Communication Technology LaboratoryWireless Communications Group

Prof. Dr. A. Wittneben

ETH Zurich, ETF, Sternwartstrasse 7, 8092 Zurich

Tel 41 44 632 36 11 Fax 41 44 632 12 09

FachpraktikumWinkelmodulation

Versuch KT 34

Stand:25.August2015

Die theoretischen Fragen im Kapitel 4 mussen vor dem Praktikum

gelost werden. Die praktischen Aufgaben vom Kapitel 5 werden wahrend

des Praktikums gelost.

Ausgabe: Herbst 2015

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 1

1.1 Allgemeine Begriffe und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Goniometrische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Besselfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Winkelmodulation 5

2.1 Momentaner Winkel, momentane Phase, momentane Frequenz . 52.2 Modulation von momentaner Phase (PM) und momentaner Fre-

quenz (FM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Realisierungsformen fur Winkelmodulatoren . . . . . . . . . . . . 72.4 Demodulation von winkelmodulierten Signalen . . . . . . . . . . 9

3 Eintonmodulation 12

3.1 Einton-Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Spektrum von Einton-FM-Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Leistung von Einton-PM-Signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Demodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Einton-Phasen-Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Theoretische Aufgaben 17

5 Praktischer Teil 19

5.1 Ubertragungsbandbreite (BHF) bei WM mit allgemeinen Signa-len bzw. p(t) (Formel von Carson) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2 Kommerziell eingesetzte WM-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 195.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Bibliografie 21

Kapitel 1

Einfuhrung

1.1 Allgemeine Begriffe und Definitionen

Kommunikation bedeutet Austausch von Information zwischen mindestens zweiortlich getrennten Stellen. Diejenige Stelle, welche die Information abgibt, nenntman Sender ; als Empfanger bezeichnet man diejenige Stelle, welche die Infor-mation entgegennimmt. Sowohl die Information selbst, als auch das Medium,welches Sender und Empfanger verbindet (der Ubertragungskanal), kann in ver-schiedenster Form vorliegen. (Abbildung 1.1)In elektrischen Kommunikationssystemen ist die Information in Form eines elek-trischen, zeitlich veranderlichen Signales f(t) gegeben. Fur die Ubertragung derInformation ist vielfach eine Umwandlung von diesem Basis-Informationssignalf(t) erforderlich. Der Prozess, bei welchem die Umwandlung des Basis-Informa-tionssignales f(t) in eine der beabsichtigten Anwendung angepasste Form s(t)erfolgt, wird Modulation genannt. Der Systemteil, welcher die Verwandlungdes Informationssignales f(t) in das Sendesignal s(t) besorgt, wird Modula-tor genannt. Die Ruckwandlung des Empfangssignales e(t) in das sogenann-te demodulierte Signal fd(t) bezeichnet man als Demodulation. Entsprechendheisst der Systemteil Demodulator. Bei idealem Ubertragungskanal (Frequenz-gang H(ω) = 1) und storungsfreier Ubertragung (Storsignal n(t) = 0) ist dasmodulierende Signal f(t) gleich dem demodulierten Signal fd(t) [1].Der Mensch kann mit seinem Gehor nur Frequenzen zwischen etwa 20Hz

+

UbertragungskanalSender Empfanger

Modulator DemodulatorH(jω)

f(t) s(t)

n(t)

e(t) fd(t)

Abbildung 1.1: Blockdiagramm eines Kommunikationssystems.

und 20 kHz wahrnehmen. Die bekanntesten Informationssignale (Sprache, Mu-sik) liegen in ihrer Originalform hauptsachlich in diesen niederen Frequenz-bereichen. Diese Basis-Informationssignale f(t) werden daher Nieder-Frequenz-

2 KAPITEL 1. EINFUHRUNG

Signale (NF-Signale) oder Basis-Band-Signale genannt.Fur viele nachrichtentechnische Anwendungen ist eine Ubertragung des Infor-mationssignales im Basisband nicht moglich. Daher muss das NF-Signal in einhochfrequentes Signal (HF Signal) umgewandelt werden. Diese Umwandlung er-folgt durch die Variation von bestimmten Parametern eines sogenannten Trager-Signales. Die Variation erfolgt in Abhangigkeit vom Informationssignal f(t).Welche Parameter variiert werden sollen, wird durch die Modulationsart be-stimmt.Der Vergleich verschiedener Modulationsverfahren erfolgt hauptsachlich auf-grund folgender Kriterien: benotigte Bandbreite, benotigte Sendeleistung, Emp-findlichkeit auf Storungen und praktische Realisierbarkeit.Eine Hauptgruppe von Modulationsverfahren verwendet harmonische Schwin-gungen als Trager-signale. Normalerweise ist die Frequenz der Tragerschwingungsehr viel grosser als die hochste Frequenz des NF-Signales. Bei der Schwingungs(t) = A ·cos [θ(t)] lassen sich grundsatzlich die Parameter Amplitude und Win-kel in Funktion des Informationssignales verandern. Man unterscheidet daherzwei Modulationsarten:

a) Amplitudenmodulation (AM): falls die Amplitude A in Funktion des NF-Signales f(t) variiert wird; z.B. A(t) = A · [1 +m · f(t)],

b) Winkelmodulation (WM): falls der momentane Winkel θ(t) in Funktiondes NF-Signals f(t) verandert wird,

c) AM und WM : kann auch in Kombination angewendet werden (z.B. Qua-draturmodulation, QAM). Diese Verfahren sollen hier aber nicht betrach-tet werden.

