecen:

(x + 2)2 En el denominador de la segunda fraccin

(x - 2)1= (x - 2) En el denominador de la primera fraccin

m.c.m:(x + 2)2.(x - 2)

(El m.c.m. es: "Es el producto (multiplicacin) de todos los factores, con el mayor exponente con el que aparecen")M.C.M.

Bajo una sola lnea de fraccin pongo el denominador comn, el m.c.m. que encontr, y en el siguiente paso (paso 3) determinar lo que queda en el numerador:

3) El numerador:



Primera fraccin:


(x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), es igual a(x + 2) (por qu?)


(x + 2).(x + 10)

Me va quedando:

Segunda fraccin:


(x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2)2, es igual a(x - 2) (por qu?)


(x - 2).(x + 4)

Me queda:



(x + 10).(x + 2) - (x + 4).(x - 2) =x2+ 2x + 10x + 20 - (x2- 2x + 4x - 8) =

x2+ 2x + 10x + 20 - x2+ 2x - 4x + 8 = 10x + 28

Me qued:


Pero como en 10x + 28 se puede aplicar un Caso de Factoreo, lo tengo que hacer, porque quizs despus pueda simplificar algn factor del numerador con alguno del denominador:

10x + 28 = 2.(5x - 14) por el Primer Caso de Factoreo:Factor Comn






Como ya expliqu con ms detalle en otro apartado (ver aqu), hacer estas divisiones es lo mismo que simplificar una fraccin, ya que una fraccin representa a la divisin entre su numerador y su denominador.

Resolver (x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), sera lo mismo que simplificar la fraccin:

(SIMPLIFICACIN - EJEMPLO 4)

Y resolver (x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2)2, sera como simplificar la fraccin:

(x - 2)

Puede observarse que lo que sucede es que se cancelan los polinomios que son iguales. Teniendo en cuenta esto, se pueden resolver mentalmente estas divisiones, pensando en que algunos de cancelan y otros quedan. As:

"Si divido a (x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), se me va a cancelar un (x + 2) y un(x - 2), me queda como resultado un (x + 2)"

"Si divido a (x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2)2, se me va a cancelar (x + 2)2, y me queda como resultado un (x - 2)"



En este EJEMPLO 5:

Denominador comn: (x + 2)2.(x - 2) = (x + 2).(x + 2).(x - 2)



Denominador comn: (x + 2)2.(x - 2) = (x + 2).(x + 2).(x - 2)


Denominador 2:(x + 2)2

Denominador comn:(x + 2)2.(x - 2)



EJEMPLO 6:


EJEMPLO 6:

EXPLICACIN:


Primera fraccin:

x2- 4x + 4 = (x - 2)2 con el Tercer Caso:Trinomio Cuadrado Perfectox -22.x.(-2) -4x

Segunda fraccin:

x - 2 no se puede factorizar por ningn Caso (los que no se pueden factorizar)

Ahora reemplazo el denominador que factoric, por su equivalente factorizado. Va quedando as:



Denominadores:

(x - 2)2

(x - 2)

Hay un solo factor:

(x - 2)


(x - 2)2 En el denominador de la primera fraccin

m.c.m:(x + 2)2



3) El numerador:



Primera fraccin:


(x - 2)2dividido (x - 2)2, es igual a1 (divisiones)


1.(12x - 4)

Me va quedando:

Segunda fraccin:


(x - 2)2dividido (x - 2), es igual a(x - 2)(divisiones)


(x - 2).2, que es igual a2.(x - 2)

Me queda:



1.(12x - 4) - 2.(x - 2) = 12x - 4 - 2x + 4 = 10x

Me qued:

Como 10x no se puede factorizar por ningn Caso, se es el resultado final.

Te qued alguna duda? Preguntme en elLIBRO DE CONSULTAS




Como ya expliqu con ms detalles en otro apartado (ver aqu), hacer estas divisiones es lo mismo que simplificar una fraccin, ya que una fraccin representa a la divisin entre su numerador y su denominador.

Resolver (x - 2)2dividido (x - 2)2, sera lo mismo que simplificar la fraccin:

(SIMPLIFICACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES)

Resolver (x - 2)2dividido (x - 2), sera lo mismo que simplificar la fraccin:

1 (por qu si simplifica as?)


