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Fachhochschule JenaUniversity of Applied Sciences Jena

SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Stet. Vert. 1

Wiederholung Analysis

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

sei Stammfunktion zu F x f x

f x dx F x F x f x

→

′= ⇔ =∫Bestimmtes Integral

( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a= −∫a b

f(x)

A=F(b)-F(a)

( ) 0 ( ) ( ) ist monoton wachsendx

f t F x f t dt−∞

≥ ⇒ = ∫

( ) ( ) lim ( ), falls der Grenzwert existiertx

af t dt F x F a

→−∞−∞

= −∫

Uneigentliche Integrale

( ) lim ( ) ( ), falls der Grenzwert existiertb

x

f t dt F b F x∞

→∞= −∫



Stetige Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße heißt stetig, wenn sie alle Werte eines Intervalls annehmen kann.

Stetige Zufallsgrößen beschreiben zum Beispiel: • Lebensdauer eines Bauelements • Wartezeiten auf eine Bedienung • Fehler bei Längenmessungen

Problem Ist X eine stetige Zufallsgröße, so gilt P(X = x) = 0 für jedes x, d.h. jeder Wert wird mit der Wahrscheinlichkeit 0 angenommen.

Eine stetige Verteilung ist also nicht über Punktwahrscheinlichkeiten P(X = x) beschreibbar. Ausweg Anstelle von P(X = x) werden alle Intervallwahrscheinlichkeiten P(X ≤ x) für die Charakterisierung der Verteilung betrachtet. Dadurch entsteht eine Verteilungsfunktion.



Verteilungsfunktion

Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X:

( ) ( ),F x P X x x= ≤ ∈

0 ( ) 1( )

lim ( ) 0

lim ( ) 1

1. 2. ist monoton wachsend3.

4. x

x

F xF x

F x

F x→−∞

→+∞

≤ ≤

=

=

Eigenschaften der Verteilungsfunktion

0 0( ) ( )F x P X x= ≤

Interpretation F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X Werte im Intervall (-∞, x] annimmt.



Intervallwahrscheinlichkeiten

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 ( )

1. 2. 3.

P X b F bP a X b F b F aP a X F a

≤ =< ≤ = −< = −

Da bei stetigen Zufallsgrößen die Punktwahrscheinlichkeiten P(X = x) gleich Null sind, sind ‚<´ und ‚≤‘ bei der Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeiten beliebig austauschbar.

Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten

( ) ( ) ( )P a X b F b F a< ≤ = −



Stetige Zufallsgrößen

Die Intervallwahrscheinlichkeiten sind umso größer, je steiler der Anstieg von F(x) ist.

( )

( ) ( )

Das Anstiegsverhalten von wird über die erste Ableitung beschrieben:

F x

F x f x′ =

a‘ b‘

F(b‘)-F(a‘)

In Intervallen mit großen Werten steilem Anstieg von F(x), d.h. großen Werten von liegt X mit hoher Wahrscheinlichkeit, daher bezeichnet man als Dichte.

( ) ( )F x f x′ =( )f x



Dichte einer stetigen Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion F

Dichte

( ) 0

( ) ( ) ( ) 1

0

4.'

1.

2.

3. In Intervallen mit Dichte liegen (quasi) keine Realisierungen von

In Intervallen mit hoher Dichte liegenviele' Werte der Zufallsgröße

( liegt do

f x

f x dx F F

X

X

+∞

−∞

≥

= ∞ − −∞ =

=∫

rt mit hoher Wahrscheinlichkeit)

Berechnung der Verteilungsfunktion aus der Dichte

( ) ( )x

F x f t dt−∞

= ∫

( ) ( )F x f x′ =( )f x

Eigenschaften der Dichte

5.1



Dichte

( , 0)Dichte ist Grenzfall des Histogramms Klassenbreiten →∞ →

-3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00

r400

10

20

30

40

50

Cou

nt

-2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00

r200

0

10

20

30

Cou

nt

-2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00

r100

0

5

10

15

Cou

nt

Histogramme von 100, 200 bzw. 400 (normalverteilten) Zufallszahlen mit steigender Klassenanzahl bei fallender Klassenbreite und Dichte der Verteilung



Dichte

Da bei stetigen Zufallsgrößen die Punktwahrscheinlichkeiten P(X = x) alle gleich Null sind, sind ‚<´ und ‚≤‘ bei der Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeiten beliebig austauschbar.

Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten mit der Dichte

( ) ( )a

P X a f x dx−∞

≤ = ∫

a

( )P X a≤

a b

( )P a X b< ≤

( ) ( )b

aP a X b f x dx< ≤ = ∫

( ) ( )b

P X b f x dx∞

> = ∫

b

( )P X b>



Kenngrößen stetiger Verteilungen

X sei eine stetige Zufallsgröße mit der Dichte f(x):

Erwartungswert E ( )X x f x dx= ⋅∫

Varianz 2

2 2

Var ( E ) ( )

( ) (E )

X x X f x dx

x f x dx X

= −

= −

∫∫

Standardabweichung (Streuung)

Vars X= +

Variationskoeffizient (nur bei X >= 0) svEX

=




Formeln bei stetigen und diskreten Zufallsgrößen sind analog • Dichte f(x) entspricht der Wahrscheinlichkeitsfunktion pk=P(X=xk) • Integral entspricht dem Summenzeichen

stetige Zufallsgröße

Erwartungswert E ( )X x f x dx= ⋅∫

Varianz 2Var ( E ) ( )X x X f x dx= −∫

( )k kk

EX x P X x= =∑

2Var ( ) ( )k kk

X x EX P X x= − =∑

diskrete Zufallsgröße

Vergleich der Formelstrukturen




α uα

uα heißt α - Quantil der Verteilung von X, wenn ( ) , 0 1P X uα< = α < α <

( ) ( )u

P X u f x dxα

α −∞< = α ⇔ = α∫

Zusammenhang zu Dichte Zusammenhang zu Verteilungsfunktion

( ) ( )P X u F uα αα = < =

α uα

Folgerungen

links von uα liegen α · 100% der Werte von X Ist die Verteilungsfunktion streng monoton, existiert ihre Umkehrfunktion, und es gilt: 1( )u F −

α = α



Spezielle stetige Verteilungen

Wichtige Verteilungen für Modellierung (Auswahl):

Gleichverteilung Gl[a,b] Weibullverteilung W2(b,T)

Exponentialverteilung exp(λ) Erlangverteilung Erlang(λ,n)

Normalverteilung N(µ, σ2) Gammaverteilung Γ 2(a,n)

2χ

Wichtige Testverteilungen in schließender Statistik:

T – Verteilung tn

- Verteilung χ2n

F – Verteilung Fm,n



Spezielle stetige Verteilungen

Gleichverteilung auf Intervall

[ ],a b

Dichte [ ]1 ,( )0 sonst

x a bf x b a ∈= −

0

( )

1

x ax aF x a x bb a

x b

≤ −

= < ≤ −>

Erwartungswert Varianz 2

a bEX +=

2( )12

b aVarX −=

Modell

Außerhalb des Intervalls liegen keine Werte von X. Die Wahrscheinlichkeit, dass X Werte in einem Teilintervall von annimmt, ist nur abhängig von der Intervalllänge, aber nicht von der Lage des Teilintervalls. Bezeichnung: X ~ Gl[a,b]

[ ],a b[ ],a b

a b

a b

5.2

Verteilungsfunktion



Normalverteilung

Normalverteilung N(µ, σ2)

Anwendungen

1. Verteilung zufälliger Messfehler

2. Verteilung der Summe von vielen unabhängigen Zufallsgrößen

3. Verteilung des Mittelwertes von unabhängigen Zufallsgrößen

⇒ Bedeutung in der Statistik 1

1 30 für in guter Näherungn

ii

X X nn =

= ≥∑

Normalverteilung ist am besten untersuchte stetige Verteilung in Statistik!



Normalverteilung N(µ, σ2) ( )2

222

1( )2

Gaußsche Glockenkurve x

f x e−µ

−σ=

πσDichte :

2, 0Parameter µ∈ σ >

Kurvendiskussion:

- Maximum in μ

- symmetrisch zu μ

- Wendepunkte in μ ± σ

µ −σ µ µ + σ

Normalverteilung



Normalverteilung N(µ, σ2)

Form der Dichte in Abhängigkeit von den Parametern

1. Die Werte der Zufallsgröße X sind um μ konzentriert 2. Je größer der Abstand von μ, desto seltener liegen die Werte 3. Je kleiner σ , desto enger ist die Kurve

Bedeutung der Parameter

Erwartungswert: E X = μ Varianz: Var X = σ²

Normalverteilung

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

N(0,1)N(0,4)N(1,1)



( )222

) 2

1( )2

2( ,Verteilungsfunktion

tx

x e dt−µ

−σ

µ σ−∞

φ =πσ

∫

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ‚zu Fuß’ nicht möglich Es gibt keine Stammfunktion für das Integral, nur tabellierte Werte.