Anstelle einer Schwingung als Tragersignal wird in einer weiteren Gruppe vonModulationsverfahren eine Pulsfolge als Tragersignal verwendet. Auf die sichdaraus ergebenden Pulspositions- und Pulsamplituden-Modulationsverfahren sollhier nicht naher eingetreten werden.

1.2 Mathematische Grundlagen

Die im theoretischen Teil dieser Versuchsanleitung durchgefuhrten Berechnun-gen lassen sich unter Zuhilfenahme weniger mathematischer Formeln nachvoll-ziehen.

1.2.1 Goniometrische Formeln

sin(α± β) = sin(α) · cos(β)± cos(α) · sin(β) (1.1)

cos(α± β) = cos(α) · cos(β)∓ sin(α) sin(β) (1.2)

1.2.2 Besselfunktionen

Beliebige in T periodische Funktionen konnen mit Hilfe von Fourierreihen alsSumme von Cosinus- und Sinusschwingungen dargestellt werden. Fur die in T

KAPITEL 1. EINFUHRUNG 3

periodische Funktion s(t) lautet die Fourierreihe beispielsweise:

s(t) = A0 + 2

∞∑

n=1

An cos(nωT t) + 2

∞∑

n=1

Bn sin(nωT t) ∀n = 1, 2, . . . , ωT =2π

T.(1.3)

Fur die Berechnung der Fourierkoeffizienten An und Bn mussen dabei folgendeIntegrale gelost werden:

An =1

T

∫ T/2

−T/2

s(t) cos(nωT t)dt und Bn =1

T

∫ T/2

−T/2

s(t) sin(nωT t)dt. (1.4)

Fur die periodischen Funktionen s(t) = cos[η sin(ωt)] bzw. s(t) = sin[η sin(ωt)]sind obige Integrale fur die Bestimmung der Fourierkoeffizienten berechnet undtabelliert worden [2]. Man nennt die Fourierkoeffizienten dieser speziellen Funk-tionen Besselfunktionen n-ter Ordnung (1. Art) und bezeichnet sie mit Jn(η).

cos[η sin(Ωt)] = J0(η) + 2

∞∑

n=1

J2n(η) cos(2nΩt) (1.5)

sin[η sin(Ωt)] = 2

∞∑

n=1

J2n−1(η) sin[(2n− 1)Ωt] (1.6)

Fur die in dieser Anleitung aufgefuhrten Berechnungen sind folgende Eigen-schaften der Besselfunktionen zu beachten:

J−n(η) = (−1)nJn(η) (1.7)

Jn(η) ≈ 0 fur n > η + 1 (1.8)∞∑

n=−∞

J2n(η) = 1 fur alle η (1.9)

4 KAPITEL 1. EINFUHRUNG

Tabelle 1.1: Tabelle der Besselfunktion Jn(η).

η → 0.5 1 2 3 4 6 8 10 12

n ↓

0 0.9385 0.7652 0.2239 -0.2601 -0.3971 0.1506 0.1717 -0.2459 0.0477

1 0.2423 0.4401 0.5767 0.3391 -0.0660 -0.2767 0.2346 0.0435 -0.2234

2 0.0306 0.1149 0.3528 0.4861 0.3641 -0.2429 -0.1130 0.2546 -0.0849

3 0.0026 0.0196 0.1289 0.3091 0.4302 0.1148 -0.2911 0.0584 0.1951

4 0.0002 0.0025 0.0340 0.1320 0.2811 0.3576 -0.1054 -0.2196 0.1825

5 0.0002 0.0070 0.0430 0.1321 0.3621 0.1858 -0.2341 -0.0735

6 0.0012 0.0114 0.0491 0.2458 0.3376 -0.0145 -0.2437

7 0.0002 0.0025 0.0152 0.1296 0.3206 0.2167 -0.1703

8 0.0005 0.0040 0.0565 0.2235 0.3179 0.0451

9 0.0001 0.0009 0.0212 0.1263 0.2919 0.2304

10 0.0002 0.0070 0.0608 0.2075 0.3005

11 0.0020 0.0256 0.1231 0.2704

12 0.0005 0.0096 0.0634 0.1953

13 0.0001 0.0033 0.0290 0.1201

14 0.0010 0.0120 0.0650

Jn(η), fur n = 1, . . . , 6

J0(η)

J1(η)

J2(η) J3(η) J4(η) J5(η) J6(η)

η

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

−0.2

−0.4

2 4 6 8

Abbildung 1.2: Besselfunktionen der Ordnung 1 . . . 6.

Kapitel 2

Winkelmodulation

2.1 Momentaner Winkel, momentane Phase, mo-mentane Frequenz

Eine winkelmodulierte Tragerschwingung kann in der allgemeinsten Form alsCosinusfunktion eines zeitlich veranderlichen Winkels θ(t) angeschrieben wer-den. Dabei wird θ(t) momentaner Winkel genannt.

s(t) = A · cos[θ(t)], A konstant (2.1)

Der momentaneWinkel θ(t) wird auch oft als Summe des konstanten Parametersω0 multipliziert mit der Zeit t und der sogenannten momentanen Phase φ(t)angeschrieben. Damit erhalt man folgende Darstellung:

s(t) = A cos[ω0t+ φ(t)] (2.2)

Die Ableitung des momentanen Winkels θ(t) nach der Zeit bezeichnet man alsmomentane Kreisfrequenz ωm(t). Die konstante Grosse ω0 heisst Tragerkreisfrequenz(oft auch als ωc angegeben, c steht fur Carrier).

