factorizacion

5/9/2018 FACTORIZACION - slidepdf.com

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ALGEBRA·Y TRIGONOMETRI

'91. :Verifiql;le la formula fi~). 92. Verifiquela formula (vii).

9 3 . Ver ifiq ue I a formuI<j. (vi).

?4. Sl s e s u rn an tin polinomio degrado 2y uno de grade 3, icuru

es el grade de! polinomio resultante? iCuru es elgrado de suproducto? . -.

95.iQue se-puede decir acerca delgrado de la suma de dos

polinomios de grade n? i ;De su productoy de-su diferencia?

96i Escriba un p ol ir rom io e n las variables.r y s para el area de 1a

re gio n ( un reetangulo.oon ex tremes se rr t iCi Icu la res .' ) quese

m uestra en la -fig ura 15.

,97. Escriba polinornios.en laferma estandarpara (a) elvolumen

y . (h ) eI area.de la superficie del OQj«to que se muestra enla.figura 16.

'" \ Ir J-'S~I

/ 1 . -

'" '-

FIGURA 15 FIGURA 16

1 .7 Factor izaci6n

En la seccion anterior multiplicarnos polinomios, Ahora.rinvertimos el proeedirnieruo Y

tratamos de.escrihir lin pnlimonio como producto de, otros polinomios. Este procesose

IIan~ilfactorizacien y cadapol inomi o en el producto se Ihi'tna"facti:ir de l po l nrornio original

Pot ejemplo, 3x2 y x ? - + 2&on factores de - 3x4- + 6xQ

porque

3x4 + 6;t2 = 3 .x 1(Xl + 2)

G en era l m en te-; bu sca nro s .fa ctores po l ih6micos de grade 1 p nt<!yores._

AL m6to ri z at..; a v ec es pedemos remplazar u na exp resion co rnp l ica da por un p~()d~IG

de f£icto'res. 'lineales. Un .ejempl 0 es:

5x 3 + 6 x :l - 29x - 6:= (S x + l)(x - 2)(x + 3)

Po r tanto, 1a factorizacion pu edeser m uyiitil.para sim plificar expresiones, C om o verem os

e n e l ca pitu lo ;2 , -e s p aru cu la rm en te Jij -tilp aq : r eso lv er ecuaclenes. En- ge ne ra l ,e l primer paso

err'la f;tC10fl:lm;:{6nde;cu<!iqllier expte.. 'ii6nalgeb_raiql!;':s)d~terminar'si 19$J~nninq~ tienen un

factorconuin.

EJEMPL01 _

F<idorlce 6x4/- 4x2/+ roVby] - uy2.

Spluci6n. Ya que 4y2es un factor co/nun de les.terminos, tenernos que

10Vlxl - 2iyi

= 2 ;qy2(3x 3 y 2 ) ' - lxy"(:h) + 2xi(5V2y) - 2xy2(I)

= 2xi(3Pyl -2x + 5v2y - 1)

C ua nd o lo s.term irros d eu na expresion n o t ie ne n unfaetor cormln, adn podrian factQri-

zarse iigrup.tiiJdo los terrninos de u na ma nera apropiada.



CONCI;WfOS:FldNtlAMENTAl;ES QEL ALGEBRA 45

EJEMPLO 2 _

Factorice Xl + 2 -<9 ' - x - 2y,

Solucion. Al ,agrtipai losdos prirtiercs te b:riirio s y losdos u]timbs da

:r ? + by - x -ly = Til + 2 .xy ) + (-x -,2),),

=x(x + 2y) '+ (~I)\x + 2 y ). . ~

Observamos-el factoroomun x,+ 2y Y completamos como

: r ? + 2xy - x - 2y =~x- 1)( x + '2y)

FO RMUL A S D E F A CTO R IZ A CIO N

Mediante la inven,;6n-dc las f6rmuJas:oe productos.notables de la seocionl . 6 . , tenemos las

sigurentes fqr.mu'las "importames de factori~~ci9n.·' .

Hemos us~dQ:rnqyuscuJas en estas fl'lrmulas,paraponer en clare nuestro trabajo cuando

las aplicarrros,

EJEMPLO 3 _

Factorice 16x4y2 ~ 25.

Solucion. Esta es ladiferencia de dos cuadrados. ASI, a partir de (iii) conX =4:r? j.y Y =5

tenemos..

1 6 X 4y 2 - 25 = ( 4 _ x 2 y f - ( 5 ) 2

= (4 Xl:y - 5)(A:r?y + 5) ,. . . I

EJEMPLO 4 ,..-- _

Factorice Sa3 + 271/'.

