Курс лекций по ТФКП 2002 г · Функция ln z является...

НИЯУ МИФИ

Курс лекций по ТФКП 2002 г [Факультет ЭТФ]

Логинов А.С. [ноябрь 2013-11-30]

Логинов А.С. Лекции по ТФКП

2

Оглавление Глава 1. Основные понятия ................................................................................................................ 4

§1 Операции над комплексными числами .................................................................................... 4 §2 Комплексная плоскость ............................................................................................................. 4 §3 Некоторые понятия, относящиеся ко множествам. Кривые. ................................................. 6 §4 Функции комплексного переменного ...................................................................................... 7 §5 Функциональные последовательности и ряды ..................................................................... 11

§6 Степенные ряды ....................................................................................................................... 12 1.Основные свойства степенных рядов. ................................................................................ 12

Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения. ................................................... 14 §1 Аналитические функции ......................................................................................................... 14

1.Дифференцируемость. Условия Коши-Римана, моногенность. ....................................... 14 2.Голоморфные функции. Аналитичность. ............................................................................ 16 3.Гармонические функции. Сопряженные функции. ............................................................. 18

§2 Конформные отображения ...................................................................................................... 19 1.Существование обратной функции для аналитической функции в окрестности точки

..................................................................................................................................................... 19 2.Геометрический смысл аргумента производной. .............................................................. 19

3.Геометрический смысл модуля производной. ..................................................................... 20 4.Конформные отображения. ................................................................................................. 20

Глава 3. Примеры конформных отображений ............................................................................... 22 §1 Дробно линейное отображение .............................................................................................. 22

1.Линейная функция. ................................................................................................................. 22 2.Преобразование инверсии...................................................................................................... 23

3.Отображение z

w1

. ............................................................................................................ 25

4.Дробно линейная функция. .................................................................................................... 26 §2 Степенная функция w=z

n, n - натуральное. ........................................................................... 29

1.Отображение степенной функцией. ................................................................................... 29 2.Обратная функция. ................................................................................................................ 30

3. Понятие римановой поверхности для функции wz ................................................... 31

§3 Функция w=ez ........................................................................................................................... 32

1.Отображение zew . ........................................................................................................... 32

2.Обратная функция. ................................................................................................................ 33 §4 Функция Жуковского .............................................................................................................. 33

1.Определение ............................................................................................................................ 33 2.Обратная функция ................................................................................................................. 36

§7 Таблица некоторых конформных отображений. .................................................................. 36 Глава 4. Теория интеграла ................................................................................................................ 41

§1. Понятие интеграла. Теорема Коши. ...................................................................................... 41

1.Интеграл и его свойства. ..................................................................................................... 41 2.Теорема Коши......................................................................................................................... 42

§2 Интеграл Коши ......................................................................................................................... 43 1.Интегральная формула Коши. ............................................................................................. 43 2.Интеграл типа Коши. Интегралом типа Коши называется интеграл .......................... 43

§3 Первообразная. ......................................................................................................................... 44 1.Теорема Морера. .................................................................................................................... 44

2.Формула Ньютона-Лейбница ............................................................................................... 45 Глава 5. Ряды Тейлора и Лорана ..................................................................................................... 45


3

§1 Ряд Тейлора аналитической функции .................................................................................... 45

1.Теорема Тейлора. ................................................................................................................... 45 §2 Единственность аналитической функции. Принцип максимума модуля. ......................... 47

1.Внутренняя теорема единственности аналитических функций. Нули аналитических

функций. ..................................................................................................................................... 47 3.Терема Вейерштрасса ........................................................................................................... 48

§3 Ряды Лорана ............................................................................................................................. 49 §4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций. ............................. 51

Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении интегралов ............. 52 §1 Вычеты ...................................................................................................................................... 52

1.Определение вычета в конечной изолированной особой точке ........................................ 52

2.Вычет в изолированной особой точке . ............................................................................ 53

3.Теоремы о вычетах. ............................................................................................................... 53 4. Принцип аргумента. ............................................................................................................. 54

§2. Вычисление интегралов ......................................................................................................... 55

1.Определение несобственного интеграла ............................................................................. 55

2. Интегралы вида

dxxf )( ................................................................................................... 56


dxxfe xi )( ............................................................................................... 57

§3 Простейшие классы аналитических функций. ...................................................................... 58

Глава 7. Преобразование Лапласа. .................................................................................................. 59

Введение. Интегралы, зависящие от параметра. ....................................................................... 59

§1 Преобразование Лапласа. ........................................................................................................ 59 §2 Свойства преобразования Лапласа ......................................................................................... 61

Глава 8. Приложения. ....................................................................................................................... 64

§1 Комплексный потенциал ......................................................................................................... 64 §2 Операционное исчисление ...................................................................................................... 65


4

Глава 1. Основные понятия

§1 Операции над комплексными числами

Комплексные числа и операции над комплексными числами изучались на первом семестре.

Основные понятия, связанные с комплексными числами: алгебраическая форма записи комплексного

числа, операции над комплексными числами, вещественная (действительная) и мнимая части ,

zz Im,Re , сопряжённые числа и следующие их свойства

2121 zzzz , 2121 zzzz .

Формула Бинома Ньютона: для любых комплексных чисел a,b и натурального n справедливо

равенство

n

k

knkn baknk

nba

0 )!(!

!)( .

Аргумент и модуль комплексного числа z=x+iy,

|z|=22 yxr , главное значение аргумента: =arg z, arg z[0,2 ), Arg φ = arg φ+2πk .

Tригонометрическая форма записи комплексного числа: z=rei

=r ( cos φ +i sin φ ).

Расстояние между комплексными числами (z1,z2)=| z1 - z2|

Пример: Множество 21 ziz представляет собой геометрическое место комплексных

чисел, сумма расстояний которых до i и -1 равна 2. Эллипс с фокусами в i и -1.

Возведение в степень, формула Муавра: если z=rei

, то zn=r

ne

in =r

n( cos nφ +i sin nφ ).

Извлечение корней: если wn=z, то

n

kzwzwzw nn 2arg

arg,||||,

, 1,...,1,0 nk .

Здесь под n z || понимается арифметическое значение корня.

§2 Комплексная плоскость

Множество комплексных чисел удобно интерпретировать как плоскость, которую называют

комплексной плоскостью и обозначают C, комплексное число – это точка на этой плоскости. Можно

рассматривать комплексное число, как радиус вектор. В последнем случае операции сложения

комплексных чисел совпадают с операциями сложения векторов. Комплексная плоскость С с


5

добавленной к ней несобственной «бесконечно удаленной точкой» называется расширенной

комплексной плоскостью и обозначается C . Геометрически бесконечно удаленную точку можно

интерпретировать с помощью сферы Римана.

Рассмотрим сферу S, касающуюся комплексной плоскости в точке (0,0). Между точками сферы

S и точками расширенной комплексной плоскости C устанавливается взаимнооднозначное

соответствие, как показано на рисунке.

Стереографическая проекция (сфера Римана)

Именно, из верхнего полюса сферы проводится луч, соединяющий точку сферы A с некоторой

точкой B плоскости. Самому полюсу P соответствует бесконечно удаленная точка ∞. Эта сфера

называется сферой Римана. Это отображение для случая сферы радиуса 1 задается следующими

функциями:

w

ivuiyxz

2.

Для доказательства, рассмотрим полярные координаты (см. рисунок):

sin

cos

v

u тогда

sin

cos

ry

rx, r

w

2

, откуда получим:

w

v

wry

w

u

wrx

2sin

2sin

2cos

2cos

.

Можно показать, что прямые и окружности из C переходят в окружности на S, а углы между

пересекающимися кривыми сохраняются.

С точки зрения расстояния, введенного для комплексных чисел, комплексная плоскость

представляет собой евклидово пространство. Таким образом, для комплексных чисел используются

те же определения и справедливы те же теоремы, связанные со сходимостью в этом пространстве:


6

Окрестность точки z0: U(z0)= {|z - z0|< }.

Окрестность бесконечно удалённой точки : U()={|z|>R} .

Проколотая окрестность : )( 0zU

= {0<|z - z0|< }.

Сходимость, предел последовательности: lim0 nn

zz

означает, что 0||lim 0n

zzn

Необходимое и достаточное условие сходимости для случая, когда Cz 0

000 , yyxxzz nnn

Критерий Коши сходимости последовательности к конечному пределу (в С) :

n m: zn - zm .

Множество комплексных чисел является линейным пространством. Наличие метрики и

операций линейного пространства позволяет ввести такое понятие, как числовой ряд. Комплексный

ряд

0k

kz с общим членом kkk iyxz определяется, как

000 k

k

k

k

k

k yixz . В случае

сходимости обоих действительных рядов

00

,k

k

k

k yx получаем комплексное число – сумму этого

ряда. Таким образом, изучение комплексного ряда сводится к изучению двух вещественных рядов.

Наиболее важными свойствами рядов, используемых в дальнейшем, являются: абсолютная

сходимость, свойства суммы, разности рядов, перестановка и перемножение абсолютно сходящихся

рядов.

§3 Некоторые понятия, относящиеся ко множествам. Кривые.

Диаметр множества M : dM = ||sup 21, 21

zzMzz

.

«Расстояние» между множествами M1, M2 : ||inf),( 21,

212211

zzMMMzMz

. В точном

смысле, это расстоянием не является, так как не выполняется первое свойство или аксиома

расстояния.

Предельная точка множества – точка, в любой проколотой окрестности которой есть хотя бы

одна точка множества.

Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки. Внутренняя

точка множества – точка, принадлежащая множеству вместе с некоторой своей окрестностью,

открытое множество – множество, каждая точка которого внутренняя.

Граничная точка множества – любая окрестность точки содержит, как точки из множества,

так и точки из его дополнения. Граница множества D (множество всех граничных точек)

обозначается D, она всегда замкнута.

Кривая z=z(t)=x(t)+iy(t), t[,] . На плоскости этому соответствует параметрическое задание

],[,)(

)(

t

tyy

txx.

Ориентация кривой или направление обхода, непрерывная кривая: x(t), y(t) обе непрерывны.

Непрерывная кривая называется простой или кривой Жордана, если различным значениям 21,tt

(кроме может быть и ) соответствуют различные точки z(t1), z(t2) на комплексной плоскости (у

кривой нет самопересечений).

Кривая замкнута, если z()=z() (не путать с замкнутостью в смысле теории множеств ).

Связное множество. Любые две точки этого множества можно соединить простой кривой,

лежащей в этом множестве.

Областью, если не оговорено что-либо другое, будем называть связное открытое множество.

Множество D C называется n - связным, если D состоит из n связных, попарно

непересекающихся компонент. Иногда используется термин: n - связная область.

Кривая называется гладкой, если x(t), y(t) и их производные непрерывны и z(t)=x(t)+i y(t) 0.

Если кривая замкнута, то дополнительно требуется z()=z() ( точнее z(+0)=z( - 0) ).


7

Кусочно-гладкая кривая. Непрерывная кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков.

§4 Функции комплексного переменного

Определение. w = f (z), z D. Каждому z ставится в соответствие одно или несколько значений

w. Множество Δ всевозможных значений f (z) называется областью значений функции f . Если

сопоставляемое значение единственно, то функция называется однозначной и в этом случае говорят

об однозначном отображении D на Δ.

Примеры:

w = z2, z C, однозначная функция.

w = n z является многозначной функцией.

Определение логарифмической функции (большой логарифм): w = Ln z = ln r + i ( + 2k ),

r=|z|, = arg z [ 0 , 2 ) , k-целое, D = C\0. Функция Ln z является многозначной функцией.

Главная ветвь логарифма (маленький логарифм): w = ln z = ln r + i , r=|z|, = arg z [0,2 ), D

= C\{0}. Функция ln z является однозначной функцией.

Пример: ln(-1)= i .

w = Arg z = arg z + 2k, (k-любой целое) многозначная функция.

Степенная функция: w = zb определяется по формуле z

b = e

b Ln z . Она может быть для некоторых

b многозначной ( для натуральных b определение согласуется с операцией возведения в степень

путём перемножения ).

Пример: ))21(sin())21(cos()1( 22) 2( )1( kikee kiLn . Таким образом,

числу -1 соответствует бесконечное число (счетное) значений функции zw .

Если функция f(z) однозначная, то можно определить обратную функцию 1f . Для этого

обозначим через D область определения функции f(z), а область ее значений через . Обратная

функция f -1

будет определена на и каждому значению w из будет сопоставлять все те значения z

из D для которых f(z)=w. Обратная функция не обязана быть однозначной.

Если f и f -1

однозначные, то отображение z w = f(z) называется однолистным

(взаимнооднозначное отображение).

Пример: функция w=z2 отображает однолистно область D={|z|<1,0< arg z <

2

} на верхний

полукруг

Пример: функция w=z

2 отображает однолистно область D={|z|<1, 0< arg z < } на круг радиуса

1 с вырезом по положительной части вещественной оси


8

Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [-1,1] [-1,1] при отображении

w=z2+z. Отображение имеет вид

yxyv

xyxu

2

22

Вертикали cx переходят в параболы : 2

2

22

12,

)12(

c

vccu

ycv

cycuнаправленными направо. Горизонтали y=c переходят в

параболы 2

222

22,

2c

c

cv

c

cvu

cxcv

xcxu

направленными налево.

Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [-1,1] [-1,1] при отображении

w=ez. Для iyxz получим yieyeeeivuw xxiyx sincos . Таким образом, это

отображение можно представить в виде:

yev

yeux

x

sin

cos.

Прямоугольная сетка переходит в полярную сетку (лучи и окружности)


9

Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [-1,1] [-1,1] при отображении 2zew . Расписывая действительную и мнимую части, отображение можно записать в виде:

)2sin(

)2cos(22

22

xyev

xyeuyx

yx

.

Образы координатной сетки показаны на рисунке.

Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [-1,1] [0.2,1] при отображении

zzw

1

2

1. Отображение имеет вид

22

22

11

2

11

2

yx

yv

yx

xu

.

Пример: Найти образы линий прямоугольной сетки квадрата [0,2] [-1,1] при отображении 21 zzw . Отображение имеет вид


10

xyyv

yxxu

2

1 22

.

