Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Ias, i

Facultatea de Fizica

Extended Gravitational Models with

Applications to Cosmology and Astrophysics

(Modele Gravitat, ionale Extinse cu

Aplicat, ii ın Cosmologie s, i Astrofizica)

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

Coordonator s,tiint, ific,

Prof. univ. dr. Ciprian DARIESCU

Doctorand,

Adrian BODNARESCU

- Ias, i, 2016 -

Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Ias, i

Facultatea de Fizica

In atent, ia: ...............................................................................................

Va facem cunoscut ca ın ziua de 29 septembrie 2016, orele 12:00, ın

Sala L1, domnul Adrian BODNARESCU va sust,ine, ın s,edint, a publica, teza

de doctorat intitulata “Extended Gravitational Models with Applica-

tions to Cosmology and Astrophysics (Modele gravitat, ionale extinse

cu aplicat, ii ın Cosmologie s, i Astrofizica)” ın vederea obt,inerii titlului

s,tiint,ific de Doctor ın domeniul fundamental S, tiint,e Exacte, domeniul Fizica.

Comisia de doctorat are urmatoarea component, a:

Pres,edinte:

Prof. univ. dr. Diana-Mihaela MARDARE

Director al S, colii Doctorale de Fizica, Universitatea “Alexandru Ioan

Cuza”, Ias, i

Conducator s,tiint, ific:

Prof. univ. dr. Ciprian DARIESCU

Facultatea de Fizica, Universitatea “Alexandru Ioan Cuza”, Ias, i

Referent, i:

Prof. univ. dr. Dumitru VULCANOV

Facultatea de Fizica, Universitatea de Vest, Timis,oara

Prof. univ. dr. Irina RADINSCHI

Departamentul de Fizica, Universitatea Tehnica “Gheorghe Asachi”, Ias, i

Conf. univ. dr. Mircea-Claudiu CRAS, MAREANU

Facultatea de Matematica, Universitatea “Alexandru Ioan Cuza”, Ias, i

Va invitam pe aceasta cale sa participat,i la s,edint,a publica de sust,inere a

tezei de doctorat.

ii

MULT, UMIRI

As, dori sa-mi exprim aprecierea s, i gratitudinea pentru conducatorul meu

de doctorat, prof. univ. dr. Ciprian Dariescu, ımpreuna cu prof. univ. dr. Marina-

Aura Dariescu, pentru suportul s, i coordonarea oferite de-a lungul ıntregului

proces de pregatire s, i redactare a tezei de doctorat. Intalnirile saptamanale,

ın care am avut dicut,ii intense s, i productive referitoare la tema de cercetare,

s, i de asemenea sfaturile s, i recomandarile dumnealor au fost foarte utile pentru

succesul cercetarii mele.

Apoi, as, vrea sa mult,umesc s, i membrilor comisiei de ındumare a tezei mele,

domnului prof. univ. dr. Maricel Agop s, i doamnei lector dr. Iordana As,tefanoaiei.

Dumnealor au analizat cu atent,ie toate cele trei rapoarte de cercetare, pe care

le-am prezentat ın timpul celor trei ani de doctorat, evident,iind aspectele bune

s, i aratandu-mi cum sa ımbunatat,esc punctele slabe.

Ment,ionez ca cercetarile mele au fost finant,ate pe o perioada de 19 luni,

printr-un program de fonduri europene POSDRU, cu indicatorul POSDRU/159/

1.5/S/137750. In acest sens, sunt recunoscator ıntregii echipe de imple-

mentare a proiectului, ın special coordonatorilor, prof. univ. dr. Gheorghe An-

iculaesei s, i prof. univ. dr. Dumitru Luca.

iii

CUPRINS

Introducere 2

1 Introducere ın Relativitatea Generala s, i Extradimensiuni 3

1.1 Geometrie Diferent,iala s, i Relativitate Generala . . . . . . . . . 3

1.2 Introducere ın teoria extradimensiunilor . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Ecuat,iile Einstein-Gordon ın lumi de Sitter . . . . . . . 5

2 Universuri spat, ial hiperbolice cu surse de materie fundamen-

tale 7

2.1 Modele de Univers FRW de curbura negativa . . . . . . . . . . 8

3 Analiza evolut, iei Baby-Universurilor spat, ial hiperbolice cu

rupere spontana a simetriei Z2 10

3.1 Introducere ın ruperea spontana de simetrie s, i teoria inflat,iei . 10

3.2 Parametrizarea de tipul Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Universul hiperbolic cu un bulk Anti-de Sitter ın 5D defor-

mat, spectre s, i moduri scalare s, i ecuat, ia Wheeler-DeWitt 16

4.1 Universul deformat Anti-de Sitter 5D . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Analiza cuantica a modelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Introducere ın teoria Stelelor Quark si a interact, i- unilor la

energii ınalte 21

5.1 Principiile generale ale Stelelor Quark . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Teoria Renormarii ın interact,iunile la energii ınalte . . . . . . . 22

Concluzii generale 26

Bibliografie selectiva 28

1

Introducere

Vom ıncepe prin a specifica ca ın Natura exista patru fort,e fundamentale:

fort,ele nucleare tare s, i slaba, fort,a electromagnetica s, i gravitat,ia. Primele trei

fort,e pot fi unificate ın as,a numitul Model Standard al particulelor, ın timp

ce gravitat,ia este descrisa de Teoria Generala a Relativitat,ii. Activitat,ile de

cercetare actuale din domeniul fizicii teoretice sunt focalizate pe ıncercarea de

unificare a celor patru fort,e, ın cadrul Teoriei Marii Unificari.

Cosmologia [1] este domeniul de cercetare, care se ocupa cu originea s, i

evolut,ia Universului, formarea structurilor de materie, de la crearea micilor

particule fundamentale pana la dezvoltarea roiurilor de galaxii. Printre legile

fundamentale care guverneaza Universul, amintim principiul cosmologic, care

afirma ca Universul este, la scara astronomica, omogen s, i izotrop. Alta lege

este ecuat,ia Hubble, care stabiles,te o dependent, a liniara ıntre distant,a unei

galaxii s, i viteza ei de recesie, ce conduce la faimoasa expansiune accelerata a

Cosmosului.

Prezentand deja temele principale ale cercetarii mele doctorale, voi oferi

o descriere a structurii tezei, introducand pe scurt fiecare capitol. In primul

capitol am inclus o prezentare a Teoriei Relativitat,ii Generale s, i a Geome-

triei Diferent,iale, pentru a analiza fort,a gravitat,ionala. Apoi, am introdus

s, i aplicat teoria extradimensiunilor, apeland la o generalizare a modelului

Randall-Sundrum.

In capitolul al doilea, am discutat modelele matematice s, i fizice fundamen-

tale din Cosmologie. Motivat,i de articolele publicate referitoare la dovezile

unui posibil model de Univers cu parametru de curbura negativ, pe baza

hart,ilor CMB, am analizat Universul (k = −1)−FRW, cu diferite surse de

materie.

Capitolul al treilea are la baza subiectul ruperii spontane de simetrie s, i teo-

ria inflat,iei. Am analizat cazul unui camp scalar dependent de timp, de tipul

Higgs, descris de un Lagrangian cu rupere spontana a simetriei de paritate,

pentru o metrica spat,ial hiperbolica.

In ce prives,te capitolul al patrulea, am propus ideea unui spat,iu anti-de

Sitter “warped” ın 5D, cu membrane k = −1− FRW, ımpreuna cu particule de

test bosonice. Apoi, am dezvoltat un model de cuantificare, aplicand ecuat,ia

Wheeler-DeWitt.

2

Capitolul final, al cincilea, ıs, i propune sa abordeze un caz fizic, ın care atat

gravitat,ia cat s, i mecanica cuantica sa fie semnificative. S, i acesta este cazul as,a

numitelor Stele Quarq, ce sunt obiecte astrofizice ınca ipotetice. Am analizat

interact,iunea dintre quarcuri s, i gluoni, pe baza Cromodinamicii Cuantice.

