單元三 特殊四邊形 · 59 單元三 特殊四邊形 課文a：...
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59
單元三 特殊四邊形
課文A： 箏形、菱形、矩形、正方形的對角線性質
這邊要介紹箏形、菱形、矩形、正方形的對角線性質。
第一個要介紹的是箏形，在前面多邊形的單元當中曾經
介紹過箏形就是兩雙鄰邊分別等長的四邊形，因為會長得跟
風箏很像，所以稱為「箏形」或叫作「鳶形」。
在前面線對稱的單元當中有提到箏形就是一種線對稱圖形，
如圖中的箏形 ABCD，如果沿著 AC 對摺，會使 B 點疊合在 D 點
上， AB和 AD疊合，CB和CD疊合，也就是 AC 是箏形 ABCD
的對稱軸，B 點的對稱點為 D 點。所以 AC會垂直平分BD。
換句話說，箏形的兩條對角線互相垂直，但是其中一條對角線會平分
另外一條對角線。來練習一些有關箏形題目！
例題一：如圖，箏形 ABCD 中， AB = AD =10，BC =CD =17，O 為 AC和
BD的交點，如果BD =16，則：
(1) AC =？
(2)箏形 ABCD 的面積=？
A
B
C
D
60
解：(1)箏形 ABCD 中， AC垂直平分BD，也就是BO OD 。
又BD =16，所以BO OD =8。
先看△AOB，∠AOB=90°，
△AOB 是一個直角三角形。
直角三角形有一個很重要的三邊關係就是畢氏定理：
兩股的平方和等於斜邊的平方，可以列出式子：
2 2 2OA OB AB ⇒
2 2 28 10OA ⇒2
100 64OA ⇒OA=6
再看△BOC，因為 AC垂直BD，
也就是∠BOC=90°，△BOC 是一個直角三角形。
2 2 2OC OB BC ⇒
2 2 28 17OC ⇒2
289 64OC
⇒OC =15
AC = AO +OC =6+15=21
(2)接下來要計算箏形 ABCD 的面積。
箏形 ABCD 可以拆成兩個三角形△ABD 跟△CBD：
△ABD 面積=1
2× BD × AO =
1
2×16×6=48。
△CBD 面積=1
2× BD × OC =
1
2×16×15=120。
箏形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積
=48+120=168
A
B
C
D
17
8 8
15
A
B
C
D
10
8 8
6
61
例題二：如圖，箏形 ABCD 中，AB = AD，BC =CD，AC =21，BD =24，
O 為兩對角線 AC和BD的交點。
如果 AB = AD =13，則：
(1)箏形 ABCD 的周長=？
(2)箏形 ABCD 的面積=？
◎解題思維：
要計算箏形 ABCD 的周長，必須求出箏形的四邊長，已經知道了其中
兩邊 AB = AD =13，所以剩下要求BC 跟CD，而BC =CD，所以只要求出
其中一邊就可以了！
解：(1)箏形 ABCD 中， AC垂直平分BD，也就是BO OD 。
又因為BD =24，所以BO OD =12。
直角△AOB 中，根據畢氏定理可列出等式：
2 2 2OA OB AB ⇒
2 2 212 13OA ⇒
2169 144OA ⇒OA=5
OC = AC −OA=21−5=16
根據畢氏定理列出式子：
2 2 2BC OC OB
⇒2 2 216 12BC ⇒
2400BC
⇒ BC =20
箏形 ABCD 的周長=13+20+20+13=66
62
(2) 接下來要計算箏形 ABCD 的面積。
箏形 ABCD 可以拆成兩個三角形△ABD 跟△CBD：
△ABD 面積=1
2× BD × AO =
1
2×24×5=60。
△CBD 面積=1
2× BD × OC =
1
2×24×16=192。
箏形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積=60+192=252
第二個要介紹的是菱形，四邊等長的四邊形稱為「菱形」。
在上一個單元中，有提到平行四邊形的判別性質：「如
果四邊形有兩組對邊等長，那麼這四邊形必為平行四邊形」。
既然我們知道菱形的四邊會等長，那麼菱形就一定有兩組
等長的對邊，換句話說，菱形是平行四邊形的一種。
在前面線對稱的單元當中有提到菱形也是一種線對稱圖形，
