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  • 8/17/2019 f Marcell An

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    Una incursión en la obra matemática de Luis Vigil

    Francisco Marcellán

    Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y Departamento of Matemáticas, UniversidadCarlos III de Madrid

    Research Meeting on Approximation Theory, E.I.T.A. 2014En el centenario del nacimiento de D. Luis Vigil y Vázquez (1914-2003)

    Alquézar, 17-19 de Octubre de 2014.

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 1 / 39

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    Outline

    1   Luis Vigil y polinomios ortogonales

    2   Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas

    3   Curvas algebraicas armónicas

    4   Curvas equipotenciales polinómicas

    5   Curvas equipotenciales racionales

    6   Extensiones de productos escalares sobre curvas.

    7   Problemas inversos y recurrencias

    8   Conexión con PO matriciales

    9   Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 2 / 39

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    Outline

    1   Luis Vigil y polinomios ortogonales

    2   Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas

    3   Curvas algebraicas armónicas

    4   Curvas equipotenciales polinómicas

    5   Curvas equipotenciales racionales

    6   Extensiones de productos escalares sobre curvas.

    7   Problemas inversos y recurrencias

    8   Conexión con PO matriciales

    9   Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 3 / 39

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    Luis Vigil y polinomios ortogonales

    Articulos L. Vigil (MathSciNet): 29

    Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad.Polinomios ortogonales respecto a medidas soportadas sobre curvasdel plano complejo.

    17 art́ıculos sobre estos tópicos.

    Primeros articulos1 A functional identity in the theory of orthogonal polynomialsa

    2 On formal properties of orthogonal polynomials.1   Summation and recurrence

    2   Zeros and Christoffel constantsb 

    Colaboradores: M. P. Alfaro (9), M. Alfaro (1), J.J. Guadalupe (1).

    aRev. Acad. Ciencias Madrid  60, 1966

    b Rev. Acad. Ciencias Madrid  63, 1969

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    Mis art́ıculos favoritos

    1 Orthogonal polynomials on real algebraic curves, Proc XI AnnualConference of Spanish Mathematicians (Murcia 1970). UniversidadComplutense de Madrid 1973.

    2 Correspondance entre suites de polynômes orthogonaux et fonctionsde la boule unité de  H ∞0   . In Proceedings Bar-le-Duc 1984. Lect.Notes in Math.  1171, Springer-Verlag Berlin 1985. (Con M. Alfaro,M. P. Alfaro, J. J. Guadalupe).

    3 Solution of a problem of P. Turán on zeros of orthogonal polynomials

    on the unit circle, J. Approx. Theory  53(1988) (Reviewer: W. VanAssche)

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    1   Luis Vigil y polinomios ortogonales

    2   Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas

    3   Curvas algebraicas armónicas

    4   Curvas equipotenciales polinómicas

    5   Curvas equipotenciales racionales

    6   Extensiones de productos escalares sobre curvas.

    7   Problemas inversos y recurrencias

    8   Conexión con PO matriciales

    9   Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 6 / 39

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    Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil (1970)

    1 Matriz de momentos como matriz estructurada.

    2 Problema de momentos como un problema inverso (determinar lamedida y su curva soporte).

    3 Propiedades estructurales de polinomios ortogonales (fórmulas derecurrencia y sumación).

    4 Problema inverso.

    5 Localización de ceros de polinomios ortogonales.

    6 Extensión t́ıpica: Interpolación y cuadratura.

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    Polinomios ortogonales sobre curvas algebraicas

    γ  = {z ∈ C :

    0≤k,j≤N ak,jz

    k

    z̄ j

    = 0}

    = {z ∈ C : D(z, z̄) = 0},

    donde

    D(z, w) =

    0≤k,j≤N 

    ak,jzkw j.

    Sea  µ  una medida de probabilidad soportada en  γ 

    0≤k,j≤N 

    ak,jck+l,j+i = 0,

    donde

    cl,i  =

     γ 

    zlz̄idµ

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    La matriz de Gram respecto a la base canónica  {zn}n∈N  se denominamatriz D-estructurada o matriz relativa a la curva  γ .

    Ejemplo

    D =

    1 00   −1

      Circunferencia unidad.

    D =0   −1

    1 0

      Recta real.

    D =

    0 1 0−1 0   −1

    0 1 0

      Uni´ on de circunferencia unidad y recta real.

    D =

    0 0 10 0 0

    1 0   −1

      Lemniscata de Bernoulli.

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 9 / 39

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    Sea  a(z) = aN zN  + aN −1z

    N −1 + · · · + a1z + a0, aN   = 0.