2

2( )

22

1( )2

xb

aP a X b e dx

−µσ< ≤ =

πσ∫

Tabellen existieren nur für den Spezialfall der Standardnormalverteilung, für Parameter ist Transformation erforderlich. 20, 1µ ≠ σ ≠

Spezialfall Standardnormalverteilung 0 1) ( ) ( )( , x xφ = φ

20, 1µ = σ =

Normalverteilung



Transformation in Standardnormalverteilung

Da die Standardnormalverteilung symmetrisch zu Null ist, existieren Tabellen nur für x ≥ 0. Für x < 0 erfolgt eine Umrechnung nach folgender Beziehung:

( ) 1 ( )x xΦ − = −Φ

X sei eine normalverteilte Zufallsgröße, X ~ N(μ, σ2), dann gilt:

(0,1)XZ N−µ=

σ

Beispiel X~ N(2, 9), dann ist μ = 2, σ = 3

(2,9) (0,1)1 2(1)

3− Φ = Φ

(0,1)13

= Φ −

( )(0,1)1 0.33= −Φ 1 0.6293 0.3707= − =

Normalverteilung



0.6293=( )(0,1) 0.33Φ

0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00 ,5000 ,5040 ,5080 ,5120 ,5160 ,5199 ,5239 ,5279 ,5319 ,5359

0,10 ,5398 ,5438 ,5478 ,5517 ,5557 ,5596 ,5636 ,5675 ,5714 ,5753

0,20 ,5793 ,5832 ,5871 ,5910 ,5948 ,5987 ,6026 ,6064 ,6103 ,6141

0,30 ,6179 ,6217 ,6255 ,6293 ,6331 ,6368 ,6406 ,6443 ,6480 ,6517

0,40 ,6554 ,6591 ,6628 ,6664 ,6700 ,6736 ,6772 ,6808 ,6844 ,6879

0,50 ,6915 ,6950 ,6985 ,7019 ,7054 ,7088 ,7123 ,7157 ,7190 ,7224

0,60 ,7257 ,7291 ,7324 ,7357 ,7389 ,7422 ,7454 ,7486 ,7517 ,7549

0,70 ,7580 ,7611 ,7642 ,7673 ,7704 ,7734 ,7764 ,7794 ,7823 ,7852

0,80 ,7881 ,7910 ,7939 ,7967 ,7995 ,8023 ,8051 ,8078 ,8106 ,8133

0,30

0,03

,6293

Standardnormalverteilung: Tabellierte Verteilungsfunktion

Auf den Rändern steht das Argument mit maximal 2 Dezimalstellen, im Inneren der entsprechende Funktionswert.

Ablesebeispiel

Normalverteilung



Berechnung von Intervallwahrscheinlichkeiten für

( )

( ) 1

( )

b aP a X b

aP a X

bP X b

−µ −µ < ≤ = Φ −Φ σ σ −µ < = −Φ σ

−µ ≤ = Φ σ

5.3

Normalverteilung

2~ ( , )X N µ σ

k- σ- Regel für normalverteilte Zufallsgrößen

( ) 0.6826( 2 2 ) 0.9544( 3 3 ) 0.9973

P XP XP X

µ −σ < < µ + σ =µ − σ < < µ + σ =µ − σ < < µ + σ =

1,2,3k =für



Additionssatz

Additionssatz für unabhängige, normalverteilte Zufallsgrößen

( ) ( )( )

2 21 1 2 2

2 21 2 1 2

~ , , ~ , ,

~ , .

Sei dann ist normalverteilt,

und es gilt

X N Y N X Y

X Y N

µ σ µ σ +

+ µ +µ σ + σ

Folgerung

seien unabhängig, identisch verteilt nach

Dann gilt 1,..., nX X 2( , )N µ σ

2

1

1 ~ ( , / )n

ii

X X N nn =

= µ σ∑ 5.4

Die Verteilung der Summe von Zufallsgrößen nennt man Faltung. Eine explizite Berechnung von Faltungen ist oft elementar schwierig. Der Additionssatz besagt, dass eine Faltung von unabhängigen Normalverteilungen wieder eine NV ergibt.



