Αναλογίες

Ορισμοί και Ιδιότητες

Ζουρνά Άννας

Ονομάζουμε λόγο ενός αριθμού Α προς

έναν άλλο Β ≠ 0 τον αριθμό λ επί τον οποίο

πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο Β για να

δώσει τον Α, δηλαδή:

Λόγος δύο αριθμών Α και Β

Α = λ Β ⇔ λΒ

A =

Πιο απλά, ο λόγος του Α προς τον διάφορο

του μηδενός αριθμό Β είναι το κλάσμα:

Λόγος δύο αριθμών Α και Β

Β

A

Ονομάζουμε αναλογία την ισότητα δύο ή

και περισσοτέρων λόγων, δηλαδή:

Αναλογία

Δ

Γ

Β

Α =

Θα πρέπει και Β ≠ 0 και Δ ≠ 0

Σε μία αναλογία

Αναλογία - όροι

Δ

Γ

Β

Α =

οι αριθμητές Α και Γ ονομάζονται ηγούμενοι,

οι παρονομαστές Β και Δ ονομάζονται επόμενοι,

οι Α και Δ άκροι όροι και

οι Β και Γ μέσοι όροι.

Αν σε μία αναλογία οι μέσοι όροι είναι ίσοι

τότε αυτή η αναλογία ονομάζεται συνεχής:

Γ

Β

Β

Α =

Συνεχής Αναλογία

Ο Β ονομάζεται γεωμετρικός μέσος των Α και Γ.

Να βρείτε στις παρακάτω αναλογίες ποιοι είναι οι άκροι όροι, ποιοι οι

μέσοι όροι, ποιοι είναι οι ηγούμενοι και ποιοι οι επόμενοι:

Παράδειγμα

9

15

3

5 =

Άκροι όροι Μέσοι όροι Ηγούμενοι Επόμενοι

5 και 9 3 και 15 5 και 15 3 και 9

34 και 7 14 και 17 34 και 17 14 και 7

7

17

14

34 =

Σε μία αναλογία , το γινόμενο των

άκρων όρων Α και Δ ισούται με το γινόμενο

των μέσων όρων Β και Γ .

Α ⋅ Δ = Β ⋅ Γ

Ιδιότητες Αναλογιών Ι

Δ

Γ

Β

Α =

⇔=Δ

Γ

Β

Α

Σε μία συνεχή αναλογία

το τετράγωνο του μέσου Β ισούται με το

γινόμενο των άκρων όρων Α και Γ.

Β2 = Α ⋅ Γ

Ιδιότητες Αναλογιών ΙΙ

Γ

B

Β

Α =

⇔=Γ

B

Β

Α

Έστω η συνεχής αναλογία

Τότε το τετράγωνο του μέσου 10, ισούται με

το γινόμενο των άκρων 20 και 5.

102 = 20 ⋅ 5

Παράδειγμα

5

10

10

20 =

⇔=5

10

10

20

Δύο ποσά α και β λέγονται συμμεταβλητά όταν κάθε

μεταβολή της τιμής του ενός ποσού, μεταβάλλει την τιμή

του άλλου ποσού.

Παράδειγμα

Συμμεταβλητά ποσά είναι το μήκος της πλευράς ενός

τετραγώνου και το εμβαδόν αυτού.

Μεταβάλλοντας την πλευρά αλλάζουμε και το εμβαδόν.

Συμμεταβλητά ποσά

Δύο ποσά α και β ονομάζονται ευθέως

ανάλογα, ή πιο απλά ανάλογα, αν οι

αντίστοιχες τιμές τους έχουν σταθερό λόγο.

Δεν αρκεί να πούμε ότι αν αυξάνει το ένα ποσό να

αυξάνει και η τιμή του άλλου ποσού.