При исследовании многозначных функций выделяют однозначные ветви. Понятие однозначной

ветви многозначной функции рассмотрим на примере. У функции zw в качестве области

определения D возьмём всю комплексную плоскость с вырезом по положительной части

действительной оси, x[0,).

В этой области рассмотрим функции zzrerzfwerzfwii

arg|,|,)(,)()

2(

22

1

(в области D главное значение аргумента z будет лежать в диапазоне 2arg0 z ). Эти функции

представляют собой однозначные ветви исходной функции в области D. Первая однолистно

отображает область D на верхнюю полуплоскость, вторая функция однолистно отображает область D

на нижнюю полуплоскость. Однозначные ветви можно выделять различными способами. Точное

определение однозначной ветви будет дано позже.

Определение предела и непрерывность

По Коши: Cz 0 ,

Azfzz

)(lim0

: 0 0 z, 0 z – z0 : f(z) - A

)(lim0

zfzz

: R 0 z, 0 z – z0 : | f(z)| > R

Azfz

)(lim : 0 r z, z> r : f(z) - A

)(lim zfz

: R r z, z> r : | f(z)| > R

Аналогично дается определение по Гейне: {zn}, zn z0 , zn z0 : Azf nn

)(lim .


11

Замечание: Существование конечного предела )(lim0

zfzz

эквивалентно существованию двух

пределов )(Imlim),(Relim00

zfzfzzzz

.

Так, если ibaAzivzuzf )()()( при 0zz , то bzvazu )(,)( , при 0zz .

Непрерывность функции f(z) в точке Cz 0: )(lim

0

zfzz

=f(z0), предполагается, что функция

определена в некоторой окрестности точки 0z .

В терминах расширенной комплексной плоскости: )(zf непрерывна в Cz 0 , )( 00 zfw ,

если для любой окрестности )( 0wU найдется окрестность )( 0zU такая, что из )( 0zUz следует

)()( 0wUzf .

Замечание: Если f(z0), то непрерывность в этой точке эквивалентна непрерывности

действительной и мнимой части в этой точке.

Пример: Функция

0 ,

0 ,1

)(

z

zzzf является непрерывной в точке z=0 в смысле расширенной

комплексной плоскости.

§5 Функциональные последовательности и ряды

Если fn(z) - однозначные функции , то комплексный ряд

0

)(k

k zf определяется, как сумма

0

)(k

k zf =

00

)(Im)(Rek

k

k

k zfizf .

Ряд называется равномерно сходящимся на D, если его частичные суммы

n

k

kn zfzS0

)()( равномерно сходятся на D к некоторой функции S(z), т. е.

0 n zD: )()( zSzSn .

Критерий Коши: 0 n m , 0m zD: | )(zfmn

nk

k

| .

Следствие (Необходимое условие сходимости). Если ряд

0

)(k

k zf сходится в точке z , то

общий член этого ряда )(zfk стремится к нулю в этой точке.

Аналогичное утверждение можно сформулировать для равномерной сходимости:

Если ряд

0

)(k

k zf равномерно сходится на D , то общий член этого ряда )(zfk равномерно

стремится к нулю на D.

Достаточный признак Вейерштрасса:

Если fk(z) k,zD и числовой вещественный ряд k сходится, то ряд fk(z) сходится на

D равномерно.

Полезная теорема. Сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций

(равномерная сходимость на компакте), есть функция непрерывная.


12

§6 Степенные ряды

1.Основные свойства степенных рядов.

Напоминание: Признаки Даламбера и Коши для положительных рядов ( вещественных )

ak , 0 ak .

Даламбер: Если для положительного ряда

0k

ka , ak > 0 существует предел qa

a

n

n

n

1lim , то

при q < 1, ряд сходится, при q > 1, расходится.

Определение верхнего предела knkn

nn

bb

suplim lim .

Коши: Если для положительного ряда

0k

ka , ak 0 существует предел qann

n

||lim , то

при q < 1, ряд сходится, при q > 1, расходится.

Комплексные степенные ряды:

0

0)(k

k

k zzc или

0k

k

k zc (1)

Теорема 1 (Первая теорема Абеля ) Если ряд (1) сходится в точке z0 0, то он сходится

абсолютно в круге |z| < |z0|.

Доказательство: Ряд

0

0

k

k

k zc сходится, следовательно, согласно необходимому условию

сходимости ряда, будет выполнено 00 k

k zc , откуда следует, что BzckB k

k |:| 0 . Поэтому для

общего члена ряда (1) можно выписать оценку: 1,00

0 qBqz

zB

z

zzczc k

k

k

kk

k

k

k , при 0zz .

Таким образом, ряд из модулей исходного ряда мажорируется сходящимся рядом

0k

kBq в каждой

точке круга |}||{| 0zz .

Следствие 1. Для любого степенного ряда (1) существует число R (0 R ) такое, что при

|z|<R ряд сходится, при |z|>R ряд расходится. Это число называется радиусом сходимости

степенного ряда. Круг {|z| < R} называется кругом сходимости.

Следствие 2. Радиус сходимости комплексного степенного ряда (1) совпадает с радиусом

сходимости вещественного степенного ряда

0

||k

k

k xc .


13

Для этого утверждения необходимо сначала показать, что ряд

0k

k

k zc (1) и

0

||k

k

k zc (2)

имеют один и тот же радиус сходимости.

Действительно, пусть их круги сходимости имеют радиусы R1, R2. Во всех точках |z|<R1 ряд (1)

сходится абсолютно и, следовательно, (2) тоже сходится абсолютно, т.к. ряды из модулей для (1) и (2)

одинаковы. По этой же причине справедливо обратное утверждение, во всех точках |z|<R2 будет

сходится абсолютно не только ряд (2), но и ряд (1). После этого можно рассмотреть ряды

0

||k

k

k zc

и

0

||k

k

k xc и показать, что они имеют один и тот же радиус сходимости, используя первую теорему

Абеля.

В частности, справедливо

Следствие 3. Комплексный ряд с вещественными коэффициентами имеет тот же радиус

сходимости, что и вещественный ряд с этими коэффициентами.

Теорема 2 (Вторая теорема Абеля ) Если ряд (1) имеет радиус сходимости R, то он сходится

равномерно в любом замкнутом круге радиуса r < R.

Доказательство: По первой теореме Абеля ряд

0k

k

krc сходится, кроме того

k

k

k

k

k

k

k rcr

zrczc

для всех z: |z| r. По признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно на

этом множестве.

Теорема (Коши, Адамар) Радиус сходимости ряда (1) определяется по формуле R=n

nn

c ||lim

1

10,

0

1.

Согласно следствию 2 из первой теоремы Абеля, радиус сходимости комплексного степенного

ряда совпадает с радиусом сходимости вещественного степенного ряда

0

||k

k

k xc , радиус

сходимости которого определяется по формуле n

nn

c ||lim

1

.

Примеры:

1)

0

2

2k

kk z , имеем cn = 0, если n k2, cn = 2

k, если n = k

2. Поэтому

2

2k

kn

n |c| lim|c| lim

kn

,

так остальные коэффициенты при n 0,cn=0. Далее 12lim|2| lim|c| lim22

2k kk

k

k

kkk.

2) Функция Czez , . По определению полагаем

0 !k

kz

k

ze , по признаку Даламбера R = , либо согласно следствию 2 из первой теоремы

Абеля .

3) Функция Czz , sin . По определению полагаем

0

12

)!12()1(sin

k

kk

k

zz , рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя

следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = . Из определения следует, что sin (-z) = - sin z.

4) Функция Czz , cos . По определению полагаем


14

0

2

)!2()1(cos

k

kk

k

zz , рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя

следствие 2 из первой теоремы Абеля, получим R = . Из определения следует, что cos (-z) = cos z.

5) Функция Czzsh , . По определению полагаем

0

12

)!12(

k

k

k

zzsh , рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя следствие 2

из первой теоремы Абеля, получим R = .

6) Функция Czzch , . По определению полагаем

0

2

)!2(

k

k

k

zzch , рассматривая соответствующий вещественный ряд и используя следствие 2 из

первой теоремы Абеля, получим R = .

2.Свойства экспоненциальной и основных тригонометрических функций.

a) zi zeiz sin cos , действительно

0

12

0

2

0

1212

0

22

0 )!12(

)1(

!2

)1(

)!12(!2! k

kk

k

kk

k

kk

k

kk

n

nniz

k

zi

k

z

k

zi

k

zi

k

zie = ziz sincos .

Следствие:

c) cos z = 2

iziz ee , sin z =

i

ee iziz

2

.

Пример: |sin (iy) | = i

ee yy

2

=|sh y| при y . Синус (и косинус) по модулю может быть

больше единицы в комплексной области.

d) eu+v

=eu e

v

vuk

kklm

ml

kklm

ml

km

ml

lm

m

l

lvu evu

kvu

ml

k

km

v

l

u

m

v

l

u

m

v

l

uee

)(!

1

!!

!

!

1

!!!!!! 0000000

e) ziziz eeee 2 2 , таким образом 2 i является периодом, откуда следует, что sin и cos

имеют период 2 и в комплексной области.

f) Из c) и d) следует, что sin2 z + cos

2 z = 1 (непосредственная проверка)

g) sin iz = i sh z, cos iz = ch z, ch2z – sh

2z = 1. Доказывается, используя формулы Эйлера.

Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.

§1 Аналитические функции

1.Дифференцируемость. Условия Коши-Римана, моногенность.

Пусть f(z) – однозначная функция в области D C, Dz 0 . Обозначения:

),(),()( yxivyxuzfw , z = x + i y, z = x + iy, w = f = u + iv.

Определение. Функция f(z) называется моногенной в точке Cz 0 , если существует конечный

предел )(')()(

lim 0

0

0

0

zfzz

zfzf

zz

, который называется производной в точке. В этом случае

говорят также, что функция дифференцируема в смысле комплексного анализа.

Замечание: Для существования f(z0) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой

проколотой окрестности точки z0 имело место представление


15

w = A z + (z) z= A z + )( zo , (z)- бесконечно малая при z→z0 . ( A = f(z0)). Это условие

можно записать в виде: w = A z + |)(| zo , так как ||

||z

zzz

и поэтому |)(|)( zozo .

Теорема. Для того, чтобы однозначная функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) была моногенной в точке

z0 необходимо, а в случае дифференцируемости u, v и достаточно, выполнения условий Коши-Римана

x

v

y

u

y

v

x

u

, .

Необходимость: При вычислении предела возьмём z = x, тогда f(z0) = ux +ivx. Если брать z

= iy, то f(z0) = yyyy iuvvi

iui

11

. Сравнивая, получим требуемые соотношения.

Достаточность: В силу дифференцируемости w = u + i v = uxx + uyy + |)(| zo +i(vxx

+ vyy) +i |)(| zo =( ux +i vx) x + (uy +ivy )y + )( zo .

w=( ux +i vx) x + (uy +ivy )y + )( zo (1)

Используя условия Коши-Римана, получаем

w ( ux +i vx) x +( yivui

yy

1 + )( zo = yiuivxivu xxxx )(

+ )( zo = ))(( yixivu xx + )( zo =Az+ )( zo .

Замечание 1. Если функции vu, дифференцируемы, то

)( zozz

fz

z

ff

.

Действительно, в этом случае имеет место равенство (1)

w = ( ux +i vx) x + (uy +ivy )y + )( zo

Покажем, что ( ux +i vx) x + (uy +ivy )y = zz

fz

z

f

. Действительно: x =

2

zz ,y =

i

zz

2

,

x=2

zz , y =

i

zz

2

,

i

zzzziv

i

zzzzuf

2,

22,

2, поэтому

)(2

1

2

1

2

1

2

1

2

1yxyxyxyx uvivuv

iviu

iu

z

f

,

)(2

1

2

1

2

1

2

1

2

1yxyxyxyx uvivuv

iviu

iu

z

f

,

z

z

fz

z

f )()()()(2

1yixuvivuyixuvivu yxyxyxyx =

yivuxivu yyxx )()( .

Замечание 2. Выполнение равенства zz

fz

z

ff

+ )( zo и условий Коши-Римана

эквивалентно равенству 0

z

f.

Замечание 3*. Условия Коши-Римана в полярных координатах

),(),()sin,cos()sin,cos(),(),( riVrUrrivrruyxivyxuf .

0 VrUr , 0 UrVr (CR)

Действительно: sincos yxr uuU , cossin yx ruruU , sincos yxr vvV ,

cossin yx rvrvV . Далее

cossin

sincos

yx

yxr

ruruU

rururU. Решая эту систему, получим:


16

sincos UrUru rx , cossin UrUru ry . Аналогично

cossin

sincos

yx

yxr

rvrvV

rvrvrV, откуда следует sincos VrVrv rx , cossin VrVrv ry .

Тогда 0)(sin)(cos xyyxr vurvurVrU и

0)(sin)(cos xyyxr uvruvrUrV .

Так как z=|z| ei

, то в случае дифференцируемости u, v,

z

zoe

z

f

z

f

z

f i

)(2. Таким образом,

z

f

zz

0

lim зависит от направления , если 0

z

f.

И наоборот, для моногенной функции или, что тоже, при условии 0

z

f этот предел не зависит от

направления стремления 0zz .

2.Голоморфные функции. Аналитичность.

Однозначная функция w=f(z) комплексного переменного, моногенная в некоторой окрестности

точки z0 , называется аналитичной в точке z0.

Функция называется голоморфной в области D, если она аналитична в каждой точке области D.

В этом случае говорят об аналитичности в области.

Вместо слова моногенность употребляют выражение дифференцируемость в смысле

комплексного анализа, или просто дифференцируемость.

Так же, как для пределов действительных функций и производных действительных функций

доказываются обычные свойства пределов и правил дифференцирования. Например, имеют место

следующие свойства:

1) сумма двух аналитичных в точке функций будет аналитичной функцией в этой точке и

(f(z) + g(z))=f (z)+g(z)

2) Произведение и частное двух аналитичных в точке функций будет аналитичной

функцией в этой точке и )(')()()('))'()(( zgzfzgzfzgzf ,)(

)(')()(')(

)(

)(2 zg

zgzfzfzg

zg

zf

dz

d

.

В последнем случае, предполагается, что 0)( zg .

3) Таблица производных аналитических функций выглядит так же, как и для

действительных функций.