如圖中的菱形 ABCD，如果沿著對角線 AC 對摺，會使 B 點疊合
在 D 點上， AB和 AD疊合，CB和CD疊合，也就是 AC 是菱形
ABCD的對稱軸，B點的對稱點為D點。所以 AC會垂直平分BD。
同理，BD也會垂直平分 AC。也就是說，菱形的兩條對角線互
相垂直平分。
63
讓我們來練習有關菱形的題目！
例題三：如圖菱形 ABCD 中，O 為兩對角線 AC和BD的交點，
AC =10，BD =24。
(1)菱形 ABCD 周長=？
(2)菱形 ABCD 面積=？
解：因為四邊形 ABCD 是一個菱形，所以
兩條對角線 AC、BD互相垂直平分。
AC =10，所以 AO OC =5；
BD =24，所以BO OD =12。
因為 AC、BD互相垂直，所以△AOB 為直角三角形。
根據畢氏定理可以列式：2 2 2
AB AO OB
2 2 25 12AB =25+144=169
AB =13
菱形四邊都一樣長，所以菱形 ABCD 周長=13×4=52。
(2)要計算菱形 ABCD 面積，可以分成兩個三角形△ABD、△CBD，
菱形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積
=24 5
2
24 5
2
+=60+60=120。
64
第三個要介紹的是矩形，四個內角都是直角的四邊形就是「矩形」。
在上一個單元中，有提到平行四邊形的判別性質：「四邊形的兩組對
角相等，則此四邊形為平行四邊形」。既然我們知道矩形的四個內角都是
90°，那麼矩形的對角相等就一定會相等，所以矩形為平行四邊形的一種。
那矩形的對角線有什麼性質呢？
下圖四邊形 ABCD 為一個長方形，而 AC、BD是兩條對角線，O 點是
AC和BD的交點。
既然矩形是平行四邊形的一種，所以矩形也會有平行四邊形的性質，
就是對角線會互相平分，OA OC 、OB OD 。
除此之外，我們知道矩形四個內角都是直角而且兩雙對邊會等長。
分別連接對角線 AC、對角線BD：
65
因為對邊 AB = DC 、共同邊BC = BC 、內角∠B=∠C=90°，根據 SAS
全等性質，△ABC≅△DCB。
AC和DB是對應邊，所以 AC = DB。 AC、BD就是矩形的兩條對角
線，也就是說矩形的兩條對角線會互相平分且等長。
讓我們來練習有關矩形的題目！
例題四：矩形 ABCD 的周長為 14，且兩對角線和為 10，求矩形面積為何？
◎解題思維：矩形面積=長×寬，要算出面積需要長和寬。
解：矩形 ABCD 的對角線會平分且等長，
而兩對角線和為 10，所以 AC = BD =5。
矩形 ABCD 的周長為 14，所以長+寬=7。
因為矩形的內角都是 90°，所以△ABC 為一個直角三角形：
令 AB =x，則BC =7−x， AC =5
根據畢氏定理列出式子：2 2 2
AB BC AC
22 27 5x x
2 2 249 14 5x x x 相加整理
22 14 49 25x x 等號右邊的 25 移項到等號左邊
66
22 14 24 0x x 等號兩邊同除以 2
2 7 12 0x x 利用十字交乘法：
3 4 0x x
x=3 或 4
若 AB =3，則BC =7−3=4；若 AB =4，則BC =7−4=3。
所以矩形 ABCD 長若是 4、寬會是 3，面積=3×4=12。
第四個要介紹的是正方形，四邊會等長而且四個內角都是
直角的四邊形就是「正方形」。
因為正方形的四邊會等長，所以正方形就是菱形的一種；又因為正方
形的四個內角都是直角，所以正方形也是矩形的一種。
那正方形的對角線有什麼性質呢？右圖為四邊形ABCD為一
個正方形，而 AC、BD是兩條對角線，O 點是 AC和BD的交點。
因為正方形就是菱形的一種，所以正方形對角線就會具有菱形
對角線的性質，菱形的兩條對角線會互相垂直平分，所以正方形的
對角線也會互相垂直平分。
又因為正方形就是矩形的一種，所以正方形對角線就會具有矩
形對角線的性質，矩形的兩條對角線會互相平分且等長，所以正方形的對
角線也會互相平分且等長，也就是OA OC =OB OD ，而且 AC垂直BD。
正方形的對角線性質：等長且垂直平分！讓我們來練習有關正方形的
題目！
67
例題五：如圖正方形 ABCD 的邊長為4 2 ，P 為兩對角線 AC和BD的交
