1

Escola Estadual “Profesor Letro”

Apostila de Matemática : “Tópicos de Matemática Comercial”

Professor: Paulo Soares Batista

Nome:____________________________________________

ASSUNTOS: 1- RAZÃO 2- PROPORÇÃO 3- DIVISÃO PROPORCIONAL 4- GRANDEZAS PROPORCIONAIS 5- REGRA DE TRÊS SIMPLES 6- REGRA DE TRÊS COMPOSTA 7- PORCENTAGEM 8- NOÇÕES DE JUROS SIMPLES 1- RAZÃO Chama-se razão de dois números, dados numa certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao quociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razão entre os números a e b pode ser dita "razão de a para b" e representada como:

b

a ou ba :

Onde a é chamado antecedente enquanto b é chamado consequente da razão dada. Ao representar uma razão frequentemente simplificamos os seus termos procurando, sempre que possível, torná-los inteiros. Exemplos * A razão de 3 para 12 é:

* A razão entre 12

5

6

1e é:

* A razão de 5 para 2

1 é:

2- PROPORÇÃO Proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões.

De um modo geral, os números a,b,c,d formam nessa ordem uma proporção quando:

d

c

b

a=

ou ainda quando: cbda .. = Esta propriedade, que serve para reconhecer a validade ou não de uma proporção, é chamada propriedade fundamental e pode ser assim enunciada:

Em toda proporção d

c

b

a= o produto dos extremos

( da. ) é igual ao produto dos meios ( cb. ). Exemplos 1- Utilize a propriedade fundamental e verifique quais das igualdades abaixo são proporções.

a) 35

15

7

3=

b) 12

2

4

1=

c) 6

40

003,0

02,0

−

−=

−

−

2

2- Calcule o termo desconhecido nas seguintes proporções:

a) 7

14

2=x

c) 2

1

4

2 −=

+ xx

b) 75

3

−=

− y d)

3

42

2

4 +−=

− yy

Quarta proporcional Quarta proporcional de três números dados a, b e c nesta ordem, é o número x que completa com os outros três uma proporção tal que:

x

c

b

a=

Exemplos 1- Determinar a quarta proporcional dos números 3, 4 e 6 nesta ordem: 2- Calcule a quarta proporcional dos números dados:

4

1

3

1,2

1e .

Proporção contínua Proporção contínua é aquela que tem meios iguais.

A proporção 4

6

6

9= é contínua pois tem os seus

meios iguais a 6. Numa proporção contínua temos: · O valor comum dos meios é chamado média proporcional (ou média geométrica) dos extremos. Ex.: 4 é a média proporcional entre 2 e 8, pois

8

4

4

2= .

· O último termo é chamado terceira proporcional. Ex.: 5 é a terceira proporcional dos números 20 e 10,

pois 5

10

10

20= .

Exemplo Encontre a terceira proporcional de 4 e 12:

Proporção múltipla é a igualdade simultânea de três ou mais razões. Exemplo:

10

5

8

4

6

3

4

2===

Propriedade fundamental para série de razões iguais (ou proporção múltipla): Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo consequente.

Como 6

12

5

10

4

8

3

6=== , logo:

6

12

5

10

4

8

3

6

6543

121086ououou=

+++

+++

Razões inversas Razões inversas são duas razões cujo produto é igual a 1. Exemplo:

5

3 .6

10

Então dizemos que "3 está para 5 na razão inversa de 10 para 6" ou então que "3/5 está na razão inversa de 10/6" ou ainda que "3/5 e 10/6 são razões inversas". Quando duas razões são inversas, qualquer uma delas forma uma proporção com o inverso da outra.

EXERCÍCIOS – LISTA 1

1- Encontre o valor da variável nas proporções:

a) 12

9

4=x

b) 8

10

6

5

+=y

c) 5

1

3

5 −=

+ zz

3

2- Em uma lanchonete, a cada 5 pastéis vendidos, são vendidas duas empadinhas. Se no final de um dia foram vendidas 72 empadinhas, quantos pastéis foram vendidos? 3- Douglas e Eduardo participaram do sorteio de um prêmio em dinheiro. Eles combinaram que, se um dos dois fosse sorteado, eles dividiriam o prêmio na razão de 5 para 3, de modo que o amigo sorteado ficaria com a maior parte. Eduardo foi sorteado e ficou com R$ 6250,00. a) Com quanto Douglas ficou? b) Qual foi o valor total do prêmio? 4- Um ourives confecciona jóias e coloca 6 gramas de prata em cada 18 gramas de ouro puro. a) Qual é a razão entre a massa de prata e a massa de ouro puro que esse ourives usa? b) Se em uma jóia esse ourives usar 4,5 gramas de ouro puro, de quantos gramas de prata ele precisará? 5- A quarta proporcional dos números 2,4 e 5 é: a) ( ) 4 c) ( ) 10 b) ( ) 8 d) ( ) 20

6- Qual é a média geométrica dos números2

1 e 128?

a) ( ) 2 c) ( ) 64 b) ( ) 8 d) ( ) 128 7- (SENAI) As instruções do rótulo de uma garrafa de suco concentrado recomendam misturar uma parte de suco concentrado com nove partes de água. Desse

modo, para preparar um copo de 200 mL deste refresco, é preciso misturar: a)( ) 40 mL de suco concentrado e 160 mL de água. b)( ) 35 mL de suco concentrado e 165 mL de água. c)( ) 30 mL de suco concentrado e 170 mL de água. d)( ) 25 mL de suco concentrado e 175 mL de água. e)( ) 20 mL de suco concentrado e 180 mL de água. 8- (SENAI) Um reservatório contém 9.000 litros de água. Um produto químico deve ser misturado à água na razão de uma medida de 50 gramas para cada 450 litros de água. Sabendo-se que esse produto químico somente é vendido em pacotes de 100 gramas, o número de pacotes necessários e suficientes é de: a) ( ) 11. b) ( ) 10. c) ( ) 9. d) ( ) 8. e) ( ) 7.