Capitolul 1

Introducere ın Relativitatea Generala s, i Extradi-

mensiuni

1.1 Geometrie Diferent, iala s, i Relativitate Generala

In primul capitol al tezei mele de doctorat, intent,ionez sa abordez teoria

gravitat,iei, cu scopul de a o include ın tema generala a Cosmologiei s, i As-

trofizicii. Pentru aceasta, ne propunem sa oferim o introducere ın Teoria

Relativitat,ii Generale s, i de asemenea ın Geometria Diferent,iala, care consti-

tuie aparatul matematic necesar aplicarii relativitat,ii generale. Ne vom baza

pe introducerea furnizata ın [2, 3]. Derivata covarianta transforma un tensor

de tipul (r, s) ıntr-un tensor de tipul (r, s+ 1) s, i se defines,te ca:

∇u = ua;b ea ⊗ ωb; ∇vu = (ua;bvb) ea. (1.1)

Aplicand aceasta derivata direct,ionala pe un sistem de vectori ea s, i baza

duala ωa, se obt,in relat,iile

∇bea = Γcab ec; ∇bωa = −Γacb ωc, (1.2)

unde Γc.ab =< ωc,∇bea > se numesc coeficient,i de conexiune. Prima ecuat,ie

de structura sau prima ecuat,ie Cartan este

dωa = Γa[bc] ωb ∧ ωc = −Γab ∧ ωb, (1.3)

unde am introdus 1-formele de conexiune:

Γab = Γabc ωc (1.4)

3

Acum, vrem sa introducem s, i sa definim tensorul de curbura Riemann de tipul

(1, 3), care poate fi exprimat ın funct,ie de coeficient,ii de conexiune definit,i

anterior,

Rabcd = Γabd |c − Γabc |d + ΓebdΓaec − ΓebcΓ

aed. (1.5)

Utilizand operat,iile de contract,ie a indicilor asupra tensorului Riemann, se

pot deriva tensorul Ricci s, i scalarul Ricci,

Rbd = Rabad; R = Raa. (1.6)

In final, dorim sa specificam s, i a doua ecuat,ie de structura sau ecuat,ie Cartan,

introducand 2-formele de curbura:

Rab =1

2Rabcd ω

c ∧ ωd, (1.7)

care ımpreuna cu expresia (1.5) duce la

Rab = dΓab + Γac ∧ Γcb. (1.8)

In cea de-a doua parte a acestei sect,iuni, ne propunem sa detaliem fun-

damentele Teoriei Relativitat,ii Generale, pe baza lucrarii [2]. In cele ce

urmeaza, vom folosi, ca o convent,ie generala, o metrica de semnatura +2,

de forma (+1,+1,+1,−1), ultima coordonata fiind timpul. Pe scurt, Relativ-

itatea Generala poate fi sumarizata printr-o singura fraza: “materia ıi dicteaza

spat,iu-timpului cum sa se curbeze, iar spat,iu-timpul dicteaza materiei cum

sa se deplaseze”. Ecuat,ia de camp specifica este ecuat,ia Einstein

Gab + Λgab = 8πGTab, (1.9)

unde am folosit s, i o constanta cosmologica Λ. Sa notam ca Tab este tensorul

energie-impuls s, i Gab este tensorul Einstein, dat de

Gab = Rab −1

2Rgab. (1.10)

1.2 Introducere ın teoria extradimensiunilor

Ca o tehnica de analizare a fort,ei gravitat,ionale, vrem sa folosim as,a nu-

mita teorie a extradimensiunilor. Una din motivat,iile acestei teorii a fost

4

intent,ia de solut,ionare a problemei ierarhiei ın fizica teoretica, care se refera

la discrepant,a mare dintre intensitatea gravitat,iei s, i cea a fort,elor nucleare

sau electromagnetica.

Celebrul model, care exploreaza ideea extradimensiunilor, propus de Ran-

dall s, i Sundrum (RS) [4], a oferit o solut,ie viabila pentru problema ierarhiei.

Ideea revolut,ionara a modelului RS a fost postularea unei a cincea extradi-

mensiuni deformate (warped). Metrica acestui model are forma

ds2 = e−2h(w)ηij dxidxj + dw2 , (1.11)

unde ηij = diag (1, 1, 1,−1), w reprezinta a-5-a dimensiune s, i h(w) = Cw este

funct,ia warp, cu C2 = −Λ/12M3 descriind un spat,iu anti-de Sitter ın 5D.

De asemenea, propune existent,a a doua membrane, separate de marimea L a

extradimensiunii s, i ınconjurand bulk-ul 5D.

1.2.1 Ecuat, iile Einstein-Gordon ın lumi de Sitter

Scopul acestei subsect,iuni este sa pornim de la modelul RS s, i sa consideram

mai apoi modele mai complicate s, i deci mai realiste. In acest sens, am pro-

pus existent,a unor campuri scalare ın bulk s, i pe langa funct,ia warp, mai

consideram o funct,i de scala, specifica unui Univers ın expansiune accelerata.

Se considera urmatoarea metrica FRW warped, 5-dimensionala:

ds2 = e2F (τ,w) ηijdxidxj + dw2, (1.12)

unde τ este timpul conformal, astfel ıncat spat,iu-timpul 5D este (x, y, z, τ, w).

Aceasta este o generalizare a metricii RS din (1.11), deoarece funct,ia warp

nu mai depinde liniar de w. Ca sursa de materie, utilizam un camp scalar

φ(τ, w), cu tensorul energie-impuls

Tab = φ|aφ|b −1

2ηab

(ηcd φ|cφ|d + 2V (φ)

), (1.13)

Ecuat,iile Einstein ın 5D iau forma

5

−e−2F (2F,44 +F,24 ) + 3 (F,55 +2F,25 ) =κ52

(e−2Fφ,24−φ,25−2V

),

3e−2FF,24−3 (F,55 +2F,25 ) =κ52

(e−2Fφ,24 +φ,25 +2V

),

−3e−2F (F,44 +F,24 ) + 6F,25 =κ52

(e−2Fφ,24 +φ,25−2V

),

−3F,45 = κ5 φ,4 φ,5 . (1.14)

Pentru a progresa, presupunem ca funct,ia warp din (1.12) are forma F (τ, w) =

f(τ) + h(w) s, i campul este φ ≡ φ(w). Se obt,ine funct,ia de scala f(t) = H t,

unde H este constanta Hubble. Plecand de la rezultatele din articolul [5],

postulam o funct,ie warp de forma

h(w) = ln[ab

cosh(bw)], (1.15)

unde −∞ < w <∞ s, i cele doua constante a 6= b vor fi identificate ın curand.

Aceasta funct,ie descrie o membrana localizata la w0 = 1b arccosh (b/a). Se

ajunge la ecuat,ia esent,iala

−3 (H2 + a2) = κ5

(ab

)2cosh2(bw)

(dφ

dw

)2

, (1.16)

care are ca solut,ie un camp de tip fantoma [6], cu o funct,ie de unda imaginara,

φ = −i 2c arctan

(tanh

bw

2

)= −iϕ , (1.17)

unde am introdus variabila reala ϕ s, i notat,ia

c ≡

√3

κ5

(1 +

H2

a2

). (1.18)

In final putem scrie forma explicita a energiei potent,iale a scalarului

V =b2

2κ5

[− 12 +

9

cosh2(bw)

(1 +

H2

a2

)]=

b2

2κ5

[− 12 + 3κ5c

2 cos2ϕ

c

]. (1.19)

6

Putem deduce ca a2 = 3H2 = Λ0. Ca ın [5], Λ0 poate fi interpretata ca o

constanta cosmologica indusa pe membrana, furnizand o definit,ie a constan-

tei a. Constanta cosmologica ın bulk-ul AdS5 este Λ = −6b2, ducand la o

semnificat,ie a constantei b.

Capitolul 2

Universuri spat, ial hiperbolice cu surse de ma-

terie fundamentale

Aria de cercetare, ın care Relativitatea Generala se aplica cu succes este Cos-

mologia s, i Astrofizica. S, i asta pentru ca GR este specifica obiectelor foarte

masive, pentru care gravitat,ia are contribut,ii semnificative. De aceea, ın acest

al doilea capitol, ne propunem sa intram mai profund ın subiectul Cosmolo-

giei s, i sa evident,iem rolul jucat de GR. In principiu, Cosmologia se ocupa

cu ıntrebarile fundamentale despre originea s, i evolut,ia Universului, materia

cont,inuta s, i aparit,ia structurii la scara astronomica [7,8]. Plecand de la prin-

cipiul cosmologic s, i de la expansiunea universala, metrica care descrie Univer-

sul observabil este cea Friedmann-Robertson–Walker [9], care ın coordonate

sferice are forma

ds24 = a2(t)

[dr2

1− kr2+ r2(dθ2 + sin2 θdϕ2)

]− dt2, (2.1)

unde a(t) este factorul de scala cosmologic, descriind expansiunea Universului,

k este curbura 3D, ce descrie forma Universului, care poate avea valoarea “1”

pentru un Univers sferic ınchis, “-1” pentru un Univers hiperbolic deschis s, i

respectiv “0” pentru un Univers plat, dupa cum este detaliat ın [10].

Chiar daca observat,iile cosmologice [11,12] favorizeaza un model de Univers

aproximativ plat cu o curbura zero, exista o serie de fenomene neelucidate de

acest model. Din acest motiv, este o idee buna sa exploram cazul curburii

negative, pentru a identifica s, i descrie diferitele tipuri de Univers posibile,

situate ın apropierea datelor experimentale curente.

