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FÁBIO RICARDO FERREIRA CORREA
OS CONCEITOS DE FUNÇÕES DE 1° E 2° GRAU APLICADAS À
FÍSICA ELEMENTAR DA PRIMEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
Assis-SP 2011
FÁBIO RICARDO FERREIRA CORREA
OS CONCEITOS DE FUNÇÕES DE 1° E 2° GRAU APLICADAS À
FÍSICA ELEMENTAR DA PRIMEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao
Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis, como
requisito do curso de Licenciatura Plena em
Matemática, como requisito parcial à obtenção do
Certificado de Conclusão
ORIENTADOR: Cleiton Joni Benetti Lattari
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: Educação matemática / Ensino de física
ASSIS
2011
FICHA CATALOGRÁFICA
CORREA, Fábio Ricardo Ferreira Os conceitos de funções de 1º e 2º grau aplicadas à física elementar da
primeira série do ensino médio / Fábio Ricardo Ferreira Correa. Fundação Educacional do Município de Assis – FEMA – Assis, 2011.
68p. Orientador: Cleiton Joni Benetti Lattari. Trabalho de Conclusão de Curso – Instituto Municipal de Ensino superior
de Assis – IMESA Ensino de física, funções, cinemática.
CDD: 510 Biblioteca da FEMA
OS CONCEITOS DE FUNÇÕES DE 1° E 2° GRAU APLICADAS À FÍSICA ELEMENTAR DA PRIMEIRA SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
FÁBIO RICARDO FERREIRA CORREA
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis, como requisito do curso de Licenciatura Plena em Matemática, analisado pela seguinte comissão examinadora:
Orientador: Cleiton Joni Benetti Lattari. Analisador: Alberto Luiz Pereira da Costa
Assis 2011
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho a todos os docentes do Brasil que se preocupam com a formação dos alunos da rede pública de ensino e fazem o possível para contribuir com a educação.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, aos meus familiares: Minha mãe Laura Rita Ferreira Correa, meu pai Carlos Roberto Correa, meu irmão Felipe Ferreira Correa. Aos meus amigos: André Luiz Fernandes, Marcos André Vieira, Sérgio Rodriguez, Vinícius Felício, Matheus Palmeira, Silvio Rodriguez, Juliano Moreira, Adriano la Selva, Edgar Tenshi, Diego Faustino, Sônia Zancheta, Gabriel Pitta, Leonardo Morais e Jhonatan Gianase. Ao professor Cleiton J. B. Lattari, principalmente pelas orientações, indicações de leitura e pesquisa. Ao professor Alberto L. P. da Costa, pelas sugestões e ideias que contribuíram com esta pesquisa. Aos Professores da minha graduação: Leonor Farcic Fic Menk; José Carlos Cavassini; Fernando Graciliano de Brito; Sarah Rabelo de Souza; Ebano Bortotti de Oliveira; Maria Beatriz Alonso do Nascimento; Rafael Falco Pereira; Luiz Carlos Begosso; Sandra Regina Gregório Oliveira; Márcia Valéria Serôdio Carbone e Gabriela Helena Geraldo Issa Mendes. Aos meus colegas de sala: Pollyanna, Deise, Marcelo, Aline, Kelen, Edinei, Arlindo, Lídia, Raisa, Márcio e Adriana.
RESUMO
Este trabalho discute a relação entre os conceitos de funções do 1º e 2º graus
aplicados ao estudo da cinemática. Discute também, a relação que os alunos do
primeiro ano do ensino médio da rede pública fazem entre essas funções
estudadas nas aulas de matemáticas e aquelas relacionadas ao movimento
retilíneo uniforme e uniformemente variado nas aulas de física.
Para isso, foi desenvolvido um questionário contendo questões sobre os
conteúdos mencionados com o intuito verificar se os estudantes conseguem
utilizar as ferramentas matemáticas para responder às perguntas referente aos
movimentos da cinemática. Esse questionário foi aplicado em alunos do primeiro
ano do ensino médio de uma escola pública da cidade de Assis, interior do estado
de São Paulo, e verificamos que os alunos têm dificuldades em estabelecer esta
relação como vamos constar nos capítulos deste trabalho.
Palavras chave: Ensino de física, funções, cinemática.
ABSTRACT
This paper discuss the relationship between the conceptes of functions 1 and 2
degrees to the study of the kinematics. It also discusses the relationship that the
students in the first year of high school from the public education make, between
these functions studied in mathematics classes, and those related to the rectilinear
uniform motion and uniformly varied in phisics classerooms.
For this, we developed a questionnaire containing questions about the content
mentioned in order to check if the students can use the mathematical tools to
answer questions concerning the movements of kinematics. The questionaire was
applied to studens of the first year of the high school of a public school in the down
of Assis, in the state of Sao Paulo, and we verified that the students have
difficulties to stablish this relation as we will included in the chapters of this work.
Keywords: Physics teaching, functions, kinematics.
ÍNDICE DE ILUSTRAÇÕES Ilustração 1: Conjuntos numéricos ........................................................................ 14
Ilustração 2: Relação A x B ................................................................................... 15
Ilustração 3: Relação A x B ................................................................................... 15
Ilustração 4: Relação A x B ................................................................................... 16
Ilustração 5: Relação A x B ................................................................................... 17
Ilustração 6: Relação A x B ................................................................................... 17
Ilustração 7: Função do primeiro Grau .................................................................. 19
Ilustração 8: Função do segundo grau .................................................................. 21
Ilustração 9: Função do segundo grau, concavidade da parábola voltada para
cima. ............................................................................................................... 22
Ilustração 10: Função do segundo grau, concavidade da parábola voltada para
baixo. .............................................................................................................. 22
Ilustração 11: Gráfico de uma função do segundo grau ........................................ 26
Ilustração 12: Gráfico de uma função do segundo grau ........................................ 26
Ilustração 13: Gráfico de uma função do segundo grau ........................................ 27
Ilustração 14: Gráfico de uma função do segundo grau ........................................ 27
Ilustração 15: Gráfico de uma função do segundo grau ........................................ 28
Ilustração 16: Gráfico de uma função do segundo grau ........................................ 28
Ilustração 17: Gráfico de uma função Espaço x tempo do movimento retilíneo
uniforme ......................................................................................................... 31
Ilustração 18: Gráfico de funções Espaço x tempo do movimento uniformemente
variado ............................................................................................................ 33
Ilustração 19: Gráfico de funções Velocidade x espaço do movimento
uniformemente variado ................................................................................... 34
Ilustração 20: Foto dos alunos respondendo o questionário ................................. 38
Ilustração 21: Foto dos alunos respondendo o questionário ................................. 38
Ilustração 22: Foto dos alunos respondendo o questionário ................................. 39
Ilustração 23: Gráfico das respostas obtidas na primeira questão ........................ 40
Ilustração 24: Gráfico das respostas obtidas na segunda questão ....................... 41
Ilustração 25: Gráfico das respostas obtidas na segunda questão ....................... 42
Ilustração 26: Gráfico das respostas obtidas na terceira questão ......................... 43
Ilustração 27: Gráfico das respostas obtidas na terceira questão ......................... 44
Ilustração 28: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na quarta questão
....................................................................................................................... 46
Ilustração 29: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na quarta questão
....................................................................................................................... 46
Ilustração 30: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na quarta questão
....................................................................................................................... 47
Ilustração 31: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na quarta questão
....................................................................................................................... 48
Ilustração 32: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na quarta questão
....................................................................................................................... 48
Ilustração 33: Gráfico das respostas obtidas na quinta questão. .......................... 50
Ilustração 34: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na sexta questão
....................................................................................................................... 52
Ilustração 35: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na sexta questão
....................................................................................................................... 53
Ilustração 36: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na sexta questão
....................................................................................................................... 53
Ilustração 37: Gráfico das respostas obtidas na sétima questão ........................... 54
Ilustração 38: Gráfico das respostas obtidas na oitava questão ............................ 56
Ilustração 39: Gráfico das respostas obtidas na nona questão ............................. 57
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 3
2. OBJETIVOS...................................................................................................................... 6
2.1. OBJETIVO PRINCIPAL ..................................................................................................... 7
3. REVISÃO DA LITERATURA ........................................................................................ 8
4. FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAUS ..................................................................................... 14
4.1. FUNÇÃO: CONCEITOS INICIAIS .......................................................................... 14
4.2. NOTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO ............................................................................... 18
4.3. FUNÇÃO AFIM ........................................................................................................ 18
4.4. GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM................................................................................ 19
4.5. O ZERO DE UMA FUNÇÃO AFIM ......................................................................... 19
4.6. FUNÇÕES QUADRÁTICAS .................................................................................... 20
4.7. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA ..................................................... 21
4.8. CONCAVIDADE DA FUNÇÃO ............................................................................... 22
4.9. O ZERO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA................................................................... 23
4.10. O NÚMERO DE RAIZES ........................................................................................ 24
4.11. O VÉRTICE DE UMA FUNÇÃO ............................................................................ 25
4.12. SINAL DE UMA FUNÇÃO .................................................................................... 26
5. INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA: ALGUNS CONCEITOS SOBRE
MOVIMENTO .................................................................................................................... 29
5.1. A VELOCIDADE ...................................................................................................... 29
5.2. O MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU) ............................................... 30
5.3. O MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) ........... 32
6. METODOLOGIA ........................................................................................................... 35
7. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS QUESTIONÁRIOS APLICADOS ........................ 40
8. CONCLUSÃO ................................................................................................................. 59
9. ANEXO 1: ........................................................................................................................ 64
QUESTIONÁRIO ............................................................................................................. 64
10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 67
3
1. INTRODUÇÃO
O ensino de matemática e física no contexto do ensino médio tem apresentado
dificuldades correlacionadas, quando observamos o ensino de funções do primeiro
e segundo graus, tanto na sua proposta de ensino da matemática como na
proposta de suas aplicações no ensino de movimento retilíneo uniforme e
uniformemente variado, relacionados à física.