Solution. Yaque , 8 £ 1 3 + 27b f ) es lasuma de-des cubos.jse.puede factorizar usando (iv). Si

tdentificamos X = = 2 £ 1Y Y = 3b2, entonces



46 ALGEBJ!.A YTRlGOI'{OMETRIA.

8a3 +·27b6 = (2a)3 + (3,b2)3

= (2a, + · 3 b : . ) . [ (2052 - (2a)(%2) + (3b2.)2]. ,

=~2a + . 3 b 2)(4a2 - 6ab2 + 9b

4)

Observese quelas formulas O ii) - (v),indican qu e la diferencia de dos cuadrados Yla

suma Y la diferencia de dos cubossiempre se factorizaft mientras nolimitetnos los coeficien-

tes.al conjuntode.les entercs, Por ejemplo, al usar (iiQ;parafabtorizar~ - 5,iden6ficall1QS

X =' x y Y = \ 1 5 " , de modo que' .

Xl- 5 = xl - (Vs)2

= (; r ·-'Vs)(x + - x I S )

Sin embargorparael resto deesta seecionbuscaremos unieamerite factores-pclintimlcos con

coeficientes enteros,

FACTOR IZA t iON DE ' POL INOMtOS 'CUADRAT ICOS (D E S EG UN DO , GRADO )

A veces es posible.factorizerJos polinomies cuadraticps ail: + Q X + -c , donde q, b Y . tson

enieros, como

(A:t + B)(Dx + D)

dende A ., B , t yD son tatntMn enteros.

IiTicialrttehte,para'simplifie,ar nuestra exposicibr; suponemos que-sl polirrorniocuadra-

tico tie ne C .Qm ·ocoeficiente principal a = 1. Si x2 + 1 : £ : s + c t ie ne unaf ac to rt za ci on usando

coefiCientes 'enteros, entoncessera de Ia forma

(x +B){~ + m

dO]l'cie"E y D senenteros .. .Al hallar el' produoto y a! cornpatar 'UJ's.toeficiente,s;

B+D==-b

(x + B),(x + D) = x'{ + (B t D)x + I1D-= x : + b . x : +q

BD=c

vemos que

B + D= b y BD =~:

ASl, para facterizar x2 + bx + c concoeficientes enteres, 'hacemos una lista de todas las

factorizaciones posiblesde c como producto de 9t)Senteres i 3 yD. Entonces, comprobarnos

cual de las sumas de B + D es igual a b..

EJEMPLO 5 _

Factorice x2 - '9:X + 18

Solucion. Con b = -9 y c = 18,. buscamos Ids enter-os B . y D . trues que

B + D=· -g Y 13D = 18

Podemos escribir 1 '8 como up producto BD en las 'siguientes formas:

2(91, ( - 1)( - 18)" (-2)(-9); Q (-3)(-Q)(6):

Ya que -9 Its la su ma de -'J y -6, II I factorizaeion es

:r - 9x + 18 = t X - 3)(x- 6),~ - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -



4 .7

N6tese.qq~ siempre,esposiblecompmbpf'una factQrizaCienmedrante lalfml-tiplicaci6n

de 19s factores,

EJEMPL06 _

Factorice p ' + 3.i -

Solucion. Se.puede.eseribirel.rnimero -1 como producto dedos-enteros ED solamente en

tina fcirtmi~a saber: \ - t)(1'). Yaque la suma '

B+ D =, -1 + 1#3

x 1 + 3x - ["rIQ se puede f",clcirizar u:sandQ coe fi 6 i' e n {es en te r-os .

E,~;m #s, q <tm plicaclb factorizar el polinomib (:uadratiCo general dX 2 + bi: + c, CO D

i; i = 1 = I, ya qu~ debemos cbttsicietar los 'factores de a asi 'como los de c.

Hallando el producto y comparando 16 s coefieientes

,4e =a

1 1 Sf) = c,J ; J. .

{Ax + B)(Cx + D) = = ACx" + (AD + B'C)x + 8D = ax2 + l»: + ('

AD + ec = b

vernosque ax2 + bx + c S¢ factoriza c o m o (AI' + B) (ex + D ) .sj'

AC=a, AD + Be = b, ¥ BD = e

'EJEMPLO 7 _

Soluciorr. ,Los factores seran

(2x +_)(lx + _)

dondelos espacios enblanco.se deben llenarrxm un par de finteros B yDclJyo.proqBcto BD

e~~gual a -6. Lospares posib,les son:

l y -6, 3. Y -2, -3 Y 2I Y 6,

Alroradebernos cornprobar prlJa vers: unode losparesda II ennro valor d.~AD + - EK ; (el

'qoeJkiente del t~Tmino mediQ),dQnqe,.A = 2y r; = l. Eil,c,ontrarilq~Cj,4e:'

'4(6) + l(~1),= J 1

per tanto, Q:,t2 + ir - 6 = t~t- l)(x + 6)

Este 'nlelnd'o g e , n e r a l se puede aplicar a expresiones de la forma a_r;2 + b J < y + cl;o o n d e a~ b ~' c sot! enteros.