7

2.1 Modele de Univers FRW de curbura negativa

Consideram urmatoarea metrica FRW 4D, cu parametru de curbura negativ

ds24 = a(t)2[dψ2 + sinh2 ψ (dθ2 + sin2 θ dϕ2)

]− dt2, (2.2)

Ca sursa de materie, se ia un fluid perfect cu tensorul energie-impuls

Tab = (ρ+ P )uaub + P gab, (2.3)

unde ıncat u4 = −1 s, i uα = 0, astfel ıncat componentele sale sunt Tαα =

P, T44 = ρ. Folosind formalismul Cartan, sistemul de ecuat,ii Einstein devine

−2f − 3f2 + a−20 e−2f + Λ =κ0 P

3f2 − 3a−20 e−2f − Λ =κ0 ρ, (2.4)

Pentru un fluid perfect, se poate scrie o ecuat,ie de stare de forma P = w ρ,

unde w = 0 corespunde prafului nerelativist, w = 1/3 reprezinta radiat,ia

CMB, w < −1/3 corespunde energiei ıntunecate, w = −1 rerezinta o constanta

comsologica [13]. In cele ce urmeaza, am analizat fiecare tip de materie,

aplicand ecuat,iile Einstein, pentru a identifica tipul de Univers generat. O

clasificare similara poate fi gasita ın [14], dar pe baza unei metode diferite.

CAZUL 1: Materie nerelativista: Pentru w = 0 ⇒ P = 0, se obt,ine

ecuat,ia transcendenta

t− t∗ =√a(C + a)− C arcsinh(

√a/C), (2.5)

cu t∗ o constanta de integrare corespunzand unui timp cosmic special. Putem

identifica constanta C ca fiind C =κ0ρ0a

30

3 , unde amintim ca a0, ρ0 sunt valorile

prezente. Parametrul Hubble pozitiv

H =1

C

cothχ

sinh2 χ, (2.6)

indica un Univers ın expansiune de la punctul de Big Bang t = t∗, ın timp ce

parametrul de accelerat,ie negativ sugereaza o expansiune decelerata.

q = − 1

2 cosh2 χ, (2.7)

8

CASE 2: Constanta cosmologica: Pentru w = −1⇒ P = −ρ, obt,inem

un factor de scala periodic

a(t) = b sint

b, (2.8)

astfel ıncat

b =

√− 3

κ0ρ0 + Λ, (2.9)

impunand condit,ia κ0ρ0 + Λ < 0. Constnata Λ negativa corespunde unui

spat,iu anti-de Sitter, confirmat de valoarea negativa a scalarului de curbura

Ricci R = − 12b2 . Parametrul Hubble oscileaza ıntre valori pozitive s, i negative,

sugerand cicluri infinite de Bang-Crunch s, i respectiv faze de expansiune s, i

contract,ie. Parametrul de accelerat,ie este totdeauna negativ, astfel ıncat

ciclurile de expansiune-contractie sunt decelerate.

Pentru o valoare pozitiva a κ0ρ0 + Λ, relat,ia (2.9) devine

b = i

√3

κ0ρ0 + Λ≡ i B, (2.10)

unde B este real s, i factorul de scala se transforma ın familiara expresie

a(t) =B sinht

B, (2.11)

ce corespunde unui Univers (k = −1)−de Sitter cu un scalar Ricci pozitiv.

Deoarece atat parametrul Hubble cat s, i cel de accelerat,ie sunt pozitive, acest

tip de Univers se caracterizeaza printr-o expansiune accelerata, de la singu-

laritatea init,iala catre un Univers deschis. Pentru o clasificare a Universurilor

dominate de energie ıntunecata, incluzand vidul fals, vedet,i [15].

CASE 3: Radiat, ie relativista: Considerand w = 1/3⇒ P = ρ/3, rezulta

factorul de scala

a(t) =

(t2 +

2H−10

1− ΩRt+

H−20

1− ΩR

)1/2

, (2.12)

care conduce la valoarea de timp, t = t∗ < 0, a evenimentului de Big Bang,

cu a(t∗) = 0, data de

t∗ = − H−10

1 +√

ΩR. (2.13)

9

In modul, aceasta ar fi varsta Universului spat,ial hiperbolic, dominat de

radiat,ie izotropa. Pentru o sursa combinata, compusa din materie nerela-

tivista s, i relativista vezi lucrarea [15].

Capitolul 3

Analiza evolut, iei Baby-Universurilor spat, ial hiper-

bolice cu rupere spontana a simetriei Z2

In cele ce urmeaza, ne vom ocupa de o geometrie (k = −1)− FRW, sust,inuta

de un camp scalar cu rupere spontana a simetriei Z2, descris de un potent,ial cu

termeni de interact,ie cuartici. Aceasta este o extindere a cazului tratat ın [17],

deoarece aici consideram un camp coerent, cu dependent, a de timp, ducand la

un sistem de ecuat,ii Einstein-Gordon mai complicat, care ın principiu poate

fi rezolvat doar numeric.

3.1 Introducere ın ruperea spontana de simetrie s, i teoria

inflat, iei

In Teoria Cuantica de Camp, ruperea spontana de simetrie [18–20] apare

atunci cand Lagrangian-ul (ecuat,iile de mis,care) unui sistem fizic are o sime-

trie, care nu apart,ine s, i vacuum-ului, ca solut,ie fundamentala. Acest fenomen

are doua mari roluri: unul este acela de a explica modul ın care particulele

fundamentale dobandesc masa, apeland la mecansimul Higgs-Kibble [21–23],

s, i al doilea este acela de a motiva existent,a supersimetriilor a, i deci a legilor

de unificare care act,ionau la momentul Big Bang-ului.

In ceea ce prives,te teoria inflat,iei [24], inflat,ia este definita ca o perioada

ın care Universul s-a extins exponent,ial ıntr-un inteval de timp foarte mic,

marindu-s, i raza cu mai multe ordine de marime s, i deci racindu-se foarte mult.

Acest proces a fost declans,at de o stare init,iala de vid instabila, cu o densitate

de energie foarte mare s, i constanta, generata de un camp scalar φ, numit

inflaton. Exista mai multe tipuri de inflat,ie, ın funct,ie de condit,iile init,iale

postulate, precum modelul vechi al lui Guth [25], modelul nou al lui Linde

[26] sau inflat,ia haotica [27].

Am considerat o metrica FRW ın 4D, dinamica, scrisa ın parametrizare

10

exponent,iala

ds24 = a20e2f(t)

[dχ2 + sinh2 χ (dθ2 + sin2 θ dϕ2)

]− dt2, (3.1)

unde a(t) = a0ef(t) este factorul de scala. Ca sursa de materie, am folosit un

camp scalar omogen, dependent de timp φ(t), descris de un Lagrangian cu

rupere spontana a simetriei Z2 ın forma redusa

L[φ] =1

2ηabφ|aφ|b −

µ2

2φ2 +

λ

4φ4. (3.2)

Pentru a simplifica sistemul de ecuat,ii obt,inut, aplicam o rescalare a coor-

donatei de timp s, i a variabilei de camp, inspirat,i de lucrarea [28] unde s-a

analizat cazul (k = +1)− FRW. Astfel, variabilele nu mai poseda unitat,i de

masura

τ =t

a0, ψ =

√κ02φ. (3.3)

3.2 Parametrizarea de tipul Weyl

Pentru a solut,iona sistemul Einstein-Gordon, aplicam o rescalare de tipul

Weyl

s =

√λa20κ0

τ, e−2F =e−2f

λa20κ0

, (3.4)

astfel ıncat factorul de scala devine S(t) = a0 ef(t), unde t is the timpul

cosmic. Apoi, folosind expresia κ0 = 8π/M2P , factorul de scala s, i timpul

cosmic, masurate ın unitat,i Planck, devin

S(s) =

√8π

λeF (s)M−1P , t =

√8π

λsM−1P . (3.5)

Astfel, ecuat,iile parametrizate au forma

2d2F

ds2+ 3

(dF

ds

)2

− e−2F =−(dψ

ds

)2

+[(ψ2 − v2)2 − v4

],

3

(dF

ds

)2

− 3e−2F =

(dψ

ds

)2

+[(ψ2 − v2)2 − v4

],

d2ψ

ds2+ 3

dF

ds

dψ

ds=− 2

[ψ2 − v2

]ψ, (3.6)

11

unde valoarea medie a vidului rescalata este v = 2√

πλ

µMP

. Sistemul materie-

curbura, derivat din (3.6),

d2F

ds2+ e−2F =−

(dψ

ds

)2

;

d2ψ

ds2+ 3

dF

ds

dψ

ds=− 2

[ψ2 − v2

]ψ , (3.7)

cu condit,iile init,iale F ′(0) = h0, F (0) = F0, ψ′(0) = 0, ψ(0) = ψ0, poate fi

rezolvat numeric, ın urmatoarele cazuri relevante:

Cazul 1. Pentru 0 < ψ0 < v (specific modelului vechi de inflat,ie), am ales

ψ0 = v/4, λ = 10−6 s, i µ/MP = 10−4 astfel ıncat v = 0.35, caloarea init,iala

F0 = 1 s, i h0 ≈ 0.367 calculat din a doua ecuat,ie din (3.6), unde am considerat

(dψ/ds)2 = 0, corespunzator aproximat,iei rostogolirii lente.