Muitas dificuldades são encontradas quanto ao ensino de física e matemática,
como citado por Ricardo e Zylbersztajn (2002).
A falta de experimentos nas aulas de física e o pouco conhecimento matemático
dos alunos com referência ao estudo das funções e suas aplicações, interferem
claramente na educação científica.
Entre o discurso da sala de aula e o que se comprova no cotidiano, existe uma
grande deformidade de informação. Os alunos veem as aplicações dos conceitos
da matemática à física com grande dificuldade, confundindo os conceitos de física
com os de matemática.
Durante o segundo ciclo do ensino fundamental, os alunos começam a lidar com
ferramentas matemáticas que serão fundamentais no processo de ensino e de
aprendizagem em física. Os estudantes dos últimos anos do ensino fundamental,
por exemplo, estudam as expressões algébricas, as equações de primeiro e
segundo grau e alguns gráficos, que serão utilizados no estudo de física para
descrever os movimentos da cinemática. Sendo assim, o mau aprendizado desses
conteúdos nos anos antecessores ao do primeiro do ensino médio, pode
prejudicar muito o processo de ensino e de aprendizagem da cinemática, fato o
qual é também observado por Paulino e Paulino (2007).
“A falta do conhecimento de matemática, (que é uma das
grandes ferramentas para se entender a natureza) em
4
muitas ocasiões, é o principal obstáculo para aquisição dos
conceitos de física.” (Paulino e Paulino, 2007, p. 8)
Essas considerações feitas pelos autores citados nos fornecem indícios de um dos
possíveis motivos pelos quais os alunos da primeira série do ensino médio têm
dificuldade na disciplina de física. Esse fator é observado também por Dantas e
Nobre (2006), que comentam sobre as referências bibliográficas utilizadas pelos
professores em sala de aula.
“Os professores seguem os conteúdos propostos pelos
livros didáticos, que são textos que valorizam o ensino
matemático, deixando de lado o verdadeiro significado da
física conceitual, (...)” (Dantas e Nobre, 2006, p. 8)
Essa passagem no trabalho de Dantas e Nobre nos fazem perceber que alguns
livros adotados pelos professores no ensino médio, valorizam muito o
conhecimento matemático dos alunos para o desenvolvimento do conhecimento
de física. Essa metodologia pode não ser muito bem sucedida quando existe uma
deficiência no ensino de matemática nos anos anteriores.
Essas observações são notadas, inclusive, pelos próprios alunos, segundo
Paulino e Paulino (2007)
“(...) a matemática é importante, segundo os alunos,
para o aprendizado de física, no entanto estes saberes
não são considerados importantes para estes alunos
(...). Para ele é mais útil saberes de aplicações práticas
5
de situações que os rodeiam.” (Paulino e Paulino,
2007, p.7)
O interessante nesta passagem é o interesse dos alunos sobre a contextualização
da física no cotidiano, apesar de reconhecerem a importância da matemática
como ferramenta para o estudo da física. Esse descontentamento dos estudantes
é observado também por Ricardo e Freire, os quais discutem questões referentes
às concepções dos alunos sobre a física do ensino médio. Segundo esses
autores, “a estrutura atual escolar parece estar cada vez menos capaz de atender
às expectativas dos seus alunos”,
Os fatores apresentados até então nos fornece indícios do porquê os alunos em,
geral não têm tanto interesse na disciplina de física. A partir disso, foi
desenvolvido este trabalho, a fim de observar e discutir se essas questões fazem
parte da realidade na qual os alunos do primeiro ano do ensino médio da rede
pública estão inseridos.
Para efetuar tal observação, foi preparado um questionário com questões sobre
movimentos, retilíneo uniforme e uniformemente variado, funções do primeiro e
segundo graus e seus respectivos gráficos, a fim de verificar o que os alunos
sabem sobre esses conteúdos.
6
2. Objetivos
Este trabalho tem por objetivo investigar o que os alunos do primeiro ano do
ensino médio entendem sobre a relação entre os conceitos de funções do primeiro
e segundo graus e suas aplicações na cinemática da física, tendo em vista que
esses alunos responderam um questionário com perguntas referentes aos
conteúdos citados, com o intuito de discutir os resultados e obter informações que
podem ser relevantes para o processo de ensino e de aprendizagem dos
estudantes do ensino médio.
Justifica-se com este trabalho, o fato de que os aprendizados de matemática e
física são complementares e que os conhecimentos elementares de uma dessas
disciplinas são necessários para o bom desenvolvimento da outra, assim como
conclui Paulino e Paulino (2007) sobre a importância da aprendizagem em
matemática dos alunos dos últimos anos do ensino fundamental, ao comentarem
sobre as opiniões, coletadas em questionários aplicados aos alunos do colegial
sobre a disciplina de física.
“O que fica bem evidente com esta pesquisa e
,consequentemente, fortalece a linha de pesquisa que
defende a matemática como ferramenta indispensável
para a construção do conhecimento científico sólido é
que se estes alunos tivessem desenvolvido um
background maior dos conteúdos de matemática
estudados no ensino fundamental e médio certamente
suas opiniões sobre as ciências físicas seriam
diferentes.” (Paulino e Paulino, 2007, p.8)
7
Salientamos, portanto, a importância dessa investigação no sentido de mostrar
que a aprendizagem das funções de primeiro e segundo graus tem aplicações
diretas no processo de desenvolvimento do aprendizado da física e em especial
da mecânica quando estudamos os movimentos retilíneos, seja ele uniforme ou
variado.
2.1. Objetivo principal
O objetivo principal deste trabalho é verificar se os alunos do primeiro ano do
ensino médio reconhecem a relação entre os conceitos de funções de 1º e 2º
graus e suas aplicações na cinemática da física.
8
3. REVISÃO DA LITERATURA
Foram utilizados alguns livros didáticos de física e matemática, além de artigos
científicos, com o intuito de recolher informações a fim de discutir o modo como os
conceitos de cinemática são introduzidos para os alunos dos primeiros anos do
ensino médio. Ao todo, foram utilizados 4 livros didáticos de física, 1 de
matemática e 5 artigos científicos. Os livros consultados foram:
1. A obra “Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos e funções”
(Gelson Iezzi e Carlos Murakami; 2004; vol.1; 8ª edição; São Paulo: Editora
Atual.), tem como objetivo, propiciar aos estudantes do ensino médios, aos
vestibulandos e universitários um conhecimento sólido da matemática
elementar.
Neste volume é abordada a introdução ao conhecimento sobre função e o
estudo de funções polinomiais do 1º e 2º graus, estabelecendo uma
seqüência lógica na aplicação dos conceitos e propriedades. Os teoremas
apresentados são seguidos de suas respectivas demonstrações.
2. O livro ”Física em contextos: pessoal, social e histórico”, (Maurício
Pietrocola; 2010; vol.1; 1ª ed.; editora FTD S.A.), é dividido em seções nas
quais o aluno se informa a respeito de fatos históricos e sobre a relação da
física com a tecnologia atual, além apresentar pequenas biografias dos
principais cientistas que contribuíram para com a ciência e propor
atividades que exigem a reflexão dos estudantes. Nesta obra, os exercícios
resolvidos são considerados “exemplares”, para que os alunos possam
acompanhar as estratégias de resolução dos problemas. No final de cada
capítulo existem atividades extras curriculares como: pesquisa,
experimentos, problemas nos quais os alunos devem elaborar estratégias
de resolução e algumas sugestões de livros e filme que podem
9
complementar o que foi estudado.