"Si divido a (x - 2)2dividido (x - 2)2, se me va a cancelar todo, y me queda 1 como resultado.

"Si divido a (x - 2)2dividido (x - 2), se me va a cancelar un (x - 2), y me queda como resultado un (x - 2)"



En este EJEMPLO 6:


Denominador 1:(x - 2)2

Denominador comn:(x - 2)2


Denominador 2:(x - 2)

Denominador comn: (x - 2)2=(x - 2).(x - 2)


EJEMPLO 7EXPLICACIN DEL EJEMPLO 7

EJEMPLO 7:(Con tres trminos)

EXPLICACIN:


Primera fraccin:

x + 2 no se puede factorizar por ningn Caso (los que no se pueden factorizar)

Segunda fraccin:

x2+ 4x + 4 =(x + 2)2 con el Tercer Caso:Trinomio Cuadrado Perfectox 22.x.24x

Tercera fraccin:

x3 + 6x2 + 12x + 8 =(x + 2)3 con el 4to CasoCuatrinomio Cubo Perfectox 2 3.x2.2 3.x.22 6x2 4x




Denominadores:

(x + 2)

(x + 2)2

(x + 2)3

Hay un solo factor:

(x + 2)

Con el mayor exponente con que aparece:

(x + 2)3 En el denominador de la tercera fraccin

m.c.m:(x + 2)3



3) El numerador:



Primera fraccin:


(x + 2)3dividido (x + 2) , es igual a(x + 2)2 (divisiones)


1.(x + 2)2

Me va quedando:

Segunda fraccin:


(x + 2)3dividido (x + 2)2, es igual a(x + 2)(divisiones)


(x - 2).(x + 2)

Me va quedando:

Tercera fraccin:

Divido el denominador comn por el denominador de la tercera fraccin:

(x + 2)3dividido (x + 2)3, es igual a1. (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la tercera fraccin:

1.(x - 1), que es igual a (x - 1)

Me qued:



1.(x + 2)2- (x - 2).(x + 2) - (x - 1) = x2+ 4x + 4 - (x2+2x-2x- 4) - x + 1 =

x2+ 4x + 4 -x2+ 4 - x + 1 = 3x + 9

Me qued:


Pero como en 3x + 9 se puede aplicar un Caso de Factoreo, lo tengo que hacer, porque quizs despus pueda simplificar algn factor del numerador con alguno del denominador:

3x + 9 = 3.(x + 3) por el Primer Caso de Factoreo:Factor Comn







Resolver (x + 2)3dividido (x + 2), sera lo mismo que simplificar la fraccin:

(por qu si simplifica as?)

Resolver (x + 2)3dividido (x + 2)2, sera lo mismo que simplificar la fraccin:

Resolver (x + 2)3dividido (x + 2)3, sera lo mismo que simplificar la fraccin:


"Si divido a (x + 2)3dividido (x + 2), se me va a cancelar un (x + 2), y me queda como resultado un (x - 2)2"

"Si divido a (x + 2)3dividido (x + 2)2, se me van a cancelar dos (x + 2), y me queda un(x + 2) como resultado.

"Si divido a (x + 2)3dividido (x + 2)3, se me van a cancelar todos, entonces el resultado es 1.



En este EJEMPLO 7:


Denominador 1:(x + 2)

Denominador comn: (x + 2)3=(x + 2).(x + 2).(x + 2)


Denominador 2: (x + 2)2=(x + 2).(x + 2)

Denominador comn: (x + 2)3=(x + 2).(x + 2).(x + 2)

Para que se vea dnde el denominador 2 est incluido en el denominador comn, lo marcar en violeta:

Denominador 3:(x + 2)3

Denominador comn:(x + 2)3


EJEMPLO 8


EJEMPLO 8: (Uno de los factores es un nmero)

3

El "3" que aparece al factorizar los denominadores tambin es un factor, y por lo tanto hay que incluirlo en el denominador comn (m.c.m).