9-(SENAI) “Nos 45 minutos de seu discurso de posse, no Congresso, um político empregou 14 vezes a palavra mudança.” Fonte: Revista Veja. 8 jan. 2003. (adaptado) Pode-se dizer que, a cada minuto, o número de vezes que o político utilizou a palavra mudança foi, aproximadamente, de: a) ( ) 3,0. b) ( ) 3,2. c) ( ) 3,4. d) ( ) 3,6. e) ( ) 3,8. 10-(ULBRA-RS) Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é de: a) ( ) 45 b) ( ) 81 c) ( ) 85 d) ( ) 181 e) ( ) 126 11- Um ourives confecciona pulseiras. Para cada 18 g de ouro, ele mistura 4 g de prata. Se uma pulseira tem 20g de ouro, quantos gramas de prata aproximadamente ela terá? a) ( ) 4,4 b) ( ) 4,3 c) ( ) 4,2 d) ( ) 4,1

4

3- DIVISÃO PROPORCIONAL Divisão em partes diretamente proporcionais

� Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número.

Problemas

1- Duas pessoas, A e B, trabalharam numa determinada tarefa, sendo que A trabalhou durante 6 horas e B durante 5 horas. Como elas irão dividir com justiça R$ 660,00 que serão pagos por essa tarefa? 2- A Federação Brasileira de futebol resolveu distribui prêmios num total de R$320.000,00 para os quatro jogadores brasileiros que tiveram o melhor ataque durante a Copa do Mundo, ou seja, para aqueles que fizeram o maior número de gols na razão direta desses gols. Os jogadores premiados fizeram 9, 6, 3 e 2 gols. Quanto recebeu cada jogador? 3- Marcelo, Luciano e Alexandre têm respectivamente, 7, 8 e 10 anos. Deseja-se repartir R$5000,00 entre eles de modo que modo que cada um receba uma quantia proporcional à sua idade. Como se deve fazer a divisão? Divisão em partes inversamente proporcionais

� Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos desses números dados.

Problemas

1- Duas pessoas A e B trabalharam durante um mesmo período para fabricar e vender por R$ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, como efetuar essa divisão com justiça? 2- Um pai deixou R$ 2 870, 00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa de suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? 3- Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.

EXERCÍCIOS – LISTA 2

1- Dois operários contratam um serviço por R$180,00. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de trabalho? 2- Três amigos fazem um bolão para jogar na Mega Sena. Um entra com R$ 10,00, o outro com R$ 20,00 e o terceiro com R$ 30,00. Se ganharem um prêmio de 6 milhões de reais, eles será dividido em partes proporcionais às quantias jogadas. Nesse caso, quanto receberá cada um? 3- Dividir o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. 4- Luciana guardou em uma caixa todas as suas bijuterias, num total de 94 peças. Sabendo que a quantidade de pulseiras, a de colares e a de anéis que Luciana possui é inversamente proporcional aos números 3, 4 e 5, respectivamente, calcule quantas bijuterias de cada tipo há nessa caixa. 5- Os números da sequência 12, 10, 16 são proporcionais aos da sequência 18, 15, 24? Justifique. 6- Ao dividir o número 120 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3, obtemos: a) ( ) 60 e 60. b) ( ) 52 e 68. c) ( ) 48 e 72. d) ( ) 30 e 90. 7- (CEFET-MG) Uma herança de R$60.000,00 foi dividida entre três filhos A, B e C, de maneira inversamente proporcional às respectivas idades 10, 15 e 18 anos. A quantia, em reais, que o filho B recebeu foi: a) ( ) 12.000,00 b) ( ) 14.000,00 c) ( ) 18.000,00 d) ( ) 27.000,00 8- (MACK-SP) Dividindo-se 660 em partes

proporcionais aos números 6

1

3

1,2

1e , obtêm-se,

respectivamente: a) ( ) 330, 220 e 110. b) ( ) 120, 180 e 360. c) ( ) 360, 180 e 120. d) ( ) 110, 220 e 330. e) ( ) 110, 220 e 330.

5

9- Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador irão receber um prêmio de R$3340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao número de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiação, em reais, referente a cada um deles respectivamente? a) ( ) 1530, 1000, 810. b) ( ) 1540, 1100, 700. c) ( ) 700, 1100, 1540. d) ( ) 810, 1000, 1530. 4- GRANDEZAS PROPORCIONAIS

A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas de tal forma que, quando uma delas varia, como consequência varia também a outra.

Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo numa construção depende do número de operários empregados. O salário está relacionado aos dias de trabalho.

A relação entre duas grandezas estabelece a lei de variação dos valores de uma em relação à outra. Existem dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais: a proporção direta e a proporção inversa. Proporção Direta ou Grandezas Diretamente Proporcionais:

Se analisarmos duas grandezas como trabalho e remuneração, velocidade média e distância percorrida, área e preço de um terreno, altura de um objeto e comprimento da sombra projetada ..., veremos que aumentando ou diminuindo uma delas a outra também aumenta ou diminui. Então: Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão. As razões de cada elemento da primeira por cada elemento correspondente da segunda são iguais, ou seja, possuem o mesmo coeficiente de proporcionalidade.