EJEMPLO 8 ----;

'plactorice 15x2 + n~y+ 4)'2 .

Soluci6n. Los factores podrlan tener [a forma

(5x + _y)(31: + _y) 6 (15K + _y,)(lx + _y) (6)



AtXiEBRA;YTR 190NOMi;;l'RI;':'

N o se necesita considerar lo s ca se s

_ C - 5 x + _y!('-3x + _y) ): J-15x + ._y)(-x + _y)

(i_,Por qu~?)

Los espacios en blanco en (6) se deben llenar con un par de: enteros cuyo producto.sea 4 .

.Los pares posibles son:

1 Y 4, -1 y -4, - 2 y -- - , - - - 2

Cornprobamos cada par con la s formaspos ibles en (6) para ver.cuii! eombinacion, sies que

hay alguna, 1l0S cia un coeficiente d e c I?, para el terminq medio. Encontramos qUe!

ISr + 17;ty+ 4l = (5x + 4y)(3x + y)

EJEMPLO 9 _

Factofice.Zr" + lIP + 12,

Sol uci6n .Siendo X ;= t1_,-podemosconsiderar esta expresioncomo unpolinomio cuadrati-

< ;0 en Iavariable X .

2X 2 + 'llX + 12

Entonces, facjorizamos este polinorniocuadratico. L(j~ factores tendran la forma

( :¥ + -)(:2X+ -)

donde l o s espaciosen blanco.se deben lleriar can un par de enteros cuyo producto sea 12.

Los posibles pares son

-1 Y -121

-2 Y-6, -3y-4. Y 4 ,

Compeobamoscada par eon (7 ) para verque combinacion, si la hay ,_nos ciaun coeficiente-

de 11 parael terrnino mediovEncontramos que-

-2X2 + ilK + 12 = (X + 4) (2X +'3)

La sustitucion deP, por X nos.da

2t- + 112 + 12 = (? - + 4)(2-c2 +:5)

En el ejeIl_lploaIlterior.s!!"d_e,be verificar que ni -j 2 + 4 ni 2f + 3s e pueden factorizar

usandocoeficientes eateros, \

Ah t 1r a- cQns jt j- er amos un ejernplo en 'i) cual una primera faetori zadqn produce expre-

sioues que se pueden .factorizar otra vez. En general, necesitamos gL\euna expresion sea

faetortzadatntalmente; esdecir, hasta quI';ninguno de los facto res se puedan factorizar en

polinornios de grade I 6 mayor con coeficientes enteros,

EJEMPLO 10 --..,. _

Pactorice' cornpletamente x t > - i

solucton. Podemos considerar laexpresion x6 -/' de dos maneras: como diferencia de dos

cuadrados 0 como diferencia de dos tubas, A L u sa rIa d iferen cia -d e. d os cu bo s, :escrib im os

x?:-l =( X '2 f 3 - Cl?= (x2 - ,?)fx4 + ry 2 + y4 )

= -(x - _ y ) ' ( x + _y)(x4 + · ' X 2y 2 ' + - i)

(7)



C0"NGEP'fOS,FDN[JAMEN'FALES DEL Al:.GEiBRA. 4 5 1

A par.tir de lp anterior po4r iamQ! i concluir que la facrorizacion f;stacompleta. Sin embargo,

t l1,!h:u laexprcsj;fm l\-l< l-VH1Q una~ it 'e re n,c j~ d e d os - e ua dr ad os e ); mas"revela:9dr, ya X}U f ;

_i6- :l=(j3f - ty3?N e <.

=(x? - , : ) , 3 ) { . 1 . d + ) ; 3 )

=(i - Y){X2 + x y + :;i)~t' + y }C it - ,r)' + l)= (x - y)( ,r + y)(p + X ! I + l)(J? - xy + /)

Dtp-<esta. O},\Jler.g h~'mR~ 9~;>~.JIQi.<::rt9a factpri,w.t:i{madi(;.~9n:al

X4 +&l ,P + }A = (.\.2 + -!i); + l)t;l' - xy + :)'2)

\tel'lfiqllC que ninguna de 'J.?;ta,s expre~ipnt;!i Ru c_, ,, Ja ( ic t9r izars~·m,~s,

______ ........_ EJERCICIO 1.7

EJ1lqs prOlJleJll,as.I~llO, f!l¢torii:eel polinom'iQ ham~ndo un

factor eomun, oa_gr1)pando.