Ευθέως ανάλογα ποσά

Να συμπληρωθεί το παρακάτω πινακάκι:

Παράδειγμα

...6,001,50Αξία σε €

x...5321Ποσότητα

σε κιλά (kg)

Η αξία των μήλων σε €, με την

ποσότητά τους σε kg, είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

...6,001,50Αξία σε €

x...5321Ποσότητα

σε κιλά (kg)

Αν το 1 κιλό μήλα κοστίζει 1,5€ τότε για να βρούμε

πόσο κοστίζουν τα 2 kg θα πρέπει να

πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 1,5.

Η αξία των μήλων σε €, με την

ποσότητά τους σε kg, είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

...6,003,001,50Αξία σε €

x...5321Ποσότητα

σε κιλά (kg)

Για να βρούμε πόσο κοστίζουν τα 3kg μήλα θα

κάνουμε πάλι πολλαπλασιασμό του 3 με το 1,5.

Η αξία των μήλων σε €, με την

ποσότητά τους σε kg, είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

...6,004,503,001,50Αξία σε €

x...5321Ποσότητα

σε κιλά (kg)

Εδώ πρέπει να διαιρέσουμε το 6 με το 1,5 για να

βρούμε πόσα kg μήλα μπορούμε να αγοράσουμε

με 6€.

Η αξία των μήλων σε €, με την

ποσότητά τους σε kg, είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

...6,004,503,001,50Αξία σε €

x...54321Ποσότητα

σε κιλά (kg)

Η αξία των μήλων σε €, με την

ποσότητά τους σε kg, είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

...7,506,004,503,001,50Αξία σε €

x...54321Ποσότητα

σε κιλά (kg)

Αν θέλουμε να αγοράσουμε x κιλά μήλα τότε

πόσα χρήματα θα πρέπει να πληρώσουμε;

Η αξία των μήλων σε €, με την

ποσότητά τους σε kg, είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

1,50⋅x...7,506,004,503,001,50Αξία σε €

x...54321Ποσότητα

σε κιλά (kg)

5,1x

1,5x

5

7,5

4

6

3

4,5

2

3

1

1,5 ==⋅⋅⋅=====

O λόγος των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερός και ίσος με 1,5.

Να συμπληρωθεί το παρακάτω πινακάκι:

Παράδειγμα

Περίμετροςτετραγώνου

σε cm

α…54321Πλευρά

τετραγώνου σε cm

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

2012Περίμετροςτετραγώνου

σε cm

α…421Πλευρά

τετραγώνου σε cm

Για να βρούμε την περίμετρο του τετραγώνου αρκεί

να πολλαπλασιάσουμε το 1 με το 4.

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

20124Περίμετροςτετραγώνου

σε cm

α…421Πλευρά

τετραγώνου σε cm

Για να βρούμε την περίμετρο του τετραγώνου με

πλευρά 2, θα πολλαπλασιάσουμε το 2 με το 4.

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

201284Περίμετροςτετραγώνου

σε cm

α…421Πλευρά

τετραγώνου σε cm

Για να βρούμε την πλευρά τετραγώνου με

περίμετρο 12, πρέπει να διαιρέσουμε το 12 με το 4.

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

201284Περίμετροςτετραγώνου

σε cm

α…4321Πλευρά

τετραγώνου σε cm

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

20161284Περίμετροςτετραγώνου

σε cm

α…4321Πλευρά

τετραγώνου σε cm

Για να βρούμε την πλευρά τετραγώνου με

περίμετρο 20, πρέπει να διαιρέσουμε το 20 με το 4.

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

20161284Περίμετροςτετραγώνου

σε cm

α…54321Πλευρά

τετραγώνου σε cm

Αν η πλευρά είναι ίση με α τότε η περίμετρος είναι 4 ⋅ α

Η πλευρά ενός τετραγώνου και η περίμετρός του

είναι ποσά ανάλογα.

Παράδειγμα

4α…20161284Περίμετροςτετραγώνου

σε cm

α…54321Πλευρά

τετραγώνου σε cm

4α

4α

5

20

4

16

3

12

2

8

1

4 ==⋅⋅⋅=====

O λόγος των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερός και ίσος με 4.