� Exemplo

Um grupo de pessoas se instalou num acampamento que cobra R$ 10,00, a diária individual. Veja na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária.

Percebemos que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa. É, portanto, uma proporção direta. As grandezas número de pessoas e despesa diária são diretamente proporcionais, ou seja, a razão entre o número de pessoas e a despesa diária são iguais:

100

10

50

5

40

4

20

2

10

1====

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

10

1 10

1 10

1 10

1 10

1

Proporção Inversa ou Grandezas Inversamente Proporcionais:

Se analisarmos duas grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a mesma tarefa, velocidade média e tempo de viagem, número de torneiras e tempo para encher um tanque..., veremos que aumentando uma grandeza, a outra diminuirá. Então: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão. As razões de cada elemento da primeira pelo inverso de cada elemento correspondente da segunda são iguais. Em outras palavras, duas grandezas são inversamente proporcionais quando os elementos da primeira grandeza forem diretamente proporcionais ao inverso dos elementos da segunda grandeza.

� Exemplo Suponhamos que no exemplo analisado anteriormente (razão direta), a quantia gasta pelo grupo de pessoas seja sempre R$ 200,00. Então, o tempo de permanência do grupo dependerá do número de pessoas. Analise a tabela:

6

Percebemos que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá à metade. É, portanto, uma proporção inversa. As grandezas número de pessoas e número de dias são inversamente proporcionais. A razão entre o número de pessoas é igual ao inverso da razão do tempo de permanência:

20

2

110

4

15

5

14

10

12

20

11

=====

5- REGRA DE TRÊS SIMPLES

A regra de três simples envolve apenas duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. O processo consiste em montarmos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores da mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação através da aplicação da propriedade fundamental das proporções. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais, essa equação terá a mesma forma da tabela.

No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feita invertendo-se a razão de uma das grandezas. Quando as grandezas forem diretamente proporcionais dizemos que a regra de três é direta. Quando forem inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa.

Problemas

1- Dona Raimunda é costureira. Ela está fazendo bermudas encomendadas por uma instituição. Com 1,40 m de tecido, ela fez duas bermudas. Pergunta-se: quantos metros ela precisa para fazer seis bermudas. 2- Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto custarão 5 kg deste queijo? 3- Abrindo completamente 4 torneiras idênticas consegue-se encher um tanque com água em 72 minutos. Se utilizarmos 6 dessas torneiras, em quantos tempo encheremos o tanque? 4- À velocidade de 800 Km/h um Boeing vai de São Paulo a Belo Horizonte em 42 minutos. Se voar a 600 Km/h, em quanto tempo fará a mesma viagem? 5- Um corte de tecido de 2m x 2,5m custa R$100,00. Quanto deverá ser pago por um corte do mesmo tecido de 3m x 5m?

EXERCÍCIOS – LISTA 3 1- Julgue os itens abaixo em Certos ou Errados. ( ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra também aumenta na mesma proporção. ( ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra aumenta na mesma proporção. ( ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra diminui na mesma proporção. ( ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra também diminui na mesma proporção. 2- Para percorrer 310 Km, o carro de Afonso gastou 25 L de gasolina. Nas mesmas condições, Afonso quer saber quantos quilômetros seu carro percorrerá com 40 L. 3- Em 8 dias 5 pintores pintam um prédio inteiro. Se fossem 3 pintores a mais, quantos dias seriam necessários para pintar o mesmo prédio? 4- Um veículo trafegando com uma velocidade média de 60 km/h, faz determinado percurso em duas horas. Quanto tempo levaria um outro veículo para cumprir o mesmo percurso se ele mantivesse uma velocidade média de 80 km/h? 5- Se 9 metros de tecido custam R$ 117,00, quantos metros é possível comprar com R$ 109,20? 6- Uma usina produz 350 litros de álcool com 5 toneladas de cana-de-açúcar. a) Quantos litros ela produzirá com 12500 Kg de cana-de-açúcar? b) Para produzir 8750 litros de álcool, são necessários quantas toneladas de cana-de-açúcar? 7- Uma padaria produz 400 pães com 10 Kg de farinha de trigo. Quantos pães ela produzirá com 12,5 Kg de farinha? 8- Três torneiras completamente abertas enchem um tanque em 1h30min. Quantas torneiras de mesma vazão seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54 min? 9- (SENAI) Um armazém pode estocar 40 sacos de cereais ou 120 caixas de verduras. Se forem colocados 30 sacos de cereais, ainda poderão ser estocadas: a) ( ) 10 caixas de verduras. b) ( ) 30 caixas de verduras.

7

c) ( ) 50 caixas de verduras. d) ( ) 70 caixas de verduras. e) ( ) 90 caixas de verduras. 10- (SENAI) Um grupo de alunos realizou uma pesquisa e pagou para digitá-la e encaderná-la. A pesquisa tinha 24 folhas, o grupo 5 integrantes e cada um pagou R$ 8,64. Ao realizar uma nova pesquisa com 40 páginas, nas mesmas condições da anterior, o grupo todo junto, pagou a quantia total de a) ( ) R$ 68,00. b) ( ) R$ 72,00. c) ( ) R$ 75,00. d) ( ) R$ 78,00. e) ( ) R$ 82,00. 11- (UFSM-RS) Uma ponte é feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o número de trabalhadores for elevado para 24, o número de dias necessários para a construção da mesma ponte será: a) ( ) 180 b) ( ) 128 c) ( ) 100 d) ( ) 80 e) ( ) 60 12- (SENAI) Para fabricar uma peça retangular com 40 cm de comprimento e 50 cm de largura, são necessários 500 g de alumínio. Com 860 g de alumínio pode-se fazer uma peça retangular com a mesma espessura que a anterior, porém, com x cm de comprimento e 80 cm de largura. O valor de x é: a) ( ) 23 cm. b) ( ) 34 cm. c) ( ) 43 cm. d) ( ) 76 cm. e) ( ) 98 cm. 13- (SENAI) Numa fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma avenida que mede 8 quilômetros aparece medindo 5 centímetros. Assim sendo, cada 1 centímetro medido nessa fotografia, corresponde a um comprimento real de: a) ( ) 1,2 km. b) ( ) 1,4 km. c) ( ) 1,5 km. d) ( ) 1,6 km. e) ( ) 1,8 km. 14- Um navio dispõe de reservas suficientes para alimentar 14 homens durante 45 dias, mas recebe 4 sobreviventes de um naufrágio. As reservas de alimento darão para no máximo quantos dias?

6- REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta envolve três ou mais grandezas relacionadas entre si. Os procedimentos de resolução serão os mesmos da regra de três simples. Quando há dependência inversa entre a grandeza que contém a variável com as demais grandezas, invertemos os elementos da respectiva coluna. A equação será montada, relacionando a grandeza que contém a variável com as demais grandezas.

Problemas 1- Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão sete operários, trabalhando 9 dias? 2- Um ciclista percorre 150 Km em 4 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 Km, pedalando 4 horas por dia? 3- Vinte pintores, trabalhando 6 horas por dia, pintam um edifício em 4 dias. Seis pintores, trabalhando 8 horas por dia, pintam o mesmo edifício em quantos dias? 4- Uma loja dispõe de 20 balconistas que trabalham 8 horas por dia e custam à loja R$ 11200, 00 por mês. Quanto a loja gastará por mês se passar a ter 30 balconistas trabalhando 5 horas por dia?

EXERCÍCIOS – LISTA 4 1- Uma montadora de automóveis demora 8 dias para produzir 200 veículos, trabalhando 9 horas por dia. Quantos veículos montará em 15 dias, funcionando 12 horas por dia? 2- Para alimentar 20 cavalos durante 13 dias são necessários 390 Kg de milho. Um estoque de 750 Kg de milho permite alimentar quantos cavalos por 20 dias? 3- Uma fábrica de calças leva 10 dias de trabalho com 21 máquinas para produzir 1470 unidades. Para poder atender à procura dessas calças, a fábrica aumenta o número de máquinas para 25. Quantos dias serão necessários para produzir 2450 calças? 4- Uma indústria fornece refeições a seus empregados. Um balanço revela que 100 funcionários alimentados durante 10 dias custam à empresa R$1600, 00. Quanto vão custar as refeições para 150 funcionários durante 22 dias?

8

5- Uma gráfica tem 5 máquinas iguais que imprimem 36000 panfletos em 2 horas. Considerando que 2 dessas máquinas não estejam funcionando, calcule em quanto tempo as restantes imprimiriam 27000 exemplares do mesmo panfleto. 6- Para construir 16 casas são necessários 64 homens trabalhando 8 horas por dia. Se 8 homens são dispensados, o número de horas por dia que o restante dos homens deverão trabalhar para construir 21 casas é: a) ( ) 12 horas por dia b) ( ) 3 horas e 30 minutos por dia c) ( ) 10 horas por dia d) ( ) aproximadamente 9 horas por dia e) ( ) de 15 horas a 20 horas por dia 7- (UNIFOR-CE) Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? a) ( ) 1 hora e 50 minutos b) ( ) 2 horas c) ( ) 2 horas e 30 minutos d) ( ) 2 horas e 40 minutos e) ( ) 3 horas 8- (UFRGS-RS) Se foram empregados 4 Kg de fios para tecer 14 m de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de fazenda com 120 cm de largura? a) ( ) 130 b) ( ) 150 c) ( ) 160 d) ( ) 180 e) ( ) 250 9- Andando a pé, 8 horas por dia, um rapaz conseguiu, em 10 dias, percorrer a distância de 320 Km. Quantos quilômetros esse rapaz poderia percorrer, em 8 dias, na mesma velocidade, se andasse 12 horas por dia? a) ( ) 170 b) ( ) 266 c) ( ) 384 d) ( ) 400 10) Em 4 horas, 9 rapazes colhem uma quantidade de laranja que enche 360 caixas. Quantos rapazes colhem a quantidade necessária para encher 510 caixas em 3 horas?

7- PORCENTAGEM

Porcentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo %(por cento). Então:

• %8100

8= (lê-se “8 por cento”)

• %23100

23= (lê-se “23 por cento”)

As representações 8% e 23% podem ser denominadas taxas percentuais. Noções iniciais para o estudo de porcentagem

� Exemplos 1- Calcule as porcentagens: a) 15% de R$ 240,00 b) 0,4% de R$ 50000,00 c) 22% de R$ 3000,00 d) 3,2% de R$ 625,00 2- Escreva as razões na taxa percentual:

a) =2

1 b) =

25

3

c) =4

1 d) =

8

3

3- Calcule: a) 5 é quantos por cento de 50? b) 10 é quantos por cento de 80? Problemas de porcentagem 1- Comprei uma bicicleta por R$ 500,00. Revendi com um lucro de 15%. Quanto ganhei? 2- Um produto custa R$ 400,00 e é vendido por R$520,00. Qual é a taxa de lucro? 3- Ao final de cada estação do ano, as lojas que comercializam roupas fazem liquidação. Por exemplo, com a chegada do outono, a liquidação de verão procura acabar com os estoques, para receber novas mercadorias. Supondo que um biquíni custava R$ 45,00 e, com a liquidação, será vendido R$ 27,00, qual é a taxa percentual de desconto?

