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Fısica Geral IIAula 1 - Teoria cinetica dos gases

D. Valin1

1Faculdade de Ciencias Exatas - FACETUniversidade do Estado de Mato Grosso

Sinop-MT, April 25, 2017

D. Valin (Universidade do Estado de Mato Grosso) Fısica Geral II Sinop-MT, April 25, 2017 1 / 25

Sumario

1 IntroducaoO que e Fısica?

2 Numero de AvogadroNumero de Avogadro

3 Trabalho realizado por um Gas Ideal a Temperatura constante

4 Trabalho realizado por um Gas Ideal a Volume constante e Pressaoconstante

5 Pressao, Temperatura e Velocidade Media Quadratica

6 Energia Cinetica de Translacao

7 Livre Caminho Medio

8 A distribuicao de velocidade das moleculas

9 Gases Reais - A equacao de Van der Waals


Introducao

”Quando Uma garrafa dechampanhe, cerveja ou qualqueroutra bebida com gas e aberta, umanevoa se forma em torno da boca dagarrafa e parte do lıquido espirrapara fora. Na fotografia, a nevoa e anuvem branca que envolve a rolha eos respingos sao os riscos no interiorda nuvem.”O que produz a nevoa que apareceno ar quando uma garrafa de bebidagasosa e aberta?A resposta no final do capıtulo do Halliday.


O que e Fısica?

Um dos grandes objetivos da Fısica e relacionar quantidades microscopicastais como momento linear e energia de cada molecula do gas aquantidades macroscopicas tais como Temperatura, Pressao e Volume. Ea Teoria cinetica dos gases que faz essa associacao. A teoria cinetica dosgases tem muitas aplicacoes nas mais diversas areas do conhecimento.


Numero de AvogadroDefinicoes

O mol e o numero de atomos de uma amostra de 12 g de carbono 12;

Quantos atomos ou moleculas ha em um mol?

O numero de Avogadro e definido experimentalmente comoNA = 6.02.1023mol−1;

O numero de moles n contidos em uma amostra de qualquersubstancia e igual a taxa do numero de moleculas N em uma amostrapara o numero de Avogadro NA em 1 mol;

n =N

NA


Numero de Avogadro

Objetivos de aprendizagem

Identificar numero de Avogadro NA.

Relacao entre numero de moles n e o numero de moleculas N pormeio de NA

Relacao entre a massa m de uma amostra, massa molar M dasmoleculas de uma amostra e o numero NA.

Ideias chave

Teoria cinetica relaciona propriedades microscopicas com variaveismacroscopicas de um gas.

Um mole de uma substancia contem NA (numero de Avogadro)unidades elementares (at. ou mol.), onde NA e experimentalmenteNA = 6.02.1023mol−1.

A massa molar M de uma substancia e a massa de um mole dasubstancia.


Gases ideais

Medidas precisas em baixas concentracoes

pV = nRT (1)

onde p e a medida absoluta (nao manometrica), n e o numero demols do gas e T e a temperatura;

O fator R e chamado de constante dos gases ideais, e possui o mesmovalor para todos os gases

R = 8, 31J/mol .K

De acordo com a equacao acima, R = kNA. Assim, de acordo comEq. 19-2(n = N/NA), temos

PV = NkT


Trabalho realizado por um Gas Ideal a Temperaturaconstante

Suponha que temos um gas idealdentro de um cilindro com umembulo, como o do capıtulo 18. Sejauma expansao do volume inicial Vi

para o volume final Vf , mantendo atemperatura constante. Esteprocesso e chamado expansaoisotermica (O processo inverso -compressao isotermica)

Em diagrama pV


Trabalho realizado por um Gas Ideal a Temperaturaconstante

Continuando...

P = nRT1

V= (constante)

1

V

W =

∫ Vf

Vi

PdV

substituindo o valor de P, temos:

W =

∫ Vf

Vi

nRT

VdV = nRT

∫ Vf

Vi

dV

V= nRT [lnV ]Vf

Vi

Calculando o valor da expressao ln a− ln b = ln( ab ), obtemos

W = nRT ln(VfVi

) gas ideal processo isotermico)


Trabalho realizado por um Gas Ideal a Volume constante ePressao constante

Para pressao constante dV = 0 entaoW = 0 (processo a volume constante)Se ao inves disso, o volume varia, enquanto a pressao P do gas e mantidaconstante, a equacao: W = p(Vf − Vi ) = p∆V (processo a pressaoconstante)

Exemplo 19-1

Um cilindro contem 12 L de oxigenio a 20 oC e 15 atm. A temperatura eaumentada para 35 oC e o volume e reduzido para 8, 5 L. Qual e a pressaofinal do gas em atmosferas? Suponha que o gas e ideal.

Exemplo 19-2

Um mol de oxigenio...


Pressao, Temperatura e Velocidade Media Quadratica

Figure: Uma caixa cubica de aresta L com n mols de um gas ideal. Uma molecula demassa me velocidade v esta prestes a colidir com a parede sombreada de area L2. Emostrada tambem a reta perpendicular a parede.