1. 6~5y: +J2x'i +14x:y3 2 . xyzl_ x y 3 Z+X3yz

3. 2 ) : l J '-ii+2p-1 4 '~ax-ay-3bx+ by"

S . U3J; +2 ( .3} - ux - u.Y 6. xy + Sx - 6v -30"

'1. 8xJ + I4x2 +°6 x 8 . 2uv - 5wz + 2 uz, - 5 wv

, . 3 0 x ; y , + 6 Z j 1 + lOxp + 2zp 10. 3,a2b 3 ,- '!f.fiu 41 / ' ; - 9 (l b

Bn los problemas 11a1i2, use las (ormtq:aslJe i'aetorizal,!ion

(il-(v)para factorlzar el polbfomio.

ri, X4 -l . 1 2.t'2 - 9w 2

1~.2 ~

14. i:~+q~')·

rs ; Bi3i+27 16•. x' -47i

i7'; x~+l J : S . l-l19~36x2

-25 : t o . u3+8

21. x8~l }i2; (2 + 1. l4

En lo~ problemas 23al 42, use h!¢nic:as para fadorizar

p~lin,omio," c~ac¥iitieos~r~ f~d91;~ el polin.,m,i~.dado,Sf es posible.

t3. r2-f 2r + 1 2'4. l+ lO y + 25

25 . cf /16 -1/2 + 1 1 c · '2(j. Q12 f4 + 3ih/ii z +fNit'21 . x

2?iS -xyJ~ +"/14 2 . 8 . x ~ -5x+:6

.2), 4P~ + ' lP+,5 30. 8 ' 2 - . + ;!t'-}3

~1. 6a4 + Btl -is 32 . 9:l-6ab+!,P

3~./ 2 5 . ( / + 4!~,if;~ 4!9c? ~4. -~l-5ty+lfl

.j;;~ 4x,2 +)2x t'9 :~6~2X2 - 7: -! y +3}'!

37 . ai-ab-ZIP 3'8~ S2 -8sH Ifitl

$9. m2'+2mn+ri2 40. 5 v 2 +6v+l

4i. IOb4 -13b), + 12 42 . /+lDi2 +'21

En los problemas 43 a160, use .eualquier meto'dopata

13dorqar Iaexpresion.

43. r3S3' - Stl

45. a 1 2 _ ( a l _ l } k

47. s8-6 5 61

44. (x+Yl-;;-"

46.x(x- w J+ w (w -z)

4 . 8 . al -ri?k-bl+ab2

. 9 . x2+,2.:0/+ y? +3x.+3y +2

50. a2 - Zab+ b2 _C'2 +4cd'- 4d2

51 . x2+6cry+9y2 +2x+,6y

52. (X +q ?(X +fY - 2 0 ( x +3 ) ( x +ZY

53. ~2n +3xn +2) 54. 4Z2 + 7.zy "" :2y?

55.,}o-St5.,..6 56~O f _ x " ) ' -(i -rt5,7. x(x - _ y ) - y(y - x )

~9. 4p,2 +2 pq - 12q2

58 . x 6+7xLg

60 . ( x 2 - 4 ) +~4-i)

En.lo,s probl~~ma:~6~ a110, use las 1Qqnul,as' de {act9rizaeion

( 1 ) - (ill) p~a f~et~tizJY' .Iaexpresion en fa~tores l.i.D,ealt:s(Aroda: algunos coeDcientes no seran ent~ros.1

61 . 2r2 -1 62.i1 . 1 -

63. e-11,9 64~ P - 2 iS t + V 2 _ 5

65. a 2 -2b'+·

67. x} .f.,lax + 1/16

69. xi -2J'iii. +zi

66; ;3 u 2 - 4vz

68. 1/4a2 _ , 6 : "

70. 81l-(3q--Z;rf

71. CalcuIe las siguientes eperacloaesi

< a ) ( 5 4 7 ) " - (453l

En 10sp'robI~ma.s 7). aH5"respoJidafj).so owrd;ad.~ro •

71..a' +// = {a+'bt,--

'7 '3. ' X ' . + y2 = (x+ y)(x+ y). __

'14. (x-2)(.t-21=;~+4.-·-

7 ~; 2 ,(~ 3- / 'i .~ , )= ( t - rt ) ( t t : + tu; H { ~ ) 2 . -



50

En el libl'o II de Elementos' de_EueU(l.e1. 'qs ~r,obl,emasalgebr,aico:s se tratan,y se resoelven en termInos geometricos,

porque los grtegos careeian.de notaclon algebraica. Porejem-

pIo, el producto de-des numeros po:sittvos,,11 y bse,representa

,ell,moel area de un rectangulo cuyos ~dQs-1ienen longitudesay b, respectlvamedre. En losproblem~ 76 al78 setratanen

termmos geometrlcesvarlas de ias foono.as de faetorizacioil.