9

4- Em um colégio 38% dos alunos são meninos e as meninas são 155. Quantos alunos tem esse colégio?

EXERCÍCIOS – LISTA 5

1- Em uma escola, as 1120 alunas representam 56% do total de alunos. Qual é esse total? 2- Do que eu recebo, 30% vão para a poupança, 20% para o aluguel e 35% para a alimentação, restando-me apenas R$ 450,00. Qual é o meu salário? 3- Um vendedor ganha 3% de comissão sobre as vendas que realiza. Tendo recebido R$ 300,00 de comissões, qual o total vendido por ele? 4- Um teclado eletrônico custa R$ 540,00, vendido em três prestações iguais. Na compra à vista, há um desconto de 10%. Qual é o valor do teclado à vista? 5- Comprei um aparelho de fax. Não me lembro do preço, mas sei que houve um desconto de R$ 42,00, equivalente a 7% do valor do aparelho. Quanto paguei pelo aparelho? 6- O salário mensal de uma vendedora é R$ 500,00 mais a comissão de 6% sobre o valor de suas vendas do mês. Sabendo que, em certo mês, ela teve um ganho total de R$ 2000,00, qual foi o valor de suas vendas nesse mês? 7- Diana pesava 56 Kg e engordou, passando a pesar 63 Kg. Qual o aumento porcentual que houve no peso de Diana?

8- Em certa cidade as tarifas de ônibus sofreram acréscimo, passando de R$ 1,60 para R$ 2,40. Qual foi a taxa de aumento? 9- José Álvaro comprou um terreno e, por ter pago à vista, ganhou 15% de desconto, fazendo uma economia de R$ 2250,00. Qual era o preço do terreno? 10- Neste anúncio, o valor economizado está manchado. Considerando uma compra à vista, determine esse valor. 11- (UEMS) Dentro de um recipiente há um líquido que perdeu, por meio de evaporação, 5% de seu volume total, restando 42,75 litros. Qual era o volume total desse líquido? 12- (VUNESP) Feito o levantamento da campanha de vacinação de uma cidade, obteve-se a seguinte tabela:

Região Crianças matriculadas

Crianças vacinadas

norte 900 62% sul 640 50% leste 560 x% oeste 400 74%

Como o total de crianças vacinadas nessa cidade durante a campanha foi de 1538, pode-se concluir que o valor de x é: a) ( ) 86 b) ( ) 82 c) ( ) 65 d) ( ) 38,48 e) ( ) 22,4

10

13- (SENAI) Se uma empresa tem capacidade de produzir 4.500 telefones celulares por dia e produz apenas 3.600 telefones celulares por dia, podemos dizer que a taxa de ociosidade dessa empresa é de: a) ( ) 18%. b) ( ) 20%. c) ( ) 24%. d) ( ) 30%. e) ( ) 36%. 14- (SENAI) Uma geladeira é vendida a vista por R$800,00. Se seu preço sofrer um acréscimo igual a 14%, após esse acréscimo, o pagamento poderá ser feito em três parcelas iguais, onde cada parcela será igual a: a) ( ) R$ 233,00. b) ( ) R$ 271,00. c) ( ) R$ 304,00. d) ( ) R$ 326,00. e) ( ) R$ 382,00. 15- (SENAI) Um vendedor da loja A recebe mensalmente R$ 300,00 de salário fixo, mais uma comissão de 2% sobre o total vendido no mês. Na loja B, um vendedor na mesma função da loja A não recebe salário fixo, contudo ganha mensalmente 5% de comissão sobre o total que vendeu. Para que os dois vendedores tenham o mesmo salário no final do mês é necessário que o total vendido seja de: a) ( ) R$ 2.500,00. b) ( ) R$ 4.250,00. c) ( ) R$ 6.000,00. d) ( ) R$ 7.500,00. e) ( ) R$ 10.000,00. 16- (SENAI) Para pagamento à vista, de um eletrodoméstico de preço p, um lojista oferece um desconto de 8%. Uma das maneiras para se calcular quanto passará a custar o eletrodoméstico após o desconto será multiplicar o preço p por: a) ( ) 1,20. b) ( ) 0,92. c) ( ) 0,20. d) ( ) 0,08. e) ( ) 0,02.

8- NOÇÕES DE JUROS SIMPLES Juros simples é o regime de remuneração do capital onde a taxa de juros é aplicada sempre sobre o capital inicial, tantas vezes quantos forem os períodos de aplicação. Não se trata, portanto, de porcentuais acumulados, pois é calculado sempre sobre o mesmo valor. Exemplo: Um capital de R$ 1.000 é aplicado a 20% ao mês, durante o tempo de 4 meses. Quais os juros? Solução: 20% de R$ 1.000 é igual a R$ 200. Como o capital foi aplicado por 4 meses, a quantia total dos juros é de 4 x R$ 200 = R$ 800. Podemos também calcular o porcentual total, ou 20% ao mês durante 4 meses resultam 80%. 80% de 1.000 resultam R$ 800. O porcentual total é calculado portanto, multiplicando a taxa (i) pelo número de períodos de tempo ( t ), tomados em unidades adequadas. Exemplos: a) i = 20% ao mês (a.m), t = 3 meses → it = 20 x 3 = 60% b) i = 45% ao ano (a.a.), t = 8 meses → it = (45/12) x 8 = 30% c) i = 30% ao ano (a.a.), t = 4 meses → it = (30/12) x 4 = 10% Observações: 1) Quando na taxa não vem explicando o período de tempo, considera-se o período anual; 2) Para efeito comercial, considera-se: 1 mês = 30 dias e 1 ano = 360 dias. 3) Lembrando que o montante M é a soma do capital mais juros.