點，若 Q 為 AP線上的一點，QP： AP =3：4，
(1)QP =？
(2) DQ =？
(3)△CDQ 面積=？
解：(1)因為QP： AP =3：4，所以QP =3
4AP。
又因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且等長，所以 AP會是
對角線 AC的一半。
也就是先求出對角線 AC，就可以求出 AP，然後就可以求出QP。
正方形 ABCD 的邊長為4 2 ，△ABC 為直角三角形：
根據畢氏定理列式：2 2 2
AC AB BC
2 22
4 2 4 2AC =32+32=64
AC =8
AP會是對角線 AC的一半， AP =1
2AC =
1
2×8=4
QP =3
4AP =3/4×4=3
68
(2)要求DQ，找有關的直角三角形△DPQ：
△DPQ 中，QP =3；又因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且
等長，所以DP = AP =4。
根據畢氏定理列式：2 2 2
DQ QP PD
2 2 23 4DQ =9+16=25
DQ =5
(3)要求△CDQ 面積：
因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且
等長，所以PC = DP =4。
QC =QP + PC =3+4=7。
△CDQ 面積=1
2× QC × DP =
1
2×7×4=14。
重點提問
1.根據上面的課文，請寫出下列各個特殊四邊形的定義。
(1)箏形：
(2)菱形：
(3)矩形：
(4)正方形：
69
2.請在下面的方格中，畫出箏形、菱形、矩形、正方形各一個。
3.根據上面的課文，請說明箏形的性質，並利用提問 2 所畫出箏形做說明。
4.根據上面的課文，請說明菱形的性質，並利用提問 2 所畫的菱形做說明。
5.根據上面的課文，請說明矩形的性質，並利用提問 2 所畫的矩形做說明。
6.根據上面的課文，請說明正方形的性質，並利用提問 2 所畫的正方形做
說明。
70
7.下列有一些關於四邊形的性質：
(A)兩雙對邊相等 (B)兩組對角相等 (C)四邊等長
(D)四個內角都是 90° (E)兩雙對邊分別平行 (F)兩對角線互相垂直
(G)兩對角線互相平分 (H)兩對角線等長
請將下面這些四邊形所含有的性質代號填入問題中：
(1)任意平行四邊形有哪些性質？
(2)任意箏形有哪些性質？
(3)任意菱形有哪些性質？
(4)任意矩形有哪些性質？
(5)任意正方形有哪些性質？
8.若有一個四邊形的對角線互相垂直，請證明這個四邊形的面積為
「兩條對角線相乘
2」，並舉一個例子做說明。
71
․隨堂練習：
1.如圖，箏形 ABCD 中， AB = AD =15，BC =CD =13，O 為 AC和BD的交
點，如果BD =24，則：
(1) AC =？
(2)箏形 ABCD 的面積=？
2.如圖，箏形 ABCD 中， AB = AD =10，BC =CD， AC =21，BD =16，O
為兩對角線 AC和BD的交點。求：
(1)箏形 ABCD 的周長=？
(2)箏形 ABCD 的面積=？
3.如圖，菱形 ABCD 中，O 為兩對角線 AC和BD的交點，AC =18，BD =24。
求：
(1)菱形 ABCD 面積=？
(2)菱形 ABCD 周長=？
72
4.如圖，菱形 ABCD 中，O 為兩對角線 AC和BD的交點， AC =14，菱形
ABCD 周長=100。求：
(1) BD =？
(2)菱形 ABCD 面積=？
5.矩形 ABCD 的周長為 28，且兩對角線和為 20，求矩形面積為何？
6.如圖正方形 ABCD 中，P 為兩對角線 AC和BD的交點，Q、R 為 AP線上
的一點，QP =6， AQ =2，RC =4。
求△DQR 面積=？
73
7.如圖正方形 ABCD 的邊長為3 2，P 為兩對角線 AC和BD的交點，若 Q
為 AP線上的一點，CQ：QP =1：2，
(1)QP =？
(2) DQ =？
(3)△ADQ 面積=？
還是不太懂，請看下面影片
箏形
https://youtu.be/3g2iaYyW_2A
菱形
https://youtu.be/9r-di6lgO9A
矩形
https://youtu.be/HBl4L48-I8c
