eym5 a introduccion biot-savart...• ley de biot y savart. • ley de ampère. • campo en puntos...
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Tema 5: Magnetostática - a 1
Magnetostática
• Definición.
• El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades.
• Ley de Biot y Savart.
• Ley de Ampère.
• Campo en puntos alejados. Momento magnético.
– Comportamiento en el infinito.
– Corrientes ligadas.
• Energía Magnética.
– Relación con las corrientes. Formación e Interacción.
– Sistemas de corrientes filiformes.
– Coeficientes de inducción. Autoinducción.
– Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas.
• Transporte de energía.
• Fuerzas magnéticas. Efecto Hall
EyM 5a-1J.L. Fernández Jambrina
Magnetostática: Definición
• Definición:
– No hay variación con el tiempo.
– Se admite el movimiento de cargas que respete la condición anterior.
– Dos juegos de ecuaciones:
» Corrientes estacionarias:
» Magnetostática:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
=⋅∇
=×∇=⋅∇
=×∇ρ=⋅∇
σ=µ=ε=
→ ≠
=∂∂
=∂
∂ρ+⋅∇
∂∂
+=×∇=⋅∇
∂∂
−=×∇ρ=⋅∇
σ=µ=ε=
0
0
00
0
0,
,
,,,0,
,,,,
,,,,,,
rJ
rJrHrB
rErrD
rErJrHrBrErD
Jt
t
trtrJ
t
trDtrJtrHtrB
t
trBtrEtrtrD
trEtrJtrHtrBtrEtrD
rr
rrrrrr
rrrrr
rrrrrrrrrrrr
r
rrr
rrrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrrrrrrr
00
=⋅∇σ=ρ=⋅∇
ε==×∇J
EJD
EDE rrrr
rrr
( ) ( ) HBBrJrHrrrrrrr
µ==⋅∇=×∇ 0
EyM 5a-2J.L. Fernández Jambrina
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Tema 5: Magnetostática - a 2
Campo Magnetostático
• Este capítulo se va a centrar en el campo magnetostático, puesto que el campo electrostático se puede estudiar independientemente, como ya se ha hecho.
• Conviene recordar que en la naturaleza no existen situaciones estacionarias, al igual que no existían situaciones estáticas. Lo que si existen son situaciones en que la velocidad de los fenómenos es lo suficientemente lenta como para que la aproximación de despreciar las variaciones con respecto al tiempo sea suficiente para conducir a buenos resultados.
• Ecuaciones:
» La ley de Ampère es la que liga las fuentes con el campo.
» La ecuación de la divergencia postula que las líneas de campo magnético son cerradas, o lo que es lo mismo, que no existen fuentes escalares.
» La ecuación de estado introduce el efecto de los medios.
0=⋅∇ Br
( ) JrHvrr
=×∇
HBrr
µ=
EyM 5a-3J.L. Fernández Jambrina
El Potencial Vector Magnetostático
• El que la divergencia de una rotacional sea siempre nula y que la divergencia del campo magnético sea siempre nula permite suponer que el campo magnético pueda proceder de un potencial vector:
– Esta definición del potencial vector deja un gran margen de libertad que será utilizado posteriormente definiendo su divergencia.
• Llevando esta definición a la ley de Ampère en un medio lineal, homogéneo e isótropo:
• Utilizando el grado de libertad se puede escoger:
• con ello se obtiene:
( ) ⇒
=×∇⋅∇
=⋅∇
0
0
A
Br
r
ABrr
×∇=
( ) AAABHJ rrrrrr ∆−⋅∇∇=×∇×∇=×∇=µ×∇=µ
Av
JArr
µ−=∆
0=⋅∇ Ar Contraste de
Coulomb
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Tema 5: Magnetostática - a 3
• Trabajando en coordenadas cartesianas la ecuación se puede descomponer en ecuaciones similares a la ecuación de Poisson ya estudiada y resuelta para el caso de un medio homogéneo, lineal, isótropo e indefinido:
El Potencial Vector Magnetostático (2)
JArr
µ−=∆
( )
( )
( )
( )∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
′−
′′
πµ
=⇒
′−
′′
πµ
=⇒µ−=∆
′−
′′
πµ
=⇒µ−=∆
′−
′′
πµ
=⇒µ−=∆
⇒µ−=∆V
V
zzzz
V
y
yyy
V
xxxx
rr
VdrJA
rr
VdrJAJA
rr
VdrJAJA
rr
VdrJAJA
JA rr
rrr
rr
r
rr
r
rr
r
rr
4
4
4
4
( ) ( )∫∫∫ ′−′′ρ
πε=φ⇒
ερ
−=φ∆V
rr
Vdrr rr
rv
4
1
EyM 5a-5J.L. Fernández Jambrina
• Análogamente se pueden obtener expresiones para corrientes superficiales y lineales:
– En la expresión para corrientes lineales el contenido vectorial de la corriente se ha transferido al diferencial de longitud, la integral se realiza en un contorno cerrado y la corriente es constante.
• Propiedades:
– La interpretación de su significado físico es difícil.
– Un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución paralela a la dirección de la corriente.
– Las unidades del potencial vector son wb/m.
