430201 Engineering Statics430201 Engineering Statics((สถิตยศาสตรสถิตยศาสตรวิศวกรรมวิศวกรรม))

รศรศ..ดรดร.. สิทธิชัยสิทธิชัย แสงอาทิตยแสงอาทิตยสาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสํานักวิชาวิศวกรรมศาสตรสํานักวิชาวิศวกรรมศาสตร

สรุปบทที่ 5/25.3 สมการความสมดุลในสองมติิ

เมื่อวัตถุอยูในสภาวะสมดุลแลว

x

y

F1

F2

F3

F4

O

ขั้นตอนในการแกปญหาสมดุลในสองมิติ1. เขียน Free-body diagram (FBD)2. ประยุกตใชสมการความสมดุล (equations of equilibrium)

(โดยปกติใชสมการของโมเมนตกอนใชสมการของแรง)ใชเพื่อแกหาแรง/โมเมนตที่ไมทราบคาได 3 ตัว

pinpin

pinlink

Link เปนชิ้นสวนที่รับเฉพาะแรงดึงและแรงกดอัดเทานั้น

1. แยกของอเหล็กออกจากจุดรองรับ

2. ตั้งแกน x - y

3. เขียนขนาด ตําแหนงและทิศทางของแรงและ moment ที่ทราบคาและที่ไมทราบคา

500 N-mT

Ax

Ay

4. ใสระยะและมุมตางๆ ที่จําเปนสําหรับสมการความสมดุล

2 m

1 m30o

การเขียน Free-body diagram

500 N-mT

Ax

Ay

2 m

1 m30o

;0 ∑ =+ AM )2(30sin oT+ 0500 =−

N 95.267=T

∑ =→+

;0xF 030cos95.267 =+− oxA

∑ =↑+

;0yF kN 134=yA

)1(30cos oT+

N 232=xA

030sin95.267 =+− oyA

การประยุกตใชสมการความสมดุล

= 268 N= 232 N

= 134 N

pin

pinpinกระบอก hydraulic

x

y

2.24 kN

FBC

Ax

Ay1 m1 m

2 m 30o 0.5 m30o

0.0625 m

การเขียน Free-body diagram

;0 ∑ =+ AM )5.0(BCF− 0)30cos2(24.2 =+ o

kN 76.7=BCF

∑ =→+

;0xF kN 76.7=xA

∑ =↑+

;0yF kN 24.2=yAkN 08.8=RA

2.24 kN

การประยุกตใชสมการความสมดุล

7.76 kN

7.76 kN2.24 kN

5.4 Two- และ Three-Force MembersTwo- force member - ชิ้นสวนของโครงสรางที่ถูกกระทําโดยแรง

สองแรงในแนวเดียวกัน และไมมี couple moment กระทํา โดยจะเปนแรงดึงหรือแรงกดอัด

Three-force member - ชิ้นสวนของโครงสรางถูกกระทําโดยแรงสามแรงO

W FCB

FA

โดยจะอยูในสมดุลเมื่อแรงทั้งสามตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่งหรือแรงทั้งสามขนานกัน

จากรูป เมื่อกําหนดคา W แลว คาแรง FCB และ FA จะหาไดโดยใชสมการความสมดุลของแรงในแนวแกน x และ y