Pressao, Temperatura e Velocidade Media Quadratica

Para um modelo de uma caixa cheia de moleculas de ar

∆px = (−mvx)− (mvx) = −2mvx (2)

∆px∆t

=2mvx2L/vx

=mv2

x

L(3)

P =FxL2

=mv2

x1/L + mv2

x2/L + ...+ mv2

xN/L

L2(4)

P = (m

L3)(v2

x1+ v2

x2+ ...+ v2

xN) (5)

Onde N e o numero de moleculas que existem na caixa. Como N = nNA

P =nmNA

L3(v2

x )med (6)


Energia Cinetica de Translacao

Seja a energia cinetica media das moleculas

Kmed = (1

2mv2)med =

1

2m(v2)med =

1

2mv2

rms

Kmed = (1

2m)

3RT

M

, Entretanto, M/m, a massa molar dividida pela massa de uma molecula,e simplismente o numero de Avogadro. Assim,

Kmed =3RT

2NA


Energia Cinetica de Translacao

Usando a Eq. 19-7 (k = R/NA), podemos escrever:

Kmed =3

2kT

Propriedade

Em uma dada Temperutura T, todas as moleculas de um gas ideal,independente de suas massas, tem a mesma energia cinetica de translacaomedia 3

2kT .Quando medimos a temperatura de um gas tambem estamos medindo aenergia cinetica de translacao media de moleculas.


Livre Caminho Medio

Define-se livre caminho medio λ, das moleculas com a distancia mediapercorrida po uma moleculas entre duas colisoes. Espera-se que λ varieinversamente com N/V , o numero de moleculas por unidade de volume(ou concentracao de moleculas).

λ =1√

2πd2N/V

Teste 3Um mol de um gas A, cujas moleculas temum diametro 2d0 e uma velocidade mediav0, e colocado em um certo recipiente. Ummol de um gas B, cujas moleculas tem umdiametro d0 e uma velocidade media 2v0 (as moleculas do gas B sao menores e maisrapidas), e colocado em um recipiente igual.Qual dos gases tem a maior taxa media decolisoes?


A distribuicao de velocidade das moleculas

Dada a lei de distribuicao develocidades de Maxwell

P(v) = 4π(M

2πRT)3/2v2 exp(

−Mv2

2RT)

, Onde M e a massa molar do gas, Re a constante dos gases ideais, T e atemperatura ambiente do gas e v e avelocidade escalar media damolecula.A Area total da curva∫ ∞

0P(v)dv = 1

A fracao (frac) de moleculas comvelocidades no intervalo, digamos, dev1 a v2, e

frac =

∫ v2

v1

P(v)dv

Agora podemos definir VelocidadeMedia, Velocidade Media Quadraticae Velocidade Mais Provavel

vmed =

∫ ∞0

vP(v)dv

Que resulta em

vmed =

√8RT

πM



Analogamente, a media dosquadrados das velocidades, (v)2

med ,pode ser calculada usando a equacao

(v2)med =

∫ ∞0

v2P(v)dv

Substituindo P(v) por seu valor,dado pela Eq. 19-27, e usando aintegral 16 da lista de integrais doapendice E, obtemos

(v2)med =3RT

M

Daı

vrms =

√3RT

M

A velocidade mais provavel vp e avelocidade para qual P(v) e maxima.Para isso, fazemos dP/dv = 0

vp =

√2RT

M



Example

1 Chuva - A distribuicao de velocidades das moleculas da agua, emdigamos um lago no verao pode ser representada como na Figura doslide anterior. A maioria das moleculas nao possui energia suficientepara escapar da superfıcie da agua. No entanto, algumas moleculasrapidas, aquelas localizadas na calda da curva de altas velocidades,possuem energia suficiente para escapar. Isto explica a evaporacao daagua.

2 Luz solar - A energia do sol se deve a um processo de fusao nuclearque comeca com a fusao dos protons. No entanto, os protons serepelem com a forca de repulsao eletrica entre eles e os atomos comvelocidades media ou abaixo dela nao possuem energia suficiente parainiciar o processo de fusao. Mas os protons rapidos, localizados nacalda da curva de altas velocidades podem se fundir, e por isso o Solbrilha.


Gases Reais - A equacao de Van der Waals

1 Modelo do Gas Ideal nao levaem conta a interacao entre asmoleculas;

2 No gas real as interacoes tantorepulsivas quando atrativas saolevadas em conta;

3 A forca de interacao entremoleculas de acordo com ografico;

4 Abaixo de r0 as forcas sao taorepulsivas que podem seresquematizadas como paredesimpenetraveis;

1 O modelos que so levam emconta a parte repulsiva dasmoleculas e o do caroco duro,discutido no livre percursomedio



Efeito do tamanho finito dasmoleculas

4

3/pid3 = 8x

4

3πr3

0 = 8v0

onde d0 = 2r0 e o diametro efetivoda molecula e v0 o seu volumeefetivo.

V → V − 4Nv0

v → v − b

b = 4N0v0 = 4N0x4

3πv3

0



Equacao de Clausius.P = RT

v−b (1 mol)

1 As isotermas associadas aequacao acima sao hiperboles;

2 A assıntota vertical deslocadapara v = b em lugar de v = 0;

3 Gas Real tem um volumemınimo b que e o volume dasomatoria de todas as moleculasdo gas.

∆P = − av2 , a > 0 onde a constante

positiva a e caracterıstica do gas.



O termo ∆P e chamado co-pressao edever ser acrescentado ao segundomembro da equacao (11.7.5).

(P +a

v2)(v − b) = RT

(1 mol) onde os parametros a e b sechamam constantes de Van derWalls da substancia considerada.



A equacao pela curva BCD (Figuraanterior) e

0 =dP

dv=

d

dv(RT

v − b− a

v2) =

RT

(v − b)2+

2a

v3=

(P + a/v2)

v − b+

2a

v3= 0

Daı P0 = av2 − 2ab

v3 (Curva BCD)resulta

dP0

dv= 0→ vc = 3b

O valor de P, correspondente, P=Pc,se obtem substituindo (11.7.10) na(11.7.9)

Pc =a

9b2− 2ab

27b3→ Pc =

a

27b2

Finalmente a temperatura crıtica Tc

da isoterma que passa pelo ponto Cse obtem substituindo as (11.7.10) e(11.7.11) na (11.7.7):

RTc =8a

27b


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