正方形
https://youtu.be/GJHUipn5ydU
綜合
https://youtu.be/TGhx0fh70KA
74
課文B： 利用對角線判斷箏形、菱形、矩形、正方形
第一個先來看箏形的判別性質，課文 A 有提到：「箏形的其中
一條對角線會垂直平分另外一條對角線」。那如果有一個四邊形
ABCD，其中的一條對角線 AC會垂直平分另外一條對角線BD，這
個四邊形 ABCD 會是箏形嗎？
要看四邊形是不是箏形就是驗證看看這個四邊形是不是有兩
雙分別等長的鄰邊。因為 AC垂直平分BD，所以將四邊形 ABCD
沿著 AC對摺的話，B點就會與D點疊合，而 AC是對稱軸。AB = AD，
CB =CD，故四邊形 ABCD 就是一個箏形。
由此可知：「一個四邊形中，有一條對角線垂直平分另一條對角線時，
則這個四邊形就是箏形。」
第二個要來看菱形的判別性質，課文 A 有提到：「菱形的兩條
對角線互相垂直平分」。那麼是否可以利用四邊形的對角線來判斷
此四邊形是不是菱形呢？如果有一個四邊形 ABCD，兩條對角線
AC、BD會互相垂直平分，而這個四邊形 ABCD會是一個菱形嗎？
兩條對角線 AC、BD交於 O 點，兩條對角線 AC、BD會互相垂直平
分，所以 AO OC 、BO OD ，而且∠AOB=∠AOD=∠BOC=∠COD 都是
90°，根據 SAS 全等性質，因此△AOB、△COB、△COD、△AOD 四個三
角形會全等三角形。所以可以得知 AB =CB =CD = AD，也就是四邊等長，
四邊形 ABCD 是一個菱形。
由此可知：「一個四邊形中，有兩條對角線會互相垂直且平分，則這
個四邊形就是菱形。」
75
第三個要來看矩形的判別性質，課文 A 有提到：「矩形
的兩條對角線會互相平分且等長」。那可不可以利用四邊形
的對角線來判斷此四邊形是不是矩形呢？如果有一個四邊
形 ABCD，兩條對角線 AC、BD會互相平分且等長，而這
個四邊形 ABCD 會是矩形嗎？
四邊形 ABCD 中，兩條對角線 AC、BD交於 O 點，
而且這兩條對角線會互相平分且等長。所以可以知道
OA OB OC OD 。因此△AOB、△BOC、△COD、
△DOA 為四個等腰三角形。
在等腰三角形△AOB 中，OA OB ，所以∠1=∠2(設為 a°)；
在等腰三角形△BOC 中，OB OC ，所以∠3=∠4(設為 b°)；
看三角形△ABC：
由∠1+∠2+∠3+∠4=180°。得 a+a+b+b=180，即 a+b=90
得∠ABC=∠2+∠3=90°。
同理，∠BCD=90°、∠CDA=90°、∠DAB=90°，所以四邊形 ABCD 為
一個矩形。
由此可知：「一個四邊形中，有兩條對角線會互相平分且等長，則這
個四邊形就是矩形。」
O
A
B
C
D
1
2 3
4 5
67
8
76
第四個要來看正方形的判別性質，課文 A 有提到：「正方形的兩條對
角線會互相垂直平分且等長」。那可不可以利用四邊形的對角線來判斷此
四邊形是不是正方形呢？
如果有一個四邊形 ABCD，兩條對角線 AC、BD
會互相垂直平分且等長，而這個四邊形 ABCD 會是
正方形嗎？
因為四邊形 ABCD 的兩條對角線 AC、BD會互
相垂直平分，從前面的討論就可以知道，四邊形ABCD
會是一個菱形，它的四邊等長。
又因為四邊形 ABCD 的兩條對角線 AC、BD會互相平
分且等長，從前面的討論就可以知道，四邊形 ABCD 會是
一個矩形，它的四個內角都是 90°。
四邊形 ABCD 的四邊等長，而且四個內角都是 90°，
所以四邊形 ABCD 會是一個正方形。
由此可知：「一個四邊形中，有兩條對角線會互相垂直平分且等長，
則這個四邊形就是正方形。」
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
77
重點提問
1.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是箏形，並解釋其原因。
2.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是菱形，並解釋其原因。
3.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是矩形，並解釋其原因。