Die Symmetrie der Dichte bewirkt folgende Symmetrie der Quantile

1z zα −α= −

Die Quantile der Normalverteilung erhält man aus der Verteilungstabelle, indem man α im Inneren der Tabelle als Funktionswert sucht. Das dazugehörige Argument auf dem Rand ist dann das Quantil der Ordnung α.

zα 1z −α

αα

Spezielle Quantile

0.95

0.975

0.99

1.641.962.33

zzz

===

Quantile der Standardnormalverteilung



Exponentialverteilung

Exponentialverteilung mit Parameter λ Modell

Lebensdauerverteilung mit ‚Nichtalterungseigenschaft‘ 1/λ ist das mittlere Alter einer so verteilten Größe, λ > 0 Bezeichnung: X ~ Exp(λ)

Erwartungswert Varianz 1EX =λ 2

1VarX =λ

0 0( )0x

xf xe x−λ

≤= λ >

0 0( )1 0x

xF xe x−λ

≤= − >

Dichte

1000 2000 3000 4000 5000

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

yF(x)

5.5

Verteilungsfunktion




Nichtalterungseigenschaft der Exponentialverteilung

( / ) ( ) 0, 0 für alle P X t h X t P X h t h≥ + ≥ = ≥ ≥ ≥

Interpretation Fällt ein Teil mit exponentiell verteilter Lebensdauer im Intervall (0,t) nicht aus, dann ist Wahrscheinlichkeit, noch länger als h Zeiteinheiten zu leben so groß wie die Wahrscheinlichkeit, als neues Teil (startend in 0) länger als h zu leben.

Satz Das Minimum ist exponentialverteilt mit dem Parameter

Seien unabhängige, exponentialverteilte Zufallsgrößen mit den Parametern

Verteilung des Minimums von Exponentialverteilungen

1 2, ,..., nX X X1,..., nλ λ

1 2min( , ,..., )nX X X1

n

kk=λ∑

5.6



Die Summe heißt erlangverteilt der Ordnung n mit Parameter X ~ Erl(n,λ) (Faltung n unabhängiger exponentialverteilter ZG mit gleichem λ)

Seien unabhängige, exponentialverteilte Zufallsgrößen mit dem gleichen Parameter

Erlangverteilung

Modell Verteilung der Summe von Exponentialverteilungen

Erwartungswert

1 2, ,..., nX X X

nEX =λ

2nVarX =λ

λ

1 2 ... nX X X X= + + + λ

1

0

( )( )!

kn

k

xF x ek

−−λ

=

λ= ∑

Varianz

Verteilungsfunktion

Dichte 1( )( )

( 1)!

nxxf x e

n

−−λλ

= λ−


Ausfallrate gibt an, mit welcher Chance ein Element im nächsten (beliebig kleinen) Zeitraum ausfallen wird, wenn es bis zum Zeitpunkt t überlebt hat.



Anwendung in der Zuverlässigkeitstheorie T sei die zufällige Lebensdauer eines Bauelements, dann ist ihre Verteilung die Ausfallwahrscheinlichkeit

( ) ( ), 0P T t F t t< = >

R sei die (zufällige) Überlebensfunktion/Zuverlässigkeitsfunktion des Bauelements, ( ) ( ) 1 ( ), 0R t P T t F t t= ≥ = − ≥

Mittlere Lebensdauer

0

( )ET t f t dt∞

= ⋅∫0

( ) ,es gilt falls ET R t dt ET∞

= < ∞∫

Ausfallrate (Hazardfunktion) ( ) ( ) / ( )h t f t R t= 0

( )

( )es gilt

t

h x dx

R t e−∫

=

5.7



Weibullverteilung

Weibullverteilung mit den Parametern b und T

Dichte

( ) 1 , 0bx

TF x e x − = − ≥

Modell Lebensdauerverteilung mit zeitabhängiger Ausfallrate (Alterung modellierbar) Bezeichnung: X ~ Wei(b,T), b > 0, T > 0

1

( )bxb

Tb xf x eT T

− − =

Verteilungsfunktion

Bedeutung der Parameter T > 0: charakteristische Lebensdauer, das entspricht der Zeit, in der 63.2% aller Objekte ausgefallen sind b > 0: Ausfallsteilheit, in der Praxis meist 0.25 < b < 5 ab b = 3.5 Ähnlichkeit mit NV b = 1: Exponentialverteilung mit λ=1/T

