factor integrante

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Introducción: Si bien la ecuación simple de primer orden es separable, se puede resolver la ecuación de una manera alternativa reconociendo que la expresión del lado izquierdo de la igualdad es la diferencial de la función ; es decir, .En esta sección se examinarán ecuaciones de primer orden en la forma diferencial. Al aplicar una prueba simple a M y N, se determina si es una diferencial de una función . Si la respuesta es afirmativa, f se construye mediante integración parcial. 0 xdy ydx xy y x f ) , ( xdy ydx xy d ) ( 0 ) , ( ) , ( dy y x N dx y x M dy y x N dx y x M ) , ( ) , ( ) , ( y x f Sugerencias para el aprendizaje: El alumno deberá tener conocimiento y dominio de la diferenciación e integración parcial. Así mismo deberá tener dominio suficiente de cálculo de varias variables estudiadas en matemáticas III.

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Page 1: Factor Integrante

Introducción: Si bien la ecuación simple de primer orden es separable, se puede resolver la ecuación de una manera alternativa reconociendo que la expresión del lado izquierdo de la igualdad es la diferencial de la función ; es decir, .En esta sección se examinarán ecuaciones de primer orden en la forma diferencial. Al aplicar una prueba simple a M y N, se determina si es una diferencial de una función . Si la respuesta es afirmativa, f se construye mediante integración parcial.

0 xdyydx

xyyxf ),( xdyydxxyd )(0),(),( dyyxNdxyxM

dyyxNdxyxM ),(),( ),( yxf

Sugerencias para el aprendizaje: El alumno deberá tener conocimiento y dominio de la diferenciación e integración parcial. Así mismo deberá tener dominio suficiente de cálculo de varias variables estudiadas en matemáticas III.

Page 2: Factor Integrante

Diferencial de una función de dos variables

En el caso especial cuando , donde c es una constante, entonces la

ecuación anterior significa que

cyxf ),(

En otras palabras, dada una familia uniparamétrica de funciones , se puede generar una ecuación diferencial de primer orden calculando la diferencial en ambos lados de la igualdad.

cyxf ),(

Por ejemplo: Si se tiene la siguiente función , entonces la ecuación (1) debe proporcionarnos la ED de primer orden. Es decir,

cyxyx 32 5

(1)

0)35()52( 2 dyyxdxyx (2)

Por supuesto, no toda ED de primer orden escrita en forma diferencial corresponde a una diferencial de . Así que resulta más conveniente invertir el problema anterior, es decir, si se tiene una ED de primer orden como la (2).¿Existe alguna forma de reconocer que la expresión diferencial s la diferencial ?En caso afirmativo, entonces una solución implícita de (2) es . Esta pregunta se contestará después de la ver la siguiente definición.

0),(),( dyyxNdxyxM cyxf ),(

dyyxdxyx )35()52( 2 )5( 32 yxyxd cyxyx 32 5

Page 3: Factor Integrante

DEFINICIÓ DE ECUACIÓN EXACTA

Una ecuación diferencial es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna funcióndefinida en R. Por tanto, una ED de primer orden de la forma Es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

dyyxNdxyxM ),(),( ),( yxf

0),(),( dyyxNdxyxM

CRITERIO PARA UNA DIFERENCIAL EXACTA

Page 4: Factor Integrante

MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EXACTA

PASO:

PASO:

PASO:

Page 5: Factor Integrante

PASO:

EJEMPLO 1: Resolver por el método de las exactas la siguiente ED

Page 6: Factor Integrante
Page 7: Factor Integrante

EJEMPLO 2: Hallar el valor de b para que sea exacta la siguiente ED y resolverla por el método de exactas.

SOLUCIÓN:

Page 8: Factor Integrante

EJEMPLO 3: Resolver por el método de las exactas la siguiente ED

0)1(2 2 dyxxydx

SOLUCIÓN: Con , se tiene que:1),(2),( 2 xyxNyxyyxM

xN

xy

M

2 Que es una ecuación exacta y, por consiguiente, existe una función tal que: ),( yxf

12 2

xyf

yxyxf Integrando la primera de estas dos ecuaciones

se tiene:

xxyfxyxf

22 )(),( 2 ygyxyxf

Se saca la derivada parcial de la segunda expresión con respecto a y y luego se iguala el resultado con , se obtiene , despejando se obtiene:

),( yxN 1)( 22

xygxyf )(yg

yygyyg )(1)(

Por consiguiente la solución de la ED en forma implícita es: yyxyxf 2),(cyyx 2

O bien, la solución de la ED en forma explícita es: 11

12

xparax

cy

Nota:

Page 9: Factor Integrante

Definición: Una ED de primer orden se dice que no es exacta si sus derivadas parciales no cumplen con el criterio para una diferencial exacta. Es decir, su diferenciales parciales son diferentes:

xN

yM

Definición de factor integrante (F.I.): Es aquel factor que al multiplicar las derivadas parciales de una ED no exacta la convierten en ED exacta, para luego resolverla con el método de las exactas:

Factor integrante (F.I.): Sea la ED

Page 10: Factor Integrante

Ejemplos de algunas formas diferenciales que son exactas

Ejemplos de algunas formas diferenciales que no son exactas

Teorema del factor integrante (F.I.)

Page 11: Factor Integrante

Dos consideraciones importantes para obtener las ED generales por F.I.

EJEMPLO 4: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente resolverla por el método de las exactas.

SOLUCIÓN:

1º Paso: Checar si la ED es exacta o no exacta

No exacta

Page 12: Factor Integrante

2º Paso: Búsqueda del factor integrante (F. I.) para convertir la ED en exacta: Para esto es necesario realizar las dos consideraciones para ver cuál de las dos se puede factorizar y por ende produce un factor integrante:

Factorizando se tiene:

3º Paso: Conversión de la ED no exacta en exacta

Page 13: Factor Integrante

4º Paso: Aplicación de los 4 pasos (i a iv) del método de solución de las ED exactas.

Paso i): Comprobar si la ED es exacta Exacta

Paso ii): Integrar con respecto a x, dejando a y constante

Paso iii): Derivar con respecto a y la ecuación resultante en el paso ii

Despejando g´(y) de la igualdad anterior, se tiene:

Paso iv): Obtener la función g (y)

Paso v): Sustitución del valor de g (y) en el paso ii

Solución general: kccsiendocxyyx 11232 2

Page 14: Factor Integrante

EJEMPLO 5: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente resolverla por el método de las exactas.

SOLUCIÓN:

Page 15: Factor Integrante

Aplicando las propiedades de los logaritmos y exponenciales:

Se tiene lo siguiente:

xx eyy

cexyxy

c

))0(2())0(3(

)2()3(

xx eyy

ceyy

c

)()(

)0()0(

xx ecec 1

Page 16: Factor Integrante

EJERCICIOS PARA LA CARPETA

INSTRUCCIONES: Resolver por el método de las exactas las siguientes ED

0)2cos2()cos( 22 dyyxyxxedxxyye yy3.

2.

1.

INSTRUCCIONES: Obtener el F.I. de las siguientes ED no exactas y posteriormente resolverlas por el método de las exactas.

4.

5.