Пример: 1' kk kzz . Отметим, что kk zz 0

1

0

1

00)(k

m

mkmzzzz . Поэтому

1

0

1

0

1

00

1

0

1

0

0

0

00

limlim

kk

m

mkmk

m

mkm

zz

kk

zzkzzzzz

zz

zz.

Многочлен:

n

k

k

k zazP0

)( , рациональная функция (иногда говорят - дробно рациональная

функция):

m

k

k

k

n

k

k

k

zb

za

zQ

0

0)( аналитичны всюду, где они определены.

4) Сложная функция. Пусть w=g(), =f(z), g аналитична и однозначна в , а f

аналитична в D и осуществляет однозначное отображение D в , тогда суперпозиция w=g(f(z))

аналитична в D. Справедливо обычное правило дифференцирования сложной функции

)('))(('))(( zfzfgzfgdz

d .

5)


17

Теорема. Сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри круга сходимости и в

этом круге ряд можно почленно дифференцировать.

Доказательство: Обозначим 1

0 1

)(,)(

kn

k k

k

k

kn zkczgzczS . Радиус сходимости ряда

1

1

k

k

k zkc совпадает с радиусом сходимости исходного ряда

0k

k

k zc , так как

1||,1

1

1

1

kk

k

k

k

k

k kzkcz

zkc .

Пусть r=|z0|, выберем , удовлетворяющее условию r<<R, где R -радиус сходимости рядов

0k

k

k zc , 1

1

k

k

k zkc . Рассмотрим круг K с центром в 0z и радиуса - r . Для |:| zKz .

Степенной ряд

1

1

k

k

k zkc сходится абсолютно при z=, поэтому для заданного >0

:4

||1

1

Nk

k

kck .

Для этого N выбираем < - r так, чтобы при |z - z0|< выполнялось неравенство

2)('

)(

)()(0

0

0

zS

zz

zSzSN

NN ,

тогда при |z - z0|< будет выполнено неравенство

)(

)()(0

0

0 zgzz

zfzf. Действительно,

имеем

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

00

0

0 )()()(

Nk

k

kNk

k

k

Nk

k

kN

k

k

k

N

k

k

k

N

k

k

k

zkczz

zczc

zkczz

zczc

zgzz

zfzf

)('

)()(0

0

0 zSzz

zSzSN

NN

1

1

0

1 0

0 )(

Nk

k

k

Nk

kk

k zkczz

zzc <

2

41

1

0

0

1

Nk

k

m

mmk

k zzc <

1

1

0

1||Nk

k

m

k

kc + 4

3<

1

1||Nk

k

k kc 4

3 < .

Следствие 1. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в круге сходимости любое

число раз.

Пример: Доказать, что z

z

edz

de . Дифференцируем почленно

z

m

m

k

k

k

kz

em

z

k

z

k

z

dz

d

dz

de

01

1

0 !)!1(!.


18

Пример: Доказать, что zzzz sin)'(cos,cos)'(sin . Использовать формулы Эйлера.

Например, для sin z : zieieii

ee

dz

dz iziz

iziz

cos2

1

2)'(sin

.

Следствие 2. Если степенной ряд k

k

k zzc )( 0

0

сходится в круге | z - z0|<R, R>0 к функции f(z),

то ,...1,0,!

)( 0

)(

kk

zfc

k

k

Доказательство: Дифференцировать k раз

pk

pk

k

k

k

kp

pp zzcpkkkzzc

dx

dzf )()1)...(1()()( 0

0

0

)(

и подставить z=z0.

Определение. Если f(z) имеет производные любого порядка, то ряд k

k

k

zzk

zf)(

!

)(0

0

0

)(

называется рядом Тейлора функции f(z).

Как это видно из Следствия 2, ряд k

k

k zzc )( 0

0

является рядом Тейлора своей суммы. Из

следствия 2 также следует теорема единственности разложения в степенной ряд:

Теорема. Если два ряда k

k

k zza )( 0

0

и k

k

k zzb )( 0

0

совпадают в круге |z - z0|<R,R>0, то

ak=bk.

Определение. Функция f(z) называется регулярной в точке z0 , если она определена в

окрестности точки z0 и в некоторой окрестности этой точки

0

0)()(k

k

k zzczf

Функция называется регулярной в области, если она регулярна в каждой точке этой области.

3.Гармонические функции. Сопряженные функции.

Функция ),( yxu называется гармонической в области D, если она имеет непрерывные

частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению

Лапласа

02

2

2

2

y

u

x

uu .

Две гармонические функции vu, называются сопряженными, если они связаны между собой

условиями Коши-Римана.

Теорема. Если u гармоническая функция в связной области D , то для нее существует

семейство сопряженных функций, определяемых по формуле

),(

),( 00

),(

yx

yx

dyx

udx

y

uyxv .

Доказательство . Из условия гармоничности функции u следует, что поле

x

u

y

uQPV ,),( потенциальное и его потенциал v находится по формуле

),(

),( 00

),(

yx

yx

dyx

udx

y

uyxv . Так как QPvgrad , , то

x

uQ

y

v

y

uP

x

v

, . Что и

требовалось доказать.


19

Замечание. Если функция f(z) аналитическая в области D , то ее действительная и мнимая

части будут сопряженными гармоническими функциями. И, наоборот, по двум сопряженным

функциям vu, восстанавливается аналитическая функция ivuf .

§2 Конформные отображения

1.Существование обратной функции для аналитической функции в окрестности точки

Пусть f(z) = u(x,y) +iv(x,y) аналитична в точке z0 и f(z0)0

w=f(z):

),(

),(

yxvv

yxuu. Якобиан 0|)('|

),(

),( 222 zfvuvuvuvv

uu

yxD

vuDxxxyyx

yx

yx в

окрестности точки z0. Следовательно, 2

0 |)('| zf имеет смысл коэффициента искажения площади в

точке 0z при отображении )(zfw и существует обратная функция в некоторой окрестности точки

w0=f(z0), )(1 wfz , причём

0

0

)(

1)(,

1 1

z

w

dz

zdfdw

wdf

zww

z

.

2.Геометрический смысл аргумента производной.

Пусть -гладкая кривая Жордана, : z(t)=x(t)+iy(t), t[,], ),(,0)(' 0 ttz .Обозначим

образ кривой при отображении f. Предположим, что f(z) аналитическая в точке z0 функция и

f(z0)0.

Имеем : w(t)=f[z(t)], w(t0)=f(z0)z(t0). Так как при умножении комплексных чисел аргументы

складываются, то Arg f(z0) = arg w(t0) – arg z(t0).

Если arg z(t0) = , arg w(t0) = - главные значения аргументов, Arg f(z0) - угол

поворота кривой в точке z0 при отображении w = f(z), определяемый с точностью до 2k. Как видим,

этот угол не зависит от выбора кривой, проходящей через данную точку.

В частности, если в плоскости z пересекаются две кривые z1(t), z2(t), имеющие в точке

пересечения главные значения аргументов 1, 2, а их образы при отображении w=f(z),

соответственно, углы 1, 2, то мы получим 2 - 2 =arg f(z0)+2k2, 1 - 1 =arg f(z0)+2k1, откуда,

вычитая одно равенство из другого, получим 2 - 1 =2(k2- k1)+ 2 - 1. Полученное равенство

позволяет сформулировать следующее

Следствие. При сделанных предположениях ( аналитичность в точке и неравенство нулю

производной ) углы при отображении сохраняются. Кроме того, сохраняется «порядок обхода».

Например, если поворот от касательной к первой кривой в точке пересечения к касательной второй

кривой в плоскости z происходит против часовой стрелки, то тоже самое будет наблюдаться и в

плоскости w между образами этих кривых.

Пример: 2zw . Обратить внимание на сохранение углов и направлений поворота (9 точек

пересечений)


20

3.Геометрический смысл модуля производной.

z=x+iy, w=u+iv, dSdttvtudwdsdttytxdz )(')('||,)(')('|| 0

2

0

2

0

2

0

2, dw=f(z0)dz,

|)('| 0zfds

dS -коэффициент линейного растяжения кривой в точке при заданном отображении.

Коэффициент растяжения кривой в точке, не зависит от кривой, проходящей через эту точку.

Это коэффициент равен |f(z0)|. Это свойство называется свойством сохранения масштаба в точке z0.

Как уже отмечалось, 2

0 |)('| zf является коэффициентом растяжения площади в точке z0 при этом

отображении.

Пример: Обратить

внимание на изменение

площади при отображении 2zw в окрестности точки

10 z . Линейные размеры

увеличиваются

приблизительно в 2 раза

( 22'1

zzw ). Площадь в 4

раза.

4.Конформные отображения.

Определение (Конформность в C). Непрерывное, взаимнооднозначное отображение w=f(z)

области D на область D* называется конформным, если в каждой точке D имеет место

1) свойство сохранения углов

2) сохранение масштабов

в перечисленном выше смысле.

Как мы видели, если f(z) аналитична в точке z0 и f(z0), то отображение w=f(z) конформно в

некоторой окрестности точки z0.

Определение. Углом между кривыми z1(t), z2(t), в бесконечности ( предполагается, что

)(lim)(lim 21 tztztt

) называется угол в 0 между образами этих кривых при отображении

w=1/z, то есть между кривыми ttz

twttz

tw ,)(

1)(;,

)(

1)(

2

2

1

1 в точке 0w .


21

Изменение линейных размеров кривой

)(lim),(0

tztztt

в точке 0w определяется по

образу кривой 0,)(

1)( tt

tztw . И в том и в другом случае предварительно переводится в 0

отображением z

w1

. С учетом этих определений дается определение конформности в C .

Если требуется исследовать вопрос об угле или коэффициенте растяжения кривой )(tz при

t , то эту задачу можно решить, рассматривая кривую

1)( zZ в точке 0 . При решении

задач об изменении углов и масштабов в при отображении )(zfw можно руководствоваться

следующей таблицей

Решение задач с преобразованием углов и масштабов при отображении w=f(z)

Задача Решение

1. z0, f(z0) См. f(z0)

2. z0,f(z0) См. w1=f(1/w) в точке w0 0

3. z0,f(z0) См.

)(

11

zfw в точке z0

4. z0,f(z0) См.

wf

w1

11 в точке w0 0

Пример 1. Исследовать на конформность функцию iz

zw

1в расширенной комплексной

области.

Решение. В точках отличных от i и конформность следует из существования производной и

не равенства её нулю 22 )(

1

)(

)1()(

iz

i

iz

ziz

dz

dw

.

В точке z=i значение функции w=, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть

функцию 1

11

z

iz

ww в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования

производной и не равенства её нулю при iz , 0,)1(

1

)1(

)()1( 1

22

1

izdz

dw

z

i

z

izz

dz

dw.

В точке z= значение функции w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке

следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 ( с помощью замены

переменного

1z ). Таким образом, для исследования берётся функция

ii

w

1

1

1

11

в

точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля,

0,)1(

1

)1(

)1()1(

0

22

d

dw

i

i

i

ii

d

dw.

Пример 2. Исследовать на конформность в точке z= функцию w=i z - 2.

Решение. Во всех точках z производная существует и не равна нулю. При z= , w=,

поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены:

1z , и

w

1 . В итоге, для


22

исследования на конформность имеем функцию

22

1

1

i

i

w в окрестности точки 0 . Эта

функция в точке =0 имеет производную не равную нулю,

0,)21(

1

)21(

2)21(

0

22

d

dw

d

dw .

Пример 3: Докажем непосредственно свойство сохранения углов в т. 2i при отображении

iz

zw

2

2

.

Пусть z1(t) и z2(t) выходят из точки 2i. Для первой кривой t1,1, для второй t2,2. Точка

2i переходит в бесконечность, поэтому будем искать углы между кривыми

itz

tztw

twtw

2)(

)(2)(,

)(

1)(

1

11

1 и

itz

tztw

twtw

2)(

)(2)(,

)(

1)(

2

22

2 в точках 1, 2, соответственно. Для

этих кривых имеем '4

')2(''

2

12

2

1'

2z

22

k

k

ik

k

k

kkkk

k

k zi

z

iz

z

izzzz

z

iz

dt

dw

, поэтому угол

между образами wk в бесконечности будет равен:

'arg'arg'arg4

arg'arg4

arg'4

arg'4

arg 121212 zzzi

zi

zi

zi

Некоторые свойства конформных отображений ( без доказательства )

Свойство сохранения области. Если f(z) аналитична и однолистна (взаимнооднозначна) в

области D, то f(z)0 в D и f(z) конформно отображает D на D* . Кроме того, f -1

(w) аналитична в D*,

где D* образ D при отображении f(z).

Свойство сохранения границ. Пусть D и D* две области, ограниченные замкнутыми кривыми

Жордана D и D*. Если f(z) отображает D на D* конформно, то она отображает DDD на

*** DDD взаимнооднозначно и взаимно непрерывно с сохранением ориентации обхода

границы.

Свойство взаимнооднозначного соответствия. Пусть D и D* две односвязные области,

ограниченные замкнутыми кусочно-гладкими кривыми Жордана D и D* . Если аналитическая в D

функция взаимнооднозначно и непрерывно отображает D на D* с сохранением обхода, то эта

функция конформно отображает D на D*.

Теорема ( Риман ). Если граница односвязной области DC состоит более, чем из одной точки,

то существует аналитическая функция, конформно отображающая D на внутренность круга |z|<1,

причём эта функция единственна, если задать условия нормировки ( например, перевести заданную

точку z0 с заданным направление в заданную точку w0 с заданным направлением.

Глава 3. Примеры конформных отображений

§1 Дробно линейное отображение

1.Линейная функция.

w = a z + b, a0

Можно представить, как суперпозицию отображений: w1=|a| z, w2=ei arg a

w1, w = w2+b.

Взаимнооднозначно и конформно отображает zC на wC . Первое из этих отображений представляет

собой растяжение в |a| раз, второе - поворот плоскости на угол arg a, третье – сдвиг.

Определение. Окружностью в С будем называть обычные окружности, либо прямые.


23

Такие обобщенные окружности можно описать уравнением

A(x2+y

2)+Bx+Cy+E=0, 0222 CBA .

