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Linee e superfi
ci : le forme e le forze
11
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sommario
Classificazione proiettiva delle quadriche
Proprietà meccaniche delle curve e delle superficie
Rassegna morfologica per generazione meccanica delle curve
Categorizzazione delle curve Esercizio sulle superfici di Lamé
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QUADRICHE
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3. Trasformazioni omografiche della 3. Trasformazioni omografiche della sferasfera
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PUNTO ELLITTICO
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ellissonide
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paraboloidi
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4. Trasformazione omografica della 4. Trasformazione omografica della superficie conica rotondasuperficie conica rotonda
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PUNTO PARABOLICO
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P.L. Nervi: Aviorimesse a Orvieto (1935)
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F. Dischinger: Copertura del mercato di Lipsia (1929
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Mole antonelliana
a Torino (1863-80)
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5. iperboloidi5. iperboloidi
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PUNTO IPERBOLICO
DIREZIONE ASINTOTICA
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Paraboloide iperbolico: sezioni parabolociche
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Paraboloide iperbolico:sezioni iperboliche
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Paraboloide iperbolico come superficie rigata
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Iperboloide a una falda
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V. Choukhov: Torre radio a Mosca (1922),...........
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CURVE e SUPERFICIE 3
Cubiche, quartiche e alcune trascendenti;
superfici di rivoluzione a sezione meridiana variabile
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Curve e superficie d’ordine superiore una breve panomarica morfologica e un’applicazione in architettura
Semplice esempio introduttivo: ordine della curva e senso palastico della variabilità
breve panoramica morfologica dalla parabola alle curve di efficiente resistenza cicloidi e prime curve cinematiche Concoidali e chiasmiche Quartiche e toriche Trascendenti tipiche: spirali Curve elastiche e parametriche
Curve di Bezier, B-Spline e NURBSUna generalizzazione delle coniche: curve e superficie di
Lamè Descrizione delle superfici architettoniche Esercizio in aula
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Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura
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Grado dell’equazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna morfologica
Cubiche ellittiche
(Parabole divergenti)
e cubiche razionali
(duplicatrice)
Coniche(Quadratiche)
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LE FORME E LE FORZE:Senso plastico ed efficienza meccanica delle curve:
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Serie morfologiche
parabola
catenaria
Catenaria d’ugual
resistenza
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Eugene Freyssinet Hangar di Orly (1923)
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sinusoide
lintearia
Cicloide di Sturm
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kappa
Curva di Schoute
a forma di punta di matita
qui ottenuta come inversione biassiale dell’iperbole
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Grafico della funzione Inversa del coseno
iperbolico
Curva di Gauss
Cubica di Lamé
Curva di Agnesi
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strofoide
Trisettrice di MacLaurin
Qui costruita come intersezione di due rette che ruotano
costantemente una alla velocità tripla dell’altra
Folium di Cartesio
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Cubica circolare razionale
cissoide
Cissoide come curva mediana della retta del
circolo
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Cubiche di Chasles
Iperboli cubiche
(P è un polinmio di terzo grado)
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Parabole (cubiche)
divergenti
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Quartica razionale piriforme
.
Curva a “lacrima”
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Lemniscata di Bermouilli
Lemniscata di Gerono
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Quartiche bicircolari razionali
Lumaca di Pascal
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. .
Cardioide Qui costruita come pericicloide
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Quartiche di Bermuoilli
Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici
Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad
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Spiriche di Perseo
Fissati A e B
variando C.
1) Se 0 < B < A
2) Se B < 0 < A
Spiriche e toriche
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Ovali di Cassini
Ovali e Lemniscate di Booth
e Ippopede di Proclo
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Costruzioni cinematiche (come curve di Watt) delle curve di Booth come luoghi del centro di una conica che ruota senza scivolare su una a lei uguale e con i vertici coincidenti
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Quartiche di Plücker
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Trascendenti tipiche: le spiraliSpirale
logaritmica
Caso di fibonacci
Cfr. Modulor
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Spirale d’Archimede
E la sua inversa:
Spirale iperbolica
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Involuta del circolo
Le involute di una data curva piana C sono le curve (inviluppo) tracciate dall’estremo di un filo teso lungo C e srotolato da C;detto altrimenti sono le tracce nel piano di un punto d’una retta ruotante senza scivolare su C (sono dunque dei casi particolari di cicloidi).
Una qualunque curva della quale un’altra curva C è l’evoluta si dice Evolvente di C (quì il circolo è l’Evolvente).
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Evolute dell’ellisse (curve di Lamè)
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Curve elastiche e parametriche Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla
distanza da una curva detta direttrice
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curve (di approssimazione) di Bézier
curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne il primo e dell’ultimo).
L’ordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo grado).
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Come per Euclide la retta è quella curva che coincide con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se tutti i “punti di controllo” giacciono sulla curva) così nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta se e solo se i punti di controllo sono collineari.
Una curva quadratica di Bézier si costruisce assegnando i punti intermedi Q0 e Q1
al variare di t da 0 a 1 il punto Q0 varia da P0 to P1 e descrive una curva lineare di Bézier.
Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva lineare di Bézier.
Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva quadratica di Bézier.
tragitto di B(t) da P0 a P1.
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La curva è tangente ai due capi è tangente al primo e all’ultimo tratto della spezzata di controllo
È tutta all’interno di un poligono convesso che racchiude la spezzata
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Curve di approssimazione (B-spline)
Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di controllo l’ordine della curva può variare tra n (in questo caso sarebbe una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera nella spezzata di controllo).
la curva passa per il primo e l’ultimo vertice evendone per tangenti rispettivamente il primo e l’ultimo tratto della spezzata di controllo.
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Non Uniform Rational B-splinesono B-spline controllate da punti e da pesi relativi ad ogni punto di controllo (le B-spline sono casi di NURBS con i pesi dei punti controllo sono tutti eguali).
Le NURBS (come le Spline) sono composta da più archi ma la continuità tra questi è regolabile da un numero intero:
se = 0 gli archi sono semplicemente contigui se = 1 gli archi sono contigui e ammettono la
medesima tangente nel punto di saldatura se = 2 gli archi sono contigui, ammettono la
medesima tangente e hanno la medesima curvatura nel punto di saldatura.
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I parametri che modellano una NURBS sono dunque: - il numero dei poli o punti di controllo e il loro peso; - il numero degli archi o spans che compongono la
curva; - la continuità tra gli archi nei punti di saldatura
(knots); - il grado (ordine) della curva.
Attraverso le NURBS si descrivono le coniche esattamente e non per approssimazione, come con le altre spline.
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La categorizzazione comune delle curve
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Curve di Lamè
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Curve e Superfici di Lamè
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