    Curvas algebraicas armónicas   Ima(z) = 0. (J. Vinuesa, Diciembre1973)

    D = ae∗1 − e1a∗

    Curvas equipotenciales polinómicas  |a(z)| = 1. (F. Marcellán,

    Diciembre 1976).D = aa∗ − e1e

    ∗1

    En todos los casos anteriores, RankD = 2  !!

    Curvas equipotenciales racionales |a(z)| =  |b(z)|. (L. Moral, Mayo

    1983).

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    definición

    Se dice que una sucesi´ on de polinomios ortogonales ( SPO)  (P n)n∈Nsatisface una relaci´ on de recurrencia si existe un n´ umero natural h tal que 

    P n+h(z) =h−1 j=0

    αh,j(z)P h+ j(z)

    donde los  αh,j(z)  son polinomios de grado independiente de  n y, a lo más h − j.

    Problema

    ¿ Todas las  SPO relativas a curvas algebraicas reales poseen fórmulas derecurrencia?

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    definición

    Una  SPO (P n(z))n∈N  posee una f´ ormula de sumaci´ on si existe un n´ umero 

    natural  k  tal que 

    K n+k(z, y) =

    k−1i=0  Qn+i(y)P n+i(z)

    R(z, y)

    siendo  Qn+i(z), R(z, y)  polinomios en una y dos variables,respectivamente, y  K n(x, y)  es el  n-n´ ucleo reproductor.

    Problema

    ¿Todos las  SPO relativas a curvas algebraicas poseen fórmulas de

    sumación?

    Interpretación matricial de las formulas de sumación: Inversión de matricesD-estructuradas cuya inversa es  D-Bézoutiana (G. Heinig 1991)

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    1   Luis Vigil y polinomios ortogonales

    2   Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas

    3   Curvas algebraicas armónicas

    4   Curvas equipotenciales polinómicas5   Curvas equipotenciales racionales

    6   Extensiones de productos escalares sobre curvas.

    7   Problemas inversos y recurrencias

    8   Conexión con PO matriciales

    9   Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 13 / 39

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    Curvas algebraicas armónicas

    1 Extensión natural de la recta real. El operador de multiplicación por

    a(z)  es simétrico

    =⇒Relación de recurrencia.Fórmula de sumaciónEquivalencia entre ambas.

    2 a(z)P n(z) = 

    N i+1 A(i)n−iP n−i(z) +

    N i=0 A

    (i)n   P n+i(z)  con  A

    (0)n   ∈ R

    3 α-matriz de Jacobi de orden  N   i.e. matriz hermitiana (2N+1) banda.

    4 K n(z,y)  =N 

    i=1

    nl=n−i+1 A

    (i)lP̂ l(y) P̂ l+i(z)−A

    (i)l

    P̂ l(z) P̂ l+i(y)

    a(z)−a(y)  .

    Ejemplo

    Hipérbolas equiĺateras.

    Recta del plano complejo.

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    1   Luis Vigil y polinomios ortogonales

    2   Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas

    3   Curvas algebraicas armónicas

    4   Curvas equipotenciales polinómicas5   Curvas equipotenciales racionales

    6   Extensiones de productos escalares sobre curvas.

    7   Problemas inversos y recurrencias

    8   Conexión con PO matriciales

    9   Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 15 / 39

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    Curvas equipotenciales polinómicas

    1 Extensión natural de la circunferencia unidad. El operador demultiplicación por  a(z)  es unitario.

    =⇒Relación de recurrencia.Fórmula de sumaciónEquivalencia entre ambas.

    2 a(z)P n(z) = aN P n+N (z) +N 

    k=1 λn,kK n−1(z, αk), donde

    a(z) = aN N  j=1(z − α j)

    3 Matriz de Hessenberg de orden  N .4 fórmula de sumación

    K n(z,y)  =a(z )a(y)

    nj=n−N +1 P̂ j(y)

     P̂ j(z )−

    M (n)k,kK n(z, αk)K n(y, αk)

    a(z )a(y)− 1

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    O li

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    1   Luis Vigil y polinomios ortogonales

    2   Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas

    3   Curvas algebraicas armónicas

    4   Curvas equipotenciales polinómicas5   Curvas equipotenciales racionales

    6   Extensiones de productos escalares sobre curvas.

    7   Problemas inversos y recurrencias8   Conexión con PO matriciales

    9   Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 17 / 39

    C i i l i l | ( )| |b( )|

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    Curvas equipotenciales racionales  |a(z )| = |b(z )|

    Idea clave:Perturbación de medidas

    P n(z) −→ dµ

    Qn(z; s) −→ |s(z)|2dµ

    con  deg s(z) = h  y  s(z) = shh j=1(z − α j).