76. Explique eome justifies la figura 171af6miula de factorizacion

a2 +2ab+b2=: ( t i : + b Y " para-los nunie(OS positivos» y b,

FIGURA 17

ah b1

2 ab

!,

l>,

77. ExpJiquecomojustifica la£igura 1B,taf6nitula defa :c tbrizad6ri ,

;2 _b/ := (a - & ) ( a + b) , donde a >,b ,;:;'..

'ALGEBRA Y'TRlGONOMETRiA

FIGURA'18

78; La figura 19 indica que Jaf6nnula de factoriz,!ci6n para la

diferencia.de.dos cubes, a}- b' 3 := (a~ b)(a2 + ab + b2) para

a,>b.> Q.,se,puepejustificar geometricamente. Complete li t

prueba. r . s : u g e r e n c i a : marque la s cu atro ca ja s q ue h ay d entro

del cubo y ealcule el volumen.de cada una.] ,IJ

b

FIGURA 19

1.8 Expre s io n e s ra cio n a le s -

Cuandeun polinomio.se.divide por otto, el tesrlftau6 noes nec~sariamente urrpolinomio, El

cociente de dos 1?6linomiqs se Ilarrraexpreslon racional, Pol' ejernplo,

k~+ 5

x,+l

son expresiones racionales. El dorninio de.Ia variable en una expresionracicnal consta de,

todos los ntimerosreales-para.los cualesel valor del denorninadores diferente de cern. Por

ejemplo, e n (2--2 + 5)/(x + J) eldorninio de ia variable es·-{xlx = t - - f}.

P a t a resoiverproblemas, corr frecuent'ia debemos combinar expresiones racionales.y

luego simplificar los resultados. Yaque una e){pi"esi6ntaejon~al representa a un numero-real,

ppdt ),m9s a p li ca r las propiedades.del sistema denumerosreales para combinar y simplificar

las.expresiones racionales. Las propiedades de Iasfraccinnes de la seccion 1. I son particu-

Iarmerue htii~s. A continuaeion y par converiiencia, repetimos las quese.usan cop mas,

frecuencia.



51

EJEMPLO 1 : _

Shilpllftque

'2;;" - x;-

,;,t-l

sojucton, Faetorizamos el numerador y e'!denominador y €antel atrtoslos faetores cornu-

nes usando la. propiedad caneelativa (i): .

,~'-.x>l

;r t ~ I

(2x + n~ fx,+ 1

. ( ;1 ::+ t)~x; +-1

-NQtesegue,e,nelejempJo,'j la,c;ancelm:;'i6ng<;,1 f "ct or com!i n, .x , - I es valida solamente

] ; 1 _ < i ' r ai q ! - ! ~ i _ t ' t s - valores de X tales q u e x - J s e a d i ' t er ~ o t ed e ; C e 'r b ; ,e s de :c ir , p a r a X 4 - !.Sin

embargo.ya'que la expresion (~ - x - J)/(r'- T)n~ &edeii'ne'.p'a_rai= 1,nuesrrasimplifi-

cacion.es valida'para thdOs!osrturileiosieaJes. enel'demiaio de lavariable i.en Iaexpresion

original. Enfatizarnos que; 'laecuacioh '

2.~/- ,t -

x2 -L

2 ,t + 1

x + 1

no es val ida p-aIa x = 1, aunqueel Iado dereeho ( 2 < x + I )!(c~2 + I) se define para x=1. Las

con sideracionesde esta 'nat.UI'aJe~a~ser~nmportantes <?n~lc,apf:tul('l sigllienteJ,;uandQTesSli-

veremos ecuaciones que, contengan.expri.;S,iones:;l'ac:itmmes.

iP.aq:eJ resto d, e esre c ap ft u lo s u p:L jD d re )U { )~ s in ;06rYi~nt '\ lr ios PQS!~dP1ies t)q¢Jl),_S varia-

b les .estanrestriiigirl_a:s a. los vaIbres: para. l OS Gli,i leB t6_(j(iA.!o$.de;nOini);jaoQte$' . en una ' e cn ae io n

sean .diferentes de cl-!r(};

EJEM'PLO 2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sjmplij'iqu~~4Xi + -U x - 3

:2-5x'~ 12i'



Soluc16n

4'12'+11£- 3

2 - 5x - rw(4~ - i)(x + "3)

,(1 - 4 x ) S 2 ' + 3~)

~Hl+'3T

-~(2+3x)x+3

= = Z + '3 x . ~

M IN IM O C O ",U N M U LT IP LO D E L OS D EN Q MIN AD O -R ES (M C M).