Подставляя i

zzy

zzx

2,

2

, получим эквивалентную форму представления окружности

022

Ez

iCBz

iCBzAz или 0 EzFzFzAz , 0|| 22 FA , 0|| 22 FE , A и

E вещественные.

Круговое свойство. Линейная функция сохраняет окружности.

Действительно, линейная функция представляет собой суперпозицию трех отображений:

растяжение, поворот, сдвиг. Не очевидным является только свойство сохранения окружностей при

растяжении. Если в уравнение окружности 0 EzFzFzAz подставить || a

wz , то получим:

0|||||| 2

Ea

wF

a

wF

a

wwA или 0''' EwFwFwwA , 0||' 22 FA , 0|| 22 FE , 'A и E

вещественные, т. е. снова уравнение окружности. Свойство сохранять обобщенные окружности

называется круговым свойством.

2.Преобразование инверсии.

Определение. Точки z, z* называются симметричными относительно окружности на C, если

они лежат на луче, выходящем из центра окружности и произведение расстояний от этих точек до

центра равно квадрату радиуса. Из условий |z* - z0||z - z0|=R2, arg(z - z0)=arg(z* - z0) следует

равенство, связывающее симметричные точки относительно окружности с центром в z0 и радиуса R

0

2

0*zz

Rzz

,

0

2

0*zz

Rzz

.

Способ построения симметричных точек виден из рисунка. Из точки z восстанавливается

перпендикуляр к лучу zz0 , из точки пересечения перпендикуляра с окружностью проводится

касательная до пересечения с лучом zz0 в точке *z . Симметрия точек z и *z следует из подобия

двух прямоугольных треугольников: |*|

||

0

0

zz

R

R

zz

.

Теорема. Для того, чтобы точки z , z* были симметричны относительно , необходимо и

достаточно, чтобы любая обобщенная окружность из С , проходящая через эти точки, была

ортогональна .

Доказательство. Отметим известное свойство касательных и секущих к окружности: квадрат

касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Необходимость. Дано: z , z* симметричны относительно .


24

Если - прямая, проходящая через z ,

z* , то и ортогональны. Пусть - некоторая обычная окружность,

проходящая через симметричные точки.

Проведем одну из касательных к

окружности из точки z0 и обозначим

точку касания . . Рисунок иллюстрирует

это построение.

Если точки симметричны, то по сформулированному свойству секущей, квадрат касательной

2

0 z будет равен R2, то есть точка должна лежать на окружности . Следовательно отрезок

соединяющий z0 и , с одной стороны будет радиусом к , а с другой стороны касательной к , что

означает ортогональность этих окружностей. Корректный рисунок приведен ниже, в доказательстве

достаточности.

Достаточность. Любая обобщенная окружность , проходящая через z , z* ортогональна .

Беря в качестве прямую получим, что точки z,

z* лежат на луче, выходящем

из центра 0z .

Проведем какую-

нибудь обычную

окружность через

точки z, z* . Обозначим

любую из точек

пересечения

окружностей , через

.

Так как окружности ортогональны, то отрезок z0 , будет касательной для и радиусом для .

По упомянутому свойству касательной, получим равенство |z* - z0||z - z0|=R2, следовательно, точки

*,0 zz симметричны относительно .

Пример: Инверсия области ]}2,2[]2,5.0[{ zD относительно единичной окружности


25

Доказанная теорема позволяет сформулировать эквивалентное определение симметричных

точек для расширенной комплексной плоскости.

Определение. Точки z, z* называются симметричными относительно обобщенной окружности

на С , если любая обобщенная окружность, проходящая через эти точки, ортогональна к .

Если обобщенная окружность является прямой, то симметрия точек относительно этой

прямой совпадает с симметрией относительно прямой в обычном смысле.

Определение. Отображение z z*, переводящее точку zС в симметричную z*

относительно , называется симметрией относительно окружности или инверсией. При этом мы

считаем, что центр переходит в , а в центр окружности.

3.Отображение z

w1

.

Это отображение обладает круговым свойство. Другими словами, образом обычной

окружности или прямой может быть только обычная окружность или прямая. Возможно, что

окружность перейдет в прямую или наоборот. Действительно, пусть дана окружность в

С : 0 EzFzFzAz , подставим в это уравнение w

zw

z1

,1

, получим

0111

Ew

Fw

Fww

A или 0 wEwFwwFA или 0 wEwwGwGA , с теме же

условиями на коэффициенты 0|| 22 GA , 0|| 22 GE , A и E вещественные.

Отображение z

w1

является конформным на расширенной комплексной плоскости ( легко

проверить в 0 и в бесконечности ).

Следствие. Симметрия 0

2

0*zz

Rzz

может быть реализована как суперпозиция пяти

отображений: сдвиг: 01 zzw , операция сопряжения: 12 ww , обратная: 2

3

1

ww , растяжение:

3

2

4 wRw , сдвиг: 405 wzw и поэтому сохраняет окружности и антиконформна. Под

антиконформностью понимается то, что направление поворота от одной кривой к другой в точке

пересечения меняется при отображении на противоположное.

Примеры - иллюстрации:


26

zw

1 ,

D: 0.1 ≤ |z| ≤ 1,

0 ≤ arg z ≤ 2

.

2

1

zw ,

D: 0 ≤ |z| ≤ 1,

0 ≤ arg z ≤ 2 .

4.Дробно линейная функция.

Дробно линейным называется отображение dcz

bazw

. Матрица

dc

ba называется

матрицей дробно линейного отображения. Обычно, мы будем предполагать, что эта матрица не

вырождена 0dc

ba и 0c . Дробно линейной отображение не изменится, если матрицу

«пронормировать», т. е. считать, что 1dc

ba. Это отображение

dczc

ad

c

a

dczc

addcz

c

a

dcz

baz

1)(

можно представить в виде суперпозиции простейших

отображений: BAwww

wdczw 23

1

21 ,1

, .

Из предыдущих свойств следует, что дробно линейное отображение является конформным на

расширенной комплексной плоскости и обладает круговым свойством.

Теорема. Свойство сохранения симметричных точек. Дробно линейное отображение L

переводит любые точки z, z*, симметричные относительно окружности на С , в точки w, w*,

симметричные относительно образа L() этой окружности.

Доказательство. Если z, z* симметричны относительно , то это означает, что все

«окружности» , проходящие через z, z* , ортогональны . Так как отображение L сохраняет углы и

окружности, то любая окружность, проходящая через w, w*, будучи образом некоторой , будет

ортогональна L(), что означает симметрию.

Свойства дробно линейных отображений


27

1) Дробно линейная функция взаимнооднозначно и конформно отображает всю

расширенную комплексную плоскость z на всю расширенную комплексную плоскость w. Обратное

отображение так же дробно линейно.

Взамнооднозначность. Разрешим уравнение dcz

bazw

относительно z .

acw

bdwzzcwabdwbazdczw

,)( ,)( . При этом z переходит в

c

aw , а

c

dz переходит в w . Если матрица отображения нормирована, то нормирована и матрица

обратного отображения и они взаимно обратны.

Конформность. Производная 0)()(

)()('

22

dcz

cbad

dcz

bazcdczaw во всех конечных

точках, если c

dz . Для проверки конформности в точке

c

dz рассматривается функция

baz

dcz

w

1, производная которой 0

)()(

)()(122

baz

adcb

baz

dczabazc

wdz

dв точке

c

dz .

Для проверки конформности в точке z рассматривается функция

dc

ba

dc

ba

w

1

1

1 в

точке 0 . Производная 0)()(

)()(122

dc

adbc

dc

baddcbw

d

d в точке 0 .

2) Суперпозиция двух дробно линейных отображений есть дробно линейное отображение.

Матрицы этих отображений при суперпозиции перемножаются: если

2221

1211

2221

1211

2221

1211 ))((,)(,)(cc

ccMLw

bb

bbMz

aza

azazLw

, тогда

ijijij bac . Проверяется непосредственно.

3) Круговое свойство и сохранение симметрии. Произвольное дробно линейное отображение L

обладает круговым свойством и переводит любые точки z, z*, симметричные относительно какой-

нибудь окружности на С , в точки w, w*, симметричные относительно образа =L() этой

окружности.

4) Каковы бы ни были три различные точки z1, z2, z3C и три различные точки w1, w2, w3C,

существует единственное дробно линейное отображение L такое, что L(zk)=wk, k=1,2,3.

Доказательство. Рассмотрим отображение )( 1 zL , переводящее точки z1, z2, z3 в 0, , 1 ,

13

23

2

11 :

zz

zz

zz

zzL

, z10, z2, z31. Аналогично, отображение )( 2 wL

13

23

2

12 :

ww

ww

ww

wwL

, будет переводить w10, w2, w31 Тогда отображение

1

1

21

1

2 ))(()( LLzLLzLw будет искомым : L(zk)=wk, k=1,2,3.

Для доказательства единственности, докажем лемму.


28

Лемма. Если дробно линейное отображение переводит точки 00, , то оно

тождественное.

Доказательство. Из 00 b=0, ( при этом можно считать, что a=1 ) таким образом,

отображение должно иметь вид dcz

azw

. c=0,

d

azw ,11 zw .

Докажем единственность. Предположим, что ещё одна дробно линейная функция w=f(z)

обладает этим свойством. Тогда 1

12

LfLg оставляет на месте 0,,1. Такое отображение

является тождественным 1

12

LfLI , откуда следует, что LLLf

1

1

2 .

5) Непосредственной проверкой можно убедиться, что

)(,::42

41

32

31

42

41

32

31kk zLw

zz

zz

zz

zz

ww

ww

ww

ww

.

Пример. Найти образы

обобщенных окружностей

321 ,, : 1 iz ,

вещественная и мнимая оси

при отображении iz

izw

.

Замечание. Обобщенная окружность является прямой только тогда, когда она проходит

через точку , в противном случае она является обычной окружностью.

В отображается точка i , которая принадлежит “окружности” 1 . Это значит, что только

*1 является прямой, а *2 , *3 будут обычными окружностями. Для того, чтобы нарисовать

прямую *1 возьмем любые две симметричные относительно “окружности” 1 точки 21, zz ,

например, -1, 1. Эти точки перейдут в симметричные точки **, 21 zz относительно *1 . Подставляя

значения -1, 1 в iz

izw

найдем образы этих точек ii, .

Рисуем прямую *1 , для которой эти точки являются симметричными

Для изображения окружностей *2 , *3 нужно найти их центры и точки, через которые они

будут проходить. Для нахождения центра окружности *2 найдем точку симметричную .


29

Центром окружности *2 будет точка 0 . Так как все три кривые пересекаются в 0, а 0

переходит в -1, то *2 будет окружностью радиуса 1.

Тоже самое для окружности *3 . Находим, кто симметричен прообразу .

Точку 2

i, симметричную i относительно окружности 3 находим из соотношения инверсии.

§2 Степенная функция w=zn, n - натуральное.

1.Отображение степенной функцией.

w=zn=r

ne

in. Область однолистности: для того, чтобы условие однолистности нарушалось в

области D, в этой области должна существовать пара различных точек 21 zz , для которых образы

совпадают:nn zz 21 . В этом случае |z1|=|z2| и n arg z1 = n arg z2 + 2k,

n

kzz

2argarg 21 .

Поэтому, если в какой-либо области для различный точек 21 zz будет выполнено

соотношение n

zz2

argarg 21 , то однолистность нарушаться не будет. В частности, каждую из


30

областей n

kz

n

kDk

)1(2arg

2:

функция w=z

n отображает однолистно на плоскость с вырезом

по положительной части действительной оси.

Пример: 5zw . Выбрана область

5

6,

5

4arg ,1.0||

zz

2.Обратная функция.

Определение. Функция f(z) называется однозначной ветвью на множестве D многозначной

функции F(z), определённой на D, если f(z) однозначная, непрерывная функция, совпадающая с одним

из значений F(z) в каждой точке zD.

Пример: Обратная функция n wz многозначна ( n различных корней, если w0 )

n

kwi

n ewz

2arg

||

. Рассмотрим n экземпляров плоскости Cw с разрезом по положительной

части вещественной оси, будем их обозначать D*k , k =0,1,…, n - 1. Определим одну из возможных

ветвей. Зафиксируем некоторую точку wkD*k и для её образа выбираем значение

n

ki

n

wi

nk

n

kwi

nkk eewewz

kk 2arg2arg

||||

.

Значение ветви gk(w) в любой точке w D*k будем определять следующим образом: положим

n

ki

n

Argwi

n eewz

2

|| , где Arg w получен из arg wk непрерывным изменением вдоль какой-либо

кривой, соединяющей w и wk. Можно показать, что конечное значение arg w не будет зависеть от

конфигурации пути, поэтому определение корректно.

В данном случае (удачный выбор областей *kD ) можно было бы не прибегать к услугам

кривой , а считать выражение n

ki

n

wi

n eewz

2arg

|| за определение k-ой ветви. Таким образом, можно

выделить n однозначных ветвей для функции n w . Обозначают эти ветви kn w . Ветвь,


31

соответствующая k, есть конформное отображение области D*k на область

n

kz

n

k )1(2arg

2 .

Замечание. При отображении n wwz * , в плоскости w при полном обходе вокруг начала

координат arg w получает приращение 2 и мы приходим к другому значению w* в плоскости z ,

**,*,* 2121 wwwwww nn .

Такие точки называются точками ветвления, точное определение точки ветвления будет

дано в следующем пункте. Для степенной функции, кроме 0, точкой ветвления является .

3. Понятие римановой поверхности для функции wz

Два листа D*0 , D*1 склеены, как показано на рисунке. При обходе точкой w по 0 по верхнему

листу D*0 образ z пройдет пол-оборота по кривой 0 в верхней полуплоскости D0 плоскости z.

Продолжаем движение, переходим в месте склейки с верхнего листа D*0 на нижний лист D*1 на

кривую 1 в плоскости w. Далее образ z будет двигаться по 1 в нижней полуплоскости D1 плоскости

z и полностью завершит оборот, когда точка w вернется на верхний лист D*0 по кривой 1 .

Поверхность D*0 D*1 взаимнооднозначно отображается на всю плоскость Cz . Эта поверхность

D*0D*1 называется поверхностью Римана.