In Figura 3.1, putem observa ca amplitudinea campului s, i presiunea

P [ψ] =

(dψ

ds

)2

− ψ2(ψ2 − 2v2

)au un caracrter oscilatoriu. In Figura 3.1.b se vede ca pentru o perioada

scurta de cateva mii de unitat,i Planck, presiunea devine negativa, ajungand

la valoarea minima de P∗ ≈ −0.036, pentru ψmax ≈ 0.59 s, i s∗ ≈ 36.

0 5 10 15 20 25 30 35

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6HaL

0 5 10 15 20 25 30 35

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08HbL

Figure 3.1: Amplitudinea campului ψ(s) (a) s, i presiunea P [ψ] (b), ın funct,iede parametrul s, ın unitat,i de timp Planck.

Densitatea de energie

ρ[ψ] =

(dψ

ds

)2

+ ψ2(ψ2 − 2v2

)

12

reprezentata ın Figura 3.2.a descres,te ıncet de la o valoare init,iala negativa,

are o serie de platouri negative s, i apoi cres,te abrupt spre valori pozitive. In

orice caz, platoul pozitiv ρ∗ ≈ 0.036, la s ≈ 36, satisface o ecuat,ie de stare de

tipul vidului fals, P∗ = −ρ∗, specific inflat,iei standard (de tipul de Sitter).

0 5 10 15 20 25 30 35

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

HaL

0 5 10 15 20 25 30 35

-40

-30

-20

-10

0

HbL

Figure 3.2: Densitatea de energie (a) s, i densitatea de energie Euclidiana (b)versus s.

Graficul pentru densitatea de energie Euclidiana, definita prin

ρE [ψ] = we3F (s) ,

s, i afis,at ın Figura 3.2.b, prezinta portiuni concave s, i convexe, cu o valoare

pozitiva maxima ıntre acestea, la s ≈ 35, urmata de un minim pozitiv chiar

ınainte de Big Crunch-ul gravitat,ional, pentru 38 < s ≤ 40.

0 5 10 15 20 25 30 35

1.0

1.5

2.0

2.5

HaL

0 5 10 15 20 25 30 35

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

HbL

Figure 3.3: Factorul de scala logaritmic F (s) (a) s, i factorul de scala cosmologicS(s) (b), ın unitat,i Planck.

In ce prives,te factorul de scala logaritmic F (s) s, i cosmologic, masurate

ın unitat,i de lungime Planck, S(t) = a0ef(t) = 2

√2πλ e

F , avem reprezentarile

13

din Figura 3.3. Acestea indica un Baby-Univers spat,ial hiperbolic, cu o etapa

init,iala de expansiune, atingand o dimensiune maxima, SM = 71225, la sM =

18.625 (jumatatea ciclului considerat), adica tM = 93372 in unitat,i de timp

Planck. Apoi, ıncepe sa se contracte, catre o singularitate Big Crunch.

Cazul 2. In cazul ın care valoarea init,iala a campului este ψ0 >√

2v (spe-

cific inflat,iei haotice), cu celelalte condit,ii init,iale: ψ0 = 2√

2v ≈ 1, v = 0.35

s, i F0 = 1 ducand la h0 = 0.62, am generat urmatoarele grafice:

0 5 10 15 20 25 30

-0.5

0.0

0.5

1.0

HaL

5 10 15 20 25 30

0.00

0.02

0.04

0.06

HbL

Figure 3.4: Campul rescalat ψ (a) s, i presiunea redusa P [ψ] (b), pentru ψ0 = 1.

5 10 15 20 25 30

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

HaL

0 5 10 15 20 25 30

-40

-20

0

20

40

60

HbL

Figure 3.5: Densitatea de energie proprie (a) s, i Euclidiana (b), pentru ψ0 = 1.

14

0 5 10 15 20 25 30

1.0

1.5

2.0

2.5

HaL

0 5 10 15 20 25 30

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

80 000

HbL

Figure 3.6: Factorul de scala logaritmic F (s) (a) s, i cel cosmologic S(s) (b),ın unitat,i Planck.

Pentru a putea evident,ia prezent,a unei perioade de inflat,ie, am reprezentat

ın Figura 3.7 parametrul de accelerat,ie q, pentru intervalul s ın care q este

pozitiv, s, i coeficientul politropic γ = 1 + P/ρ, ce caracterizeaza tipul de

materie ce sust,ine expansiunea accelerata.

27.0 27.2 27.4 27.6 27.8

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Figure 3.7: Parametrul de accelerat,ie (linia solida) s, i parametrul politropic(linia punctata).

Pentru 27 < s < 27.8, parametrul de accelerat,ie pozitiv din Figura 3.7

cress,te de la zero la valoarea maxima qmax = 0.42, la s = 27.4, s, i apoi

descres,te, devenind negativ pentru s > 27.8. In punctul culminant s = 27.4,

adica t = 1.37 × 105, parametrul γ reprezentat ın Figura 3.7, are valoarea

minima γ = 0, adica P/ρ = −1, specific unei constante cosmologice s, i cres,te

pana la γ = 2/3 (P/ρ = −1/3), caracteristic energiei ıntunecate.

15

Capitolul 4

Universul hiperbolic cu un bulk Anti-de Sitter

ın 5D deformat, spectre s, i moduri scalare s, i

ecuat, ia Wheeler-DeWitt

In acest al patrulea capitol, ne-am propus sa combinam scenariul unui Univers

de curbura negativa cu teoria extradimensiunilor. Concret, am postulat o

metrica FRW hiperbolica ıntr-un hiperspat,iu AdS5. Interesul nostru s-a

direct,ionat ınspre a popula acest bulk cu particule scalare, pentru a anal-

iza comportamentul lor, determinand funct,ia de unda aferenta. Acest scop

ne va conduce s, i spre domeniul Cosmologiei Cuantice [29–31], permit, andu-

ne sa dezvoltam un model de cuantificare, pe baza ecuat,iei Wheeler-DeWitt

(WDW) [32,33].

4.1 Universul deformat Anti-de Sitter 5D

Se considera urmatoarea metrica deformata de curbura negativa, postulata si

ın [34]:

ds25 = e2h(w) [a20e2f(t)(dχ2 + sinh2 χ (dθ2 + sin2 θ dϕ2))− dt2] + dw2, (4.1)

unde t este timpul cosmic s, i a0 este o constanta de lungime. Folosind o sursa

de materie de tip fluid perfect, se obt,in funct,iile metrice

(a) f(t) = ln

(sin

t− t0a0

),

(b) h(w) = ln

(cosh

w

a0

), (4.2)

pentru care componentele tensorului Einstein sunt

Gαα =6

a20= G55 , G44 = − 6

a20, (4.3)

16

indicand un hiperspat,iu AdS5, de constanta cosmologica Λ = − 6a20

.

As,adar ne propunem sa construim funct,ia de unda a bosonilor, ce evolueaza

ın hiperspat,iul caracterizat de metrica (4.1), cu funct,iile de metrica (4.2).