3. A obra “Física: ensino médio”, (Antônio Máximo e Beatriz Alvarenga;
Volume 1; Editora Scipione. 2009), tem como objetivo, tornar o curso de
física agradável a fim de evitar que ele seja uma das obrigação escolares
do aluno. Este livro possui ilustrações e vários textos que apontam algumas
situações do cotidiano onde podemos observar os fenômenos da natureza
estudados pela física. Ao longo de cada capítulo existem exemplos para
que os alunos possam se basear no método de resolução dos exercícios
propostos.
Assim como algumas obras pesquisadas, “Física: ensino médio”
apresenta também algumas pequenas biografias dos cientistas que
contribuíram pra com a ciência.
4. O livro Física, (Djalma Nunes Paraná; volume 1; Mecânica; Editora Ática –
1994), cujo autor é conhecido pelo apelido “Paraná”, aborda a física de um
modo mais cultural, utilizando não apenas fórmulas para representar as
teorias, mas um conjunto de informações que envolvem fatos históricos e
situações do cotidiano, com o intuito de colocar os estudantes em contato
com a cultura científica.
“Acreditamos que um dos aspectos educacionais mais
importantes é o que relaciona o cidadão ao mundo em que
vive. E como a ciência não se constrói de forma linear,
aprender Física requer dinâmica. Um dos caminhos, pelo
qual optamos, é o que resgata a história da ciência.”
(Paraná, Física; 1994; vol.1; 3ª ed; Editora Ática S.A.; p.3)
10
5. No livro “Os Fundamentos da Física”, (Francisco Ramalho Junior, Nicolau
Gilberto Ferraro e Paulo Antônio de Toledo Soares; 1991; vol.1; 5ª ed;
editora Moderna), aborda a física de uma forma mais convencional, ou seja,
daquela que grande parte dos livros de física costuma seguir. Essa obra,
segundo o prefácio escrito pelos autores, tem o intuito de preparar os
alunos para o vestibular e para cursos que demanda conhecimento sobre
física.
A fim de discutir a relação entre conhecimento de física com o de matemática no
âmbito escolar, em específico no primeiro ano de ensino médio das escolas
públicas, foi feita uma pesquisa na Internet para recolher informações sobre o que
já havia sido estudado sobre o assunto. Nesta busca, encontramos artigos
científicos e algumas publicações em revistas especializadas no assunto. Entre
eles, destacam-se:
1. O artigo “Uma seqüência lógica e conceitual do ensino de mecânica.”
(2006) dos autores Cláudio Rejane da Silva Dantas e Francisco Augusto da
Silva Nobre, apresenta uma nova abordagem sobre o ensino da mecânica,
na qual o docente, ao dar início ao estudo de mecânica, aborda
primeiramente a dinâmica, pois segundo os autores, dessa forma os alunos
podem entender com mais facilidade os conceitos sobre movimentos sem
precisar se envolver tão cedo com as fórmulas da cinemática.
No artigo de Dantas e Nobre (2006), essa metodologia de ensino foi
aplicada em uma sala de primeiro ano do ensino médio, enquanto no
mesmo período, havia outra sala do mesmo ano que estavam estudando a
física do modo convencional. De acordo com os dados coletados pelos
autores, a sala em que a metodologia não convencional foi aplicada, o
número de alunos que atingiram a nota média foi maior do que a da outra
sala.
11
2. O artigo “Porque ensinar física” (2000), de Marcelo Gleiser, publicado na
página 4 da 1ª edição da revista Física na Escola. Nele, Gleiser fala sobre
os desafios de ser um educador e comenta algumas de suas ideias sobre o
exercício da profissão de docente, colocando em questão a importância de
mostrar para os alunos como a ciência é feita, salientando as histórias e as
descobertas.
Para Gleiser a admiração do professor de ciências naturais, seja ela física,
química, biologia ou matemática, deve ser evidente para estimular os
alunos.
“Às vezes, nós educadores esquecemos de nos empolgar
com a beleza daquilo que estamos ensinando. Nesse caso,
como podemos esperar que nossos estudantes se
empolguem por si próprios?” (Gleiser, 2008, p.2)
3. O trabalho “A Falta do conhecimento de matemática atrapalha o
aprendizado de física de alunos de ensino médio?” (2007), dos autores
Ana Roberta Paulino, Igo Paulino e Patrício Félix, discute a opinião dos
alunos sobre o papel da matemática no processo de ensino e
aprendizagem de física. Nesta pesquisa os autores aplicaram um
questionário em alunos da rede público de três cidades do interior da
Paraíba com o intuito de observar a opinião dos alunos a respeito da
relação entre a matemática e a física. As questões eram:
“O que você acha da disciplina de física?
O que você acha da disciplina de matemática?
O que você acha da disciplina de Língua Portuguesa?
12
Você consegue associar o conteúdo estudado na disciplina de
matemática em problemas de física?
Você acha que é possível estudar física sem saber
matemática?
Qual é o grau de relação que você acha que existe entre a
física e a matemática?
Qual é o tipo de abordagem que você mais gosta de estudar
na física?
Para que serve a matemática?”(Paulino e Paulino; 2007, p.3).
O motivo de perguntar sobre a importância da Língua Portuguesa, segundo
os autores, é o de que os alunos dificilmente conseguirão resolver um
problema sobre física ou matemática sem um domínio razoável de sua
língua.
Com base nos resultados obtidos pelos autores, foi possível chegar à
seguinte conclusão:
“O que fica bem evidente com esta pesquisa e,
conseqüentemente, fortalece a linha de pesquisa que
defende a matemática como ferramenta indispensável para
construção do conhecimento científico sólido é que se estes
alunos tivessem desenvolvido um background maior dos
conteúdos de matemática estudados no ensino fundamental
e médio certamente suas opiniões sobre as ciências físicas
seriam diferentes.” (Paulino e Paulino; 2007; p.8)
Os resultados colhidos nessa pesquisa de Paulino e Paulino (2007) serão
discutidos e servirão como base das discussões deste trabalho.
4. O trabalho “Sobre a resolução de problemas no ensino da física” de
13
Luiz O. Q. Peduzzi (1997), aponta algumas falhas que os estudantes
cometem ao resolver exercícios de física. Nesse trabalho, o autor apresenta
algumas possíveis causas que leva os alunos ao “fracasso” em relação à
resolução de problemas:
“(...) insuficiente conhecimentos de matemática elementar
(deficiências em trigonometria básica, na análise de gráficos,
na manipulação das variáveis de uma equação, na
resolução de equações de 1° e 2° graus, e na solução de
um sistema de equações), que impedem uma adequada
formalização e tratamento ‘sem erros’ da situação-problema”
(Peduzzi; 1997; p.247)
5. No artigo “A concepção dos alunos sobre a física do ensino médio: um
estudo exploratório” (2006), os autores Elio C. Ricardo e Janaína C. A.
Freire, apresentam e discutem os resultado de um estudo que visava
explorar e identificar as concepções de alunos de duas escolas do ensino
médio sobre a física, afim de elaborar um cenário de discussão para
professores. O estudo de Ricardo e Freire (2006) foram realizados com
base em um questionário respondido pelos alunos. As perguntas contidas
no mesmo visavam verificar a opinião dos estudantes sobre a disciplina de
física. No nosso trabalho, as tabelas e os resultados serão apresentados e
discutidos durante o desenvolvimento deste trabalho.
14
4. FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAUS
Geralmente as funções são estudadas no primeiro ano do ensino médio. Durante
este período, os alunos aprendem a construírem gráficos e manipular expressões
algébricas que definem essas funções. Neste capítulo, portanto, vamos rever
alguns conceitos gerais, como suas definições e gráficos.
4.1. FUNÇÃO: CONCEITOS INICIAIS
Definição: Seja é uma relação binária entre dois conjuntos A e B, onde A é o
domínio e B o contradomínio. Podemos chamar a relação A x B de função, se
todos os elementos pertencentes ao conjunto A estiverem relacionado com um
elemento do conjunto B.
Por exemplo: Sejam A e B os seguintes conjuntos
Ilustração 1: Conjuntos numéricos
A B
1
2
3
4
5
2
3
4
5
7
15
Observe agora as seguintes relações:
1. A x B = {(1;2);(2;3);(3;4);(4;5);(5;7)}
Ilustração 2: Relação A x B
Como podemos notar, esta relação é uma função, pois todos os elementos
pertencentes ao domínio A estão associados a um elemento do contradomínio B.