ωm(t) =dθ(t)

dt=

d[ω0t+ φ(t)]

dt= ω0 +

dφ(t)

dt(2.3)

2.2 Modulation von momentaner Phase (PM)und momentaner Frequenz (FM)

Bei denWinkelmodulationsarten wird der momentaneWinkel θ(t) in Abhangigkeitdes NF-Signals (Informationssignales) verandert. Je nachdem wie das Informa-tionssignal in den momentanen Winkel eingeht, unterscheidet man zwei Modu-lationsarten.Man spricht von Phasenmodulation (PM), wenn die momentane Phase derTragerschwingung proportional zum Informationssignal p(t) verlauft1.

PM: φ(t) = φ0 + kPM · p(t) (2.4)

1Der Eindeutigkeit halber werden die Informationssignale mit p(t) bzw. deren Amplitudenmit Ap bezeichnet, wenn eine Phasenmodulation beschrieben werden soll; fur Frequenzmodu-lation wird das Informationssignal mit f(t) und die Amplitude mit Af bezeichnet.

6 KAPITEL 2. WINKELMODULATION

s(t)

ωm(t)

φ(t)

ω0

t

t

t

t

θ(t)

Abbildung 2.1: Momentane Frequenz, Zeitsignal und momentane Phase fur einenbestimmten Verlauf des momentanen Winkels.

sPM(t) = A cos[θ(t)] = A cos[ω0t+ φ(t)]

= A cos[ω0t+ φ0 + kPM · p(t)] (2.5)

Der konstante Teil φ0 der Phase φ(t) wird meist als 0 angenommen. kPM istdie (Phasen-) Modulationskonstante. Die maximale Phasenabweichung ∆φ =βPM = kPM |p(t)|max wird Phasenmodulationsindex oder auch Phasenhub ge-nannt.2

Die Phasenmodulationskonstante kPM, die Tragerkreisfrequenz ω0 und die kon-

p(t) Phasenmodulator

Modulationskonstante kPM

Tragerfrequenz ω0

Trageramplitude A

sPM(t) = A cos[ω0 + kPM · p(t)]

Abbildung 2.2: Phasenmodulator.

stante Trageramplitude A sind konstante Grossen und entsprechen den Para-metern des Phasenmodulators.

Man spricht von Frequenzmodulation, wenn die Momentanfrequenzanderungdφ/dt der Tragerschwingung proportional zum Informationssignal f(t) verlauft.(Beachte: ωm(t) = dθ(t)/dt).

FM: ωm(t) = ω0 + kFM · f(t) (2.6)

2In der Literatur findet man dafur auch das Symbol m.

KAPITEL 2. WINKELMODULATION 7

sFM = A cos[θ(t)] = A cos[

∫ t

0ωm(τ)dτ

]

= A cos[

ω0t+ φ0 + kFM∫ t

0 f(τ)dτ]

(2.7)

Der konstante Term φ0 wird wiederummeistens 0 gesetzt. kFM ist die (Frequenz-)Modulationskonstante. Die maximale Abweichung von der Tragerfrequenz ∆ω =kFM |f(t)|max wirdKreisfrequenzhub, die Grosse ∆f = kFM |f(t)|max /2π einfachFrequenzhub genannt.Die Frequenzmodulationskonstante kFM, die Tragerkreisfrequenz ω0 und die

f(t) Frequenzmodulator

Modulationskonstante kFMTragerfrequenz ω0

Trageramplitude A

sFM(t) = A cos

[

ω0 + kFMt∫

0

f(τ)dτ

]

Abbildung 2.3: Frequenzmodulator.

Trageramplitude A sind konstante Grossen und entsprechen den Parameterndes Frequenzmodulators.Wie Aufgabe 5 (theoretischer Aufgabenteil) zeigt, sind die HF-Signale sFM(t)und sPM(t) gleich, falls fur die NF-Signale f(t) und p(t) bzw. fur die Modula-torkonstanten die folgende Beziehung gilt:

kPM · p(t) = kFM

∫ t

0

f(τ)dτ (2.8)

Daraus folgt der in der Tabelle 2.1 dargestellte Zusammenhang zwischen Phasen-und Frequenzmodulation, welcher zeigt, dass mit einem Frequenzmodulator un-ter geeigneter Vorverarbeitung des Eingangssignals auch phasenmodulierte Si-gnale (bzw. umgekehrt) erzeugt werden konnen.

2.3 Realisierungsformen fur Winkelmodulatoren

Grundsatzlich unterscheidet man zwischen direkten und indirekten Winkelm-odulationsverfahren. Die indirekte Modulation besteht aus einer Schmalband-WM mit anschliessender Frequenzvervielfachung (Amstrong-Typ). Auf dieseModulatortypen wird aber hier nicht eingegangen. Bei der direkten Modula-tion wird der momentane Winkel bzw. die momentane Frequenz oder Phasedirekt im gewunschten Masse verandert. Dies geschieht beispielsweise mit Hil-fe von sogenannten Voltage Controlled Oscillators (VCO), also mit Elementen,deren Ausgangssignal eine Frequenz aufweist, welche direkt durch die Span-nung des Eingangssignals variiert werden kann. Solche VCO’s sind in integrier-ter Form erhaltlich. Andere (diskret aufgebaute) Realisierungen fur die direkteWinkelmodulation arbeiten mit Resonanzkreisen, deren Resonanzfrequenz vari-ierbar ist. So wird beispielsweise die Gesamtkapazitat mittels einer sogenanntenKapazitatsdiode (Varicup) in Abhangigkeit von der angelegten Steuerspannungverandert:

C(t) = C0 +∆C = C0 + k · f(t) , wobei ∆C ≪ C0 (2.9)

8 KAPITEL 2. WINKELMODULATION

Tabelle 2.1: Zusammenhang zwischen PM und FM.