Pornim cu un Lagrangian dat de un cuplaj minimal dintre un camp scalar s, i

gravitat,ie

L[Φ] =1

2ηabΦ|aΦ|b + V (Φ) , (4.4)

unde energia potent,iala cont,ine un termen de masa

V (Φ) =M2Φ2

2. (4.5)

Astfel, ecuat,ia de tipul Gordon ın cinci dimensiuni

ηabΦ|ab − ηabΦ|cΓcab =∂V

∂Φ, (4.6)

ne conduce, prin seprararea de variabile Φ(χ, θ, ϕ, t, w) = φ(χ, θ, ϕ, t)W (w),

la sistemul de ecuat,ii

(a)d2W

dw2+ 4

dh

dw

dW

dw+[µe−2h(w) −M2

]W = 0 ,

(b) e−2f∆φ−[∂2φ

∂t2+ 3f

∂φ

∂t

]− µφ = 0 , (4.7)

unde µ este un parametru, ce descrie spectrul de mase KK al bosonilor pe

membrana, adica mK . Pentru funct,ia de deformare (4.2)(b), ecuat,ia (4.7)(a),

cu noua variabila ζ = w/a0, are solut,ii date de funct,ii Legendre asociate

Wp,q =1

cosh2 ζ

P qp [tanh ζ] , Qqp [tanh ζ]

, (4.8)

care de fapt semnifica amplitudinea bosonilor ın bulk, pentru numerele ıntregi

|q| ≤ p. Spectrul de mase KK este corelat de constanta cosmologica din bulk s, i

de parametrul de masa a bulk-ului prin doua importante relat,ii de cuantificare

[34]:

m2K = µ = (p− 1)(p+ 2)

|Λ|6

; m2K =

(p− 1)(p+ 2)

(q − 2)(q + 2)M2. (4.9)

Analizand aceste relat,ii (4.9) s, i modurile corespunzatoare (4.8), obt,inem o

serie de cazuri relevante. Pentru p = 0⇒ q = 0, membrana cont,ine particule

17

de masa m0 = M/√

2, cu amplitudinea ın bulk

W0,0(ζ) =1

cosh2 ζ,

puternic vizibila ın jurul pozit,iei membranei centrale w = 0. Modurile de

excitat,ie cu masa nula, aferente cazului p = 1, sunt propagate de amplitudinile

W1,−1 =P−11 (tanh ζ)

cosh2 ζ; W1,0 =

Q01(tanh ζ)

cosh2 ζ; W1,1 =

P 11 (tanh ζ)

cosh2 ζ,

avand un maximum la w = 0 s, i scazand repede spre zero, pentru ζ → ±∞.

Pentru p = 2, situat,ia devine mai speciala, deoarece pentru valorile per-

mise q = −1, 0, 1, exista doar tahioni. Totus, i ei pot deveni invizibili pe

membrana centrala w = 0, alegand amplitudinile

W2,−1 =P−12 (tanh ζ)

cosh2 ζ; W2,0 =

Q02(tanh ζ)

cosh2 ζ; W2,1 =

P 12 (tanh ζ)

cosh2 ζ.

Cazul p = 3 conduce la bosoni cu masa m3,±3 =√

2M , s, i cu amplitudinile

W3,±3 =P±33 (tanh ζ)

cosh2 ζ,

s, i la trei tahioni, cu W3,0 s, i W3,±1, care devin invizibili pentru w = 0, folosind

amplitudinile P 03 and Q±13 . Pentru p ≥ 3, se poate demonstra ca ıntotdeauna

vor exista particule scalare pe membrana centrala, cu masa data de (4.9),

respectand condit,ia 2 < |q| ≤ p.

4.2 Analiza cuantica a modelului

Pentru a dezvolta un model de cuantificare, am apelat la ecuat,ia Wheeler-

DeWitt, prezentata ın [35],

HΨ = 0 , (4.10)

unde Ψ este funct,ia de unda universala s, i H este operatorul constrangerii

Hamiltoniene, dat de

H = a2 + V (a) = 0 ,

care ımpreuna cu funct,ia de scala (4.2)(a), duce la potent,ialul

18

V (a) =a2

a20− 1 . (4.11)

Tranzit,ia la versiunea cuantica a teoriei se face prin promovarea variabilelor

canonice a s, i p la rangul de operatori, astfel ıncat ecuat,ia WDW (4.10) cu

potent,ialul (4.11) are forma

d2Ψ

da2− 4

a20V (a)Ψ = 0 . (4.12)

Singura solut,ie realista, adica regulata s, i convergenta, este data de

Ψ(s) = N

−

Γ(− 1

4

)2Γ(14

) 1F1

[−1

4,

1

2; s2]

+ |s| 1F1

[1

4,

3

2; s2]

, (4.13)

Pentru a corela imaginea cunatica de universul clasic prezis de ecuat,ia WDW,

trebuie sa calculam, pe baza (4.13), valoarea media a factorului de scala

〈a〉 =

∫ ∞0

Ψ∗(a)aΨ(a) da = 0.56a0 .

La final, daca luam ın calcul s, i not,unea de timp universal, care este un subiect

de dezbatere ın cosmologie [36,37], ecuat,ia WDW poate fi extinsa la o ecuat,ie

similara celei Schrodinger

−a04

∂2Ψ

∂a2+

1

a0V (a)Ψ = i

∂Ψ

∂t.

Solut,ia generala a ecuat,iei de tip Schrodinger poate fi scrisa ca o superpozit,ie

Ψ(a, t) = ΣnAne−iEntψn(a) , (4.14)

exprimata prin funct,ii Hermite asociate

ψn(a) =21/4√a0Cn exp

[−(a

a0

)2]Hn

(√2a

a0

). (4.15)

Pentru un mixt de stari cuantice (fara starea WDW), cu probabilitat,ile An =

1/(n2 + 1), patratul funct,iei de unda (4.14) este reprezentat ın Figura 4.1.

19

Figure 4.1: Valoarea absoluta a solut,iei (4.14), ca funct,ie de t (ın unitat,irelative), pentru diferite valori ale factorului de scala a. Grosimea curbeicres,te odata cu cres,terea lui a.

La t = 0, cea mai mare probabilitate este pentru universurile cu s = 0.7,

adica a = 0.5a0. Se pot observa peak-urile periodice ın timp, care devin mai

dominante odata cu scaderea lui a. Pentru starea analizata (4.14), valoarea

medie a factorului de scala este

〈a(t)〉 =

∫ ∞0

Ψ∗(a, t)aΨ(a, t) da (4.16)

care devine o funct,ie de scala reala, a unui univers clasic cu (k = −1), s, i este

prezentata ın Figura 4.2.

Figure 4.2: Dependent,a de timp a valorii medii a factorului de scala (4.16).

20

Dupa cum se poate vedea, este o funct,ie periodica, cu maxime la tk =

2kπ/a0 s, i minime netriviale ıntre acestea. Comportamenul finit al funct,iei de

unda (4.13) ın a = 0, sugereaza un Univers care apare din nimic, fara tunelare.

Valoarea medie a factorului de scala, din Figura 4.2, descrie un Univers fara

singularitat,i de tip Bang sau Crunch.

Capitolul 5

Introducere ın teoria Stelelor Quark si a interact, i-

unilor la energii ınalte

Combinarea teoriei gravitat,iei cu mecanica cuantica este importanta, pentru

ca exista cazuri fizice, realiste, ın care ambele sunt semnificative. Unele dintre

aceste situat,ii sunt Gaurile Negre, starea init,iala a Universului ın primele se-

cunde de dupa Big Bang, sau as,a-numitele Stele Strange sau Quark. Ultimele

sunt obiecte astrofizice ipotetice, ce vor fi discutate ın acest capitol.

5.1 Principiile generale ale Stelelor Quark

Discut,ia despre Stelele Strange (SS) ıncepe cu predecesorul lor, Stelele Neu-

tronice (NS). O stea neutronica este un obiect astrofizic compact, cu o densi-

tate de materie foarte mare, mai exact cu o masa de o masa solara la o raza

de 10 km [38, 39], ce provine dintr-o supernova ce explodeaza [40]. Prima

dovada astronomica pentru existent,a unei NS a fost descoperirea pulsarilor

radio [41]. Mai apoi, ın 1964 Gell-Mann s, i Zweig au aratat ca protonii s, i

neutronii sunt compus, i din particule fundamentale, denumite quarcuri, care

a facut ca alt,i cercetatori [42] sa postuleze un miez al NS format din quarcuri

ın loc de neutroni, aparand conceptul de stea quark sau strange [43, 44].

Teoretic, se poate folosi un model simplificat pentru a descrie o stea

strange, s, i anume modelul Bag, propus ın lucrarile [45, 46]. In acest model,

quarcurile sunt privite ca un gaz Fermi, existand ıntr-o regiune de spat,iu cu

energia de vid B, constanta Bag. Pe baza supozit,iei ca quarcurile sunt fara

masa s, i nu interact,ioneaza, ecuat,ia de stare ce descrie materia strange este

p =1

3(ρ− 4B) , (5.1)

21

unde p este presiunea s, i ρ este densitatea. Din aceasta ecuat,ie se poate de-

duce relat,ia masa-raza pentru o SS, care este M ∼ R3, foarte diferita de cea

specifica unei NS, M ∼ R−3. Aceasta este o metoda puternica de diferent,iere

ıntre cele doua, pe langa faptul ca o SS poate fi mult mai mica. Proprietat,ile

unei stele relativiste, ıncarcate electric, dominata de materie strange pot fi

determinate considerand o metrica simetrica pentru spat,iu-timpul interior

ds2 = e2f(r,t)dr2 + r2(dθ2 + sin2θ dφ2)− e2h(r,t)dt2, (5.2)

unde f, h sunt funct,ii cu rolul de potentiale gravitat,ionale. Aceasta metrica

este un caz special al metricii Tollman-Bondi-Lemaitre. Ca sursa de materie,

se poate alege un fluid perfect ıncarcat electric [47,48]

Tab = p− E2/2, p+ E2/2, p+ E2/2, ρ+ E2/2, (5.3)

unde E este campul electric ın direct,ia radiala, p este presiunea s, i ρ densitatea

de energie. Punand totul ımpreuna, sistemul de ecuat,ii Einstein-Maxwell este

2e−2fh,1r

+e−2f − 1

r2= p− E2

2,

e−2f[h2,1 + h,11 − h,1f,1 +

h,1r− f,1

r

]= p+

E2

2,

2e−2ff,1r

+1− e−2f

r2= ρ+

E2

2. (5.4)

Acest sistem este ın acord cu rezultatele prezentate ın [47], unde se propune

o metrica similara cu (5.2), dar cu funct,iile f s, i h independente de timp.