EXPLICACIN:


Primera fraccin:

3x + 9 =3.(x + 3) con el Primer Caso:Factor Comn

Segunda fraccin:

x2- 9 =(x + 3).(x - 3)con el Tercer Caso:Trinomio Cuadrado Perfectox3

Tercera fraccin:

3x - 9 =3.(x - 3) con el Primer Caso:Factor Comn




Denominadores:

3.(x + 3)

(x + 3).(x - 3)

3.(x - 3)

Los factores son:

3(x + 3)(x - 3)


(x + 3) y (x - 3) no tienen exponente (quiere decir que estn elevados a la potencia 1) en ningn denominador.

El 3: Cuando quedan nmeros como factores, en este caso el nmero 3, hay que buscar el m.c.m. entre los nmeros. Como en este ejemplo el nico factor numrico que qued es 3, el m.c.m. entre los nmeros es 3. (ms sobre esto)

m.c.m:3.(x + 3).(x - 3)



3) El numerador:



Primera fraccin:


3.(x + 3).(x - 3) dividido 3.(x + 3) , es igual a(x - 3) (divisiones)


1.(x - 3)

Me va quedando:

Segunda fraccin:


3.(x + 3).(x - 3) dividido (x + 3).(x + 3), es igual a3(divisiones)


1.3

Me va quedando:

Tercera fraccin:

Divido el denominador comn por el denominador de la tercera fraccin:

3.(x + 3).(x - 3) dividido 3.(x - 3), es igual a(x + 3) (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la tercera fraccin:

1.(x + 3)

Me qued:



1.(x - 3) - 1.3 - 1.(x + 3) = x - 3 - 3 - x - 3 = -9

Me qued:

Pero el 9 del numerador se puede simplificar con el 3 del denominador, como en las fracciones numricas.

-3

1





Resolver 3.(x + 3).(x - 3) dividido 3.(x + 3), sera lo mismo que simplificar la fraccin:


Resolver 3.(x + 3).(x - 3) dividido (x + 3).(x - 3), sera lo mismo que simplificar la fraccin:

Resolver 3.(x + 3).(x - 3) dividido 3.(x - 3), sera lo mismo que simplificar la fraccin:


"Si divido a 3.(x + 3).(x - 3) dividido 3.(x + 3), se me va a cancelar el 3 y el (x + 3), y me queda como resultado el (x - 3)".

"Si divido a 3.(x + 3).(x - 3) dividido (x + 3).(x - 3), se me van a cancelar el (x + 3) y el(x - 3), y me queda el 3 como resultado".

"Si divido a 3.(x + 3).(x - 3) dividido 3.(x - 3), se me va a cancelar el 3 y el (x - 3), entonces el resultado es (x + 3)".

Cuando en los denominadores quedan nmeros como factores:

En este EJEMPLO 8, luego de factorizar los denominadores, vemos que en dos de ellos qued un nmero multiplicando:

Numerador de la primera fraccin: 3.(x + 3)

Numerador de la tercera fraccin: 3.(x - 3)

Los nmeros tambin son "factores" que deben formar parte de denominador comn. En el denominador comn hay que poner el m.c.m. entre esos nmeros, como cuando se suman fracciones numricas. En este caso particular, los dos nmeros son iguales, as que m.c.m. ser ese mismo nmero: 3. Es como cuando sumamos dos fracciones con denominador 3:

Esa situacin se ver en el EJEMPLO 9.



En este EJEMPLO 8:


Denominador 1:3.(x + 3)

Denominador comn:3.(x + 3).(x - 3)



Denominador comn: 3.(x + 3).(x - 3)

Para que se vea dnde el denominador 2 est incluido en el denominador comn, lo marcar en violeta:

Denominador 3:3.(x - 3)

Denominador comn:3.(x + 3).(x - 3)


EJEMPLO 9


EJEMPLO 9: (Hay varios nmeros como factores)

Luego de factorizar los denominadores, aparecen el 4 y el 6 como factores. En el denominador comn hay que poner al mnimo comn mltiplo entre esos nmeros (12).

EXPLICACIN:


Primera fraccin:

4x2- 16 = 4.(x2- 4)=4.(x + 2).(x - 2) conFactor ComnyDifer. de Cuadrados

Segunda fraccin:

6x + 12 =6.(x + 2)con el Primer Caso:Factor Comn




Denominadores:

4.(x + 2).(x - 2)

6.(x + 2)

Los factores son:

(x + 2)(x - 2)4 =226 = 2.3m.c.m. entre 4 y 6 =22.3= 12 (cmo lo calculo?)