Frequenzmodulator Phasenmodulator

f(t) FM

ω0, A, kFM

sFM(t) =

A cos

[

ω0 + kFMτ∫

0

f(τ)dτ

]

p(t) PM

ω0, A, kPM

sPM(t) =

A cos [ω0 + kPM · p(t)]

Durch Vorschaltung eines Integratorskann auch mit einem Phasenmodulatorein mit dem NF-Signal n(t) frequenz-moduliertes Ausgangssignal sFMn

(t) =sPMp

(t) erzeugt werden.

Durch Vorschaltung eines Differenzia-tors kann auch mit einem Frequenz-modulator ein mit dem NF-Signaln(t) frequenzmoduliertes Ausgangssi-gnal sPMn

(t) = sFMf(t) erzeugt werden.

n(t)kFM

kPM

t∫

0

·dt p(t) PM

ω0, A, kPM

sFMn(t) n(t) kPM

kFM· ddt

f(t) FM

ω0, A, kFM

sPMn(t)

VCO

f(t) sFM = A cos[θ(t)]

= A cos

[

ω0 + kFM

t∫

0

f(τ)dτ

]

Momentanfrequenz ωm(t) = dθ(t)dt

= ω0 + kFM · f(t)

ω0

Eingangsspannung f(t)

Abbildung 2.4: Voltage Controlled Oscillator.

Damit ergibt sich folgende (momentane) Resonanzfrequenz:

ωrm(t) = 1/√

LC(t) = 1/√

LC0 + L∆C

= 1/√

LC0 · (1 + ∆C/C0) ≈ (1/√

LC0 · (1 −∆C/2C0)

= ω0(1 −∆C/2C0) = ω0 − (kω0/2C0)f(t) = ω0 +K · f(t)

wobei K = −kω0

2C0(2.10)

KAPITEL 2. WINKELMODULATION 9

2.4 Demodulation von winkelmodulierten Signa-len

Bei der Demodulation von WM-Signalen muss die Information, welche in dermomentanen Phase, bzw. in der momentanen Frequenz der Tragerschwingungsteckt, so verarbeitet werden, dass sie wieder in der Basis-Informationssignal-Form erscheint. Dies wird hauptsachlich durch die Differenziation des Sendesi-gnales bzw. des Empfangssignales bewerkstelligt.Die Ableitung von sHF(t) nach der Zeit liefert namlich ein Signal x(t), in des-sen Amplitude die Winkelinformation enthalten ist. Anschliessende Envelop-pendetektion liefert somit das gewunschte demodulierte Signal, d.h das Basis-Informations-Signal. Diese Kombination von Differentiator und Enveloppende-tektor wird Frequenz-Diskriminator genannt.Da diese Demodulationsmethode nur dann richtige Ergebnisse liefert, wenndie Amplitude des Eingangssignals in den Diskriminator konstant ist, wirddem Diskriminator oft ein sogenannter Limiter vorgeschaltet. Dieser Limitersoll die Amplitude des HF-Signales auf einen konstanten Wert begrenzen, fallsStorungen auf dem Ubertragungsweg gewisse Schwankungen der HF-Signal-Amplitude produziert haben.Unter der Annahme, dass s(t) die auf die Amplitude A begrenzteWM-Schwingung

Limiters(t)

Diskriminator

KD · ddt

x(t) Enveloppen

Detektor

fd(t)

Abbildung 2.5: Blockschaltbild fur die Demodulation.

am Eingang des Diskriminators sei, ergeben sich folgende Signale x(t) und fd(t):

x(t) = KDds(t)

dt= KD

dA cos[θ(t)]

dt, KD Differenziationskonstante

= −KD ·Adθ(t)

dt· sin[θ(t)]. (2.11)

Fur FM-Signale gilt:

θ(t) = ω0t+ kFM

∫ t

0

f(τ)dτ

x(t) = −KD · A[ω0 + kFMf(t)] · sin[ω0 + kFM

∫ t

0

f(τ)dτ ]

fd(t) = KD · A · ω0 +KD ·A · kFM · f(t) (2.12)

Winkeldemodulatoren besitzen also einen zumindest in einem bestimmten Fre-quenzbereich differenzierenden Funktionsblock. Bei der Behandlung von ver-schiedenen Demodulationsverfahren werden jeweils sowohl Berechnungen imZeitbereich wie auch im Frequenzbereich angestellt. Es ist daher wichtig zu

10 KAPITEL 2. WINKELMODULATION

wissen, dass eine Differentiation im Zeitbereich einer Multiplikation mit jω imFrequenzbereich entspricht (Abbildung 2.6).

s(t)

H(ω) = jω

y(t) = ds(t)dt

|H(ω)|

ω

φ(ω)

90

ω

Abbildung 2.6: Ubertragungsfunktion des Differenziators.