5.2 Teoria Renormarii ın interact, iunile la energii ınalte

Interact,iunea dintre particule cu sarcina de culoare, ca s, i quarcurile sau glu-

onii, ce compun miezul unei stele SS, sunt descrise de o teorie denumita Cro-

modinamica Cuantica (QCD). Pentru a calcula amplitudinile de ımpras,tiere a

proceselor de ciocnire dintre aceste particule, se utilizeaza teoria perturbat,iilor

ın QCD [49, 50]. Procesele de ciocnire ce implica gluoni de impuls mic, as,a

cum este producerea quarcului top, duc la aparit,ia unor singularitat,i infraros, ii

(εIR), ın derivarea amplitudinilor de ımpras,tiere [51,52].

Renormarea acestor singularitat,i se bazeaza pe introducerea unei as,a-

numite dimensiuni anomale, care este finita s, i depinde de variabilele cine-

22

matice s, i de scala de renormare. Considerand o emisie de de gluoni de impuls

redus, neglijabil ın raport cu impulsul quarcurilor, putem ınlocui particulele

externe cu linii Wilson semi-infinite, ca ın [53],

Φβi = P exp

(igs

∫ ∞0

dλβµ ·Aµ(λβ)

), (5.5)

unde P este un operator de ordine, gs este constanta de cuplaj tare, Aµ este

o funct,ie gauge s, i βµ este 4-vectorul de direct,ie a liniei Wilson. Am folosit

o abordare diagramatica , bazata pe seturi de diagrame Feynman, denumite

web-uri W , generate prin permutarea modului de atas,are a gluonilor de liniile

Wilson,

W =∑D,D′

F(D)RDD′ C(D), (5.6)

unde F(D) este factorul cinematic, C(D) este factorul de culoare s, i R(D) sunt

matricile de mixare a web-urilor, analizate ın [54]. Dimensiunea anomala Γ

conduce la amplitudinea renormata Sren, prin

Γ = −d lnSren.(µ,m)

d lnµ, (5.7)

unde µ este scala de renormare. Pentru diferite ordine ale buclelor dia-

gramelor, Γ este data de

Γ(1) =− 2W (1,−1); Γ(2) = −4W (2,−1) − 2[W (1,−1),W (1,0)]

Γ(3) =− 6W (3,−1) + 3 [W (2,0),W (1,−1)] + 3 [W (1,0),W (2,−1)] + [...] (5.8)

In cazul diagramelor cu trei bucle, adica cu trei gluoni, consideram web-ul

W1113, ce cont,ine s,ase diagrame. Se introduce un regulator exponent,ial de-

a lungul liniei Wilson, ce anuleaza singularitat,ile infraros, ii, ramanand doar

singularitat,ile ultraviolete. Astfel, se obt,ine regula Feynman [53]:

(igs)βµi

∫ ∞0

dλ e−mλ√−β2

i (. . . ), (5.9)

unde m reprezinta scara de energie a regulatorului infraros,u s, i i identifica

quarcul, ımpreuna cu propagatorul gluonic

Dµν = −Ngµν(−x2)ε−1; N =Γ(1− ε)4π2−ε . (5.10)

23

Figure 5.1: Cele s,ase diagrame 3A, 3B, 3C, 3D, 3E, 3F, compunand web-ulW1113. Figurile sunt din [53].

Diagrama 3F

Factorul cinematic: In continuare, vrem sa calculam factorul cinematic

pentru diagrama cu trei bucle 3F, aplicand regula Feynman (5.9). Astfel,

F(3F ) =g6sµ6εN3(β1 · β4)(β2 · β4)(β3 · β4)

∫ ∞0

ds

∫ ∞0

dt1

∫ ∞0

dt2

∫ ∞0

du1∫ ∞0

du2

∫ ∞0

dv e−m(√−β2

1s+√−β2

2t1+√−β2

4(u1+u2+t2)+√−β2

3v)

[(sβ1 − t2β4)2(t1β2 − u1β4)2(u2β4 − vβ3)2]ε−1 Θ(t2 − u1) Θ(u1 − u2),

(5.11)

unde am notat gluonii ca ın diagrama 3F. Colectand tot,i termenii, singulari-

tatea (3,-1) este

24

F(3,−1)(3F ) =g6sN3

48εγ14γ24γ34

∫ 1

0

dxdydzP0(x, γ14)P0(y, γ24)P0(z, γ34)[ln

(1− yz

)ln

(1− x1− y

)+

1

4ln2

(1− yz

)+ ln2

(1− x1− y

)+

3 Li2

(−1− x

1− y

)], (5.12)

unde γij = 2βi ·βj/√β2i β

2j . Acum, putem deriva polii (3,-1) s, i pentru celelalte

cinci diagrame, aplicand o serie de proprietat,i de simetrie expresiei (5.12),

aferenta diagramei 3F. De exemplu,

F(3,−1)(3E) =g6sN3

48εγ14γ24γ34

∫ 1

0

dxdydzP0(x, γ14)P0(y, γ24)P0(z, γ34)[ln

(1− xz

)ln

(1− y1− x

)+

1

4ln2

(1− xz

)+ ln2

(1− y1− x

)+

3 Li2

(−1− y

1− x

)], (5.13)

pentru ca observam ca putem interschimba gluonii dintre picioarele 1-4 s, i

2-4, adica γ14 ↔ γ24, care este echivalent cu interschimbarea x ↔ y, ın

diagrama 3F. S, i similar pentru toate celelalte diagrame din Figura 5.1. Acum,

web-ul W1113 se obt,ine aplicand matricile de mixare din [54], rezultand doua

componente:

(W1113)1 =1

6

(− F(3A) + 2F(3B)− F(3C)− F(3D)− F(3E) + 2F(3F )

)C1

(5.14)

(W1113)2 =1

6

(− F(3A)− F(3B) + 2F(3C)− F(3D) + 2F(3E)− F(3F )

)C2

(5.15)

unde constantele C sunt factorii de culoare [53]. As,adar, primele contribut,ii

la dimensiunea anomala de ordinul trei din (5.8) sunt:

25

(W(3,−1)1113 )1 =g6s

N3

48εγ14γ24γ34

∫ 1

0

dxdydzP0(x, γ14)P0(y, γ24)P0(z, γ34)[4 ln

(yx

)ln

(z

y

)+ ln2

( zx

)− 7

4ln2(yx

)+

11

4ln2

(z

y

)+

+ 9 Li2

(−zy

)− 9 Li2

(−yx

)]1

6C1

(W(3,−1)1113 )2 =g6s

N3

48εγ14γ24γ34

∫ 1

0

dxdydzP0(x, γ14)P0(y, γ24)P0(z, γ34)[4 ln

(x

y

)ln( zx

)+ ln2

(z

y

)− 7

4ln2

(x

y

)+

11

4ln2( zx

)+

+ 9 Li2

(− zx

)− 9 Li2

(−xy

)]1

6C2, , (5.16)

unde, pentru αij = 12 +

γij4 , funct,ia de propagare este

P0(x, γij) = [1− 4x(1− x)αij ]ε−1.

La final, ment,ionam ca ın afara de integralele ce cont,in dilogaritmi, toate

celelalte integrale pot fi solut,ionate.

Concluzii generale

In aceasta teza de doctorat, ne-am focalizat pe studiul Cosmologiei, atat

din perspectiva Astrofizicii, aplicand Teoria Relativitat,ii Generale, cat s, i din

punctul de vedere al Fizicii Particulelor, utilizand Teoria Cuantica de Camp.

1. In capitolul 1, am considerat o metrica Friedman-Robertson-Walker de-

formata ın 5D (1.12), incluzand o funct,ie de scala s, i una de deformare, cu o

membrana de Sitter 4D, ca o generalizare a metricii Randall-Sundrum (1.11).