– En algunos casos es muy útil para calcular el flujo del campo magnético:
El Potencial Vector Magnetostático (3)
( )∫∫ ′−
′′
πµ
=S
S
rr
SdrJA rr
rrr
4 ∫ ′−′
πµ
=C
rr
ldIA rr
rr
4
Adv
∫∫∫∫∫ ⋅=⋅×∇=⋅=ΦCSS
B ldASdASdBrrrrrr
Adv
Adv
Adv
Adv
Adv
Adv
Adv
Adv
ldI ˆ
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Tema 5: Magnetostática - a 4
• Sea una línea de corriente I0 que circula a lo largo del eje z en sentido positivo.
– La corriente sólo tiene componente z:
– Este problema es análogo al de una densidad de carga lineal sobre el eje z.
» La solución a este problema electrostático es:
– Por analogía:
– En este caso, al igual que en el problema electrostático, no se puede definir de forma unívoca el potencial vector.
– Esta indefinición no impide calcular el campo magnético:
Potencial Vector: Ejemplo
zAA z ˆ=⇒r
( ) Kr L +ρπε
ρ=Φ
1ln
2
r
( ) zKIzArA z ˆ1
ln2
ˆ 0
+
ρπµ
==rr
( ) ( ) ϕπρ
µ=
∂ρ∂
ϕ−∂ϕ∂
ρρ=×∇= ˆ
2ˆ
1ˆ
IoArArB z
rrrr
Z
I0
Z
ρρρρ L I= 0~
ΦΦΦΦ = Az
εεεε µµµµ= 1
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• Para obtener el campo a partir del potencial vector basta con aplicar la definición:
– Donde se ha invertido el orden de la integral y el rotacional.
– Considerando que y que puesto que el rotacional se aplica sobre :
– donde se ha aplicado:
– Invirtiendo el orden del producto vectorial se obtiene la expresión definitiva:
Campo Magnético a partir de A
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫′′
′
′
′−×∇
πµ
=′−
′′×∇
πµ
=×∇=VV
VdrJrrrr
VdrJrArB
rr
rrrr
rrrrrr 1
44
( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫′′
′′×′−
′−πµ
−=′′×
′−∇
πµ
=VV
VdrJrr
rrVdrJ
rrrB
rr
rr
rrrr
rrrr
34
1
4
VUVUVUrrr
×∇+×∇=×∇ ( ) 0=′×∇ rJ rr
rr
( ) ( ) ( )∫∫∫′
′′−
′−×′
πµ
=V
Vdrr
rrrJrB
34
rr
rrrrrr
3
1
rr
rr
rr ′−
′−−=
′−∇ rr
rr
rr
vA
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Tema 5: Magnetostática - a 5
Ley de Biot-Savart
• Adaptando para corrientes superficiales:
• Y para corrientes filiformes:
• Expresión que recibe el nombre de ley de Biot-Savart.
– Observe que nuevamente se ha transferido el contenido vectorial de la corriente al diferencial de longitud, que la corriente es constante y cerrada y el detalle poco formal de colocar el diferencial de longitud delante de parte de la expresión subintegral.
( ) ( ) ( )∫∫ ′′−′−×′
πµ
=S
S Sdrr
rrrJrB
34
rr
rrrrrr
( ) ( )∫ ′−′−×′
πµ
=C rr
rrldIrB
34
rr
rrrrr
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Campo Magnetostático creado por un elemento de corriente.
• Si se considera un elemento de corriente del tipo que sea:
su contribución al campo será:
– Perpendicular a la corriente.
– Perpendicular al vector que une el elemento de corriente y el punto donde se calcula el campo.
– Proporcional al seno del ángulo formado por la corriente y el vector del punto anterior.
» No hay campo en la línea definida por el elemento de corriente.
– Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
– Sentido según la regla del sacacorchos.
( )( )( )
( )
′′
′′
′′
=′
ldrI
SdrJ
VdrJ
rId Srr
rr
rr
rr
( )3
4 rr
rrIdBd
′−
′−×′
πµ
= rr
rrvr dI
rdBr
r rr r− ′
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Tema 5: Magnetostática - a 6
Espira Circular
• Sea la espira de la figura centrada en el eje z y contenida en
• Para calcular el campo en el eje z habrá que aplicar la ley de Biot-Savart:
• En este caso:
– Sustituyendo ....
a
I
z
0zz =
( ) ( )∫ ′−′−×′
=C rr
rrldIrB
34
rr
rrrrr
πµ
( )
( )
( ) ( )[ ] ϕ′ρ′−+=′−×′⇒ϕ′ϕ′=′
−+=′−
−+ρ′−=′−⇒
+ρ′=′
=
adzzzarrldadld
zzarr
zzzarr
zzar
zzr
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
0
2
0
2
0
0
rrrr
rr
rr
r
r
z z= 0
Z
O
rr zz= $
′ =z z0
r′r $ ′ρρρρ
′$ϕϕϕϕ′ =ρρρρ a
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Espira Circular (2)
• Sustituyendo:
• Y considerando que:
se cancelan las componentes radiales.