Για να επιλύσουμε κάποιο πρόβλημα πρέπει:

να διαβάσουμε την εκφώνηση αρκετές φορές (να μπορούμε να

πούμε το πρόβλημα απ’ έξω και με δικά μας λόγια)

να εξετάσουμε κάθε δεδομένο προσεκτικά

να καταλάβουμε τι ακριβώς μας ζητάει

να ξεκινήσουμε τη λύση τμηματικά (πολλές φορές αρχίζοντας

από το τέλος)

Επίλυση προβλημάτων

Η μέθοδος αυτή μας βοηθάει να βρούμε το ζητούμενο σε ένα

πρόβλημα με ανάλογα ποσά όταν η εκφώνηση μας δίνει τρία

δεδομένα (γι αυτό και ονομάζεται έτσι).

Το σημαντικό είναι να γράψουμε σωστά την κατάστρωση

προσέχοντας να γράψουμε τα ίδια ποσά το ένα κάτω από το άλλο.

Πολλές φορές για να λύσουμε ένα πρόβλημα χρειάζεται να

εφαρμόσουμε την απλή μέθοδο των τριών περισσότερες από μία

φορές.

Απλή μέθοδος των τριών

Είναι πολύ σημαντική και στη Χημεία.

Για να μπορέσετε του χρόνου να λύνετε

άνετα τις ασκήσεις με τις αντιδράσεις προσέξτε

καλά…

Απλή μέθοδος των τριών

Τα υλικά για έξι ντουζίνες κουλουράκια, όπως δίνονται από μια

συνταγή, είναι: 1 αυγό, μισό φλυτζάνι baking powder, του

φλυτζανιού ζάχαρη, ένα κουτάκι βανίλια και 1,5 φλυτζάνι αλεύρι.

Πόσο αλεύρι χρειάζεται, για να παρασκευασθούν 24 κουλουράκια;

Οι 6 ντουζίνες είναι 6⋅12 = 72 κουλουράκια

3

4

Παράδειγμα Ι

Για 72 κουλουράκια χρειαζόμαστε 1,5 φλ. αλεύρι

Για 24 κουλουράκια χρειαζόμαστε ; = x φλ. αλεύρι

x = 1,5

⋅

2472

= 3672

= 0,5 φλυτζάνι αλεύρι θα

χρειαστούμε για 24 κουλουράκια

Αν τα 3m ενός υφάσματος κοστίζουν 42€ να

υπολογίσετε πόσο θα κοστίσουν 8m από το ίδιο

ύφασμα.

Παράδειγμα ΙΙ

Για 3m υφάσματος θα πληρώσουμε 42 €

Για 8m υφάσματος θα πληρώσουμε ; = x €

x = 42 ⋅ 83

= 112 € θα κοστίσουν τα 8m από

το ίδιο ύφασμα1

14

Πρέπει στην κατάστρωση να προσέξετε πολύ…

Θεωρία:

Σελ. 96

Ασκήσεις

1 σελ. 98 πάνω στο βιβλίο

1, 2, 3 και 4 σελ. 105

Εργασία για το Σπίτι

Δεν τελείωσε το μάθημα,

είμαστε μόλις στην αρχή …

με ένα άλλο μάτι…

Και τώρα ας δούμε τις αναλογίες

πίσω από την τέλεια κατασκευαστική

αρμονία του κόσμου που μας

περιβάλλει;

Έχετε ποτέ αναρωτηθεί τι κρύβεται

ένα όργανο κατασκευασμένο έτσι ώστε

να κρατάει σταθερό το λόγο των

αποστάσεων που μετράμε.