Определение. Если в любой достаточно малой окрестности точки aС существует

замкнутая Жорданова кривая (можно считать окружность с центром a), содержащая внутри

точку a такая, что при обходе , начиная с точки z0 ( и непрерывном изменении модуля и


32

аргумента ) значение ветви fk (z0) многозначной функции F(z) переходит в значение другой ветви

)( 01 zf , то точка a называется точкой ветвления.

Пример. Поверхность Римана для 3 wz .

§3 Функция w=ez

1.Отображение zew .

w=u+iv=exe

iy, |w|=e

x, arg w = y

Нарушение условия однолистности: 21 zz , в то время, как 21 zzee , или x1=x2, y1=y2+2k,

поэтому в областях вида Dk={z:2k < Im z < 2(k+1) } однолистность нарушаться не может. Каждая

из таких областей однолистно отображается на плоскость с разрезом по положительной части

вещественной оси.

Пример. zew , ],0[]2,2[ z


33

Пример: zewD

,

4

3,02,0

2.Обратная функция.

Если w=ez, то |w|=e

x, x=ln |w|, arg w = y откуда для обратной функции z = Ln w = ln|w|+i Arg w

= ln|w|+i (arg w + 2k ). При k=0 получаем ln w. Для wLnz поверхность Римана набирается из

счетного числа листов, имеющих разрез по положительной части вещественной оси и склеиваемых

друг с другом последовательно.

§4 Функция Жуковского

1.Определение

)1

(2

1

zzw Определена, однозначна и аналитична всюду в C кроме z=0.


34

2

11

2

1'

zw ,w0 при z1, таким образом, эта функция конформна в любой точке кроме

1z , ( конформность в 0 и в проверить самостоятельно )

Нарушение однолистности. 21

2121

2

2

1

121 ,11

,zz

zzzz

zz

zzzz

0

11

21

zz

,

откуда следует, что однолистность нарушается в точках 21, zz , 21 zz : z1z2=1. Областью

однолистности является, например, каждое из следующих множеств |z|<1, |z|>1, 0Im z .

Пусть z=r ( cos + i sin ) = r ei

, тогда ,sincos

sincos2

1

r

iirrivuw

sin1

2

1 ,cos

1

2

1

rrv

rru (1)

Следовательно, окружность r=r0 переходит в эллипс с полуосями

144

1,

1

2

1,

1

2

1 222

0

0

0

0

bac

rrb

rra . Фокусы в точках c = 1.

Из (1) следует, что лучи arg z = переходят в гиперболы 1sincos 2

2

2

2

vu с фокусами 1.

Асимптоты гипербол tguv . Функция Жуковского переводит внешность единичного круга на

плоскость с разрезом по отрезку [-1,1].


35

Пример. Функция Жуковского 2

arg0,2||2.0

zz .

Функция Жуковского 2arg0,2||1 zz .


36

Щель ]1,1[ на действительной оси получена в результате сплющивания единичной

окружности .

2.Обратная функция

1 ,1

2

1 2

wwz

zzw . Рассмотрим область ]1,1[\* CD в плоскости w, плоскость

с щелью ]1,1[ . Первая однозначная ветвь f1(w) переводит D* в |z|<1, вторая ветвь f2(w) переводит

D* в |z|>1. Точки w=1 являются точками ветвления.

§7 Таблица некоторых конформных отображений.

1)zz

zzew i

0

0

1

, точка 0z отображается в 0, симметричная относительно единичной

окружности точка 0

1

z отображается в , поэтому, образом единичной окружности будет единичная

окружность.


37

2) Верхняя полуплоскость на единичный круг. 1,,,00

000

u

u

zz

zzewzz i

.

3) Угол { z: arg z (0, ),0 < < 2 } на верхнюю полуплоскость

zw . Напоминание ierz .

4) В частности w=z2 отображает первый квадрант на верхнюю полуплоскость.

5) Плоскость с разрезом по положительной части вещественной оси на верхнюю полуплоскость

zw

6)

7) Частный случай

8) Частный случай


38

9)

10)

11)


39

zzw

1

2

11||1.0 z , zarg0

12)

13)

14)

Пример. Отобразить область

Решение

2

23

1

121

1

2

1,

1

2

1,

www

wwwew z


40

Пример.

12

1 zzw (нужная ветвь) на верхнюю полуплоскость, затем w2=w12.

Пример. Отобразить верхнюю полуплоскость с вырезанными полукругами 1|1|,1|1| zz

на верхнюю полуплоскость.

Все три обобщенные окружности 321 ,, проходят через точку 0, поэтому, если перевести 0 в

отображением z

w1

1 , то образы **,*, 321 будут прямыми линиями. Беря какие либо

симметричные точки относительно 321 ,, , найдем симметричные точки относительно прямых

**,*, 321 в плоскости 1w . Возьмем в качестве симметричных точек относительно 1 точки ii , ,

образами которых будут ii, и поэтому *1 будет вещественной осью. Для 2 возьмем 1, ,

образами которых будут 1,0, следовательно *2 - вертикальная прямая, проходящая через точку 1/2.

Для *3 возьмем -1, с образами -1,0. *3 - вертикальная прямая, проходящая через точку -1/2.


41

Сделаем поворот на 90 градусов и

сдвиг вверх на 1/2:

21

22

iwew

i

. В результате

получаем полуполосу,

показанную не рисунке.

Далее растяжение в раз: 23 ww . Полученную полу-полосу переведем в верхнюю

плоскость с вырезанным полукругом: 3

4

wew , которая переводится в верхнюю полуплоскость

функцией Жуковского:

4

45

1

2

1

wwww . Итоговое отображение получается суперпозицией

найденных отображение: zwwwwwzw 12345)( = 22

2

1 wwee

=

z

i

ei

ch 2

2

.

Глава 4. Теория интеграла

Далее всюду в этой главе рассматриваются однозначные функции.

§1. Понятие интеграла. Теорема Коши.

1.Интеграл и его свойства.

Для кривой и функции f(z), определенной на ней, рассматриваются интегральные суммы

1

0

1 ))((n

k

kkk zzf .

Интеграл определяется, как предел этих сумм в стандартном смысле (характеристика стремится

к нулю, предел не зависит от выбора разбиения и промежуточных точек ) и обозначается

dzzf )( .

Если кривая имеет параметризацию z(t), t[,], интегральные суммы в определении будут выглядеть

следующим образом

1

0

1

0

1 )('))(())()())(((n

k

kkk

n

k

kkk tzzftztzzf .

Для непрерывной функции f(z) и непрерывно дифференцируемой кривой z(t), t[,] эти

суммы будут сходиться к интегралу

dttztzf )('))(( . Расписывая действительную и мнимую части,

интеграл можно выразить через криволинейные интегралы

udyvdxivdyudxdzzf )( .

Это равенство можно принять за определение интеграла в случае, когда последние два

интеграла существуют.

Свойства интеграла по заданной кривой:


42

1) Линейность:

dzzgdzzfdzzgzf )()())()(( .

2) Аддитивность по множеству:

dzzfdzzfdzzf )()()( .

3)

dzzfdzzf )()( .

4) lzfdzzfz

|)(|max)(

, где l – длина кривой. Это неравенство следует из определения

(оценка интегральных сумм).

5) Если - кусочно гладкая и fk() сходится равномерно на к f(), то

dfdfkk

)()(lim . Это следует из предыдущего свойства.

6) Определение интеграла по границе многосвязной области D=01…m .

D

m

kk

dzzfdzzf0

)()( . Обход по каждому связному куску границы происходит так, что область

остается слева

2.Теорема Коши.

Если D- ограниченная область, D, граница которой - кусочно гладкая Жорданова кривая

из D, гомотопная нулю (область, ограниченная этой кривой, односвязна ) и f аналитическая в D, то

0)( dzzf .

Доказательство. Для действительной и мнимой частей интеграла воспользуемся формулой

Грина и условиями Коши-Римана:

0)()()(

dxdyvuidxdyuvudyvdxivdyudxdzzf yxyx

Формула Грина справедлива и для многосвязных областей. Поэтому справедлива

Обобщенная теорема Коши. Пусть D- ограниченная область с границей D=01…m , а

f функция, аналитическая в D и непрерывная в DDD , тогда

D

dzzf 0)( .

Следствие. В области D интеграл

dzzf )( не зависит от пути интегрирования, а только от

начальной и конечной точек кривой.

Таким образом, интеграл от аналитической функции в многосвязной области D не изменяется,

если путь интегрирования непрерывно деформировать, оставляя неподвижными концы.


43

§2 Интеграл Коши

1.Интегральная формула Коши.

Пусть D - m-связная область с границей D=01…m-1 и f – аналитическая в D,

непрерывная в DDD функция. Имеет место формула

D

DDDz

Dzzfd

z

f

i ,0

),()(

2

1

Доказательство. Если zDD, то равенство нулю интеграла следует из аналитичности

подинтегральной функции z

f

)( для всех D.

Пусть C – окружность с

центром в z: (t)=z+reit

достаточно малого радиуса.

Для области с границей CD точка z является

внешней.

В этом случае, согласно обобщенной теореме Коши

CD

dz

f0

)(

, откуда следует, что

C

z

df

)(=

Dz

df

)(. Так как d=r i e

it dt, то

C

dz

f

)(= dtire

re

rezf it

it

it

2

0

)(=

)(2)(

2

0

iit rezifdtrezfi . Последнее равенство следует из теоремы о среднем с некоторой

промежуточной точкой . В полученном равенстве

D

i

z

df

irezf

)(

2

1)( переходим к

пределу при 0r и получаем требуемое равенство

Dz

df

izf

)(

2

1)( . Отметим, что

D

z

df

)(=

2

0

)( dtrezfi it, то есть, последний интеграл

2

0

)( dtrezf it является константой,

другими словами, не зависит от r.

Следствие. Теорема о среднем. Если f непрерывна на |z| r и аналитическая в |z|<r, то

dtrezfzf it )(2

1)(

2

0

00

2.Интеграл типа Коши. Интегралом типа Коши называется интеграл

d

zizF

)(

2

1)( , где - кусочно-гладкая замкнутая кривая Жордана, ограничивающая

односвязную область D, а - непрерывная на функция.


44

Теорема. Интеграл типа Коши является аналитической функцией в области D и

d

zi

nzF

n

n

1

)(

)(

)(

2

!)(

Доказательство. Граница Г предполагается спрямляемой. Обозначим ее длину через l.

Выпишем равенства, необходимые для вычисления производной:

d

zzzzzid

zizz

zFzF2

000

2

00

0

)(

1111)(

2

1

)(

)(

2

1)()(

.

Выражение внутри второго интеграла преобразуется к виду:

)()()(

1

))((

1

)(

11112

0

0

2

00

2

000 zz

zz

zzzzzzzz

.

Выберем окрестность точки z0 , целиком лежащую в области D

Если |z - z0|<2

, то расстояние от до таких точек z будет больше чем /2, тогда, если ,

то 8||

)()( 3

0

2

0

0

zz

zz

zz

, откуда следует неравенство

8||

|)(|max2)(

)(

2

1)()(3

0

2

00

0

zzld

zizz

zFzF

.

Таким образом, существует

d

zizz

zFzF

zz 2

00

0

)(

)(

2

1)()(lim

0

. Аналогичным образом

можно доказать существование старших производных и формулу для их вычисления.

§3 Первообразная.

1.Теорема Морера.

Теорема. Пусть D односвязная область, f() непрерывна в D и интеграл z

z

dfzF

0

)()( ,

z,z0D не зависит от пути интегрирования, или, что тоже, 0)(

df для любой замкнутой

кривой Жордана, лежащей в D. Тогда F(z) аналитическая в D и ее производная F(z)=f(z).

Доказательство.

Рассмотрим две точки z и z+z, путь из z0 в

z обозначим , путь из z0 в z+z пусть будет 1,

где 1 - отрезок: z(t)=z+z t, t[0,1].

Тогда


45

)()()(1

)()()(

1

zfdfdfz

zfz

zFzzF

1

)()(1

zfdfz

=

1

0

)()(1

zfzdtztzfz

= 0)()(

1

0

dtzfztzf , при z0.

Определение. Функция F(z) такая, что F(z)=f(z) называется первообразной для f(z) на

рассматриваемой области.

Теорема. Любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.

Доказательство. Пусть F1(z), F2(z) первообразные для f(z). Положим =F2 - F1. Так как

голоморфна, то 0

z, кроме того, из условия 0

z, следует, что 0

x, 0

yоткуда и

следует требуемое утверждение.

Напоминание. (z)= (x,y)=

i

zzzz

2,

2,x=ux+ivx, y=uy+ivy

.2

1

2

1

2

1yx i

iyxz

.0,0

zzyi

zzx

2.Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если F(z) первообразная аналитической функции f(z), то

z

z

zFzFdf

0

)()()( 0 ,

в частности,

z

a

dfСzF )()( .

Доказательство. Если F(z) – первообразная для функции )(zf , то

z

z

zFССzFdf

0

)()()( 0

Глава 5. Ряды Тейлора и Лорана

§1 Ряд Тейлора аналитической функции

Напоминание. Равномерно сходящийся на ряд из непрерывных функций можно почленно

интегрировать.

1.Теорема Тейлора.

Теорема (Тейлор). Если f аналитическая функция в области D, то для каждой точки z0D

имеет место разложение

0

0

)(

00!

)( ,|| ,)()(

k

k

k

k

kk

zfaRzzzzazf =

C

kd

z

f

i

1

0 )(

)(

2

1,

R >0 – радиус сходимости ряда, разложение единственно.

Доказательство. Пусть меньше, чем расстояние от z0 до границы D.

.2

1

2

1

2

1yx i

iyxz


46

Из аналитичности f(z) следует, что для всех z лежащих внутри круга ,|| 0 zz

ограниченного окружностью C с центром z0 и радиуса получим:

C

dz

f

izf

)(

2

1)( . Так как

0

00 1

111

z

zzzz

01

0

0

)(

)(

kk

k

z

zz

, то

C kk

k

dz

zzf

izf

01

0

0

)(

)()(

2

1)(

=

0

1

0

0)(

)(

2

1)(

k C

k

k dz

f

izz

=

0

0)(k

k

k zza , где

C

kk dz

f

ia

1

0)(

)(

2

1.