2. A x B = {(1;2);(1;3);(3;4);(4;5);(5;7)}
Ilustração 3: Relação A x B
B A
1●
2●
3●
4●
5●
●2
●3
●4
●5
●7
B A
1●
2●
3●
4●
5●
●2
●3
●4
●5
●7
16
Como podemos notar, o elemento {1} pertencente ao domínio está associado a
dois elementos diferentes do contradomínio B. Sendo assim, a relação acima não
pode ser considerada função.
3. A x B = {(1;2);(2;3);(4;5);(5;7)}
Ilustração 4: Relação A x B
Na relação acima, o elemento {3} pertencente ao domínio não está associado a
nenhum elemento de B. Desta forma, portanto, esta relação não pode ser
considerada uma função.
B A
1●
2●
3●
4●
5●
●2
●3
●4
●5
●7
17
4. A x B = {(1;2);(2;2);(3;2);(4;2);(5;2)}
Ilustração 5: Relação A x B
Apesar de todos os elementos do domínio estarem relacionados com o mesmo
elemento do contradomínio, a relação acima é uma função, pois todos os números
de A estão relacionados com algum elemento de B.
5. A x B = {(1;7);(2;5);(3;4);(4;3);(5;)}
Ilustração 6: Relação A x B
A relação acima pode ser considerada uma função, pois todos os elementos do
domínio estão relacionados com um elemento do contradomínio.
B A
1●
2●
3●
4●
5●
●2
●3
●4
●5
●7
B A
1●
2●
3●
4●
5●
●2
●3
●4
●5
●7
18
4.2. NOTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO
Geralmente, quando nos referimos a uma função, é comum o uso da seguinte
notação:
f: A → B, tal que f(x) = x
Que significa: Seja f uma aplicação, ou função, de domínio A e contradomínio B,
definida como f(x) = x.
4.3. FUNÇÃO AFIM
A Função Afim pode ser chamada também como função do primeiro grau, pois ela
é representada algebricamente como um polinômio de grau 1.
Definição: Seja a função f: A → B. Denomina-se Função Afim aquela onde os
elementos x pertencentes ao domínio A estão associados ao elemento (ax + b),
pertencentes ao contradomínio B, tal que a e b são números reais.
19
4.4. GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM
O gráfico gerado por uma Função Afim é uma reta.
Ilustração 7: Função do primeiro Grau
4.5. O ZERO DE UMA FUNÇÃO AFIM
A coordenada da função para y = 0 pode ter vários significados, dependo do que
está sendo estudado. Sendo assim, esse ponto tem uma maior importância
quando nos referimos à sua aplicação. Dessa forma, vamos entender como
calculamos o valor de abscissa x quando a função f(x) é igual à zero.
20
ab
x
bax
bax
yFazendo
baxy
−=
−=
=+
=
+=
0
0:
Logo, podemos concluir que, a raiz função é:
ab
x −=
4.6. FUNÇÕES QUADRÁTICAS
As funções quadráticas são conhecidas também como do segundo grau, pois são
representadas algebricamente como polinômio de grau 2.
Definição: Seja a função f : A → B. Denomina-se Função Quadrática aquela onde
os elementos x pertencentes ao domínio A estão associados ao elemento (ax² +
bx + c), pertencentes ao contradomínio B, tal que a, b e c são números reais.
21
4.7. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
O gráfico gerado por uma Função Quadrática é uma parábola.
Ilustração 8: Função do segundo grau
22
4.8. CONCAVIDADE DA FUNÇÃO
A parábola da função de segundo grau pode ter a concavidade voltada para cima
ou para baixo, dependo do valor do coeficiente a.
Se 0⟩a , a concavidade da parábola é
voltada para cima.
Ilustração 9: Função do segundo grau, concavidade da parábola voltada para cima.
Se 0⟨a , a concavidade da função é
voltada para baixo.
Ilustração 10: Função do segundo grau, concavidade da parábola voltada para baixo.
23
4.9. O ZERO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Assim como na função afim, a função quadrática pode oferecer informações
importantes quando f(x) = 0. Vamos, portanto, entender o procedimento realizado
para encontrar os valores de abscissa para os quais a função é zero.
Para determinar as raizes Reais de uma função do segundo grau, utilizamos a
equação de Bháskara.
aacbb
x2
42 −±−=
Vamos demonstrar essa equação, partindo da forma geral de uma equação do
segundo grau: ax² + bx + c = 0.
cbxax
cbxax
−=+
=++2
2 0
Multiplicando ambos os lados por a4 , temos:
acabxxa 444 22 −=+
Acrescentando 2b , em ambos os lados, temos:
acbbax
acbbabxxa
4)2(
44422
2222
−=+
−=++
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
24
aacbb
x
acbbax
acbbax
acbbax
24
42
42
42
2
2
2
2
−±−=
−±−=
−±=+
−=+
Fazendo:
ab
x
Temos
acb
2
42
∆±−=
−=∆
4.10. O NÚMERO DE RAIZES
Podemos notar, com a equação de Bháskara, que o número de raizes de uma
função é determinado pelo valor de. Sendo assim, podemos considerar três
ocasiões.
(1ª) Quando 0⟩∆ , temos duas raízes Reais:
aacbb
x2
42
1
−+−= e
aacbb
x2
42
2
−−−=
25
(2ª) Quando 0=∆ , temos apenas uma raiz Real
ab
ab
xx22
021
−=
±−==
(3ª) Quando 0⟨∆ , não existem raizes Reais.
4.11. O VÉRTICE DE UMA FUNÇÃO
Observando o gráfico de uma função do segundo grau, podemos ver que existe
um valor de abscissa para o qual f(x) é Maximo (quando ) ou Mínimo (quando ).
Para determinar esse ponto do gráfico, podemos utilizar as seguintes equações:
ab
xv 2−= e
ayv 4
∆−=
Sendo assim, o ponto
∆
−−aa
b4
;2
é chamado de vértice da parábola.
26
4.12. SINAL DE UMA FUNÇÃO
Observando o gráfico de uma função do segundo grau, podemos notar que
existem valores de abscissa para os quais f(x) é positivo ou negativo. Vamos
estudar, a seguir, o sinal de uma função do segundo grau.
1º caso: 0⟨∆
Como vimos, quando 0⟨∆ , o gráfico da função não toca o eixo de
abscissa, sendo assim, temos:
Se 0⟩a , então 0)( ⟩xf qualquer que seja o valor atribuído à x .
Ilustração 11: Gráfico de uma função do segundo grau
Se 0⟨a , então 0)( ⟨xf , qualquer que seja o valor atribuído à x .
Ilustração 12: Gráfico de uma função do segundo grau
27
2º caso: 0=∆
Observando o gráfico da função quadrática quando 0=∆ , nota-se que:
Se 0⟩a , então 0)( ⟩xf , exceto para ab
x2
−= , o qual torna 0)( =xf .
Ilustração 13: Gráfico de uma função do segundo grau
Se 0⟨a , então 0)( ⟨xf , exceto para ab
x2
−= , o qual torna 0)( =xf .
Ilustração 14: Gráfico de uma função do segundo grau
3º caso: 0⟩∆
Quando 0⟩∆ , a função admite duas raizes Reais. Assim, temos:
Para 0⟩a :
0)( ⟨xf quando 21 xxx ⟨⟨ e 0)( ⟩xf quando 1xx⟨ ou 2xx⟩
28
Ilustração 15: Gráfico de uma função do segundo grau
Para 0⟨a , temos:
0)( ⟩xf quando 21 xxx ⟨⟨ e 0)( ⟨xf quando 1xx⟨ ou 2xx⟩
Ilustração 16: Gráfico de uma função do segundo grau
Neste capítulo, consideramos alguns conceitos gerais de funções que os alunos
do primeiro ano do ensino médio estudam. Esses conhecimentos são aplicados
nas ciências naturais e exatas para expressar alguns comportamentos da
natureza.
Na cinemática da física, as funções de primeiro e segundo graus são utilizadas
expressar os movimentos, Retilíneo Uniforme e Uniformemente Variado. Vejamos
agora no próximo capítulo, os conceitos básicos sobre esses movimentos
estudados no primeiro ano do ensino médio.
29
5. INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA: ALGUNS CONCEITOS SOBRE
MOVIMENTO
Na cinemática, estudamos as características do movimento sem levar em
consideração o que o causou. Para isso, é necessário que fique claro alguns
conceitos, para os alunos.
Primeiramente, vamos retomar alguns conhecimentos sobre grandezas, que são
estudados nos últimos anos do ensino fundamental. Segundo a definição mais
geral sobre o assunto, Grandeza é tudo aquilo que podemos mensurar de alguma
forma, como por exemplo, a altura de uma pessoa, sua massa, qual tempo
necessário um indivíduo leva para chegar ao trabalho, entre outras.