Στην αναζήτηση αυτή θα μας βοηθήσει

α

βσταθερός

Η κλασσική ομορφιά των αρχαίων

ελληνικών γλυπτών

Αφροδίτη της Μήλου

Μουσείο του Λούβρου

Η κλασσική ομορφιά των αρχαίων

ελληνικών γλυπτών

Ερμής του Πραξιτέλη

Μουσείο της Ολυμπίας

Στα μουσικά όργανα

Δεν έχουν άδικο όσοι

λένε ότι η τσιπούρα είναι

ένα όμορφο ψάρι…

Για να δούμε και στα ψάρια...

Όμορφο ξε όμορφο εμένα, δε θα με

φάτε…

Στη φύση…

Ακόμη και στα

οστά…

Και στα πρόσωπα …

Και στα πρόσωπα …

Θα μπορούσαμε να βρούμε

άπειρα παραδείγματα, αλλά ας

δούμε ποιος είναι αυτός ο

σταθερός αριθμό και ποιος

πρώτος άρχισε να παρατηρεί

τις αναλογίες αυτές…

Η χρυσή τομή1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374847540880753868917521266338622235369317931800607667263544333890865959395829056383226613199282902678806752087668925017116962070322210432162695486262963136144381497587012203408058879544547492461856953648644492410443207713449470495658467885098743394422125448770664780915884607499887124007652170575179788341662562494075890697040002812104276217711177780531531714101170466659914669798731761356006708748071013179523689427521948435305678300228785699782977834784587822891109762500302696156170025046433824377648610283831268330372429267526311653392473167111211588186385133162038400522216579128667529465490681131715993432359734949850904094762132229810172610705961164562990981629055520852479035240602017279974717534277759277862561943208275051312181562855122248093947123414517022373580577278616008688382952304592647878017889921990270776903895321968198615143780314997411069260886742962267575605231727775203536139362107673893764556060605921658946675955190040055590895022953094231248235521221241544400647034056573479766397239494994658457887303962309037503399385621024236902513868041457799569812244574717803417312645322041639723213404444948730231541767689375210306873788034417009395440962795589867872320951242689355730970450959568440175551988192180206405290551893494759260073485228210108819464454422231889131929468962200230144377026992300780308526118075451928877050210968424936271359251876077788466583615023891349333312231053392321362431926372891067050339928226526355620902979864247275977256550861548754357482647181414512700060238901620777322449943530889990950168032811219432048196438767586331479857191139781539780747615077221175082694586393204565209896985556781410696837288405874610337810544439094368358358138113116899385557697548414914453415091295407005019477548616307542264172939468036731980586183391832859913039607201445595044977921207612478564591616083705949878600697018940988640076443617093341727091914336501371576601148038143062623805143211734815100559013456101180079050638142152709308588092875703450507808145458819906336129827981411745339273120809289727922213298064294687824274874017450554067787570832373109759151177629784432847479081765180977872684161176325038612112914368343767023503711163307258698832587103363222381098090121101989917684149175123313401527338438372345009347860497929459915822012581045982309255287212413704361491020547185549611808764265765110605458814756044317847985845397312863016254487611485202170644041116607669505977578325703951108782308271064789390211156910392768384538633332156582965977310343603232254574363720412440640888267375843395367959312322134373209957498894699565647360072959998391288103197426312517971414320123112795518947781726914158911779919564812558001845506563295285985910009086218029775637892599916499464281930222935523466747593269516542140210913630181947227078901220872873617073486499981562554728113734798716569527489008144384053274837813782466917444229634914708157007352545707089772675469343822619546861533120953357923801460927351021011919021836067509730895752895774681422954339438549315533963038072916917584610146099505506480367930414723657203986007355076090231731250161320484358364817704848181099160244252327167219018933459637860878752870173935930301335901123710239171265904702634940283076687674363865132710628032317406931733448234356453185058135310854973335075996677871244905836367541328908624063245639535721252426117027802865604323494283730172557440583727826799603173936401328762770124367983114464369476705312724924104716700138247831286565064934341803900410178053395058772458665575522939158239708417729833728231152569260929959422400005606266786743579239724540848176519734362652689448885527202747787473359835367277614075917120513269344837529916499809360246178442675727767900191919070380522046123248239132610432719168451230602362789354543246176997575368904176365025478513824631465833638337602357789926729886321618583959036399818384582764491245980937043055559613797343261348304949496868108953569634828178128862536460842033946538194419457142666823718394918323709085748502665680398974406621053603064002608171126659954199368731609457228881092077882277203636684481532561728411769097926666552238468831137185299192163190520156863122282071559987646842355205928537175780765605036773130975191223973887224682580571597445740484298780735221598426676…