Dichten für verschiedene b



Alternative Darstellung mit

Weibullverteilung

Erwartungswert

( ) 1 , 0xF x e xβ−α= − ≥

1( ) xf x x eββ− −α= αβ

Varianz

1bT

β β = α =

und

1 1EX Tb

= Γ +

22 2 11 1VarX T

b b = Γ + − Γ +

wobei die Gamma-Funktion definiert ist durch 1

0

( ) ya e y dy∞

− α−Γ = ∫

1/ 1 1EX − β = α Γ + β

22/ 2 11 1VarX − β

= α Γ + − Γ + β β

( ) 1 , 0bx

TF x e x − = − ≥Verteilungsfunktion

Dichte 1

( )bxb

Tb xf x eT T

− − =

Ausfallrate 11( )b

bx b xT

− λ = ⋅

1( )x xβ−λ = αβ ⋅



Die Gamma-Funktion ist eine ‚Fortsetzung‘ von auf die reellen Zahlen mit Ausnahme der negativen ganzen Zahlen und Null durch

Gamma-Funktion

5.8

1

0

( ) ya e y dy∞

− α−Γ = ∫

Eigenschaften der Gamma-Funktion (1) 1Γ =

( ) ( 1) ( 1)Γ α = α − Γ α −( ) ( 1)!n nΓ = −

1 1 3 5 ... (2 1)2 2n

nn ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − Γ + = π

( ) ( 1)!f n n= −

Spezielle Funktionswerte erhält man aus folgenden Eigenschaften:

(1/ 2)Γ = π

Bsp. (3 / 2) (1 1/ 2)2π

Γ =Γ + =

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

x

y

weitere Funktionswerte sind tabelliert bzw. mit MATLAB berechenbar



Weibullverteilung

Anwendung:

Modellierung der Ausfallwahrscheinlichkeit/Lebensdauer von Systemen bei nicht konstanter Ausfallrate

Ausfallwahrscheinlichkeit: ( ) ( ) 1bt

TW X t F t e − ≤ = = −

Zuverlässigkeit: ( ) 1 ( )bt

TR t F t e − = − =

Ausfallrate: 1( )( )

( )

bf t b th tR t T T

− = =

Ausfallrate gibt an, mit welcher Chance ein Element im nächsten (beliebig kleinen) Zeitraum ausfallen wird, wenn es bis zum Zeitpunkt t überlebt hat.

b > 1: Ausfallrate steigt mit t (Verschleißausfälle)

b < 1: Ausfallrate ist monoton fallend (Frühausfälle, dann Stabilität)

b = 1: konstante Ausfallrate (Exponentialverteilung)

( )tλ

( )tλ1( )tT

λ =



Stetige Verteilung

Die Werte ihrer Quantile sind für verschiedene Freiheitsgrade und Quantilordnungen α tabelliert. Für ein Quantil der Ordnung α jeder der Verteilungsfunktionen F gilt

Viele Computerprogramme enthalten die Werte der inversen Verteilungsfunktionen.

au1( ) ( )a aF u u F −= α ↔ = α

Wichtige Verteilungen der schließenden Statistik

- Verteilung mit n Freiheitsgraden: 2χ

t - Verteilung mit n Freiheitsgraden:

F – Verteilung mit (n, m) Freiheitsgraden:

Standardnormalverteilung

Die Freiheitsgrade berechnet man aus dem jeweiligen Stichprobenumfang.



Stetige Verteilung

- Verteilung mit n Freiheitsgraden: 2χ 2 2 21 ...~ (0,1),

mit unabhängig

n n

i

Z ZZ N

χ = + +

Die -Verteilungen sind nicht symmetrisch!

Daher hat man auch keine Symmetrie in den Quantilen, können nicht ineinander umgerechnet werden.

2χ

2 2, ,1 und n nα −αχ χ

Ab n > 30 können die Quantile mit denen der NV genähert werden,

2 2,

1 ( 2 1)2n z nα αχ ≈ + −



Stetige Verteilung

2

2

/ /~ (0,1),mit

chi-quadrat-verteilt mit FG, unabh. von

n n

n

T Z nZ N

n Z

= χ

χ

t - Verteilung mit n Freiheitsgraden:

Mit wachsendem n nähert sich die t-Verteilung der NV, ab n = 30 kann sie durch die der NV in guter Näherung ersetzt werden.