Parasurnar 0- res tar exptesiones racionales.spiocedemos e,xifctamente>c_om6cuando suma-

mNS0 resramosfraceiofies. .Prlrnefo, hallaincs un comYin denotninadbr y 1uego aplicamos

(ii), Aunque cualquier comun denominador servira, el trabajo-serarnener siii'!;ilmos.elmirti-

mocomun miiltiplo de los denominadores (l\ IJ:CM) el cual se' encuentra.mediante la facto-

rizacicrrcompleja de cada denominador.y la.:fermacion de un producto de los diferentes

factores, -Vsando cada taotor 'con el exponente mas a(to co n el eual ocurraen cualquier

:de"n:omini: jdor individual.

EJ£MPlO 3 _

Encuentre el MCM de los denorninadores de:

d+2y

Soluci6n. Al factorizar los denominadores en las expresiones racionales, obtenemos

1 x +2,

( ,x + 1)2" x

1

x2(;r - l)(x + 1) "

Los diferentes factores de los denominadores son x, x - 1,yx + l. Usamos-cada factor COIlel exponente mas alto co n e l' eual ocurre.en cualquier deriorninader individual. De esta

manera. el MCM de lo s denominadores es:~~

EJEMPlO 4 _

.Combine y:sJinplifique

x 1---+~,,,,-------x 2 --4 % - - + 4x + f1 -

Soluci6n.6il' la forma faclOrizada'losde_nonlinadoresS'ctn e x - 2) (x + 2)~ (x'+ r z l - . Deestitrnan"era el MGM de .losderrom inadores eS (¥ - 2) (x + 2)2. UsarnosIi) R lainversa para

vb!vern escribir cada expresion, racionaleon e'IMeM como .denorninadcr:

x x(x + 2)

x " 2 - 4

-' 1

(;t - 2J(~+ 2)

I

( , to - ~ ) (x - + 2 } _ ( x + 2 )-

l(i - ;? )



5 3

Entonces, w,an(i6 (ij)SlIfllanios y sirnplifiearnos,

_X_ + 1 = _ xix ~ 1). +X :- 2 _xl- 4 J ? - +4x +4 ( .. 1 ; - 2)fx+2f(J - Z)(x + 2)2,

x ( . > ; ; +2) + x -::-2 .

(x - 2)(x + 2i"),;.:

.1..2+2;(·+x-2

e x - 2)(x + if.y2+3x-2

(~ - 2 )(x + 2)2

Para multiplicar 0 dividir expresiones racionales, aplicamos (iii) O(iv) y luego.simpli-

t i, em ! 1 O ~ 5 .

EJEMPLO 5 _

Q~irnbiney sirriplifique

X 2 5 , 1 ' 2 + lOx-+ i5~"+ 21x + 4 3X2 + X

Sol,uci6n

x 2~xi + lO x + 1

~J?+2t~+ 4 . 3x2+ ~

~fx + 4)}'(3x + l)

Sx + 1

EJEMPLO 6 ---,,---- _

qpmbine.y;s)mpIU"i_qu;e,

2x 2 +9x + 10 ' 2x + 5

, x 2 + 4x + 3 x + 3

Soluci6ri

2. r + 9.t+ 10

x1+ 4x + '3 -

2,+ 5

x+ 3

2xf.+9x+lO x+3 ~

= - . t :2 7 - 4x + 3 -2t+ 5"~

'(:2.~ +-9J; + lOj(x + 3) ~

1x2 + 4x + 3)(2x+ S) ~

~x+'21~

~(x+l)~

x+,2

x + 1

Como se demuestra en el signienteejercicio, las.tecnicas que se.ilustraron amesnos

permiten Sithplifica:r c oc ie nte s m a s corriplicados,



- ALGEBRA YTRlbONtlM6'fRIA

EJEMF'LO 7 _

Simplique

x' x + 1

11+-x

Soluci6n. Prirnero obtenernos expresiones racionales individuates-para elnumerador y'eJ

denorninador:

1 X'X ,x+l-x2

x (J : + 1)

~X2+X+ i

x{ x + l)'