Χρυσή τομή και ο Πυθαγόρας

Ο Πυθαγόρας ο μεγάλος Έλληνας

μαθηματικός της αρχαιότητας ήταν ο

πρώτος που παρατήρησε την

κατασκευαστική αρμονία των

δέντρων, των φυτών και των ζώων.

Η ομορφιά τους εξηγείται από την αρμονία

ανάμεσα στον κορμό, τα μεγάλα κλαδιά και

τα μικρότερα κλαδιά, ανάμεσα στο μήκος

κορμού και άκρων.

Για να μπορέσει να βρει κάποιον κανόνα για

αυτήν την αρμονία, ξεκίνησε τις μετρήσεις.

Χρυσή τομή και αναλογίες στη Φύση

Χρυσή τομή και αναλογίες στη ΦύσηΜέτρησε σε δέντρα το …

Μήκος του κορμού του δέντρου = α

Μήκος μεγάλου κλαδιού = β

Μήκος μικρού κλαδιού = γ

γ

β

Παρατήρησε διαιρώντας τα μήκη ότι:

1,62β

α

Παρατήρησε ότι αυτή η αναλογία

εμφανιζότανε μέχρι και στις ρίζες

των δέντρων.

Εκτός από τα φυτά και τα

δέντρα, έκανε παρόμοιες

μετρήσεις και συγκρίσεις τόσο

στα ζώα όσο και στους

ανθρώπους.

Χρυσή τομή και αναλογίες στη Φύση

Χρυσή τομή = Θεϊκή αναλογία

Την αναλογία αυτήν την

ονόμασαν θεϊκή αναλογία γιατί

πίστευαν ότι μόνο θεός θα

μπορούσε να έχει φτιάξει τον

κόσμο με αρμονία και με τόση

μαεστρία.

Ο Πλάτων έλεγε ότι ο αριθμός

αυτός βρίσκεται στο

υπερουράνιο τόπο.

Εύρεση της Χρυσής Τομής

Το ενδέκατο θεώρημα του Ευκλείδη είναι

το πρόβλημα του χωρισμού ενός

ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και

άκρο λόγο. Δηλαδή, η διαίρεση ενός

δεδομένου ευθυγράμμου τμήματος σε

δύο τμήματα τέτοια, ώστε το εμβαδόν

του ορθογωνίου με πλευρές την δοθείσα

και το ένα μέρος αυτής να ισούται με το

τετράγωνο του άλλου μέρους.

Επειδή τέμνουμε το ευθύγραμμο τμήμα

ονομάζεται και πρόβλημα της

Χρυσής Τομής.

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο.

Βήμα 1o

Α Β

Γ

Σχηματίζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές

τις ΑΒ και ΒΓ, όπου ΑΒ = 2ΒΓ

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο.

Βήμα 2o

Α Β

Γ

Φέρνουμε κύκλο με κέντρο το Γ και με ακτίνα r = ΒΓ.

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο.

Βήμα 3o

Α Β

Γ

Ο κύκλος τέμνει την πλευρά ΑΓ στο Δ.

Δ

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο.

Βήμα 4o

Α Β

Γ

Με κέντρο το Α και με ακτίνα R = ΑΔ φέρνουμε

κύκλο που τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε.

Δ

Ε

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο.

Βήμα 5o

Α Β

Γ

Βρήκαμε το σημείο Ε που χωρίζει το ΑΒ σε δύο μέρη με λόγο:

Δ

Ε

ΑΕ

ΒΕφ 1,618

Να χωρίσετε το ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο.