Problemas

1- Um capital de R$15.000 foi aplicado a uma taxa de 60% a.a., durante 4 meses. Quais os juros? 2- Um capital foi aplicado a 24% a.a. durante 8 meses, rendendo juros de R$ 1.600. Qual o capital aplicado? 3- O capital de R$ 12.000 foi aplicado durante 9 meses, rendendo juros de R$ 4.320. Qual a taxa de juros?

11

4- Marcelo aplicou um capital de R$ 900,00, durante 6 meses, à taxa de juros simples de 5% ao mês. Qual o montante obtido?

EXERCÍCIOS – LISTA 6 1- Calcule os juros de R$18000,00, durante 3 meses, a uma taxa de 7% a.m. 2- Por quanto tempo devo aplicar R$3000,00 para que renda R$1440,00 a uma taxa de 12% ao mês. 3- Qual o capital que produziu R$18360,00, durante 17 meses, a uma taxa de 24% ao ano. 4- Calcule a taxa anual em que devem ser aplicados R$50000,00 para render R$ 36000,00 durante 2 anos? 5- Qual o montante obtido quando aplica-se R$24000,00 à taxa de 4% a.m. durante 90 dias? 6- O capital de R$ 3.500, em 6 meses, a 4% a.a., produz juros, em reais, de: a) ( ) 55. b) ( ) 60. c) ( ) 65. d) ( ) 70. e) ( ) 75. 7- Sabendo-se que um capital foi duplicado em 8 anos a juros simples, a taxa anual empregada foi de: a) ( ) 10%. b) ( ) 12,5%. c) ( ) 15%. d) ( ) 17,5%. e) ( ) 20%. 8- O tempo para que um capital triplique de valor a 20% ao ano, no regime de juros simples, em anos, é: a) ( ) 5. b) ( ) 8. c) ( ) 10. d) ( ) 12. e) ( ) 15. 9- (CEFET-MG) A quantia de R$ 17.000,00 investida a juros simples de 0,01% ao dia, gera, após 60 dias, um montante de: a) ( ) R$ 102,00 b) ( ) R$ 1.020,00 c) ( ) R$ 17.102,00 d) ( ) R$ 18.020,00

12

� RESPOSTAS EXERCÍCIOS

1- RAZÃO 2- PROPORÇÃO Lista 1 1) a) x = 3 b) y = 4 c) z = -14 2) 180 3) a) R$ 3750,00 b) R$ 10000,00

4) a) 3

1 b) 1,5 g

5) c 6) b 7) e 8) b 9) b 10) e 11) a 3- DIVISÃO PROPORCIONAL Lista 2 1) R$84,00 e R$96,00. 2) 1 milhão de reais; 2 milhões de reais e 3 milhões de reais. 3) 120, 80 e 60. 4) 40 pulseiras, 30 colares e 24 anéis.

5) Sim, pois 24

16

15

10

18

12== .

6) c 7) c 8) a 9) b 4- GRANDEZAS PROPORCIONAIS

5- REGRA DE TRÊS SIMPLES Lista 3 1) C E C E 2) 496 Km 3) 5 dias 4) 1h30min 5) 8,4 m 6) a) 875 L b) 125 t 7) 500 pães 8) 5 torneiras 9) b 10) b 11) d 12) c 13) d 14) 35 dias 6- REGRA DE TRÊS COMPOSTA Lista 4 1) 500 veículos 2) 25 cavalos 3) 14 dias 4) R$ 5280,00 5) 2 h 30 min 6) a 7) d 8) b 9) c 10) 17 rapazes 7- PORCENTAGEM Lista 5 1) 2000 2) R$ 3000,00 3) R$ 10000,00 4) R$ 486,00 5) R$ 600,00 6) R$ 25000,00 7) 12,5%

8) 50% 9) R$ 15000,00 10) R$ 99,76 11) 45 L 12) c 13) b 14) c 15) e 16) b 8- NOÇÕES DE JUROS SIMPLES Lista 6 1) R$ 3780,00 2) 4 meses 3) R$ 54000,00 4) 36% 5) R$ 26880,00 6) d 7) b 8) c 9) c

13

LISTA REVISIONAL para o TESTE 1

QUESTÕES

1- A razão entre 6

5

4

15e− é:

a) ( ) 2

9− c) ( ) 3

b) ( ) 3

1− d) ( ) 5

2- Em uma classe, a razão entre o número de meninos e o número de meninas é de 5 para 6. Como nessa classe estudam 15 meninos, pode-se concluir que nessa turma estudam: a) ( ) 13 meninas c) ( ) 21 meninas b) ( ) 18 meninas d) ( ) 24 meninas

3- Qual a razão entre os segmentos AC e CD ?

a) ( ) 6

1 b) ( )

2

1 c) ( ) 2 d) ( ) 3

4- Qual o valor do termo desconhecido y na

proporção: 4

3

2

12=

+

−

y

y ?

a) ( ) 2

1− b) ( ) 2 c) ( ) 4 d) ( ) 5

5- Alexandre, Bernardo e Celina têm, respectivamente, 3, 7 e 10 anos. Deseja-se repartir R$40000,00 entre eles de modo que cada um receba uma quantia diretamente proporcional à sua idade. Após a divisão, Bernardo receberá: a) ( ) R$7000,00 b) ( ) R$10000,00 c) ( ) R$14000,00 d) ( ) R$17000,00