4.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是正方形，並解釋其原因。
78
․隨堂練習：
1.下面各小題的正方形格子圖中，分別有 4 個不同的四邊形，請判斷分別
是什麼圖形，並解釋。
(1) AC、BD為圓
的直徑。
(2) (3)
(4)
2.連連看：四邊形 ABCD 中，對角線 AC、BD交於 O 點，請利用下列四邊
形的對角線判別是何種四邊形，並說明原因。
OA OB OC OD =7
∠AOB=60° ․ ․箏形
OA OB OC OD =5
∠AOB=90° ․ ․菱形
OA OC =4，OB OD =7
∠AOB=90°
․ ․矩形
OA=4，OC =2，OB OD =7
∠AOB=90°
․ ․正方形
A
B
C
D
E
F
G
H
𝐼
L
K
J
M
O
P N
79
課文C： 梯形的性質
一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形就是梯形，其中平行的兩
邊分別稱為上底與下底，不平行的兩邊則稱為腰，梯形面積= (上底+下底)×高
2。
當兩腰相等時，這個梯形就稱為等腰梯形。
等腰梯形有兩個特別的性質：
第一個性質，等腰梯形的兩組底角會分別相等。如下圖的等腰梯形
ABCD 中，∠B 和∠C 為等腰梯形 ABCD 下底的底角，∠A 和∠D 為等腰
梯形 ABCD 上底的底角，兩組底角會分別相等，∠B=∠C，∠A=∠D。
第二個性質，等腰梯形的兩條對角線相等。如下圖等腰梯形ABCD中，
AC和BD為等腰梯形 ABCD 的對角線，兩條對角線會相等， AC = BD。
利用這兩個性質可以解決一些問題，證明在單元三課文 D，這裡先讓
同學經由練習來熟悉性質吧！
上底
下底
腰 腰
A
B C
D
A
B C
D
80
例題一：等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ，∠B=60°，∠ACD=30°，
AB =CD =3，BC =6，求
(1)∠BCA=？
(2)∠D=？
(3)∠CAB=?
(4) BD =？
解：(1)等腰梯形的底角會分別相等，所以∠BCD=∠B=60°。
∠ACD=30°，所以∠BCA=∠BCD−∠ACD=60°−30°=30°
(2)因為 AD // BC ，∠D、∠BCD 為同側內角，所以∠D+∠BCD=180°。
∠D=180°−∠BCD=180°−60°=120°
(3)等腰梯形的對角線會相等，所以BD = AC。
看△ABC：
∠B=60°、∠BCA=30°，因為三角形的內角和=180°，
所以∠CAB=180°−∠BCA−∠B=180°−30°−60°=90°。
(4) 因為△ABC 為直角三角形，根據畢氏定理列式：2 2 2
AC AB BC
2 2 2AC BC AB = 2 26 3 =27， 3 3AC BD 。
A
B C
D
60° 60°
3 3
6
A
B C
D
60° 30°
3 3
6
30°
81
例題二：等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB =CD =13， AD =8，
BC =18， AE、DF 為這個等腰梯形的高，求
(1) BE =？
(2) AE =？
(3)等腰梯形 ABCD 面積=？
解：(1) AE、DF 為這個等腰梯形的高，所以 AE⊥BC 、DF ⊥BC ，
四邊形 AEFD 有四個內角都是 90°，所以四邊形 AEFD 是一個矩形，
EF = AD =8。
BE + EF + FC =18，所以BE + FC =18− EF =18−8=10。
看△ABE 和△DCF 兩個三角形：
AE、DF 都是等腰梯形的高，所以∠AEB=∠DFC=90°、AE = DF ；而且
AB =CD。
根據 RHS 全等性質，△ABE≅△DCF，而其中對應邊BE = FC 。
BE + FC =10，BE = FC =5。
82
(2)看△ABE，因為 AE為這個等腰梯形的高，所以 AE⊥BC ，
也就是△ABE 是一個直角三角形。而由(1)可以知道BE =5。
根據畢氏定理列式：2 2 2
AE BE AB
2 2 2AE AB BE = 2 213 5 =144