(x + 2) y (x - 2) no tienen exponente (quiere decir que estn elevados a la potencia 1) en ningn denominador.

Entre los nmeros 4 y 6, el m.c.m. es 12.

m.c.m:12.(x + 2).(x - 2)



3) El numerador:



Primera fraccin:


12.(x + 2).(x - 2) dividido 4.(x + 2).(x - 2) , es igual a3 (divisiones)


(x + 1).3

Me va quedando:

Segunda fraccin:


12.(x + 2).(x - 2) dividido 6.(x + 2), es igual a2.(x - 2)(divisiones)


1.2.(x - 2)que es igual a 2.(x - 2)

Me queda:



(x + 1).3 + 2.(x - 2) = 3x + 3 + 2x - 4 = 5x - 1

Me qued:

Como 5x - 1 no se puede factorizar por ningn Caso, se es el resultado final.





Resolver 12.(x + 2).(x - 2) dividido 4.(x + 2).(x - 2), sera lo mismo que simplificar la fraccin:


Y resolver 12.(x + 2).(x - 2) dividido 6.(x + 2), sera lo mismo que simplificar la fraccin:

Puede observarse que lo que sucede es que se cancelan los polinomios que son iguales, y los nmeros se simplifican como en una fraccin numrica. Teniendo en cuenta esto, se pueden resolver mentalmente estas divisiones, pensando en que algunos de cancelan y otros quedan. As:

"Si divido a 12.(x + 2).(x - 2) dividido 4.(x + 2).(x - 2), se me va a cancelar el (x + 2) y el (x - 2), y el 12 se simplifica con el 4, quedando como resultado 3."

"Si divido a 12.(x + 2).(x - 2) dividido 6.(x + 2), se me van a cancelar el (x + 2) y me va a quedar el (x - 2). Y el 12 se simplifica con el 6, quedando 2. As que el resultado de la divisin ser: 2.(x - 2)"

El m.c.m. entre 4 y 6

En este EJEMPLO 9, luego de factorizar los denominadores, vemos que en dos de ellos qued un nmero multiplicando:

Numerador de la primera fraccin: 4.(x + 2).(x - 2)

Numerador de la tercera fraccin: 6.(x + 2)

Los nmeros tambin son "factores" que deben formar parte de denominador comn. En el denominador comn hay que poner el m.c.m. entre esos nmeros, como cuando se suman fracciones numricas. El m.c.m. se puede buscar con el conocido procedimiento de factorizar los nmeros, o tambin de otra manera prctica (encontrando el menor mltiplo que tengan en comn). He aqu las dos formas de encontrar el m.c.m.:

1) Con factorizacin de los nmeros y la regla del m.c.m:

4 | 2 6 | 22 | 2 3 | 31 | 1 1 | 1

4 = 22 6 = 2.3

m.c.m. = 22.3 (Clculo del M.C.M. entre nmeros)

("El producto de todos los factores, con el mayor exponente con el que aparecen")

2) Encontrando el menor mltiplo que tengan en comn:

Mltiplos de 4: 4, 8,12, 16, 20, 24...Mltiplos de 6: 6,12, 18, 24...

El menor mltiplo que ambos tienen en comn es:12. Recordemos que mltiplos de un nmero son todos los aquellos nmeros que se obtienen multiplicando al nmero por otro nmero natural. Es decir, para obtener los mltiplos de un nmeros, slo hay que multiplicarlo por 2, por 3, por 4, por 5, etc. etc. Un nmero tiene infinitos mltiplos.



En este EJEMPLO 9:


Denominador 1:4.(x + 2).(x - 2)

Denominador comn: 12.(x + 2).(x - 2) = 3.4.(x + 2).(x - 2)


Denominador 2:6.(x + 2)

Denominador comn: 12.(x + 2).(x - 2) = 2.6.(x + 2).(x - 2)


EJEMPLO 10


EJEMPLO 10: (Uno de los factores es la x)

La "x2" que aparece al factorizar el primer denominador, tambin es un factor, y por lo tanto hay que incluirla en el denominador comn.