Die t-Verteilung besitzt die gleiche Symmetrieeigenschaft wie die NV, folglich ist 1 at t−α = −



Stetige Verteilung

2 2,

2 2

( / ) /( / )

,mit chi-quadrat-verteiltmit bzw. Freiheitsgraden,unabhängig

n m n m

n m

F n m

n m

= χ χ

χ χ

F – Verteilung mit (n, m) FG:

Für die Quantile gilt folgende Beziehung

. ., ,1

1m n a

n m

ff −α

=


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Grenzwertsätze

Spezialfall: Grenzwertsatz von Moivre-Laplace

Damit lässt sich die Binomialverteilung Bin(n,p) durch eine Normalverteilung mit

approximieren. Es gilt für X ~ Bin(n,p) 2, (1 )np np pµ = σ = −

( )(1 )

x npP X xnp p

−≤ ≈ Φ

−

Approximation mit Stetigkeitskorrektur 0.5 0.5( )(1 ) (1 )

x np x npP X xnp p np p

+ − − −= ≈ Φ −Φ

− − 5.9,

~ ( , ) ,(1 )n

X npX n p Znp p

−=

−Sei Bin dann nähert sich die Verteilung von für

9 0.5 5(1 )

n p n pp p

> ≈ ⋅ >−

(Faustregel: , bei auch )

n →∞ der Standardnormalverteilung.



Grenzwertsätze

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Sei eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen mit

Tschebyscheffsche Ungleichung

2( ) , 0VarYP Y EY− ≥ ε ≤ ε >ε

Folgerung 2

21 8( 3 ) , ( 3 )

9 9 9folglich P Y EY P Y EYσ

− ≥ σ ≤ = − < σ ≥σ

1,2,...( )n nX =

2,n nEX VarX= µ = σ

Dann gilt für alle 0ε >

1

1lim 0N

N nn

P XN→∞

=

−µ ≥ ε =

∑



Grenzwertsätze

Konvergenz der relativen Häufigkeiten eines Ereignisses gegen seine Wahrscheinlichkeit Serie von N unabhängigen, zufälligen Versuchen zur Beobachtung des Ereignisses A

Folgerung

( )1

1lim lim ( ) 0N

N n N Nn

P X P f A pN→∞ →∞

=

−µ ≥ ε = − ≥ ε =

∑

1 falls A im -ten Versuch eintritt0 sonstn

nX

=

Dann ist ( 1) , ( 0) 1 ,n n nP X p P X p EX p= = = = − =

Nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen gilt für die relative Häufigkeit

1

1( )N

N nn

f A XN =

= ∑



Vektoren stetiger Zufallsgrößen

X = [X1, X2 ] sei Vektor stetiger Zufallsgröße über der gleichen Grundmenge Ω

Gemeinsame Verteilungsfunktion 1 2 1 1 2 2 1 2( , ) ( ), ,XF x x P X x X x x x= ≤ ∩ ≤ ∈

Randverteilungen der Komponenten

1 2 2 12 1( ) lim ( , ), ( ) lim ( , )X x X X x XF x F x x F x F x x→∞ →∞= =

Die Komponenten X1, X2 sind unabhängig, wenn

1 21 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ), ,X X XF x x F x F x x x= ⋅ ∈

Der Vektor heißt stetig verteilt mit der gemeinsamen Dichte , wenn 1 2( , )Xf x x1 2

1 2 1 2 2 1( , ) ( , )x x

X XF x x f d d−∞ −∞

= ξ ξ ξ ξ∫ ∫Bei Unabhängigkeit ist diese Dichte gleich dem Produkt der Randdichten

1 21 2 1 2( , ) ( ) ( )X X Xf x x f x f x= ⋅

'( ) ( )i iX Xf x F x=



Vektoren stetiger Zufallsgrößen

X1, X2 seien stetige Zufallsgröße mit der gemeinsamen Dichte fX Kovarianz

1 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 2 2 1

( , ) ( )( )

( )( ) ( , )X

Cov X X E X EX X EX

x EX x EX f x x dx dx∞ ∞

−∞ −∞

= − −

= − −∫ ∫Korrelation

1 2

1 2

( , )Cov X XVarX VarX

ρ =⋅

Mit -1 ≤ ρ ≤ 1 ist die Korrelation ein Maß für die lineare Abhängigkeit, wobei ρ = 0 für lineare Unabhängigkeit steht.

Faltung von X1, X2 : Verteilung der Summe Z = X1 + X2 Dichte der Faltung bei zusätzlicher Voraussetzung der Unabhängigkeit von X1, X2

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )Z X X X Xf z f z f x f z x dx

+∞

∗−∞

= = −∫

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