    Proposición (Extensión de la fórmula de Christoffel)

    s(z)Qn(z; s) = shP n+h(z) +h

     j=1

    λn,jK n+h−1(z, α j)

    considerar  s(z) = a(z)

    s(z) = b(z)con  Qn(z; a) = Qn(z; b)

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 18 / 39

    O li

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    1   Luis Vigil y polinomios ortogonales

    2   Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas

    3   Curvas algebraicas armónicas

    4   Curvas equipotenciales polinómicas5   Curvas equipotenciales racionales

    6   Extensiones de productos escalares sobre curvas.

    7   Problemas inversos y recurrencias8   Conexión con PO matriciales

    9   Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 19 / 39

    E t i d d t l b

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    Extensiones de productos escalares sobre curvas.

    definición

    Dada una matriz HDP  mn−1 = [c p,q]n−1 p,q=0  a toda matriz HDP  mn

    obtenida orlando la matriz  mn−1  con fila y columna  n-ésimas se llama

    extensi´ on de  mn−1.

    definición

    Si  mn−1  es una matriz relativa a  γ  y  mn  es una extensi´ on también relativa

    a γ 

     se dice que  m

    n  es una  γ 

    -extensi´ on de  m

    n−1.

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    definición

    Dada una  n-upla  {α1, α2 . . . , αn}  con  αi = αk   y  { p1, p2 . . . , pn} reales positivos, se llama t́ıpico el producto escalar definido en  Pn  mediante 

    zh, zk

     =

    n j=1

     p jαh j α

    k j   (h, k) = (n, n)

    zn, zn = en +n

     j=1

     p jαn j α

    n j

    Proposición

    1   P n(z) = 

    nk=1(z − αk).

    2   Las ráıces de  P k(z)  (1 ≤  k  ≤ n − 1) se encuentran en elinterior de la envoltura convexa de  {α1, α2 . . . , αn}.

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    3  Dado un producto escalar en  Pn−1  mediante una matriz deGram HDP y dados  n  números complejos distintos

    {α1, α2 . . . , αn}  y un  en  > 0, la condición necesaria ysuficiente para que  P n(z) =

     nk=1(z − αk)  sea el  nésimo

    polinomio ortogonal de grado  n  en una extensión t́ıpica dePn−1  a  Pn  es que los polinomios de la base de Lagrangeasociada a  {α

    1, α

    2. . . , αn} constituyan un sistema ortogonal

    en  Pn−1.

    4  Dado un producto escalar en  Pn−1, a cada  α ∈ C  conP n−1(α) = 0  y cada  en  > 0   le corresponde una extensiónt́ıpica

    P n(z; α) = (z − α) K n−1(z; α)P n−1(α)

    .

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 22 / 39

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  • 8/17/2019 f Marcell An

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    Teorema (J. Vinuesa ,1984)

    mn = [c p,q]n p,q=0 , n ≥ 2N  − 1,  es una extensi´ on  γ -t́ıpica de su submatriz 

    principal de orden  n − 1  si y solo si las ráıces de dicha extensi´ onpertenecen a la curva  γ 

    ⇓F´ ormulas de cuadratura en la recta real y la circunferencia unidad.

    Generalización al caso de ceros múltiples. Su conexión con discretizacionesde productos de Sobolev. (A. Cachafeiro, F. Marcellán, 1990)

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 23 / 39

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  • 8/17/2019 f Marcell An

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    1   Luis Vigil y polinomios ortogonales

    2   Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas

    3   Curvas algebraicas armónicas

    4   Curvas equipotenciales polinómicas5   Curvas equipotenciales racionales

    6   Extensiones de productos escalares sobre curvas.

    7   Problemas inversos y recurrencias8   Conexión con PO matriciales

    9   Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 24 / 39

    Problemas inversos y recurrencias

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  • 8/17/2019 f Marcell An

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    Problemas inversos y recurrencias

    Si una familia de polinomios satisface una relación de recurrencia, ¿Existeun producto escalar respecto al que estos polinomios son ortogonales.?

    ¿Qué se puede decir de las medidas de ortogonalidad y de su soporte?

    Favard:  xpn(x) = an+1 pn+1(x) + bn pn(x) + an pn−1(x),  n ≥ 1,  bn ∈ R,an  > 0  existe una medida de probabilidad no trivial  µ  soportada en larecta real tal que

     R

     pn(x) pm(x)dµ =  δ n,m.