Pentru a sust,ine aceasta geometrie, am adaugat o sursa de materie de tipul

unui camp scalar (1.13), cu dependent, a de extradimensiune.

Postuland un factor de deformare inspirat din literatura, am obt,inut un

camp scalar de tip fantoma s, i un potent,ial tinzand la o constanta, reinter-

26

pretata ca o constanta comsologica ın bulk-ul AdS5. Cosntanta cosmologica

indusa pe membrana a fost de asemenea calculata, furnizand informat,ii de-

spre localizarea particulei asociate campului. Toate aceste rezultate au fost

publicate ın articolul [55].

2. In capitolul 2, am abordat cazul unui Univers spat,ial hiperbolic cu sursa

de materie fundamentala. Astfel, am solut,ionat ecuat,iile Einstein ın cazurile

particulare: praf nerelativist, radiat,ie relativista, constanta cosmologica. Pen-

tru cazul radiat,iei CMB, am calculat varsta Universului hiperbolic, ın timp ce

Universul dominat de vid fals s-a caracterizat printr-o expansiune accelerata,

fara sfars, it dar cu o singularitate init,iala.

Apoi, am am utilizat o sursa de materie de tip camp scalar, cu un potent,ial

cuartic. Rezolvand sistemul Einstein, pentru un camp independent de timp,

am identificat un Univers Milne (expansiune constanta) s, i un spat,iu anti-de

Sitter cu o curbura negativa. Aceasta analiza poate fi gasita in [56].

3. In capitolul 3, am discutat dinamica unui Univers hiperbolic, dominat

de un camp scalar dependent de timp cu rupere spontana de simetrie. Am

reiterat metrica FRW cu parametru de curbura negativ, dar parametrizata

ıntr-o forma exponent,iala. Tensorul energie-impuls utilizat este cel specific

unui Lagrangian cu rupere spontana a simetriei de paritate Z2, cont,inand un

camp scalar masiv, de tipul Higgs.

Am aplicat o tehnica de parametrizare de tipul Weyl, rescriind sistemul

materie-curbura ın funct,ie de valoarea medie de vid a campului. Apoi, am

reprezentat numeric funct,iile sistemului, ın doua cazuri diferite: pentru val-

oarea init,iala a campului mai mica decat valoarea medie a vidului s, i pentru

cazul cand este mai mare. In cel de-al doilea caz, am identificat o perioada de

inflat,ie a factorului de scala, specifica inflat,iei haotice. Acest al treilea capitol

a condus la un articol [57].

4. Capitolul 4 se refera la o deformare AdS5 a unui Univers hiperbolic s, i la

ecuat,ia Wheeler-DeWitt corespunzatoare. Introducand un camp scalar cuplat

minimal de gravitat,ie, am analizat cazul unor particule scalare, ce evolueaza

ın hiperspat,iul 5D. Pentru aceasta, am construit funct,ia de unda a bosonilor

s, i am derivat doua importante legi de cuantificare, coreland spectrul de mase

Kaluza-Klein de pe membrana 4D de cosntanta cosmologica s, i de parametrul

de masa din bulk-ul 5D.

27

La final, am realizat o analiza cuantica a modelului propus. Rezolvand

ecuat,ia Wheeler-DeWitt de tipul Schrodinger, am gasit funct,ia de unda a

Universului, exprimata prin funct,ii Hermite asociate. Per ansamblu, Univer-

sul descris de aceste solut,ii este unul care apare din nimic, fara Bang-uri sau

Crunch-uri. Un alt articol a fost publicat pe acest subiect [58].

5. In capitolul 5, am evident,iat nevoia de a pune ımpreuna Gravitat,ia s, i

Mecanica Cuantica, cu accent pe Fizica Particulelor. Ca un caz specific, ın

care ambele teorii joaca un rol semnificativ, am introdus conceptul de Stele

Quark sau Strange. Astfel, ne-am concentrat pe singularitat,ile proceselor

de ımpras,tiere dintre quarcuri masive, cu emisie de gluoni de impuls mic.

Am abordat o metoda diagramatica, folosind seturi de diagrame Feynman,

denumite web-uri.

In procesul de renormare a acestor divergent,e, am introdus not,iunea de

dimensiune anomala finita Γ. As,adar, am luat ın calcul cele s,ase diagrame cu

trei bucle ale web-ului W(3)1113, pentru care am derivat singularitat,ile de diferite

ordine. Folosind aces,ti poli, am combinat cele s,ase diagrame s, i am obt,inut o

noua contribut,ie la Γ de ordinul trei. Aceasta tema a fost tratata extensiv ın

doua lucrari [59, 60].

Bibliografie selectiva

[1] J. A. Peacock, Cosmological Physics, Cambridge University Press(1998).

[2] R. M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press (1984).

[3] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, CRC Press (2003).

[4] L. Randall, R. Sundrum, A Large mass hierarchy from a small extradimension, Phys. Rev. Lett. 83, 3370–3373 (1999);L. Randall, R. Sundrum, An Alternative to compactification, Phys. Rev.Lett. 83, 4690–4693 (1999).

[5] M.A. Dariescu, C. Dariescu, Robertson–Walker Branes with masslessscalars and cosmological term, Astropart. Phys. 34, 116–120 (2010).

[6] R. Koley, S. Kar, Bulk phantom fields, increasing warp factors andfermion localisation, Mod. Phys. Lett. A 20, 363–372 (2005).

[7] S. Gottlober et al., Early Evolution of the Universe and Formation ofStructure, Akademie-Verlag Berlin (1990).

28

[8] S.M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Rel-ativity, Addison-Wesley (2003).

[9] A. Liddle, An Introduction to Modern Cosmology, Wiley (2003).

[10] S. Weinberg, Cosmology, Oxford University Press (2008).

[11] I. Smail, R.S. Ellis et al., Gravitational lensing of distant field galaxies byrich clusters: II. Cluster mass distributions, Mon. Not. Roy. Astron.Soc.273, 277–294 (1995).

[12] A. Riess et al., Observational evidence from supernovae for an acceler-ating universe and a cosmological constant, Astron. J. 116, 1009–1038(1998).

[13] P. Peebles, B. Ratra, The Cosmological constant and dark energy, Rev.Mod. Phys. 75, 559–606 (2003).

[14] T. Ha, Y. Huang et al., Classification of the FRW universe with a cos-mological constant and a perfect fluid of the equation of state p = wρ,Gen. Rel. Grav. 44, 1433–1458 (2012).

[15] T. Chiba, et al., Classifying the future of Universes with dark energy,Class. Quant. Grav. 22, 3745–3758 (2005).

[16] J.W. Moffat, Spontaneous violation of Lorentz invariance and ultrahigh-energy cosmic rays, Int.J.Mod.Phys. D 12, 1279–1288 (2003).

[17] C. Dariescu, Higgs-anti-de Sitter spacetime bubbles from spontaneousZ(2)-violation at electroweak symmetry breaking scale, Int. J. Mod.Phys. D 13, 641–657 (2004).

[18] J. Goldstone, A. Salam, S. Weinberg, Broken Symmetries, Phys. Rev.127, 965–970 (1962).

[19] Y. Nambu, Quasiparticles and Gauge Invariance in the Theory of Su-perconductivity, Phys. Rev. 117, 648–663 (1960).

[20] P. W. Anderson, Plasmons, Gauge Invariance, and Mass, Phys. Rev.130, 439–442 (1962).

[21] P. W. Higgs, Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons,Phys. Rev. Lett. 13, 508–509 (1964).

[22] G. S. Guralnik, C. R. Hagen, T. W. B. Kibble, Global ConservationLaws and Massless Particles, Phys. Rev. Lett. 13, 585–587 (1964).

[23] T. W. B. Kibble, Symmetry Breaking in Non-Abelian Gauge Theories,Phys. Rev. 155, 1554–1561 (1967).

[24] A. D. Linde, Particle Physics and Inflationary Cosmology, Harwood,Chur (1990).

[25] A. H. Guth, Inflationary universe: A possible solution to the horizonand flatness problems, Phys. Rev. D 23, 347–356 (1981).

29

[26] A. D. Linde, A new inflationary Universe scenario: A possible solutionto the flatness, horizon, homogeneity, isotropy and primordial monopoleproblems, Phys. Lett. B 108, 389–393 (1982).

[27] A. D. Linde, Chaotic Inflation, Phys. Lett. B 129, 177–181 (1983).

[28] C. Dariescu, M. A. Dariescu, From Nucleation to Inflation - a bettertiming, Int. J. of Nonlinear Science and Numerical Simulation 9, 1–8(2008).

[29] B. Vakili, N. Khosravi, Classical and quantum massive cosmology forthe open FRW universe, Phys. Rev. D 85, 083529 (2012).