AE =12
(3)等腰梯形 ABCD 面積 =(上底+下底)×高
2
等腰梯形 ABCD 面積= 8 18 12
1562 2
AD BC AE
A
B C
D
13
E F 5
A
B C
D
13 13
8
E 18
12
83
梯形當中還有一個關於兩腰中點連線長的性質！
有一個梯形 ABCD，其中 AD // BC ：
(1)找出 AB的中點 E 點、DC的中點 F 點，並連接EF ：
(2)複製與梯形 ABCD 相同的梯形 A'B'C'D'：
(3)將梯形 A'B'C'D'旋轉 180°，並移動梯形 A'B'C'D'使DC 邊與CD邊貼
合：
(4)請問四邊形 ABA'B'是一個什麼四邊形？
(5)請問梯形 ABCD 的兩腰中點連線長EF 與梯形 ABCD 的上底、下底
有什麼關係？
A
B C
D
A
B C
D
E F
A
B C
D
E F
A’
B’ C’
D’
E’ F’
B’
A’
E’
A
B C(D’)
D(C’)
E F(F’)
84
從上面的活動可以知道梯形兩腰中點連線長的性質，就是兩腰的中點
連線長= (上底+下底)
𝟐。
如下圖，梯形 ABCD 中，AD // BC，且 E 為 AB的中點、F 為DC 的中
點，那麼2
AD BCEF
。
這一性質的證明在後面，這裡先做應用熟悉性質！
例題三：若梯形上底、下底長度的比為 3：5，兩腰的中點連線長為 20，
求上底、下底的長度為何？
解：
任意梯形的兩腰中點連線長= (上底+下底)
𝟐。
假設上底長為 3x、下底長為 5x。
兩腰的中點連線長為 20，可以列式：20=3 5
2
x x，
整理成 20=4x x=5
所以 上底=3×5=15、下底 =5×5=25。
例題四：梯形下底比上底長 8，兩腰的中點連線長為 10，且面積為 50，
求：(1)兩底長為何？ (2)高為多少？
D
B
A
C
E F
85
解：(1)假設上底長為 x，下底長為 x+8。
梯形的兩腰中點連線= (上底+下底)
𝟐，
可以列式： 8
2
x x =10
整理成 2 8
2
x=10 x+4=10 x=6
所以 上底=6、下底=6+8=14。
(2)題目當中有說梯形面積為 50，梯形面積= (上底+下底)×高
2。
由(1)可以知道上底=6、下底=14，所以可以列出式子：
(6 + 14) × 高
2= 50
1020
2
高50
高=5
★省思：
例題四中的這個梯形來看，這個梯形的上底是 6、下底是 14、高是 5、
兩腰的中點連線長是 10、面積是 50。
觀察一下，梯形面積= (上底+下底)×高
2以外，還可以怎麼算呢？
會發現兩腰的中點連線長×高=10×5=50 剛好是面積 50。
其實利用梯形兩腰的中點連線長也可以求得梯形面積：
梯形面積= (上底+下底)×高
2=
(上底+下底)
2× 高=兩腰的中點連線長×高
(上底+下底)
2=兩腰的中點連
86
重點提問
1.根據上面的課文，請寫出梯形及等腰梯形的定義。
2.請在下面的方格中，畫出一個梯形、一個等腰梯形。
3.根據上面的課文，請說明等腰梯形的性質，並利用提問 2 所畫的等腰梯
形做說明。
4.根據上面的課文，請說明梯形的兩腰中點連線長跟上底、下底有什麼關
係，並利用提問 2 所畫的梯形做說明。
87
5.根據上面的課文，請說明計算梯形面積的兩種方式，並利用提問 2 所畫
出的梯形做說明。
․隨堂練習：
1.等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ，∠B=60°，∠DAC=30°， AB =CD =2，
BC =4，求
(1)∠ACD=？
(2) AD =？
(3) BD =？
(4)等腰梯形 ABCD 面積=？
2.等腰梯形 ABCD 中，AD // BC，AB =CD =10，AD =6，BC =12，AE、DF
為這個等腰梯形的高，求
(1) BE =？
(2) AE =？
(3)等腰梯形 ABCD 面積=？
88
3.若梯形上底、下底長度的比為 3：7，兩腰的中點連線長為 50，求上底、
下底的長度分別為何？
4.梯形下底比上底長 7，兩腰的中點連線長為 15，且面積為 75，求：
(1)兩底長為何？
(2)高為多少？
5.有一個梯形，其兩腰的中點連線長為 18，高為 5，它的面積為多少？
還是不太懂，請看下面影片