F

F36.87o

F36.87o

FA

56.31o

การเขียน Free-body diagram

56.31o

คาแรง F และ FA จะหาไดโดยใชสมการความสมดุลของแรงในแนวแกน x และ y

ตัวอยางที่ 5-2ตุมน้ําหนัก 700 kg เคลือ่นที่ไปตามความยาวของคานในชวง d = 1.7 m

ถึง 3.5 m จงหาขนาดของแรงที่เกิดขึ้นในค้ํายัน BC และที่จุดรองรับ A1. เขียน FBD

x

y

700(9.81) NAy

Ax

FBC

4

3

2. สมการความสมดลุ

x

y

700(9.81) NAy

Ax

FBC

4

3

0;AM =∑4 (1.5) 700(9.81)( ) 05

5722.5

BC

BC

F d

F d

⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

0;xF+

→ =3(5722.5 ) 05

3433.5

x

x

A d

A d

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

0;yF+ ↑ =4(5722.5 ) 700(9.81) 05

4578 6867

y

y

A d

A d

⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

2 2(3433.5 ) (4578 6867)AF d d= + −

สมการความสมดลุในสามมติิสมการความสมดุลของ rigid body ในสามมิติในรูป vector

สมการความสมดุลของ rigid body ในสามมิติในรูป scalar

โดยทั่วไปแลว สมการของโมเมนตจะถูกเขียนรอบจุดทีม่ีจํานวนแรงไมทราบคามากที่สุด เพื่อลดจํานวนตัวแปรที่อยูในสมการและชวยใหการแกสมการความสมดุลงายขึ้น

ใชเพื่อแกหาแรง/โมเมนตที่ไมทราบคาได 6 ตัว

3. เขียนขนาด ตําแหนงและทิศทางของแรงและ moment ที่ทราบคา จากนั้น เขียนแรงที่ไมทราบคา จากนั้น เขียน moment ที่ไมทราบคา (เนื่องจากในวิชานี้ เรามีสมการสมดุลใน 3 มิติ 6 สมการ ถาหากแรงไมทราบคามีจํานวน 6 คาและโครงสรางอยูในสมดุลแบบมีเสถยีรภาพแลว ใหเราไมตองเขยีน moment ทีไ่มทราบคา)

ขั้นตอนในการเขียน Free body diagram

2. ตั้งแกน x แกน y และแกน z ใหเหมาะสม จากนั้น หาแรงและ moment ที่กระทําตอวัตถุ

4. หาระยะตางๆ ที่จําเปน

1. ใชจินตนาการในการแยกชิ้นสวนโครงสราง/เครื่องมือกลที่พิจารณาออกจากจุดรองรับ จากนั้น วาดรูปรางของวัตถุอยางคราวๆ

5.5 สมดลุในสามมติ:ิ แผนภาพ free-body diagramแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

ถาจุดรองรับปองกันการเลื่อนในทิศทางใดแลว จุดรองรับจะทําใหเกิดแรงปฏิกิริยากระทําตอองคอาคารในทิศทางตรงกันขามกับทิศทางการเลื่อน

ถาจุดรองรับปองกันการหมุนในทิศทางใดแลว จุดรองรับจะทําใหเกิด couple moment กระทําตอองคอาคารในทิศทางตรงกันขามกับทิศทางการหมุน

ตัวอยางจุดรองรับในสามมิติตัวอยางจุดรองรับในสามมิติ

ball-and-socket joints และ journal bearings มักถูกใชในเครื่องจักรกลประเภทตางๆ

เราจะหาแรง/โมเมนตปฏิกิริยาที่เกดิขึ้นที่จุดรองรับ เนื่องจากน้ําหนักบรรทุกได โดยการพิจารณาการปองกันไมใหเกิดการเลื่อนและการหมุน

single thrust bearing และ smooth pin มักถกูใชในเครื่องจักรกลประเภทตางๆ

IMPORTANT NOTE

single bearing หรือ hinge เพียงตัวเดียวสามารถปองกันการหมุนของโครงสรางไดโดยการใช moment Mx และ Mz

แตในการใชงานจริงในโครงสราง เรามักจะใช bearing หรือ hinge รวมกัน ≥ 2 ตัวและจัดเรียงอยางเหมาะสม ในการปองกันการหมุนของโครงสราง ดังนั้น ในกรณีเชนนี้ bearing หรือ hinge จะมีเพียงแรงปฏิกิริยาเทานั้น (โดยไมมี moment ปฏิกิริยาเกิดรวมดวย)

เราจะไมยึดประตูโดยใชบานพับตัวเดียวเนื่องจากจะทําใหบานพับตองรับแรงปฏิกิริยา Cy = W และโมเมนตดัด M = Wd ซึ่งทําใหประตูขาดเสถียรภาพ (ลม) ในการใชงานไดงาย