Na cinemática, estudamos as características do Movimento, e para isso, faz-se o
uso de algumas grandezas como o espaço e o tempo.
Para que possamos estudar um deslocamento no espaço é necessário determinar
um referencial. Feito isso, podemos observar tudo o que está ao redor dessa
referência, para julgar os objetos que se movimentam e os que estão em repouso.
5.1. A VELOCIDADE
A velocidade é algo muito comum para nós. Ela é constantemente expressada em
nosso dia-a-dia, principalmente quando estamos nos deslocando de um lugar para
o outro.
Para mensurar essa grandeza, utilizamos a unidade de medida
hKm
. Dessa
forma é fácil notar que a velocidade é a distância que percorremos em
30
determinado instante de tempo, pois temos a unidade de espaço [km] e a de
tempo [h]. Sendo assim, podemos concluir que a velocidade é definida pela
equação:
tempotodeslocamen
V =
5.2. O MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)
A princípio, vamos nos limitar ao deslocamento em uma dimensão, ou seja, aquele
que é realizado sobre uma reta, ou linear.
O MRU é aquele onde a velocidade de um objeto é constante, ou seja, a rapidez
com a qual algo se desloca é sempre a mesma.
Para que possamos estudar com melhor precisão e também tentar chegar a
outras conclusões, é interessante escrever esse tipo de deslocamento como uma
função. Para isso, vamos partir da equação de velocidade e chegar à outra que
expresse o deslocamento em função do tempo.
( ) 121212
12 .)()(
SSttVttSS
VtS
V −=−→−−
=→∆∆
=
Fazendo: 01 =t , temos:
tVSStVSSSStV ... 12112122 +=→+=→−=
31
Como podemos notar a função tVSS .12 += é uma função linear, ou seja, seu
gráfico é uma reta. A seguir, temos um gráfico o qual mostra uma família de
funções representada pela equação genérica y = x + b, onde:
Ilustração 17: Gráfico de uma função Espaço x tempo do movimento retilíneo uniforme
Aqui já podemos evidenciar a importância de alguns conceitos de matemática para
o estudo da cinemática. Vamos agora rever algo sobre o movimento
uniformemente variado.
32
5.3. O MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
Vamos, novamente, nos limitar ao deslocamento realizado sobre uma reta. Mas
agora, será colocada em questão outra grandeza também muito presente no
nosso dia-a-dia, a aceleração.
O MRUV recebe esse nome porque, durante o seu desenvolvimento a velocidade
varia, podendo aumentar ou diminuir com o passar do tempo. Sendo assim,
podemos expressar a aceleração como tempo
velocidadea = .
Com base nessa equação, podemos concluir que a unidade de medida para a
aceleração é:
2sm
ssm
tempovelocidade
a ===
Assim como o MRU, vamos tentar escrever o MRUV como uma função para que
possamos estudá-lo de forma mais analítica.
Primeiramente, tentaremos obter a função de velocidade versus tempo, a partir da
equação de aceleração.
121212
12 ).()()(
VVttattVV
tV
a −=−→−−
=∆∆
=
Fazendo 01 =t , temos:
33
taVVVVta .. 12122 +=→−=
Existe também, a função de espaço versus tempo que pode ser deduzida a partir
de cálculos avançados. Sendo assim, vamos apenas escrevê-la
212 ..
21
. tatVSS
++=
Como podemos notar, a função espaço versus tempo é de segundo grau, ou seja,
seu gráfico é uma parábola. A seguir, temos um gráfico o qual mostra uma família
de equações do tipo y = ax² + bx + c, sendo que:
Ilustração 18: Gráfico de funções Espaço x tempo do movimento uniformemente variado
Existem vários casos em que é interessante expressar a velocidade do MRUV em
função do espaço percorrido. Para isso, utilizamos a equação de Torricelli, a qual
será deduzida a seguir, utilizando as equações já apresentadas.
34
Elevando os dois lados ao quadrado, temos:
++=→++=→+= 2
121
22
221
21
2212 2
.22. ta
tVaVVtaatVVVtaVV
Lembrando que:
+=∆→
+=−→
++= 2
12
1122
12 22..
21
. ta
VSta
VSStatVSS
Substituindo:
SaVV ∆+= 221
22
Diferente das funções passadas, o gráfico dessa de Torricelli é uma hipérbole.
Ilustração 19: Gráfico de funções Velocidade x espaço do movimento uniformemente variado
35
6. METODOLOGIA
Estudos recentes têm mostrado que a aprendizagem de física tem encontrado
algumas dificuldades quanto à aplicação dos conceitos de matemática. Assim,
aponta o trabalho de Paulino e Paulino (2007), em uma pesquisa feita em escolas
públicas de três cidades do interior da Paraíba, na qual dos 200 alunos que
participaram 90% destes consideraram não ser possível estudar física sem a
matemática. Logo em seguida, os autores concluem:
“Este é outro aspecto importante, devido a consciência dos
alunos referente a uma linguagem que possa auxiliá-los na
compreensão dos fenômenos naturais” (Paulino e Paulino,
2007, p.4)
Além disso, alguns livros didáticos como “Os Fundamentos da Física” dos autores
Ramalho, Nicolau e Toledo e “Física” de Djalma Nunes Paraná, ambos no primeiro
volume, no capítulo introdutório deixam explícito aos estudantes a importância do
conhecimento matemático. A seguir, destacamos alguns trechos dos livros:
“A matemática ajuda muito a Física, simplificando a
compreensão dos fenômenos. Uma fórmula matemática em
um fenômeno físico é uma ajuda para sua compreensão e
nunca deve ser assustadora para você.” (Ramalho, Nicolau,
Toledo; Os fundamentos da Física; 1991; vol.1; 5ª ed;
editora Moderna; p.3)
36
“(...) buscando compreender fenômenos da natureza, o
homem acabou aprendendo que o Universo pode ser regido
por leis físicas, expressadas em linguagem matemática.”
(Paraná, Física; 1994; vol.1; 3ª ed; Editora Ática S.A.; p.33)
“Assim, a instrumentação matemática, necessária para
compreender fenômenos físicos, é uma tarefa fundamental
do estudante.” (Paraná, Física; 1994; vol.1; 3ª ed; Editora
Ática S.A.; p.33)
Podemos encontrar em livros atuais a mesma valorização sobre a importância do
conhecimento matemático do estudo da física, nos capítulos introdutórios.
“A matemática é fundamental para a descrição das leis
físicas, pois suas regras claras e bem definidas tornam-na
uma linguagem universal da Ciência.” (Maurício Pietrocola;
Física em contextos: pessoal, social e histórico; 2010;
vol.1; 1ª ed.; editora FTD S.A; p.54)
Como vimos nos capítulos anteriores deste trabalho e também nos capítulos
introdutórios de alguns livros didáticos, a matemática desempenha um papel
importante na cinemática, tanto para a reprodução da lógica envolvida nos
movimentos por meio de expressões algébricas, quanto para a representação do
mesmo com o uso de gráficos. O livro didático do autor Paraná comenta a respeito
disso no capítulo introdutório.
37
“Os conceitos de função e de gráficos são os primeiros que
o estudante de Física deve aprender, pois esses recursos
são freqüentemente aplicados no estudo de fenômenos
físicos.” (Paraná, Física; 1994; vol.1; 3ª ed; Editora Ática
S.A.; p.33)
Neste trabalho, vamos investigar o aprendizado dos alunos do primeiro ano do
ensino médio quanto ao processo de aplicabilidade da matemática relacionada à
física. Para isso, foi realizada uma pesquisa em forma de questionário entre os
alunos de um dos primeiros anos do ensino médio de uma escola da cidade de
Assis. Ao todo, 10 alunos participaram dessa atividade, a qual ocorreu no mês de
Agosto.
Neste período, as salas de primeiro ano das escolas públicas já estudaram, ou
pelo menos ainda estão estudando, as funções de primeiros e segundo graus na
disciplina de matemática e os movimentos da cinemática, na disciplina de física.
Isso, segundo a matriz curricular do ensino médio regido pela Secretaria do
Estado de São Paulo.
O questionário foi respondido pelos estudantes na biblioteca da escola. Veja as
fotos a seguir.
38
Ilustração 20: Foto dos alunos respondendo o questionário
Neste questionário, havia 9 questões envolvendo assunto de física e matemática.
Ilustração 21: Foto dos alunos respondendo o questionário
39
Essa atividade foi aplicada individualmente em um grupo de 10 alunos voluntários
do primeiro ano de ensino médio.
