Grundläggande statistik, ht 09, AN 1

F8 Hypotesprövning. Begrepp

• Nollhypotes• Mothypotes• Testfunktion• Beslutsregel• Signifikansnivå• Kritiskt område• Ensidigt/tvåsidigt test• Typ-I-fel• Typ-II-fel• Styrka• P-värde

Grundläggande statistik, ht 09, AN 2

F8 Hypotesprövning (Ex 5 sid. 186 KW)

Är myntet symmetriskt? Vi har blivit ombedda att kontrollera om ett mynt är symmetriskt. Hur

ska vi gå till väga? Hur många gånger behöver vi kasta myntet för att kunna uttala oss något så när säkert?

1. Vad innebär symmetri?2. Kasta 1 gång? 2? 20? 40? 100?3. Vad betyder att vara ”något så när säker”?4. Vilka fel kan vi göra?

Låtn=antal kastX= antal gånger vi får kronaP=andelen gånger vi får krona

Grundläggande statistik, ht 09, AN 3

F8 Hypotesprövning av (= 0,5 i detta ex.)

• H0: =0,5 (kallas ofta 0)• H1: ≠ 0,5

• Testfunktion: X som är Bi(n; 0,5) om H0 är sann.

Alternativt om n stort, P som är Nf(0,5; ) eller

som är Nf(0; 1) om H0 är sann.

Om ensidigt test:H1: > 0,5 ellerH1: < 0,5

n

PZ

)5,01(5,0

5,0

)5,01(5,0 n

Grundläggande statistik, ht 09, AN 4

F8 Hypotesprövning

Vill ha svar på frågan: Beror skillnaden mellan P och 0,5 på slumpen?• Beslutsregel:Vi förkastar H0 om vi får så höga eller låga värden på X (eller P eller

Z) som vi sällan skulle få om är sann H0. Kallas kritiskt område.

• Signifikansnivå (α ):Pr (förkasta H0 när den är sann). Definierar kritiska området.Att förkasta en sann H0 kallas för typ-I-fel.

• Styrkan (1-β):Pr(förkasta H0 när den inte är sann) därβ = Pr(inte förkasta H0 när den inte är sann).Att inte förkasta en falsk H0 kallas för typ-II-fel.

Grundläggande statistik, ht 09, AN 5

F8 Hypotesprövning (forts)

I verkligheten är

H0 sann

H0 falsk

Beslut

H0 förkastas inte H0 förkastas

Korrekt beslut Typ I-fel

Sign. nivån

Pr = α

Typ II-fel

Pr = β

Korrekt beslut

Pr = 1- β

Styrkan

Grundläggande statistik, ht 09, AN 6

F8 Hypotesprövning av medelvärde Nf(µ ;σ)

H0: µ = µ0 H1: µ ≠ µ0

Alternativt, om ensidigt test

H1 : µ > µ0 eller H1 : µ < µ0

• Testfunktion: som är Nf(µ0 ; ) eller

som är Nf(0; 1) om H0 är sann.n

xZ

/0

x n/

Grundläggande statistik, ht 09, AN 7

F8 Hypotesprövning av medelvärde Nf(µ ;σ) när σ är okänd

H0: µ = µ0 H1: µ ≠ µ0

Alternativt, om ensidigt testH1: µ < µ0 ellerH1: µ ≠>µ0

Skatta σ med

Testfunktion

som är t-fördelad med n-1 frihetsgrader om H0 är sann.

2

1

1xx

ns i

ns

xt

/

Grundläggande statistik, ht 09, AN 8

F8 Hypotesprövning av medelvärde. Okänd fördelning, n stort

H0: µ = µ0 H1: µ ≠ µ0

Alternativt, om ensidigt testH1: µ < µ0 ellerH1: µ ≠>µ0

Testfunktion ns

xZ

/

där Z är Nf(0; 1) om H0 är sann och n stort. Enligt C G S.

Grundläggande statistik, ht 09, AN 9

Hypotesprövning av (allmänt)

H0: = 0

H1: ≠ 0

Alternativt, om ensidigt test

H1: < 0 ellerH1: > 0

Testfunktion

där Z är Nf(0; 1) om H0 är sann och n stort

n

PZ

)1( 00

0

Grundläggande statistik, ht 09, AN 10

F8 Hypotesprövning, p-värden

• I många sammanhang anges ett s.k. p-värde

p-värdet är ett mått på hur stor sannolikheten är att få ett minst lika extremt värde på testfunktionen som det vi faktiskt har fått, givet att H0 är sann.

Ju lägre p-värde, desto starkare stöd för mothypotesen.

Om vi har bestämt oss för signifikansnivån 5%, så ska vi förkasta H0 om vi får ett p-värde som är mindre än 0,05.

Om signifikansnivån är 1%, så ska vi förkasta H0 om vi får ett p-värde som är mindre än 0,01, o.s.v.