I 1 x + 1)

x(x + 1)x + I (x + l )x_

y 1 +J._=l.+ i= x+1x x x x

x - X Z + x + I

-t(x + I)x+ 1

" 11_+-

x

D¢ e ' S , t a rnanera X .+ 1

x

Anora aplicamos (iv) a este cociente.para obtener

-x2 + .r + 1

_;;2+X+.1

A : o t ' + l)

-rl+ x + I(x + 1) 2

x (x + 1).-----==

x+l x + 1"

Un metodo alterno para simplificar Lin traccionario 'complejo es multiplicar tanto el

numerador corno-el denominador por etMCM de los denominadores de.todas las fracciones

queocurran en l < j : fraccioncornpleja. Al usar aquf este metodo.imultiplicarnos elnumerador

y el denorninador -P9fx{ot:+ 1) ysimpllfic;amqs dela-siguiente manera:

1 x( _ ! _ _ _ x_) . x(x + 1)

x x + - 1 (x + 1)~ x~

(1) ,x{x' + I) + (~+ 1)

1 - - + ~ _ . - - x ( x + 1)

-x1 + x + 1 ----:-~+ x + I

eX x+1

11+-

x

(x + l)(~+ I)

Las tecnicas-que se.tratan _epesta S j : ; c q i l ' i ' n se pueden aplicar con frecuerrciaa.expresio-

nes quecontienen exponentes negatives, como veremos. en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 8 _

Sirnplifique (a-1 + b-L)-l.

Soluci6n. Ptimero remplazamos'todos losexponentes negatives por los cocientes.equiva-

lentes y luego usamos las propiedaaes'de las-fracciones :pata sirnplificar las expresiones

algebraicas que resulten ..



CONQEITOS,FUNDAMEN1'ALES DEL ALOIlBR..o,

1-,,.--- ~":<--

1 1-+-u ;. q

a~

h+ a

b+a

ab

Un tppie:ntfi 'de dos e : K p . r¢ : ~ i ( ) " i l . 'e . s a l g e b r a i ¢ & s tales COllio ( '\Ix - l)/(,V'i + 1) Se

Jtama:'expresi6b ftaccionatiii, Las: ,l ec ni :t as , p ar a: s imp ] ificarexpresiorles ffae(;i"6nanis,son

similases a a q u e l l a s que,;se usan pamexpresi'one'S racionales.

EJEMPlO '9 _

SimpHfique

t y

vy + V~' j

S:qluci6n. , Pri'me,nl e,ticQ,riit4'mb,s el MOM .de los tlenOJii.lnadores, y I uegb,sulnam6s:

x y ,~Vi' - yvyx~ + y;./y

v)i +vi =vyv~+ \/ivj' = v:ix/i,"

x~+yvY

y ! _ v y~\IYV i V Y

Lesejemples I by 1 .1 i lu'$,t,ran Q.61 nb's: i ' i "! l :lZl i f ic i l teie.r1frs,t ipo~ Q e . e~R(esj 'Qnt}s rYl\¢cji)Ua-

ri-as'que.'oc(lIUn en 'til:lculQ.

E ;.JE M P LO 10 __ ~ _

SiiFhpllfiqUe,

So luC; i6n

-h,1 x~(y+h)

(x + h) x

It

-"/j -1

x + Ii ~

h

_ x ,(x + h)

h.

EJEMPLO 11 _

$i:f-6pliffque (2 x }(x - 1 ' ) 1 1 2 + ( i Y ( + , - Ir lil.(r).. , '. . . ,. d- , .

Soh. ic ion

(2 x) (x - 1)"1I2 + ( j) (, t' - l)-112(j;2) = (2 x j(x _ 1)112 + '" x ! - , .. . , . . . . . . , " : 2 { x ~ V ! 2

\ ,



S6 ALGEBRA ITRI.GONGlMETRIA

(2)(Zx)(x - l)+.$2. 2 ( X - l}li2

4P - 4x, + J 2

2(x - 1)11.2

5x2- 4x

2(x - I)lf2

~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

EJERCICIO 1.8 _

En los probtemas l.aI 4, resPQoda fals.o 0veidadero~

1. (U-1+v-1f=u+v. _

2. (d-b)ta=-b. __

~; El minima eemunmultiplo. de los, dellominadores(MCM)

de 1/(r+2l y d(r +3)3 (r+cZ)] 'es(r+3t(r+zj·:_

4. 2-x/x-'2=-'1. _

En los problemas S..ilI3, simpllfiqu~l!l ~JPre~on ra~onaL

5 .t-'9'

6.x2_/

z3'+27 x2y+~'2

7.w

3-9w

8 .x2 +4x+'3,

w 3 -'6w 2 +:()w xi'+x-6

9.ax -ay +bx-by

10.SH2 .S y - Ii:- 2ty

.2ax-by-ay+2ht. 2.u + 4s y + tx +2 ty

1 1 .

x4+4x'+16

ii.x

4-lx' +8 x

2-l

1 3 .