Foi dito a esses alunos que era uma pesquisa de conhecimento sobre física e
matemática
Os alunos foram alertados para a importância dessa aferição
Feito isso, os estudantes começaram a responder o questionário.
Ilustração 22: Foto dos alunos respondendo o questionário
Essa atividade durou meia-hora
Apresentamos o questionário que foi respondido pelos alunos, no Anexo 1.
40
7. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS QUESTIONÁRIOS APLICADOS
Primeira questão:Você já ouviu falar de funções?
Ilustração 23: Gráfico das respostas obtidas na primeira questão
Na primeira questão, podemos notar que todos os alunos pelo menos ouviram
falar sobre funções.
0 2 4 6 8 10
Não
Sim
Número de respostas
41
Segunda questão: Você já efetuou alguma operação utilizando funções
(valor de raizes, domínio e contradomínio)? Se sim, qual operação foi essa?
Ilustração 24: Gráfico das respostas obtidas na segunda questão
Apesar de todos os alunos já pelo menos ouvirem alguma coisa sobre funções,
quatro deles não efetuaram nenhum tipo de operação envolvendo o conteúdo.
Levando em consideração que durante o primeiro ano do ensino médio os
estudantes aprendem a trabalhar com funções, efetuar cálculos de raizes e
construir seus gráficos, nota-se que apenas 60% dos que participaram do
questionário admitem já ter efetuado alguma operação.
0 2 4 6 8 10
Não
Sim
Número de respostas
42
Se sim, qual operação foi essa?
Ilustração 25: Gráfico das respostas obtidas na segunda questão
Como apenas 60% alunos admitiram ter efetuado alguma operação envolvendo
função, podemos acreditar que as três respostas encontradas nos questionários
foram desses mesmos alunos. Ou seja, metade dos que já efetuaram alguma
operação envolvendo função não respondeu a pergunta, 2 não se lembram e 1
respondeu o seguinte:
Pergunta: Se sim, qual operação foi essa?
Resposta: “raiz quadrada”
Essa resposta foi enquadrada no termo “Respostas adversas incorretas”, pois a
raiz quadrada é uma operação que pode ser efetuada apenas quando
1
2
7
0 2 4 6 8 10
Respostasadversas
incorretas
Não estãolembrados
Nãoresponderam
número de respostas
43
trabalhamos com o cálculo das raizes de equações ax² +bx + c = 0 incompleta,
onde b = 0. Mesmo assim, se essa foi a intenção de resposta do aluno, nota-se,
portanto a falta de habilidade para se expressar corretamente.
Terceira Questão: Você já construiu o gráfico de uma função? Se sim,
comente quais foram as funções?
Ilustração 26: Gráfico das respostas obtidas na terceira questão
O gráfico apresentado nos permite observar que quase todos os alunos não
construíram um gráfico de função. Como todos os estudantes que participaram do
questionário são da mesma sala é curioso o fato de apenas um deles ter
construído o gráfico de uma função. Essa resposta pode nos induzir a algumas
hipóteses como, por exemplo: o aluno que assinalou SIM pode ter buscado outras
informações em livros didáticos da escola ou pode ter realizado atividades que os
1
9
0 2 4 6 8 10
Não
Sim
Número de respostas
44
outros alunos não desenvolveram, uma vez que essas lições poderiam pedir a
construção do gráfico de uma função.
Se sim, comente quais foram as funções?
Ilustração 27: Gráfico das respostas obtidas na terceira questão
O único aluno que respondeu que já construiu o gráfico de uma função respondeu
que “Não se lembra”. Sendo assim, podemos colocar em questão outras hipóteses
como: Esse aluno pode ter se confundido a Construção de Gráficos de Funções
com a de Relações ou até mesmo a de outro conteúdo que ele deve ter estudado,
ou não sabe o que respondeu.
1
9
0 2 4 6 8 10
Não se lembram
Nãoresponderam
Número de respostas
45
Quarta questão: Associe, desta vez, as equações abaixo com os movimentos
que elas representam:
(a) Movimento Retilíneo Uniforme
(b) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
(c) Esta equação não representa um movimento
( ) S = So + Vo.t + (½).a.t²
( ) S = So + V.t
( ) V² = Vo² + 2.a.∆S
( ) V = Vo + a.t
( ) h² = a² + b²
Tabela: Respostas dos alunos referentes à associação
(tipo de movimento)x(equação)
Respostas
Equações M.R.U. M.R.U.V.
Esta equação não representa um movimento
Não responderam
S = So + Vo.t + (½).a.t² 1 5 3 1
S = So + V.t 5 5 0 0
V² = Vo² + 2.a.∆S 2 5 0 3
V = Vo + a.t 7 0 2 1
h² = a² + b² 1 1 7 1
Nesta questão, o aluno deveria responder se as equações eram referentes a um
movimento retilíneo uniforme, uniformemente variado ou não.
Observe a distribuição das respostas nos gráficos.
46
Ilustração 28: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na quarta questão
Pode-se notar que, com relação à equação S = So + Vo.t + (½).a.t², metade dos
alunos responderam que ela corresponde ao movimento retilíneo uniformemente
variado (MRUV), três apontaram essa equação como uma que não representa um
movimento, um aluno não respondeu e um respondeu que a equação representa
um movimento retilíneo uniforme (MRU). Esses dados nos fornecem a informação
de que pelo menos 50% dos alunos sabem identificar que S = So + Vo.t + (½).a.t²
se refere a um MRUV.
Ilustração 29: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na quarta questão
Resposta dos alunos referente ao tipo de movimento que a equação S = So + Vo.t + (½).a.t² representa
10%
30%
10%
50%
M.R.U.
M.R.U.V.
Esta equação nãorepresenta um movimento
Não responderam
Resposta dos alunos referente ao tipo de movimento que a equação S = So + V.t representa
50%50%
M.R.U.
M.R.U.V.
47
A segunda função, S = So + v.t, ocorreram repostas dividas. Metade dos alunos a
apontou como representativa de um MRU e a outra metade como MRUV. Pode-se
perceber que apesar de 50% das respostas estarem incorretas, todos os alunos
pelo menos se aproximaram do acerto, pois nenhum deles respondeu que a
equação não representa um movimento ou deixaram de assinalar a questão.
Ilustração 30: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na quarta questão
Na terceira equação, V² = Vo² + 2.a.∆S, 70% dos alunos responderam. Cinco
assinalaram corretamente e dois incorretamente.
Resposta dos alunos referente ao tipo de movimento que a equação V² = Vo² + 2.a.∆S representa
20%
30%
50%
M.R.U.
M.R.U.V.
Não responderam
48
Ilustração 31: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na quarta questão
Sobre a função, V = Vo + a.t, nenhum aluno apontou ela como representativa de
um MRUV. Entretanto, 70% das respostas a apontam erroneamente como uma
função do MUV.
Ilustração 32: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na quarta questão
Resposta dos alunos referente ao tipo de movimento que a equação V = Vo + a.t representa
70%
20%
10% M.R.U.
Esta equação nãorepresenta ummovimento
Não responderam
Resposta dos alunos referente ao tipo de movimento que a equação h² = a² + b² representa
10%
70%
10%
10%
M.R.U.
M.R.U.V.
Esta equação nãorepresenta um movimento
Não responderam
49
Na última equação, estudada geralmente no 9º ano do ensino fundamental, ou
seja, um conteúdo estudado há pouco tempo pelos alunos do primeiro ano do
ensino médio, pode-se notar que 70% das respostas compreendem a equação
como uma que não representa os movimentos estudados na cinemática do ensino
médio.
Nesta quarta questão pode-se perceber que os alunos conseguem identificar que
as equações que começam com S representam um deslocamento. Observe que,
ao somar as respostas da primeira e da segunda equações, nota-se que 50% das
respostas estão corretas e 30% apontam as equações como representação de um
movimento, mas erram na caracterização do mesmo ao confundir alguns
conceitos como a presença de aceleração em uma das equações, por exemplo.
Somando as respostas das equações de velocidade versus tempo, veremos que
apenas 25% delas estão corretas e 45% as confundem com funções do MRU.
Dessa forma, é possível notar que pelo menos metade dos alunos consegue
associar os movimentos da cinemática com as funções que são utilizadas por ela.
No entanto, é interessante salientar as respostas obtidas na equação V = Vo + a.t,
que apesar de ser uma função do primeiro grau, representa a variação da
velocidade em função do tempo, ou seja, caracteriza um MRUV, conceito o qual
pode não estar muito claro para os alunos uma vez que 70% deles assinalaram
que V = Vo + a.t está associado ao MRU.
50
Quinta questão: Considere a seguinte afirmação: “Um veículo está se
deslocando com velocidade constante”. Que tipo de movimento ele executa?