ในทางปฏิบัติ ประตูจึงถูกยึดโดยใชบานพับอยางนอย 2 ตัว ซึ่ง Ay+By = W และโมเมนตแรงคูควบ Fxd' = Wd ซึ่งทําใหประตูมีเสถียรภาพในการใชงาน และบานพับไมตองตานทานตอโมเมนตดัด

Note: แรง FEC จะถูกหาไดโดยตรงโดยใชโมเมนตรอบแกน z เพราะอะไร?

x

y

z

0.2 kN

Ax

Ay

Az

Bx

By

FEC

Note: FBD ของโครงสรางใน 3 มิติจะมี unknowns 5 หรือ 6 ตัว ขึ้นอยูกับแรงกระทําและการยึดรั้งโครงสราง

สรุป: ในการเขียน FBD ของวัตถุใน 3 มิติ ใหทําการเขียนแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับทุกจุดกอน จากนั้น จึงพิจารณาวามีโมเมนตปฏิกิริยาหรือไม?

จุดรองรับ A B และ C เปน journal bearing Note: แรงที่ตัดแกนและแรงที่ขนานแกนจะไมทําใหเกิดโมเมนตรอบแกนดังกลาว

Note: ในกรณีนี้ แรง Bz และแรง Cy จะตานทานตอโมเมนตรอบแกน x

journal bearing

journal bearing

journal bearing

Note: แรงที่ตัดแกนและแรงที่ขนานแกนจะไมทําใหเกิดโมเมนตรอบแกนดังกลาว

Note: ในกรณีนี้ แรง Az และแรง Cx จะตานทานตอโมเมนตรอบแกน y Note: ในกรณีนี้ แรง Ay แรง Bx และแรง Cx จะตานทานตอโมเมนตรอบแกน z

ตัวอยางที่ 5-4จงเขียน FBD ของระบบตางๆ ตอไปนี้

Note: หาแรง T ไดโดยใช

1 m

1 m

cable

pin

∑ = 0yM

journal bearing

roller

hinge

Note: FBD ในกรณีนี้มี 6 unknowns

trust bearingcable

5.6 สมการความสมดุลในสามมติิสมการความสมดุลของ rigid body ในสามมิติในรูป vector

สมการความสมดุลของ rigid body ในสามมิติในรูป scalar

โดยทั่วไปแลว สมการของโมเมนตจะถูกเขียนรอบจุดทีม่ีจํานวนแรงไมทราบคามากที่สุด เพื่อลดจํานวนตัวแปรที่อยูในสมการและทําใหการแกสมการความสมดุลงายขึ้น

5.7 การยึดรั้งของวัตถุแกรง ถาวัตถุมีแรงและโมเมนตที่ไมทราบคาเทากับจํานวนสมการความ สมดุลแลววัตถุดังกลาวจะอยูในสภาวะ statically determinate ถาวัตถุมีแรงและโมเมนตที่ไมทราบคามากกวาจํานวนสมการความสมดุลแลว วัตถุดังกลาวจะอยูในสภาวะ statically indeterminate

จุดรองรับแบบยึดแนนตองมี reaction เปนแรง 3 แรงและโมเมนต 3 โมเมนตเสมอ

การยึดวัตถุที่ไมเหมาะสม การยึดวัตถุอยางเพียงบางสวน

cable

cable

cable

ball and socket

ball and socket

1 m

1 m

ตัวอยางจาก FBD หาแรง T

∑ = 0yM Note: แรงที่ตัดแกนและแรงทีข่นานแกนจะไมทําใหเกิดโมเมนตรอบแกนดังกลาว

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

BC

BC

rT rT

(0, 0.5, 0.2)

(1, 1, 0)

rBC = -1 i -0.5 j +0.2 k

rBC = 1.136 m

= -0.880T i -0.440T j +0.176T k

0)1(176.0200)1(300 =−+ TT = 2841 N

EXAMPLEจงเขียน FBD ของระบบกวาน (windlass) เมื่อ A เปน thrust bearing และ B

เปน journal bearing

เนื่องจากระบบสามารถหมุนไดรอบแกน z ดังนั้น จงหาแรง P ที่ทําใหระบบอยูในสมดุล (อยูนิ่ง)

เราจะหาแรง P ไดอยางไร ???