Βήμα 6o

Α Β

Γ

Το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσο με (ΑΕ)2.

Δηλαδή: ΑΒ ⋅ ΕΒ = (ΑΕ)2

Δ

Ε

ΑΕ

ΒΕφ 1,618

Ίσο με την ΕΒ

Χρυσή τομή και χρυσά τρίγωνα

Υπάρχουν δύο ειδών χρυσά τρίγωνα:

Το χρυσό ισοσκελές τρίγωνο

Το χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο

36ο

1φ

Ποιο είναι το χρυσό ορθογώνιο;

Αυτό που σας φαίνεται

πιο αρμονικό.

Χρυσή τομή και χρυσό ορθογώνιο

Γ

Β

Α

Δ Ι

Ζ

Η

Ε

Είναι το Γ.

Σε αυτό που ο λόγος

μήκος

πλάτοςφ 1,618

1 51.618

2+ ≈

Site στα Αγγλικά για το Φ

Χρυσή τομή και χρυσό ορθογώνιο

Το φ

Γ

Β

Α

Δ Ι

Ζ

Η

Ε

Γ

Τα χρυσά ορθογώνια στη φύση

Χρυσή τομή και γλυπτική

Ο Mark Barr, το 1909, συμβόλισε

το λόγο της αναλογίας με το

γράμμα φ από τον μεγάλο γλύπτη

της αρχαιότητας Φειδία.

Πληροφορίες για τον Φειδία.

Η χρυσή τομή στην Αρχαία Ελλάδα

Η χρυσή τομή στην Αρχαία Ελλάδα

Το αρχαίο θέατρο της Επιδαύρου

Τα χρυσά τρίγωνα στην Πυραμίδα του Χέοπα

146,

6 m 237,2 m

α

β

Η χρυσή τομή στην τέχνη

Leonardo Da Vinci

Η χρυσή τομή στην τέχνηLeonardo Da Vinci

Πληροφορίες για τον Βιτρούβιο

Η χρυσή τομή και στην αρχιτεκτονική

Kölner Dom

Notre – Dame

και στη σύγχρονη αρχιτεκτονική

Το κτήριο του ΟΗΕ

Η χρυσή αναλογία στο ανθρώπινο σώμα

Αρμονία και μουσική

Στην αρμονία των ήχων που βγάζουν οι χορδές με

λόγο ίσο με το φ στηρίχθηκαν τα πρώτα

έγχορδα μουσικά όργανα.

Χρυσή τομή και μουσική

Επιλέξτε κάποια από τις παρακάτω συνδέσεις για να παίξετε πιάνο online.

Ο Beethoven (1770 – 1827) στην

πέμπτη συμφωνία του

χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή

Οι αριθμοί Fibonacci

Ο Leonardo Pisano Fibonacci γεννήθηκε στην

Πίζα της Ιταλίας το 1175 μ.Χ. και πέθανε περίπου

το 1240μ.Χ.

Ταξιδεύοντας, γνώρισε το Αραβικό σύστημα

αρίθμησης, το οποίο και μετέφερε στην Ευρώπη.

Έως τότε χρησιμοποιούνταν το ρωμαϊκό σύστημα

αρίθμησης. I, II, III, IV, V,...

Έχουν σωθεί 4 βιβλία του και ένα γράμμα.

Οι αριθμοί Fibonacci

Το 1202 γράφει στο βιβλίο του Liber Abaci για μια σειρά

αριθμών:

Η σειρά αρχίζει με το 0 και το 1

Κάθε επόμενος αριθμός προκύπτει από το άθροισμα των

δύο προηγούμενων αριθμών.