(a) Movimento Uniformemente Acelerado
(b) Movimento Uniformemente Retardado
(c) Movimento Uniforme
(d) Movimento Circular Acelerado
Ilustração 33: Gráfico das respostas obtidas na quinta questão.
Esta equação visou apenas o conhecimento conceitual dos alunos sobre a
cinemática. Observando o gráfico, nota-se que 50% dos alunos entende o
conceito de que quando um veículo está se deslocando à velocidade constante ele
está reproduzindo um movimento uniforme.
0
5
0
5
0 2 4 6 8 10
Alternativa D
Alternativa C
Alternativa B
Alternativa A
Quantia assinalada
51
Sexta questão: O movimento, seja ele uniforme ou uniformemente variado,
está associado a uma função. Apresentamos alguns gráficos a baixo para
que você os identifique. Relacione, indicando com as letras o(s) gráfico(s) de
movimento.
(a) Movimento Retilíneo Uniforme
(b) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( V x t )
(c) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( S x t )
(d) Movimento Nulo
(e) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( V x s )
Tabela: Número de vezes em que foram assinalados pelos alunos
Gráficos
Tipos de movimento
M.R.U. M.R.U.V. (V x t) M.R.U.V. ( S x t) Movimento nulo M.R.U.V. ( V x S )
f(x) = ax² + bx + c 0 6 0 4 0
f(x) = ax + b 9 0 0 0 1
f(x) = x 1 0 2 4 3
52
Nesta questão, podemos notar se os alunos conseguem associar os gráficos de
funções com o tipo de movimento que ele pode representar. Foi introduzido um
movimento “fictício”, para verificar se os alunos pudessem descriminar um termo
que não é citado na cinemática.
Ilustração 34: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na sexta questão
Observe que o gráfico de parábola foi indicado erroneamente por 60% dos alunos
como um gráfico do movimento uniformemente variado de velocidade versus
tempo, ou seja, percebe-se que houve uma confusão pelos alunos, uma vez que o
gráfico MRUV velocidade versus tempo é uma reta.
O tipo de movimento que "f(x) = ax² + bx + c" representa
60%
40%M.R.U.V. (V x t)
Movimento nulo
53
Ilustração 35: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na sexta questão
O gráfico f(x) = ax + b, apesar de ser uma função que tem uma reta como gráfico,
pode representar um MRU e MRUV. Se observarmos as respostas dos alunos,
veremos que 90% associam as funções cujos gráficos são retas como
representativas de MRU.
O tipo de movimento que xxf =)( representa
Ilustração 36: Gráfico da distribuição das respostas dos alunos na sexta questão
O tipo de movimento que "f(x) = ax + b" representa
90%
10%
M.R.U.
M.R.U.V. ( V x S )
10%
20%
30%
40% M.R.U.
M.R.U.V. (S x t)
Movimento Nulo
M.R.U.V. (V x t)
54
Analisando esse gráfico de pizza, pode-se notar que os alunos não compreendem
muito bem que a função y = x representa um MRUV. Observe que 80%
associaram o gráfico incorretamente, sendo que metade dessa porcentagem o
aponta como o de uma função “fictícia” descrita “como movimento nulo”.
Sétima questão: Considera a seguinte afirmação: “Um veículo está
acelerando”. Que tipo de movimento ele executa?
(a) Movimento Uniformemente Acelerado
(b) Movimento Uniformemente Retardado
(c) Movimento Uniforme
(d) Movimento Circular Acelerado
Ilustração 37: Gráfico das respostas obtidas na sétima questão
5
0
2
3
0 2 4 6 8 10
Alternativa D
Alternativa C
Alternativa B
Alternativa A
Quantia assinalada
55
Nesta questão, a intenção era novamente a de verificar a compreensão dos
estudantes sobre os conceitos da cinemática.
Observando as respostas, nota-se que existem duas possíveis respostas para o
enunciado. Uma delas é a alternativa A, indicada como correta por 30% dos
alunos, e a outra a D, assinalada por 50%. Entretanto é interessante deixar bem
claro que nenhum dos alunos assinalou mais do que uma alternativa, uma vez que
eles podem ter entendido que havia apenas uma verdadeira e optaram pela que
acreditavam estar correta.
Oitava questão: O gráfico (S x t) abaixo representa o deslocamento de um
corpo em um determinado período. Com base nele, complete a tabela:
t S(t) -1 0 1 2 3 4
56
Nesta questão, podemos observar a habilidade dos alunos nas operações que
envolvem gráficos de funções. Em cada linha da tabela, havia uma resposta
diferente, sendo que apenas um valor para f(t) não está evidente no gráfico, que é
o de f(t) = -2, atribuído para a função quando t = -1. Para esta resposta, foi exigida
do aluno a noção de como é a expressão algébrica que define a função do gráfico
acima, ou apenas um pouco de intuição para perceber que os valores de f(t) é
sempre uma unidade a menos que a de t.
Ilustração 38: Gráfico das respostas obtidas na oitava questão
De todas as 60 respostas que os participantes do questionário responderam,
houve apenas 17 acertos totalizando aproximadamente 28% do total.
Com base nos resultados desta questão, pode-se notar que a interpretação das
informações de um gráfico para sua reprodução em uma tabela, deixa a desejar.
17
43
0 10 20 30 40 50 60
Acertos
Erros
Número de questões
57
Nona questão: Utilize a equação (S x t) para completar a tabela:
S(t) = 2 + t + 2.t²
t S(t) 0 1 2 3 4
Nesta última questão, a intenção era de verificar se os alunos conseguem obter
informações da função de MRUV para completar a tabela.
Ilustração 39: Gráfico das respostas obtidas na nona questão
Note que, novamente, foram poucas as respostas corretas, representando 20% do
total. Os erros foram predominantes, totalizando 64%.
8
10
32
0 10 20 30 40 50
Sem resposta
Acertos
Erros
Número de questões
58
Com essas informações, pode-se perceber que existe uma defasagem na leitura
de expressões algébricas.
59
8. CONCLUSÃO
A nossa pesquisa revelou que a falta do domínio dos conceitos de funções
elementares, em específicas as de 1º e 2º graus, influenciam negativamente na
aprendizagem da física, principalmente na mecânica quando iniciamos o estudo
dos movimentos dos corpos.
Alguns estudos feitos sobre o assunto, como o de Paulino e Paulino (2007) que
discute alguns resultados obtidos através de uma pesquisa feita com 200 alunos
de escolas públicas de três cidades do interior da Paraíba, discutem a importância
da matemática para o ensino de física.
“(...) o ensino de física e de matemática não pode acontecer
de forma isolada e sem oportunidade dos alunos refletirem
sobre a veracidade do conhecimento que está sendo
ministrado. Quando é feito uma contextualização com outras
ciências abre-se os horizontes dos alunos para que eles
possam refletir sobre a legitimidade do conhecimento e
como este conhecimento será útil para outros momentos de
suas vidas” (Paulino e Paulino, 2007, p.8).
Logo após esta observação, com base nos dados obtidos na pesquisas
realizadas, os autores concluem:
“A falta do conhecimento de matemática, (que é uma das
grandes ferramentas para se entender a natureza) em
muitas ocasiões, é o principal obstáculo para aquisição dos
conceitos de física.”
“O interessante destacar é que os alunos entrevistados
consideram a física um campo de estudo muito interessante
60
e reconhecem a importância do conhecimento matemático
para entenderem física” (Paulino e Paulino, 2007, p.8).
“O que fica bem evidente com esta pesquisa e,
consequentemente, fortalece a linha de pesquisa que
defende a matemática como ferramenta indispensável para
construção do conhecimento científico sólido é que se estes
alunos tivessem desenvolvido um background maior dos
conteúdos de matemática estudados no ensino fundamental
e médio certamente suas opiniões sobre as ciências físicas
seriam diferentes.” (Paulino e Paulino; 2007, p.8).
O trabalho citado à cima ressalta a importância do conhecimento sobre
matemática para o processo de ensino e de aprendizagem em física. Além disso,
os livros didáticos que foram consultados, da disciplina de física, apontam também
a matemática como uma ferramenta importante para o estudo da mecânica.
Vamos agora ressaltar alguns dados do questionário aplicado nos alunos do
primeiro ano do ensino médio.
Podemos notar, com base na análise dos resultados do questionário que parte dos
alunos entende que existe uma relação de interdisciplinaridade entre as disciplinas
de matemática e física. Por exemplo, na quarta questão (página 45), 50% dos
estudantes apontaram a equação do segundo grau S = So + Vo.t + (½).a.t², como
representante de um movimento Uniformemente Variado (veja a ilustração 28,
página 46), ou seja, metade deles consegue identificar um movimento através de
sua representação algébrica.