[30] D. H. Coule, J. Martin, Quantum cosmology and open universes, Phys.Rev. D 61, 063501 (2000).

[31] C. Kiefer, Quantum Gravity, Oxford University Press (2007).

[32] B. S. DeWitt, Quantum theory of gravity. 1. The canonical theory, Phys.Rev. 160, 1113–1148 (1967).

[33] C. Rovelli, Quantum Gravity, Cambridge University Press (2007).

[34] C. Dariescu, M. A. Dariescu, Scalar bosons evolving in an asymptoticallyAdS5 bulk with AdS−branes everywhere, Int. J. Theor. Phys. 54, 3788–3798 (2015).

[35] J. A. Wheeler, In: Batelle Rencontres, Benjamin, New York (1968).

[36] C. Rovelli, Time in quantum gravity: Physics beyond the Schrodingerregime, Phys. Rev. D 43, 442–456 (1991).

[37] K. Kuchar, The Problem of Time in Quantum Geometrodynamics; In:J. Butterfield (ed.), The Arguments of Time, 169-196, Oxford UniversityPress (1999).

[38] R. H. Fowler, On dense matter, MNRAS 87, 114-122 (1926).

[39] J. R. Oppenheimer, G. M. Volkoff, On massive Neutron cores, Phys.Rev. 55, 374 (1939).

[40] W. Baade, F. Zwicky, Supernovae and cosmic rays, Phys. Rev. 45, 138(1934).

[41] S.J. Bell, A. Hewish, et al., Observation of a rapidly pulsating Radiosource, Nature 217, 709 (1968).

[42] D. Ivanenko, D. F. Kurdgelaidze, Remarks on Quark stars, Lett. NuovoCimento 2, 13–16 (1969).

[43] C. Alcock, E. Farhi, A. Olinto, Strange Stars, Astrophysical Journal310, 261–272 (1986).

[44] P. Haensel, J. L. Zdunik, R. Schaeffer, Strange quark stars, Astron.Astrophys. 160, 121–128 (1986).

[45] E. Farhi, R. L. Jaffe, Strange matter, Phys. Rev. D 30, 2379 (1984).

30

[46] C. Alcock, E. Farhi, The evaporation of Strange Matter in the earlyUniverse, Phys. Rev. D 32, 1273 (1985).

[47] K. Komathiraj, S. D. Maharaj, Analytical models for quark stars, Int.Mod. Phys. D 16, 1803–1811 (2007).

[48] S. D. Maharaj, J. M. Sunzu, S. Ray, Some simple models for quark stars,Eur. Phys. J. Plus 129, 3 (2014).

[49] M.A. Dariescu, C. Dariescu, Perturbative QCD estimation of the B →K∗ + γ branching ratio, Phys. Lett. B 367, 349–352 (1996).

[50] C. Dariescu, M.A. Dariescu, Perturbative QCD analyses of the nonlep-tonic B meson decays, Phys. Lett. B 378, 323-328 (1996).

[51] T. Becher, M. Neubert, Infrared singularities of QCD amplitudes withmassive partons, Phys. Rev. D 79, 125004 (2009).

[52] S. Catani, The Singular Behaviour of QCD Amplitudes at Two-loopOrder, Phys.Lett. B 427, 161-171 (1998).

[53] E. Gardi, J. M. Smillie, C. D. White, On the renormalization of multi-parton webs, JHEP 1109, 114 (2011).

[54] E. Gardi, E. Laenen, G. Stavenga, C. D. White, Webs in multipartonscattering using the replica trick, JHEP 1011, 155 (2010).

[55] A. Bodnarescu, M.A. Dariescu, C. Dariescu, Exact Einstein-Gordonphantoms and their potentials in the 5D bulk of de Sitter worlds, Rom.J. Phys. 59, 686–698 (2014).

[56] A. Bodnarescu, M. A. Dariescu, Spatially hyperbolic Universes withfundamental matter sources, Rom. J. Phys. 61, no. 3–4 (2016).

[57] C. Dariescu, A. Bodnarescu, M. A. Dariescu, Spatially-hyperbolicFriedmann–Robertson–Walker Universe with potentially brokenZ2−symmetry, Int. J. Theor. Phys., DOI: 10.1007/s10773-016-3039-22016 (2016).

[58] C. Dariescu, M. A. Dariescu, A. Bodnarescu, The AdS5 Warp of Spa-tially Hyperbolic Universes, Spinless Modes and Spectra and the cor-responding Wheeler-DeWitt Schrodinger-like Equation, Int. J. Theor.Phys. 55, 1116–1127 (2016).

[59] A. Bodnarescu, Renormalization of multiparton scattering amplitudes,Buletinul Institutului Politehnic din Iasi, LX (LXIV), 2 (2014).

[60] A. Bodnarescu, Renormalization of infrared singularities in a three-loop multiparton Web using the soft exponentiation method, Rom. J.Phys. 60, 1052–1067 (2015).

31

Lista de lucrari publicate proprii

1. Articole publicate ın reviste ISI

[1] A. Bodnarescu, M.A. Dariescu, C. Dariescu, ”Exact Einstein-Gordon

phantoms and their potentials in the 5D bulk of de Sitter worlds”, Rom.

J. Phys. 59, 686–698 (2014): factor impact - 0.924; scor influent,a - 0.165.

[2] A. Bodnarescu, Renormalization of infrared singularities in a three-

loop multiparton Web using the soft exponentiation method, Rom. J.

Phys. 60, 1052–1067 (2015): factor impact - 0.924; scor influent,a - 0.165.

[3] A. Bodnarescu, M. A. Dariescu, Spatially hyperbolic Universes with

fundamental matter sources, Rom. J. Phys. 61, no. 3–4 (2016): factor

impact - 0.924; scor influent,a - 0.165.

[4] C. Dariescu, M. A. Dariescu, A. Bodnarescu, The AdS5 Warp of Spa-

tially Hyperbolic Universes, Spinless Modes and Spectra and the corre-

sponding Wheeler-DeWitt Schrodinger-like Equation, Int. J. Theor. Phys.

55, 1116–1127 (2016): factor impact - 1.184; scor influent,a - 0.171.

[5] C. Dariescu, A. Bodnarescu, M. A. Dariescu, Spatially-hyperbolic

Friedmann–Robertson–Walker Universe with potentially broken

Z2−symmetry, Int. J. Theor. Phys., DOI: 10.1007/s10773-016-3039-2

(2016): factor impact - 1.184; scor influent,a - 0.171.

2. Articole publicate ın reviste B+

[6] A. Bodnarescu, Renormalization of multiparton scattering amplitudes,

Buletinul Institutului Politehnic din Iasi, LX (LXIV), 2 (2014).

Lista de prezentari orale la Conferint,e

1. Prezentari orale la Conferint,e Internat, ionale

[1] A. Bodnarescu, C, Dariescu, M. A. Dariescu, FRW Universe models

with negative curvature, Conferint,a Internat,ionala “TIM 2014”, Univer-

sitatea de Vest, Timis,oara, 20-22 noiembrie 2014.

[2] A. Bodnarescu, C. Dariescu, On the dynamics of some hyperbolic Uni-

verse models, driven by a spontaneous symmetry breaking scalar field,

32

Conferint,a Internat,ionala, “IberiCOS 2015”, Universitatea Complutense

din Madrid, Spania, 30 martie-1 aprilie 2015.

[3] A. Bodnarescu, C. Dariescu, Scalar test particles in an AdS5 bulk and

the Wheeler-DeWitt equation, Conferint,a Internat,ionala “TIM 15-16”,

Universitatea de Vest, Timis,oara, 26-28 mai 2016.

2. Prezentari orale la Conferint,e Nat, ionale

[4] A. Bodnarescu, Renormalization of Scattering Amplitudes in Quan-

tum Chromodynamics, Conferint,a Nat,ionala “FTEM 2014”, Universi-

tatea “Alexandru Ioan Cuza”, Ias, i, 16 mai 2014.

[5] A. Bodnarescu, Negative curvature Universe with a perfect fluid matter

source, Conferint,a Nat,ionala “FTEM 2015”, Universitatea “Alexandru

Ioan Cuza”, Ias, i, 16 mai 2015.

Lista de seminare s, i proiecte de cercetare

• S, coala Internationala de Vara “String Field Theory and Related Aspects

VI”, organizata de International School for Advanced Studies - SISSA,

Trieste, Italia, iulie - august 2014.

• Proiect de Cercetare “Interact,iuni la energii ınalte s, i teorii extinse ale

gravitat,iei. Aplicat,ii ın Astrofizica s, i Cosmologie”, sust,inut de un grant

POSDRU ın S, tiinte Naturale, ID 137750, iunie 2014 - decembrie 2015.

33