梯形
https://youtu.be/VWt1bfIwYVo
例題二+更多例題
https://youtu.be/OwBX4lGHyCo
例題三、四+更多例題
https://youtu.be/TZo224tBSag
更多例題
https://youtu.be/vM7D1qtsWpk
89
課文D： 梯形的性質證明
課文 C 當中說了三個梯形的性質，第一個性質就是「等腰梯形的兩組
底角會分別相等」；第二個性質就是「等腰梯形的兩條對角線會相等」；第
三個性質就是「任何梯形的兩腰中點連線長 = (上底長+下底長)
2」。
課文 D 要來證明這三個性質。
先來證明第一個性質：「等腰梯形的兩組底角會分別相等」。
如下圖， AD // BC ， AB =CD，作通過 A 點的高 AE、通過 D 點的高
DF ：
因為 AD // BC，高 AE會等於高DF，AE = DF，而且 AE會垂直EB、
DF 會垂直FC 。
看△ABE 和△DCF 兩個三角形：
∠E=∠F=90°， AB =CD， AE = DF 。
根據 RHS 全等性質，△ABE≅△DCF。
所以∠B=∠C。
A
B C
D
E F
90
再來看整個等腰梯形 ABCD，AD // BC，∠A 是∠B 的同側內角，∠D
是∠C 的同側內角：
∠A+∠B=180°、∠D+∠C=180°，又因為∠B=∠C，所以∠A=∠D。
也就是等腰梯形的兩組底角會分別相等。
再來證明第二個性質：「等腰梯形的兩條對角線會相等」。
連接對角線 AC，看到△ABC；而連接對角線BD，看到△DCB：
因為 AB和DC為等腰梯形的兩腰，所以 AB = DC 。
又BC = BC ，∠B=∠C。
根據 SAS 全等性質，△ABC≅△DCB。
所以 AC = DB。
也就是等腰梯形的兩對角線會相等。
A
B C
D
A
B C
B C
D
A
B C
B C
D
91
梯形第三個性質就是「任何梯形的兩腰中點連線長= (上底長+下底長)
𝟐」。
如下圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ，且 E 為 AB的中點、F 為DC 的
中點，
將梯形 A'B'C'D'旋轉 180°，並移動梯形 A'B'C'D'使DC 邊與C D 邊貼
合，其中相對應相等的角如下：
因為∠4+∠5=180°，所以 E、F、E'會在同一條直線上：
在梯形 ABCD 中， AD // BC ，所以∠3+∠6=180°，這也可以知道 B、
C、A'會在同一條直線上：
看EB和E A ，E 為 AB的中點，所以EB = EA，而且EA = E A ，
故EB = E A ：
在四邊形 EBA'E'中，EE是這兩條線的截線，其截角∠1、∠2 為同側
內角，又因為∠1+∠2=180°，所以EB // E A 。
EB = E A 、EB // E A ，四邊形 EBA'E'有一雙對邊等長且平行，所以四
邊形 EBA'E'為一個平行四邊形。因此EE= BA。
而EE=2 EF 、BA= BC +CA= BC + D A = BC + AD，
故得 2 EF = AD + BC ，EF =，2
AD BC
即兩腰的中點連線長= (上底長+下底長)
2。
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重點提問
1. 如圖等腰梯形 ABCD 中，AD // BC，AB =CD，AE、DF 為梯形的高。
請證明：
(1)△ABE≅△DCF
(2)∠B=∠C
(3)∠A=∠D
2. 如圖等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB =CD。請證明：
(1)△ABC≅△DCB
(2) AC = BD
93
3.如圖，梯形 ABCD 中，AD // BC，且 E 為 AB的中點、F 為DC 的中點。
我們將梯形 ABCD 沿EF 剪開，並以 E 點為中心，將四邊形 AEFD
依逆時針方向旋轉 180° 後會形成下圖四邊形 F'D'CF。
請回答下列問題並解釋：
(1)四邊形 F'D'CF 是什麼四邊形？
(2)梯形 ABCD 的兩腰中點連線與上、下底有什麼關係？
D
B
A
C
E F 1
2 3 4
D
B(A ) D C
E F F
A