    P. L. Duren (1965): Sea  γ  una curva anaĺıtica de Jordan en el planocomplejo y  w  una función continua y positiva en  γ . Sea  (P n(z))n∈N  unasucesión de polinomios ortonormales sobre la curva respecto al peso  w   i.e. γ 

     P n(z)P m(z)w(z)|dz| =  δ n,m  satisfaciendo una relación de recurrencia

    αnP n−1(z) + (β n − z)P n(z) + γ nP n+1(z) = 0

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 25 / 39

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  • 8/17/2019 f Marcell An

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    P n(z) = knzn+términos de grado menor,  kn  > 0.

    Entonces  γ  es una elipse y las sucesiones  {αn}n∈N,  {β n}n∈N  y  {γ n}n∈N,están acotadas

    Ingrediente básico: G. Szegő

    ĺımn→∞

    P n+1(z)P n(z)

      = ψ(z), z  en el exterior de  γ,

    donde  ψ(z)  es la aplicación conforme del exterior de  γ  en el exterior deldisco unidad.

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 26 / 39

    A J Durán (1993)

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  • 8/17/2019 f Marcell An

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    A. J. Duran (1993)

    Determinación de un producto escalar tal que la sucesion de polinomiosortonormales satisfaga una relación de recurrencia

    xN  pn(x) = cn,0 pn(x) +N l=1

    [cn,l pn−l(x) + cn+l,l pn+l(x)]   con   cn,N   = 0.

    Proposición

    Existen funciones  µ0  y  µm,m ,  1 ≤  m, m ≤ N  − 1,  con  µm,m  = µm,m   talque los polinomios  ( pn(x))n∈N  son ortogonales respecto a la forma bilineal

    B(f, g) =

       f (t)g(t)dµ0 +

       V  n(f )dM V  n(g)

    donde

    dM  =

    dµ0,0   . . . dµ0,N −1...

      ...dµN −1,0   . . . dµN −1,N −1

    ,

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 27 / 39

    V (f ) (T T (f ) T (f ))

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    V  N (f ) = (T 0,N , T 1,N (f ), . . . T  N −1,N (f ))

    donde para  f (x) = 

    i aixi,

    T m,N (f )(x) =i

    aiN +mxiN +m.

    Proposición

    Son equivalentes los siguientes enunciados 

    1 El operador  xN  es simétrico respecto a  B  y además B(xN f,xg) = B(xf,xN g).

    2 Existe una funci´ on  µ  y una matriz  M  ∈ R(N −1)×(N −1) tales que 

    B(f, g) =

       fgdµ +

    f (1)(0) · · · f (N −1)(0)

    g(1)

    (0)...

    g(N −1)(0)

    .

    Si, además  B(xk, xm) = B(1, xk+m) 1 ≤ k, m ≤ N  − 1,  e nt o nc es  M es diagonal.F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 28 / 39

    Sea h(x) un polinomio de grado N Considérese la base de P

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  • 8/17/2019 f Marcell An

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    Sea  h(x)  un polinomio de grado  N . Considerese la base de  PBh = {x

    khn(x); k = 0, 1, . . . , N   − 1, n ∈ N}. Si  p ∈ P

     p(x) =

    N −1m=0

    k≥0

    am,kxmhk(x).

    (Tesis de L. Vigil ”Sobre series de Jacobi”1950)

    TeoremaSon equivalentes los siguientes enunciados 1 B(hf,g) = B(f,hg)  para todo polinomio  f, g.

    2 Existen funciones  µ0  y  µm,m ,  1 ≤ m, m ≤ N  − 1,  con

    µm,m  = µm,m   tales que 

    B(f, g) =

       fgdµ0 +

    1≤m≤m≤N −1

       T m,h(f )(x)T m,h(g)(x)dµm,m .

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    1   Luis Vigil y polinomios ortogonales

    2   Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas

    3   Curvas algebraicas armónicas

    4

      Curvas equipotenciales polinómicas5   Curvas equipotenciales racionales

    6   Extensiones de productos escalares sobre curvas.

    7   Problemas inversos y recurrencias8   Conexión con PO matriciales

    9   Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

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  • 8/17/2019 f Marcell An

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    Sea  Rn,h( p)(x) =

     k≥0 an,kx

    k.  Dado que  p(x) =

     N −1n=0   x

    nRn,h( p)[h(x)]definamos

    S n(x) =

    R0,h( pnN )   R1,h( pnN )   · · ·   RN −1,h( pnN )R0,h( pnN +1)   R1,h( pnN +1)   · · ·   RN −1,h( pnN +1)

    ......