Realisierung von Differentiatoren bzw. von Winkeldemo-dulatoren

Die Spannung uber einer Induktivitat ist bekanntlich proportional zum diffe-renzierten Strom durch die Induktivitat. Analoge Zusammenhange gelten furdie Kapazitat. Da jedoch solche Differenziationsschaltungen mit nur einer Spulebzw. mit einem Kondensator meistens zu kleine Ausgangswerte liefern, sind siefur die Demodulation von winkelmodulierten Signalen nur selten geeignet.Hingegen existieren Schaltungen, welche (wenigstens in bestimmten Bereichen)einen linear ansteigenden oder abfallenden Frequenzgang aufweisen. Der diffe-renzierende Bereich liegt in diesen Flanken der Ubertragungsfunktion, und manspricht daher von Flanken-Diskriminatoren.Weitere Realisierungen von solchen Demodulatoren sind der bekannte Foster-

sFM(t)

C

R Output

High-PassFilterH(ω)

Magnitude (Envelope)Detector with DCBlocking Capacitor

|H(ω)|2∆ω

0 ω0 ω

∝ f(t)

Abbildung 2.7: FM-Diskriminator (Flanken-Diskriminator), Ubertragungs-funktion.

Seeley-Diskriminator, der Travis-Diskriminator oder der Nullstellen-Detektor.Auch diese Diskriminatoren zeigen (zumindest in einem bestimmten Bereich)

KAPITEL 2. WINKELMODULATION 11

eine differenzierende Wirkung, d.h. sie weisen eine linear ansteigende oder ab-fallende Ubertragungsfunktion auf.In modernen Schaltungen trifft man oft Demodulatoren mit einem Phasen-

(a)

(b)

output

C

C

R

RR1

R2

C1

C2

sFM(t)

Tuned

Tuned

Circuit I

Circuit I

Circuit II

Circuit II

OutputAmplitude

Total Response oftwo circuits

ω

ω1

ω2

ω0

I

∝ f(t)

Abbildung 2.8: Travis-Diskriminator. (a) Schaltung, (b) Ubertragungsfunktion(Frequenzgang)

Regelkreis (Phased-Locked-Loop, PLL) an. Der PLL versucht, die Phase seinerVCO-Schwingung der momentanen Phase der WM-Schwingung nachzusteuern,und damit enthalt das Regelsignal das demodulierte Nachrichtensignal.

Kapitel 3

Eintonmodulation

3.1 Einton-Modulation

Die Analyse der Frequenzmodulation fur allgemeine NF-Signale f(t) ist sehraufwendig und kompliziert. Es soll deshalb hier vorerst nur die sogenannte Ein-tonmodulation, d.h. die Modulation mit nur einem Ton bzw. mit nur einer Si-nusschwingung f(t) = Af · cos(Ωt) untersucht werden. Man erhalt somit fol-gende Signale: Bei Einton-FM bezeichnet man das Verhaltnis der maximalen

NF-Signal: f(t) = Af · cos(Ωt)HF-Signal: sFM(t) = A · cos

[

ω0t+ kFM∫ t

0f(τ)dτ

]

= A · cos [ω0t+ (kFM ·Af/Ω) sin(Ωt)]

Tragerfrequenzabweichung ∆ω zur Frequenz des modulierenden Signals Ω alsModulationsindex βFM:

βFM = ∆ω/Ω = kFM · Af/Ω (3.1)

Bereits jetzt sei darauf hingewiesen, dass FM ein nichtlineares Modulationsver-fahren ist, und dass daher das Superpositionsprinzip nicht angewendet werdendarf:

sFM[f1(t) + f2(t)] 6= sFM[f1(t)] + sFM[f2(t)] (3.2)

KAPITEL 3. EINTONMODULATION 13

Unter Beizug der Besselfunktionen (siehe Kapitel 1.2) lasst sich das Einton-FM-Signal folgendermassen anschreiben:

sFM(t) = A cos[ω0t+ βFM sin(Ωt)]

= A

cos(ω0t) cos[βFM sin(Ωt)]− sin(Ω0t) sin[βFM sin(Ωt)]

= A

cos(ω0t)J0(β) + 2 cos(ω0t)

∞∑

k=1

J2k(β) cos(2kΩt)

−2 sin(ω0t)

∞∑

k=1

J2k−1(β) sin[(2k − 1)Ωt]

= A

cos(ω0t)J0(β) +

∞∑

k=1

J2k(β)(

cos[(ω0 + 2kΩ)t] + cos[(ω0 − 2kΩ)t])

−∞∑

k=1

J2k−1(β)(

− cos[(ω0 + 2kΩ− Ω)t] + cos[(ω0 − 2kΩ+ Ω)t])

= A

∞∑

k=−∞

J2k(β) cos[ω0 + 2kΩ)t] +

+

∞∑

k=1

J−2k+1(β) cos[(ω0 + 2kΩ− Ω)t] +

∞∑

k=1

J2k−1(β) cos[(ω0 − 2kΩ+ Ω)t]

= A

∞∑

k=−∞

J2k(β) cos(ω0t+ 2kΩt) +

∞∑

k=−∞

J2k−1(β) cos[ω0t+ (−2k + 1)Ωt]

= A

∞∑

n=−∞

Jn(β) cos(ω0t+ nΩt)

Das Einton-FM-Signal lasst sich also als eine Cosinusschwingung mit konstanterAmplitude und variabler Momentanfrequenz oder als Summe von unendlichvielen Cosinusschwingungen mit unterschiedlichen Amplituden, aber konstantenMomentanfrequenzen anschreiben:

sFM(t) = A cos[ω0t+ βFM sin(Ωt)]

= A

∞∑

n=−∞

Jn(βFM) cos(ω0t+ nΩt) (3.3)

3.2 Spektrum von Einton-FM-Signalen

Das Amplitudendichtespektrum SFM(ω) fur das Einton-FM-Signal lasst sich aus(3.3) mit Hilfe der Fouriertransformation leicht berechnen [2]:

SFM(ω) = πA

∞∑

n=−∞

Jn(βFM) · [δ(ω − ω0 − nΩ) + δ(ω + ω0 + nΩ)] (3.4)

Es sei hier nochmals darauf hingewiesen, dass bei der Modulation mit mehrerenTonen nicht einfach die einzelnen Spektren zusammgezahlt werden durfen.Die Amplituden bzw. die Koeffizienten Jn(β) an den Stellen ω0 ± nΩ fur n >nmax = βFM + 1 betragen weniger als 15% der Amplitude des unmodulierten

14 KAPITEL 3. EINTONMODULATION

Tragers (siehe Tab. der Besselfunktionen, Abschn.1.2). Damit ergibt sich eineHF-Bandbreite BHF fur Einton-FM-Signale von:

2πBHF = 2Ω · nmax = 2Ω(βFM + 1) = 2(∆ω +Ω) (3.5)

Falls der Kreisfrequenzhub ∆ω viel grosser ist als die Frequenz des NF-Signales,so vereinfacht sich (3.5) zu

2πBHF ≈ 2∆ω (3.6)

Fur ein Einton-FM-Signal mit ∆ω ≫ Ω nimmt also die HF-Bandbreite pro-portional zu mit wachsendem Kreisfrequenzhub ∆ω (∆ω = kFM |f(t)|max) undist damit unabhangig von der NF-Signal-Frequenz. Fur beliebige Einton-FM-Signale nimmt die HF-Bandbreite mit wachsendemModulationsindex βFM (βFM =∆ω/Ω) linear zu. Der Abstand der einzelnen Linien des Spektrums betragt Ω.Abbildung 3.1 zeigt die Einton-FM-Spektren fur verschiedene Modulationsindi-zes.

ω0 − ωf

βFM = 0.5

ω0 + ωf

ω0WFM

ω

βFM = 2(a)

ω0 − 4ωf

ω0

WFM

ω

ω0 + 4ωf

(b) βFM = 8

ω0 − 10ωf

ω0

WFM

ω

ω0 + 10ωf

WFMβFM = 2

ω0 − ∆ωω0

(a)ω0 + ∆ω

ω

ω

ω

WFM

ω0 − ∆ωω0

(b) ω0 + ∆ω

βFM = 4

WFM

ω0 − ∆ωω0

ω0 + ∆ω

βFM = 8

Abbildung 3.1: Einton-FM-Spektren fur verschiedene Modulationsindizes undverschiedene NF-Signal-Frequenzen (WFM=HF-Bandbreite)

3.3 Leistung von Einton-PM-Signalen

Der zeitliche Mittelwert einer Cosinusschwingung betragt bekanntlich A2/2. Dadas Einton-PM-Signal jedoch nicht genau gleich ist wie eine gewohnliche Co-sinusschwingung, kann seine Leistung nicht ohne weiteres gleich A2/2 gesetztwerden. Die Rechnung unter Beizug von (1.9), Abschnitt 1.2, zeigt aber, dassder zeitliche Mittelwert von s2FM(t) ebenfalls A2/2 betragt:

PsFM = s2FM(t) = A2 · cos[ω0t+ (kFMAf/Ω) sin(Ωt)] (3.7)

= (A2/2) ·∑∞n=−∞ J2n(β) = A2/2 (3.8)

Die Leistung des HP-Signales ist also unabhangig vom NF-Signal.

KAPITEL 3. EINTONMODULATION 15

3.4 Demodulation

Verwendet man den Demodulator vom Abschnitt 2.4, Abbildung 2.5, so ergebensich folgende Signale x(t) und f(t):

x(t) = KDd[A cos(θ(t))]

dt= KD

dA cos[ω0t+ kFMAf/Ω) sin(Ωt)]

dt(3.9)

= −KDA[

ω0 +Ω(kFMAf/Ω) cos(Ωt)]

· sin[

ω0t+ (kFMAf/Ω) sin(Ωt)]

und

fd(t) = KDAkFM · Af cos(Ωt) (3.10)

3.5 Einton-Phasen-Modulation

Da bei Einton-PM und Einton-FM die Herleitungen fast genau gleich sind, wer-den hier nur die wichtigsten Ergebnisse aufgefuhrt: Der Modulationsindex βPM

NF-Signal: p(t) = Ap · cos(Ωt)HF-Signal: sPM(t) = A cos[ω0t+ kPM · p(t)]

= A cos[ω0t+ kPMAp cos(Ωt)]

(=Phasenhub ∆φ, m) betragt

βPM = ∆φ = m = kPM |p(t)|max = kPM ·Ap (3.11)

und ist damit nicht abhangig von der NF-Signal-Frequenz.Fourier(reihen)-Darstellung des Einton-PM-Signales:

sPM(t) = Am∑

n=−∞

Jn(βPM) cos[(ω0t+ nΩ)t+ n · π/2] (3.12)

Damit ergeben sich folgende Darstellungsformen fur Einton-PM-Signale:

sPM(t) = A cos[ω0t+ βPM cos(Ωt)]

= A

∞∑

n=−∞

Jn(βPM) cos[(ω0 + nΩ)t+ n · π/2)] (3.13)

Fur die HF-Bandbreite des Einton-PM-Signales erhalt man:

2πBHF = 2Ωnmax = 2Ω(βPM + 1) ≈ 2βPM · Ω, βPM ≫ 1 (3.14)

Die HF-Bandbreite von PM-Signalen wachst damit proportional zur NF-Signalfrequenz.Die Leistung von PM-Signalen ergibt sich zu:

PsPM − s2PM = (A2/2)

∞∑

n=−∞

J2n(βPM) = A2/2 (3.15)

16 KAPITEL 3. EINTONMODULATION

sPM(t)KD · d

dt

x(t) Enveloppen

detektor

y(t)−KI ·

t∫

0

dτpd(t)

Abbildung 3.2: PM-Demodulator.