Apesar disso, existe uma confusão por parte dos mesmos alunos com relação à
função de primeiro grau e os movimentos que ela pode representar. Podemos
notar que metade, apontou S = So + v.t, como uma representação de um
Movimento Uniforme, enquanto a outra parte interpreta a equação como um
Movimento Uniformemente Variado (veja a ilustração 29, página 46).
61
Sobre a função V = Vo + a.t, 70% dos alunos a apontaram como representativa de
um MRU, fato o qual deixa bem clara essa confusão desses estudantes com
relação à interdisciplinaridade entre física e matemática, neste caso (veja a
ilustração 30, página 47).
Além disso, a análise do questionário também mostra a realidade sobre o
conhecimento que os alunos possuem sobre as disciplinas de física e matemática.
Note que na quinta questão mostra que 50% dos alunos entendem o conceito
básico de MRU (veja a ilustração 33, página 50).
Observando a sétima questão, nota-se que apenas 30% entendem a parte
conceitual de MUV (veja a ilustração 37, página 54). A oitava e a nona questão
mostram, com o número de erros dos alunos, que eles têm dificuldade com as
operações envolvendo funções, apesar 60% deles já terem ouvido falar a respeito.
Ou seja, os alunos do primeiro ano do ensino médio possuem um quanto ao
conceito de funções e também confundem os conceitos dos movimentos da
cinemática.
Portanto, a abordagem da física do ponto vista só da matemática parece ser
pouco proveitoso nessa fase de aprendizagem, pois os alunos que têm dificuldade
na disciplina de matemática consequentemente não vão apresentar bons
resultados no estudo de física. Vejamos as considerações de Dantas e Nobre
(2006) sobre o assunto.
“A física é vista pelos alunos do ensino médio como matéria
que apresenta um grau de dificuldade elevado (...)”
“Percebemos que o ensino de física é tratado no ensino
médio sem vínculo com a realidade dos alunos, apenas o
que vale é decorar fórmulas e mais fórmulas e reproduzi-las
nas provas e depois esquecê-las, tornando o estudo
enfadonho” (Dantas e Nobre, 2006, p.1)
62
“Geralmente a grande rejeição por parte dos alunos é devido
ao caráter matemático de como vem sendo trabalho a física
do ensino médio.” (Dantas e Nobre, 2006, p.9)
Ao que parece, com base na análise dos questionários, poucos alunos conseguem
aplicar efetivamente os conhecimentos de matemática nas teorias de física, no
que diz respeito à metodologia proposta pelos livros didáticos. Vejamos as
considerações de Ricardo e Freire (2006)
“(...) não é de se estranhar a dificuldade dos alunos em
diferenciar a física da matemática. (...) uma das causas pode
ser a forma como os livros didáticos costumam a apresentar
a física, excessivamente presa à aplicação de fórmulas. Os
próprios PCN+ destacam esse problema ao ressaltarem que
a formalização matemática carece de uma compreensão
fenomenológica e qualitativa.” (Ricardo e Freire, 2006,
p.264)
Sendo assim, portanto, pode-se perceber que os conhecimentos de matemática
auxiliam no processo de ensino e de aprendizagem em física. No entanto, afim de
democratizar o ensino e tornar o aprendizado de física acessível a todos os
alunos, inclusive daqueles que apresentam dificuldades na disciplina de
matemática, é interessante que o professor busque alternativas e recursos para
priorizar a consolidação dos conceitos de cinemática.
A física ensinada do ponto de vista só matemático, não tem contribuído para o
aprendizado eficiente dessa disciplina. Por outro lado a matemática, da forma
como é ensinada, com poucas aplicabilidades, tem deixado a desejar quanto ao
seu contexto cotidiano.
63
Vimos em nossa pesquisa, que essa interação interdisciplinar seria de grande
valia para o processo de ensino e de aprendizagem dessas disciplinas
consideradas difíceis pelos alunos, uma vez que elas se completam formando um
elo comum que pode ser utilizado de forma a orientar o aluno no entendimento
dos conceitos matemáticos aplicados à física e de forma inversa, a matemática
pode se apoiar em alguns conceitos da física para reforçar a utilidade de seu
raciocínio e mostrar a aplicabilidade de sua lógica.
O aprendizado das funções, principalmente as de 1º e 2º graus e o destaque de
suas aplicações em vários segmentos sociais e também na física, é importante,
uma vez que o cotidiano do aluno está repleto de fenômenos e objetos que
envolvem retas e parábolas, além de movimentos relacionados com tais objetos.
64
9. ANEXO 1:
QUESTIONÁRIO ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ (1) Você já ouviu falar de funções? ( ) Sim ( ) Não (2) Você já efetuou alguma operação utilizando funções (valor de raizes, domínio e contradomínio) ? ( ) Sim ( ) Não Se sim, qual operação foi essa? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________ (3) Você já construiu o gráfico de alguma função? ( ) Sim ( ) Não Se sim, comente quais foram as funções: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ (4) Associe, desta vez, as equações abaixo com os movimentos que elas representam: (a) Movimento Retilíneo Uniforme (b) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (c) Esta equação não representa um movimento ( ) S = So + Vo.t + (½).a.t² ( ) S = So + V.t ( ) V² = Vo² + 2.a.∆S ( ) V = Vo + a.t ( ) h² = a² + b²
65
(5) Considera a seguinte afirmação: “Um veículo está se deslocando com velocidade constante”. Que tipo de movimento ele executa? (a) Movimento Uniformemente Acelerado (b) Movimento Uniformemente Retardado (c) Movimento Uniforme (d) Movimento Circular Acelerado (6) O movimento, seja ele uniforme ou uniformemente variado, está associado a uma função. Apresentamos alguns gráficos a baixo para que você os identifique. Relacione indicando com uma reta o(s) gráfico(s) de movimento. (a) Movimento Retilíneo Uniforme (b) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( V x t ) (c) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( S x t ) (d) Movimento Nulo (e) Movimento Retilíneo Uniformemente Variado ( V x s ) ( ) ( ) ( )
(7) Considera a seguinte afirmação: “Um veículo está acelerando”. Que tipo de movimento ele executa? (a) Movimento Uniformemente Acelerado (b) Movimento Uniformemente Retardado (c) Movimento Uniforme (d) Movimento Circular Acelerado
(8) O gráfico (S x t) abaixo representa o deslocamento de um corpo em um determinado período. Com base nele, complete a tabela;
(9) Utilize a equação (S x t) para completar a tabela:
S(t) = 2 + t + 2.t²
t S(t) 0 1 2 3 4
T S(t) -1 0 1 2 3 4
67
10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTAS, CLÁUDIO REJANE DA SILVA. NOBRE, FRANCISCO AUGUSTO
SILVA. Uma sequência lógica e conceitual do ensino de mecânica. (2006)
E. C. RICARDO; FREIRE, JANAÍNA C. A. A concepção dos alunos sobre a
física do ensino médio: um estudo exploratório. Revista Brasileira de Ensino
de Física, v.29, n.2, p. 251-266, (2007).
GLEISER, MARCELO. Porque ensinar física. Revista: Física na escola – 1ª
edição – página 4, (2000)
IEZZI, GELSON. Fundamentos de matemática elementar, 1: Conjuntos e
funções. Gelson Iezzi, Carlos Murakami - 8ª edição – São Paulo: Atual, 2004.
LUZ, ANTÔNIO MÁXIMO RIBEIRO DE. Física: volume 1 / Antônio Máximo
Ribeiro da Silva, Beatriz Alvarenga Álvares. – São Paulo : Scipione, 2005.
PARANÁ, DJALMA NUNES. Física. – volume 1 - Mecânica – Editora Ática, 1994.
68
PAULINO, ANA ROBERTA. PAULINO, IGO. FELIX, PATRICIO. A falta do
conhecimento de matemática atrapalha o aprendizado de física de alunos de
ensino médio?. (2007)
PEDUZZI, LUIZ. Sobre a resolução de problemas no ensino da física.
Departamento de Física / Centro de Ciências Físicas Naturais / Centro de Ciências
da Educação. Universidade Federal de Santa Catarina.
PIETROCOLA, MAURÍCIO. Física em contextos: pessoal, social e histórico:
moviementos, força e astronomia. – 1ª edição – São Paulo: FTD, 2010 –
(coleção física em contextos: pessoal, social, histórico; v.1)
RAMALHO JÚNIOR, FRANCISCO. Os fundamentos da física / Francisco
Ramalho Júnior, Nicolau Gilberto Ferraro, Paulo Antônio de Toledo Soares. – 5ª
edição – São Paulo: Moderna, 1991.