Ранее отмечалось, что степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы, в частности

является бесконечно дифференцируемой функцией, таким образом, для его коэффициентов получаем

равенство:

C

kk

k

dz

f

ia

k

zf

1

0

0

)(

)(

)(

2

1

!

)(. Единственность следует из той же теоремы.

При почленном интегрировании использовалась равномерная сходимость ряда, которая следует

из неравенства 1||

)(

)( 0

0

0

k

k

k

k zz

z

zz

для C .

Следствие. Аналитическая в области D функция f(z) бесконечно дифференцируема в этой

области и ее производные вычисляются по формуле

C

n

n dz

f

i

nzf

1

)(

)(

)(

2

!)( ,

где C –контур, содержащий точку z , ограничивающий область D , .

2.Неравенство Коши для коэффициентов ряда Тейлора. Теорема Лиувилля.

Утверждение. Если аналитическая в круге |z - z0|<R функция f(z) ограничена на окружности |z

- z0|=R, например, | f(z)|M, то для коэффициентов ak в разложении по формуле Тейлора

0

0)()(k

k

k zzazf справедливы неравенства ,...1,0,|| kR

Ma

kk


C

kk dz

f

ia

1

0)(

)(

2

1 , Rzf

Ra

kk

2|)(|max1

2

1||

1 ч.т.д.

Теорема Лиувилля. Если f аналитическая на всей комплексной плоскости и ограничена, то она

константа.

Доказательство. Достаточно в неравенстве ,...1,0,|| kR

Ma

kk перейти к пределу при R.


47

§2 Единственность аналитической функции. Принцип максимума модуля.

1.Внутренняя теорема единственности аналитических функций. Нули аналитических функций.

Теорема. Пусть f(z) аналитическая функция, не тождественно равна нулю и f(a)=0, то

существует натуральное n , такое, что f(z)=(z - a)n g(z), где g(z) - аналитическая функция в точке a,

не равная нулю в некоторой окрестности точки a. Число n называется кратностью нуля.

Отметим, что для того, чтобы a была нулем кратности n, необходимо и достаточно, чтобы

выполнялось условие:

0)(,0)(...)(')( )()1( afafafaf nn.

Доказательство. Возьмем разложение функции по формуле Тейлора в окрестности точки a:

0

)()(k

k

k azazf . Пусть n - индекс первого, отличного от нуля коэффициента ak :

)()()()()()()()(0

zgazazaazazaazazazf n

m

m

mn

n

nk

nk

k

n

nk

k

k

.

Отсюда следует, в частности,

Теорема. Если f(z) аналитическая в точке a, f(a)=0 и не является тождественным нулём, то

этот нуль изолирован, то есть, в некоторой окрестности нет других нулей.

Ещё одно следствие.

Теорема. Если f(z) и g(z) аналитические в области D и совпадают на некоторой

последовательности точек ak aD , то f(z)g(z) в D.

Для доказательства рассматривается функция h(z) = f(z) – g(z), имеющая a не изолированным

нулем. Из предыдущей теоремы следует h(z) 0.

2.Принцип максимума модуля аналитической функции.

Теорема. Если не тождественно постоянная функция f(z) аналитична в односвязной области

D и непрерывна в DD, то её модуль не может достигать максимального значения в области D.

Другими словами, максимальные значения модуля функции могут достигаться аналитической

функцией только на границе области.

Доказательство. Предположим противное, пусть DzzfzfMDz

00),()(max . Тогда

существует окружность С с центром в z0, на которой не все значения функции равны M . Иначе

функция является постоянной в круге с центром в z0 максимально возможного радиуса. Тоже самое

можно сказать про любую точку границы этого круга, внутренней по отношению к области D. Таким

образом, можно доказать постоянство функции во всей области D . Пусть 0С и |f(0)|<M,

существует некоторая окрестность этой точки на окружности, где |f()|<M - , U(0)C. Длина

этого участка окружности пусть будет равна 2 .

По теореме о среднем

CUUC

it tdrezfzf\

2

0

002

1)(

2

1)(

. Отсюда


48

22

1)(2)22(

2

1)( 0 MMMzfM .

3.Терема Вейерштрасса

Теорема 1. Если ряд аналитических в области D функций

1

)(),(k

kk zfzf равномерно сходится

на любом компакте KD, то

1)

1

)()(k

k zfzf аналитическая в D

2) ,...2,1,)()(1

)()(

pzfzfk

p

k

p и этот ряд сходится равномерно на любом компакте,

лежащем в области K D .

Доказательство. Рассмотрим окрестность U точки z0 , лежащую в D со своим замыканием.

Границу U ориентированную положительно обозначим С .

Сумма ряда

1

)()(k

kff непрерывна на C . Рассмотрим интеграл типа Коши

d

z

f

izF

C

)(

2

1)( , эта функция аналитична в U и там

d

z

f

i

pzF

C

p

p

1

)(

)(

)(

2

!)( , ряд

0

11)(

)(

1

)(

)(

k

kppf

zz

f

сходится равномерно на C, следовательно, его можно почленно интегрировать.

d

z

f

i

pdf

zi

pd

z

f

i

pzF

k C

p

k

C k

kp

C

p

p

01

011

)(

)(

)(

2

!)(

)(

1

2

!

)(

)(

2

!)(

0

)()(

k

p

k zf , в частности, F(z)= fk(z)=f(z). В силу произвольности z доказанное утверждение

распространяется на все точки из D.

Равномерную сходимость ряда из производных будем доказывать только в частном случае,

именно, когда K является замкнутым кругом радиуса r0, лежащем в D . Несколько увеличим радиус

этого круга так, чтобы вновь полученный круг K* радиуса r также лежал в D . Границу этого круга,

ориентированную положительно обозначим C.


49

Тогда для всех zK будет выполнено

n

k C

p

k

C

p

n

k

p

k

p dz

f

i

pd

z

f

i

pzfzf

011

0

)()(

)(

)(

2

!

)(

)(

2

!)()(

=

n

k

kC

p

C

p

n

k

k

ffrr

rpd

z

ff

i

p

01

0

1

0 )()(max)(

1

2

2 !

)(

)()(

2

!

.

Откуда и следует требуемое утверждение.

Теорема 2. Если ряд fk(z) аналитических в области D со спрямляемой границей D и

непрерывных в замыкании DD функций fk(z) равномерно сходится на границе D, то этот ряд

равномерно сходится и в D. В частности, по теореме 1, сумма этого ряда будет аналитической

функцией в области D.

Доказательство будет проведено только для любого компакта лежащего в D и имеющего

спрямляемую границу.

Доказательство. Обозначим сумму ряда Dffk

k

,)()(1

. Для Dz рассмотрим

интегралы типа Коши:

1 1

1 )()()(

2

1)(

2

1)(

2

1)(

k D k

kk

D

k

k

D

zfzfdz

f

id

z

f

id

z

f

izF

, таким

образом, для любого zD:F(z)=f(z). Пусть компакт K D и - расстояние от K до границы D, l –

длина этой границы. Тогда для всех zK

|)()(|max1

2

1

||

|)()(|

2

1|)()(|

11

1

n

k

kD

n

k D

n

k

k

k ffldz

ff

zfzf

§3 Ряды Лорана

Определение. Ряд вида

1 00

00)(

1)()(

kkk

k

k

k

k

k

kzz

czzczzc называется рядом

Лорана.

0

0)(k

k

k zzc называется правильной частью,

1 01

0)(

)(m

m

m

k

k

kzz

czzc называется

главной частью ряда Лорана. Областью сходимости такого ряда ( в случае наличия членов с

отрицательными показателями ) будет кольцо r<|z - z0|<R, в частности, может быть r=0, R=

(проколотая окрестность точки z0).


50

Из свойств степенных рядов следует, что ряд Лорана сходится равномерно на любом компакте,

лежащем в кольце r<|z - z0|<R , в частности, ряд Лорана можно почленно интегрировать по кривым,

лежащим в кольце сходимости. Из соответствующего свойства степенных рядов следует

возможность почленного дифференцирования ряда Лорана.

Теорема Лорана. Если функция f(z) – аналитическая в кольце К: 0 r0 <|z - z0|<R0 , то

k

k

k Kzzzczf ,)()( 0 , где

C

kk kdz

f

ic ,...2,1,0,

)(

)(

2

11

0

С - окружность {| - z0|=, r0 < <R0 }


Выберем кольцо r<|z - z0|<R

так, что r0 < r, R < R0 . Окружности

с центром z0 и радиусами r, R ,

положительно ориентированные,

обозначим Cr , CR .

По формуле Коши для области (кольца) с границей rR CC при }||{ 0 Rzzrz

выполнено равенство

d

z

f

id

z

f

izf

rR CC

)(

2

1)(

2

1)(

В первом интеграле RC и

1,)(

)(

1

111

0

0

01

0

0

0

00

z

zz

z

zz

z

zzzz kk

k

,

R RC k C

k

kzzd

z

f

id

z

f

i 0

01

0

)()(

)(

2

1)(

2

1

(2)

Для

1 0

1

0

01

0

0

0

00 )(

)(

)(

)(

1

1

)(

11:

mm

m

m

m

rzz

z

zz

z

zz

zzzzС

d

z

f

izzd

z

f

izzd

z

f

ir r rC m C k C

k

k

mm

1 1

1

0

01

00 )(

)(

2

1)(

)(

)(

2)(

1)(

2

1.

Интегралы

RC

kkd

z

f0,

)(

)(1

0

и

rC

kkd

z

f0,

)(

)(1

0

равны, соответственно,

C

kd

z

f1

0)(

)(, k0,

C

kd

z

f1

0)(

)(,k<0 (в области аналитичночти контуры можно

деформировать без изменения величины интеграла).

Теорема. Разложение в ряд Лорана единственно.

Доказательство. Отметим, что справедлива

Лемма. Имеет место равенство


51

rzz

m

mi

mdzzz

||

0

01,2

1,0)(

Доказательство леммы.

||

2

0

00

0

)(,)(zz

itimtmmit dtrieerdzzzreztz =

i rm+1

2

0

)1( dte tmi. Откуда и следует требуемое равенство.

k

k

k

k

k

k zzbzzczf )()()( 00 умножая на 1

0)(

1 nzz

, получим

k

nk

k

k

nk

k zzbzzc 1

0

1

0 )()( . Интегрируя последнее равенство по C , получим 2icn=2ibn.

Возможность почленного интегрирования обеспечивается равномерной сходимостью на любой

окружности внутри кольца.

Теорема. Для коэффициентов ряда Лорана имеет место неравенство

n

C

n

f

c

|)(|max

||

.


||max2

2||

||max

2

1

)(

)(

2

1||

111

0

fdf

dz

fc

n

C

n

C

nn

.

§4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.

Определение. Ca называется изолированной особой точкой ( и.о.т.) функции f, если

существует проколотая окрестность этой точки, где функция аналитична, а в самой точке a

функция не является аналитичной.

Пример. z+1/(z-1) изолированные особые точки 1, .

Определение. И.о.т. a называется устранимой, если существует конечный предел )(lim zfaz

,

полюсом, если

)(lim zfaz

, существенно особой точкой, если предел )(lim zfaz

не существует.

Теорема. Для того, чтобы и.о.т. a была устранимой необходимо и достаточно, чтобы

разложение в ряд Лорана в этой точке не содержало отрицательных степеней z – a .

0

)()(k

k

k azczf , т.е., отсутствовала главная часть.

Достаточность очевидна. Если

0

)()(k

k

k azczf , то )(lim zfaz

=с0 .

Необходимость. Для коэффициентов разложения в ряд Лорана

k

k

k azczf )()( имеет

место неравенство n

C

n

f

c

|)(|max

||

. Тогда при 0n будет 0

|)(|max

lim||0

n

C

n

f

c

.

Следствие. После доопределения по непрерывности функция становится аналитичной в

данной точке.

Теорема. Для того, чтобы и.о.т. была полюсом необходимо и достаточно, чтобы в

разложении в ряд Лорана присутствовала главная часть следующего вида:

1

)(nk

k

k azc .


52

Достаточность.

0

1

)()(k

k

k

nk

k

k azcazc = ...)()()(

1 2

21

azcazccaz

nnnn и

)(lim zf

az.

Необходимость. Дано

)(lim zfaz

, тогда a есть изолированный нуль функции

)()()(

1)( zhaz

zfzg n и 0)( zh в окрестности точки a.

0

)()(

1

)(

1

)(

1)(

k

k

knnazb

azzhazzf , так как

)(

1

zhаналитическая в точке a функция.

Определение. Порядком полюса a функции f называется кратность нуля a функции )(

1

zf.

Следствие. Для полюса a порядка n, имеет место разложение

nk

k

k azczf )()(

Определение. Порядком полюса z= функции f(z) называется натуральное число n, равное

наибольшей из положительных степеней z с отличными от нуля коэффициентами в разложении.

n

k

k

k

k

k

k zczczf0

1

)( , n – порядок полюса z=.

Теорема Соходского. Если Ca - существенно особая точка функции f(z), то для

AzfaCA kk

)(lim:}{z n .

Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении

интегралов

§1 Вычеты

1.Определение вычета в конечной изолированной особой точке

Пусть a изолированная особая точка. В этом случае существует кольцо

}||0{ RazK , где f – аналитическая функция.

Определение. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке a называется величина

Caz

dzzfi

zfs )(2

1)(Re , где }0,|{| RazC - окружность достаточно малого

радиуса, положительно ориентированная.

Определение корректно. Действительно, для контуров, лежащих в кольце K интеграл

C

dzzf )( не меняется при деформациях окружности.

По теореме Лорана

C

kk

k

k

k da

f

icazczf

1)(

)(

2

1,)()( .

Откуда следует, что

C

dzzfi

c )(2

11 , таким образом,

1)(Re

czfsaz

.

Пусть a – полюс порядка n , в этом случае, как мы видели, справедливо разложение:

...)()(...)()( 10

1

1

azccazcazczf n

n , где 0nc .

Тогда )()( zfaz n = ...)()(... 0

1

1

nn

n azcazcc и


53

...)(!)!1())()(( 011

1

azcncnzfazdz

d n

n

n

. Таким образом,

)]()[(lim)!1(

1)(Re

1

1

zfazdz

d

nzfs n

n

n

azaz

В частности, для полюса первого порядка

)()(lim)(Re zfazzfsazaz

.