Demodulation

Einen PM-Demodulator erhalt man, wenn das Ausgangssignal eines FM-Demodulatorsnoch durch einen Integrator geschickt wird:

x(t) = KD

d[

A cos[θ(t)t]]

dt= KD

A cos[ω0t+ βPM cos(Ωt)

dt= −KD · [ω0 − βPM · Ω sin(Ωt)] · sin[ω0t+ βPM cos(Ωt)] (3.16)

y(t) = KD ·A · βPM · Ω sin(Ωt) (3.17)

pd(t) = KD ·A ·KI · βPM cos(Ωt) (3.18)

= KD ·A ·KI · kPM · Ap cos(Ωt) (3.19)

Kapitel 4

Theoretische Aufgaben

1) Damit effiziente elektromagnetische Abstrahlung mit einer Antenne moglichist, mussen die Abmessungen der Antenne in der Grossenordung von 1/10der Wellenlange liegen. Wie gross musste nun eine Antenne fur die Ab-strahlung eines Signales f(t) = A cos(2π · 1500 Hz · t) gebaut werden?

2) Erlautern Sie die Begriffe Basisbandbreite, Ubertragungsbandbreite, NF-und HF-Bandbreite.

3) Zeichnen Sie fur das in Abbildung 4.1 gegebene Informationssignal p(t)die Verlaufe der momentanen Phase, des momentanen Winkels, sowie desphasenmodulierten Signals sPM(t). Es gilt: kPM = 2π/AP , ω0 = 2π/T ,φ0 = 2π.

f(t)

2Ap

Ap

−Ap

−2Ap

T

t

Abbildung 4.1: Verlauf des Informationssignals bei Phasenmodulation.

4) Fur das gegebene Informationssignal f(t) in Abbildung 4.2 bestimme mandie Verlaufe der Momentanfrequenz, des momentanen Winkels sowie desfrequenzmodulierten Signals sFM(t). Es gilt: kFM = ω0/Af , ω0 = 2π/T ,φ0 = 0.

5) Vergleichen Sie die HF-Signale sPM(t) und sFM(t) von Aufgabe 3 und 4.Welcher Zusammenhang besteht zwischen den zugehorigen NF-Signalen

18 KAPITEL 4. THEORETISCHE AUFGABEN

p(t)

2Ap

Ap

−Ap

−2Ap

T

t

Abbildung 4.2: Verlauf des Informationssignals bei Frequenzmodulation.

6) Berechnen Sie die in Tabelle 2.1 dargestellten Signale p(t), sFMn(t), f(t)

und sPMf(t) als Funktion des Nachrichtensignals n(t).

7) Beweisen Sie, dass bei einem VCO mit einer Kapazitatsdiode, deren Ka-pazitat sich in Abhangigkeit der Steuerspannung folgendermassen andert

C(t) = C0 +∆C = C0 + k · f(t), wobei ∆C ≪ C0 (4.1)

unter bestimmten Voraussetzungen gilt: 1/√1 + ∆C ≈ 1−∆C/C0. Welche

Voraussetzung muss gemacht werden?

8) Geben Sie (unter Zuhilfenahme der Tabelle der Besselfunktionen) einEinton-FM-Signal mit ∆ω/Ω = 4 sowohl als Sinusschwingung mit kon-stanter Amplitude und variabler Momentanfrequenz als auch als Summevon unendlich vielen Sinusschwingungen mit konstanten Oberschwingun-gen unterschiedlicher Amplituden an.

9) Skizzieren Sie das FM-Amplituden-Spektrum, falls mit einem NF-Signalf(t) = Af ·cos(Ωt) moduliert wird und kFM = 4Ω/Af betragt (Af = 1/π).

10) Welche Bedingungen mussen erfullt sein, damit eine solche Demodulationgemass Abbildung 2.5 moglich ist (qualitative Erklarung)?

Kapitel 5

Praktischer Teil

5.1 Ubertragungsbandbreite (BHF) bei WM mitallgemeinen Signalen bzw. p(t) (Formel von

Carson)

Carson [1] hat gezeigt, dass die Formeln fur die Berechnung der HFBandbreitenvon Einton-WM-Signalen (3.5,3.14) auch als Naherungsformeln fur allgemeinmodulierende Signale verwendet werden konnen, wenn man folgende Grossen furden Modulationsindex und die NF-Frequenz einsetzt: Obige Formeln sind nicht

Ω∗ = maximale Frequenz des NF-Signals bzw. NF-Bandbreite

FM: β∗FM = kFM |f(t)|max /Ω

∗ = ∆ω/Ω∗

2πBHFFM= 2(β∗

FM + 1) = 2(kFM |f(t)|max + Ω∗

= 2(∆ω +Ω∗) = 2(∆ω + 2πBHF)

PM: β∗PM = kPM |p(t)|max = ∆φ

2πBHFPM = 2(β∗PM + 1)Ω∗ = 2(kPM |p(t)|max + 1)

= 2(∆φ+ 1)Ω∗

BHFPM= 2(∆φ+ 1)BNF

anwendbar fur Kleinhub-FM bzw. Kleinhub-PM, die heute bei der digitalenUbertragung breite Anwendung finden.