EXPLICACIN:


Primera fraccin:

x3- 5x2= x2.(x - 5) con el Primer Caso:Factor Comn

Segunda fraccin:





Denominadores:

x2.(x - 5)(x + 5).(x - 5)

Los factores son:

x (que est elevada a la 2)(x - 5)(x + 5)


(x + 5) y (x - 5) no tienen exponente (quiere decir que estn elevados a la potencia 1) en ningn denominador.As que su mayor exponente es 1. Y la x est elevada a la 2 en el primer denominador, y se es su mayor exponente porque no el factor x no est en otro lado.

m.c.m:x2.(x + 5).(x - 5)



3) El numerador:



Primera fraccin:


x2.(x + 5).(x - 5) dividido x2.(x - 5), es igual a(x + 5) (divisiones)


1.(x + 5)

Me va quedando:

Segunda fraccin:


x2.(x + 5).(x - 5) dividido (x + 5).(x - 5), es igual ax2(divisiones)


4.x2

Me queda:



1.(x + 5) + 4.x2= x + 5 + 4x2

Me qued:

Y como x + 5 + 4x2no puede factorizarse por ningn Caso de Factoreo (Se puede probar con Trinomio Cuadrado Perfecto, con Sptimo Caso o con Gauss, pero no se puede con ninguno), se es el resultado final del ejercicio.





Resolver x2.(x + 5).(x - 5) dividido x2.(x - 5), sera lo mismo que simplificar la fraccin:


Y resolver x2.(x + 5).(x - 5) dividido (x + 5).(x - 5), sera lo mismo que simplificar la fraccin:


"Si divido a x2.(x + 5).(x - 5) dividido x2.(x - 5), se me va a cancelar el (x - 5) y la x2, quedando como resultado el (x + 5)."

"Si divido a x2.(x + 5).(x - 5) dividido (x + 5).(x - 5), se me van a cancelar el (x + 5) y el (x - 5). Y me va a quedar la x2."



En este EJEMPLO 10:


Denominador 1:x2.(x - 5)

Denominador comn:x2.(x + 5).(x - 5)



Denominador comn: x2.(x + 5).(x - 5)


EJEMPLO 11


EJEMPLO 11: (La x como factor, a distintas potencias)

Luego de factorizar los denominadores, aparece la "x" como factor. Pero en el denominador de la primera fraccin est al cuadrado (x2), mientras que en el de la segunda est a la primera potencia (x1= x). En el denominador comn hay que poner la "x" con la mayor potencia con la que aparece, o sea, a la segunda potencia (x2), siguiendo la regla del m.c.m.

EXPLICACIN:


Primera fraccin:

x3- 3x2= x2.(x - 3) con el Primer Caso:Factor Comn

Segunda fraccin:

x2- 3x = x.(x - 3) con el Primer Caso:Factor Comn




Denominadores:

x2.(x - 3)x.(x - 3)

Los factores son:

x(x - 3)


(x - 3) no tienen exponente (quiere decir que est elevados a la potencia 1,as que se es su mayor exponente. Y la x est elevada a la 2 (x2) en el primer denominador, y a la 1 (x) en el segundo denominador. As que el mayor exponenente para el factor x es 2.

m.c.m:x2.(x - 3)



3) El numerador:



Primera fraccin:


x2.(x - 3) dividido x2.(x - 3), es igual a1 (divisiones)


1.(x + 1) que es igual a x + 1

Me va quedando:

Segunda fraccin:


x2.(x - 3) dividido x.(x - 3), es igual ax (divisiones)


2.x

Me queda:



x + 1 + 2x = 3x + 1

Me qued:

Y como 3x + 1 no puede factorizarse por ningn Caso de Factoreo, se es el resultado final del ejercicio.





Resolver x2.(x - 3) dividido x2.(x - 3), sera lo mismo que simplificar la fraccin:

1 1(por qu si simplifica as?) 1 1

Y resolver x2.(x - 3) dividido x.(x - 3), sera lo mismo que simplificar la fraccin:


"Si divido a x2.(x - 3) dividido x2.(x - 3), se me va a cancelar todo, entonces el resultado es 1."

"Si divido a x2.(x - 3) dividido x.(x - 3), se me van a cancelar el (x - 3) y una de las dos x del x2. Entonces me queda s

expresiones algebraicas racionales

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