Еще одна формула для вычисления вычета в полюсе первого порядка:

Пусть ,)(

)()(

z

zzf

, - аналитические, (a)0,(a)=0,(a)0 ( имеет нуль кратности

один). Тогда

)(Re zfsaz

=)('

)(

a

a

.

Действительно, что при сделанных предположениях 0)(),()()( agzgazz . Кроме того,

)()(')()(' zgzgazz , откуда следует, что )(')( aag . Поэтому

)(Re zfsaz

=)(

)(Re

z

zs

az

=

)('

)(

)(

)(

)()(

)()(lim

a

a

ag

a

zgaz

zaz

az

2.Вычет в изолированной особой точке .

Если z= изолированная особая точка функции f, то существует кольцо K={R<|z|<}, где f

аналитична.

Определение . Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке называется величина

Cz

Rdzzfi

zfs ,)(2

1)(Re ,

где

C - окружность с центром в начале координат, радиуса , проходимая по часовой

стрелке (отрицательно ориентированная и достаточно большого радиуса).

Для изолированной особой точки из теоремы Лорана следует, что

k

k

k zczf )( , где

,...2,1,0,)(

2

11

kd

f

ic

C

kk

. Поэтому 1)(Re

czfsz

.

3.Теоремы о вычетах.

Основная теорема. Пусть D - ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно-

гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа изолированных особых

точек ak, k=1,…,n, f непрерывна в DD. Тогда

)( Re2)(1

zfsidzzfD

n

kaz k

.

Окружаем каждую точку

ak достаточно малой

окружностью kC ,

ориентированной

положительно.


54

Тогда

D

n

k Ck

dzzfdzzf )()(1

, откуда и следует требуемое утверждение.

Теорема о сумме вычетов. Если функция f аналитична в С кроме конечного число точек

a1,…,an, то

0)(Re)( Re1

zfszfsz

n

kaz k

.

Выберем окружность C достаточно большого радиуса так, чтобы все точки a1,…,an попали

внутрь. По предыдущей теореме )( Re)(2

1)(Re

1

zfsdzzfi

zfsC

n

kazz k

.

4. Принцип аргумента.

Теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой

Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, , k=1,…,p, порядков k,, f

непрерывна в DD, f(z)0 в DD, кроме нулей bkD, , k=1,…,n, кратностей k. Тогда

D

PNdf

f

i

)(

)('

2

1,

где

p

k

kP1

суммарный порядок полюсов, а

n

k

kN1

суммарная кратность нулей.


Выберем достаточно малые

окрестности нулей, границы

которых kB и окрестности полюсов

функции f(z) с границами kA .

Как это уже не однократно отмечалось:

p

k A

n

k BD kk

dzzf

zf

idz

zf

zf

idz

zf

zf

i 11 )(

)('

2

1

)(

)('

2

1

)(

)('

2

1

.

В некоторой окрестности нуля b кратности справедливы равенства:

)(')()()()('),()()( 1 zbzzbzzfzbzzf ,

)(

)('

)(

)('

z

z

bzzf

zf

. Вклад в

сумму соответствующего слагаемого:

B B

dzbzi

dzzf

zf

i 2

1

)(

)('

2

1.

Аналогично, в некоторой окрестности полюса будет выполнено:

)(')()())(()('),()()( 1 zazzazzfzazzf , )(

)('

)(

)('

z

z

azzf

zf

и

соответствующее слагаемое будет равно:

A A

dzazi

dzzf

zf

i 2

1

)(

)('

2

1, откуда

PNzf

zfs

zf

zfsdz

zf

zf

i

n

k

k

m

k

k

D

n

kbz

m

kaz kk

1111

)()(

)('Re

)(

)('Re

)(

)('

2

1

Теорема. Принцип аргумента ( без доказательства ) В условиях предыдущей теоремы:


55

(D - ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z)

– аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, , порядков k, f непрерывна в DD, f(z)0 в

DD, кроме нулей bk кратностей k. ) Справедливо равенство

)(arg2

1zfPN D

где )(arg zfD - приращение аргумента функции f при однократном обходе точкой z границы

D ( область слева ).

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен P(z)=Pn(z) в комплексной плоскости имеет ровно

n корней (учитывается суммарная кратность нулей).

Доказательство. ,)(lim

zPnz

следовательно, все нули лежат в некотором круге радиуса R,

пусть число нулей с учётом кратностей равно N. Тогда

Rz

NdzzP

zP

i||

)(

)('

2

1

, далее

)(

...1

1

...1

1

...

...

)(

)('

1

11

zz

n

zc

zb

z

n

za

zna

zP

zPn

n

n

n

, где (z) аналитична в {R1<|z|<}. Поэтому

имеем разложение в ряд Лорана

1

1)(k

k

k

z

dz , тогда

1

1)(

)('

kk

k

z

nd

z

n

zP

zP, откуда следует

Rz

ndzzP

zP

i||

)(

)('

2

1

.

§2. Вычисление интегралов

1.Определение несобственного интеграла

Особенности на концах. - кусочно гладкая, aC ( начало ), bС ( конец ). F(z) непрерывна во

всех конечных z на кроме быть может точек a, b. Будем предполагать, что любая окружность с

центром в a пересекает кривую не более чем в одной точке.

Несобственный интеграл определяется по формуле:

Rr

dzzfdzzfRr

,

)(lim)(,0

.

Определение. Интеграл сходится абсолютно, если существует

|||)(| dzzf .

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае внутренних особенностей


56

SsRr

dzzfdzzfdzzfSsRr

,,

)(lim)(lim)(,0,0

.


dxxf )(

Лемма. Если f(z) аналитична в { Im z >= 0 }, кроме конечного числа особых точек ak{ Im z >

0} и 0|)(|maxlim

zzfRCzR

, то

)(Re2)( zfsidzzfka

Доказательство. Для R>0 рассмотрим контур С=[-R,R] CR , СR – верхняя полуокружность,

проходимая против часовой стрелки, [-R,R] – отрезок, проходимый слева направо. Считаем, что R

выбрано достаточно большим так, что контур C содержит все ak . Тогда

R

kCC RR

adzzfdzzfdzzfzfsi )()()()( Re2

],[

= (*) )()( RC

R

R

dzzfdxxf

Далее

|)(|max|)(Re||)(|0

zzfdtRiefdzzfR

R

Cz

itit

C

.

Переходя к пределу в (*) при R получим требуемое равенство.

Обобщённая лемма (без доказательства). Если f(z) аналитична в }0,Im,|{| 0 aazRz

кроме конечного числа особых точек }0Im{| zak , и конечного числа полюсов первого порядка

}0{Im zbk и 0|)(|maxlim

zzfRCzR

, то

)(Re)(Re2)( zfsizfsidzzfkk ba


57

Пример 1.

dx

xx

xI

)1(

12

2

12),1(

2

1

2

1Re,1Re

0

iiiIi

ii

iss

i.

Пример 2.

2

0

1,cos

aa

dI .

C

ii

i

iiazz

dz

ieae

de

eea

dI

12

2

12

2

2

2

2

0

2

2

0

, где С – единичная окружность. Корни

знаменателя: 1,1 2

2

2

1 aazaaz . Внутри С расположен только один корень 1z .

Поэтому 1

2

12

14

14

12

1Re2

222

21

21

aazzazzsi

iI

z

.

Пример 3.

0

220,0,

cosba

bx

dxaxI .

22

0

22

cos

2

1 cos

bx

dxax

bx

dxaxI =

))((

Re

2

1

ibzibz

dze zia

=

))((Re2Re

2

1

ibzibz

esi

iaz

ib =

bi

ei

ab

22Re

2

1 =

abeb

2

.


dxxfe xi )(

Лемма Жордана. Если f(z) аналитична в }0,Im,|{| 0 aazRz и

RzfRMRC

,0|)(|max)( (CR - верхняя полуокружность).

Тогда

RC

zi

Rdzzfe 0)(lim

для любого >0.

Доказательство. На окружности радиуса R имеем tRtitRizi eee sin)sin(cos . Тогда,

учитывая неравенство ]2

,0[,2

sin

ttt , для окружности z(t)=Re

it получим

0

sin)sin(cos

0

)(Re)(Re)( dteRRMdtiefdzezf tRittitRiit

C

zi

R


58

2/

0

22/

0

sin )(2)(2

dteRRMdteRRM

tR

tR

=

2

0

22/

0

2

2)(2

2

2)(2

tRtR

eRMtR

deRM ReRM R ,0)1()(

.

Следствие. Если f(z) аналитична в }0,Im,|{| 0 aazRz кроме конечного числа особых

точек }0Im{| zak , и конечного числа полюсов первого порядка }0{Im zbk и

0|)(|maxlim

zfRCzR

, то

)( Re)( Re2)(lim)(

],[

zfesizfesidzzfedxxfe zi

b

zi

aRRC

zi

R

xi

kk

R

.

Пример.

102

cos2 xx

xdxxI .

ibiabzaz

dzze

zz

dzze

xx

xdxx iziz

31,31,))((

Re102

Re102

cos22

.

i

eii

ba

aei

bzaz

zesiI

iiaiz

a 6

)31(2Re2Re

))((Re2Re

3

= )1sin31(cos3

3 e

§3 Простейшие классы аналитических функций.

Определение 1. Однозначная функция f(z) называется целой, если она аналитична в С. Целая

функция называется целой рациональной, если её полюс. Целая функция называется целой

трансцендентной, если существенно особая точка.

Примеры. ez, cos z, sin z, Pn(z).

Свойства целых функций

1) Если устранимая изолированная особая точка целой функции f, то f есть константа.

Доказательство. Существует предел в бесконечности, поэтому f(z) ограничена в окрестности

бесконечности, поэтому она постоянна по теореме Лиувилля.

2) Если полюс кратности n (n - натуральное), то f есть полином степени n.


0,...)(1

10

n

k

n

nk

k czczccz

czf , обозначим

n

nn zczcczP ...)( 10 ,

Функция )()()( zPzfz n будет, как разность двух целых функций, аналитической во всей

комплексной плоскости и имеет в устранимую особенность, следовательно, она константа по

теореме Лиувилля.

Определение 2. Однозначная функция f мероморфна в С, если в любом круге нет других особых

точек, кроме полюсов.

Теорема. Если - полюс для мероморфной функции )(zf , то она рациональна.

Доказательство. Так как изолированная особая точка, то в расширенной комплексной

плоскости имеется лишь конечное число полюсов naaa ,...,, 10 . Выпишем разложения в ряд

Лорана в окрестности каждой из конечных точек ka :

nmzzazcazczf mm

k

k

m

m

k

k

k

m

m

k

m

,...,1),()()()()(01

.

Разложение в окрестности имеет вид:


59

)()()( 00

1

0

0

00

zzzczczfk

k

k

k

k

k

Функции m, m=0,…,n – рациональные.

n

m

m zzfzF0

)()()( имеет точки a0,…,an своими устранимыми особыми точками, поэтому

эта функция, после доопределения по непрерывности, будет ограниченной в С и следовательно

константой.

Следствие. Рациональная функция представима в виде суммы многочлена и простейших

дробей вида kaz

A

)( . Это фактически доказано в предыдущей теореме.

Глава 7. Преобразование Лапласа.

Введение. Интегралы, зависящие от параметра.

Пусть С – кусочно гладкая, не ограниченная в одну сторону, кривая

Пусть f(z,) определена при zD ( некоторая область ) и С. Интеграл от параметра

определяется по формуле

sCCs

dzfdzfzF ),(lim),()(

Этот интеграл называется сходящимся равномерно в D, если

C Cs

dzfdzfssDzs ),(),(:0 00

Признак Вейерштрасса. Если

1) для С,zD : |f(z,)| g() , g() действительно-значная функция,

2) С

dg ||)( сходится, то C

dzf ),( сходится равномерно на D.

§1 Преобразование Лапласа.

Определение. Комплекснозначная функция f(t), t(-,) называется оригиналом, если

1) f(t)=0 при t < 0.

2) в (a,b) есть лишь конечное число разрывов первого рода. Иногда, дополнительно

будет требоваться выполнение условия Липшица |f(t+h) - f(t)| A|h|, для всех h,|h| h0, 1 на

интервалах непрерывности функции

3) stMetftsM |)(| : (*)

Число ssSs

inf0 , S – множество тех s, для которых выполнено условие (*), называется

показателем роста оригинала.

Пример. Функция Хевисайда

0 ,0

0 ,1)(

t

ttH ,


60

показатель роста равен нулю.

Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного

переменного p=x+iy, определяемую равенством

0

)()( dtetfpF pt

Пишут FffFfF ,],[ .

Замечание. Отметим, что если )(tf оригинал, то и )(tft k – также оригинал. Кроме того,

интеграл будет сходиться равномерно по параметру в любом множестве 0Re sqp .

Это следует из признака Вейерштрасса с учетом неравенств:

0,|)(| )( ttxsxtsttptk MeMeeeMeetft , где

из неравенства tk Cet || выбрано достаточно малым так,

что qs .Для функции имеется оценка:stBetf |)(| .

Теорема 1. Для любого оригинала )(tf с

показателем 0s , изображение )( pF определено в

полуплоскости 0Re spx , является в этой

области аналитической функцией, стремящейся к 0

при x ( равномерно относительно arg p ). При

этом

0

)()()(' dtetftpF pt


Сходимость интегралов

0

)()( dtetfpF pt и

0

)()( dtettfpF pt следует из сделанного

замечания. Обозначим

0

cos)(Re dtytetfFU xt,

0

sin)(Im dtytetfFV xt , iyxp .

Интегралы, полученные формальным дифференцированием

0

cos)( dtytettfU xt

x ,

0

sin)( dtytettfU xt

y

0

sin)( dtytettfV xt

x ,

0

cos)( dtytettfV xt

y

сходятся равномерно на любых отрезках изменения параметров (по параметру x, отрезок, где

имеет место равномерная сходимость, должен лежать в области x > s0), поэтому исходные интегралы

можно дифференцировать по параметру и выполнены условия Коши Римана. Далее, при

0Re sspx будет выполнено: stMetf |)(| и

00

)()(

0

)(

00

)(sx

Me

xs

Mde

xs

MdtMedteMedtetf txstxstxsxtstpt


61

Следствие. )()(,)()()(

0

tftdp

Fddtetft

dp

pFd k

k

kptk

k

k

Теорема 2. Если Ff (f – кусочно гладкая ), то в точках непрерывности )(tf имеет место

равенство

ia

ia

pt dppFei

tf )(2

1)(

,

где интеграл берётся вдоль любой

прямой Re p =a > s0, в смысле главного

значения

iRa

iRa

pt

R

ia

ia

pt dppFedppFe )(lim)(

(без доказательства).