5.2 Kommerziell eingesetzte WM-Systeme

Eines der bekanntesten FM-Systeme ist der UKW-Rundfunk (Tabelle 5.1). Umeinen geordneten Funkbetrieb zu ermoglichen, werden die Betriebsparametervon Funksystemen weltweit durch die International Telecommunication Union(ITU) in der Form von Empfehlungen festgelegt. Einige dieser Betriebsparame-

20 KAPITEL 5. PRAKTISCHER TEIL

ter von praktisch eingesetzten FM-Systemen sind in der folgenden Zusammen-stellung aufgefuhrt [3].

Tabelle 5.1: UKW-Rundfunk (VHF-Bereich).

Tragerfrequenz: Band II, 87.6 bis 104MHz (Kanal 2 bis 56 bzw. 1 bis 164)

Kanalabstand: 300 bzw. neu 100 kHz

Frequenzhub: ±75kHz

NF-Signale: 40Hz bis 15 kHz (bzw. BNF = 15kHz)

5.3 Versuchsaufbau

Das in Anhang I dargestellte Winkelmodulations-Versuchssystem (WMV) istaus messtechnischen Grunden fur die (ungewohnlich niedrige) Tragerfrequenzf = 25kHz ausgelegt worden. Der maximal mogliche Frequenzhub betragt±5 kHz. Die zu ubertragenden NF-Signale sollen zwischen 300Hz und 5 kHzliegen. Nebst Modulator, Demodulator, Kanal, einem NF-Signal-Generator undeinem NF-Ausgangsverstarker besitzt das WMV auch einen Funktionsblock furdie Triggeraufbereitung.Dieser soll eine jitter-arme (jitter=zittern) Darstellung von NF-Signal und zu-gehorigem HF-Signal auf dem Oszilloskop ermoglichen.Das Oszilloskop wird bei fast allen Versuchen mit externer Triggerung betrieben.

5.4 Messungen

1. (a) Einstellungen: f0 = 3Vpp · sin(2π · 1 kHz · t), FM/PM-Wahlschalterin Stellung FM, mittlerer Hub, Triggeraufbereitungs-Schaltung nichtverwenden. Stellen Sie sNF(t) und sHF(t) gleichzeitig auf dem Oszil-loskop dar, und versuchen Sie durch Veranderung der Tragerfrequenzein stehendes (jitter-armes) Bild zu erhalten.Bei welchen Tragerfrequenzen ist eine jitter-arme Darstellung moglichund warum?

(b) Benutzen Sie nun die Triggeraufbereitungs-Schaltung und betrachtenSie HF- und NF-Signal bei verschiedenen Hub-Einstellungen (mittelsJitter-NF und Jitter-HF Reglern jitter minimieren). Fur ein Recht-eck -NF-Signal ist die Signalfrequenz und die Oszilloskop-Zeitablenkungso einzustellen, dass gerade etwa eine Periodendauer des NF-Signalesauf dem Oszilloskop erscheint.

(c) Bestimmen Sie mit den Einstellungen von Aufgabe 1b und grosstmoglichemHub die maximale und die minimale Frequenz des HF-Signales.

(d) Messen Sie die Frequenz von sHFFM(t) bei verschiedenen Hub-Einstellungen.

Weshalb wird (unabhangig von NF-Signal und Hub-Einstellung) stetsungefahr dieselbe Frequenz angezeigt?

KAPITEL 5. PRAKTISCHER TEIL 21

2. (a) Man ubertrage ein Dreieck-NF-Signal (400Hz, Tastverhaltnis 1:3,mittlerer Hub) mit FM und PM und vergleiche die resultierendenHF-Signale.Welche Ausgangssignale sNF(t) ergeben sich, wenn am Modulatoroder am Demodulator der FM/PM-Wahlschalter falsch eingestelltist?

(b) Ubertragen Sie mit dem CD-Gerat mit dem WMV Musik, und zwarbei den folgenden FM/PM-Wahlschalterstellungen:

Tabelle 5.2: Wahlschalterstellungen.

1 2 3 4

Modulator FM PM FM PM

Demodulator FM PM PM FM

Wie werden bei den verschiedenen Einstellungen die hohen und tiefenFrequenzen des Musiksignales ubertragen?

3. (a) Fur sNF(t) = sin(2π · 2 kHz · t) und sNF(t) = sin(2π · 1 kHz · t) undeinem Frequenzhub ∆f = 4kHz (UB = 1.7Veff, AC-Kopplung amOszilloskop) ist das Frequenzspektrum von sHFFM

auszumessen.

(b) Wiederholen Sie 3a) bei einem Frequenzhub ∆f = 2kHz (UB =0.85Veff, AC-Kopplung am Oszilloskop).

Literaturverzeichnis

[1] M. Schwarz, Information, Transmission, Modulation, and Noise, 4th ed.Singapore:McGrawHill Inc., 1990.

[2] “Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and mathe-matical Tables,” Dover, New York, vol. 9th printing, 1972.

[3] “International Telecommunication Union (ITU), International Radio Con-sultative Committee (CCIR), Radio Regulations, Recommendations and re-ports of the CCIR, Volumes VIII, X, XI,” 1978.

[4] H. Bolcskei, “Signale und Systeme I,” Vorlesung an der ETH Zurich, D-ITET.

[5] A. Wittneben, “Communication Systems,” Vorlesung an der ETH Zurich,D-ITET.