    ...R0,h( pnN +N −1)   R1,h( pnN +N −1)   · · ·   RN −1,h( pnN +N −1)

    ,

    S n[h(x)]

    1x...

    xN −1

    =

    P nN (x)P nN +1(x)

    ...P nN +N −1(x)

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    Curvas algebraicas armónicas:  {S n(x)}n∈N  define una sucesión de

    polinomios ortogonales matriciales sobre la recta real (F. Marcellán, G.Sansigre, 1993).

    Curvas equipotenciales polinómicas:  {S n(x)}n∈N  define una sucesiónde polinomios ortogonales matriciales sobre la circunferencia unidad (F.

    Marcellán, I. Rodŕıguez, 1989).

    Polinomios ortogonales tipo Sobolev: {S n(x)}n∈N  define una sucesiónde polinomios ortogonales matriciales sobre la recta real perturbando lamedida con una masa matricial (A. J. Durán, W. Van Assche, 1995).

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 32 / 39

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    1   Luis Vigil y polinomios ortogonales

    2   Proyecto/Programa de trabajo de L. Vigil para PO sobre curvasalgebraicas

    3   Curvas algebraicas armónicas

    4

      Curvas equipotenciales polinómicas5   Curvas equipotenciales racionales

    6   Extensiones de productos escalares sobre curvas.

    7

      Problemas inversos y recurrencias8   Conexión con PO matriciales

    9   Polinomios ortogonales sobre la circunferencia unidad

    F. Marcellán (U. Carlos II I, Madrid)   Luis Vigil y Polinomios ortogonales   October 18, 2014 33 / 39

    Medida de → Matriz de →Coeficientes

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    probabilidadno trivial ←

    momentos(Toeplitz) ←

    Coeficientesde Schur

    Función de Caratheódory

    F (z) = 1 + 2∞

    n=1

    c−nzn

    Función de Schur

    (1+F (z))(1+f (z)) = 2

    Fórmulas de recurrencia para SPOM sobre la circunferencia unidad.

    φn+1(z) = zφn(z) + φn+1(0)φ∗n(z)

    φn+1

    (z) = (1− |

    φn

    (0)|

    2)zφn

    (z) + φn+1

    (0)φ∗n+1

    (z)

    Teorema de Favard. Dada  (αn)n∈N  con  |αn| 

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    Ωn(z) =

       2π0

    eiθ + z

    eiθ − z

    φn(e

    iθ) − φn(z)

    dµ(eiθ)

    Caracterización de la SPOM sobre la circunferencia unidadOPUC F.Peherstorfer, R. Steinbauer, 1995

    φn(z)F (z) + Ωn(z) = O(zn)

    φ∗n(z)F (z) − Ω∗n(z) = O(z

    n+1)

    1.   F   es anaĺıtica en  D  con  ReF (z) > 0  en  D.

    2.   f  es anaĺıtica en  D  con  f (0) = 0  y  |f (z)| 

  • 8/17/2019 f Marcell An

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    (Vigil, 1985)

    1 Sea  f  ∈ B(H ∞0   ).  (φn(0))n∈N ∈ l2 si y solo si  ln(1 − |f |) ∈  L1(µ).

    2 µ  es singular si y solo si  f  es una función interior i.e.   |f (eiθ)| = 1  a.e.

    3 µ  es absolutamente continua si y solo si

    Re

       π−π

    f (eiθ)

    1 + f (eiθ)dθ = 0.

    4 µ({eiθ0}) > 0  si y solo si   ĺımr→1(1 − r)1−|f (reiθ0)|2

    |1+f (reiθ0)|2  > 0.  Además

    µ({eiθ0}) = 2π ĺımr→1

    1 − r

    1 + f (reiθ)

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    Ceros

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    φn(α) = 0 =⇒ |α| 

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    Thron, 1989)

    Dado  |τ n+1| = 1  se define

    ψn+1(z; τ n+1) = zφn(z) + τ n+1φ∗n(z)

    1

    ψn+1(z; τ n+1), z

    k

     = 0  para  1 ≤  k  ≤ n.

    2

    Si  ψn+1(α; τ n+1) = 0  entonces   |α| = 1. Los ceros de  ψn+1(z; τ n+1)son unitarios y simples y se entrelazan con los ceros de  ψn(z; τ n).3    π

    −πf (eiθ)dµ(θ) =

    nk=1

    f (zn,k; τ n)Λn,k

    para toda  f  ∈ Λ−n,n  (Extensión t́ıpica en la circunferencia unidad).4

    nk=1

    Λn,kδ (z − zn,k)  ∗→ dµ.

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    GRACIAS POR VUESTRA ATENCI ´ ON 

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