Теорема 3 ( Достаточные условия существования оригинала ). Если F(p) аналитична в

0Re sp и 0,||

)(1

p

ApF при p, тогда интеграл

ia

ia

pt sadppFei

tf 0,)(2

1)(

не

зависит от a, является оригиналом и ][)( fLpF . ( только формулировка ).

§2 Свойства преобразования Лапласа

В этом параграфе везде под )(tf понимается )()( tHtf (H - функция Хевисайда ).

Отметим, что 0

0

ReRe,1

;0Re,1

1 0 pppp

epp

tp

1) Линейность.

f(t)+g(t)F(p)+G(p)

2) Свойство подобия. При 0

pFtf

1)(

pFtdetfdtetf

tp

pt 1)(

1)(

0

0

3) Свойство запаздывания.

Для 0 выполнено: )( tf )( pFe p. Действительно

)()()()()(0

)(

0

pFedtetfetdeetfdtetf pptpptppt

4) Как уже отмечалось, )()1()()( tftpF nnn , если взять tp

etf 0)( 0

1

pp , то

1

0)(

!0

n

tpn

pp

net

5) Дифференцирование оригинала )0()()(' fppFtf или : )0(][]'[ ffpFfF .


62

Действительно dtetfpetftdfedtetf ptptptpt

000

)(0

)()()('

Следствие. )0(...)0(')0()()( )1()2()1()( nnnnn ffpfppFptf .

Доказательство. )0(][]'[ ffpFfF ,

)0(']'[]''[ ffpFfF = )0('))0()(( ffppFp = )0(')0()(2 fpfpFp . Далее, по индукции,

доказывается равенство:

1

0

1)( )0(][][n

k

knknn fppFpfF .

6) Интегрирование изображения

Если 0Re),()( sppFtf и функция t

tf )(является оригиналом, то

p

dqqFt

tf)(

)(


p

pt CQCdqqFpQpFpQdtet

tfpQ

t

tf00)(,)()()()(',

)()(

)(

0

7) Интегрирование оригинала.

Если 0Re),()( sppFtf , то

t

p

pFdftg

0

)()()(

Доказательство. )()0()()(')( ppGgppGtgtf откуда F(p)=pG(p)

8) Свертка оригиналов и умножение изображений.

Определение.

dtgftgf )()())(*(

Отметим, что f*g=g*f, Сделать замену u = t - , d = -dt.

)()(* pGpFgf

)()()()()()()()(000

pGpFdudeugefdtdetgfdtedtgf pupptpt

Отметим, что если f, g – оригиналы, то и f*g – оригинал.

9) Умножение оригиналов, свёртка изображений

ia

ia

dpGFi

tgtf

)()(2

1)()(

без доказательства.

10) Свойство смещения

)()( tfepF t

Доказательство из определения.

11) Первая теорема разложения (Теорема 1 Хевисайда).

Если F(p) аналитична в {R<|p|<} и ,)(1

k

k

k

p

cpF то оригиналом является функция

1

1 )!1()()(

k

k

k tk

ctHtf .


63

Доказательство. - устранимая особая точка, поэтому |F(p)|<M,|p|R.Положим

1

)(,1

)(,1

k

k

kqcqp

Fqq

p , аналитична в круге |q|<1/R, поэтому неравенство Коши даёт

для коэффициентов |c-k|<MRk и

||

1

1

1

1

)!1(

|)|(

)!1(

tR

k

k

k

kk Aek

tRAt

k

c

.

Таким образом, исходный ряд мажорируется сходящимся степенным рядом в любом круге. В

этом случае ряд 1

1 )!1(

k

k

k tk

c можно почленно интегрировать

1 0

11

10)!1()!1( k

r

kptkk

k

k

r

pt dttek

cdtt

k

ce по свойству 4) при r

,...2,1,)!1(

0

1

kp

kdtte

k

kpt, поэтому

1

1

10

)()!1( k

k

kk

k

k

r

pt pFp

cdtt

k

ce

12) Вторая теорема Хевисайда. Если

1. F(p) мероморфна в некоторой полуплоскости 0Re sp и F()=0

2.

dppFsa

ia

i-a

0 )(

3. F(p)0 при p равномерно относительно arg p

Тогда оригиналом для F служит функция pt

pp

epFstHtfk

k

)(Re)()( по полюсам функции F в

порядке убывания их модулей.

Доказательство. При сделанных предположениях для оригинала )()( pFtf выполнено

равенство:

ia

ia

ptdpepFi

tf )(2

1)(

.

Обозначим через 'nC часть окружности Cn,

расположенную слева от прямой Re p = a, через

aibn обозначим точки пересечения Cn с этой

прямой и через n контур, составленный из [a-

ib,a+ib] и 'nC , проходимый против часовой

стрелки.

Положим: ixyivupiyxzizp ,, , тогда, если }{Re' auCp n , то

}{Im' azDz n .


64

Делая в интеграле nC

pt dppFe'

)( замену izp , получим:

nn D

izt

C

pt dzizFeidppFe''

)()( . По

лемме Жордана при t > 0 будет выполнено:

nC

pt

ndppFe

'

0)(lim .

Поэтому при t > 0

ia

ia

ptdpepFi

tf )(2

1)(

= )( Relim)(lim

2

1pFesdppFe

i

pt

ppn

pt

nn nk

k

, ч.т.д.

Следствие. Если функция )(

)()(

pB

pApF дробно-рациональная и дробь правильная, то

оригиналом ее служит функция

ptn

kn

nl

kpp

k

epppFdp

d

ntHtf k

k

k

k

))((lim)!1(

1)()(

1

1

1

где pk полюсы функции F(p) кратностей nk , сумма берется по всем полюсам.

Глава 8. Приложения.

§1 Комплексный потенциал

Рассмотрим плоское поле iQPQPA )0,,(

Соленоидальное поле ( без источников и стоков, поток через замкнутую кривую равен нулю )

0

y

Q

x

PAdiv . Тогда для формы PdxQdx выполнены условия полного дифференциала

0)()(

Q

yP

x, поэтому существует функция PdyQdxdvv : , для неё

Py

vQ

x

v

, (1)

Определение. Функцией тока плоского соленоидального поля iQPQPA ),( называется

дважды непрерывно дифференцируемая функция v, удовлетворяющая соотношениям (1).

Функция тока находится по формуле

z

z

ConstPdyQdxyxv

0

),(


65

1) Потенциальное ( безвихревое поле ) 0),0,0(

y

P

x

QArot . В этом случае

существует потенциал

z

z

ConstQdyPdxyxuQy

uP

x

uAugradu

0

),(,,, : .

2) Поле и потенциальное и соленоидальное. В этом случае, как это следует из 1) и 2),

выполнены условия

y

v

x

u

,

x

v

y

u

(2),

которые являются условиями Коши-Римана для функции

f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Эта функция называется комплексным потенциалом данного поля. Отметим, что в плоском

поле без источников и вихрей функция тока и потенциал являются гармоническими сопряженными

функциями. Как это следует из 1)-2)

)(' zfx

vi

x

uA

Для такого поля поток

C C CCCC

dzzfdfdvPdyQdxdxdyQPdsnAN )('ImIm)),(),,((,

3) Восстановления функции тока по потенциалу.

Если потенциал u является гармонической функцией, то форма –Qdx+Pdy является полным

дифференциалом и функция тока v восстанавливается по формуле

z

z

ConstPdyQdxyxv

0

),(

Аналогичным образом может быть восстановлен потенциал u по функции тока v, если она

гармонична.

§2 Операционное исчисление

Дана задача Коши

,

1,...,0,)0(

)(...][

)(

0

)1(

1

)(

0

nkxx

tfxaxaxadt

xdaxL

k

k

n

n

n

n

n

kk

k

k an0. (1)

Будем предполагать, что f(t) и x(t) вместе со всеми производными до n-го порядка являются

оригиналами. Положим x(t)X(p), f(t)F(p). Из свойств преобразования Лапласа следует, что

1

0

1

1

0

)1()( )()0()(][k

j

jk

jkk

j

jkjkk xppXpxppXpxF

Отсюда, применяя преобразование Лапласа к (1) получим

)()(]][[0

1

0

1 pFxppXpaxLFn

k

k

j

jk

jk

k

, или

)()()()(),()(0

1

0

1

0

pFpBpApXpFxpapapXn

k

k

j

jk

jn

k

k

k

k

.

Таким образом,

)(

)()()(

pA

pBpFpX

, находя оригинал x(t)X(p) для функции X(p), получим решение задачи

Коши.

Таблица основных свойств преобразования Лапласа


66

0

)()( dtetfpF pt

ia

ia

pt dppFei

tf )(2

1)(

f(t)+g(t)F(p)+G(p) ;0Re,

11 p

p

0

0

ReRe,1

0 pppp

etp

1

0)(

!0

n

tpn

pp

net

0 ,

11)( Ftf

, f(t-)e-p

F(p)

F(p-)et

f(t)

k

kk

dp

Fdtft )()(

f’(t)pF(p)-f(0), f(n)

(t)pnF(p)-p

n-1f(0)-…-f

(n-1)(0)

p

dqqFt

tf)(

)(

t

p

pFdf

0

)()(

Таблица некоторых преобразований Лапласа

Оригинал Изображение

1 t (>-1) 1

)1(

p

2 e-t

p

1

3 e-t

t (>-1) 1)(

)1(

p

4 sin t 22

p

5 cos t 22 p

p

6 tn sin t

122

1

)(

)Im(!

n

n

p

ipn

7 tn cos t

122

1

)(

)Re(!

n

n

p

ipn

8 e-t

sin (t+) 22)(

sin)(cos

p

p

9 e-t

cos (t+) 22)(

cos)(sin

p

p

10 sh t 22

p

11 ch t 22 p

p

12 t

ee atbt

bp

ap

ln


67

13 t

e t

p

1

14 tet

4

2

1

p

ep

15 t

2sin1

pepp

1

16 t

2cos1

pep

1

17 tt 2

1sin

1

pe

p

psin

1

18 tt 2

1cos

1

pe

p

pcos

1

19 tt

sin1

22

22

p

pp

20 tt

cos1

22

22

p

pp

Пример 1. atbxax sin'' 2 , начальные данные 10 )0(',)0( xxxx ,

22sin

ap

abatb

, поэтому

2212202221022

22 1

)()(,)()(

apx

ap

px

ap

abpXxpx

ap

abpXap

Согласно 5 из таблицы atxap

pxcos022

0

,

согласно 4 из таблицы a

atx

ap

x sin122

1

,

согласно 6 из таблицы 222222

2

)(

2

)(

)Im(sin

ap

pa

ap

iapatt

, отсюда, используя свойство

интегрирования оригинала, получим 222

0)(

2sin

ap

aatdtt

t

, откуда

).cos(sin2

sin2)( 2

0

222atatat

a

batdtt

b

ap

abt

Окончательно

ata

btx

a

at

a

bx

a

atxatxatatat

a

btx cos

2

sin

2

sincos)cos(sin

2)( 01102

Пример 2. x+3x+3x+x=1, нулевые начальные условия.


68

(p+1)3X(p)=1/p,

323 )1(

1

)1(

1

1

11

)1(

1)(

pppppppX . Откуда

ttt et

teetx 2

1)(2

Пример 3. x+x=1, нулевые начальные условия.

)1(

1)(

3

pppX Оригинал находим по второй теореме Хевисайда

)1( Re)()(

3

pp

estHtx

pt

k

)1(Re

)1(Re

)1(Re

)1(ReRe

3)31(5.0

3)31(5.0

31

30

pp

es

pp

es

pp

es

pp

ess

pt

i

pt

i

ptpt

k

2

3cos

3

2

31

3Re2

31)( 2

2

3

2

1

te

eeetx

ttti

t

Пример 3. x+x=1, нулевые начальные условия.

))()(1(

1

)1(

1)(

21

33 zpzppppppX

, )31(

2

1),31(

2

121 iziz

По второй теореме Хевисайда

)1(Re

)1(Re

)1(Re

)1(Re)()(

3331

30 21 pp

es

pp

es

pp

es

pp

estHtx

pt

z

pt

z

ptpt

3Re2

31)(

1tzt eetH

Пример 4. txdt

xd

dt

xdsin2

2

2

4

4

, нулевые условия. Используя 4 из таблицы, получим

32224 )1(

1

)1)(12(

1)(

pppppX . По второй теореме Хевисайда

ip

ptpt

i

pt

i ip

e

dp

dtH

p

es

p

estHtx

32

2

3232 )(Re2)(

)1(Re

)1(Re)()( =

tttttH cos

8

3sin)3(

3

1)( 3

Пример 5. x+2x=a[H(t)-H(t-b)], нулевые начальные условия.

)(

)1()(,))((

22

22

pp

eapXe

p

a

p

appX

bpbp

)())(()( 22

txipipp

a

pp

a

, по второй теореме Хевисайда

)(Re

)(Re

)(Re)()(

2222220 pp

aes

pp

aes

pp

aestHtx

pt

i

pt

i

pt

ip

pt

iip

pt

ipp

aes

ipp

aeatH

)(Re

)()(

2

ta

tHtaa

tHii

ae

ii

aeatH

titi

2

2222sin

2)(cos2

2)(

22)(


69

Свойство запаздывания дает )(2

)(sin

2

)(

2

222btH

bta

pp

ae bp

Окончательно

)(

2

)(sin)(

2sin

2)( 22

2btH

bttH

tatx

Пример 7.

x+ax=f(t), нулевые условия

ap

pFpX

)()(

)()(1

),()()( tHetgap

tHtfpF at

dtHeHfdtgHftgfap

pF ta )()()()()()())(*(1

)( )(

t

ta def0

)()(

Курс лекций по ТФКП 2002 г · Функция ln z является...

Documents