Xl -2~'-3y4

x~ -4xy+3j'f

En los pro_'lemas 14 al 21, encuentre e l mfalme ' c o m u nmtiItiplo (MCM) dec.os denomfnadores de las eXpresione!l:

1 4

}4. x2+x-Z'x+2

2 3xx'2.

1 5. x,--4 !x+ 4' } ; , 2 ' - - 1 612' :1

16. (t-2y'e-4't+2

1 xl

17•. x'3_c~2," x2 -.1; x } +2x; + ; -

'1 c 118; -- - ----

c~+ c' cL -+ 2c+1' c"-1

6x

19. x2 +2.t+l' x2-3x-4p . r1

20.. p, +',.j p2 +2pr + 1'2' pl + r3

10 1 b

21. /)'3 +.b z - = _ 6h.' l{ _ 6b2 ' b ~ ? -

En los problemas 22 allIS, combine r simpJifique laexpresion.

. 3 622. _'. __ -a-2 a}+4

" l' 2 'B. Y-- .L

. y'Z+ y y+1

2x 5'24. -- +: > 2 - ' -t-

z +I x-I

x 3x

25. 3x + 1 - k - 3

3.2-3x l-lx26. ---' -'-+~_-

x : ~h-1 x(3x- 1)

2x x+y 7x+527. -;2- ----+ ..~

x -1 x(x-1) x (x -1)

Ax 5-+---

4);.+54x+5

29. { x 2 -2x+ I}x +1x3 -1

30. _L_____+ 4z+1_

2 ';> ;+3 4z2-'$z;-1 2Z2 +z-3

3 1 .. 2a a..~-+-'-a-b b-a

32.73u

; +--

u"'-u-12 u+3

33.x 1 4

2X1 +3'x-2 2x-1 x+2

3:5 . _x~

l!x + Jl y

.36. '2+1/ x

2 X 2 + X

J:.+l x-I----

'37. ~J x+l1 '1 .+--

x+l x-I



-",

38. 1__ 1_,_

1+",/y

2

-:-39.2-- --21----

,2,- '2/x2

2xx+--

40. x-24

1+ -x1.-4

41., u+1 -r- tt + 1

'u+2 l {+7

42.q2_1 : q-4

, e l +.~q-$ q+~

571 1

55. ~-~2

h

1~,6.1+T

. J . ' 5

. - 11+-

J Ya Z

57, s: ' _ f a

3+21x58.

l/,t

2-''3la

59. 2+1I,a

1 '1

60. !x+hf -]3Ii

n,-li~/(n-ih)61., 1+m21(tl- jn2)

1- x '-.(IIx) ,62. " 1-(1/x)'

1/8;+1/164.

21s-31t

6~.u - 2 _ J:~2

UZz2

5' ? ,6 6 . 2£ . . ..211 - -1 2..-1

h

( % 2 _ i X t / 3 : ) ' ( x + l j Z / ' l + { x + l y 1 3 { Z x )

( : x .2+ lXV2 ) ( X ~ l / 2 ) _ ( x . ; i 2 ' X 2 )( ~ 2 + 1 J - -

2p+a,p+4

as , P -1 2p

46. x(i-w) + w(w-z)

47. ~1+ 1/(* +Z)X4/(3x + 9))

I }n l os proi,llemas ~I Jill68,:simpliflqu,e l~ expn;s.(jOd!l 'da;

IIX,2_:j:'50 ;

1/j;2 + AT '

t+H:?5 " . 2+1Ji

53. ~ + ~.J U v W

;\;+2)1

67.

68.

69. En el campo de la optica" si p es Ia distancia 'del qpjeto a la, lente.y q es 1a distancia.de laimagea ala lente, entonces la

! or tg it u. dJ oc aLdeda 'l en te )e st a dada por

1

1 / p+ViJSim rlifiqg,e' ~sta~e~presiOD;,

70. Si tr%tesjstel}cias en uncircuito ele'dtfii;:o eonrresisrencias.deB

J, Rly·R3.ohmiQs;-rei>Rectivame;nte , se-ha l lan; coaeetadas; en

paralelo.ientonces.la resistencia (en ohmip_s) de-la-combina-

Cio l i esta dada por

1---

l/Rj +URz +1 /R3

S i , r n p l i f l q u f ; ' : es~a'e~fesiOI'1.

factorizacion

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