• Finalmente:
( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ]
( )
ϕ′ρ′−+ϕ′
−+πµ
=ϕ′−+
ρ′−+π
µ= ∫∫∫
πππ 2
0
0
2
023
2
0
2
0
2
023
2
0
2
00 ˆˆ4
ˆˆ
4ˆ dzzdza
zza
aId
zza
azzzaIzzB
v
( ) 0ˆsenˆcosˆ2
0
2
0
=ϕ′ϕ′+ϕ′=ϕ′ρ′ ∫∫ππ
dyxd
( )( )[ ]
z
zza
aIzzB ˆ
2ˆ
23
2
0
2
2
0
−+
µ=
v
1rrvv ′−
2Bdv
1Bdv
2rrvv ′−
1ldv
2ldv
21BdBdvv
+
1rv′2r
v′
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Tema 5: Magnetostática - a 7
Espira Circular (3)
• El aspecto de las líneas de campo es el siguiente:
– En todo el espacio:
-2a -a 0 a 2a
-a
-a/2
0
a/2
a
z
ρρρρ
I
( ) ( ) ( )zzBzBrB z ˆ,ˆ, ρ+ρρ= ρvr
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Solenoide Cilíndrico Finito
• Se trata de un apilamiento de espiras por las que circula la misma corriente I.
• Se define por el radio de las espiras, a, el número de espiras por unidad de altura, n, y su altura, h.
• Normalmente se construye enrollando un hilo sobre un núcleo y se desprecia el efecto del paso de arrollamiento y de los hilos de conexión.
• Si los hilos están muy juntos se puede suponer que la corriente está distribuida uniformemente sobre la superficie lateral.
– Así, suponiendo que el eje del solenoide es el eje z:
• Por todo ello se puede aplicar:
– También puede considerarse el solenoide como un apilamiento de espiras de radio a y corriente dI=nIdz´:
a
h
I
nhIdzJInIJJh
STS =ϕ⋅=⇒ϕ=ϕ= ∫ϕ ˆˆˆvv
( ) ( )∫∫ ′′−
′−×′
πµ
=S
S Sdrr
rrrJB
34
vv
vvvvv
( )[ ]z
zza
aznIdBd ˆ
2 23
22
2
′−+
′µ=
v
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Tema 5: Magnetostática - a 8
Solenoide Cilíndrico Finito (2)
• Siguiendo el primer procedimiento y limitando el cálculo al eje z:
• Tomando el origen de coordenadas en el centro del solenoide:
• Integrando en ϕ’ considerando que:
( )
( )( ) ( ) ( )[ ]nIzzzarrrJ
zzarr
zzzarr
zzar
zzr
ρ′′−+=′−×′
′−+=′−
′−+ρ′−=′−⇒
′+ρ′=′
=
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
22
rrrv
rr
rr
r
r
( ) ( )( )[ ]∫ ∫−
π′ϕ′
′−+
ρ′′−+π
µ=
2
2
2
0 23
22
ˆˆ
4ˆ
h
hzdad
zza
zzzanIzzB
v
0ˆ2
0=ϕ′ρ′∫
πd
( )( )[ ]
z
zza
zdInazzB
h
hˆ
2ˆ
2
2 23
22
2
∫−−′+
′µ=
v Con el segundo procedimiento se plantea directamente esta ecuación:
Z
O
rr zz= $
′ =z z0
r′r $ ′ρρρρ
′$ϕϕϕϕ′ =ρρρρ a
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• y aplicando: se obtiene finalmente:
• Si el solenoide estuviera centrado en :
• Donde los términos del corchete sepueden interpretar como los cosenos de los ángulos de la figura:
Solenoide Cilíndrico Finito (3)
( )( ) ( ) ( )
zzha
zh
zha
zhnIz
zza
zznIzzB
h
h
ˆ2
2
2
2
2ˆ
2ˆ
2222
2
2
22
++
−−−
−+
−µ=
−′+
−′µ=
−
r
( ) 2222322 axax
ax
dx
+=
+∫
( )( ) ( )
zzzha
zhz
zzha
zhznIzB
c
c
c
c ˆ2
2
2
2
2 2222
−++
−−−
+−+
−+µ=
r
cz
( ) ( )znIzB ˆcoscos2
β−αµ
=r
zc
αααα
ββββ
h
O
z
z h zc+ −2
z h zc− −2
a
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Tema 5: Magnetostática - a 9
• Es inmediato que si el solenoide es muy largo, el campoen un punto de su eje dentro de él tiende a:
• Mientras que el campo en el centro de sus extremostiende justo al valor mitad:
Solenoide Cilíndrico Finito (4)
( ) ( ) znIznIlimzBlimhzzhzh cc
ˆˆcoscos20
22
µ=β−αµ
=π→β
→α+
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Tema 5: Magnetostática - a 10
• Arrollando espiras sobre superficies con simetría de revolución entorno a un eje pueden formarse solenoides de distintos tipos como cónicos, esféricos, etc.
• La densidad de arrollamiento se expresa en número de espiras por unidad de longitud a lo largo de la generatriz.
Otros Tipos de Solenoides
I
I
I I
EyM 5a-19J.L. Fernández Jambrina