∑Mx = 0;P = 377.59 N

-P(0.3 cos 30o) + 981(0.1) = 0แรงปฏิกิริยาที่จุด A และ B ไมกอใหเกิดโมเมนตรอบแกน x เพราะถูกแกน x ตัดผาน

ใชสมการโมเมนตรอบแกนที่ตัดผานแรงปฏิกิริยาที่มีจํานวนมากที่สุด!

เราจะหาแรง Az ไดอยางไร ???

∑My = 0;Az = 422.33 N

แรงปฏิกิริยาที่จุด B ไมกอใหเกิดโมเมนตรอบแกน y เพราะถูกแกนตัดผาน

Az (0.3+0.5) – 981(0.5) + 377.59(0.4) = 0

แรงปฏิกิริยา Ax และ Ay ไมกอใหเกิดโมเมนตรอบแกน y เพราะพุงชนและขนานกับแกน

เราจะหาแรง Bz ไดอยางไร ???

หรืออาจหา Bz ไดโดยใชสมการ ∑Fz = 0Az + Bz = P + 981

∑My' = 0; -Bz (0.3+0.5) + 981(0.3) + P(0.3+0.5+0.4) = 0

Bz = 934.26 N

EXAMPLEจงเขียน FBD ของระบบ

rollerBall-and-socket

Note: เนื่องจากระบบไมถูกกระทําโดยแรงและโมเมนตที่กอใหเกิดการหมุนรอบแกน z ดังนั้นระบบจึงสมดุลรอบแกน z โดยอัตโนมัติ (มี 5 unknowns)

cable

เราจะหาแรง TC ไดอยางไร ???

∑My' = 0; TC (1.5+1.5) -200 -981(1.5) - 300(1.5) = 0

TC = 707.2 N

cable

ใชสมการโมเมนตรอบแกนที่ตัดผานแรงปฏิกิริยาที่มีจํานวนมากที่สุด!

เราจะหาแรง Az ไดอยางไร ???

∑Mx' = 0; -Az (1+1) + 981(1) + 300(2) = 0

Az = 790.5 N

การยึดวัตถุที่ไมเหมาะสม การยึดวัตถุอยางเพียงบางสวน

cable

cable

cable

ball and socket

ball and socket

ตัวอยางที่ 5-5cable BC มีแรงดึงขนาด F = 840 N จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ A

1. เขียน FBD

Ax

Ay

AzMx

My

Mz

Ax

Ay

AzMx

My

Mz

F F = 0A+M r F = 0A AC+ ×

2. สมการความสมดลุ

ในรูป vector

F F = 0A+M r F = 0A AC+ ×

vector ของแรง F(3, 2, 24)

(15, 10, 0)

rBC = (15-3)i+(10-2)j+(0-24)k= 12i + 8j - 24k

position vector ของ cable

rF= BC

BC

Fr

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2

12i 8j 24kF 840 360i 240j 720k N(12) (8) ( 24)

⎡ ⎤+ −= = + −⎢ ⎥+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

F 360i 240j 720k N= + −

F F = 0A+

[360i 240j 720k]+[ i j k] 0x y zA A A+ − + + =

360 N240 N

720 N

x

y

z

AAA

= −

= −

=

Ax

Ay

Az

F 360i 240j 720k N= + −

360 N

240 N

720 N

F 360i 240j 720k N= + −

Ax

Ay

Az

F 360i 240j 720k N= + −

M r F = 0A AC+ ×

F 360i 240j 720k N= + −

rAC

(0, 0, 0)

(15, 10, 0)

rAC = (15-0)i+(10-0)j+(0-0)k= 15i + 10j

position vector

i j kM 15 10 0 =0

360 240 720A +

−

M 7200i 10800j=0A − +

7.20 kN-m10.8 kN-m

0

Ax

Ay

Az

MMM

=

= −

=

MAy

MAz

MAx