6- Um caminhão-tanque está carregado com mistura álcool-água. A razão entre o volume de álcool e o volume de água é 9:2. Sabendo-se que há 810 litros de álcool nesta mistura, o volume total em litros que este caminhão está carregando é de: a) ( ) 180 b) ( ) 990 c) ( ) 2135 d) ( ) 3645 7- Duas pessoas A e B foram convidadas a trabalhar na entrega de panfletos de divulgação das ofertas de um novo supermercado. Porém, a pessoa A faltou 2 dias e a B faltou 5 dias. Então, o patrão resolveu proceder à divisão da quantia de R$4200,00 entre eles de maneira inversamente proporcional às suas faltas. Assim sendo, quanto o mais faltoso recebeu? a) ( ) R$1200,00 b) ( ) R$1350,00 c) ( ) R$1500,00 d) ( ) R$1650,00 8- Ao dividir o número 45 em partes proporcionais a 6 e 9, obtemos respectivamente as seguintes parcelas: a) ( ) 9 e 36 b) ( ) 12 e 33 c) ( ) 15 e 30 d) ( ) 18 e 27 9- As instruções do rótulo de uma garrafa de suco concentrado recomendam misturar uma parte de suco concentrado com oito partes de água. Desse modo, para preparar um copo de 450 mL deste refresco, é preciso misturar: a) ( ) 40 mL de suco concentrado e 410 mL de água. b) ( ) 45 mL de suco concentrado e 405 mL de água. c) ( ) 50 mL de suco concentrado e 400 mL de água. d) ( ) 55 mL de suco concentrado e 395 mL de água. e) ( ) 60 mL de suco concentrado e 390 mL de água.

10- A média geométrica dos números 2

1e 8

1 é:

a) ( ) 8

1 c) ( )

2

1

b) ( ) 4

1 d) ( ) 4

14

Escola Estadual “Professor Letro”

Natureza da Avaliação: TESTE 1

Conteúdo: Tópicos de Matemática Comercial

Tópicos abordados: Razão, proporção e divisão proporcional

Professor: Paulo Soares Batista

Nome:______________________________________________________

Valor: 100% Aproveitamento:_____%

Prezado(a) Aluno(a):

� O objetivo desta prova é avaliar seus conhecimentos sobre os tópicos estudados e torná-lo(a) cada vez mais familiarizado(a) com a participação em testes que envolvam conteúdos matemáticos.

____________________________________________________________________________________________

QUESTÕES

1- A razão entre 8

20− e

6

5 é:

a) ( ) 3−

b) ( ) 12

25−

c) ( ) 3

1−

d) ( ) 25

12

e) ( ) 6 2- Em uma classe, a razão entre o número de meninos e o número de meninas é de 3 para 4. Como nessa classe estudam 12 meninos, pode-se concluir que nessa turma estudam: a) ( ) 9 meninas. d) ( ) 18 meninas. b) ( ) 12 meninas. e) ( ) 28 meninas. c) ( ) 16 meninas. 3- As instruções do rótulo de uma garrafa de suco concentrado recomendam misturar uma parte de suco concentrado com sete partes de água. Desse modo, para preparar um copo de 480 mL deste refresco, é preciso misturar: a) ( ) 50 mL de suco concentrado e 430 mL de água. b) ( ) 55 mL de suco concentrado e 425 mL de água. c) ( ) 60 mL de suco concentrado e 420 mL de água. d) ( ) 65 mL de suco concentrado e 415 mL de água. e) ( ) 75 mL de suco concentrado e 405 mL de água.

4- Ao dividir R$ 30,00 em partes diretamente proporcionais aos números 3 e 7, obtém-se respectivamente as seguintes parcelas: a) ( ) R$ 9,00 e R$ 21,00. b) ( ) R$ 11,00 e R$ 19,00. c) ( ) R$ 12,00 e R$ 18,00. d) ( ) R$ 13,00 e R$ 17,00. e) ( ) R$ 16,00 e R$ 14,00.

5- As frações 7

4e20

35 são:

a) ( ) próprias. b) ( ) equivalentes. c) ( ) impróprias. d) ( ) aparentes. e) ( ) inversas. 6- (CORREIOS) Dados médicos indicam que a ingestão de uma lata de cerveja provoca a concentração de aproximadamente 0,3 gramas por litro de álcool no sangue. Waldir tomou 9 latas de cerveja numa festa com seus amigos, qual a concentração de álcool no sangue provocada pela ingestão dessa quantidade de cerveja? a) ( ) 24g/litro. d) ( ) 2,7g/litro. b) ( ) 30g/litro. e) ( ) 1,8g/litro. c) ( ) 2,4g/litro.

15

7- (SENAI) Um armazém pode estocar 40 sacos de cereais ou 120 caixas de verduras. Se forem colocados 30 sacos de cereais, ainda poderão ser estocadas: a) ( ) 10 caixas de verduras. b) ( ) 30 caixas de verduras. c) ( ) 50 caixas de verduras. d) ( ) 70 caixas de verduras. e) ( ) 90 caixas de verduras. 8- (CORREIOS) Dividindo-se R$ 3.375,00 em partes A, B e C, proporcionais respectivamente, a 3, 5 e 7, a parte correspondente a C é igual a: a) ( ) R$ 675,00. b) ( ) R$ 1.125,00. c) ( ) R$ 2.025,00. d) ( ) R$ 1.575,00. e) ( ) R$ 1.350,00. 9- (SENAI) Observe a figura abaixo.