Η σειρά έχει άπειρους όρους.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Σε αυτούς τους αριθμούς κατέληξε

μελετώντας ένα ζευγάρι κουνέλια και τους

απογόνους αυτών, αφού θεώρησε ότι

κάθε μήνα γεννούσαν από ένα ζευγάρι

και για να αρχίσει το ζευγάρι να παράγει

απογόνους θα έπρεπε να έχει περάσει

ένας μήνας από την ημερομηνία

γέννησης αυτού.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Πλήθος ζευγαριών

Σα πολλοί θα γίνουμε

μετά από ένα χρόνο…

Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Το πλήθος των κλαδιών, των φύλλων και των λουλουδιών στα δέντρα

Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση

Αυτό το κουκουνάρι έχει

13 αριστερόστροφες σπείρες και

8 δεξιόστροφες.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Οι αριθμοί Fibonacci στη φύση

Αυτά τα ηλιοτρόπια έχουν 55 δεξιόστροφες

και 34 αριστερόστροφες σπείρες.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Οι αριθμοί Fibonacci στη φύσηΜέχρι και πάνω στο κουνουπίδι μπορούμε να μετρήσουμε

σπείρες που το πλήθος τους είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί

της σειράς Fibonacci.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Φτιάχνοντας μία σπείρα

Ο ναυτίλος και οι σπείρες

Ο ναυτίλος και οι σπείρες

Οι γαλαξίες και οι σπείρες

Οι κυκλώνες και οι σπείρες

Οι ρουφήχτρες και οι σπείρες

Αυτό είναι ένα καράβι…

Και το φ πως συνδέεται με

τους αριθμούς Fibonacci;

Αν πάρουμε δύο διαδοχικούς όρους της

σειράς Fibonacci, τότε το πηλίκο τους

είναι τόσο κοντά στον αριθμό φ όσο πιο

μεγάλοι είναι οι αριθμοί αυτοί.

Δηλαδή;

1,619

3

Αριθμοί Fibonacci και φ

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

2

y

xφ 1,618

1,5

53

1,67

85

1,6

138

1,625

2113

1,615

3421

5534

1,6179

Και όσο προχωράμε

τα πηλίκα θα

προσεγγίζουν ακόμη

περισσότερο τον

αριθμό φ

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Έχουμε μία

ευθεία με

εξίσωση

y= φ ⋅ x

Είναι πολύ κοντά στην ευθεία

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Στην ευθεία αυτή

σε όλα τα σημεία

(x, y) ισχύει ότι:

y

xφ 1,618

Είναι σχεδόν πάνω

στην ευθεία

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Στην ευθεία αυτή

σε όλα τα σημεία

(x, y) ισχύει ότι:

y

xφ 1,618

Είναι σημείο της ευθείας

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Στην ευθεία αυτή

σε όλα τα σημεία

(x, y) ισχύει ότι:

y

xφ 1,618

Η χρυσή τομή και οι αριθμοί Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Παρατηρούμε ότι τα

σημεία με συντεταγμένες

διαδοχικούς αριθμούς της

σειράς Fibonacci

ανήκουν στην ίδια ευθεία

(για x > 3).

y

xφ 1,618

Το τρίγωνο του Pascal και οι αριθμοί Fibonacci

(1623 – 1662)

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Blaise Pascal

Αναλυτική

βιογραφία στα

αγγλικά

Ένα περιεκτικό site

για τους αριθμούς

που μπορούμε να

βρούμε στο

τρίγωνο του

Pascal.

Το τρίγωνο του Pascal και οι αριθμοί Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Αν προσθέσουμε

διαγώνια τους αριθμούς

στο τρίγωνο,

προκύπτουν οι αριθμοί

Fibonacci.

12

358

1

1321

345589

Το τρίγωνο συνεχώς

μεγαλώνει και τα

αθροίσματα

συνεχίζονται.

Και το συμπέρασμα

ποιο είναι;

Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί…

Αλλά αυτή η φράση μας παραπέμπει σε έναν άλλο σπουδαίο

αριθμό για τον οποίο θα μιλήσουμε λίγο πιο μετά…

Γεωμετρία των φυτών