A área do foguete corresponde a que fração da área do retângulo?

a) ( ) 3

1 d) ( )

7

2

b) ( ) 4

1 e) ( )

8

3

c) ( ) 5

1

10- Célio quer dividir a quantia de R$ 30000,00 entre suas duas filhas: Aline e Bianca. Porém, ele deseja fazer tal divisão na razão inversa de suas idades. Sabendo que Aline tem 12 anos e Bianca tem 3 anos, a filha mais nova receberá: a) ( ) R$ 27000,00 b) ( ) R$ 24000,00 c) ( ) R$ 18000,00 d) ( ) R$ 12000,00 e) ( ) R$ 6000,00

11- (CORREIOS) A fração equivalente a 24

15que

tem numerador 10 é:

a) ( )13

10 d) ( )

10

5

b) ( ) 8

10 e) ( )

24

10

c) ( ) 16

10

BOA PROVA!

16

Escola Estadual “Professor Letro”

Natureza da Avaliação: TESTE 2

Conteúdo: Tópicos de Matemática Comercial

Tópicos abordados: Porcentagem e Noções de Juros Simples

Professor: Paulo Soares Batista

Nome:______________________________________________________

Valor: 100% Aproveitamento:_____%

Prezado(a) Aluno(a):

� O objetivo desta prova é avaliar seus conhecimentos sobre os tópicos estudados e torná-lo(a) cada vez mais familiarizado(a) com a participação em testes que envolvam conteúdos matemáticos.

____________________________________________________________________________________________

QUESTÕES

1- Num depósito havia 600 sacos de arroz. Com a chuva, 18% dos sacos de arroz se estragaram. Quantos sacos de arroz não se estragaram? a) ( ) 126 b) ( ) 324 c) ( ) 486 d) ( ) 492 2- (OBMEP) A escola de Paraqui organizou uma Olimpíada de Matemática para seus 250 alunos e premiou com medalhas os 8% que obtiveram as notas mais altas. Quantas medalhas foram distribuídas? a) ( ) 8 b) ( ) 11 c) ( ) 14 d) ( ) 17 e) ( ) 20 3- Após calcular 0,4% de R$ 350,00, obtém-se: a) ( ) R$ 1,40 b) ( ) R$ 1,85 c) ( ) R$ 3,50 d) ( ) R$ 3,54

4- Em uma determinada escola há 900 alunos, dos quais 30% são meninos. Pode-se concluir que nesta escola estudam: a) ( ) 540 meninas e 360 meninos. b) ( ) 570 meninas e 330 meninos. c) ( ) 630 meninas e 270 meninos. d) ( ) 660 meninas e 240 meninos. 5- (SENAI) Uma caixa d’água foi comprada à prazo por R$ 253,20. Sabendo-se que o preço à vista era de R$ 240,00, pode-se dizer que o preço à prazo da caixa d’água, em relação ao seu preço à vista, representou um aumento percentual de: a) ( ) 4,5%. b) ( ) 4,7%. c) ( ) 5,0%. d) ( ) 5,2%. e) ( ) 5,5%. ________________________________

17

6- (PAAE/SEE-MG) Na compra de um televisor, João paga 30% de seu valor, como entrada, e fica devendo ainda R$ 420,00. O preço desse televisor é: a) ( ) R$ 546,00 b) ( ) R$ 1400,00 c) ( ) R$ 450,00 d) ( ) R$ 600,00 7- (SENAI) André pagou uma multa de trânsito no valor de R$ 53,90 na data do vencimento e desse modo fez jus a um desconto de 30% sobre o valor da multa. O valor que André pagou foi: a) ( ) R$ 23,90 b) ( ) R$ 37,73 c) ( ) R$ 43,82 d) ( ) R$ 48,14 e) ( ) R$ 50,17 8- (SENAI) Para pagamento à vista, de um eletrodoméstico de preço p, um lojista oferece um desconto de 8%. Uma das maneiras para se calcular quanto passará a custar o eletrodoméstico após o desconto será multiplicar o preço p por: a) ( ) 0,92 b) ( ) 1,20 c) ( ) 0,08 d) ( ) 0,20 e) ( ) 0,02 9- (SENAI) Carlos aplicou, em um certo investimento, a juros simples, um capital de R$ 8000,00 a uma taxa de 2% ao mês. Após três meses, Carlos recebeu um montante de: a) ( ) R$ 7 560,00 b) ( ) R$ 7 860,00 c) ( ) R$ 8 480,00 d) ( ) R$ 9 200,00 e) ( ) R$ 10 400,00

10- Qual o capital que Carlos Roberto deve aplicar a juros simples, à taxa de 24% ao ano, durante 4 meses, para obter juro de R$ 320,00? a) ( ) R$ 2000,00 b) ( ) R$ 4000,00 c) ( ) R$ 6000,00 d) ( ) R$ 8000,00 11- O tempo para que um capital quadruplique de valor a 10% ao mês, no regime de juros simples é: a) ( ) 2 anos e meio b) ( ) 2 anos e 3 meses c) ( ) 1 ano e meio d) ( ) 1 ano e 2 meses ________________________________

BOA PROVA!

18

RESPOSTAS

LISTA REVISIONAL para o TESTE 1

TESTE 1

TESTE 2

QUESTÃO

GABARITO

QUESTÃO

GABARITO

QUESTÃO

GABARITO

01 A 01 A 01 D 02 B 02 C 02 E 03 C 03 C 03 A 04 B 04 A 04 C 05 C 05 E 05 E 06 B 06 D 06 D 07 A 07 B 07 B 08 D 08 D 08 A 09 C 09 A 09 C 10 B 10 B 10 B

11 C 11 A